Sveučilište u Rijeci - fmtu.lumens5plus.com · 9 Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti...

Sveučilište u Rijeci

Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu

PREGLED FORMULA iz

STATISTIKE

Prof. dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ

2

P R E G L E D F O R M U L A

GRAFIČKO PRIKAZIVANJE

Strukturni krug

x0 = 0360

cjelina

dio

x0

dio

cjelina

– isječak (sektor kruga)

– parcijalna frekvencija pojave

– ukupna frekvencija

Pr

r

P

π

– polumjer kruga

– ukupna frekvencija koja se prikazuje

grafički

– Ludolfov broj (3,14)

Strukturni polukrug

00 180cjelina

diox

x0

dio

cjelina

– isječak (sektor kruga)

– parcijalna frekvencija pojave

– ukupna frekvencija

Pr

2

r

P

π

– polumjer kruga

– ukupna frekvencija koja se prikazuje

grafički

– Ludolfov broj (3,14)

RELATIVNI BROJEVI

Postoci

100cjelina

dioP

P

dio

cjelina

- postotak, relativna frekvencija

- parcijalna frekvencija pojve

- ukupna frekvencija

Relativni brojevi koordinacije (RBK)

2

1

f

fRBK

1

2

f

fRBK

f1

f2

- frekvencija jedne statističke pojave (mase)

- frekvencija druge statističke pojave

(mase)

3

Indeksi

1002

1 f

fI

I

f1

f2

- indeks

- jedna frekvencija statističke pojave

- druga frekvencija iste statističke pojave

(baza usporedbe)

NUMERIČKI NIZ

Srednje vrijednosti

Aritmetička sredina

Negrupirani podaci

N

x

x

N

i

i 1

x

fi

N

xi

- aritmetička sredina

- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n

- ukupan broj jedinica u nizu

- vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n

Grupirani podaci

n

i

i

n

i

ii

f

fx

x

1

1

Harmonijska sredina

Negrupirani podaci

N

i ix

NH

1

1

H

fi

N

xi

- harmonijska sredina




Grupirani podaci

n

i i

i

n

i

i

x

f

f

H

1

1

4

Geometrijska sredina

Negrupirani podaci

N

i

ixN

G1

log1

log

ili

NN21 x...xxG

G

fi

N

xi

log

- geometrijska sredina




- Logaritam

Grupirani podaci

n

i

iin

i

i

xf

f

G1

1

log1

log

ili

N kfk

2f2

1f1 x...xxG

Mod

Grupirani podaci (razredi):

i

cbab

abLMo

1

Mo

L1

b

a

c

i

- mod

- donja granica modalnog razreda

- najveća frekvencija u nizu (najveća

korigirana frekvencija kod nejednakih

razreda)

- frekvencija iznad b

- frekvencija ispod b

- veličina modalnog razreda

i

ff i

c

fc

fi

i

- korigirana frekvencija


- veličina razreda čija se frekvencija

korigira

Medijan

Negrupirani podaci

2

1

Nr

2

1

Nr

112 rr

2

21 rr xxMe

r

r1, r2

N

Me

xr1, xr2

L1

∑ f1

fmed

i

- redni broj podatka, koji predočuje

medijan u uređenom nizu s neparnim

brojem članova (jedinica)

- redni brojevi podataka u uređenom nizu s

parnim brojem članova (jedinica)

- ukupan broj članova (jedinica) u nizu

- medijan

- podatak s rednim brojem r1 tj. r2

- donja granica medijalnog razreda

- zbroj frekvencija do medijalnog razreda

- frekvencija medijalnog razreda

- veličina medijalnog razreda

5

Grupirani podaci (razredi)

if

fN

LMemed

1

12

Mjere disperzije

Raspon varijacije

minmax xxR

R

xmax

xmin

- raspon varijacije

- najveća vrijednost numeričkog obilježja

- najmanja vrijednost numeričkog obilježja

Kvartili

Donji kvartil

Negrupirani podaci

4

1

Nr

112 rr

2

211

rr xxQ

r1, r2

N

Q1

xr1, xr2

L1

∑ f1

fQ1

i

- redni brojevi podataka u uređenom nizu

kojima se određuje donji kvartil


- donji kvartil


- donja granica kvartilnog razreda

- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda

- frekvencija kvartilnog razreda

- veličina kvartilnog razreda


if

fN

LQQ

1

1

114

Gornji kvartil

Negrupirani podaci

4

31

Nr

112 rr

2

213

rr xxQ

r1, r2

N

Q3

xr1, xr2

L1

∑ f1

fQ3

i

- redni brojevi podataka u uređenom nizu

kojima se određuje gornji kvartil


- gornji kvartil


- donja granica kvartilnog razreda

- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda

- frekvencija kvartilnog razreda

- veličina kvartilnog razreda

6


if

fN

LQQ

3

1

134

3

Interkvartil

13 QQIQ

IQ

Q1

Q3

- interkvartil

- donji kvartil

- gornji kvartil

Koeficijent kvartilne devijacije

13

13

QQ

QQVQ

VQ

Q1

Q3

- koeficijent kvartilne devijacije

- donji kvartil

- gornji kvartil

Standardna devijacija

2 σ

μ2

- standardna devijacija

- varijanca ili drugi moment oko sredine

Koeficijent varijacije

100x

V

V

σ

x

- koeficijent varijacije



7

Momenti

Momenti oko nule

Negrupirani podaci

N

x

m

N

i

k

i

k

1 ,

N

x

m

N

i

i 1

1 , N

x

m

N

i

i 1

2

2 ,

N

x

m

N

i

i 1

3

3 , N

x

m

N

i

i 1

4

4

mk

xi

N

fi

- k-ti moment oko nule, k=0,1,...




n

i

i

n

i

ii

f

xf

m

1

1

3

3 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xf

m

1

1

4

4

Grupirani podaci

n

i

i

n

i

k

ii

k

f

xf

m

1

1 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xf

m

1

11 ,

n

i

i

n

i

k

ii

f

xf

m

1

1

2

2 ,

Momenti oko sredine

Negrupirani podaci

N

xx

kN

i

i

k

1 ,

N

xxN

i

i

2

1

2

,

N

xxN

i

i

3

1

3

,

N

xxN

i

i

4

1

4

μk

mk

xi

N

x

fi

- k-ti moment oko sredine, k=0,1,...

- k-ti moment oko nule, k=0,1,...





8

Grupirani podaci

n

i

i

kn

i

ii

k

f

xxf

1

1 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

2

1

2 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

3

1

3 ,

n

i

i

n

i

ii

f

xxf

1

4

14

10 , 01

Pomoću momenata oko nule 2

122 mm 3

12133 23 mmmm 4

12

2

13144 364 mmmmmm

9

Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti

Koeficijent asimetrije

3

33

α3

μ3

σ

- koeficijent asimetrije

- treći moment oko sredine


Pearsonove mjere asimetrije

MoxSk

1

)(32

MexSk

Sk

x

Mo

Me

σ

- Pearsonova mjera asimetrije


- mod

- medijan


Bowleyjeva mjera asimetrije

13

31 2

QQ

MeQQSkQ

SkQ

Q1

Q3

Me

- Bowleyjeva mjera asimetrije

- donji kvartil

- gornji kvartil

- medijan

Koeficijent zaobljenosti

4

44

α4

μ4

σ

- koeficijent zaobljenosti

- četvrti moment oko sredine


10

KOMBINATORIKA

Permutacije

Bez ponavljanja

!nP

P

P

- permutacije bez ponavljanja

- permutacije s ponavljanjem

S ponavljanjem

!!...!

!

21 krrr

nP

n

r - broj elemenata

- razred

Varijacije

Bez ponavljanja

)!(

!

rn

nV

V

V

n

r

- varijacije bez ponavljanja

- varijacije s ponavljanjem

- broj elemenata

- razred S ponavljanjem

rnV

Kombinacije

Bez ponavljanja

)!(!

!

rnr

n

r

nK

K

K n

r

- kombinacije bez ponavljanja

- kombinacije s ponavljanjem

- broj elemenata

- razred S ponavljanjem

r

rnK

1

11

VJEROJATNOST

Matematička vjerojatnost ili vjerojatnost a priori

n

mAP )(

P(A)

m

n

- vjerojatnost događaja A

- broj povoljnih mogućnosti

- broj svih mogućnosti

Statistička vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori

n

AfAP

)()(

P(A)

f(A)

n


- frekvencija događaja A

- broj izvršenih pokusa

Suprotna vjerojatnost

)(1)( APAQ

Q(A)

- suprotna vjerojatnost

1)()( AQAP

P(A) - vjerojatnost događaja A

Zbrajanje vjerojatnosti – vjerojatnost „ili-ili“ u ekskluzivnom smislu

)()()( BPAPBAP

P(A)

P(B)


- vjerojatnost događaja B

Množenje vjerojatnosti – vjerojatnost „i-i“

)()()( BPAPBAP

P(A)

P(B)



Vjerojatnost barem jedan – vjerojatnost „ili“ u inkluzivnom smislu

)()(1 BQAQP

)()()()()( BPAPBPAPBAP

P(A)

P(B)

Q(A)

Q(B)



- suprotna vjerojatnost događaja A

- suprotna vjerojatnost događaja B

12

Vjerojatnost samo jedan

)()()()( BPAQBQAPP

P(A)

P(B)

Q(A)

Q(B)



- suprotna vjerojatnost događaja A

- suprotna vjerojatnost događaja B

Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju

npP 1 npQ )1(

npP )1(12

P1

Q

P2

p

n

- vjerojatnost da događaj nastupi n-puta

- vjerojatnost da događaj n-puta ne nastupi

- vjerojatnost da događaj u n pokusa nastupi

barem jedanput

- vjerojatnost da će se dogoditi neki događaj

- broj ponavljanja (pokusa)

Uvjetna vjerojatnost

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

BAPABP

P(A/B)

P(B/A)

P(A)

P(B)

- vjerojatnost događaja A uz uvjet događaja

B

- vjerojatnost događaja B uz uvjet događaja

A



Totalna vjerojatnost

)/()(...)/()()/()()( 2211 ii BAPBPBAPBPBAPBPAP

P(A)

P(Bi)

- vjerojatnost događaja

A

- vjerojatnost događaja

Bi, i=1, 2,..

Bayesova formula

)/()(

)/()()/(

ii

iii

BAPBP

BAPBPABP

P(A)

P(Bi)


- vjerojatnost događaja Bi, i=1, 2,..

13

TEORIJSKE DISTRIBUCIJE

Binomna distribucija

pnXxE )(

qpnxV )(

pn

qV

100

qpnσ

qpn

pq

3

qpn

qp

6134

ppnMoqpn

xnx qpx

n)x(P

E(x)

x

n

p

q

V(x)

V

σ

α3

α4

Mo

P(x)

- matematičko očekivanje

- broj nastupanja događaja A u n pokusa

- broj elemenata u uzorku ili broj pokusa

- vjerojatnost ostvarenja događaja A

- vjerojatnost nenastupanja događaja A

- varijanca





- mod

- vjerojatnost da slučajna varijabla ima

vrijednost x

Poissonova distribucija

XxE )(

)(xV

100V

13

134

Mo1

ex

xPx

!)(

eP )0(

E(x)

λ

V(x)

V

σ

α3

α4

Mo

P(x)

e

- matematičko očekivanje

- lamda

- varijanca





- mod

- vjerojatnost da slučajna varijabla ima

vrijednost x

- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

14

Normalna ili Gaussova distribucija

2

2

2

)(

2

1)(

xx

exf

2

2

2

1)(

z

ezf

;

xxz

03

34

f(x)

x

x

σ

e

π

α3

α4

- funkcija vjerojatnosti tj. gustoća razdiobe

- tekuća vrijednost slučajne varijable

- aritmetička sredina osnovnog skupa


- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...

- Ludolfov broj (3,14)



METODA UZORAKA

Frakcija izbora

N

nf

f

n

N

- frakcija izbora

- uzorak

- populacija, osnovni skup

Metode procjene

Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa

Interval:

xx

stxXstx

X

x

t

xs


- aritmetička sredina uzorka

- koeficijent pouzdanosti

- standardna greška procjene aritmetičke

sredine

f<0,05

n>30 n

ss

x

n<30 1

n

ss

x

f>0,05

n>30 1

N

nN

n

ss

x

n<30 11

N

nN

n

ss

x

n>50 s

n<50 1

n

ns

s

σ

- procijenjena standardna devijacija

osnovnog skupa


15

Procjena totala osnovnog skupa

Interval:

''''

xxstxXstx

∑X

∑x'

t

'xs

- total osnovnog skupa

- procijenjeni total


- standardna greška procjene totala

xNx'

xxsNs

'

xs


sredine

Procjena proporcije osnovnog skupa

Interval:

pp stpPstp

P

p

t

ps

- proporcija osnovnog skupa

- proporcija uzorka


- standardna greška procjene proporcije

f<0,05

1

n

qps p

f>0,05

11

N

nN

n

qps p

pq 1

16

Testiranje hipoteze (z-test)

Testiranje hipoteze o nepoznatoj sredini osnovnog skupa

00 : XXH

01 : XXH

H0

H1

X

0X

- nul-hipoteza

- alternativna hipoteza


- pretpostavljena aritmetička sredina

osnovnog skupa

xs

xXz

0

z

x

xs

- z-vrijednost

- aritmetička sredina uzorka


sredine osnovnog skupa

Testiranje hipoteze o nepoznatoj proporciji osnovnog skupa

00 : PPH

01 : PPH

H0

H1

P

P0

- nul-hipoteza


- proporcija osnovnog skupa

- pretpostavljena proporcija osnovnog

skupa

ps

pPz

0

z

p

ps

- z-vrijednost

- proporcija uzorka

- standardna greška procjene proporcije

onovnog skupa

Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina dvaju osnovnih skupova

210 : XXH

211 : XXH

H0

H1

1X

2X

- nul-hipoteza


- aritmetička sredina prvog osnovnog skupa

- aritmetička sredina drugog osnovnog

skupa

21

21

xxs

xxz

z

1x

2x

21 xxs

- z-vrijednost

- aritmetička sredina uzorka iz prvog

osnovnog skupa

- aritmetička sredina uzorka iz drugog

osnovnog skupa

- standardna greška razlike aritmetičkih

sredina

17

n>30

2

2

2

1

2

1

21 n

s

n

ss

xx

n<30

21

21

11

nnss

xx

221

2

22

2

11

nn

snsns

Testiranje hipoteza o jednakosti proporcija dvaju osnovnih skupova

210 : PPH

211 : PPH

H0

H1

1P

2P

- nul-hipoteza


- proporcija prvog osnovnog skupa

- proporcija drugog osnovnog skupa

21

21

pps

ppz

z

1p

2p

21 pps

- z-vrijednost

- proporcija uzorka iz prvog osnovnog

skupa

- proporcija uzorka iz drugog osnovnog

skupa

- standardna greška razlike proporcija

21

1121 nn

QPs pp

21

21

nn

mmP

PQ 1

P

Q

m1

m2

- prosječna proporcija

- prosječna suprotna proporcija

- broj jedinica iz prvog uzorka s nekim

odabranim svojstvom

- broj jedinica iz drugog uzorka s nekim

odabranim svojstvom

18

HI – KVADRAT TEST

)()(: 00 xFxFH

)()(: 01 xFxFH

H0

H1

F(x)

F0(x)

- nul-hipoteza


- zadana empirijska razdioba

- pretpostavljena teorijska razdioba

n

i i

ii

f

ff

1'

2'

2 )(

2

fi

fi'

- hi-kvadrat test

- empirijske frekvencije, i=1,...,n

- teorijske frekvencije, i=1,...,n

)(' xPNf i

)(' zYiN

f i

N

P(x)

i

σ

Y(z)

- ukupan broj jedinica

- vjerojatnost odabrane teorijske distribucije

- veličina razreda (interval između dviju

vrijednosti numeričkog obilježja


- ordinate gustoće jedinične normalne

distribucije

1 nk - uniformna distribucija

2 nk - binomna i Poissonova

3 nk - normalna distribucija

k

n

- stupnjevi slobode

- broj teorijskih frekvencija

19

KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA

Linearna korelacija

Jednadžbe pravaca regresije

Jednadžba prvog pravca regresije

xbaYc

XXX

YXXYb

2

XbYa

Yc

a, b

Xi

Yi

- vrijednost prvog pravca regresije

- parametri prvog pravca regresije

- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n

- frekvencije druge pojave, i=1,...,n

N

XX

i ,

N

YY

i

X

Y

N

- aritmetička sredina (prosječna vrijednost)

prve pojave

- aritmetička sredina (prosječna vrijednost)

druge pojave

- broj frekvencija u pojavi X ili Y

Jednadžba drugog pravca regresije

ybaXc ''

YYY

XYXYb

2

'

YbXa ''

Xc

a', b

'

- vrijednost drugog pravca regresije

- parametri drugog pravca regresije

Pearsonov koeficijent korelacije

22 )()(

)()(

YYXX

YYXXr

ii

ii r

Xi

Yi

- koeficijent korelacije

- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n

- frekvencije druge pojave, i=1,...,n

'bbr

b

b'

- parametar u prvoom pravcu regresije

- parametar u drugom pravcu regresije

20

Analiza varijance

Jednadžba analize varijance

N

YY

N

YY

N

YY cici

222 )()()(

222

npp

N

YYi

2

2)(

N

YYXYbYap

2

N

XYbYaYnp

2

2

σ2

σp2

σnp2

- ukupna varijanca

- protumačena varijanca

- neprotumačena varijanca

Korelacija ranga

Spearmanov koeficijent korelacije ranga

nn

d

r

n

i

i

s

3

1

26

1

rs

di

n

- koeficijent korelacije ranga

- razlika rangova

- broj frekvencija u pojavi X ili Y

yxi rrd

rx

ry

- rang od pojve X

- rang od pojave Y

21

VREMENSKI NIZ

Individualni indeksi

Verižni indeksi

1001

t

tt

Y

YV

Vt

Yt

Yt-1

- verižni indeks

- vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem

razdoblju, t=2,3,...,n

- vrijednost pojave (frekvencija) u

prethodnom razdoblju

Bazni indeksi

100b

tt

Y

YI

It

Yt

Yb

- bazni indeks

- vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem

razdoblju, t=1,2,...,n

- vrijednost pojave (frekvencija) u baznom

razdoblju

Linearni trend

Ishodište na početku razdoblja

xbaYc

XXX

YXXYb

2

XbYa

Yc

a,b

- vrijednost trenda

- parametri trenda

N

XX

i ,

N

YY

i

N

- broj vremenskih jedinica

Ishodište u sredini razdoblja

xbaYc

2X

XYb

N

Ya

Yc

a,b

- vrijednost trenda

- parametri trenda

Sveučilište u Rijeci - fmtu.lumens5plus.com · 9 Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti...

Documents

Transcript of Sveučilište u Rijeci - fmtu.lumens5plus.com · 9 Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti...