Systèmes d’équations linéairesSystèmes d’équations linéaires

Étude de contexte

et

résolution

Système à solution uniqueSystème à solution unique

Ces droites n’ont qu’un point d’intersection

Système inconsistantSystème inconsistant

Ces droites n’ont pas d’intersection

Système avec une infinité de Système avec une infinité de solutionssolutions

Ces droites sont confondues

Nombre de solutions d’un système Nombre de solutions d’un système d’équations linéairesd’équations linéaires

• Les exemples précédents se généralisent à un système de plus de 2 variables

• Donc, l’ensemble solution d’un système d’équations linéaires AX=B peut posséder– Aucune solution– Une solution unique– Une infinité de solutions

Systèmes d’équations Systèmes d’équations équivalentséquivalents

• Deux systèmes d’équations sont équivalents s’ils possèdent le même ensemble solution.

Par exemple, les deux systèmes suivants

sont équivalents

- L’addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne

- La multiplication d’une ligne par une constante non nulle

• Il y a trois types d’opérations que l’on peut faire sur les lignes d’un système d’équations linéaires qui ne changent pas l’ensemble solution de ce système

Opérations élémentaires sur les Opérations élémentaires sur les ligneslignes

ji LL

ii kLL

jii kLLL

- L’interversion de deux lignes

Exemple de transformations d’un Exemple de transformations d’un système d’équations linéairessystème d’équations linéaires

21 LL

133 LLL

122 2 LLL

22 LL 33

21 LL

Système initialet final

(équivalents)

Matrice augmentée d’un système Matrice augmentée d’un système d’équations linéairesd’équations linéaires

• La matrice augmentée est la matrice des coefficients à laquelle on a ajoutée la colonne des constantes

ExempleExemple

Méthode de la matrice escalierMéthode de la matrice escalier

• Deux matrices sont équivalentes si on peut obtenir l’une des matrices en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de l’autre matrice

• La méthode de la matrice escalier consiste à résoudre un système d’équations linéaires en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée du système de manière à obtenir une matrice escalier équivalente (sans nécessairement les pivots à 1)

Exemple

Infinité de solutionsInfinité de solutions

Deux variables sont ici libres

Système inconsistantSystème inconsistant

La dernière ligne est contradictoire

Rang d’une matriceRang d’une matrice

• Le rang d’une matrice A est le nombre de lignes non nulles d’une matrice échelonnée équivalente à A

Le rang de A est 2

ThéorèmeThéorème

Méthode de Gauss-JordanMéthode de Gauss-Jordan

• C’est un prolongement de la méthode de la matrice escalier. Elle consiste à effectuer des opérations élémentaires sur la matrice augmentée du système pour la transformer en une matrice escalier dont les pivots sont les seuls éléments non nuls de leurs colonnes respectives.

• La solution du système sera alors directement accessible dans la matrice.

Exemple

Donc x = -1, y = ½ et z = ¼

Calcul de la matrice inverse par la Calcul de la matrice inverse par la méthode de Gauss-Jordanméthode de Gauss-Jordan

• Pour trouver l’inverse d’une matrice A, on augmente la matrice A de la matrice identité de même ordre ( A|In)

• on effectue ensuite des transformations élémentaires sur les lignes pour obtenir la matrice identité à gauche (In|B)

• la matrice B ainsi obtenue est la matrice inverse de A

Exemple