1 Signaux et systèmes discrets 1.1 Introduction

Les signaux sont généralement utilisés pour transmettre de l’information . Ils sont, du point de vue de leur représentation mathématique, des fonctions d’une ou de plusieurs variables indépendantes . Dans le cas des signaux temporels qui sont les seuls que nous considérerons dans cet ouvrage, cette variable indé-pendante est le temps . Un signal peut être traité par un système . Il en résulte alors un signal de sortie . Du point de vue de sa représentation mathématique, un système peut être considéré comme un opérateur agissant sur la fonction représentant le signal d’entrée et générant ainsi une fonction représentant le signal de sortie .

Les signaux peuvent être subdivisés en deux grandes catégories : les signaux à temps continu (ou signaux continus) et les signaux à temps discret (ou signaux discrets).Lessignauxcontinussontdéfinispour toutevaleurde lavariableindépendante comprise dans un intervalle spécifié à cet effet. Les signauxdiscretsnesontdéfinisquepourunensemblefinidevaleurscomprisesdansunintervallespécifiédelavariableindépendante.Cesvaleurssontdiscrètes,successives et habituellement séparées les unes des autres par des intervalles égaux .

Un système à temps continu (ou système continu) traite le signal d’entrée pour toutes les valeurs de la variable indépendante . Le signal de sortie d’un tel système est lui aussi un signal continu . Un système à temps discret (ou système discret) ne traite le signal d’entrée que pour des valeurs discrètes, successives et habituellement séparées par des intervalles de temps égaux, de la variable indépendante . Un signal de sortie discret résulte de ce traitement .

Dans ce chapitre, nous présenterons certaines notions relatives aux signaux discrets, ainsi que certaines propriétés importantes des systèmes discrets linéaires et invariants dans le temps .

2 Traitement numérique des signaux

1.2 Signaux continus, discrets et numériques

Comme nous en avons déjà fait mention, les signaux peuvent être classés en deux catégories : les signaux continus et les signaux discrets .

Un signal continu xC(t),définisurl’intervalledetempst1 ≤ t ≤ t2, est un signal définipourtoutelesvaleursdelavariablecontinuet,compriseentret1 et t2 .

Un signal discret xC(t) = xC(nTS) défini sur l’intervalle de temps t1 = n1TS < t < t2 = n2TS où n1 < n2 sont des entiers, et où TS désigne un intervalle constant de t, est un signal qui n’est défini quepour les valeursdiscrètes de t données par t = nTS, où n est un entier positif ou négatif compris entre n1 et n2 .

À titre d’exemple, le signal xC(t) = sin(0 .2pt),définisurl’intervalle0≤ t ≤ 5, est unsignalcontinu.Ilpeutprendreunnombreinfinidevaleurs,quidépendentde celles de la variable continue t, comprise entre 0 et 5.

Le signal x(n) = sin2 (0 .2pnTS) – cos2(0 .1pnTS), TS =1,définisurl’intervalle 0 ≤ n ≤5,estunsignaldiscretquin’estdéfiniquepourles6valeursdonnéesde n, c’est-à-dire pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Il ne peut donc prendre que les 6 valeurs discrètes suivantes :

x(0) = –1, x(1) = –0 .56, x(2) = 0 .25, x(3) = 0 .56, x(4) = 0 .25, x(5) = 0

Les signaux xC(t)etx(n)sontrespectivementreprésentésparlesfigures1.2.1aet 1 .2 .1b .

–

–

(a) (b)

Figure 1.2.1 (a) Signal continu xc(t) = sin(0 .2pt)0≤t≤5 (b) Signal discret x(n) = sin2(0 .2pnTS) – cos2(0 .1pnTS), TS = 1, 0 ≤ n ≤ 5

Signaux et systèmes discrets 3

Unsignalnumériqueestunsignaldiscretquantifié,c’est-à-diredontlesvaleurssont représentéesparunnombrefiniNBdebitsdequantification.Doncàl’encontre du signal discret qui peut prendre n’importe quelle valeur, celles que peut prendre le signal numérique sont restreintes par le nombre de bits dequantificationutilisé.

1.2.1 Échantillonnage

Les signaux discrets sont souvent obtenus par l’échantillonnage de signaux continus . Cet échantillonnage intervient habituellement à intervalles de temps successifs et identiques . La séquence numérique qui résulte de cet échantillon-nage forme ce que l’on nomme un signal discret . Les valeurs du signal discret, coïncident aux instants d’échantillonnage, avec celles du signal continu . La période de temps qui s’écoule entre la prise d’un échantillon de signal continu et celle de la prise de l’échantillon suivant est la période d’échantillonnage . On lui attribuera ici le symbole TS . Pour alléger la notation, on conviendra d’écrire x(n) au lieu de xC(nTS), même lorsque la période d’échantillonnage diffèrera de TS = 1 .

Lafigure1.2.2areprésentelesignalcontinu:

xC( t ) =

10t, 0 ≤ t ≤ 30, t < 0, t > 3

(1 .2 .1)

Lafigure1.2.2breprésentelesignaldiscretxC(t) = xC(nTS) = x(n) obtenu par l’échantillonnage à intervalles de temps réguliers et égaux TS = 1, du signal continu xC(t) . Ainsi : x(0) = 0, x(1) = 10, x(2) = 20, x(3) = 30 (1 .2 .2)

(a) (b)

Figure 1.2.2 (a) Signal continu (b) Signal échantillonné

4 Traitement numérique des signaux

1.2.2 Notation

Danscetouvrage,un signaldiscretx(n)de longueurfinie, tel celuiqui estreprésentéàlafigure1.2.2bpourraêtrereprésentéparlanotationsuivante:

[x(n)] = [x(0) … x(3)] = [15 12 24 33] (1 .2 .3)

Cette notation indique que x(0) = 15, x(1) = 12, x(2) = 24, x(3) = 33 et que tous les échantillons du signal auxquels aucune valeur n’a été explicitement attribuée sont nuls . Ainsi, dans l’exemple utilisé ici, les valeurs du signal autres que x(0), x(1), x(2) et x(3) sont nulles .

Unsignaldiscretdelongueurfinieouinfiniepeutaussiêtredéfiniparunerelation mathématique telle que :

x(n)=10n,0≤n≤3 (1.2.4)

Exemple E1.2.1

À l’aide du logiciel MATLAB®, générer sur 40 points un signal discret dont la période est de 20 points et dont la forme est :

a . Sinusoïdale

b . Rectangulaire

c . En dents de scie

Solution

Le programme requis est donné dans l’encadré apparaissant ci-dessous .

% Programme E1.2.1clear ;t = 0 :39 ;y1 = sin(2*pi*t/20) ;y2 = square(2*pi*t/20) ;y3 = sawtooth(2*pi*t/20) ;subplot(3,1,1) ; stem(t,y1) ; ylabel(‘Y1’) ;subplot(3,1,2) ; stem(t,y2) ; ylabel(‘Y2’) ;subplot(3,1,3) ; stem(t,y3) ; ylabel(‘Y3’) ;pause ; close all ;

LesgraphesgénérésparceprogrammeapparaissentàlafigureE1.2.1.

Signaux et systèmes discrets 5

–

–

–

Figure E1.2.1

Exemple E1.2.2

À l’aide du logiciel MATLAB®,généreretreprésentersur21points(0≤n≤20),un signal discret dont la forme est comme suit :

a . Un rectangle de 7 points, centré au point n0 = 10 .

b . Un triangle de 7 points centré au point n0 = 10 .

Solution

Le programme requis est donné dans l’encadré apparaissant ci-après .

LesgraphesgénérésparceprogrammesontreprésentésàlafigureE.1.2.2.

6 Traitement numérique des signaux

% Programme E1.2.2clear ;N = 0 :20 ;n0 = 10 ;XA = rectpuls(N-n0,7) ;XB = tripuls(N-n0,7) ;subplot(2,1,1) ; stem(N,XA) ; ylabel(‘XA’) ;subplot(2,1,2) ; stem(N,XB) ; ylabel(‘XB’) ;pause ;close all ;

Figure E1.2.2

Dans ce chapitre, nous présenterons quelques signaux discrets de base . Nous y étudierons aussi les propriétés fondamentales de certains systèmes utilisés pour traiter les signaux discrets .

1.3 Signaux discrets de base

Le tableau T1 .3 .1 donne un aperçu de quelques signaux discrets de base : l’impulsion d(n), l’échelon u(n) et le signal rectangulaire recN1, N2 (n) . Un grand nombre de signaux discrets peuvent être exprimés en fonction de ces signaux .

Signaux et systèmes discrets 7

Tableau T1.3.1

Impulsion

δ(n − n0 ) =

1, n = n00, n ≠ n0

n, n0 : entiers positifs ou négatifs

δ(n – n0)

n0 n

Échelon

u(n − n0 ) =

1, n ≥ n00, n < n0

u −(n − n0 ) =

1, n ≤ n00, n > n0

u(n – n0)

n0 n0 + 1

u(n – n0)

n0

Signal rectangulaire

rec N1 , N2 ( n ) =

1, N1 ≤ n ≤ N20, n < N1, n > N2

recN1 ,N2 = u(n − N1 ) − u n − N2 − 1( )

Les exemples donnés ci-dessous viennent illustrer ce concept .

Exemple E1.3.1

Exprimer le signal x(n) suivant :

[x(n)] = [x(0) … x(12)] = [1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1]

en fonction de signaux échelons .

rec

rec

8 Traitement numérique des signaux

Solution

x(n) = {u(n) – u(n – 1)} + {u(n – 3) – u(n – 5)} + {u(n – 9) – u(n – 13)}

Exemple E1.3.2

Exprimer chacun des signaux discrets suivants en fonction de l’un ou de plusieursdessignauxdiscretsdebasefigurantautableauT1.3.1.

a . x a ( n ) =

0 .5−0 .7n , 0 ≤ n ≤ 80, autre s vale urs de n

b . x b ( n ) =

0 .5−0 .7n , 0 < n < 80, autre s vale urs de n

c .

x c ( n ) =0 .5−0 .7n , 0 < n < 4

−0 .50 .7n , 4 ≤ n < 8

Solution

a . xa(n) = 0 .5e–0 .7n[u(n) – u(n – 9)] = 0 .5e–0 .7nrec0,8(n)

b . xb(n) = 0 .5e–0 .7n[u(n – 1) – u(n – 8)] = 0 .5e–0 .7nrec1,7(n)

c . xc(n) = 0 .5e–0 .7n [u(n – 1) – u(n – 4)] – 0 .5e0 .7n[u(n – 4) – u(n – 8)]

1.4 Signaux discrets périodiques

Il est possible de classer les signaux discrets en deux catégories : les signaux périodiques et les signaux non périodiques . Un signal discret périodique x(n) remplit la condition suivante :

x(n + NP ) = x(n) (1 .4 .1)

pour une ou plusieurs des valeurs entières de Np qui est la période de x(n) . Cette conditionpeutêtreappliquéepourvérifierlapériodicitéd’unsignaldonné.

Exemple E1.4.1

Obtenir la condition pour laquelle le signal suivant est périodique .

x(n) = A cos (w0n + f), w0 = 2pF0, A est une constante .

autres valeurs de n

autres valeurs de n

Signaux et systèmes discrets 9

Solution

Ce signal n’est périodique que pour certaines valeurs de w0 . En effet, x(n) n’est périodique qu’à la condition suivante :

A cos (ω 0 (n + NP ) + φ) = A cos (ω 0n + φ)

Cette condition peut être réécrite comme suit :

w0NP = 2pk ou NP = 2pk/w0 = 2pk/2pF0 = k/F0 ou F0 = k/NP

k = 0, ± 1, ± 2, …

k et NP sont des entiers positifs ou négatifs . Il s’ensuit que x(n) n’est pério-dique que si la valeur de F0 peut être exprimée sous la forme du rapport de deux entiers .

Exemple E1.4.2

À l’aide du logiciel MATLAB®,tracerungraphepour0≤n≤64dusignalsuivant :

y(n ) = 2sin 2πn /16( ) + 3sin 2πn / 32( )Utiliser ce graphe, pour déterminer si le signal est périodique . Advenant le cas où il le serait, utiliser ce même graphe pour obtenir la période du signal exprimée en nombre de points .

Solution

Le programme requis est donné dans l’encadré apparaissant ci-dessous .

% Programme E1.4.2clear ;K = 0 :64 ;Y = 2*sin(2*pi*K/16)+3*cos(2*pi*K/32) ;plot(K,Y) ; ylabel(‘Y’) ;pause ; close all ;

IlgénèrelegraphereprésentéàlafigureE1.4.2.

10 Traitement numérique des signaux

–

Figure E1.4.2

L’examen de ce graphe nous montre que le signal est périodique . Sa période N peut être évaluée en ayant recours à ce même graphe . La valeur de cette période est N = 32 points . En effet :

x(n + 32) = 2sin(2pn/16 + 4p) + 3sin(2pn/32 + 2p) = x(n)

Exemple E1.4.3

Déterminer si le signal suivant est périodique ou non .

x(n) = A sin (p2n), A est une constante .

Solution

Pour que x(n) soit périodique, il faut que :

A sin [p2(n + NP)] = A sin (p2n)

Cette condition peut être réécrite comme suit :

p2NP = 2pk ou p2 = 2k/NP

où k et NP sont des entiers positifs ou négatifs .

Le nombre pne pouvant se traduire exactement par le rapport de deux entiers, le signal n’est pas, strictement parlant, périodique . Toutefois, étant donné que dans tout calcul pratique la représentation de la valeur du nombre p ne peut être qu’approximative, la représentation sur graphe du signal semblera être périodique .

Signaux et systèmes discrets 11

1.5 Systèmes discrets

Considéronslesystèmediscretreprésentéparlafigure1.5.1.

O{•}

Figure 1.5.1 Représentation schématique d’un système discret

Le signal d’entrée de ce système est x(n) et son signal de sortie est y(n) . La relation entre ces deux signaux est donnée par :

y(n) = O{x(n)} (1 .5 .1)

oùO{•}estlesymboledel’opérateurdécrivantlarelationentrelesignald’en-trée et le signal de sortie du système .

1.6 Linéarité

Un système linéaire doit obligatoirement satisfaire la relation donnée par l’équa-tion 1 .6 .1, et ce, quels que soient les signaux d’entrée xa(n) et xb(n) et quelles que soient les valeurs des constantes arbitraires a et b .

O{a xa(n) + b xb(n)} = a O{xa(n)} + b O{xb(n)} (1 .6 .1)

Le principe de superposition s’applique aux systèmes linéaires . En effet, l’équa-tion 1 .6 .1 implique que le signal de sortie découlant de l’application simul-tanée à l’entrée du système, de plusieurs signaux pondérés par des constantes arbitraires, est en fait la somme pondérée par ces mêmes constantes, des signaux de sortie qui auraient été obtenus par l’application séparée de chacun de ces signaux, à l’entrée de ce même système . En d’autres mots, une somme pondérée d’excitations est traitée par un système linéaire comme si chaque excitation pondérée était traitée séparément et qu’ensuite toutes les réponses correspondantes étaient additionnées . Les exemples suivants nous permettront d’illustrer le concept de linéarité .

Exemple E1.6.1

Déterminer si le système caractérisé par l’équation aux différences suivante est linéaire ou non .

y(n) = 12x(n) + 4

12 Traitement numérique des signaux

Solution

Pour un signal d’entrée xa(n), le signal de sortie du système est :

O{xa(n)} = 12xa(n) + 4

Pour un signal d’entrée xb(n), le signal de sortie du système est :

O{xb(n)} = 12xb(n) + 4

Dans le cas où le signal d’entrée de ce même système est la somme pondérée par les constantes arbitraires a et b des deux signaux d’entrée xa(n) et xb(n), soit axa(n) + bxb(n), le signal de sortie correspondant est :

O{axa(n) + bxb(n)} = 12 [axa(n) + bxb(n)] + 4 = 12axa(n) + 12bxb(n) + 4

Onpeutvérifierque:

O a x a ( n ) + b x b ( n ){ } ≠ a O x a ( n ){ } + b O x b ( n ){ }

puisque :

12a xa(n) + 12b xb(n)+4≠a[12xa(n) + 4] + b [12xb(n) + 4]

Le système n’est donc pas linéaire .

Exemple E1.6.2

Déterminer si le système caractérisé par l’équation aux différences suivante est linéaire ou non .

y(n) = 12x(n – 6)

Solution

Pour un signal d’entrée xa(n), le signal de sortie du système est :

O{xa(n)} = 12 xa(n – 6)

Pour un signal d’entrée xb(n), le signal de sortie du système est :

O{xb(n)} = 12 xb(n – 6)

Signaux et systèmes discrets 13

Dans le cas où le signal d’entrée de ce même système est la somme pondérée par les constantes arbitraires a et b des deux signaux d’entrée mentionnés précédemment, soit axa(n) + bxb(n), le signal de sortie correspondant est :

O{axa(n) + bxb(n)} = 12 [axa(n – 6) + bxb(n – 6)]

Onpeutvérifierque:

O a xa(n ) + b xb(n ){ } = a O xa(n ){ } + bO xb(n ){ }puisque :

12 [axa(n – 6) + bxb(n – 6)] = 12axa(n – 6) + 12bxb(n – 6)

Par conséquent, le système est linéaire .

Exemple E1.6.3

Déterminer si le système caractérisé par l’équation aux différences suivante est linéaire ou non .

y(n) = 12nx(n)

Solution

Pour un signal d’entrée xa(n), le signal de sortie du système est :

ya(n) = O{xa(n)} = 12n xa(n)

Pour un signal d’entrée xb(n), le signal de sortie du système est :

yb(n) = O{xb(n)} = 12n xb(n)

Pour un signal d’entrée axa(n) + bxb(n), le signal de sortie du système est :

O{axa(n) + bxb(n)} = 12n[axa(n) + bxb(n)]

Onpeutvérifierque:

O a xa(n ) + b xb(n ){ } = a O xa(n ){ } + bO xb(n ){ }puisque :

12n[axa(n) + bxb(n)] = a[12n xa(n)] + b[12n xb(n)]

Le système est donc linéaire .

14 Traitement numérique des signaux

1.7 Invariance

Un système invariant dans le temps est un système dont les propriétés demeurent inchangées dans le temps . Aussi, un signal d’entrée donné produit toujours la même réponse de la part d’un système invariant dans le temps, et ce, quel que soit l’instant où il est appliqué à ce dernier . Il s’ensuit que pour un système invariant dans le temps, un décalage temporel T0 du signal d’entrée ne fait que décaler dans le temps par T0 le signal de sortie correspondant .

Un système discret caractérisé par l’équation 1 .5 .1 est donc invariant dans le temps si et seulement si la relation donnée par l’équation (1 .7 .1) est toujours véri-fiée,quellequesoitlavaleurdel’entierarbitrairen0 . La condition d’invariance temporelle peut être exprimée sous la forme suivante :

O{x(n – n0)} = y(n – n0) (1 .7 .1)

La réponse à un signal donné, d’un système qui n’est pas invariant dans le temps, peut changer selon l’instant auquel ce signal est appliqué à l’entrée du système . En d’autres termes, dans ce cas, la variation dans le temps des caractéristiques du système fait que ce dernier donne des réponses différentes au même signal d’entrée, selon l’instant d’application du signal au système .

Les exemples donnés ci-dessous illustrent le concept de l’invariance temporelle .

Exemple E1.7.1

Déterminer si le système caractérisé par l’équation aux différences suivante est invariant dans le temps ou non .

y(n) = 12nx(n)

Solution

Selon la relation qui caractérise le système, on peut écrire, en remplaçant n par (n – n0) :

y(n – n0) = 12(n – n0)x(n – n0)

Dans le cas où le signal d’entrée est décalé dans le temps, il devient égal à x(n – n0) et le signal de sortie correspondant devient alors :

O{x(n – n0)} = 12nx(n – n0)

Nous notons que :

O{x(n – n0)]≠y(n–n0)

Signaux et systèmes discrets 15

puisque :

12nx(n – n0)≠12(n–n0)x(n – n0)

Le système n’est donc pas invariant dans le temps .

Exemple E1.7.2

Déterminer si le système caractérisé par la relation suivante est invariant dans le temps ou non .

y(n) = 12x2(n) + 6

Solution

Selon l’équation qui caractérise le système, on peut écrire, en remplaçant n par (n – n0) :

y(n – n0) = 12x2(n – n0) + 6

Dans le cas où le signal d’entrée x(n) du système est décalé dans le temps, il devient égal à x(n – n0) et le signal de sortie correspondant devient alors :

O{x(n – n0)} = 12x2(n – n0) + 6

Nous notons que :

O{x(n – n0)] = y(n – n0)

Ce système est donc invariant dans le temps .

1.8 Systèmes linéaires et invariants dans le temps

Les systèmes linéaires et invariants dans le temps (SLIT) ont des caractéris-tiques qui en facilitent grandement l’analyse et la conception, ce qui les rend trèsattrayants.Unsystèmelinéaireetinvariantdansletempsvérifie:

a . La condition de linéarité décrite à la section 1 .6 .

b . La condition d’invariance temporelle décrite à la section 1 .7 .

Les exemples donnés ci-après illustrent ce concept .

16 Traitement numérique des signaux

Exemple E1.8.1

Déterminer si le système caractérisé par la relation suivante entre son signal d’entrée x(n) et son signal de sortie y(n) est un SLIT ou non .

y(n) = 12nx(n)

Solution

L’exemple E1 .6 .3 a établi que le système décrit par l’équation donnée ci-dessus est linéaire . L’exemple E1 .7 .1 a établi que ce même système n’est pas invariant dansletemps.Ilestdoncpossibled’affirmerquelesystèmeenquestionn’estpas un SLIT .

Exemple E1.8.2

Déterminersilesystèmedéfiniparlarelationsuivanteentresonsignald’entréex(n) et son signal de sortie y(n) est un SLIT ou non .

y(n) = 12C6x(n), C est une constante .

Solution

Les signaux de sortie correspondant respectivement aux signaux d’entrée xa(n) et xb(n) sont ya(n) et yb(n) où :

ya(n) = O{xa(n)} = 12C6xa(n)

yb(n) = O{xb(n)} = 12C6xb(n)

Dans le cas où le signal d’entrée de ce même système est la somme pondérée par les constantes arbitraires a et b des deux signaux d’entrée xa(n) et xb(n), c’est-à-dire axa(n) + bxb(n), le signal de sortie correspondant est :

O{axa(n) + bxb(n)} = 12C6axa(n) + 6bxb(n)

où :

12C6axa(n) + 6bxb(n)≠12aC6xa(n) + 12bC6xb(n)

Ce système n’est donc pas linéaire .

Signaux et systèmes discrets 17

En pratique, il n’est pas nécessaire de poursuivre l’analyse puisque le système n’étant pas linéaire, il ne peut être un SLIT . Toutefois, nous établirons ici, à titre d’exercice seulement, si le système en question est invariant dans le temps ou non .

Selon la relation qui caractérise le système, on peut écrire en remplaçant n par (n – n0) :

y(n – n0) = 12C6x(n – n0)

Dans le cas où le signal d’entrée du système est x(n – n0), le signal de sortie est :

O{x(n – n0)} = 12C6x(n – n0)

Nous notons que :

O{x(n – n0)} = y(n – n0)

Le système est donc invariant dans le temps .

Le système étudié a deux caractéristiques : il est non linéaire et invariant dans le temps . Ce système n’est donc pas un SLIT .

1.9 Causalité

Un système causal est un système dont le signal de sortie ne dépend que des valeurs antérieures (passées) et possiblement de la valeur présente du signal d’entrée . Il ne dépend pas des valeurs postérieures (futures ou à venir) de celui-ci .

Un système anticausal est un système dont le signal de sortie ne dépend que des valeurs postérieures (futures ou à venir) et possiblement de la valeur présente du signal d’entrée . Il ne dépend pas des valeurs antérieures (passées) de celui-ci .

Un système non causal est un système dont le signal de sortie dépend des valeurs antérieures (passées) ainsi que des valeurs postérieures (futures ou à venir) et possiblement de la valeur présente du signal d’entrée .

La prévision du futur ne nous étant pas possible, seuls les systèmes causaux peuvent être réalisés en temps réel . Les systèmes anticausaux ainsi que les systèmes non causaux ne peuvent être réalisés qu’en temps différé .