Introduction au module S.S.I. Signaux et Systèmes pour l’Informatique
SYST0002 – Introduction aux signaux et systèmes
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SYST0002 – Introduction aux signaux et systèmes
Examen
9 janvier 2020
Consignes
• Durée : 4h.
• Une nouvelle feuille pour chacune des 4 questions.
• Indiquez votre nom, prénom et matricule sur chaque feuille.
• Déposez vos réponses aux différentes questions sur les piles respectives.
• Appareils électroniques (calculatrice, GSM, etc.) non admis.
Justifiez toujours vos réponses.
Question 1 La dynamique de la synthèse d’une protéine à partir de son gène peut
être étudiée par modélisation mathématique d’un système entrée-sortie
où l’entrée est la concentration en gène actif g et la sortie la concentration
en protéine p (Figure 1). Ce processus se déroule en 2 étapes. Le gène est
d’abord transcrit en ARN messager (mRNA, de concentration m) selon un
taux de transcription k1. Le mRNA est alors soit dégradé avec un taux de
dégradation d1, soit traduit en protéine avec un taux de traduction k2. La
protéine peut ensuite elle-même être dégradée/utilisée avec un taux de
dégradation d2.
Gene (g) mRNA (m) Protein (p)k
1
Transcription Traduction
k2
De
gra
da
tion
De
gra
da
tion
d1
d2
f(p) = Pn/(Kn + Pn)
FIGURE 1 – Schéma équivalent de l’expression de gènes avec autoactivation.
Nous considérons par ailleurs le cas où la synthèse des protéines est régulée
par un mécanisme appelé autoactivation : la protéine synthétisée stimule la
transcription de son gène spécifique. Cela peut être modélisé par un taux de
transcription qui dépend de la concentration en protéine p via une fonction
f (p) = pn/(K n +pn), où K et n sont des paramètres régulant la dynamique
de l’autoactivation.
1
En utilisant la loi d’action des masses, le schéma proposé à la Figure 1 peut
être transcrit en un système d’équations différentielles ordinaires :
m = g k1pn
K n +pn −d1m (1)
p = k2m −d2p, (2)
où g k1pn/(K n +pn) modélise la dynamique de la transcription avec autoacti-
vation, d1m modélise la dégradation du mRNA, k2m modélise la dynamique
de la traduction, et d2p modélise la dégradation de la protéine. Dans cet
exercice, nous considérerons les valeurs suivantes pour les différents para-
mètres : k1 = k2 = d1 = d2 = n = 1, K = 0.5.
(i) Identifiez les entrées, sorties et états du système, ainsi que leurs
domaines et images respectifs.
(ii) Le système est-il linéaire? Temps-invariant?
(iii) Tracez un plan de phase qualitatif du système comprenant les isoclines
et identifiez le(s) point(s) d’équilibre du système graphiquement. Pla-
cez un vecteur associé au champ de vecteurs et de longueur qualitative
dans les différents quadrants délimités par les isoclines. Pour faciliter
la construction du plan de phase, utilisez g = 1 et travaillez uniquement
dans la région physiologique (cf point (i)).
(iv) Calculez analytiquement le(s) point(s) d’équilibre du système en fonc-
tion de g .
(v) Déterminez analytiquement des critères de stabilité pour chaque point
fixe en fonction de g .
(vi) Identifiez le comportement du système global en fonction de ces cri-
tères (en terme d’évolution temporelle et de convergence de la quan-
tité de protéines synthétisées pour différentes valeurs de g ).
(vii) Prouvez analytiquement que la convergence vers le(s) point(s) d’équi-
libre stable(s) sera toujours monotone.
(i)
• entrée : g=concentration en gène : R+ →R+
• sortie : p= concentration de protéines R+ →R+
• variables d’état : m=concentration en ARN-m R+ →R+, p=concentration
en protéines R+ →R+
(ii)•Le système est non linéaire car g p est un produit du signal d’entrée et
de sortie + présence du terme non-linéaire : p/(1/2+p).
•Le système est temps-invariant car aucun des coefficients devant g ou p
de dépend du temps. Les paramètres sont bien constants.
(iii)• p-nullcline : m=p
• m-nullcline : g p0.5+p −m = 0
Pour g = 1 : point d’équilibre : (m*, p*) = (0,0). Ensuite, on dessine le champs
de vecteurs dans les différents quadrants délimités par les nullclines. Par
exemple en (1,0) ↖ - (0,1) ↘- (2,1) ↙ - (0.1, 0.15) ↗.
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(iv) Calcul des points d’équilibre : PF1 : (g-1/2, g-1/2) - PF2 :(0,0).
(v) Calcul du jacobien :
(−1 g /2
(0.5+p)2
1 −1
)
• Pour le PF1, le jacobien s’écrit :
(−1 1/2g
1 −1
)Calcul des valeurs propres : s2 +2s + (1−1/2g ) = 0
Calcul du déterminant ... Le PF1 sera stable lorsque les valeurs propres sont
négatives → g > 1/2.
• Pour le PF2, le jacobien s’écrit :
(−1 2g
1 −1
)Calcul des valeurs propres : s2 +2s + (1−2g ) = 0
Calcul du déterminant ... Le PF2 sera stable lorsque les valeurs propres sont
négatives → g < 1/2. (vi) Si g<1/2, le système converge vers le point fixe
(0,0). Aucune protéine ne sera produite. Si g > 1/2, le système converge
vers le point fixe (g-1/2, g-1/2). La protéine sera produite durablement.
(vii) Il suffit de regarder les déterminants dans le calcul des valeurs. Celui
doit être positif pour garantir des valeurs propres positives. C’est toujours
le cas car g > 0.
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Question 2 La sortie y(t ) d’un système LTI causal est liée à l’entrée u(t ) par l’équation
suivante :
y(t )+5y(t ) =∫ ∞
−∞u(τ)z(t −τ)dτ−2u(t )
où z(t ) est la réponse impulsionnelle d’un sous-système.
(i) Dessinez le bloc-diagramme du système défini ci-dessus en utilisant
un seul bloc intégrateur et un bloc pour le sous-système de réponse
impulsionnelle z(t ).
(ii) Déterminez la fonction de transfert H(s) du système.
Astuce : Z (s) peut être présent dans l’expression de H(s).
L’équation caractérisant le système peut s’écrire dans le domaine de
Laplace en utilisant les propriétés de linéarité et en remarquant que :∫ ∞
−∞u(τ)z(t −τ) = u(t )∗ z(t )
Un produit de convolution dans le domaine temporel devient un simple
produit dans le domaine fréquentiel.
sY (s)+5Y (s) =U (s)Z (s)−2U (s)
La fonction de transfert est définie par : H(s) = Y (s)U (s) et donc
H(s) = Z (s)−2
s +5
(iii) Pour z(t ) = e−2t I(t )+δ(t ), calculez Z (s).
On utilise les formules des fonctions élementaires I(t) et δ(t) et la
propriété de linéarité.
Z (s) = 1
s +2+1 = s +3
s +2
(iv) Utilisez l’expression de Z (s), obtenue au point (iii), pour simplifier la
réponse de la fonction de transfert H(s), obtenue au point (ii).
Il suffit d’injecter Z (s) dans H(s) :
H(s) = −(s +1)
(s +5)(s +2)
(v) Déterminez les zéros, les pôles et la région de convergence associée
au système. Est-ce que le système est stable? Justifiez votre réponse.
• zéro : s =−1
• pôles : s =−5,−2
• ROC = {s ∈C :σ>−2}
• le système est stable car l’axe imaginaire est bien compris dans la
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région de convergence.
(vi) Le système a été défini à l’aide d’une équation intégro-différentielle
donnée dans l’énoncé. Utilisez les résultats précédemment obtenus
pour déduire une équation différentielle entrée-sortie caractérisant
tout votre système.
En repartant de l’expression de H(s) = Y (s)/U (s), on obtient :
Y (s)(s +2)(s +5) = (−1)(s +1)U (s)
L’équation entrée-sortie caractérisant le système est donnée par :
d 2 y
d t 2 +7d y
d t+10y =−du
d t−u
(vii) Dessinez le bloc diagramme associé au système sans faire intervenir
z.
(viii) Calculez la réponse impulsionnelle associée au système. Sur base de
l’expression obtenue pour la réponse impulsionnelle, confirmez votre
discussion concernant la stabilité de votre système faite au point (v).
Il suffit de décomposer H (s) en fractions simples et ensuite d’utiliser la
transformée de Laplace inverse de I(t ) → 1/s et la propriété de linéarité
et de décalage fréquentiel :
h(t ) = 1
3e−2t I(t )− 4
3e−5t I(t )
Les deux termes de l’expression contiennent bien des exponentielles
décroissantes (coefficients négatifs) garantissant la stabilité du sys-
tème.
(ix) Dessinez le bode diagramme en amplitude et en phase (version clas-
sique et non la version simplifée) associée à la fonction transfert du
système. Attention aux soins que vous portez à vos graphiques ; in-
diquez les labels, les unités et des valeurs indicatives rendant vos
diagrammes clairs et sans confusion.
• zéro en −1
• pôles en −2 et −5
• gain statique : H(0) =−1/10
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Question 3 Le bloc diagramme suivant illustre la relation entrée-sortie dans le domaine
de Laplace (c-à-d la relation entre U(s) et Y(s)).
K1 K21
𝑠 − 301
𝑠 + 3U(s) Y(s)
H(s)
K1 et K2 sont des gains à déterminer de manière à rencontrer les contraintes
imposéees sur la fonction de transfert H = Y /U telles que son diagramme
de Bode en amplitude est donné à la figure suivante :
(i) En détaillant votre raisonnement, que valent K1 et K2 ?
Rappel : Le diagramme entrée-sortie est établi dans le domaine de La-
place. Les signaux sont donc les transformées de Laplace de l’entrée et
sortie associées au domaine temporel. Les triangles représentent des
gains, ie. des constantes qui multiplient les signaux et les blocs carrés
contenant des expressions rationnelles en fonction de s représentent
des fonctions de transfert. Lorsque le bloc-diagramme fait intervenir un
feedback, il suffit d’exprimer le signal correspondant à l’entrée moins
la sortie.
Afin d’utiliser les informations données dans le diagramme de bode de
H , il faut tout d’abord trouver son expression analytique dépendante
de K1 et K2.
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On calcule la fonction de transfert associée à la boucle interne :
H1(s) = K2
s −30+K2
ce qui nous donne un nouveau bloc diagramme simplifié : La fonction
de transfert associée au système total se déduit facilement :
H(s) = Y (s)/U (s) = K1K2
(s −30+K2)(s +3)+K1K2
Le diagramme de Bode nous donne plusieurs informations comme :
• la valeur du gain statique (en ω= 0r ad/s) :
|H( j 0)| = K1K2
−90+3K2 +K1K2= 1
• il s’agit d’un filtre de second ordre du type :
H(s) = g ai n
s2 +2ζωs +ω2
On déduit que le terme indépendant −90+3K2 +K1K2 = 100 • Ou bien
en ω= 100r ad/s (cad à hautes fréquences),
|H( j 100)| = 10−2 = K1K2
ω2
Il suffit ensuite de résoudre le système et on obtient :
K1 = 10/3 et K2 = 30
(ii) Dessinez le diagramme de Bode en phase associé à la fonction de
transfert obtenue H = Y /U et dont le diagramme en amplitude est
donnée dans l’énoncé.
(iii) Le système reçoit un signal d’entrée u(t) qui peut se décomposer en
deux entrées u1(t ) et u2(t ) comme illustré à la figure ci-dessous :
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FIGURE 2 – [top] signal primaire u1(t ) entre 0 et 9s, [centre] signal secondaire u2(t ) entre0 et 2s, [bas] signal d’entrée total u(t ) entre 0 et 9s
On peut donc écrire l’entrée u(t ) à l’aide de l’expression mathématique
suivante :
u(t ) = u1(t )+u2(t ) = A1 cos(2π f1t +φ1)+ A2 cos(2π f2t +φ2)
On donne ω2 = 36 rad/s et φ2 = 0rad.
Sur base de la Figure 2 illustrant les signaux temporels, dessinez le
spectre en amplitude et en phase du signal d’entrée. Expliquez votre
raisonnement. Vous pouvez approximer 2π par 6.
(iv) Sur base de la fonction de transfert du système H (s), de son diagramme
de Bode, du signal d’entrée u(t ) et de son spectre, dessinez le spectre
en amplitude et en phase du signal de sortie. Justifiez votre réponse.
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Astuce : Vous pouvez vous aider du schéma ci-dessous pour struc-
turer vos réponses aux questions (iii) et (iv).
𝜔[rad/s]
Spectre en amplitude de u(t)
𝜔[rad/s]
Spectre en phase de u(t)
[-] o
u[d
B]
[rad
]
H(s)𝜔[rad/s]
Spectre en amplitude de y(t)
𝜔[rad/s]
Spectre en phase de y(t)
[-] o
u[d
B]
[rad
]
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Question 4 La figure suivante montre les représentations d’un signal sonore dans le
domaine temporel (bas) et dans le domaine fréquentiel (haut).
(i) Comment s’appelle la représentation utilisée sur la figure ci-dessus
pour le domaine fréquentiel ? Quelles informations apporte-t-elle sur
le signal sonore?
(ii) Expliquez schématiquement comment construire cette représentation
dans le domaine fréquentiel obtenue à partir du signal dans le domaine
temporel. Il n’est pas nécessaire d’utiliser d’équations.
(iii) Le calcul du signal dans le domaine fréquentiel fait intervenir un fenê-
trage temporel. Quels sont les compromis à considérer dans le choix
de la taille de la fenêtre?
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