Aula 10Superfcies QudricasEm captulos anteriores estudamos as cnicas, curvas dadas por uma equao de segundograu nas variveis x e y.Uma qudrica uma superfcie cuja equao cartesiana uma equao de segundo graunas variveis x, y e z., isto , uma equao da forma:Ax2+ By2+ Cz2+ Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 , (1)onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J so nmeros reais, sendo pelo menos um dos coecientes A,B, C, D, E e F no-nulo.Alm das superfcies qudricas, a equao acima tambm pode representar: o conjunto vazio, um ponto, uma reta, um plano, um par de planos paralelos, um par de planos concorrentes.Estes conjuntos so denominados qudricas degeneradas.Antes de fazermos um estudo geral das superfcies dadas pela equao (1), apresentaremosprimeiro, como no caso das cnicas, as qudricas na forma cannica. Para estud-las, analisa-remos as suas sees planas Q , onde um plano paralelo a um dos eixos coordenados.Alm disso, analisaremos as simetrias das qudricas com respeito aos planos coordenadose com respeito origem.Sabemos que um conjunto Q simtrico com respeito: ao plano XY quando:(x, y, z) Q (x, y, z) Q; ao plano XZ quando:(x, y, z) Q (x, y, z) Q; ao plano YZ quando:(x, y, z) Q (x, y, z) Q; origem quando:(x, y, z) Q (x, y, z) Q; fcil vericar que se o conjunto Q simtrico com respeito aos planosXY,XZ eYZ, ento simtrico com respeito origem.Geometria Analtica II - Aula 10 2301. ElipsideUm elipside na forma cannica uma superfcie dada por uma equao de segundo graudo tipo:Q :x2a2+y2b2+z2c2= 1 ,onde a, b e c so nmeros reais positivos. fcil vericar que o elipside Q uma superfcie simtrica com respeito aos trs planoscoordenados e com respeito origem.Observao 1A esfera x2+ y2+ z2= R2 um caso particular de elipside no qual a = b = c = R.Fig. 1: Interseo do plano {z =k} com o elipside QA interseo do elipside Q com o planoz = k, k R, paralelo ao plano XY,Q {z = k} :x2a2+y2b2= 1 k2c2z = k , uma elipse de centro (0, 0, k) se k (c, c); o ponto (0, 0, c) se k = c; o ponto (0, 0, c) se k = c; o conjunto vazio se |k| > c.Fig. 2: Interseo do plano {y=k} com o elipside QPor outro lado, a interseo do elipside Qcom os planos paralelos ao plano XZ,Q {y = k} :x2a2+z2c2= 1 k2b2y = k , uma elipse de centro (0, k, 0) se k (b, b); o ponto (0, b, 0) se k = b; o ponto (0, b, 0) se k = b; o conjunto vazio se |k| > b.Finalmente, a interseo do elipside Q com os planos paralelos ao plano YZ,Q {x = k} :y2b2+z2c2= 1 k2a2x = k ,IM-UFF K. Frensel - J. Delgado231 Geometria Analtica II - Aula 10Fig. 3: Interseo do plano {x =k} com o elipside Q uma elipse de centro (k, 0, 0)se k (a, a); o ponto (a, 0, 0) se k = a; o ponto (a, 0, 0) se k = a; o conjunto vazio se |k| > a.Para umelipside na forma cannica seruma superfcie de revoluo,pelo menosumadasfamliasdeseesplanasestu-dadasacimadeveserconstitudadecr-culos.Portanto,x2a2+y2a2+z2c2= 1 ,x2a2+y2b2+z2a2= 1 ex2a2+y2b2+z2b2= 1 ,sooselipsidesderevoluonaformacannica, cujasgeratrizeseeixoderevoluosodados, respectivamente, por:x2a2+z2c2= 1y = 0e eixoOZ; x2a2+y2b2= 1z = 0e eixoOY; x2a2+y2b2= 1z = 0e eixoOX.Fig. 4: Geratriz e paralelo de centro no ponto A(s)Considere o elipside de revoluo de eixoOZQ :x2a2+y2a2+z2c2= 1 ,cuja geratriz a elipse :x2a2+z2c2= 1y = 0 .Como :x(s) = a cos sy(s) = 0z(s) = c sens; s R, uma parametrizao de , temos que:Q :x(s, t) = a cos s cos ty(s, t) = a cos s sentz(s, t) = c sens; s, t R. uma parametrizao de Q, pois o paralelo, contido no plano z = c sens, um crculo de centroA(s) = (0, 0, c sens) e raio igual a |a cos s|.K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 232Assim,Q :x(s, t) = a cos s cos ty(s, t) = b cos s sentz(s, t) = c sens; s, t R. uma parametrizao do elipside na forma cannica:Q :x2a2+y2b2+z2c2= 1 ,poisx(s, t)2a2+y(s, t)2b2+z(s, t)2c2=(a cos s cos t)2a2+(b cos s sent)2b2+(c sens)2c2= cos2s cos2t + cos2s sen2t + sen2s= cos2s(cos2t + sen2t) + sen2s= cos2s + sen2s = 1 ,para quaisquer s, t R.Veremos agora que nenhum elipside uma superfcie regrada.De fato, sejar :x(t) = t + x0y(t) = t + y0z(t) = t + z0; t R,uma reta que passa por um ponto(x0, y0, z0) pertencente a Q e paralela ao vetor(, , ) =(0, 0, 0).Ento,(t + x0, t + y0, t + z0) Q(t + x0)2a2+(t +y0)2b2+(t + z0)2c2= 1_2a2+2b2+2c2_t2+ 2_x0a2+y0b2+z0c2_t +x20a2+y20b2+z20c2= 1__2a2+2b2+2c2_t + 2_x0a2+y0b2+z0c2__t = 0 , (2)poisx20a2+y20b2+z20c2= 1 ,uma vez que (x0, y0, z0) Q.Como2a2+2b2+2c2> 0 ,IM-UFF K. Frensel - J. Delgado233 Geometria Analtica II - Aula 10a equao (2) possui no mximo duas solues:t = 0 ou t =2_x0a2+y0b2+z0c2_2a2+2b2+2c2.Provamos, assim, que nenhuma reta que passa por um ponto do elipside est inteiramentecontida no elipside. Logo o elipside no uma superfcie regrada. 2. Hiperbolide de uma FolhaOs hiperbolides de uma folha na forma cannica de eixoOX, eixoOY e eixoOZ so assuperfcies dadas, respectivamente, pelas equaes de segundo grau abaixo:Fig. 5: Q {z =k} uma elipse de centro (0,0,k) no plano z =kx2a2+y2b2+z2c2= 1 ,x2a2y2b2+z2c2= 1 ,x2a2+y2b2z2c2= 1 ,ondea,b ec so nmeros reais positi-vos.fcil ver queoshiperbolidesdeuma folha na forma cannica so sim-tricos com respeito origem e aos trsplanos coordenados.Vamos analisar o hiperbolide de uma folha na forma cannica de eixoOZ:Q :x2a2+y2b2z2c2= 1 .A interseo de Q com o plano z = k, paralelo ao plano XY,Q {z = k} :x2a2+y2b2=k2c2+ 1z = k , uma elipse de centro (0, 0, k) para todo k R.Por outro lado, as sees planasQ {x = k} :y2b2z2c2= 1 k2a2=a2 k2a2x = k ,so, para:K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 234 k (a, a), hiprbolesy2b2_a2 k2a2_z2c2_a2 k2a2_= 1x = kdecentronoponto(k, 0, 0), retafocal paralelaaoeixoOYeassntotas

z = cb yx = k, pois,neste caso,a2 k2a2> 0;Fig. 6: Hiprbole de centro (k,0,0) no plano x =kobtida como a interseo Q {x =k} k = a, duas retas

y = bczx = aconcorrentes que se intersectam no ponto (a, 0, 0);Fig. 7: Retas concorrentes no ponto (a,0,0) obtidas como a interseo Q {x =a}IM-UFF K. Frensel - J. Delgado235 Geometria Analtica II - Aula 10 k = a, duas retasy = bczx = aconcorrentes que se intersectam no ponto (a, 0, 0);Fig. 8: Retas concorrentes no ponto (a,0,0) obtidas como a interseo Q {x =a} |k| > a, hiprbolesz2c2_k2 a2a2_y2b2_k2 a2a2_= 1x = kde centro (k, 0, 0), reta-focal paralela ao eixoOZ e assntotasy = bczx = k, pois, neste caso,k2 a2a2> 0.Fig. 9: Interseo Q {x =k} para |k| >aK. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 236Finalmente, a interseo de Q com os planos y = k, paralelos ao plano XZ,Q {y = k} :x2a2z2c2= 1 k2b2=b2 k2b2y = knos d, para:k (b, b), umahiprboledecentro(0, k, 0), retafocal paralelaaoeixoOXeassntotasz = ca xy = k, uma vez queb2 k2b2> 0;Fig. 10: Interseo Q {y=k} para bbK. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 238Para que o hiperbolide de uma folha de eixoOZ,x2a2+y2b2z2c2= 1 ,seja uma superfcie de revoluo, devemos ter a = b, pois, neste caso, as sees planasQ {z = k} =x2+ y2= a2_1 +k2c2_z = kso crculos de centros (0, 0, k) pertencentes ao eixoOZ. Assim, o hiperbolide de uma folha,x2a2+y2a2z2c2= 1 , uma superfcie de revoluo de eixoOZ, que possui como geratriz a hiprboleC:y2b2z2c2= 1x = 0 ,ou um de seus ramosC+:y2b2z2c2= 1x = 0; y > 0 ou C+:y2b2z2c2= 1x = 0; y < 0Fig. 14: Interseo Q {z =k}, a=bSendoC+:x(s) = 0y(s) = a coshsz(s) = c senhs, s Ruma parametrizao da geratriz C+, obtemos queQ :x(s, t) = a coshs cos ty(s, t) = a coshs sentz(s, t) = c senhs, s, t R,IM-UFF K. Frensel - J. Delgado239 Geometria Analtica II - Aula 10Fig. 15: Hiprbole C+e paralelo no plano z =csenh s uma parametrizao do hiperbolidex2a2+y2a2z2c2= 1de uma folha de revoluo de eixoOZ, uma vez que oparalelo, contido no planoz=c senhs, um crculo decentro (0, 0, c senhs) e raio igual a a coshs.Por analogia, podemos vericar que:Q :x(s, t) = a coshs cos ty(s, t) = b coshs sentz(s, t) = c senhs, s, t R, uma parametrizao do hiperbolide de uma folha deeixoOZ na forma cannica:x2a2+y2b2z2c2= 1Proposio 1O hiperbolide de uma folha de eixoOZQ :x2a2+y2b2z2c2= 1 uma superfcie regrada gerada pelas duas famlias de retas{ rk| k R {+} } e { sk| k R {+} },onde:rk :xazc= k_1 +yb_k_xa+zc_= 1 yb, k R e r:y = bxa+zc= 0 ,esk :xa+zc= k_1 +yb_k_xazc_= 1 yb, k R e s:y = bxazc= 0 .Alm disso, as retas de cada famlia so reversas entre si erk sk =_2ak1 + k2 ,1 k21 + k2 ,0_, k R, e r s= {(0, b, 0)} .Prova.Um ponto (x, y, z) pertence a Q se, e s se,x2a2z2c2= 1 y2b2 _xazc__xa+zc_=_1 yb__1 +yb_. (3)K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 240Seja (x, y, z) rk, k R. Ento,_xazc__xa+zc_= k_1 +yb__xa+zc_=_1 yb__1 +yb_,e, portanto, (x, y, z) Q.Fig. 16:Q=S{rk | k R {}} Fig. 17:Q=S{sk | k R {}}Seja (x, y, z) r. Ento,_xazc__xa+zc_= 0 =_1 yb__1 +yb_,ou seja, (x, y, z) Q.Vamosagoraprovarquetodoponto(x, y, z)pertencentea Qpertenceaumadasretasrk,k R {}.De fato, se y = b, tome k =x/a z/c1 + y/b. Ento,xazc= k_1 +yb_.Alm disso, como (x, y, z) Q, isto , satisfaz a igualdade (3), temos que:k_1 +yb__xa+zc_=_1 yb__1 +yb_k_xa+zc_=_1 yb_Logo (x, y, z) rk, k R.Se (x, y, z) S e y = b, ento, por (3),_xazc__xa+zc_= 0 xa+zc= 0 ouxazc= 0 .Sexa +zc= 0, temos que (x, y, z) r. Mas sexa +zc = 0 exa zc= 0, ento (x, y, z) rk, ondek =1 y/bx/a + z/c, poisk_xa+zc_= 1 ybe_xazc_= 0 = k_1 +yb_Com isto provamos que a famlia de retas { rk| k R {} } gera a superfcie Q.Prova-se, de modo anlogo, que a superfcie Q gerada pela famlia de retas { sk| k R {} }.Para completar a demonstrao precisamos paramatrizar as retas rk e sk, k R {}.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado241 Geometria Analtica II - Aula 10A reta rk, k R paralela ao vetor1/a k/b 1/ck/a 1/b k/c=_1 k2bc,2kac,1 + k2ab_,e a reta r paralela ao vetor0 1/b 01/a 0 1/c=_1bc ,0 ,1ab_.Fazendo z = 0 nas equaes dos planos que determinam as retas rk, k R{} obtemos que:rk {z = 0} =_2ak1 + k2 ,(1 k2)b1 + k2,0_e r {z = 0} = {(0, b, 0)} .Logo,rk =_1 k2bct +2ak1 + k2 ,2ktac+(1 k2)b1 + k2,(1 + k2)tab_t R

, k R,er=_tbc ,b,tab_t R

.A reta sk, k R, paralela ao vetork/a 1/b k/c1/a k/b 1/c=_1 k2bc,2kac,(1 + k2)ab_,e a reta s paralela ao vetor1/a 0 1/c0 1/b 0=_1bc, 0, 1ab_Fazendoz=0 nas equaes dos planos que determinam as retassk, k R {}, obtemosque:sk {z = 0} =_2ak1 + k2 ,(1 k2)b1 + k2,0_e s= {(0, b, 0)}.Assim,sk =_1 k2bcs +2ak1 + k2 ,2ksac+1 k21 + k2 b,(1 + k2)abs_s R

, k R,es=_sbc ,b,sab_s R

Como as retas rke sk, k R{}, se intersectam e os seus vetores paralelos no so mltiplos,temos querk sk =_2ak1 + k2 ,(1 k2)b1 + k2,0_, k R, e r s= {(0, b, 0)} .Por m, vamos vericar que as retasrk erk , comk =k

, so retas reversas. Para isso, bastamostrar que os vetores paralelos s retas rk e rkno so mltiplos e rk rk = .K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 242Fig. 18: Intersees rk skSuponhamos, por absurdo, que existe Rtal que:1 k2bc= 1 k2bc,2kac= 2k

ac,1 + k2ab= 1 + k2ab.Logok = k

,1 + 2k

2= + k

2,1 2k

2= k

2e, portanto, = 1 , o que uma contradio, pois k = k

.Suponhamos que existe (x, y, z) rk rk , k = k

. Ento:k_1 +yb_=xazc= k

_1 +yb_(4)e k_xa+zc_= 1 yb= k

_xa+zc_. (5)Como y = b ouxa+zc = 0, temos, por (4) e (5), que k = k

, o que uma contradio.Resta mostrar que as retas rk, k R, e r so reversas e tambm que duas retas quaisquer dafamlia{ sk| k R {} } so reversas, o que se faz de modo anlogo ao caso que analisamosacima.

Veremos como obter geometricamente as retas que geram o hiperbolide de uma folhaQ :x2a2+y2b2z2c2= 1 .Sejar uma reta contida em Q e seja(x0, y0, z0) r. Suponhamos quer paralela ou estcontida no plano z = 0. Neste caso, existiria um vetor no-nulo (, , 0) tal quer = { (t + x0, t + y0, t + z0) | t R} .Como r S, temos que(t + x0)2a2+(t +y0)2b2z20c2= 1 , para todo t R.Desenvolvendo a expresso acima, vemos que:_2a2+2b2_t2+_2x0a2+2y0b2_t = 0 ,para todo t R, poisx20a2+y20b2z20c2= 1, o que uma contradio, uma vez que2a2+2b2 = 0.Logo toda reta contida em Q intersecta o plano XY em apenas um ponto.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado243 Geometria Analtica II - Aula 10Sejam r Q e (x0, y0, 0) r planoXY.Ento (x0, y0, 0) pertence elipseE= Q {z = 0} =x2a2+y2b2= 1z = 0 .Seja (, , ) um vetor no-nulo paralelo reta r. Como r Q, temos que(t + x0)2a2+(t +y0)2b22c2t2= 1 _2a2+2b22c2_t2+_2x0a2+2y0b2_t = 0 ,para todo t R, poisx20a2+y20b2= 1.Logo2a2+2b22c2= 0 e2x0a2+2y0b2= 0.Assim,(, , 0) _y0b2,x0a2, 0_ _ay0b,bx0a, 0_.Podemos supor, sem perda de generalidade, que (, , 0) =_ay0b,bx0a, 0_.Como2c2=2a2+2b2, temos que:2c2=x20a2+y20b2= 1 ,ou seja, = c.J provamos que um vetor tangente elipse Eno ponto(x0, y0, 0) o vetor_ay0b,bx0a, 0_,pois a reta tangente a E nesse ponto dada por:b2x0x + a2y0y = a2b2z = 0 .Mostramos assim que as nicas retas contidas em Q que passam pelo ponto(x0, y0, 0) daelipse E so as retas:r+(x0,y0,0) :x(t) = ay0bt + x0y(t) =bx0at + y0z(t) = ct; t R, e r(x0,y0,0) :x(t) = ay0bt + x0y(t) =bx0at + y0z(t) = ct; t R,onde(, , 0) =_ay0b,bx0a, 0_umvetor tangenteelipse Enoponto(x0, y0, 0)tal que2a2+2b2= 1.Uma maneira mais simples de obter as famlias de retas que geram o hiperbolide de umafolha,K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 244Q :x2a2+y2b2z2c2= 1 ,consiste em parametrizar a elipse = Q {z = 0} :x(s) = a cos sy(s) = b sensz(s) = 0, s [0, 2) ,e calcular o vetor velocidade

(s) = (a sens ,b cos s ,0) de em s.Ento, segundo as equaes anteriores, temos:r+s= r+(acos s,bsen s,0)= { (a cos s ,b sens ,0) + (a sens ,b cos s ,c)t | t R}= { (s) + (

(s) + ce3)t | t R} ,e rs= r(acos s,bsen s,0)= { (a cos s ,b sens ,0) + (a sens ,b cos s ,c)t | t R}= { (s) + (

(s) ce3)t | t R} ,pois, se (x0, y0, 0) = (a cos s ,b sens ,0), ento_ay0b,bx0a,0_= (a sens ,b cos s ,0) =

(s) .Fig. 19:

(s) tangente elipse E QObservao 2Seja(x0, y0, 0) =_2ak1 + k2 ,(1 k2)b1 + k2, 0_, k R,um ponto pertencente elipse E.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado245 Geometria Analtica II - Aula 10Comoasretasrkeskcontidasem Qpassampeloponto(x0, y0, 0)epelofatodeexistiremapenasduasretascontidasem Qquepassamporesteponto, vemosquesk=r+(x0,y0,0)erk = r(x0,y0,0) , pois_ay0b,bx0a,c_=abc1 + k2_1 k2bc,2kac,(1 + k2)ab_.De modo anlogo, temos que s= r+(0,b,0)e r= r(0,b,0) , uma vez que(a, 0, c) = abc_1bc,0 ,1ab_.Exemplo 1Determine as duas famlias de retas que geram o hiperbolide de uma folha de eixoOZ:S : x2+ y2z22= 1 .Esta superfcie de revoluo? Parametrize S de duas maneiras diferentes.Soluo.Seja :x(s) = cos sy(s) = sensz(s) = 0, s [0, 2) ,uma parametrizao do crculoS {z = 0} :x2+ y2= 1z = 0Sendo

(s) = (sens, cos s, 0) o vetor tangente a em s e c =2, obtemos que:r+s=

(s) +_

(s) +2 e3_tt R

=

(cos s t sens , sens + t cos s ,2 t)t R

, s [0, 2) ,e rs=

(s) +_

(s) 2 e3_tt R

=

(cos s t sens , sens + t cos s ,2 t)t R

, s [0, 2) ,so as duas famlias de retas que geram a superfcie S.ComoS uma superfcie de revoluo de eixoOZ, poisa=b=1, e tem por geratriz o ramode hiprbole :y2z22= 1x = 0, y > 0 ,podemos parametriz-la da seguinte maneira:K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 246Fig. 20: Vetor

(s) tangente ao crculo no ponto (s)S :x(s, t) = coshscos ty(s, t) = coshssentz(s, t) =2senhs, s, t R.Alm disso,usando a famlia de retas{ r+s| s R} quegeram S, obtemos queS :x(s, t) = cos s t sensy(s, t) = sens + t cos sz(s, t) =2 t, s, t R, outra parametrizao de S.

Exemplo 2Considere o hiperbolide de uma folha de eixoOX:S : 4x2y24+ z2= 4 .D duas parametrizaes diferentes de S e determine as retas contidas em S que passam peloponto (1, 2, 1) S .Soluo.No hiperbolide de eixoOX,Fig. 21: Hiperbolide Se retas r+s , rspassando por (s)S : x2y216+z24= 1 ,vemos que a = 1, b = 4 e c = 2 .A elipse : S {y = 0} :x2+z24= 1y = 0pode ser parametrizada da seguinte maneira: :x(s) = cos sy(s) = 0z(s) = 2 sens, s [0, 2)Ento,r+s= { (s) + (

(s) + 4e2)t | t R} , s [0, 2)ers= { (s) + (

(s) 4e2)t | t R} , s [0, 2)so as duas famlias de retas que geram S.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado247 Geometria Analtica II - Aula 10Assim,S :x(s, t) = cos s t sensy(s, t) = 4tz(s, t) = 2 sens + 2t cos s, s [0, 2) , t R, uma parametrizao de S dada pela famlia de retas { r+s| s [0, 2) }O hiperbolide de uma folha S no uma superfcie de revoluo, pois a = c, ou seja, as seesplanasS {y = k} :x2+z24= 1 +k216y = kso elipses e no ccrulos.Mas S pode ser parametrizada tambm da seguinte maneira:S :x(s, t) = coshs cos ty(s, t) = 4 senhsz(s, t) = 2 coshs senht, s, t R.Seja P= (1, 2, 1) S. Se P r+s, temos quecos s t sens = 14t = 22 sens + 2t cos s = 1 .Logo t =12 e:2 cos s sens = 22 sens + cos s = 12 cos s sens = 22 cos s + 4 sens = 2=sens = 0 e cos s = 1 =s = 0 .Ou seja, P= (1, 2, 1) r+0= { (1, 4t, 2t) | t R} .Por outro lado, se P rs0 , temos quecos s0 t sens0 = 14t = 22 sens0 + 2t cos s0 = 1 .Assim, t = 12 e:2 cos s0 + sens0 = 22 sens0 cos s0 = 12 cos s0 + sens0 = 22 cos s0 + 4 sens0 = 2=sens0 =45e cos s0 =35 .Ento,P rs0=_3545 t ,4t ,85+65 t_t R

.

K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 248Exemplo 3Mostre que a interseo do plano : 4x 5y 10z = 20 com o hiperbolide de uma folhaS :x225+y216z24= 1consiste de duas retas, e determine as equaes paramtricas dessas retas.Soluo.Temos que:x225+y216z24= 1 16x2 4 25z2= 25 16 25y2 (4x 10z)(4x + 10z) = 25(4 y)(4 + y) .Logo (x, y, z) S se, e s se, 4x 10z = 20 + 5ye(20 + 5y)(4x + 10z) = 25(4 y)(4 + y) (4 + y)(4x + 10z) = 5(4 y)(4 + y) ,Fig. 22: Hiperbolide S, plano e retase

Portanto, se y = 4, temos que4x + 10z = 20 5y,ou seja, (x, y, z)

: 4x + 5y + 10z = 20.Assim, (x, y, z) pertence reta :4x 5y 10z = 204x + 5y + 10z = 20 ,que paralela ao vetor4 5 104 5 10= (0, 80, 40) (0, 2, 1)e passa pelo ponto (5, 0, 0). Ento, = { (5, 2t, t) | t R} S .Seja agora (x, 4, z) .Como 4x + 20 10z = 20, obtemos que x =52 z, ou seja, {y = 4} a reta

= { (5t, 4, 2t) | t R} .Alm disso, temos que

S, pois, para todo t R,25t225+16164t24= 1 .Logo

S .Provamos, assim, que S =

consiste de duas retas.Como no hiperbolide de uma folha de eixoOZ,S :x225+y216z24= 1 ,a = 5, b = 4, c = 2, eIM-UFF K. Frensel - J. Delgado249 Geometria Analtica II - Aula 10 :x(s) = 5 cos sy(s) = 4 sensz(s) = 0 uma parametrizao da elipse = Q {z = 0} :x225+y216= 1z = 0,temos que:rs= { (s) + (

(s) ce3) | s R} = { (5 cos s, 4 sens, 0) + (5 sens, 4 cos s, 2)t | t R}so as nicas retas contidas em S.Assim, sendo(0, 2, 1) (0, 4, 2) e {z=0} ={(5, 0, 0)} , obtemos que =r0 , esendo

(5, 0, 2) e

{z = 0} = {(0, 4, 0)} , vemos que

= r+3/2.

3. Hiperbolide de duas folhasOs hiperbolides de duas folhas na forma cannica de eixoOX, eixoOY e eixoOZ so asqudricas denidas, respectivamente, pelas seguintes equaes de segundo grau:x2a2y2b2z2c2= 1 ,x2a2+y2b2z2c2= 1 ,x2a2y2b2+z2c2= 1 ,onde a, b e c so nmeros reais positivos. Essas equaes so simtricas em relao origeme aos trs planos coordenados.Fig. 23: Interseo de Q com os planos z =cte.Vamos estudar o hiperbolide de duas folhas de eixoOZ:x2a2y2b2+z2c2= 1 .A interseo de Q com o plano z = k, k R, paraleloao plano XY,Q {z = k} :x2a2+y2b2=k2c2 1 =k2 c2c2z = k ,: o conjunto vazio, para k (c, c); o ponto (0, 0, c), para k = c; o ponto (0, 0, c), para k = c;K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 250 a elipsex2a2_k2 c2c2_+y2b2_k2 c2c2_= 1z = k, ,de centro (0, 0, k), para k (, c) (c, +) .Por outro lado, as sees planas contidas em planos paralelos ao plano XZ,Q {y = k} :x2a2+z2c2= 1 +k2b2y = kQ {y = k} :z2c2_1 +k2b2_x2a2_1 +k2b2_= 1y = k,so hiprboles de centro(0, k, 0),reta-focalparalela ao eixoOZ e assntotasx = aczy = k,pois 1 +k2b2> 0 para todo k R.Fig. 24: Interseo de Q com planos y=cte. Fig. 25: Interseo de Q com planos x =cte.Finalmente, a interseo de Q com o plano x = k, k R, paralelo ao plano YZ (g. 25),Q {x = k} :z2c2y2b2= 1 +k2a2x = kQ {x = k} :z2c2_1 +k2a2_y2b2_1 +k2a2_= 1x = k uma hiprbole de centro(k, 0, 0), reta-focal paralela ao eixoOZ e assntotasy = bazx = k,para todo k R.Um hiperbolide de duas folhas de eixoOZ na forma cannica de revoluo se a = b.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado251 Geometria Analtica II - Aula 10De fato, neste caso as sees planasQ {z = k} :x2+ y2= a2_k2c2 1_z = kso crculos de centros (0, 0, k) pertencentes ao eixoOZ, para k (, c) (c, +).Fig. 26: Geratriz de QUma geratriz de Q o hiprbole :y2a2+z2c2= 1x = 0,de centro (0, 0, 0) e reta-focal =eixoOZ.Sendo :x(s) = 0y(s) = a senhsz(s) = c coshs, s Ruma parametrizao da geratriz , obtemos queQ :x(s, t) = a senhs cos ty(s, t) = a senhs sentz(s, t) = c coshs, s, t R, uma parametrizao do hiperbolide de duas folhas de revoluo de eixoOZ na forma can-nica:Q : x2a2y2a2+z2c2= 1 .Assim, por analogia, podemos vericar quex(s, t) = a senhs cos ty(s, t) = b senhs sentz(s, t) = c coshs, s, t R, uma parametrizao do hiperbolide de duas folhas de eixoOZ na forma cannica:x2a2y2b2+z2c2= 1 .Mas nenhum hiperboloide de duas folhas uma superfcie regrada.De fato, sejam (x0, y0, z0) Q er :x(t) = t + x0y(t) = t + y0z(t) = t + z0, t R,uma reta paralela ao vetor (, , ) = (0, 0, 0), que passa pelo ponto (x0, y0, z0).Como (t + x0, t + y0, t + z0) Q se, e s se,(t + x0)2a2(t + y0)2b2+(t + z0)2c2= 1 t2_2a22b2+2c2_+ 2t_x0a2y0b2+z0c2_= 0 ,K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 252pois x20a2y20b2+z20c2= 1 , obtemos que r Q se, e s se,2a22b2+2c2= 0 (6)ex0a2y0b2+z0c2= 0 .Por (6), vemos que =0 pois, caso contrrio, teramos==0, uma contradio, vistoque (, , ) = (0, 0, 0).Por outro lado , se =0, a retar intersectaria o planoXY, uma contradio, poisr Q eQplano XY= .Provamos, assim, que uma reta intersecta o hiperbolide de duas folhas em no mximo doispontos.4. Cone ElpticoOs cones elpticos na forma cannica de eixoOX, eixoOY e eixoOZ so as superfciesdadas, respectivamente, pelas equaes de segundo grau:Fig. 27: Interseo do cone elptico Q com os planos z =cte.x2a2+y2b2+z2c2= 0 ,x2a2y2b2+z2c2= 0 ,x2a2+y2b2z2c2= 0 ,onde a, b, c so nmeros reais positivos. fcil mostrar que os cones elpticos na formacannica so simtricos com respeito origeme aos trs planos coordenados.Vamos analisar as sees planas do cone elp-tico de eixoOZ:Q :x2a2+y2b2=z2c2 .As sees planas de Q em planos paralelos ao plano XY,Q {z = k} :x2a2+y2b2=k2c2z = k,so elipses de centro (0, 0, k) se k = 0, e a origem (0, 0, 0) se k = 0.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado253 Geometria Analtica II - Aula 10A interseo de Q com o plano y = k, k R, paralelo ao plano XZ,Q {y = k} :x2a2+z2c2=k2b2y = k, uma hiprbole de centro (0, k, 0), reta-focal paralela ao eixoOZ e assntotas

x = ca zy = k ,se k = 0, e um par de retas

x = ca zy = 0 ,que se cortam na origem quando k = 0.Fig. 28: Q {y=k}, k>0 Fig. 29: Q {y=0}Fig. 30: Q {y=k}, k0Fig. 32: Q {x =0}Fig. 33: Q {x =k}, k bDe modo anlogo, a seo planaQ {x = k} :y2b2= 1 k2a2x = kIM-UFF K. Frensel - J. Delgado257 Geometria Analtica II - Aula 10 so duas retas paralelas ao eixoOZ:

y = baa2 k2x = k ,para k (a, a); uma reta paralela ao eixoOZ:

y = 0x = a,para k = a; uma reta paralela ao eixoOZ:

y = 0x = a,para k = a; o conjunto vazio para k (, a) (a, ) .Fig. 38: Sees planas de Q em planos paralelos ao plano YZUmcilindroelpticodeeixoOZnaformacannicaumasuperfciederevoluoseassees planas Q {z = k} so crculos, isto , quando a = b.Neste caso, o cilindro circularQ : x2+ y2= a2 uma superfcie de revoluo de eixoOZ que possui a reta:

y = ax = 0como uma de suasgeratrizes.Sendo :x(s) = 0y(s) = az(s) = suma parametrizao de , temos queQ :x(s, t) = a cos ty(s, t) = a sentz(s, t) = s, s, t R uma parametrizao de Q.K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 258Generalizando, podemos vericar que:Q :x(s, t) = a cos ty(s, t) = b sentz(s, t) = s, s, t R uma parametrizao do cilindro elpticox2a2+y2b2= 1 de eixoOZ na forma cannica.Fig. 39: Cilindro Q como superfcie regradaJ sabemos tambm que todo cilindro elptico uma super-fcie regrada gerada por uma famlia de retas paralelas.De fato, o cilindro elptico de eixoOZ,Q :x2a2+y2b2= 1 ,geradopelasretasparalelasaoeixoOZquepassamporum ponto da diretriz :x2a2+y2b2= 1z = 0ou seja,Q = { P + t(0, 0, 1) | P e t R} .6. Cilindro HiperblicoOs cilindros hiperblicos de eixoOX, eixoOY e eixoOZ na forma cannica so as super-fcies denidas, respectivamente, pelas equaes de segundo grau abaixo:y2b2z2c2= 1 ouz2c2y2b2= 1 ,x2a2z2c2= 1 ouz2c2x2a2= 1 ,x2a2y2b2= 1 ouy2b2x2a2= 1 ,onde a, b, c so nmeros reais positivos. Essas superfcies so simtricas em relao origeme aos trs planos coordenados.Vamos estudar o seguinte cilindro hiperblico de eixoOZ:Q :x2a2y2b2= 1 .Todas as sees planas contidas em planos paralelos ao plano XY,Q z = k :x2a2y2b2= 1z = k,IM-UFF K. Frensel - J. Delgado259 Geometria Analtica II - Aula 10so hiprboles de centros (0, 0, k) sobre o eixoOZ, reta focal paralela ao eixoOX e assntotas

y = ba xz = k .Fig. 40: Sees planas do cilindro hiperblico Q em planos paralelos ao plano XYA interseo de Q com o plano x = k, paralelo ao plano YZ,Q {x = k} :y2b2=k2a2 1x = k, so duas retas

y = bak2 a2x = kparalelas ao eixoOZ se |k| > a; a reta

y = 0x = aparalela ao eixoOZ se k = a; a reta

y = 0x = aparalela ao eixoOZ se k = a; o conjunto vazio se |k| < a, pois, neste caso,k2a2 1 < 0.Fig. 41: Sees planas do cilindro hiperblico Q em planos paralelos ao plano YZK. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 260Por outro lado, a seo planaQ {y = k} :x2a2= 1 +k2b2y = k Q {y = k} :x = abb2+ k2y = k ,consiste de duas retas paralelas ao eixoOZ, para todo k R.Fig. 42: Sees planas do cilindro hiperblico Q em planos paralelos ao plano XZAssim, Q uma superfcie regrada gerada pela famlia de retas paralelas ao eixoOZ quepassam por um ponto da diretriz :x2a2y2b2= 1z = 0,ou seja,Q = { P + t(0, 0, 1) | P e t R} .Alm disso, como as sees planas estudadas acima so hiprboles ou retas, nenhum cilin-dro hiperblico uma superfcie de revoluo.As seis qudricas apresentadas at agora so chamadas qudricas cntricas, pois todas sosimtricas com respeito origem.Restam apenas trs qudricas na forma cannica, denominadas qudricas no-cntricas, jque no so simtricas com respeito origem.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado261 Geometria Analtica II - Aula 107. Parabolide ElpticoOs parabolides elpticos na forma cannica de eixoOX, eixoOYe eixoOZ so as su-perfcies dadas, respectivamente, pelas equaes de segundo grau:y2b2+z2c2= ax ,x2a2+z2c2= by,x2a2+y2b2= cz ,onde a, b, c so nmeros reais no-nulos.Vamos analisar o parabolide elptico de eixoOZQ :x2a2+y2b2= cz , c > 0 . fcil vericar que Q simtrica com respeito aos planos YZ e XZ, mas no simtrica comrespeito ao plano XY e origem.Fig. 43: Interseo Q {z =k}A interseo de Q com o planoz=k,paralelo ao plano XY,Q {z = k} :x2a2+y2b2= ckz = k, uma elipse de centro (0, 0, k) se k > 0; a origem (0, 0, 0) se k = 0; o conjunto vazio se k < 0.As sees planas contidas nos planosparalelos ao plano XZ,Q {y = k} :x2a2= cz k2b2y = k Q {y = k} :x2= a2c_z k2cb2_y = kso parbolas de vrticesVk=_0, k,k2b2c_ e retas-focais paralelas ao eixoOZ, com concavi-dade voltada para cima (g. 44).E as sees planasQ {x = k} :y2b2= cz x2a2x = k Q {y = k} :y2= b2c_z k2ca2_x = kK. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 262tambm so parbolas de vrticesVk=_k, 0,k2a2c_ e retas focais paralelas ao eixoOZ, comconcavidade voltada para cima (g. 45).Fig. 44: Interseo de Qcom planos paralelos ao plano XZ Fig. 45: Interseo de Qcom planos paralelos ao plano YZUmparabolide elptico na forma cannica de eixoOZ uma superfcie de revoluo quandoas sees planas Q {z = k}, k > 0, so crculos, isto , quando a = b.Fig. 46: Parabolide de revoluo Q e geratriz Neste caso, o parabolide circular:Q : x2+ y2= a2czumasuperfciederevoluodeeixoOZ, quepossui a parbola :y2= a2czx = 0como uma de suas geratrizes.Sendo :x(s) = 0y(s) = asz(s) =s2c, s R,uma parametrizao da geratriz , obtemos que:Q :x(s, t) = as cos ty(s, t) = as sentz(s, t) =s2c, s, t R, uma parametrizao do parabolide circular de eixoOZ.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado263 Geometria Analtica II - Aula 10Por analogia, podemos vericar facilmente queQ :x(s, t) = as cos ty(s, t) = bs sentz(s, t) =s2c, s, t R, uma parametrizao do parabolide elpticox2a2+y2b2= cz de eixoOZ na forma cannica.Mas nenhum parabolide elptico uma superfcie regrada.De fato, se (x0, y0, z0) Q :x2a2+y2b2= cz er :x(t) = t + x0y(t) = t + y0z(t) = t + z0, t R, uma reta paralela ao vetor v =(, , ) =(0, 0, 0) que passa pelo ponto(x0, y0, z0), temosque um ponto (t + x0, t + y0, t + z0) Q se, e s se,(t + x0)2a2+(t + y0)2b2= c(t + z0) _2a2+2b2_t2+_2x0a2+2y0b2 c_t = 0 ,poisx20a2+y20b2= cz0.Ento r Q se, e s se,2a2+2b2= 0 e2x0a2+2y0b2 c = 0 ,ou seja, se, e s se, = = = 0, uma contradio.Logo uma reta intersecta o parabolide elptico em no mximo dois pontos.8. Parabolide HiperblicoOs parabolides hiperblicos na forma cannica de eixoOZ, eixoOYe eixoOX so asqudricas dadas, respectivamente, pelas equaes de segundo grau:x2a2y2b2= cz ,x2a2z2c2= by,y2b2z2c2= ax ,onde a, b, c so nmeros reais no-nulos.K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 264Vamos estudar o parabolide hiperblico de eixoOZQ :x2a2y2b2= cz , c < 0 .Esta qudrica simtrica com respeito ao plano YZ e ao plano XZ, mas no simtrica comrespeito ao plano XY e origem.A interseo de Q com o plano z = k, k R, paralelo ao plano XY,Q {z = k} :x2a2y2b2= ckz = k,Fig. 47: Interseo do parabolide hiperblico Qcom o plano z =k, k>0 Fig. 48: Interseo do parabolide hiperblico Qcom o plano z =0Fig. 49: Interseo do parabolide hiperblico Qcom o plano z =k, k0,pois,nestecaso, ck < 0 (ver g. 47); so duas retasy = ba xz = 0se k = 0 (verg. 48); uma hiprbole de reta-focal paralela aoeixoOX, centroC=(0, 0, k) e assntotasy = ba xz = ksek 0 (ver g. 49).IM-UFF K. Frensel - J. Delgado265 Geometria Analtica II - Aula 10As sees planas contidas em planos paralelos ao plano XZ,Q {y = k} :x2= a2_cz +k2b2_= a2c_z +k2b2c_y = k,so parbolas de retas-focais paralelas ao eixoOZ e vrtice no ponto_0, k, k2cb2_, com con-cavidade voltada para baixo, para todo k R, uma vez que a2c < 0 (g. 50).Fig. 50: Interseo do parabolide hiperblico Qcom os planos y=cteDe modo anlogo, as sees planas, para todo k R,Q {x = k} :y2= b2_k2a2 cz_= b2c_z k2a2c_x = k,Fig. 51: Interseo do parabolide hiperblico Qcom o plano x =kso parbolas de retas-focais paralelas aoeixoOZ e vrticeV=_k ,0 ,k2a2c_,comconcavidade voltada para cima pois,neste caso, b2c > 0 (g. 51).Como as sees planas de Qso hipr-bolesouparbolas, nenhumparabolidehiperblico uma superfcie de revoluo.Por outro lado,todo parabolide hiper-blico uma superfcie regrada.K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 266Proposio 2O parabolide hiperblicoQ :x2a2y2b2= cz uma superfcie regrada gerada por duas famlias de retas:rk :xayb= kk_xa+yb_= cz, k R, e sk :xa+yb= kk_xayb_= cz, k R.As retas de cada famlia so reversas entre si erk sk =_ak, 0,k2c_, k R.Prova.Um ponto (x, y, z) pertence a Q se, e s se,_xayb__xa+yb_= cz .Seja (x, y, z) rk. Ento_xayb__xa+yb_= k_xa+yb_= cz ,isto , (x, y, z) Q.Seja agora (x, y, z) Q e tome k =xayb. Ento,k_xa+yb_=_xayb__xa+yb_= cz .Logo (x, y, z) rk. Provamos, assim, que Q gerada pela famlia de retas rk, k R.De modo anlogo, podemos mostrar que a famlia de retas { sk| k R} gera a superfcie Q.As retas rk so paralelas ao vetor1a1b0kakbc=_cb,ca,2kab_que passam pelo ponto_ak, 0,k2c_. Assim,rk :x(t) = ak +cb ty(t) =ca tz(t) =k2c+2kab t, t R, uma parametrizao da reta rk.Analogamente, podemos mostrar que:IM-UFF K. Frensel - J. Delgado267 Geometria Analtica II - Aula 10sk :x(s) = ak +cb sy(s) = ca sz(s) =k2c+2kab s, s R, uma parametrizao da reta sk.Logo,ak +cb t = ak +cb sca t = ca sk2c+2kab t =k2c+2kab sse, e s se, t = s = 0. Ou seja,rk sk =_ak, 0,k2c_.Resta mostrar que as retas rk e rk , com k = k

, so reversas. Para isso, devemos vericar queos vetores uk=_cb,ca,2kab_ e uk =_cb,ca,2k

ab_ paralelos s retasrk er

k, respectivamente,no so mltiplos, e rk rk = .De fato, comocbca2kabcbca2k

ab=_2ca2b(k

k), 2cab2(k

k), 0_= (0, 0, 0) ,temos queukeuk no so mltiplos.Alm disso, comoxayb=k, para todo(x, y, z) rk,xayb=k

, para todo(x, y, z) sk, ek = k

, vemos que rk sk = .

Mostraremos agora uma maneira mais geomtrica de obter as famlias de retas que geram oparabolide hiperblico.Seja r uma reta contida em Q. Ento r no paralela ao plano XZ. De fato, suponhamos que(, 0, ) um vetor paralelo reta r e (x0, y0, z0) r.Assim,(x0 + t)2a2y20b2= c(z0 + t) 2t2a2+2x0ta2 ct = 0 ,para todo t R se, e s se, = = 0, uma contradio, pois (, 0, ) = (0, 0, 0).Logo toda reta r contida em Q intersecta o plano XZ em um nico ponto.Seja (x0, 0, z0) Q e seja r uma reta contida em Q que passa pelo ponto (x0, 0, z0).K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 268Ento,r :x(t) = x0 + ty(t) = tz(t) = z0 + t, t R,sendo = 0 pelo visto acima.Como r Q, ou seja,(x0 + t)2a22t2b2= c(z0 + t) _2a22b2_t2+_2x0a2 c_t = 0 ,para todo t R, temos que2a2=2b2e c =2x0a2.Podemos supor, sem perda de generalidade, que = 1, pois2a2=2b2 = 0.Neste caso, = ba e =2x0a2c .Assim,r+(x0,0,z0) :x(t) = t + x0y(t) =ba tz(t) =2x0a2c t + z0, t R e r(x0,0,z0) :x(t) = t + x0y(t) = ba tz(t) =2x0a2c t + z0, t R,so as nicas retas contidas em Q que passam pelo ponto (x0, 0, z0) Q.Observe que rk = r+(x0,0,z0)e sk = r(x0,0,z0) , se (x0, 0, z0) =_ak, 0,k2c_, pois k =x0ae_cb , ca ,2kab_=cb_1 , ba ,2x0a2c_ _1 , ba ,2x0a2c_,Foi provado, anteriormente, que: : 2z0x + x0z = x0z0, se x0= 0, ou: z = 0 , se x0 = 0 , a reta tangente parbola P= Q {y = 0} :cz =x2a2y = 0no ponto (x0, 0, z0) pertencente a P.Como perpendicular ao vetor(2z0, 0, x0)=_2x20a2c, 0, x0_ sex0 =0, e perpendicularao vetor(0, 0, 1) sex0=0,ento o vetor_1, 0,2x0a2c_ paralelo reta tangente a Pno ponto(x0, 0, z0) de P.Portanto, sendo :x(s) = sy(s) = 0z(s) =s2a2c, s R,IM-UFF K. Frensel - J. Delgado269 Geometria Analtica II - Aula 10uma parametrizao de P= Q {y = 0}, temos que, se(s) =_s, 0,s2a2c_= (x0, 0, z0) ,ento o vetor velocidade de em s,

(s) =_1, 0,2sa2c_=_1, 0,2x0a2c_. o vetor tangente parbola P= Q {y = 0} no ponto (s).Concluindo,r+s=

(s) + t_

(s) +bae2_t R

, s R,e rs=

(s) + t_

(s) bae2_t R

, s R,so as duas famlias de retas que geram a qudrica Q.Fig. 52: Parametrizao das famlias rse r+sFig. 53: Famlias r+se rsAssim,Q :x(s, t) = s + ty(s, t) =batz(s, t) =s2a2c+2sta2c, s, t R,eQ :x(s, t) = s + ty(s, t) = batz(s, t) =s2a2c+2sta2c, s, t R,soduasmaneirasdeparametrizaropara-bolide hiperblicoQ :x2a2y2b2= cz .K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 270Exemplo 4Considere os parabolides hiperblicos abaixo:S1 :x24y216= z e S2 : x2z29= 2y.Determine as duas famlias de retas que geram S1 e S2.Soluo.O parabolide hiperblico de eixoOZS1 :x24y216= z ,com a = 2, b = 4 e c = 1, intersecta o plano XZ ao longo da parbola :x2= 4zy = 0de vrtice na origem e reta-focal =eixoOZ, com concavidade voltada para baixo.Parametrizando esta parbola, :x(s) = sy(s) = 0z(s) = s24, s R,obtemos que:r+s=

(s) +_

(s) +bae2_tt R

=_s, 0, s24_+_1, 2, s2_tt R

, s R,ers=

(s) +_

(s) bae2_tt R

=_s, 0, s24_+_1, 2, s2_tt R

, s R,so as duas famlias de retas que geram o parabolide hiperblico S1.Fig. 54: Parabolide hiperblico S1 e as retas r+se rspassando por (s)IM-UFF K. Frensel - J. Delgado271 Geometria Analtica II - Aula 10Fig. 55:S2 e as retas r+se rspassando por (s)Por outro lado, o parabolide hiperblico de eixoOY,S2 : x2z29= 2y,com a =1, b =2, c =3, intersecta o plano XY ao longoda parbola :

x2= 2yz = 0de vrtice na origem e reta-focal =eixoOY, com con-cavidade voltada para cima.Assim, sendo :x(s) = sy(s) =s22z(s) = 0, s R,uma parametrizao de , temos que:r+s=

(s) +_

(s) +cae3_tt R

=_s,s22 , 0_+ (1, s, 3)tt R

, s R,e rs=

(s) +_

(s) cae3_tt R

=_s,s22 , 0_+ (1, s, 3)tt R

, s R,so as duas famlias de retas que geram o parabolide hiperblico S2.

9. Cilindro ParablicoOs cilindros parablicos na forma cannica de eixoOX, eixoOY e eixoOZ so as super-fcies dadas, respectivamente, pelas seguintes equaes de segundo grau:y2b2= cz ouz2c2= by,x2a2= cz ouz2c2= ax ,x2a2= by ouy2b2= ax ,onde a, b, c so nmeros reais no-nulos.Estudaremos o cilindro parablico de eixoOY:Q :x2a2= cz , c > 0. fcil mostrar que Q simtrico comrespeito ao plano YZ e ao plano XZ, mas no simtricoem relao ao plano XY e origem.K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 272Como estamos supondoc>0, a interseo de Q com o planoy=k, paralelo ao planoXZ, a parbola:Q {y = k} :x2= ca2zy = kde vrtice Vk = (0, k, 0) e reta-focal paralela ao eixoOZ com concavidade voltada para cima.Fig. 56: Interseo de Q com os planos y=kparalelos ao plano XZA seo plana contida em um plano paralelo ao plano XY:Fig. 57: Interseo de Q com o plano XY (k =0)Q {z = k} :x2= ca2kz = k,representa: duas retasx = ca2kz = kparalelas ao eixoOYse k > 0; a retax = 0z = 0, ou seja, o eixoOY se k = 0; o conjunto vazio se k < 0 .Fig. 58: Interseo de Q com os planos z =kparalelos ao plano XY, com k>0IM-UFF K. Frensel - J. Delgado273 Geometria Analtica II - Aula 10Finalmente, as sees planasQ {x = k} :z =k2a2cx = kso retas paralelas ao eixoOY.Fig. 59: Interseo de Q com os planos x =kparalelos ao plano YZO cilindro parablico de eixoOY,Q :x2a2= cz ,, portanto, umasuperfcieregradageradaporumafamliaderetasparalelasaoeixoOY,sendo a parbola :x2a2= czy = 0uma de suas diretrizes.Como as sees planas estudadas acima so retas ou parbolas, nenhum cilindro parablico uma superfcie de revoluo.10. Rotao e translao de equaes de segundo grauProvaremos, a seguir, que aps uma rotao e/ou uma translao dos eixos coordenados,podemos transformar qualquer equao de segundo grau em R3em uma equao de um dostipos abaixo:Ax2+ By2+ Cz2= R (Qudrica Cntrica)Ax2+ By2= Sz (Qudrica no-Cntrica)Podemos supor, sem perda de generalidade, que R 0 e S 0.K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 274Analisando o sinal dos coecientes A, B, C e R na equaoAx2+ By2+ Cz2= R,obtemos que:(I) se R > 0 e os coecientes A, B, C so: todos positivos =Q um elipside; todos negativos =Q o conjunto vazio; dois positivos e um negativo =Q um hiperbolide de uma folha; um positivo e dois negativos =Q um hiperbolide de duas folhas; um zero e dois positivos =Q um cilindro elptico; um zero e dois negativos =Q o conjunto vazio; um zero, um positivo e um negativo =Q um cilindro hiperblico; dois zero e um positivo =Q unio de dois planos paralelos; dois zero e um negativo =Q o conjunto vazio;(II) se R = 0 e os coecientes A, B, C so: todos de mesmo sinal =Q um ponto; dois de mesmo sinal e o outro de sinal contrrio =Q um cone elptico; um zero e os outros dois de mesmo sinal =Q uma reta; um zero, um positivo e um negativo =Q unio de dois planos concorrentes; dois zeros e um diferente de zero =Q um plano;Analisando agora os sinais dos coecientes A, B e S na equao:Ax2+ By2= Sz ,obtemos que:(I) se S > 0 e os coecientes A e B: tm o mesmo sinal =Q um parabolide elptico; tm sinais opostos =Q um parabolide hiperblico; um zero e o outro diferente de zero =Q um cilindro parablico.(II) se S = 0 e os coecientes A e B: tm o mesmo sinal =Q uma reta; tm sinais opostos =Q unio de dois planos concorrentes; um zero e o outro diferente de zero =Q um plano.Dizemos que o conjunto vazio, um ponto, uma reta, um plano, um par de planos paralelos ouum par de planos concorrentes so qudricas degeneradas.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado275 Geometria Analtica II - Aula 10Exemplo 5Determine as qudricas cntricas na forma cannica que contm o pontoP0 = (1, 1, 1) e pos-suem a seo plana:

4y2+ 2z2= 3x = 2 .Existe uma qudrica no cntrica na forma cannicacom as propriedades acima?Soluo.SejaQ : Ax2+ By2+ Cz2= Ruma qudrica cntrica na forma cannica tal que P0 Q e Q.Ento, como :

By2+ Cz2= R 4Ax = 2,existe = 0 tal que B = 4, C = 2 e R 4A = 3.Ou seja,Q : Ax2+ 4y2+ 2z2= R Q :Ax2+ 4y2+ 2z2=RQ : A

x2+ 4y2+ 2z2= R

,ondeR

4A

= 3 . (7)Alm disso, como P0 = (1, 1, 1) Q, temos queA

+ 4 + 2 = R

R

= A

+ 6 .Logo, por (7),A

+ 6 4A

= 3 =A

= 1 e R

= 7.Assim, a qudricaQ : x2+ 4y2+ 2z2= 7 um elipside na forma cannica com a =7, b =72, c =_72 .Suponhamosqueexisteumaqudricano-cntrica Qnaformacannicatal queP0 Qe Q.Ento Q da seguinte forma:Q : By2+ Cz2= Ax ,pois a seo plana Q {x = 2} deve ser uma elipse.Como :

By2+ Cz2= 2Ax = 2 ,K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 276existe = 0 tal que B = 4, C = 2 e 2A = 3.Ou seja,Q : 4y2+ 2z2=32x Q : 4y2+ 2z2=32 x .Mas, como o pontoP0=(1, 1, 1) no pertence a Q, pois4 + 2 =32, no existe uma qudricano-cntrica na forma cannica com as propriedades acima.

Exemplo 6Determine, classique e parametrize as qudricas na forma cannica que possuem como se-es planas as curvas: :2x2+ 3y2= 5z = 1e :4z2 3y2= 1x = 1 .Soluo.Como as sees planas= Q {z=1} e= Q {x=1} so elipses, a qudrica Q tem queser cntrica.SejaQ : Ax2+ By2+ Cz2= Ruma qudrica cntrica na forma cannica tal que Q e Q.Ento, como :Ax2+ By2= R Cz = 1e :By2+ Cz2= R Ax = 1 ,existem = 0 e = 0 tais queA = 2, B = 3, R C = 5, B = 3, C = 4 e R A = .Logo, sendo 3 = 3, podemos supor, sem perda de generalidade, que = 1 e = 1 .Assim, A = 2, B = 3, C = 4, R = C + 5 = 4 + 5 = 1 = 2 1 = A+ , ou seja,Q : 2x2+ 3y2 4z2= 1 um hiperbolide de uma folha de eixoOZ, que no de revoluo, pois a =12= b =13.Uma parametrizao de Q dada por:Q :x(s, t) =12coshs cos ty(s, t) =13coshs sentz(s, t) =12 senhs, s, t R.

IM-UFF K. Frensel - J. Delgado277 Geometria Analtica II - Aula 10Exemplo 7Classique, para cada R, a equao de segundo grau:(3 )x2+ 2y2+ ( + 1)z2= 2+ 1 . (8)Para que valores de R,a equao representa uma qudrica: regrada,degenerada e derevoluo? Justique.Soluo.Analisamos abaixo a variao do sinal dos coecientes da equao (8):< < 1 = 1 1 < < 0 = 0 0 < < 1 = 1 1 < < 3 0 + 0 0 +2+ + + 0 + + + + 1 0 + + + + +2+ 1 + + + + + + +Ento, a equao representa: um hiperbolide de duas folhas de eixoOY se (, 1); dois planos paralelos, y = 2, se = 1; um elipside se (1, 0); dois planos paralelos, z = 1, se = 0; um hiperbolide de uma folha de eixoOX se (0, 1); o cilindro elptico y2+ 2z2= 2 de eixoOX se = 1; um elipside se (1, +) .Para = 1, = 0, (0, 1), = 1 a qudrica uma superfcie regrada e, para = 1 e = 0,a qudrica degenerada.Um elipside dado pela equao (8) de revoluo se, e s se,3 = 2ou 3 = + 1 ou 2= + 1 ,com (1, 0) (1, +).Ento, como: 3 = 2 3 2 = 0 (2 1) = 0 = 0 ou =12_1 1 + 4_=12_1 5_; 3 = + 1 3 2 1 = 0 = 1 ou 2 1 = 0 = 1 ou =12_1 5_;K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 278 2= + 1 2 1 = 0 =12_1 5_,a equao representa um elipside de revoluo se, e s se, =12_1 5_, pois12_1 +5_ (1, +) e12_1 5_ (1, 0).Para (, 1), a equao representa um hiperbolide de duas folhas de eixoOY.Como as razes=1 e =12_1 5_ da equao3 = + 1 no pertencem aointervalo (, 1), nenhum destes hiperbolides de revoluo.A equao representa um hiperbolide de uma folha de eixoOX se (0, 1) e ser de revolu-o se, e s se, 2= + 1. Ou seja, se, e s se, =12_1 5_.Como12_1 5_ (0, 1), nenhum hiprbole de uma folha de eixoOX dado pela equao (8) de revoluo.

Exemplo 8Determine e classique as qudricas na forma cannica que possuem como sees planas ascurvas: :x2= 2_y +14_z = 1e :x2= 2(y + 1)z = 2Soluo.Como as sees planas so parbolas de retas-focais paralelas ao eixoOY, a qudrica temque ser no-cntrica de eixoOY:Ax2+ Cz2= Sy.Sendo :

Ax2= Sy Cz = 1e :

Ax2= Sy 4Cz = 2,existem = 0 e = 0 tais queA = , S = 2, C =2, A = , S = 2 e 4C = 2.Assim, = = 0 e, sem perda de generalidade, podemos supor = = 1.Logo, comoA = = = 1 , C = 2= 12=24e S = 2 = 2 = 2 ,a qudrica o parabolide hiperblico de eixoOY:x2z22= 2y.

IM-UFF K. Frensel - J. Delgado279 Geometria Analtica II - Aula 10Exemplo 9(a)Determineeparametrizeasqudricasnaformacannicaquepossuemacurvacomoseo plana e passam pelo ponto P0 = (1, 3, 1), onde :

x2+ 5z2= 2y = 1.(b) Ache as curvas de interseo das qudricas obtidas acima e faa um esboo das superfcies,indicando as curvas de interseo.Soluo.(a) SejaQ : Ax2+ By2+ Cz2= Ruma qudrica cntrica tal que Q e P0 Q.Ento, como :

Ax2+ Cz2= R By = 1,existe = 0 tal que A = , C = 5 e R B = 2, ou seja,Q : x2+ By2+ 5z2= B + 2.Alm disso, como P0 = (1, 3, 1) Q, obtemos: + 9B + 5 = B + 2 8B = 4 B = 2 .Logo,Q : x22y2+ 5z2= 2+ 2 =32 Q : x2y22+ 5z2=32 , um hiperbolide de uma folha de eixoOY, com a =32, b =3, c =310.Uma parametrizao de Q dada por:Q :x(s, t) =32coshs cos ty(s, t) =3 senhsz(s, t) =310coshs sent, s, t R.Seja agoraQ

: Ax2+ Cz2= Syuma qudrica no-cntrica de eixoOY (por qu?) tal que Q

e P0 Q

.Ento, sendo :

Ax2+ Cz2= Sy = 1,existe = 0 tal que A = , C = 5, S = 2, ou seja,K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 280Q

: x2+ 5z2= 2y Q

: x2+ 5z2= 2y, um parabolide elptico de eixoOY.Alm disso, comoP0=(1, 3, 1) Q

, pois1 + 5 1=6=2 3, Q

uma qudrica tal que Q

e P0 Q

.Uma parametrizao deste parabolide elptico dada porQ

:x(s, t) = s cos ty(s, t) =s22z(s, t) =s5sent, s, t R.(b) Um ponto (x, y, z) pertence a Q Q

se, e s se,x2+ 5z2=32+y22x2+ 5z2= 2yx2+ 5z2= 2yy22+32= 2yx2+ 5z2= 2yy2 4y + 3 = 0 .Como as razes da equao y2 4y + 3 = 0 so y = 1 e y = 3, obtemos queQ Q

= ,onde e so as elipses: :

x2+ 5z2= 2y = 1e :

x2+ 5z2= 6y = 3Veja, na gura abaixo, o esboo de Q e Q

, com as curvas e .Fig. 60: Superfcies Q e Q Exemplo 10Classique, para cada R, a qudrica dada pela equao de segundo grau:Q : (3+ 2)x2+ (2 1)y2+ ( + 2)z2= .Para que valores de R, a equao representa uma qudrica degenerada ou regrada? Quaishiperbolides de uma folha ou de duas folhas so de revoluo?Soluo.Comeamos efetuando o estudo do sinal dos coecientes:IM-UFF K. Frensel - J. Delgado281 Geometria Analtica II - Aula 10 < 2 = 2 2 < < 1 = 1 1 < < 0 = 0 0 < < 1 = 1 > 13+ 2 0 + 0 + + +2 1 + + + 0 0 + + 2 0 + + + + + + + 0 + + +Portanto, a equao representa: um hiperbolide de uma folha de eixoOY se (, 2); o cilindro hiperblico 4x2+ 3y2= 2 de eixoOZ se = 2; um hiperbolide de duas folhas de eixoOX, se (2, 1); o conjunto vazio (z2= 1) se = 1; um hiperbolide de duas folhas de eixoOY se (1, 0); dois planos paralelos, y = 2 z, se = 0; um hiperbolide de uma folha de eixoOY se (0, 1); o cilindro elptico 2x2+ 3z2= 1 de eixoOY se = 1; um elipside, se (1, +) .Assim, Q uma qudrica degenerada se=1 ou=0, e Q uma superfcie regrada se (, 2] [0, 1].Para (, 2) (0, 1), o hiperboloide de uma folha de eixoOY de revoluo se, e s se,3+ 2= + 2 .Como3+ 22 para (0, 1), a equao3+ 2= + 2 no possui soluoneste intervalo.Alm disso, sendo 2( + 1) < 2, para (, 2), e a desigualdade + 2 < 22+ + 2 < 0sem soluo emR, conclumos que a equao 3+2= +2 no tem raiz no intervalo (, 2).Logo nenhum dos hiperbolides de uma folha de eixoOY, (, 2)(0, 1), de revoluo.Por outro lado, o hiperbolide de duas folha de eixoOY, (1, 0), de revoluo se, e s se,3+ 2= + 2 .Mas, para (1, 0), 2( + 1) < ||( + 1) = 2 .Assim, + 2 = 3+ 2< 2 2+ 2 + 2 < 0 ,uma contradio, pois2+ 2 + 2>0 para todo R. Ento os hiperbolides de duas folhasK. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 282de eixoOY, (1, 0), tambm no so de revoluo.O hiperbolide de duas folhas de eixoOX, (2, 1), de revoluo se, e s se,2 1 = + 2 2 3 = 0 =12_1 1 + 12_=12_1 13_.Como12_1 +13_ (2, 1) e12_1 13_ (2, 1), temos que, para=12_1 13_, ohiperbolide de duas folhas de eixoOX,(3+ 2)x2+ (2 1)y2+ ( + 2)z2= , de revoluo.

Exemplo 11Determine as qudricas Q na forma cannica tais que todas as sees planas x = k, k R, sohiprboles equilteras com reta-focal paralela ao eixoOY e que possuem o crculox2+ z2= 1y =2como seo plana.Soluo.Como todas as sees planas contidas em planos paralelos ao planoYZ so hiprboles comretas-focaisparalelasaummesmoeixo(nocaso, oeixoOY), aqudricaspodeserumhiperbolide de duas folhas de eixoOY ou um cilindro hiperblico de eixoOX.Por outro lado, como o crculo :x2+ z2= 1y =2 tambm uma seo plana da superfcie, ela s pode ser um hiperbolide de duas folhas deeixoOY:Q :y2b2x2a2z2c2= 1 .Sendo :x2a2+z2c2=2b2 1y =2,obtemos que a2= c2e a2_2b2 1_= 1.Alm disso, como as sees planasQ {x = k} :y2b2z2c2= 1 +k2a2x = kIM-UFF K. Frensel - J. Delgado283 Geometria Analtica II - Aula 10so hiprboles equilteras, vemos que b2= c2.Logo a2= b2= c2ea2_2a2 1_= 1 2 a2= 1 a2= 1 .Ou seja,Q : y2 x2 z2= 1 .

Exemplo 12Seja H a hiprbole,no planoz=1,de centro no pontoC=(0, 0, 1) e reta-focal paralela aoeixoOY, sendoF =_0,5, 1_umdosseusfocosearetar : 2yx =0umadassuasassntotas.(a) Determine as qudricas Q na forma cannica tais que H Q e (0, 0, 0) Q.(b) Ache as curvas de interseo das qudricas obtidas acima.(c) Faa um esboo das qudricas indicando as curvas de interseo.Soluo.(a) Temosc=d(C, F)=5 eba=2 poisr: x=2y uma assntota de H e a sua reta-focal paralela ao eixoOY.Como 5 = c2= a2+ b2= a2+ 4a2, vemos que a = 1 e b = 2.Assim, a hiprbole dada por:H :y2x24= 1z = 1.SejaQ : Ax2+ By2+ Cz2= R,uma qudrica cntrica na forma cannica tal que H Q e (0, 0, 0) Q.Ento R = 0 eH = Q {z = 1} :Ax2+ By2= Cz = 1.Portanto, existe = 0 tal que A = 4, B = e C = , ou seja,Q : 4x2+ y2 z2= 0 .Supondo, sem perda de generalidade, que = 1, obtemos:Q : 14x2+ y2 z2= 0 Q :14x2+ z2= y2,K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 284que um cone elptico de eixoOY.Seja, agora,Q

: Ax2+ By2= Szuma qudrica no-cntrica na forma cannica de eixoOZ.Logo (0, 0, 0) Q

eH : Q

{z = 1} :Ax2+ By2= Sz = 1.Existe, assim, = 0 tal que A = 4, B = e S = .Fig. 61: Interseo Q Q

=H Supondo = 1, obtemos queQ

: x24+ y2= z um parabolide elptico de eixoOZ.(b) Um ponto (x, y, z) pertence a Q Q

se, e s se,x24+ y2= z2x24+ y2= zx24+ y2= z2z2= zx24+ y2= z2z = 0oux24+ y2= z2z = 1.Ou seja, Q Q

= , onde = H :x24+ y2= 1z = 1e :x = 2yz = 0(c) O esboo de Q e Q

so mostrados na gura 61 ao lado.

Observao 3Uma qudrica dada por uma equao do segundo grau sem termo misto,Ax2+ By2+ Cz2+ Gx + Hy + Iz + J = 0,pode, por meio de uma translao dos eixos coordenados, ser reduzida a sua forma cannicaquando: pelo menos dois dos coecientes A, B e C so no-nulos; A = 0, B = C = 0, H = 0 ou I = 0; B = 0, A = C = 0, G = 0 ou I = 0; C = 0, A = B = 0, G = 0 ou H = 0.Mas, quandoIM-UFF K. Frensel - J. Delgado285 Geometria Analtica II - Aula 10 A = 0, B = C = 0, H = 0 e I = 0; B = 0, A = C = 0, G = 0 e I = 0; C = 0, A = B = 0, G = 0 e H = 0,devemos fazer primeiro uma rotao e depois uma translao dos eixos coordenados para redu-zir a qudrica sua forma cannica. Nestes casos, a qudrica sempre um cilindro parablico.Veja os exemplos abaixo.Exemplo 13Classique as qudricas transladadas abaixo e parametrize-as.(a) S : 4x2+ y2+ 3z2 8x + 2y + 6z = 7 ;(b) S : x2 y2 z2+ 8x 2y + 6z = 5 .Essas qudricas so de revoluo? Justique.Soluo.(a) Completando os quadrados, obtemos que:S : 4(x2 2x) + (y2+ 2y) + 3(z2+ 2z) = 7 S : 4(x 1)2+ (y + 1)2+ 3(z + 1)2= 7 + 4 + 1 + 3 = 1 S :(x 1)21/4+ (y + 1)2+(z + 1)21/3= 1 .Seja OXY Z o sistema de eixos ortogonais no qual O = C = (1, 1, 1) e os semi-eixos positivosOX, OYeOZtm, respectivamente, amesmadireoeomesmosentidodossemi-eixospositivos OX, OY e OZ.Ento, como(x, y, z) = (x, y, z) + (1, 1, 1) , (9)temos que:x21/4+ y2+z21/3= 1 a equao da qudrica nas coordenadas x, y e z.Logo a qudrica um elipside de centro C = (1, 1, 1) com a =12, b = 1 e c =33.Esse elipside no de revoluo, pois a = b, a = c e b = c.SendoS :x(s, t) =12cos s cos ty(s, t) = cos s sentz(s, t) =13sens, s, t R,K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 286uma parametrizao do elipside nas coordenadas x, y e z, obtemos, por (9), que:S :x(s, t) =12cos s cos t + 1y(s, t) = cos s sent 1z(s, t) =13sens 1, s, t R, uma parametrizao do elipside nas coordenadas x, y e z.(b) Completando os quadrados, temos que:S : (x2+ 8x) (y2+ 2y) (z2 6z) = 5 S : (x + 4)2 (y + 1)2 (z 3)2= 5 + 16 1 9 = 1 .Seja OXY Z uma translao do sistema de eixos OXYZ no qual O = C = (4, 1, 3).Como(x, y, z) = (x, y, z) + (4, 1, 3) , (10)obtemos queS : x2 y2 z2= 1 a equao da qudrica nas coordenadas x, y, z.Logo S um hiperbolide de duas folhas de eixor = { (4, 1, 3) + t(1, 0, 0) | t R}paralelo ao eixoOX com a = b = c = 1.Como b = c, S uma superfcie de revoluo obtida girando a hiprbole :x2 y2= 1z = 0ou :(x + 4)2 (y + 1)2= 1z = 3em torno do eixoOX = r.Assim, sendoS :x(s, t) = coshsy(s, t) = senhs cos tz(s, t) = senhs sent, s, t R,uma parametrizao de S nas coordenadas x, y e z, obtemos, por (10), queS :x(s, t) = coshs 4y(s, t) = senhs cos t 1z(s, t) = senhs sent + 3, s, t R, uma parametrizao de S nas coordenadas x, y, z.

IM-UFF K. Frensel - J. Delgado287 Geometria Analtica II - Aula 10Exemplo 14Reduza a qudricaQ : 2x2+ 4x + 3y 5z 1 = 0 sua forma cannica e classique-a.Soluo.Neste exemplo, A = 2 = 0, B = C = 0, H = 0 e I = 0.Temos:Q : 2(x2+ 2x) = 3y + 5z + 1Q : 2(x + 1)2= 3y + 5z + 1 + 2 = 3x + 5z + 3Q : (x + 1)2=12 (3y + 5z) +32 .Seja OXY Z o sistema de eixos ortogonais no qual os semi-eixos positivos OX, OY e OZ tem,respectivamente, o mesmo sentido e a mesma direo dos vetores:v1= (1, 0, 0) ,v2=_0,534,334,_ev3=_0,334,534,_.Como(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y_0,534,334,_+ z_0, 334,534,_ou seja,x = xy =134(5y 3z)z =134(3y + 5z)obtemos queQ : (x + 1)2=12_334(5y 3z) +534(3y + 5z)_+32Q : (x + 1)2=342z +32=342_z +334_ a equao cartesiana da qudrica nas coordenadas x, y e z.Para reduz-la forma cannica tomamos o sistema de eixos OXY Z, no qual O =_1, 0, 334_e os semi-eixos positivosOX,OY eOZ tem a mesma direo e o mesmo sentido, respectiva-mente, dos semi-eixos positivos OX, OY e OZ.Como (x, y, z) = (x, y, z) +_1, 0, 334_, obtemos que a forma cannica de Q dada por:K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 288Q : x2=342zque representa um cilindro parablico de eixoOY= { (0, 1, 0)t | t R} .Nas coordenadas x, y e z, a retar =

(1, 0, 0) + t_0,534,334_334_0, 334,534_t R

=

_1,934, 1534_+ t_0,534,334_t R

. o eixo da qudrica Q.

Exemplo 15Determine a qudrica Q na forma cannica transladada que passa pelos pontos P0 =_0,12, 0_,Q0 =_12, 0, 0_ e possui como seo plana a parbola contida no planox=1, com vrtice noponto V=_1,12, 0_e foco no ponto F =_1, 32, 0_.Soluo.Como FV =(0, 2, 0) paralelo ao eixoOY,p= FV =2 eF est esquerda deV, temosque: :z2= 8_y 12_= 8y + 4x = 1 .A qudrica transladada Q tem de ser no-cntrica de eixo paralelo ao eixoOY,Q : A(x x0)2+ C(z z0)2= S(y y0) ,pois a parbola uma seo plana de Q.Sendo :A(1 x0)2+ C(z z0)2= S(y y0)x = 1Cz2 2Cz0z + Cz20 = Sy Sy0 A(1 x0)2x = 1,existe = 0 tal que C = , 2Cz0 = 0, S = 8, Sy0 A(1 x0)2 Cz20 = 4 .Assim, z0 = 0 eQ : A(x x0)2+ z2= 8(y y0) .Supondo, sem perda de generalidade, que = 1, obtemos que:8y0 A(1 x0)2= 4 , (11)eQ : A(x x0)2+ z2= 8(y y0) . (12)IM-UFF K. Frensel - J. Delgado289 Geometria Analtica II - Aula 10Alm disso, como P0 =_0,12, 0_ Q, temos, por (12), que:Ax20 = 8_12 y0_= 4 + 8y0. (13)Logo, por (11) e por (13), obtemos:Ax20 = A(1 x0)2 A = 0 ou A = 0 e x20 = (1 x0)2= x20 2x0 + 1 A = 0 ou A = 0 e x0 =12 .Se A = 0, temos, por (13), que y0 =12 eQ : z2= 8_y 12_,uma contradio, pois Q0 =_12, 0, 0_ Q.Se A = 0 e x0 =12, ento, por (13),A4= 4 + 8y0A = 4(8y0 4) .Ou seja, neste caso,Q : 4(8y0 4)_x 12_2+ z2= 8(y y0) .Finalmente, como Q0 =_12, 0, 0_ Q, vemos que4(8y0 4)_1212_2+ 02= 8(0 y0) y0 = 0 .Portanto, a qudricaQ : 16_x 12_2+ z2= 8y um parabolide hiperblico de eixo paralelo ao eixoOY.

Exemplo 16Seja S o conjunto dos pontos de R3eqidistantes do ponto A = (0, 2, 0) e da esfera S0 : x2+y2+z2= 1. Classique e parametrize a superfcie encontrada.Soluo.A esfera S0 tem centro na origem O = (0, 0, 0) e raio igual a 1.Ento P= (x, y, z) S se, e s se,d(P, A) = d(P, S0) = |1 d(O, P)| _x2+ (y 2)2+ z2= |1 _x2+ y2+ z2| x2+ (y 2)2+ z2= 1 2_x2+ y2+ z2+ x2+ y2+ z2 (y 2)2= 1 2_x2+ y2+ z2+ y2K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 290 y2 4y + 4 = 1 2_x2+ y2+ z2+ y2 4y + 3 = 2_x2+ y2+ z2 4y 3 = 2_x2+ y2+ z2.Logo y >34 eS : 16y2 24y + 9 = 4x2+ 4y2+ 4z2 S : 4x2 12y2+ 4z2+ 24y = 9 S : 4x2 12(y 1)2+ 4z2= 9 12 = 3 S : 43x2+ 4(y 1)243z2= 1 .Como 12(y 1)2= 4x2+ 4z2+ 3, temos que (x, y, z) satisfaz a equao se, e s se,(y 1)214 |y 1| 12 y 32 ou y 12 .Alm disso, sendo y >34, temos que:S =

(x, y, z) R343x2+ 4(y 1)243z2= 1 e y 32

,ou seja,S um dos ramos do hiperbolide de duas folhas de revoluo de eixor={(0, 1, 0) +t(0, 1, 0)} =eixo OY:Q : 43x2+ 4(y 1)243z2= 1 .Como a = c =32, b =12 e y 32,S :x(s, t) =32senhs cos ty(s, t) =12coshs + 1z(s, t) =32senhs sent, s, t R, uma parametrizao da superfcie de revoluo S de eixoOY que possui o ramo da hiprbole :4(y 1)243z2= 1x = 0, y 32,como uma de suas geratrizes.

Se uma equao do segundo grau possuir apenas um termo misto (xy,xz ouyz), podemosreduz-lasuaformacannicafazendoumarotaodoseixoscoordenados(OXeOY, OXeOZ, OYeOZ, respectivamente)demodoanlogoaoquefaramosparaumaequaodesegundo grau em duas variveis (x e y, x e z, y e z, respectivamente).Veja o exemplo abaixo.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado291 Geometria Analtica II - Aula 10Exemplo 17Considere a qudricaQ : x2+ 9y2+ 10z2+ 6xy 1210x + 410y = 0 .(a) Reduza Q sua forma cannica e classique-a.(b) A qudrica de revoluo? Justique.(c) Determine o eixo da qudrica e parametrize-a.(d) Mostre que a interseo de Q com o plano : x +3y =10 uma parbola cujo vrtice oponto V=_7410,11410, 0_.Soluo.Para reduzir a expresso de segundo grau nas variveis x e y,x2+ 9y2+ 6xy 1210x + 410y, sua forma cannica, devemos girar os eixos OX e OY de um ngulo , _0,2_, tal quetg2 =61 9= 34 cos 2 =1_1 + tg2(2)=1_1 + 9/16= 45cos =_1 + cos 22=_1 4/52=110sen =_1 cos 22=_1 +4/52=310.SejaOXY Z o sistema de eixos ortogonais no qual os semi-eixos positivosOX,OY eOZ tma mesma direo e o mesmo sentido, respectivamente, dos vetores unitrios:v1= (cos , sen, 0) =_110,310, 0_;v2= (sen, cos , 0) =_310,110, 0_;v3= (0, 0, 1) .Ento, sendo(x, y, z) = xv2+ yv2+ zv3,temos que:x =110(x 3y)y =110(3x + y)z = z .(14)K. Frensel - J. Delgado IM-UFFGeometria Analtica II - Aula 10 292Nas coordenadas x, y, z, a equao da qudrica dada por:Ax2+ Cy2+ 10z2+ Dx + Ey = 0 ,onde_A 00 C_=110_1 33 1__1 33 9__1 33 1_=110_10 300 0__1 33 1_=110_100 00 0_=_10 00 0_e_DE_=110_1 33 1__1210410_=_040_.Assim,Q : 10x2+ 10z2+ 40y = 0 Q : x2+ z2= 4y, um parabolide circular de eixoOY.(b) Como as sees planas Q{y = k} so crculos, para k < 0, a qudrica uma superfcie derevoluo de eixoOY, sendo a parbola :z2= 4yx = 0uma de suas geratrizes.(c) Assim, por (14),r =_310,110,0_tt R

o eixo de revoluo de Q eS :x(s, t) =110(x(s, t) 3y(s, t)) =110_s cos t + 3s24_y(s, t) =110(3x(s, t) + y(s, t) =110_3s cos t s24_z(s, t) = z(s, t) = s sent, s, t R, uma parametrizao de S nas coordenadas x, y e z, poisS :x(s, t) = s cos ty(s, t) = s24z(s, t) = s sent, s, t R, uma parametrizao da qudrica no sistema OXY Z.IM-UFF K. Frensel - J. Delgado293 Geometria Analtica II - Aula 10(d) O plano : x + 3y =10 nas coordenadas x, y, z dado por :110(x 3y + 9x + 3y) =10 : x = 1 .Portanto,Q {x = 1} :z2= 4y 1 = 4_y +14_x = 1 uma parbola de vrtice V=_1, 14, 0_que nas coordenadas x, y, z, o pontoV=_110_1 +34_,110_3 14_,0_ V=_11074 ,110114,0_.

K. Frensel - J. Delgado IM-UFF