Suhteellisuusteorian perusteet kevät 2014

•  Luennot maanantaisin ja tiistaisin 12-14, D101 –  Syksy Räsänen: C326

•  Laskuharjoitukset (25% arvosanasta) –  Kuusi suomenkielistä ryhmää ja yksi ruotsinkielinen ryhmä, alk. viikolla 4 –  Tehtävät ilmestyvät kotisivulle maanantaisin –  Sähköpostiosoitteet: etunimi.sukunimi@helsinki.fi

•  Lopputenttiin osallistuminen edellyttää 25%:a laskuharjoituspisteistä

•  Kurssin uusiminen edellyttää 25%:a kokonaispisteistä. •  Loppukokeen tekemisestä myöhemmin pitää sopia etukäteen •  Kotisivu http://theory.physics.helsinki.fi/~specrel/

1

Kurssin sisältö Suppeaa suhteellisuusteoriaa

•  Perusta: Suhteellisuusperiaate, Lorentzin muunnos. •  Kausaliteetti, nopeuksien yhteenlasku, lipputankoparadoksi,

kelloparadoksi. •  Neliulotteinen aika-avaruus •  Relativistinen dynamiikka (peruslait, E=mc2, fotonit, Dopplerin ilmiö) •  Hiukkaskinematiikkaa (periaatteet ja esimerkkejä) Yleistä suhteellisuusteoriaa •  Perusta: Gravitaatio aika-avaruuden kaarevuutena, metriikka •  Schwarzschildin metriikka ja mustat aukot, gravitaatiopunasiirtymä •  Valon taipuminen, gravitaatiolinssit ja gravitaatioaallot Kosmologiaa •  Maailmankaikkeuden laajeneminen, alkuräjähdys •  Maailmankaikkeuden geometria •  Valon kulku maailmankaikkeudessa, kosmologinen horisontti •  Pimeä aine ja pimeä energia

2

Isaac Newton ja Principia Mathematica

Isaac Newton (1642 – 1727) Principia 1687

3

NEWTONIN LAIT

vakio=v●1. JATKUVUUS

Vapaan kappaleen liiketila säilyy.

Vakionopeudella tapahtuva liike on inertiaalista.

● 2. VOIMA

voima = liiketilan muutos ;d mdt

= =pF p v

4

● 3. VOIMA JA VASTAVOIMA

Jos A vaikuttaa B:hen voimalla F, niin B vaikuttaa A:han voimalla –F.

On olemassa absoluuttinen aika ja absoluuttinen avaruus, mutta matematiikka ei vaadi absoluuttista nopeutta.

ABSOLUUTTISUUS JA SUHTEELLISUUS

•  Suure on absoluuttinen, jos sen arvo on sama kaikille havaitsijoille, joiden liike on inertiaalista. (Usein käytetään myös ilmaisua invariantti, joka tarkoittaa samaa kuin absoluuttinen.)

•  Inertiaalinen liike tarkoittaa liikettä vakionopeudella. •  Absoluuttisen vastakohta on suhteellinen. •  Klassisessa mekaniikassa (=Newtonin mekaniikassa)

absoluuttisia suureita ovat esimerkiksi aika, etäisyys, massa ja kiihtyvyys.

•  Klassisessa mekaniikassa suhteellisia suureita ovat esimerkiksi

paikka ja energia.

•  Jos yhtälön muoto on sama kaikille inertiaalisille havaitsijoille, yhtälö on kovariantti.

5

!2 f!x2

"1c2!2 f!t2

= 0

AALTOYHTÄLÖ GALILEI-MUUNNOKSESSA

Koordinaatistossa K

Koordinaatistossa K’:

!!x

=!x '!x

!!x '

+!t '!x

!!t '

=!!x '

!!t=!x '!t

!!x '

+!t '!t

!!t '

=!!t '

" v !!x '

!2

!x2=!2

!x '2

!2

!t2=!2

!t '2" 2v !

!x '!!t '

+ v2 !2

!x '2

#!2

!x2"1c2

!2

!t2= 1" v

2

c2$

%&

'

()!2

!x '2+ 2 v

c2!2

!t '!x '"1c2

!2

!t '2*!2

!x '2"1c2

!2

!t '2

Lasketaan aalto-operaattorin muunnos:

6

aaltoyhtälön muoto ei ole sama K’:ssa

x ' = x ! vtt ' = t

Millainen tulisi koordinaattimuunnoksen olla, jotta valon nopeus on sama sekä koordinaatistossa K että sen suhteen vakionopeudella v liikkuvassa koordi- naatistossa K’?

Oletetaan, että muunnos aika- ja paikkavälien välillä on sama kaikkialla (otetaan yksiulotteinen tapaus yksinkertaisuuden vuoksi):

dx ' = Adx +Bdtdt ' = Ddt +Edx

x ' = Ax +Bt + x0t ' = Dt +Ex + t0

Jos x=x’=0 , kun t=t’=0 t0=x0=0

7

Määrättäväksi jää neljä vakiota A, B, D ja E, joten tarvitaan neljä yhtälöä sitomaan ne toisiinsa. Nämä saadaan, kun vaaditaan, että: 1.  Valon nopeus on sama kaikissa koordinaatistoissa 2.  Liike on suhteellista 3.  Käänteismuunnos on konsistentti

''

dxA Bdx Adx Bdt dtdxdt Ddt Edx D Edt

++= =

+ +

1. Valon nopeus on sama K:ssa ja K’:ssa

Kappaleen nopeus K:ssa on dx/dt, ja vastaavasti K’:ssa dx’/dt’. Tällöin

Jos dx/dt=c, vaaditaan siis että myös dx’/dt’=c. Näin saadaan

2 ( )Ac Bc Ec A D c BD Ec

+= ⇒ = − +

+

8

x ' = Ax +Btt ' = Dt +Ex

2. Liikkeen suhteellisuus

K’ liikkuu K:n suhteen nopeudella v; toisin sanoen, koordinaatti x’ = 0 on K:ssa x(x’=0) = vt. Mutta K’:sta katsoen K liikkuu vastakkaiseen suuntaan nopeudella v, joten koordinaatti x = 0 on K’:ssa x’(x=0) = -vt’. Näin saadaan kaksi ehtoa:

'( 0) ' '( 0)/

x x vt Bt vt x vDtD B v A= = − ⇒ = − = = −

⇒ = − =

( ' 0) 0x x vt Avt BtB Av= = ⇒ + =

⇒ = −

Koska A=D, kohdasta 1 luetaan nyt, että 2Ec B Av= = −

9

( )

( )2'

' /

x A x vt

t A t vx c

= −

= −

Näin saadaan yleisimmäksi mahdolliseksi muunnokseksi

x ' = Ax +Btt ' = Dt +Ex

3. Käänteismuunnos

Jos siirrytään ensin koordinaatistoon nopeudella v, ja sieltä uuteen koordinaatistoon nopeudella –v, pitää päästä takaisin alkuun.

10

( )

( )22 2

'

' /

1/ (1 / )

x x vt

t t vx c

v c

γ

γ

γ

= −

= −

= −

x ' = A(x ! vt)t ' = A(t ! vx / c2 )

t = A(t '+ vx '/ c2 ) = A2 (t ! vx / c2 + v(x ! vt) / c2 )= A2t(1! v2 / c2 )

" A = 11! v2 / c2

# !

Lorentz-muunnos on siis kaikkiaan:

v=vex

K(x,y,z,t) K’(x’,y’,z’,t’)

Voidaan aina valita koordinaatistot siten, että K’ liikkuu K:n x-akselin suuntaan

HUOM: v voi olla myös < 0: K’ voi liikkua negatiiviseen suuntaan x-akselilla

22

2

/11

)('

','),('

cv

cvxtt

zzyyvtxx

−=

−=

==−=

γ

γ

γ

Lorentzin muunnos Jos v = 0, K on K’:n lepokoordinaatisto.

kolmessa ulottuvuudessa

11

!2 f!x2

"1c2!2 f!t2

= 0

Miten aaltoyhtälö käyttäytyy Lorentz-muunnoksissa?

K:ssa

Hypätään K’:n koordinaatteihin

''''

''

''''

''

2

txv

ttt

xtx

t

tcv

xtxt

xxx

x

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

γγ

γγ

!2

!x2= ! 2

!2

!x '2+!vc2"

#$

%

&'2!2

!t '2(2! 2vc2

!!x '

!!t '

!2

!t2= ! 2v2 !2

!x '2+! 2

!2

!t '2( 2! 2v !

!x '!!t '

)!2

!x2(1c2

!2

!t2= ! 2 1( v

2

c2"

#$

%

&'!2

!x '2(! 2

c21( v

2

c2"

#$

%

&'!2

!t '2=!2

!x '2(1c2

!2

!t '2

Lasketaan aalto-operaattori

12

aaltoyhtälön muoto sama myös K’:ssa

Maxwellin yhtälöt säilyvät muuttumattomina siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen

suppeassa suhteellisuusteoriassa vaaditaan, että kaikki fysiikan lait pysyvät muuttumattomina siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen (eli ne ovat kovariantteja)   muutoksia Newtonin lakeihin (palataan tähän myöhemmin)

13

14

Newtonin mekaniikassa absoluuttisuus tarkoittaa muuttumattomuutta (invarianssia) Galilei-muunnoksessa.

Suppeassa suhteellisuusteoriassa absoluuttisuus tarkoittaa muuttumattomuutta Lorentz-muunnoksessa.

Suppeassa suhteellisuusteoriassa absoluuttisia ovat esimerkiksi massat, valonnopeus ja kausaalisuhteet. Suhteellisia taasen ovat esim. nopeudet, paikat, energia sekä etäisyydet ja aikavälit.

x ' = x ! vtt ' = t

t ' = ! t ! vx / c2( )x ' = ! x ! vt( )! "1/ 1! v2 / c2

Kappaleen liike K’:ssa näyttää myös erilaiselta verrattuna K:hon

NOPEUKSIEN YHTEENLASKU

dx ' = ! (v)[dx ! vdt]

dt ' = ! (v) dt ! vdxc2

"

#$

%

&'

v1

K K’

''

dtdx

dtdx

'')'(')(

KKdttdx

dttdx

→

→Kappaleen nopeus

Lorentz-muunnokset

15

dx 'dt '

=dx ! vdt

dt ! vdxc2

=

dxdt! v

1! vc2dxdt

u ' = u! v

1! uvc2

u '(t ') = dx 'dt ', u(t) = dx

dt

Huom! Kaikki yo. nopeudet voivat olla negatiivisia tai positiivisia riippuen siitä, mihin suuntaan eri koordinaatistot kulkevat toistensa suhteen.

16

ESIMERKKI Koordinaatisto K” liikkuu K’:n suhteen nopeudella -3c/5, ja K’ liikkuu K:n suhteen nopeudella 4c/5. Mikä on K”:n nopeus K:ssa?

ccKv

vKvcKvvKv

vKvcKvvKv

cKvvvKvKv

135

254354

53

2

2

2

1)(

)(')('1)(

)()(1)(')(1

)()('

=+

+−=ʹ′ʹ′⇒

+ʹ′ʹ′=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ʹ′ʹ′+ʹ′ʹ′⇒

−ʹ′ʹ′=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ʹ′ʹ′−ʹ′ʹ′⇒

ʹ′ʹ′−

−ʹ′ʹ′=ʹ′ʹ′

⋅−

-  Huolellisesti etumerkkien kanssa! -  Jos saa tulokseksi >c, on tehnyt virheen!

v

K K’

K”

v´(K”)

17

ENTÄ JOS KAPPALE (= INERTIAALIKOORDINAATISTO K”) LIIKKUU VALON NOPEUDALLA K:SSA?

c

cvcvcc =

−

−=

21'

eli valon nopeus on vakio, kuten olla pitääkin

Suhteellisuusteoria on rakennettu siten, että valon nopeus on vakio kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.

Tämä on matemaattinen tosiseikka, jota mikään päättely tai argumentti ei pysty muuttamaan.

c

cvcvcc −=

+

−−=

21'

jos valo matkaa pitkin x-akselia negatiiviseen suuntaan

OK

18

ESIMERKKI: AMMUTAAN KAKSI VALONSÄDETTÄ VASTAKKAISIIN SUUNTIIN

K’ K K”

v’(K) = -c v’(K”) = c

Mikä on K”:n nopeus K:ssa? EI ainakaan 2c!

c

cccccKv

cKvvvKvKv =

⋅+

+=ʹ′ʹ′⇒

ʹ′ʹ′+

+ʹ′ʹ′=ʹ′ʹ′

22 1)()('1

)(')(

Käytetään yhteenlaskukaavaa. Siellä esiintyy v, K’:n nopeus K:ssa, joka nopeuden suhteellisuuden perusteella on – v’(K) = c

K siis näkee toisen valonsäteen etääntyvän valon nopeudella, kuten pitääkin. (Huom: havaitsijat liikkuvat aina alle valon nopeutta, lasku pitää ymmärtää raja-arvona!)

19

v v2 Suht.nopeus 0.1 c -0.198 c 99% x 2v 0.5 c -0.8 c 80% x 2v 0.9 c -0.994 c 55% x 2v 0.95 c -0.999 c 53% x 2v

ESIMERKKI: JUNAT OHITTAVAT ASEMAN

Kasema

K’ K”

v -v

• K” liikkuu nopeudella v2 K’:ssa • K” liikkuu nopeudella -v K:ssa • K’ liikkuu nopeudella +v K:ssa

v2 =!v ! v

1+ v " vc2

=!2v

1+ v2

c2

#

kun v<<c!! 2v 1! v

2

c2$

%&

'

()

20

KAUSAALISUHDE Koska samanaikaisuus on suhteellista, meidän tulee olla huolestuneita syy-seuraus –suhteesta. Voisiko seuraus olla ennen syytä jossakin inertiaalikoordinaatistossa? Tämä kuulostaisi järjettömältä!

A on B:n syy A:n aikakoordinaatti on pienempi kuin B:n aikakoordinaatti

tA ! tB "#t = tB $ tA % 0

!t ' = ! !t " vc2!x

#

$%

&

'(

= !!t 1" v!x /!tc2

#

$%

&

'(

21

•  Jos otetaan tunnetuksi, että pätee aina v<c (koska muutoin Lorentz-muunnoksissa esiintyvä γ-tekijä olisi imaginaarinen!), niin nähdään, että tapahtumien aikajärjestys säilyy kunhan

22

!x!t

"c2

v

•  Epäyhtälön tulee päteä kaikilla v:n arvoilla, eli saadaan ehto

!x!t

< c

•  Jos kahden tapahtuman välinen paikkaetäisyys on niin pieni verrattuna aikaetäisyyteen, että valo olisi ehtinyt kulkea niiden välillä, niin tapahtumien aikajärjestys on kaikille havaitsijoille sama, eli absoluuttinen.

•  Jos kaksi tapahtumaa ovat niin etäällä, että valo ei olisi ehtinyt kulkea niiden välillä, niiden aikajärjestys on suhteellinen.

•  Jos kausaliteetin halutaan säilyvän, c on isoin mahdollinen signaalinopeus.

•  Erikoistapauksena on tilanne, jossa Δt=0. Tästä ei seuraa, että Δt’=0:

23

2' 0 vt t xc

Δ = ⇒ Δ = Δ

•  K:ssa samanaikaisille tapahtumille Δt = 0 •  K’:ssa samanaikaisille tapahtumille Δt’ = 0 •  yleisesti Δt ≠ Δt’

•  Samanaikaisuus on suhteellista, paitsi jos Δx=0.

LORENTZIN MUUNNOSTEN FYSIKAALISIA SEURAUKSIA

•  Lorentzin kontraktio: liikkuva sauva kutistuu

•  Aikadilataatio: liikkuva kello jätättää

•  Aberraatio: kulmat pienenevät

Nämä fysikaaliset ilmiöt johtavat arkijärjen kannalta vaikeasti ymmärrettäviin seurauksiin, ”paradokseihin”: Lorentzin kontraktio lipputankoparadoksi aikadilataatio kaksosparadoksi

24 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/relcon.html#relcon

Hyvä www-sivu:

Lorentzin kontraktio

K=sauvan lepokoordinaatisto

l0 = !x

koordinaatisto K’ liikkuu K:n suhteen !x ' = ! (!x " v!t)

K’ K päät mitataan samanaikaisesti

02

01 1 lll βγ −== − cv /≡β

Liikkuva sauva lyhenee – ts. sauvan suhteen liikkuva havaitsija mittaa sen pituudeksi pienemmän numeron kuin sen suhteen levossa oleva havaitsija. 25

!t ' = ! !t " vc2!x

#

$%

&

'(

!x ' = ! (!x " v!t)

!"t ' = ! "t # vc2"x

$

%&

'

()= 0

!"t = vc2"x

l = !x '

β l [cm] 0.9 43.6 0.99 14.1 0.999 4.5

esimerkki: l0 = 100 cm

Kaikki avaruudelliset etäisyydet ovat liikkuvalle havaitsijalle lyhyempiä. Esim. havaitsija aurinkokunnan läpi kiitävässä raketissa näkee Auringon ja Maan etäisyyden pienempänä.

26

Aikadilataatio

v

K K’

K’ on kellon lepokoordinaatisto

''' 12 ttt −=Δ

0'=Δxajan mittaus = kaksi tapahtumaa

kellon paikka ei muutu

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ+Δ=Δ '' 2 xcvtt γK:ssa

=0 K liikkuu K’:n suhteen nopeudella -v

21' β−Δ=Δ tt

”aika venyy”: ”liikkuvassa koordinaatistossa aika kuluu hitaammin”

27

β Δt’ [päiviä] 0.9 159 0.99 51.4 0.999 16.4 0.9999 5.16

esimerkki: Δt = 1 vuosi

Oikeammin: K:n suhteen liikkuva kello K:n mielestä jätättää verrattuna K:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon. Aika ei kulu hitaammin K’:ssa: kello on siellä levossa, mutta liike on suhteellista: K’:sta katsottuna K:n kello jätättää verrattuna K’:n lepokoordinaatistossa olevaan kelloon.

Kumpikin on oikeassa: ei ole olemassa oikeaa (absoluuttista) aikaa

Entä jos Maasta (K) lähetetään raketti (K’), joka palaa takaisin niin, että K ja K’ voivat lopulta verrata kellojaan – kumman kello on jätättänyt? = kaksosparadoksi (kelloparadoksi)

Tähän palataan myöhemmin 28

•  Kosmisten säteiden (pääasiassa protonien) törmätessä ilmakehään syntyy mm. korkeaenergisiä myoneja.

•  Myonin elinikä on noin τ = 2.2 x 10-6 sekuntia.

•  Keskimäärin myoni siis kulkee c τ = 660 m ennen hajoamista.

•  Jos myoneja syntyy 10 km:n korkeudessa kymmenen miljoonaa, maan pinnalla nähtäisiin siis 107 x e-10 000/660 = 3 myonia.

•  Myoneja nähdään kuitenkin paljon. Tämä johtuu aikadilataatiosta.

29

Esimerkki: epästabiilit hiukkaset

•  Myonin massa on m = 106 MeV/c2. Tyypillisen kosmisista säteistä syntyvän myonin energia on noin E = 6 GeV.

•  Myonin kello käy γ = E/(m c2)=57 kertaa hitaammin kuin levossa. (Palataan tähän energian ja massan suhteeseen myöhemmin!)

•  Niinpä myoni elää 1.3 x 10-4 s, missä ajassa se matkaa 38 km.

•  Myoneja siis nähdään 107 x e-10 000/38 000 = 8 x 106.

•  (Itse asiassa myonit menettävät osan energiastaan törmätessään ilmakehän hiukkasiin matkallaan, mutta suuruusluokka menee oikein.)

•  Tämä on Maapallon lepokoordinaatistossa. Myonin lepokoordinaatistossa sen elinikä ei muutu, mutta sen sijaan kuljettava matka on vain 10 km/57 = 17 m, jonka myoni ehtii hyvin matkata.

•  Aikadilataatio ja Lorentz-kontraktio ovat eri näkökulmia samaan ilmiöön. 30

lipputanko omassa lepokoordi- naatistossaan: l0 = 10 m

5 m tallin lepokoordinaatistossa: mll 51 02 =−= β mahtuu talliin!

2/3cv =

valittu mukavuussyistä

l = ! !1 "5m = 2.5m

7.5 m tankoa jää ulkopuolelle?

Nopeus aina suhteellista:

lipputangon lepokoordinaatistossa

l0 = 10 m

2/3cv =

31

LIPPUTANKOPARADOKSI

Ongelman ratkaisu liittyy samanaikaisuuden määritelmään: pituusmittaus tapahtuu määritelmän mukaan mittaamalla päätepisteet samanaikaisesti. Mutta miten tietää, että lipputanko on tallin sisällä? Samanaikaisuus on suhteellista.

signaali etenee korkeintaan valon nopeudella

clt /0≥ΔTieto saapuu toiseen päähän ajassa

mclctv 7.8/23

0 =×=Δtässä ajassa lipputanko on kulkenut max. matkan

eli takapää saa tiedon, kun se on 8.7 m - 7.5 m = 1.2 m tallin sisäpuolella

Ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita: joko lipputanko tai vaihtoehtoisesti tallin takaseinä on murskautunut jo aikapäiviä sitten kun tangon takapäähän saapuu viimein tieto seinäkontaktista.

32

KAKSOSPARADOKSI ELI KELLOPARADOKSI

•  A jää Maahan koordinaatistoon K •  A:n kaksonen B lähtee avaruusmatkalle lähes valon nopeudella •  A:n mielestä B:n kello jätättää, B:n mielestä A:n kello jätättää •  B kääntyy ja palaa takaisin Maahan, jolloin A ja B voivat vertailla kellojaan samassa lepokoordinaatistossa

Kumman kello on jätättänyt?

•  B kokee kiihtyvyyksiä lähtiessään, kääntyessään ja lopuksi pysähtyessään koordinaatistoon K. (Lähtökiihtyvyyden voi jättää pois, jos

•  Kiihtyvyys on absoluuttista.

•  B:n kello on kulkenut lyhyemmän ajan: hän on palatessaan nuorempi.

•  Ongelmaa voi tarkastella seuraamalla, miten A ja B vertailevat kellojaan.

•  Yksityiskohtainen tarkastelu löytyy oppikirjasta. 33

VALOA NOPEAMMIN?

Eikö nyt sitten kuitenkin ...

Liikutetaan taskulamppua nopeasti  valovuosien päässä olevalla sermillä valotäplä näyttää liikkuvan paljon valoa nopeammin

ammus ei kulje A:sta B:hen

Vrt. valon sijasta kanuuna, jota käännetään 180 astetta

B A

Mikään fysikaalinen ei oikeasti kulje välillä A, B

triviaalisti väärin

34

ω

A

B

kärjen pituus monta valovuotta >> käsiosa

väärin mielenkiintoisella tavalla

Voima etenee A:sta B:hen nopeudella v < c kärjet jäävät jälkeen; kun yksittäisen metalliatomin nopeus lähestyy valon nopeutta, sen kineettinen energia kasvaa niin suureksi, että metallihilan sidosenergia ei enää pysty pitämään saksien rakennetta koossa sakset murtuvat ennen kuin valon nopeus saavutetaan

A

B

Luonnossa ei ole olemassa absoluuttisen jäykkiä kappaleita 35

•  Suhteellisuusteoriassa valon nopeus c on 299 792 458 m/s.

•  Väliaineessa valo kuitenkin kulkee nopeudella c/n, missä n on taitekerroin.

•  On mahdollista, että väliaineessa elektroni voi kulkea nopeammin kuin valo. Tällöin elektroni lähettää tserenkov-valoa, joka siis on osoitus valoa nopeammasta liikkeestä.

•  Elektronin nopeus on kuitenkin aina pienempi kuin valon nopeus

tyhjiössä, c > velektroni> c/n.

•  Oleellista suhteellisuusteoriassa on se, että on olemassa maksimisignaalinopeus c. Se, millä nopeudella sähkömagneettinen säteily kulkee, on toissijaista.

36

Tserenkov-valo

ilma n = 1.0003 vesi n = 1.33

•  Pitää siis erottaa tuo maksimisignaalinopeus ’valonnopeus’ ja sähkömagneettisen aaltojen nopeus, ’valon nopeus’.

•  Maxwellin yhtälöiden mukaan sähkömagneettisten aaltojen nopeus tyhjössä on sama kuin maksimisignaalinopeus.

•  Väliaineessa sähkömagneettisten aaltojen nopeus on kuitenkin pienempi kuin maksimisignaalinopeus.

37

•  Ryhmä on joukko alkioita (A, B, C, ...) joille on määritelty laskutoimitus *, ja jotka toteuttavat seuraavat ehdot.

1.  Laskutoimitus on assosiatiivinen: (A*B)*C=A*(B*C)

2.  Joukko on suljettu: A*B kuuluu joukkoon

3.  On olemassa identiteettielementti: e*A=A*e=A

4.  Kaikilla alkioilla on käänteisalkio: A-1*A=A*A-1=e

•  Esimerkiksi avaruuden kerrot muodostavat ryhmän, samoin Lorentz-muunnokset.

38

Ryhmä

39

Hiukkaskinematiikkaa

Galilei-muunnos Lorentz-muunnos Paikka Suhteellinen Suhteellinen Aika ja aikaväli Absoluuttinen Suhteellinen Paikkaväli Absoluuttinen Suhteellinen Kappaleiden nopeus Suhteellinen Suhteellinen

Klassinen mekaniikka vrt. suppea suhteellisuusteoria

40

Valon nopeus Suhteellinen Absoluuttinen Massa Absoluuttinen Absoluuttinen Energia Suhteellinen Suhteellinen Liikemäärä Suhteellinen Suhteellinen

Suhteellinen Absoluuttinen c2t2 ! x2 ! y2 ! z2

x0 ! x '0 = ! (x0 "!x1)x1! x '1 = ! (x1 "!x0 )

t! t ' = tx! x ' = x " vt

x0 = ct! = v / c

! =1/ 1!" 22

Avaruus Absoluuttinen Suhteellinen Aika-avaruus - Absoluuttinen

•  Avainasemassa ovat vakionopeudella liikkuvat koordinaatistot, eli inertiaalikoordinaatistot.

•  Fysiikan lait eivät riipu koordinaatistosta, eli ovat kovariantteja.

•  Erona klassiseen mekaniikkaan, valon nopeus on sama kaikille havaitsijoille, eli invariantti eli absoluuttinen.

•  Tästä johtuen inertiaalikoordinaatistojen välillä siirrytään Lorentz-muunnosten avulla:

•  Fysiikan lait ovat Lorentz-kovariantteja.

•  Valon nopeus on korkein mahdollinen signaalinopeus, mikä takaa sen, että kausaliteetti ei rikkoudu eli seuraus ei tule ennen syytä. 41

Suppea suhteellisuusteoria: yhteenveto

t! t ' = ! (t " vc2x)

x! x ' = ! (x " vt)

x0 ! x '0 = ! (x0 "!x1)x1! x '1 = ! (x1 "!x0 )

•  Aika- ja paikkavälit riippuvat havaitsijasta, eli ne ovat suhteellisia: aikadilataatio ja Lorentz-kontraktio.

•  Pituusmittauksessa paikka on otettava samalla

ajanhetkellä, aikamittaus on tehtävä samassa paikassa.

•  Aika-avaruudessa mitattu etäisyys on invariantti:

•  Aika ja avaruus muodostavat absoluuttisen neliulotteisen aika-avaruuden, joka on epäeuklidinen.

42

Suppea suhteellisuusteoria: yhteenveto

dt! dt ' = ! (dt " vc2dx)

dx! dx ' = ! (dx " vdt)

c2t2 ! x2 ! y2 ! z2

•  Newtonin 2. lakia pitää muuttaa, jotta se olisi Lorentz-kovariantti:

•  Neli-impulssi säilyy:

•  Lepoenergia:

43

Suppea suhteellisuusteoria: yhteenveto

F! =ma! = dp!

d"; p! =mu!

p ! p = Ec

"

#$

%

&'2

(p2 =m2c2

) E 2 =m2c4 +p2c2

itseisaika

v = dxdt

a = dvdt

p = !mv

F = dpdt

x! = ct,x( )u! = "c,"v( )

a! = "d"dtc," d"

dtv+! 2a

!

"#

$

%&

p! = Ec,"mv

!

"#

$

%&=

Ec,p

!

"#

$

%&

pn!

n=alkutila! = pn

!

n=lopputila!

•  Miksi vakionopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat erityisasemassa (eli miksi Lorentz-muunnos tehdään samalla tavalla joka paikassa aika-avaruudessa)?

•  Newtonin gravitaatiolaki ei ole Lorentz-kovariantti. Miten se pitäisi yleistää?

44

Kohti yleistä suhteellisuusteoriaa