Supuesto Modelo AK

7/22/2019 Supuesto Modelo AK

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Tema 15 Crecimiento ptimo: modelos

de crecimiento endgeno

15.1 El modelo AK de Rebelo (1990).15.2 El modelo de gasto pblico de Barro

(1990).15.3 El modelo de capital humano de Lucas

(1988).

Bibliografa: Sala i Martin 3, 5, 6 y 8


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Macroeconoma AvanzadaAsignatura de 5 curso de Economa

Profs. Zenn J . Ridruejo y J ulio Lpez Daz

Tema 15, pg-1

15.1 El modelo AK de Rebelo (1990)

Escenario de familias productoras

Supuestos

Familias: Determinan ptimamente consumo y ahorro.

Se dedican a la produccin de bienes.

Comportamiento

Preferencias

= 0

1

)(

11)0( dtceU ttn

[1]

Restriccin presupuestaria

tttt kncAkk )( += &

[2]

Hamiltoniano

))((1

11)(tttt

ttn kncAkc

eH ++

=

[3]

Condiciones de primer orden

tt

tn

c ceH == )(0 [4]

tttb nAH && == )( [5]

Condicin de transversalidad

0lim =

ttt

k [6]

Tasa crecimiento del consumo

[4] y [5] )(1

= Ac

c

t

t

c

&

[7]

Estado estacionario

Se obtiene el mismo resultado que en el escenario de mercado.

)(1****

==== Ayck [8]


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Tema 15, pg-2

El escenario del planificador

Mismo resultado que en los casos de familias productoras y mercados, dada laausencia de externalidades, y dado que los agentes privados disponen de toda lainformacin existente.

Dinmica de transicin y la hiptesis de convergencia

Dinmica de transicin

De [27] En estado estacionario, todas las variables per capita crecen a unatasa constante.

De [24] El consumo siempre crece a la misma tasa.

Consecuencia: El consumo siempre se encuentra en estado estacionario.

El capital y el producto tambin crecen a la misma tasa.

Consecuencia: El modelo no presenta transicin alguna hacia el estadoestacionario.

Todas las variables crecen permanentemente a una tasa constante.

Hiptesis de convergencia

A diferencia del modelo neoclsico (Solow y Swan, Ramsey Cass y Koopmans),este modelo no predice la convergencia entre economas, ni absoluta ni

condicional. La tasa de crecimiento no est relacionada negativamente con la renta.


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Tema 15, pg-3

15.2 El modelo de Barro (1990) con gasto pblico

Modelizaciones del gasto pblico product ivo

Como bien pblico (bien no rival y no excluible). Ejemplo: faro en la costa

= 1GAky jj

donde: kj es el capital privado utilizado por la empresa j

G es el bien pblico agregado

Como bien pblico sujeto a congestin (parcialmente excluible). Ejemplo: autopistas

=

1

K

GAky jj

donde: G es el bien pblico agregado

Kes el capital privado agregado

Como bien privado (bien rival y excluible). Ejemplo: servicios pblicos suministradosa las empresas individualmente

= 1jjj gAky

donde: gj es el bien pblico suministrado por el Estado a la empresa j

no es capital pblico (no es acumulable)Este es el enfoque de Barro (1990), que ser el elegido en este tema

Escenario de familias productoras

Familias: Determinan ptimamente consumo y ahorro.

Se dedican a la produccin de bienes.

Pagan impuestos.

Sector Pblico: Equilibrio presupuestario.

Recaudan impuestos, proporcionan gasto pblico productivo.

Comportamiento familias

Preferencias

=

0

1)(

1

1)0( dt

ceU t

tn

[9]


tttttt kncgAkk )()1( 1 +=

& [10]


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Tema 15, pg-4

Hamiltoniano

))()1((1

1 11

)(

ttttttttn kncgAkc

eH ++

=

[11]


tt

tn

c ceH == )(0 [12]

ttttttb ngAkH && == ))1(( 11 [13]

Condicin de transversalidad

0lim =

ttt

k [14]


))1((1

1

=

t

tt

t

tc

k

gA

c

c&[15]

Comportamiento sector pbl ico

ttt gy = [16]

Conjuntamente: tasa de crecimiento en estado estacionario

))1((1 /)1(/1

= Ac

cc

&

[17]

El tamao ptimo del estado

La ecuacin [17] relaciona la tasa de crecimiento de la economa con el tipoimpositivo:

))1((1 /)1(/1

= A

Por otro lado, de [16] se deduce que el tipo impositivo es el peso del sector pblicoen la economa:

t

tt

y

g=

Operando en [16] y [17], se obtiene que el Estado puede maximizar el crecimientode la economa adoptando un tamao igual a la participacin del gasto pblico en lafuncin de produccin:

)1(* =


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Tema 15, pg-5

La solucin del planificador

El resultado en este caso ser diferente del obtenido en el supuesto de familiasproductoras, debido a que el planificador tomar en consideracin los efectos

distorsionadores del impuesto sobre la renta. Preferencias

El planificador maximiza la funcin de utilidad del individuo:

=

0

1)(

1

1)0( dt

ceU t

tn

[18]


La cantidad de recursos producida debe ser repartida entre consumo, inversin ygasto pblico:

tttt gicy ++=

es decir:

tttttt gkncgAkk += )(1 & [19]

Tasa de crecimiento del consumo

El planificador elige el tamao del gobierno ptimo, de forma que la tasade crecimiento es:

))1((1 /)1(/1

= Ac

cc

&

[20]


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Tema 15, pg-6

16.3 El modelo de Lucas (1988) con capital humano

La consideracin de un segundo sector productivo

Consumo y ahorro: resultado de un comportamiento ptimo.

Crecimiento en estado estacionario por la acumulacin de capital humano.

Dos sectores productivos:

- Sector 1: produccin de bienes finales, que puede ser consumido otransformado en capital fsico.

KCHAKK KYY = 1&

- Sector 2: produccin de capital humano

HHBKH HHH = 1

&

Capital humano total: H = HY + HH

- Fraccin de capital humano utilizado en la produccin de bienesfinales: u

HY = u H

HH = (1-u) H

Supuestos simplificadores: > = 0; K = H = Entonces:

- Sector 1:

KCuHAKK = 1)(& [21]

- Sector 2:

HHuBH = )1(& [22]

El modelo de familias productoras

Supuestos

Familias: Propietarias de las empresas

Perciben toda la renta produccin-

Preferencias

=

0

1

)(

1

1)0( dt

ceU

tn

[23]

Acumulacin de capital fsico y humano per capita


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Tema 15, pg-7

kncuhAkk )()( 1 += & [24]

hnhuBh )()1( +=& [25]

Comportamiento familias

Maximizar [23] s. a. [24] y [25]

Hamiltoniano

( )

( )hnhuB

kncuhAkvc

e

t

t

tn

)()1(

)()(1

11

1

)(

++

++

=

[26]


vce tnc ==

)(0 [27]

) BhhuAkvu == 1)1(0 [28]

) vnuhAkvvk && =+= )()( 11 [29]

( ) ( ) &&

=++=

)()1()1(1

nuBhuAkvh [30]

Condiciones de transversalidad

0lim =

ttt

kv [31]

0lim =

ttt

h [32]


[27] )(1

nv

v

c

c

t

tc =

&&

[33]

[33] y [29] ))((1 11

= uhAkc [34]

Estado estacionario

Todas las variables crecen a un ritmo constante.


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Tema 15, pg-8

La tasa de crecimiento de u debe ser cero.

- u es una fraccin comprendida entre cero y uno.

- En estado estacionario debe ser constante u*.

Operando en [34] se obtiene que:

=++ 11

)1(*

*

hkAu

c[35]

Tomando logaritmos, derivando respecto al tiempo:**

hk = [36]

Dividiendo en [24] por k:

)()( 11 += n

k

cuhAk

k

k&

[37]

Operando se llega a:***

chk == [38]

A partir de la expresin del output final: = 1)(uhAky

****

ychk === [39]

Bastar calcular una sola tasa de crecimiento para solucionar el

modelo. A partir de [28] se obtiene:

=

*

*

*

)1(

1

uh

k

B

A

v

[40]

Con lo que:**

v = [41]

Dividiendo [30] por , sustituyendo v/por su valor en [20] se obtiene:

)(

+= nB

&

[42]

En base a [42], [41], [33], y [39] se obtiene que:

)(1****

==== Bchky [43]

A partir de [25] y [43] se obtiene el tiempo dedicado al aprendizaje


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Tema 15, pg-9

B

nu

++=

**1 [44]

donde:

0)1()()1(2

*>+=

Bn

Bu

[45]

La solucin del planificador

La solucin obtenida por el planificador es idntica a la de mercado

Dinmica de transicin

Existe, pero demasiado complicada para analizar.

Lucas (1988) la dej sin investigar.

Caball y Santos (1993): trayectoria estable hacia el punto de silla.

Mulligan y Sala-i-Martin (1993): mtodo numrico

La dinmica de transicin surge cuando:

*

*

0

0

h

k

h

k

Si:

*

*

*

0

0 >

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