SUCESIONES Y SERIESJos Daro Snchez Hernndezdanojuanos@hotmail.com1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES.1.1.. IntroduccinLosalgo que actualmente est en el medio ambiente,quizs nmeros naturales sonpor esto lleg el matemtico alemn Leopoldo Kronecker a decir:El buen Dios di alhombre los nmeros naturales; el resto ha sido obra suya " .SeconsideranlosnmerosnaturalescomolaestructurabsicadelaMatemticaysiguiendoalmatemticoitalianoGiuseppePeano,losnicostrminostcnicosqueintervienensonlosdenmeronatural,primernatural(ceroparanosotrosyunoparaotros,segnlosgustos)yelsiguientede",o,elsucesorde",conlossiguientesaxiomas:Nl. Cero es un nmero naturalN2. El siguiente de todo nmero natural tambin es nmero naturalN3. Sies una coleccin de nmeros naturales tal que cumple: o0 esta en(i) o Cada vez que un natural est en, tambin el siguiente de l est en (ii) oo.Entonces S es el conjunto de todos los naturales.N4.Silossiguientesdedosnmerosnaturalessoniguales,entonceslosnmerossoniguales.N5.Cero nunca es sucesor de un natural.Sucesordeunconjuntosignifica,aotroconjuntoconunelementoms;unamaneradeformar a partir de un conjunto dado otro con un elemento ms, es agregar el mismo como elemento,a est le llamaremosel sucesor de "y se le nota .. = ' As0= 0 ' 0 = ' = 1 c c1 = 1 ' 1 = 0 ' 1 = 0, 1 = 22 = 2 ' 2 = 0, 1 ' 2 = 0, 1, 2 = 88 = 8 ' 8 = 0, 1, 2 ' 8 = 0, 1, 2, 8 = 4 Daro Snchez CURSO DE SUCESIONES Y SERIES2 Notaremos con al conjunto de todos los nmeros naturales. N1.2. . Definicin de sucesinSeaunsubconjuntodenmerosrealesyunafuncin,esdecir, ): R N( .Alconjuntoselellama \: )(critc )(:). )(:) ) )(:) _ N unasucesin en .De la teora de conjuntos se sabeque cuandosignifica que )(:) critc to| `nc )(:) = = o o ` ` " , en este caso se denota . En esta forma al conjunto es al: ::=0queusualmenteselellamaunasucesin yaseleconocecomoel-simo on:trmino de la sucesin.Ejemplo. As los conjuntos yson sucesiones en ] ]1, 4, 27, 12,2, , 8 4 4 0 16, ,R, representados pory . : = 1, 4, 27, 12,= 2, , : :=1:=1 ] ] ]:1 8 4 : 4 0 162, ,CuandoyAesunasucesinentonces _ ): R N esllamadao::=0unasucesin una sucesin de nmeros reales o simplemente . real1.3 Sucesiones Montonas ..Seao o: : := := 0 0unasucesinreal,sedicequeesunasucesin crecientecuando la siguiente proposicin es verdadera: _ := o _ o: :Ejemplo.Los conjuntos : , 2:2 := := 1 1son sucesiones crecientes.Anlogamente seauna sucesin real , se dice que es/ / : : := := 0 0decrecientesi: _ : = / _ /: :Ejemplo.Los conjuntos , 1 :1: : :=1 :=12son sucesiones decrecientes.Sedicequeunasucesineso::=0unasucesinmontona siescrecienteodecreciente.Una sucesin o `::=0 se dicesi existe una constanteacotada superiormentetal queo _ `,po:otodo : .:NSe dice que la sucesin es si existe una constante / ::=0acotada inferiormente1 / _ 1, po:otodo: . tal que:N Daro Snchez CURSO DE SUCESIONES Y SERIES3 Se dice que una sucesin es si es acotada superior e inferiormente, o::=0acotada,es decir que existe una constantetal que para todo`_ 0 [o[ _ `, : .0 : 0N1.4 Lmite de una sucesin. .Silostrminosdeunasucesino 1::=0seacercanaunnmero,sedicequelasucesin tiende al lmite ( o quea) yse nota: 1 1 converge, lim:: :o = 1( o 1cno:do: )Msprecisamentelasucesinconvergea,sidadounnmerocualquiera o 1::=0c0 ,esposibleladeterminacindeunnmeronaturaltalquesi: _ = [o 1[