Suryadi Siregar Aljabar Linier
-
Upload
duongthuan -
Category
Documents
-
view
300 -
download
12
Transcript of Suryadi Siregar Aljabar Linier
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-1
Bab 1 Ruang Vektor ______________________________________________________________________
I. 1 Ruang Vektor Rn
1. Ruang berdimensi satu R1 = R = kumpulan bilangan real
Menyatakan suatu garis bilangan;
-3 -2 -1 0 1 2
2. Ruang berdimensi dua R2 = bidang datar ;
Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan terurut dua bilangan real dalam sumbu x
dan sumbu y;
Gambar 1. 1 Vektor pada suatu bidang mempunyai komponen x dan y
Bila ditulis sebagai
A= (a1,a2) vektor menyatakan sebuah titik
Dapat juga ditulis sebagai
1 2 1 2A a i a j a a
dimana ,i j adalah vektor satuan sepanjang sumbu x dan sumbu
y
vektor A
dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor 1a
dan 2a
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-2
Dalam hal ini (1,0)i
dan (0,1)j
adalah vektor satuan, yaitu vektor yang panjangnya
satu, masing2 sepanjang sumbu x , sumbu y dan saling tegak lurus
I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik
Panjang vektor (norm) A
dapat dihitung dari dalil Phytagoras;
2 2 2 2 2
1 2 1 2A a a A a a
Untuk vektor di R3 = dalam ruang. Prinsipnya sama;
Bila ditulis sebagai ;
A= (a1,a2,a3) vektor menyatakan sebuah titik
Jika ditulis
1 2 3 1 2 3A a i a j a k a a a
dikatakan vektor A
merupakan kombinasi linier dari
vektor 1a
,2a
dan3a
Dalam hal ini (1,0,0)i
, (0,1,0)j
dan (0,0,1)k
adalah vektor satuan yakni vektor
yang panjangnya satu dan saling tegak lurus satu sama lain.
Vektor dengan sifat seperti ini disebut vektor ortonormal (panjang/norm satu dan saling
tegak lurus)
Panjang vektor (norm) A
dapat dihitung dari dalil Phytagoras;
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3A a a a A a a a
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-3
Gambar 1 Vektor dalam ruang mempunyai komponen x,y dan z
I. 3 Operasi pada vektor
Sifat vektor dapat dipindah asal norm dan arahnya tetap, jadi jika ada dua vektor A
dan
B
dan C
= A
+ B
Diagram berikut menyatakan penjumlahan kedua vektor ini C
= A
+ B
adalah sama;
Gambar 1. 2 Penjumlahan vektor
I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor;
Jika A
dan B
dua vektor di Rn maka C
= A
+ B
juga merupakan vektor yang ada di Rn,
artinya
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-4
Jika A
=(a1,a2,..,an) dan B
=(b1,b2,..,bn) maka
C
= A
+ B
= (a1+b1,a2+ b2,..,an+ bn)
Contoh
Misalkan A
=(1,2,-2) dan B
= (3,4,-5) maka;
1) C
= A
+ B
= (4,6,-7)
) C
= A
- B
= A
+ (- B
)=(1,2,-2)+ (-3,-4,5)= (-2,-2,3)
3) C 3A 3 1 2 2 3 6 6, , , ,
I. 5 Jarak antara dua titik
Jika A
=(a1,a2) dan B
=(b1,b2) maka jarak A ke B sama saja dengan menghitung panjang
(norm) vektor AB
Gambar 1. 3 Jarak antara dua titik A dan B identik dengan panjang vektor AB B A
Dari gambar kita lihat; B
= A
+ AB
atau 1 2 1 2 1 1 2 2AB B A b b a a b a b a , , ,
Jadi panjang vektor;
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-5
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )AB b a b a a b a b BA
I. 6 Perkalian Vektor
1) Perkalian titik (inner product/dot product)
Definisi andaikan A
dan B
vektor di R2 atau di R
3 maka didefinisikan;
A
B
= .A B Cos
sudut yang dibentuk diantara vektor A
dan B
(perhatikan gambar 3)
Gambar 1. 4 Segitiga sembarang
Rumus cosinus 2 2 2 2a b c bcCos 2 2 2 2b a c acCos 2 2 2 2c a b abCos
Rumus sinus
2 2 2
2 .AB A B A B Cos
atau dapat juga ditulis;
2 2 2
2 .B A A B A B Cos
atau
2 2 21
.2
A B A B Cos A B B A
atau dapat ditulis kembali;
a b c
Sin Sin Sin
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-6
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2A B a a b b b a b a a b a b
jadi
1 1 2 2A B a b a b
I. 7 Definisi
Untuk ruang dimensi n, Rn perinsipnya sama, jika 1 2( , ,.... )nA a a a
dan 1 2( , ,.... )nB b b b
maka 1 1 2 2 ..... n nA B a b a b a b
I. 8 Perkalian vektor (cross product) Definisi; Perkalian vektor atau perkalian silang hanya didefinisikan untuk R
3
Jika A
=(a1,a2,a3) dan B
=(b1,b2,b3) maka A
B
didefinisikan sebagai;
1 2 3
1 2 3
i j k
A B a a a
b b b
=2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
a a a a a ai j k
b b b b b b
A
× B
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )i a b a b j a b a b k a b a b
I. 9 Theorema
1) A
× B
= - ( B
× A
) skew symmetry
2) A
× ( B
+C
) = A
× B
+ A
×C
hukum distribusi
3) c( A
× B
) = (c A
)× B
c suatu skalar
4) A
( A
× B
) = 0 ortogonalitas terhadap A
5) B
( A
× B
) = 0 ortogonalitas terhadap B
6)
2 2 2 2 2
2 2( ) sinA x B A B A B A B
Identitas Lagrange
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-7
7) A
× B
= O
A
dan B
bergantungan linier, (yang satu merupakan kelipatan yang lain)
disini O
adalah vektor nol, yaitu vektor dengan panjang nol
Ilustrasi;
Gambar 1. 5 Perkalian dua vektor menentukan arah
I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt
Diberikan himpunan vector Y= a,b,c,d ingin dicari himpunan vector
ortonormal 1 2 3 4O= e ,e ,e ,e
Penyelesaian
1
1
1
1
2 2 1
2 1 2 1
Jawab I : Buat Vektor Ortonormal e
a e =
a
II : Buat Ruang Vektor W dengan e dan b
W= e ,b
e * W e *=αe +βb , α,β bil ril sembarang
Jika e * e sehingga e *.e =0 α
1 1
1 1 1 1
1 2 1 1
2 1 1
22 1 2
2
e +βb .e =0
αe .e +βb.e =0 α+βb.e =0
α=-βb.e e *= -βb.e e +βb
Ambil β=1 e *=b- b.e e
e * e = ,maka e dan e Ortonormal.
e *
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-8
1 2
3 3 1 2
3 1 1 2 1
1
1
3 2 1 2 2
III: Buat Ruang Vektor U= e ,e ,c
e * U e *=αe +βe +γc, α,β,γ sembarang
i e * e αe +βe +γc e =0
α + β(0) + c.e =0
Ambil γ=1 α=-c.e .
ii e * e αe +βe +γc e =0
0 +
2 2
3 1 1 2 2
33
3
β + γc.e =0 β c.e
e *=c- c.e e - c.e e
*
*
ee
e
IV Buat ruang vector 1 2 3V e e e d, , ,
4 4 1 2 3
4 1 1 2 3 1
1 1
4 2 1 2 3 2
2 2
4 3 1 2 3 3
e V e e e e d
e e e e e d e 0
0 0 d e 0 ambil 1 d e
e e e e e d e 0
0 0 d e 0 d e
e e e e e d e 0
0 0 d e
* *
*
*
*
3 30 d e
Dengan demikian kita peroleh
4 1 1 2 2 3 3
44
4
e d d e e d e e d e e
ee
e
*
*
*
Sehingga himpunan ortonormal O sudah dapat ditentukan
1 2 3 4O e e e e, , ,
Ilustrasi
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-9
1. Diketahui :
1,0,1 , 2,1,0 , 1,1,0A
Carilah himpunan ortonormalnya ?
Penyelesaian: Misal = a = (-1,0,1) , b=(-2,1,0), c =(-1.1.0)
a. Untuk 1e
1
2 2 2
1,0,1 11,0,1
21 0 1
ae
a
b. Untuk 2e
Buat ruang vektor 1,B e b
Maka ada
*
2
*
2 1 1
1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1
2 2
1 12,1,0 2,1,0 1,0,1 1,0,1 2,1,0 2 1,0,1 1,1, 1
2 2
e B
e b b e e
Maka:
*
22 * 2 2 2
2
1,1, 1 11,1, 1
31 1 1
ee
e
c. Untuk ,
Maka ada * *
3 3 1 1 2 2e e c c e e c e e
*
3
1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1
2 2
1 11,1,0 1,1, 1 1,1, 1
3 3
1 11,1,0 1,1,0 1,0,1 1,0,1 1,1,0 1,1, 1 1,1, 1
2 3
1 1 1 1 11,1,0 1 1,0,1 2 1,1, 1 , ,
2 3 6 3 6
e
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-10
Maka:
*
33 * 2 2 2
3
1 1 1, ,
16 3 61,2,1
61 1 1
6 3 6
ee
e
Sehingga diperoleh:
1 1 1
1,0,1 , 1,1, 1 , 1,2,1 ,2 3 6
O
I. 11 Hitung Volume Kotak Vektor A dan B membentuk alas sebuah kotak. Vektor C menyatakan rusuk tegaknya.
Hitunglah volume kotak tersebut.
Penyelesaian
Gambar 1. 6 Kotak dibentuk oleh tiga vector A, B dab C. Sudut disebut inklinasi.
Volume kotak V A B C
Volume = Luas alas kali tinggi= Luas jajaran genjang kali tinggi
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-11
1V 2Luassegi tiga tinggi 2 A B sin C cos
2
A B sin C cos A B C cos A B C
Ilustrasi
2. Hitung luas , inklimasi dan volume kotak yang dibangun oleh vektor :
1,2,3 , 2, 3,1 1,0,2A B dan C
dimana
A dan B sebagai alas dan C sebagai rusuk tegak
Penyelesaian:
2 3 1 3 1 2
1 2 3 11 5 7 11,5, 73 1 2 1 2 3
2 3 1
i j k
A B i j k i j k
Jadi volume 11,5, 7 1,0,2 11 0 14 3V A B C
Volume kotak = 3 satuan isi
cos 3 11,5, 7 1,0,2 cos
33 195 5 cos cos 95,5
31,225
o
A B C A B C
Jadi, sudut inklimasi nya adalah 95,5
I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn
_________________________________________________________
Definisi
Jika S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2
1
. . .n
i i n nS a b a b a b a b dengan ai suatu
konstanta dan ib menyatakan suatu vector. Maka S disebut merupakan kombinasi linier
dari ib
Definisi
Jika 1 1 2 2
1
. . .n
i i n nS a b a b a b a b O .
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-12
Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bebas linier jika dan hanya jika
1 2 . . . na a a o
Himpunan vector 1 2, , . . . , nb b b disebut bergantungan linier jika ada salah satu ai
dalam S yang tidak sama dengan nol
Ilustrasi
1) Periksa apakah 1,2C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector
3, 4A dan 2, 5B
Penyelesaian cari ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 21,2 3, 4 2, 5 3 2 , 4 5C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2
1 2 2 1
13 2 1 1 2
3
14 5 2 4 2
5
a a a a
a a a a
Kita peroleh 1 2
1 10,
23 23a a
Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A
dan vector B
2) Periksa apakah 1,3C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector
3,6A dan 1,2B
Penyelesaian cari ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 21,3 1,2 2,4 2 ,2 4 C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2
1 2
2 1 (2)
2 4 3
0 1
a a
a a
Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi jadi vector C bukan merupakan
kombinasi linier dari vector A dan vector B.
3) Periksa apakah 4,8C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vector
3,6A dan 1,2B
Penyelesaian: cari ia dari pernyataan :
1 2 1 2 1 2 1 24,8 3,6 1,2 3 ,6 2 C a A a B a a a a a a
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-13
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2
1 2
3 4
6 2 8
a a
a a
Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat menyatakan
Kita peroleh 2 14 3 a a
Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi. Jadi vector C merupakan
kombinasi linier dari vector A dan vector B
I. 13 Ruang Bagian (sub-space) Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector V dinamakan ruang
bagian V jika memenuhi
1) u M, v M u v M
2) R u M
I. 14 Soal Latihan
1) Hitunglah sudut antara A
dan B
serta panjang C
A
+ B
jika;
A=(1,2) dan B=(-1,4)
2) Panjang vektor A
=(1,-2) dan B
= (3,4) membentuk rusuk jajaran genjang
hitunglah luas jajaran genjang tersebut
3) Sebuah kotak dibangun oleh rusuk-rusuk yang dinyatakan oleh 3 vektor ; A
, B
dan C
. Jika A
dan B
diambil sebagai alas.
a) Buktikan bahwa isi kotak tersebut adalah
V = ( A
x B
) C
.
b) Selanjutnya apabila diketahui vektor
A
=(1,2,0) dan B
=(-2,1,0) dan C
=(1,2,3). Hitunglah volume kotak jika A
dan B
menyatakan rusuk dari alas kotak tersebut. Hitung juga kemiringan(inklinasi), , dari
kotak itu
Suryadi Siregar Aljabar Linier
FMIPA-ITB Page I-14
Daftar Isi
Bab 1 Ruang Vektor.............................................................................................................. 1 I. 1 Ruang Vektor R
n ............................................................................................................. 1
I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik .................................................................................. 2
I. 3 Operasi pada vektor ....................................................................................................... 3 I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor; ........................................................................... 3 I. 5 Jarak antara dua titik ....................................................................................................... 4 I. 6 Perkalian Vektor ............................................................................................................. 5 I. 7 Definisi .......................................................................................................................... 6
I. 8 Perkalian vektor (cross product) .................................................................................... 6 I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt ........................ 7 I. 11 Hitung Volume Kotak ............................................................................................... 10
I. 13 Ruang Bagian (sub-space) ......................................................................................... 13 I. 14 Soal Latihan ............................................................................................................... 13