Summary of Matrixes (Spanish Version)

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

Métodos Numéricos en Ingeniería de Petróleos

RESUMEN MATRICES

ACOSTA CREUS MILEIDY LORENAARISMENDI RUEDA RUBEN DARIO

CARRILLO QUIJANO MARCELA ANDREAMARTÍNEZ JAIMES JULIETH PAOLA

SILVA ALONSO KATHERINE LORENA

PH.D. EDUARDO CARRILLODocente

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

MÉTODOS NÚMERICOS EN INGENIERÍA DE PETRÓLEOSBUCARAMANGA

2010




FUNDAMENTACIÓN BÁSICA

1. Definición de matriz

Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas.

A=¿ [a11 a12 .. . a1 j .. . a1n ¿ ] [a21 a22 . . . a2 j .. . a2 n ¿ ] [: : : : ¿ ] [ai1 ai2 .. . aij .. . ain ¿ ] [ : : : : ¿ ] ¿¿

¿¿Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m x n. El símbolo m x n se lee “m por n”.

El vector renglón

(a11 a12 . .. a1 j . .. a1n )se llama renglón o fila i

El vector columna se llama columna j

La componente o elemento ij de A, denotado por aij, es el número que aparece en el fila i y la columna j de A. En ocasiones se escribirá la matriz A como A= ( aij). Por lo general las matrices se denotarán con letras mayúsculas.

Por ejemplo, los coeficientes de las variables X1, X2, X3 en el siguiente sistema:

2X1 + 4X2 + 6X3 =184X1 +5X2 + 6X3 =24 (1)

3X1 + X2 -2X3 =4

Se puede escribir como elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema:

A=[ 2 4 64 5 63 1 −2]




2. Tipos de Matrices

2.1. Matriz Cuadrada

Si A es una matriz m x n donde el número de filas es igual al número de columnas; es decir, m=n. Entonces la matriz Aes de orden n o llamadamatriz cuadrada.

Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene inversa.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

2.2. Matriz Transpuesta

Sea A = (aij) una matriz de m x n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe At, es una matriz de n x m obtenida al intercambiar los renglones por las columnas de A. De manera breve, se puede escribir At = (aji). En otras palabras,

Si , entonces

Simplemente se coloca el renglón o fila i de A como la columna i de At y la columna j de A como el renglón o fila j de At.

Ejemplo:




A=[2 3 01 2 03 5 6 ]A t=[2 1 3

3 2 50 0 6 ]

2.3. Matriz Simétrica

La matriz (cuadrada) Bde n x n se llama simétrica si Bt = B Es decir, las columnas de A son también los renglones o filas de B.

Ejemplo:

2.4. Determinante

Los determinantes para una matriz de orden 2 se resuelven de la siguiente manera:

det (A )=|A|=|a11 a12a21 a22|=a11 ∙ a22−a12 ∙ a21

Determinantes de orden 3 son calculados con la regla de Sarros como sigue:

Dada una matriz cuadrada A de tamaño (n) se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos.

det(A) = ai1 ∙Ai1+ ai2 ∙ Ai2+…+ ain∙Ain




det(A) = a1j ∙A1j+ a2j ∙ A2j+…+ anj∙Anj

Para una matriz cuadrada de ordenn, A = (aij) se llama adjunto del elemento aij, y lo representamos por Aij al producto (- 1)i+j∙aij, es decir:

Aij = (- 1)i+j∙aij

La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada A se llama matriz adjunta de A y se denota por Adj(A).

Los adjuntos de la matriz:

A=[1 2 34 5 67 8 9 ]

a11=|5 68 9|=−3a12=|4 6

7 9|=−6 a13=|4 57 8|=−3

a21=|2 38 9|=−6a22=|1 3

7 9|=−12a23=|1 27 8|=−6

a31=|2 35 6|=−3 a32=|1 3

4 6|=−6a23=|1 24 5|=−3

La matriz adjunta de A es

Adj(A)=[−3 6 −36 −12 6

−3 6 −3]2.5. Matriz triangular superior o inferior

Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices.




[1 4 20 3 40 0 1 ][

1 0 02 8 04 9 7 ]

Triangular Superior Triangular Inferior

2.6. Matriz aumentada

La matriz ampliada o aumentada se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices A y B, donde

A=[1 4 92 3 15 5 2]B=[431 ]

Entonces la matriz aumentada (A | B) se representa de la siguiente manera:

(A∨B)=[1 4 9∨42 3 1∨35 5 2∨1 ]

2.7. Matriz Bandeada

Matriz cuyo ancho de diagonal depende del sistema de solución de ecuaciones con que se está trabajando; puede ser bidiagonal, tridiagonal, etc. Su forma se observa en la siguiente imagen:

En otras palabras, es una matriz que tiene todos sus elementos cero, excepto los de la diagonal principal.




Ejemplo:

2.8. Multiplicación de Matrices

Sea A= (aij) una matriz m x n, y sea B = (bij) una matriz n x p. Entonces el producto de A y B es una matriz m x p, C= (cij), en donde:

cij=(renglón i de A)∙(columna j de B)

Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:

cij= ai1 bj1 + ai2 b2j +…+ ainbnj

Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación.

Ejemplo: Dadas las matrices Q y W calcular la multiplicación entre ellas.




MATRIZ INVERSA

1. Definición

Sean A y B dos matrices de n x n. Suponga que:

A∙B=B∙A=I

Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A-1. De esta forma se tiene:

Si A tiene inversa, entonces se dice que A es invertible.

2. Existencia de la Inversa

Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singulary una matriz invertible se llama no singular o regular. Es decir, si el determinante de una matriz A es de la siguiente forma, se tiene:

A∙ A-1= A-1∙A=In




|A| ≠ 0 Matriz no singular o regular|A| = 0 Matriz singular

En definitiva, sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.

Otros criterios para reafirman cuando una matriz es invertible son:i) A es invertible si y sólo si A es equivalente por renglones a la matriz

identidad In; esto es, si la forma escalonada reducida por renglones de A es In.

ii) A es invertible si y sólo si el sistema Ax= b tiene solución única para cada n-vector b.

iii) Si A es invertible, entonces la solución única de Ax= b está dada por x=A-1b.

iv) A es invertible si y sólo si su forma escalonada reducida por renglones tiene n pivotes.

Por ejemplo, un caso de matriz de 3x3 que no es invertible se presenta a continuación:

Sea A = [1 −3 42 −5 70 −1 1]. Calcule A-1 si existe.

Solución

(1 −3 42 −5 70 −1 1|

1 0 00 1 00 0 1)

R2→R2−2 R1→(1 −3 40 1 −10 −1 1 | 1 0 0

−2 1 00 0 1)

R1→R1+3R2→(1 0 10 1 −10 0 0 |−5 3 0

−2 1 0−2 1 1)

Hasta aquí se puede llegar. La matriz A no puede reducirse a la matriz identidad, por lo que se concluye que A no es invertible.

R3→R3+R2




3. Propiedades

La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

(B ∙ A)-1 = A-1 ∙ B-1

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

(AT)-1 = (A-1)T

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

A−1= 1|A|

adj(A )T

Donde |A| es el determinante de A y adj(A) es la matriz de adjuntos de A.

4. Métodos para hallar la matriz inversa

Aplicando la definición Por el método de Gauss Por determinantes o matriz adjunta

4.1. Por definición o Método Directo

Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1. Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener que x =1/2, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1. Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.




Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que:

A ・X = ln

Es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.

Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales

es notoria cuando no podemos “despejar” la matriz X del modo X=I nA

, porque no

hemos definido la división de matrices.

Ejemplo:

Determinar la inversa de la matriz A=[ 1 2−1 1]

El método directo consiste en determinar A-1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, se busca otra matriz de igual tamaño (orden 2) tal que

A∙ A-1=I2 y A-1∙ A=I2. Dicha matriz es A−1=[ x y

z t ] como:

A-1∙ A=I2 [ 1 2−1 1] ∙[ x y

z t ]=[1 00 1]→[ x+2 z y+2 t

−x+ z − y+t ]=[1 00 1 ]

{x+2 z=1y+2 t=0−x+ z=0− y+ t=1

Al resolver este sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, se obtiene que:

x=13, y=−2

3, z=1

3,t=1

3

4.2. Método de Gauss-Jordan




Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A-1.

Se llama transformación elemental en una matriz a:T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.

Veamos cómo se realiza el método de Gauss-Jordan, realizándolo a la vez con la

matriz ( 1 2−1 1).

i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente. En nuestro caso:

( A|I 2 )=( 1 2−1 1|1 0

0 1)ii) Se hace la matriz triangular superior (es decir, hacemos ceros por

debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales en filas.La mejor forma de realizar esto es hacer cero los elementos de la diagonal en la primera columna usando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la segunda columna usando la fila 2 y así sucesivamente.En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:

( A|I 2 )=( 1 2−1 1|1 0

0 1)F2+F1→(1 20 3|1 0

1 1)iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular

inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:Hacer ceros los elementos por encima de la diagonal en la última columna usando la última fila. Luego, hacer cero los elementos por encima de la diagonal en la penúltima columna usando la penúltima fila, y así sucesivamente. En nuestro caso:




(1 20 3|1 0

1 1)3 F1−2F2→(3 00 3|1 −2

1 1 )iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir cada fila

entre el número adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:

(3 00 3|1 −2

1 1 ) F13 ,F23

→

(1 00 1|1/3 −2/3

1/3 1/3 )

v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a:

( I 2 , A−1 )=(1 00 1|1 /3 −2/3

1 /3 1/3 )→ A−1=(1 /3 −2/31 /3 1/3 )=13 .(1 −2

1 1 )Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila es de ceros, la matriz no tiene inversa.

Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este método frente al directo.

Veamos otro ejemplo:

Calcular la inversa de la matriz B=( 1 1 0−1 1 21 0 1) por el método de Gauss-Jordan.

Siguiendo los pasos anteriores:

(B|I 3 )=( 1 1 0−1 1 21 0 1|

1 0 00 1 00 0 1)F2+F1→ (1 1 0

0 2 21 0 1|

1 0 01 1 00 0 1)

F3−F1→ (1 1 0

0 2 20 −1 1|

1 0 01 1 0

−1 0 1)




2 F3+F2→ (1 1 0

0 2 20 0 4|

1 0 01 1 0

−1 1 2)2 F2−F3→ (1 1 00 2 20 −1 1|

1 0 01 1 0

−1 0 1) 4 F1−F2→

4 F1−F2→ (4 0 0

0 4 00 0 4|

1 −1 23 1 −2

−1 1 2 )F14,F24,F34

→(1 0 00 1 00 0 1|

1/4 −1 /4 1/23/ 4 1 /4 −1/2

−1/4 1 /4 1/2 )=(I 3|B−1 )

→B−1=( 1/4 −1/4 1 /23 /4 1/4 −1 /2

−1/4 1/4 1 /2 )También se puede expresar sacando factor común:

B−1=14.( 1 −1 23 1 −2

−1 1 2 )Es la inversa de B.

Si calculamos por este método la inversa de A=(1 12 2) resulta:

( A|I 2 )=(1 12 2|1 0

0 1)F2−2F1→(1 10 0| 1 0

−2 1)Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.

4.3. Determinantes o matriz de adjuntos

Dada una matriz A, determinamos la matriz de adjuntos de su traspuesta. Si multiplicamos esa matriz por 1/|A| se obtiene la matriz inversa de A.

A−1= 1|A|

adj (A )T




( 2 −2 1−1 1 1−1 3 5)

Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:

| 2 −2 1−1 1 1−1 3 5|=10+2−3+1−6−10=−6

Después calculamos cada uno de los adjuntos :

Y por tanto

A−1=−16 ( 2 13 −3

4 11 −3−2 −4 0 )

Comprobación

5. Uso de la inversa de una matriz para resolver un sistema de ecuaciones

Resuelva el sistema2x + 4y + 3z = 6

y – z = - 4




3x + 5y + 7z =3

Solución. Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde

A=⌈2 4 30 1 −13 5 7

⌉ y B=⌈6

−47⌉

A−1=⌈4 −13/3 −7/3

−1 5/3 2/3−1 2/3 2/3

⌉

Así, la solución única dada por:

x=⌈xyz⌉=A−1b=¿ ⌈

4 −13/3 −7/3−1 5/3 2/3−1 2/3 2/3

⌉ ⌈6

−47⌉=⌈

25−8−4

⌉

BIBLIOGRAFÍA

GROSSMAN, Stanley l. Algebra lineal. 5ta Edición. Editorial McGraw Hill. 2008

http://www.ematematicas.net/matrices.php?a=6&tipo=6

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertible

http://personal.redestb.es/ztt/tem/t6_matrices.htm

http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Desarrollo_de_un_determinante




http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T06.pdf

http://www.investigacion-operaciones.com/Calculo%20matricial.htm

http://books.google.com.co/books?id=zsQM4QfNVwoC&pg=PA67&lpg=PA67&dq=matriz+bandeada&source=bl&ots=tnAHbNsrMX&sig=2k62ChbPb1F0M1vAiOg_jXP67PA&hl=es&ei=qWAgTL_CMoO8lQffuLSdAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CDoQ6AEwBw#v=onepage&q=matriz%20bandeada&f=false

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