Commande robuste des systèmes non linéaires complexes

Tache 2 : Controle - CommandeObjectifs :

I Proposer une famille de lois de commandes robustes pour dessystemes non lineaires complexes (Eco-automatisation) :These de M. Manceur,

I Synthese de lois de commandes tolerantes aux fautes

commandes robustes pour des systemes non lineairescomplexes

I Proposer un modele nominal flou a base d’une connaissance partielle dusysteme non lineaire.

I Synthetiser des commandes floues robustes pour assurer la poursuited’une trajectoire donnee.

Poursuite de trajectoires

Systeme non lineaire perturbe

⇢x

(n) = f0(x) + g0(x) · u(t) + D

y = x

⇢D = �f (x) +�g(x)u + d

DM = �f +�guM +�d , |u| uM

Construction du modele nominal

Modelisation floue TS [Takagi et Sugeno, 1985]

I Le systeme flou TS exploite les modeles locaux du systeme de la forme :x(t) = Aix(t) + Biu(t)

Modelisation TS floue de type-2La i eme regle du modele flou type-2 TS s’ecrit :

Si x1 est F i1 et x2 est F i

2 et.....et xn est F in Alors

x (n) = Ai (n, 1 : n)x + Bi (n)u

ou F ij est le j eme ensemble flou type-2 intervalle, i designe le nombre de regles et A(n, 1 : n) = A(n, j)1jn .

Modele nominal flou

I Pour une paire (x , u), le modele nominal flou est donne par :

x (n) =rX

i=1

hi (x) {Ai (n, 1 : n)x + Bi (n)u}

hi (x) =12

⇣wi (x)Pri=1 wi (x)

+ wi (x)Pri=1 wi (x)

⌘

I Si l’on note par : f0(x) =rP

i=1hi (x)Ai (n, 1 : n)x et g0(x) =

rPi=1

hi (x)Bi (n)

I On obtient le modele nominal flou suivant :

x (n) = f0(x) + g0(x)u

Commande par modes glissants d’ordre superieur

Principe de fonctionnement des modes glissants d’ordresuperieur

I Le regime glissant d’ordre 1 est base sur l’annulation de la surface deglissement �.

I Un regime glissant d’ordre r agit sur la surface � et ses (r � 1) premieresderivees successives.

� = � = · · · = �(r�1) = 0

r : degre relatif du systeme

@�(i)

@u6= 0, (i = 1, · · · , r � 1)

Modes glissants d’ordre 3, il faut calculer

�, �, �

Modes glissants d’ordre 2, il faut calculer

�, �

Precision des modes glissants

Modes glissants d’ordre 1 vs modes glissants d’ordre 2

σ&

στ

σ&

σ2τ

Modes glissants d’ordre 1 Modes glissants d’ordre 2

Erreur du glissement=O(⌧) Erreur du glissement=O(⌧2)

L’algorithme du Super Twisting (ST)

La commande equivalente :

Conditions d’invariance �(x) = �(x) = 0

ueq = g0(x)�1

hy(n)r � f0(x) + ��

i

�� =n�1P

k=1

(n�1)!k!(n�k�1)!

⇣@@t

⌘(n�k�1)�k e

Les termes du ST [Levant, 1993] :

udis = �u1 � u2

u1 =tR

0↵sign(�)dt, u2 = �|�|(

12 )

sign(�)

La commande globale :

u = g0(x)�1

hy (n)r � f0(x) + �� udis

i

La condition de transition :

�(2)(x) = ' + %u

avec ' = �� y(n+1)r + f0(x) + D + g0(x)u,

% = g0(x)

Les conditions su�santes de stabilite :

� > 0, | ' | �, 0 < �m % �M

↵ > ��m

, � � 4��2m

�M (↵+�)�m(↵��)

La condition de ⌘�attractivite :

↵t + �|�|0.5 � ⌘ + DM

Choix optimal :⇢

D = �f (x) + �g(x)u + dD = �f (x) + �g(x)u + �g(x)u + d

Introduction

Commande par modes glissants

Commande par modes glissants floue

Commande par modes glissants floue a base de l’Integral SlidingMode

Conclusions et perspectives

Commande floue par modes glissants d’ordre 2

Mise en œuvre de la commande

u = g�10 (x)

h�f0(x) + �� + y (n)r + u1(�) + u2(�)

i

Description des systemes flous :

u1(�) = ✓T1 ⇠(�) tc ��! |u⇤1 | = ↵⇤tcvaleurs optimales

u2(�) =| � |0.5 ✓T2 ⇠(�) ��! |u⇤2 | = �⇤|�|0.5

tc =

⇢t si | � |> #t# si | � | #

↵⇤ et �⇤ sont les approximations optimales de ↵ et � qui verifient :

↵⇤tc + �⇤|�(x , t)|0.5 � DM + ⌘

Choix des lois d’adaptations [Manceur et al, 2010,2012] :

✓1 = �1�(x)⇠(�)tc

✓2 = �2�(x)|�(x , t)|0.5⇠(�)

Commande floue par modes glissants d’ordre 2

Schema bloc de la commande

Surface de glissement e ry σ 0ddt

= 10 0 1 2

( ) ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )nru g x f x y u uσδ σ σ− = − + + + +

equ y

1 1 ( ) ( ) cx tθ γ σ ξ σ=& Système flou

0.5

2 2 ( , ) ( ) ( )x t xθ γ σ σ ξ σ=& Système flou

Processus u

1( )u σ

2ˆ ( )u σ

Modèle flou TS

0( )g x 0( )f x

+ -

( )d t

Schema bloc de la commande proposee

Exemple de simulation

CMGO2 a base du ST :

u = g0(x)�1

2

4y (n)r � f0(x) + �� +

tZ

0

↵sign(�)dt + �|�|(12 )

sign(�)

3

5

CMGO2 floue proposee :

u = g�10 (x)

h�f0(x) + �� + y (n)r + ✓T1 ⇠(�) tc+ | � |0.5 ✓T2 ⇠(�)

i

Bras de robot actionne par un moteur a courant continu

8>>>><

>>>>:

q(3) = f0(q, q, q) + g0u + D

f0(q, q, q) = � RL q �

✓KbN

2Ktml2L

+ gl cos(q)

◆q � Rg

lL sin(q)

g0 =KtN

ml2L

Principe de la commande Integral Sliding Mode

Approche et glissement :

( ) 0xσ ≠ ( ) 0xσ =

ft

Ensemble d’ordre r de glissement :

�r = {x |�(x) = �(x) = ... = �r�1(x) = 0}, r 2 N

Expression de �r en fonction de u :

�r = �(.) + �(.)u

Le probleme de la CMG , la stabilisation de :

⇢zi = zi+1

zr = �(.) + �(.)u

1 i r � 1 et z=[z1 z2 ... zr ]T := [� � ... �(r�1)]T

Mise en œuvre de la commande Integral Sliding Mode floue

Synthese de la commande continue8><

>:

zi = zi+1

zr = �(.) + [�(.)� 1]u| {z }

�(.)

+u

Pour i i r � 1 :

⇢zi = zi+1

zr = �(.) + u


u = u0 + udis�(.)=0�! u = u0

Le systeme devient :

z = Az + Bu0

ou A et B sont definies par :

A =

2

666666666666666666664

0 1 . . . 0

.

.

.

...

...

.

.

.

0

...

... 1

0

...

... 0

3

777777777777777777775

r⇥r

, B =

2

6666666664

0

.

.

.01

3

7777777775

r⇥1

L’objectif de u0 :

z(0)u0��!

synthetiserz(tf ) = 0

Critere :

J = 12

R tf0 zTQz + u20dt

Q : matrice de ponderation definie positive.


Synthese de la commande continueLa solution pour u0 :

u0 =

(�BTMz(t) + BT �(t) pour 0 t tf�BTMz(t) pour t > tf

�(t) et M sont calcules a partir dusysteme :

⇢� = �(AT �MBBT )�0 = MA+ATM �MBBTM + Q

Le terme de forcage �(t) :

�(t) = eAmt�(0)

Am = �[AT � MBBT ]

�(0)est choisie��!

pour satisfairez(tf ) = 0

Le grammien partiel d’atteignabilite

�(0) = �H�1z(0)

H = [R tf0 eA

TmtBBT eAmtdt]


Synthese de la surface Integral Sliding Mode⇢zi = zi+1

zr = �(.) + u0 + udis

udis = �u1(�)� u2(�)La surface de glissement modifiee :

� = �0 + ⇣

Cas particulier de la surface :

�0 = zr

La derivee de la surface modifiee :

� = u + �(.) + ⇣

La condition assurant � = 0, 8 t � 0 :

ueq = ��(.)⇣ = �u0, ⇣(0) = �zr (0)



u1(�) = ✓T1 ⇠(�) tf ��! |u⇤1 | = ↵⇤tf

valeurs optimales

u2(�) =| � |0.5 ✓T2 ⇠(�) ��! |u⇤2 | = �⇤|�|0.5


↵⇤tf + �⇤|�(x)|0.5 � DM + ⌘

Choix des lois d’adaptations [Manceur et al, 2011] :

✓1 = �1�(x)⇠(�)tf

✓2 = �2�(x)|�(x)|0.5⇠(�)


Etapes de calcul de la commande Integral Sliding Mode floue

- Fixer la pente de la surface !- Choisir les fonctions d’appartenance des systèmes flous adaptatifs et les

constantes d’apprentissage "#et "%- Choisir Q et résoudre l’équation de Riccati pour avoir M

- Calculer la valeur initiale de &(') en fonction des conditions initiales du système

- Calculer lemodèlenominalflou

- Calculer les commandes : Linéaire: 34 = −789: ' + 78& 'Floue: 3<=>? @ = −3<# @ − 3<% @

avec @la surface de glissement modifiée

- Calculer les commandes: Linéaire: 34 = −789: ' Floue: 3<=>? @ = −3<# @ − 3<% @ avec @la surface de glissement

' ≤ 'B

' > 'B

Calc

uls h

ors l

igne

Ca

lcul

s en

ligne

Validation Experimentale

Panneau de contrôle

Le modele nominal flou

Regle 1 : Si x1(t) est proche de 0Alors

⇢x(3)(t) = A1(3, 1 : 3)x(t) + B1(3)u(t)y(t) = Cx(t)

Regle 2 : Si x1(t) est proche de ±⇡/2Alors

⇢x(3)(t) = A2(3, 1 : 3)x(t) + B2(3)u(t)y(t) = Cx(t)

x(t) =⇥

x1 x2 x3⇤=

⇥q q q

⇤.

ou :A1 =

2

640 1 00 0 1

�0.0172 �10.03 �0.007

3

75,

B1 = B2 =

2

6400

1000

3

75

A2 =

2

640 1 00 0 1

�0.0172 �1.03 �0.007

3

75

C = [ 1 1 0 ]

Parametres de validation

Surface de glissement : � = e + 2�e + �2e

Incertitudes et perturbations du systeme :

I La masse m = 0.5 kg et celle du bras de longueur l = 40 cm

I Les incertitudes d’identification des modeles locaux

I Un fort jeu

I Important frottement sec

I Opposition manuelle cyclique de 3 et 4 secondes

I Variation de la resistance caracterisee par l’e↵et de Joule

Objectif :

Les references : x1(t)suivre��! yr (t) = 1.5 sin(t) et x2(t)

suivre��! yr (t) = 1.5 cos(t)

Validation experimentale

Commande par modes glissants d’ordre 2 floue

Fonctions d’appartenance intervalle floues de type-2 de : (a) � des deux systemesadaptatifs,(b) x1 du modele nominal



Le signal de commande (volt)



(a)

(b)

ry (t)&

Poursuite de trajectoire : (a) de position,(b) de vitesse



(a)

(b)

Précision:e<2.5%

Précision:e<3.5%

!!

Erreur quadratique de poursuite : (a) de position, (b) de vitesse


Commande Integral Sliding Mode d’ordre 2 floue



σ"σ

La surface de glissement � et sa derivee �



e"

e"Précision:e < 2.1%e" <2.9 %

3

3

3

3

Erreur quadratique de poursuite de position et de vitesse



Le signal de commande



(a)

(b)

ry (t)&

Poursuite de trajectoire : (a)de position, (b)de vitesse

Conclusions

I Commande par modes glissants d’ordre deux floue .

I Commande par modes glissants d’ordre deux floue a base del’Integral Sliding Mode.

I Validation experimentale des deux approches proposees.

Travaux en coursAu niveau des systemes flous :

I Introduire des observateurs pour la reconstruction des etatsactivant les systemes flous et reduire le nombre de capteursutilises

Au niveau de la commande :

I Exploiter les resultats sur la commande tolerante aux fautespour maintenir les performances de poursuite en presence dedefaillances

Au niveau de l’eco-automatisation :

I Prendre en compte de ”l’energie verte” dans les criteresd’optimisation

Valorisation

I ArticlesI M. Manceur, N. Essounbouli and A. Hamzaoui, Second Order Sliding Fuzzy Interval Type-2 Control For

Uncertain System With Real Application, IEEE Transactions on Fuzzy Systems,vol. 20, pages : 262-275, 2012.

I Conferences internationales et nationalesI M. Manceur, L. Menhour, N. Essounbouli et A. Hamzaoui, MIMO Sliding Fuzzy Type-2 Control With

Manipulating Approaching Phase, the 2013 IEEE International Conference on Networking Sensing and Control(ICNSC 13), IEEE, Paris, France, avril 2013

I M. Manceur, N. Essounbouli et A. Hamzaoui, Simple Integral Sliding Fuzzy Type-2 Control For Non linearSystems, 2nd International Conference on Systems and Control, Marrakech, Morocco, juin 2012

I M. Manceur, N. Essounbouli and A. Hamzaoui, Two order sliding fuzzy type-2 control based on integral slidingmode for MIMO systems, the 7th conference of the European Society for Fuzzy Logic and Technology and lesRencontres Francophones sur la Logique Floue et ses Applications, Aix-Les- Bains, France, July 2011.

I M. Manceur, N. Essounbouli and A. Hamzaoui, Higher order sliding fuzzy type-2 interval control for SISOuncertain nonlinear systems, IEEE International Conference on Fuzzy Systems, Taipei, Taiwan, June 2011.

I M. Manceur, N. Essounbouli and A. Hamzaoui, Commande par modes glissants d’ordre superieur a gainsadaptatifs flous type-2 sans phase d’approche. 4eme Journees Doctorales / Journees Nationales MACS,Marseille, France, Juin, 2011.

I M. Manceur, N. Essounbouli and A. Hamzaoui, Commande floue type-2 par modes glissants d’ordre deux agains adaptatifs d’un systeme multivariable incertain. In Les rencontres Francophones sur la Logique Floue etses Applications, (LFA’10), Lannion, France, November 2010.

I M. Manceur, N. Essounbouli and A. Hamzaoui, MIMO Second Order Sliding Mode Fuzzy Type-2 Control, IEEEInternational Conference on Systems, Man and Cybernetics (SMC’10), Istanbul,TURKEY , October 2010.

I M. Manceur, N. Essounbouli and A. Hamzaoui, Robust Smooth Sliding Type-2 Interval Fuzzy Control ForUncertain System, IEEE International Conference on Fuzzy Systems, (IEEE FUZZ), Barcelona, Spane, July2010.

I M. Manceur, N. Essounbouli, A. Hamzaoui and F. Nollet, Commande floue robuste par modes glissants d’unsysteme non lineaire incertain et perturbe, Conference Internationale Francophone d’Automatique (CIFA 2010),Nancy, France, juin 2010.

Merci de votre Attention

Cas d’un systeme MIMO non lineaire

Modelisation floue type-2 TSLa i eme regle du modele flou type-2 TS s’ecrit :

Si x1 est H i1 et x2 est H i

2 et.....et xn est H in Alors

x = Ai (n1 : np, 1 : n)X + Bi (n1 : np, 1 : p)u

ou Hij , (j = 1, 2, ..., n) est le j eme ensemble flou de type-2 intervalle de la i eme regle.

A(n1 : np , 1 : n) et B(n1 : np , 1 : p) sont les matrices reduites de An⇥n et Bn⇥p ,

A(n1 : np , 1 : n) = A(i, j)n1inp1jn

et B(n1 : np , 1 : p) = B(i, j)n1inp1jp

.


Modele nominal flou

I Pour une paire (X , u) le modele nominal flou sera donne par :

x =rX

i=1

hi (X ) {Ai (n1 : np, 1 : n)X + Bi (n1 : np, 1 : n)u} (1)

hi (X ) = 12

⇣wi (X )Pri=1 wi (x)

+ wi (X )Pri=1 wi (X )

⌘

I Sin on note par : F0(X ) =rP

i=1hi (X )Ai (n1 : np, 1 : n)X et

G0(X ) =rP

i=1hi (X )Bi (n1 : np, 1 : n)

I On obtient le modele nominal flou

x = F0(X ) + G0(X )u (2)


Mise en œuvre de la commande

u = G�10 (X )

h�F0(X ) + �� + y (ni )

r+ u1(�) + u2(�)

i(3)

u1(�) ! u1 =

2

4tR

0↵1sign(�1)dt

...tR

0↵psign(�p)dt

3

5

u2(�) ! u2 =

�1|�1|

12 sign(�1)...

�m|�p |12 sign(�p)

�

La surface de glissement : � = [�1,�2, ...,�p] 2 Rp

� =

✓@@t

+ ⇤

◆(ni�1)

e

⇤ = diag [�i ], 1 i p, est une matrice diagonale (p ⇥ p). �i sont les pentespositives des sous-surfaces de glissements.


Mise en œuvre de la commandeDescription des systemes flous :

u1(�) = ⇥T1 (�) tc ��! |u⇤1 | = ↵⇤tc

valeur optimale

u2(�) =�diag | � |0.5

�⇥T

2 (�) ��! |u⇤2 | = �⇤diag |�|0.5

tc =8<

:t si k�k > #t# si k�k# ( ⇥T = [✓1, ✓2, ..., ✓p ] (�) = diag [⇠i ] et diag

2

664|�i |( 12 )

3

775 , i = 1, ..., p.

↵⇤ et �⇤ sont les approximations optimales de ↵ et � :

k↵⇤tck+ k�⇤diag |�|12 k � DM + ⌘


⇥1 = �1�T (�)tc

⇥2 = �2�T (diag |�|(

12 )) (�)

Generalisation de la commande floue a base de l’IntegralSliding Mode au cas multivariables

La surface de glissement globale :

�r = [ �r1 �r

2 . . . �rp ]T , r 2 N

L’expression de �r en fonction de u :

�(r) = �(.) + �(.)u

�(.) 2 Rp , �(.) 2 Rp⇥p

Le probleme de la CMG , la stabilisation de :

⇢Zj = Zj+1

Zr = �(.) + �(.)u

pour 1 j r � 1, Z1 =

2

6666666664

z11z12...

z1p

3

7777777775

=

2

6666666664

�1�2...�p

3

7777777775

, Z2 =

2

6666666664

z21z22...

z2p

3

7777777775

=

2

66666666664

�1�2...�p

3

77777777775

,. . . ,Zr�1 =

2

6666666664

zr1zr2...

zrp

3

7777777775

=

2

66666666666666664

�(r�1)1

�(r�1)2...

�(r�1)p

3

77777777777777775

.

Generalisation de la methode au cas multivariables

Synthese de la commande continue8>><

>>:

Zj = Zj+1Zr = �(.) + [�(.) � I ]u

| {z }�(.)

+u

I p⇥p , pour 1 i r � 1 :

(Zj = Zj+1Zr = �(.) + u


u = u0 + udis�(.)=0�! u = u0

Representation d’etat des sous-surfaces :

z i = Ai zi + Bi u0i

Avec :

zTi =⇥

z1i z2i . . . zri⇤

Ai =

2

666666666666666666664

0 1 . . . 0

.

.

.

...

...

.

.

.

0

...

... 1

0

...

... 0

3

777777777777777777775

r⇥r

, Bi =

2

6666666664

0

.

.

.01

3

7777777775

r⇥1

L’objectif de u0i :

zi (0)u0i��!

synthetiserzi (tf ) = 0

Critere :

Ji = 12

R tf0 zTi Qi zi + u20i dt

Qi : matrice de ponderation definie positive.


Synthese de la commande continueLa solution pour u0i :

u0i =

(�BT

i Mi zi (t) + BTi �i (t), 0 tf

�BTi Mi zi (t), t > tf

�i (t) et Mi sont calcules a partir dusysteme :

(�i = �(AT

i � MiBiBTi )�i

0 = MiAi + ATi Mi � MiBiB

Ti Mi + Qi

Le terme de forcage �i (t) :

�i (t) = eAmi t�i (0)

Ami = �[ATi � MiBiB

Ti ]

�i (0)est choisie��!

pour satisfairezi (tf ) = 0

Le grammien partiel d’atteignabilite

�i (0) = �H�1zi (0)

H = [R tf0 eA

Tmi tBi B

Ti eAmi t dt]


Synthese de la surface Integral Sliding Mode⇢Zj = Zj+1

Zr = �(.) + u0 + udis

udis = �u1(�)� u2(�)La surface de glissement modifiee :

� = �0 + ⇣

Avec � 2 Rp , �T0 = [�01, ...,�0p ], ⇣T =

[⇣1, ..., ⇣p ]

Cas particulier de la surface :

�0 = Zr

La derivee de la surface modifiee :

� = u + �(.) + ⇣

La condition assurant � = 0, 8 t � 0 :

ueq = ��(.)⇣ = �u0, ⇣(0) = �Zr (0)



u1(�) = ⇥T1 (�) tf ��! |u⇤1 | = ↵⇤tf

valeur optimale

u2(�) =�diag | � |0.5

�⇥T

2 (�) ��! |u⇤2 | = �⇤|�|0.5


k↵⇤tf k+ k �⇤diag|�|0.5k � DM + ⌘


⇥1 = �1�T (�)tf⇥2 = �2�T (diag |�|(

12 )) (�)

Commande robuste des systèmes non linéaires complexes

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