2. Nieskończone ciągi liczbowe Ciągiem liczbowym nazywamy ...
SYSTEMY LICZBOWE
description
Transcript of SYSTEMY LICZBOWE
SYSTEMY LICZBOWE
SYSTEM DWÓJKOWY•Systemem liczbowym stosowanym w technice cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system liczbowy o podstawie 2. •Wynika to z wcześniej zauważonej właściwości istnienia dwóch stanów, które można interpretować jako dwie różne cyfry. •W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz dwóch cyfr: 0 i 1.• Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek (20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek (23), itd.
Wartości dziesiętne wybranych liczb zapisanych w systemie dwójkowym:
Zapis w systemie
dwójkowym
Wartość w systemie
dziesiętnym
Wartość w systemie
dziesiętnym
Zapis w systemie dwójkowym
1 20 = 1 0,1 2-1 =0,510 21 = 2 0,01 2-2 =0,25
100 22 = 4 0,001 2-3 =0,1251000 23 = 8 0,0001 2-4 =0,0625
10000 24 = 16 0,00001 2-5 =0,03125100000 25 = 32 0,000001 2-6 =0,015625
1000000 26 = 64 0,0000001 2-7 =0,007812510000000 27 = 128 0,00000001 2-8 =0,00390625
100000000 28 = 256 0,000000001 2-9 =0,0019531251000000000 29 = 512 0,0000000001 2-10 =0,00097656251000000000
0210 = 1024 0,0000000000
12-11
=0,00048828125
W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system dwójkowy:
Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny.
gdzie: • k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej),•bk to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu binarnego, bk є {0, 1}
Wzór ogólny liczby naturalnej zapisanej w systemie binarnym
Zamiana ułamka dziesiętnego na binarny:
SYSTEMY: ÓSEMKOWY
I SZESNASTKOWY
SYSTEM ÓSEMKOWY
Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr:
0 1 2 3 4 5 6 7
Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 23. Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest
trzykrotnie.
SYSTEM ÓSEMKOWY
SYSTEM ÓSEMKOWY
W tym systemie mamy szesnaście cyfr:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Symbolom literowym odpowiadają
wartości dziesiętne: A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15
SYSTEM SZESNASTKOWY
Podstawą systemu szesnastkowego jest 16, czyli 24, co pozwala skrócić zapis binarny
czterokrotnie.
SYSTEM SZESNASTKOWY
Hex – system szesnastkowy (heksadecymalny)Dec – system dziesiątkowy (decymalny)Oct – system ósemkowy (oktalny)Bin – system dwójkowy (binarny)
Wzór na wartość n-cyfrowej liczby całkowitej zapisanej w dowolnym
systemie liczbowym:gdzie: • k oznacza pozycję cyfry w liczbie (liczoną od prawej do lewej),• ck to cyfra z k-tej pozycji należąca do zbioru cyfr sytemu, ck є {0, 1, …, r – 1}
Działania arytmetyczne w różnych systemach liczbowych
Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w różnych systemach liczbowych są takie same jak w znanym Ci systemie dziesiętnym. Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb. Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.
Zapoznaj się z tabelkami działań w systemie dwójkowym i czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne tabele dla różnych systemów liczbowych.
System dwójkowy
System czwórkowy
Dalej
Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
System czwórkowy
+ 0 10 0 11 1 10
DODAWANIE
× 0 10 0 01 0 1
MNOŻENIE
Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne
tabele dla różnych systemów liczbowych.
System dwójkowy
+ 0 10 0 11 1 2
DODAWANIE
2 2 33 3 10
2 33 1010 1111 12
× 0 10 0 01 0 1
MNOŻENIE
2 0 23 0 3
2 30 02 310 1212 21
2 3
Znasz już sposób postępowania przy zamianie liczby z układu dziesiętnego np. na układ
ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez 8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności.
Na następnym slajdzie podany jest inny sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania działań arytmetycznych w różnych systemach.
11000101001010111010010110111000011010110111
Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę 835(10) w systemie ósemkowym
• Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym:8(10) =10(8)
Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr – wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku:83(10) =8(10) ·10(10) +3(10) =10(8) ·12(8) +3(8) =120(8) +3(8) =123(8)
Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamianiy liczby złożonej z trzech kolejnych cyfr: 835(10) =?(8)
835(10) =83(10) ·10(10) + 5(10) =123(8) ·12(8) + 5(8) =1476(8) + 5(8) =1503(8)
W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.