Sürekli Zamanda riskli Menkul Kıymet Fiyat Modelleri

GoBack

1 / 46

Riskli Menkul Kıymet Fiyat Modelleri

Salim Kasap

March 26, 2011

Giriş

GirişGirişModelleme: Getirimi Fiyat mı?Fiyatlar, GetirilerSatım OpsiyonuHisse BeklenenDeğerSatım OpsiyonuFiyatıSatım OpsiyonuFiyatı IIJensen EşitsizliğiJensen Eşitsizliği IIGetiriler - KoçHolding10.06.1998-14.11.2008Fiyatlar - KoçHolding10.06.1998-14.11.2008Hisse Getirisi

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci

Aritmetik BrownHareketi

Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

2 / 46

Giriş


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

3 / 46

■ Neden riskli menkul kıymet getirileri modelleniyor?Fiyatlar modellen miyor?

■ Rassal yürüyüş (Random Walk)

■ Wiener Süreci (Brown Hareketi)

■ Aritmetik Brown Hareketi

■ Îto’nun lemması

■ Geometrik Brown Hareketi

■ Çok boyutlu Ito formülü

■ İlşkili Wiener Süreçleri

Modelleme: Getiri mi Fiyat mı?


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

4 / 46

■ Bir menkul kıymetin gelecekteki fiyatının neolacağının bugünden kesin bir doğrulukla bilinmesiolası değildir.



Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

4 / 46


■ Fiyatlar piyasada pekçok katılımcının beklentilerive bunların birbirleri ile olan etkileşimleri ile oluşur.



Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

4 / 46


■ Fiyatlar piyasada pekçok katılımcının beklentilerive bunların birbirleri ile olan etkileşimleri ile oluşur.

■ Fiyat oluşurken kararlar belirsizlik altında verilir.Bu belirsizlik varolduğuna göre riskli menkulkıymet fiyatlarını rassal olarak modelleyebiliriz.

Fiyatlar, Getiriler


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

5 / 46

Fiyatları 5 TL ve 75 TL olan hisselerden

■ Birinci hissenin bir yılda %75 yükselme potansiyeliolduğunu düşünüyoruz,

Fiyatlar, Getiriler


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

5 / 46



■ Ikinci hisse yükselme potansiyeli ise %5.

Fiyatlar, Getiriler


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

5 / 46



■ Ikinci hisse yükselme potansiyeli ise %5.

Hangi hisseyi almamız gerektiğine getirilere bakarakkarar verebiliriz. Finansal menkul kıymetlerde önemliolan fiyat seviyeleri değil getiridir, dolayısı ilefiyatlardan ziyade getirinin modellenmesi gerekir.

Satım Opsiyonu


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

6 / 46

Hisse senedi bir yıl içerisinde eşit olasılıkla 10 TL fiyatadüsecek veya 90 TL fiyata çıkacak. 50 kullanım fiyatlıbir satım (put) opsiyonunun değeri ne olabilir?

Hisse Beklenen Değer


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

7 / 46

Hisse senedi, S, beklenen fiyatını formüle edelim:

E[S] =1

2× 10 +

1

2× 90 = 50

Hisse Beklenen Değer


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

7 / 46

Hisse senedi, S, beklenen fiyatını formüle edelim:

E[S] =1

2× 10 +

1

2× 90 = 50

90

10

50 Hisse = ½ * 90 + ½ * 10 = 50

½

½

Satım Opsiyonu Fiyatı


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

8 / 46

Put fonksiyonu değeri:

p = max(K − S, 0)

Satım Opsiyonu Fiyatı


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

8 / 46

Put fonksiyonu değeri:

p = max(K − S, 0)

Hisse beklenen değeri ile put opsiyonunu fiyatlarsak:

p(K − S, 0); K = S → p = 0

Satım Opsiyonu Fiyatı II


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

9 / 46

İlk grafikten hatırlanacağı üzere put opsiyonu zamanınen az yarısında bir değer ifade ediyor. Doğru fiyatlamaiçin opsiyonun beklenen değerinin kullanılması gerekir.



Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

9 / 46


max(K-S,0) = max(50-10,0) = 40

max(K-S,0) = max(50-90,0) = 0

Put = ½ * 40 + ½ * 0 = 2050

½

½



Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

9 / 46


max(K-S,0) = max(50-10,0) = 40

max(K-S,0) = max(50-90,0) = 0

Put = ½ * 40 + ½ * 0 = 2050

½

½

Put değeri: E[f ] = E[f(S)] = 20

Jensen Eşitsizliği


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

10 / 46

Opsiyonu fiyatlarken beklenti operatörlerinin yeriönemli:

E[f(S)] ≥ f(E[S]) (1)



Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

10 / 46


E[f(S)] ≥ f(E[S]) (1)

Konveks dönüşüm uygulanan bir ortalama, konveksdeğişim sonrası ölçülen ortalamadan küçük veya eşitolur.



Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

10 / 46


E[f(S)] ≥ f(E[S]) (1)

Konveks dönüşüm uygulanan bir ortalama, konveksdeğişim sonrası ölçülen ortalamadan küçük veya eşitolur. S̄, S ortalaması ise

S = S̄ + ǫ

yazabiliriz. S̄ = E(S) olur, dolayısı ile E[ǫ] = 0.

Jensen Eşitsizliği II


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

11 / 46

E[f(S)] fonksiyonunu Taylor açılımı ile ifade edelim:

E[f(S)] = E[f((S̄) + ǫ)

]

= E

f(S̄ + ǫf ′(S̄)︸︷︷︸

0

+1

2ǫ2f ′′(S̄) + . . .

≈ f(S̄) +1

2ǫ2f ′′(S̄)

= f(E[S]) +1

2ǫ2f ′′(S̄)

Jensen Eşitsizliği II


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

11 / 46

E[f(S)] fonksiyonunu Taylor açılımı ile ifade edelim:

E[f(S)] = E[f((S̄) + ǫ)

]

= E

f(S̄ + ǫf ′(S̄)︸︷︷︸

0

+1

2ǫ2f ′′(S̄) + . . .

≈ f(S̄) +1

2ǫ2f ′′(S̄)

= f(E[S]) +1

2ǫ2f ′′(S̄)

1 Numaralı denklemin sol tarafı sağ tarafından yaklaşıkolarak:

1

2ǫ2f ′′(S̄) daha büyüktür.

Getiriler - Koç Holding10.06.1998-14.11.2008


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

12 / 46

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

-20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

Getiri

Göz

lem

%

Getiri Dağılımı Normal

Fiyatlar - Koç Holding10.06.1998-14.11.2008


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

13 / 46

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

0,24 1,24 2,24 3,24 4,24 5,24

Fiyat

Göz

lem

%

Fiyat Dağılımı Normal

Hisse Getirisi


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

14 / 46

Hisse getirisi basit olarak şu şekilde yazılabilir:

R(i) =S(i + 1) − S(i)

S(i)

Denklemden hareketle:

S(i + 1) = S(i)(R(i) + 1) (2)

Hisse Getirisi


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

14 / 46

Getiri dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonun normaldağılım özelliklerine yakın olduğunu kabul edebiliriz. Bubağlamda getiriler

1√2π

e−12φ2

formuna uygun hareket ediyor denilebilir. φ, N(0, 1)dağılımından rassal olarak elde edilen standart normaldeğişkendir. Getirileri modellemeye hazırız:

R(i) =S(i + 1) − S(i)

S(i)= ortalama + standart sapma × φ

Hisse Getirisi


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

14 / 46

Ortalama, modelleme dönemine uygun olarak getirilerinortalaması olarak alınabilir, standart sapma iseörneklem standart sapmasıdır:

E[R] = R̄ =1

n

n∑

i

Ri σ2 =1

n

n∑

i

(Ri − R̄

)2

Hisse Getirisi


Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik Brown

14 / 46

Yukarıda verdiğimiz örnek kesikli (discrete) zaman içingeçerlidir. İlerleyen kısımlarda sürekli zamanda(continuous time) menkul kıymet fiyatlarını aşağıdakişekilde modelleyeceğiz:

dS

S= µdt + σ (standart sapma) × φ

Rassal Yürüyüş

Giriş

Rassal YürüyüşRassal YürüyüşRassal YürüyüşMomentleriRassal YürüyüşGenellemeler

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik BrownHareketi

Çok Boyutlu İtôFormülü, BağımsızSüreçler

İlişkili (Correlated)Wiener Süreçleri

15 / 46

Rassal Yürüyüş

Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




16 / 46

Elimizde H0 anındaki fiyatı 0 olan ve seçtiğimiz zamanölçütünde (t) eşit olasıkla bir adım ileri (+1) veya geri(−1) hareket eden, ve bu hareketleri birbirindenbağımsız olan bir hisse senedimiz olduğunu varsayalımt = 1 anı için olasılıklar:

Pr[H1 = −1] = Pr[H1 = 1] =1

2

Rassal Yürüyüş

Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




16 / 46


Pr[H1 = −1] = Pr[H1 = 1] =1

2

t = 2 anında hisse 14, 1

2, 1

4olasıkları ile −2, 0, 2

pozisyonlarında;

Rassal Yürüyüş

Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




16 / 46


Pr[H1 = −1] = Pr[H1 = 1] =1

2

t = 3 anında 18, 3

8, 3

8, 1

8olasılıklarla −3,−1, +1, +3

pozisyonlarında olabilir.

Rassal Yürüyüş

Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




16 / 46

t=0 t=1 t=2 t=33

2

1 1

0 0

-1 -1

-2

-3

1/2

1/2

1/4

1/4

1/4

1/4

1/8

1/8

1/4

1/4

1/8

1/8

Rassal Yürüyüş

Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




16 / 46

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 51 101 151 201 251 301 351 401 451 501 551 601 651 701 751 801 851 901 951

Rassal Yürüyüş Momentleri

Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




17 / 46

Modelde hisse fiyatı p olasılığı ile yukarı, q ; q = 1 − polasılığı ile aşağı hareket etsin, hareketin boyutunu σ ilegösterelim:n = 1 için beklenen değer (ortalama) varyans vestandart sapma:

E[X1] = (p − q)σ

= µ

E[X21 ] = pσ2 + qσ2

= σ2

V ar[X1] = E[X21 ] − (E[X1])

2

= 4σ2pq

SD[X1] = 2σ√

pq


Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




17 / 46

µ = (p − q)σ olarak tanımladık. µ, X değişkeninineğilimi olarak adlandırılır.

■ p 6= q durumunda X eğilimi µ olan rassalyürüyüşe tabidir.

■ p = q = 1/2 ise X eğilim olmayan rassal yürüyüşetabidir.


Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




17 / 46

n adım için formülü güncelleyelim:

E[Xn] = n(p − q)σ = nµ

V ar[Xn] = E[X2n] − (E[Xn])2

= 4σ2npq

SD[X1] = 2σ√

npq

Rassal Yürüyüş Genellemeler

Giriş


Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




18 / 46

■ Hisse zaman ölçütünde bir adım hareket ediyorsan = t yazabiliriz.

■ Rassal yürüşüyün ortalaması zaman, standartsapması ise zamanın karekökü ile orantılıdır.

■ Finans alanında getiriler markov özelliğine uygunolarak olarak rassal yürüyüş şeklinde modellenir.

■ Getirilerin birbirini takibeden dönemlerde bağımsızolduğu varsayılır.

■ Son olarak dönemsel getiri varyansı sabit ve σ2 isedönemin tamamı (T) için varyansı σ2T standartsapmayı ise σ

√T olarak ifade edebiliriz.

■ Finansal piyasada getirilerin standart sapmasıvolatilite olarak adlandırılır.

Wiener Süreci

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener SüreciWiener SüreciÖzellikler


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




19 / 46

Wiener Süreci Özellikler

Giriş

Rassal Yürüyüş



Yansıma Prensibi

İtô Lemma




20 / 46

Eğer bir z değişkeni Wiener sürecine bağlı hareketediyorsa iki özelliği vardır:

1. Kısa δt zamanındaki δz değişimi:

δz = ǫ√

δt

ǫ φ(0, 1) standart normal dağılımından rassalseçilen bir sayıdır.

2. İki değişik kısa δt zaman aralığında oluşan δzdeğerleri birbirinden bağımsızdır

İkinci özellik Wiener sürecinin markov süreciözelliklerine sahip olduğunu gösterir.


Giriş

Rassal Yürüyüş



Yansıma Prensibi

İtô Lemma




20 / 46

δz aşağıdaki parametreler ile tanımlanan normaldağılıma uygun hareket eder:

■ δz ortalaması: 0

■ δz varyansı: δt

■ δz standart sapması:√

δt


Giriş

Rassal Yürüyüş



Yansıma Prensibi

İtô Lemma




20 / 46

δz aşağıdaki parametreler ile tanımlanan normaldağılıma uygun hareket eder:

■ δz ortalaması: 0

■ δz varyansı: δt

■ δz standart sapması:√

δt

Wiener süreci, Markov stokastik sürecinin yıllıkortalaması 0 ve varyansı 1 olarak ifade edilen özel birtürüdür.Uzun bir T zamanı için z artışını z(T ) − z(0) şeklineyazabiliriz. Artışın N kadar δt küçük zaman adımındagerçekleşen toplam artış olduğunu söyleyebiliriz:

δt =T

N


Giriş

Rassal Yürüyüş



Yansıma Prensibi

İtô Lemma




20 / 46

Wiener süreci, Markov stokastik sürecinin yıllıkortalaması 0 ve varyansı 1 olarak ifade edilen özel birtürüdür.Uzun bir T zamanı için z artışını z(T ) − z(0) şeklineyazabiliriz. Artışın N kadar δt küçük zaman adımındagerçekleşen toplam artış olduğunu söyleyebiliriz:

δt =T

N

Böylece:

Z(T ) − Z(0) =N∑

i=1

ǫ√

δt

yazabiliriz.


Giriş

Rassal Yürüyüş



Yansıma Prensibi

İtô Lemma




20 / 46

Böylece:

Z(T ) − Z(0) =N∑

i=1

ǫ√

δt

yazabiliriz.ǫi(i = 1, 2, 3, . . . , N), N(0, 1) rassaldır ve ǫi değerleribirbirinden bağımsızdır.Z(T ) − Z(0) aşağıdaki özelliklere uygun olarak normaldağılır:

■ [z(T ) − z(0)] beklenen değeri (ortalaması):= 0

■ [z(T ) − z(0)] varyansı = Nδt = T


Giriş

Rassal Yürüyüş



Yansıma Prensibi

İtô Lemma




20 / 46

δt değerini sıfıra yaklaştırırsak ne olur? δt değeri sıfırayaklaştıkça

√δt değeri büyür bu da oluşan yolun çok

girinti-çıkıntılı olmasına yol açar.Wiener sürecinin

√δt özelliği ile alakalı olarak iki

özelliği:

1. Herhangi bir zaman aralığında z tarafındanizlenecek yolun beklenen uzunluğu sonsuzdur.

2. Herhangi bir zaman aralığında z belirlenmiş birdeğere sonsuz defa eşit olur.

Aritmetik Brown Hareketi

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci

Aritmetik BrownHareketiAritmetik BrownHareketi GirişTanımABM,t = 0, 000685 yıl,µ = %10,σ = %20

Yansıma Prensibi

İtô Lemma




21 / 46

Aritmetik Brown Hareketi Giriş

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




22 / 46

Rassal yürüyüş t = n∆t zamanında n adım sonrasındabeklenen değer ve varyansını hatırlayalım:

E[Xn] = n(p − q)∆x

V ar[Xn] = 4npq(∆x)2 = 4t

∆tpq(∆x)2


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




22 / 46

Rassal yürüyüş parametrelerini -p, q , ∆x - kalibreederek ortalaması µ ve varyansı σ2 olan X(t) süreklizaman dağılımını nasıl elde edebiliriz? Denklem olarakifade edelim:

E[X(t)] =t

∆t(p − q)∆x → µt

ve

V ar[X(t)] = 4t

∆tpq(∆x)2 → σ2t


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




22 / 46

Denklemlerin çözümleri:

p =1

2+

µ√

∆t

2σ

p =1

2− µ

√∆t

2σ

Tanım

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




23 / 46

X limit süreci eğilimi µ volatilitesi σ olan Aritmetik

Brown Hareketi olarak adlandırılır. Özellikleri:

1. X(0)=0

2. Artışlar bağımsızdır (Independent increments)

3. X(t) ortalaması µt ve volatilitesi σ√

t olur.X(t)normal dağılım kurallarına uygundur.

4. Türevi alınamaz (Non-differantiable)

5. Oluşan yollar süreklidir, sıçrama görülmez (NoJumps)

Tanım

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




23 / 46

Aritmetik Brown hareketi normal dağılıma uygunolduğuna göre standard normal değişken olarakyazılabilir:

X(t) − µt

σ√

t= φ

Aritmetik Brown hareketi formülünü X(0) = 0 koşuluile yazacak olursak:

X(t) = µt + σW (t)

Tanım

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




23 / 46

W (t) standart Brown hareketi veya Wiener süreciolarak adlandırılır ve Aritmetik Brown hareketininortalaması sıfır, varyansı 1 olan özel bir türüdür.Dolayısı ile W (t) parametreleri:

■ p = q = 12

■ ∆x =√

∆t

olan basit rassal yürüyüşün sürekli zamanda alınmışlimitidir.

ABM, t = 0, 000685 yıl, µ = %10, σ = %20

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




24 / 46

Fiyat

Zaman

Aritmetik Brown Hareketi

Sürüklenme

Wiener

Yansıma Prensibi

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma PrensibiYansıma PrensibiGirişOlasılıklarınToplamıYansıma PrensibiYansıma PrensibiIIÇarpma OlasılığıSürüklenmesiSıfırdan FarklıABM

İtô Lemma




25 / 46

Yansıma Prensibi Giriş

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




26 / 46

■ Eğilim olmayan (driftless) Aritmetik Brownhareketinde

◆ X(t) = W (t),

◆ µ = 0

sıfır anında X(t) nin T zamanına kadar adeğerine (a > X(0)) ulaşma olasılığı nedir?

■ Ta X(t) nin a noktasına ilk çarptığı an olsun.Ta < t anında a noktasına ulaşılırsa X(t) eşitolasıkla a seviyesinin üstünde veya altındaolacaktır. Ta dan başlayıp t anında a noktasınıaşan her yol için a nın altında biten simetrik biryol mevcuttur.

Olasılıkların Toplamı

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




27 / 46

Olasılıkların toplamı kuralına göre herhangi bir (A, B)çifti için aşağıdaki denklemi yazabiliriz:

P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc)

Yansıma Prensibi

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




28 / 46

Pr {X(t) ≥ a, Ta ≤ t}

= Pr {X(t) ≤ a, Ta ≤ t} =1

2(2)

Pr {X(t) ≥ a}= Pr {X(t) ≥ a, Ta ≤ t}Pr {Ta ≤ t}+ Pr {X(t) ≥ a, Ta ≥ t}Pr {Ta ≥ t} (3)

Pr {X(t) ≥ a, Ta ≥ t} = 0 (4)

Yansıma Prensibi II

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




29 / 46

Denklem 4 ve denklem 2’yi denklem 3’e yerleştirirsek:

Pr {Ta ≤ t} = 2Pr {X(t) ≥ a}

ifadesini oluşturabiliriz.M(t) [0, t] süresinde oluşan Brown patikasında ulaşılanen yüksek nokta olsun,

M(t) ≡ max X(u), u ∈ [0, t]

ise{Ta ≤ t} ve {M(t) ≥ a}

aynı şeyi ifade eder:

Pr {M(t) ≥ a} = Pr {Ta ≤ t} = 2Pr {X(t) ≥ a}

Çarpma Olasılığı

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




30 / 46

Aritmetik Brown hareketi verilen bir zamanda anoktasına çarpacak bir maksimum seviyesi oluşmaihtimali:

Pr {M(t) ≥ a} = Pr {Ta ≤ t}= 2Pr {X(t) ≥ a}= 2Pr

{

X(0) + σǫ√

t ≥ a}

= Φ

{X(0) − a

σ√

t

}

Çarpma Olasılığı

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




30 / 46

Φ kümülatif standart normal dağılım fonksiyonudur ve

Φ ≡ 1√2π

∫ x

−∞e−

u2

2 du

denklemi ile ifade edilir

Sürüklenmesi Sıfırdan Farklı ABM

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




31 / 46

Süreklenmesi sıfırdan farklı olan Aritmetik Brownsüreci:

X(t) = X(0) + µt + σW (t)


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




31 / 46


X(t) = X(0) + µt + σW (t)

Oluşan patikanın a (a > X(0)) noktasına ulaşmaolasılığı:

Pr {M(t) ≥ a} = Pr {Ta ≤ t}

= Φ

{X(0) − a + µt

σ√

t

}

+ e2µ[a−X(0)]/σ2

Φ

{X(0) − a − µt

σ√

t

}


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




31 / 46


X(t) = X(0) + µt + σW (t)

Oluşan patikanın a (a > X(0)) noktasına ulaşmamaolasılığı:

Pr {M(t) ≤ a} = Pr {Ta ≥ t}

= Φ

{a − X(0) − µt

σ√

t

}

− e2µ[a−X(0)]/σ2

Φ

{X(0) − a − µt

σ√

t

}


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci



İtô Lemma




31 / 46


X(t) = X(0) + µt + σW (t)

M(t) [0, t] aralığında a noktasına ulaşmayacak veX(t) b noktasının altında kalacak. . .

P {M(t) < a, X(t) < b} = Φ

{b − X(0) − µt

σ√

t

}

−e2µ[a−X(0)]/σ2

Φ

{b − 2a + X(0) − µt

σ√

t

}

İtô Lemma

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemmaİto Lemma, GirişKurallar




32 / 46

İto Lemma, Giriş

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi





33 / 46

Sezgisel olarak İtô Lemma’nın aşağıdaki çarpımtablosu’nu kullanarak gerçekleştirilmiş Taylorgenleşmesi olduğunu söyleyebiliriz. Formüllerde, dt dendaha küçük terimleri gözardı edeceğiz. Kuralları kısacagözden geçirelim:

1 dW dt

1 1 dW dtdW dW dt 0dt dt 0 0

Kurallar

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi





34 / 46

■ Kural 1: (dt)2 = 0, lim∆t→0(∆t)2

∆t= 0

■ Kural 2: dW × dt = 0,E (dWdt) = dtE (dW ) = 0 veV ar (dWdt) = (dt)3 = 0.Bir rassal değişken, varyansı oldukça küçük iseortalama-kare de beklentisine yanaşır. Bizimörneğimizde sıfır.

■ Kural 3: (dW )2 = dt E(dW )2 = E(φ√

t)2 = dtvaryans,V ar[(dW )2] = E(dw)4 − [E(dW )2]2 = 2(dt)2

(dW )2

Rassal değişkenimiz ortalama-kare de dt değerineyanaşır.

Kurallar

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi





34 / 46

Itô süreci genel denklemini yazabiliriz:

dXt = µtdt + σtdW (t)

f(Xt, t) fonksiyonunun toplam değişimini hesaplamakistiyoruz (f , X(t) ye göre en az iki defa türevi alınabilirolmalı). f fonksiyonunu Taylor genleşmesi yardımı ileikinci dereceye kadar açalım:

df [X(t), t] =∂f

∂XdX +

∂f

∂tdt

+1

2

∂2f

∂X2(dX)2 +

∂2f

∂X∂tdXdt +

1

2

∂2f

∂t2(dt)2 + · · ·

Kurallar

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi





34 / 46

dX denklemini, açılıma yerleştirip çarpım tablosunukullanarak süreci ifade edelim:

df =∂f

∂tdt +

∂f

∂X[µdt + σdW ] +

1

2

∂2f

∂t2(dt)2

︸︷︷︸

0

+1

2

∂2f

∂X2[µdt + σdW ]2 +

∂2f

∂t∂Xdt [µdt + σdW ]

=∂f

∂tdt + µ

∂f

∂Xdt + σ

∂f

∂XdW

+1

2

∂2f

∂X2

[µ2 (dt)2 + σ2 (dW )2 + 2µσdt · dW

]

+ µ∂2f

∂t∂X(dt)2 + σ

∂2f

∂t∂Xdt · dW

Kurallar

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi





34 / 46

Çarpım tablosundan faydalanarak denklemisadeleştirelim:

df =

{∂f

∂t+ µ

∂f

∂X+

1

2σ2 ∂2f

∂X2

}

dt + σ∂f

∂XdW

Kurallar

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi





34 / 46

Zaman ve varlık fiyatına göre hareket eden stokastiksüreçler için İtô stokastik denklemini elde ettik.Bundan sonra varlık fiyatlarına dair süreçleri İtô Lemmayardımı ile çözeceğiz.

Geometrik Brown Hareketi

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma

Geometrik BrownHareketiGeometrik BrownHareketi Giriş

GBH ve İto’nunLemmasıGBH ÖrnekGBH Örnek IIGBH MomentleriLognormalKümülatif DağılımFonksiyonu



35 / 46

Geometrik Brown Hareketi Giriş

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





36 / 46

Aritmetik Brown hareketi ve rassal yürüyüşü detaylıolarak analiz ettik. İki modelde de hisse ya da dahadoğrusu menkul kıymet fiyatları negatif değerleralabiliyordu. Finansal varlıklar negatif değer ile alınıpsatılamaz en kötü ihtimalle değeri sıfır olur.Geometrik Brown hareketi stokastik denklemi:

dS = µSdt + σSdW (5)

Geometrik Brown Hareketi Giriş

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





36 / 46

Aritmetik Brown hareketinden farklı olarak, denkleme‘S’ hisse senedi dahil edildi. Geometrik BrownHareketini, İtô Lemma’yı kullanarak ifade ebiliriz. 5numaralı eşitliği aşağıdaki gibi yazabiliriz:

dS

S= µdt + σdW

■ dSS

, ln (S) ifadesinin türevidir.

■ dSS

, d ln S olarak tanımlanırsa

■ Sürecin Y = ln S modeline uygun hareket ettiğinisöyleyebiliriz.

GBH ve İto’nun Lemması

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





37 / 46

Y = ln S denklemine, hisse ve zamana bağlı değişenstotastik diferansiyel denklem olduğu için İtô Lemma’yıuygulamamız gerekir:

∂f

∂S=

1

S;∂2f

∂S2= − 1

S2;∂f

∂t= 0

Bulduğumuz değerleri

df =

{∂f

∂t+ µ

∂f

∂SS +

1

2σ2 ∂2f

∂S2S2

}

dt + σ∂f

∂SSdW

denkleminde yerine koyalım. (İtô stokastik denklemini‘varlık fiyatı S’ parametresini ekleyerek yenidendüzenledik. )


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





37 / 46

dlnS =

{

0 + µ1

SS +

1

2σ2

(

− 1

S2

)

S2

}

dt + σ1

SSdW

=

{

µ − 1

2σ2

}

dt + σdW

Denklemin [0, T ] arasında integralini alarak hissehareketlerinin nasıl geliştiğini formüle edebiliriz:

∫ T

0

d (lnS) =

(

µ − 1

2σ2

) ∫ T

0

dt + σ

∫ T

0

dW

ln (ST ) − ln (S0) =

(

µ − 1

2σ2

)

T + σ (W (T ) − W (0))


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





37 / 46

ln (ST )− ln (S0) = ln(

ST

S0

)

; W (0) = 0; W (T ) = ǫ√

T

değerlerini denkleme yerleştirelim:

ln(

ST

S0

)

=

(

µ − 1

2σ2

)

T + σǫ√

T

ST değerini elde etmek için son adım fonksiyonu üstelhale getirip yeniden düzenlemek:

ST = S0 exp

{(

µ − 1

2σ2

)

T + σǫ√

T

}


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





37 / 46

■ ǫ N(0, 1) dağılımından elde edilen standartnormal rassal bir sayıdır.

■ S(T ) değeri her zaman pozitiftir.

■ S(T ) sıfır olursa daima sıfır olarak kalır.

■ Varlık fiyatının sıfır noktası tarafındanyutulmaması (not absorbed) halinde varlıkfiyatının sıfırdan biraz dahi farklılaşabileceğinidüşünen spekülatör varlığı bedavaya satın alır vesonsuz para kazanma şansını elde edebilirdi.

GBH Örnek

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





38 / 46

■ ABC Hisse senedi aşağıda yazdığımız GeometrikBrown Hareketi formuna uygun hareket ediyorolsun:

dS(t) = 0, 15S(t)dt + 0, 44S(t)dW (t)

■ Hissenin bugünkü fiyatı 3, 80 ise, 6 ay sonunda(t = 0, 5) %95 güven aralığında hisse fiyatısınırları ne olurdu?

GBH Örnek II

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





39 / 46

S(t) = 3, 80e

(

0,15− 0,442

2

)

0,5+0,44φ√

0,5

GBH Örnek II

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





39 / 46

S(t) = 3, 80e

(

0,15− 0,442

2

)

0,5+0,44φ√

0,5

Standart normal değişken ‘φ’ %95 olasılıkla [-1,961,96] aralığında gerçekleşir. ABC hissesi 6 ay sonunda%95 olasıkla [2,12 7,18] aralığında olacak.

GBH Momentleri

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





40 / 46

Geometrik Brown Hareketi çerçevesinde finansal varlıkfiyatları (S(0) = s0 koşulu ile) lognormal, finansalvarlık fiyatı logaritmik getirileri ise normal olarak dağılır.GBH denklemini üstel hale gelmeden önceki hali ileyazalım:

ln (ST ) = ln (s0) +

(

µ − 1

2σ2

)

T + σǫ√

T

GBH Momentleri

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





40 / 46

Sıfır anında ln [S(T )] ortalama ve varyansınıhesaplayalım:Ortalama:

E {ln [S(T )]} = ln s0 +

(

µ − 1

2σ2

)

T

Varyans:

V ar {ln [S(T )]} = σ2T

Lognormal Kümülatif Dağılım Fonksiyonu

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





41 / 46

Pr[S(t) ≤ s] =

∫ s

−∞

1

σS√

2πte−

lnS−

[

ln s0+(µ−12

σ2)T

]2

2σ2t dS


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





41 / 46

Pr[S(t) ≤ s] =

∫ s

−∞

1

σS√

2πte−

lnS−

[

ln s0+(µ−12

σ2)T

]2

2σ2t dS

S(T ) lognormal dağılıyorsa, Log S(T ) normal

dağılır. Bu özelliği kullanarak, değişkenleri dönüştürüpyeniden tanımlayarak lognormal kümülatif dağılımfonksiyonunu normal kümülatif dağılıma çevirebiliriz:


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





41 / 46

Pr[S(t) ≤ s] =

∫ s

−∞

1

σS√

2πte−

lnS−

[

ln s0+(µ−12

σ2)T

]2

2σ2t dS

u ≡ ln s −[ln s0 +

(µ − 1

2σ2

)T

]

σ√

T

Pr[S(t) ≤ s] =1√2π

∫lnS−

[

ln s0+(µ−12

σ2)T

]

σ√

T

−∞e

−u2

2 du

= Φ

{

ln s −[ln s0 +

(µ − 1

2σ2

)T

]

σ√

T

}

Çok Boyutlu İtô Formülü,Bağımsız Süreçler

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma



Çok Boyutlu İtoDenklemi


42 / 46

Çok Boyutlu İto Denklemi

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





43 / 46

Çok boyutluX = (X1, . . . , Xn)∗

vektör sürecinin Xi bileşeni stokastik diferansiyaldenklemi

dXi(t) = µi(t)dt +d∑

j=1

σijdWj(t)

şeklindeyse sürecin stokastik diferansiyel denklemini ÎtoFormulü kullanarak yazabiliriz:


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





43 / 46

f : R+ × Rn → R C1,2 eşleşmesi iken:

df (t, X(t)) =∂f

∂tdt +

n∑

i=1

∂f

∂Xi

dXi

+1

2

n∑

i=1

n∑

j=1

∂2f

∂Xi∂Xj

dXidXj


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma





43 / 46

İto çarpım tablosu (dWi)(dWj) = 0, i 6= j ifadesi ilegenişletilip f(t, X(t)) stokastik değişim süreci ifadeedilebilir:

df =

{

∂f

∂t+

n∑

i=1

µi∂f

∂Xi

+1

2

n∑

i,j=1

Cij∂2f

∂Xi∂Xj

}

dt

+n∑

i=1

∂f

∂Xi

σidW

σi satır vektörü, σ matrisinin i’nci satırıdır.C matrisi ise C = σσT , σT devrik (transpoze)matris.

İlişkili (Correlated) WienerSüreçleri

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma




İlişkili WienerSüreçleri

İlişkili WienerSüreçleri Örnek

44 / 46

İlişkili Wiener Süreçleri

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma






45 / 46

■ Bir Wiener süreci vektörü W1, . . . , Wn için ρkorelasyon matrisinin verildiğini kabul edelim.

■ Eğer (X1, . . . , Xk)∗ vektörünün stokastik

diferansiyel denkleminin olduğunu varsayar isekilişkili Wiener süreçleri için aşağıdaki ifadeyiyazabiliriz:


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma






45 / 46

■ Bir Wiener süreci vektörü W1, . . . , Wn için ρkorelasyon matrisinin verildiğini kabul edelim.

■ Eğer (X1, . . . , Xk)∗ vektörünün stokastik

diferansiyel denkleminin olduğunu varsayar isekilişkili Wiener süreçleri için aşağıdaki ifadeyiyazabiliriz:

Herhangi bir C1,2 fonksiyonu f için f(t, X(t))sürecinin stokastik değişimi :

df(t, X(t)) =∂f

∂tdt+

n∑

i=1

∂f

∂Xi

dXi+1

2

n∑

i,j=1

∂2f

∂Xi∂Xj

dXidXj


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma






45 / 46

Herhangi bir C1,2 fonksiyonu f için f(t, X(t))sürecinin stokastik değişimi :

df(t, X(t)) =∂f

∂tdt+

n∑

i=1

∂f

∂Xi

dXi+1

2

n∑

i,j=1

∂2f

∂Xi∂Xj

dXidXj

Kullandığımız çarpım tablosu:

(dt)2 = 0

dt · dWi = 0, i = 1, . . . , n

dWi · dWj = ρijdt


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma






45 / 46

k=n ve dX; dXi = µi(t)dt + σidWi, i = 1, . . . , nyapısında ise; µ1, . . . , µn ve σ1, . . . , σn skalar süreçlerolduğunda f(t, X(t)) süreci stokastik değişim denklemiaşağıdaki şekliyle yazılabilir:

df =

{

∂f

∂t+

n∑

i=n

µi∂f

∂xi

+1

2

n∑

i,j=1

σiσjρij∂f

∂xi∂xj

}

dt

+n∑

i=1

σi∂f

∂Xi

dWi

İlişkili Wiener Süreçleri Örnek

Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma






46 / 46

İMKB 30 Endeksi TL cinsinden fiyatlanmaktadır.Endeksi, USD cinsinden modellemek istersek bu işleminasıl gerçekleştirmemiz gerekir? İstediğimiz modelleme:

■ EndeksUSD

İMKB Ulusal 30 endeksi ve USDTL arasındakikorelasyon ρ ise f(X, Y ) = U030/USDTL iki boyutluilişkili Wiener süreci formülleri kullanılarak yazılabilir.


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma






46 / 46

Genel formüller:

dX

X= µXdt + σXdWX

dY

Y= µY dt + σY dWY

df(t, X, Y )

=

[∂f

∂t+ µXX

∂f

∂X

]

dt

+

[

ρσXσY XY∂2f

∂X∂Y+

1

2σ2

XX2 ∂2f

∂X2

1

2σ2

Y Y 2 ∂2f

∂Y 2

]

dt

+ σXXdWX∂f

∂X+ σY Y dWY

∂f

∂Y


Giriş

Rassal Yürüyüş

Wiener Süreci


Yansıma Prensibi

İtô Lemma






46 / 46

Çözüm:

∂f

∂X=

1

Y;∂f

∂Y= − X

Y 2;∂f

∂t= 0;

∂2f

∂X2= 0;

∂2f

∂Y 2=

2X

Y 3;

∂2f

∂X∂Y= − 1

Y 2

Sonuçları genel denkleme yerleştirelim:

df

f=

(µX − µY − ρσXσY + σ2

Y

)dt+σXdWX−σY dWY

Sürekli Zamanda riskli Menkul Kıymet Fiyat Modelleri

Documents

Transcript of Sürekli Zamanda riskli Menkul Kıymet Fiyat Modelleri