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Series y Sucesiones
Sucesiones
Es un conjunto de trminos formados por una ley o regla determinada. Es
conjunto es una funcin cuyo dominio son los nmeros enteros positivos (Z +).
Para simboliar un trmino general se utilia la letra a s! y las variables con la
letra minscula n.
Ejemplos"
Notacin
#a sucesin {a1 , a2 , a3 ,,an } tambin se denotar$ por {an } o {an }n=1
Ejemplo 1.%lgunas sucesiones se pueden definir mediante una frmula para el n&
simo trmino! as' se tienen"
a. { nn+3 }n=1
! donde! an= n
n+3 y la sucesin es {14, 25 ,36 ,, nn+3 ,}
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b.
1( n)(n+2)
2n
! donde!
1( n)(n1)
2n
an=
y la sucesin es
1( n)(n+2)
2n
,
32 ,4
4,
5
8, 6
16,,
Ejemplo 2.
%lgunas sucesiones no tienen una ecuacin definitoria sencilla. al es el caso de la
sucesin de ibonacci { fn } ! dada de manera recurrente por"f1=1, f2=1, fn=fn1+ fn2n3 . *ada trmino es la suma de los anteriores. #os
primeros trminos son" {1,1,2,3,5,8,13, }
Definicin" na sucesin{an }
tiene l'mite Ly se escribe
lim
n
an
,LoanL
cuando n .
-i para >0 eiste un entero correspondiente / tal 0ue |anL|
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Nota" -ilimn
an= ! entonces la sucesin {an } es divergente.
Ejemplo 3
#a sucesin { n2
n+1 } es divergente ya 0ue limn n2
n+1= .
Propiedades de las sucesiones converentes
-ean {an } y {bn } sucesiones convergentes y c una constante! entonces
2. lim
n
(anbn)=limn
an limn
bn
3. lim
n
can=c limn
an
4.
(anbn)=limn
an limn
bn
limn
5.
(an
bn)= lim
n
an/ limn
bn
limn
! si
limn
bn0
El teorema del emparedado tambin se puede adaptar para sucesiones en la
siguiente forma.
Teorema -i anbncn ! para n n0 y
an= limn
cn=L
limn
entonceslimn
bn=L .
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6tro 7ec7o de utilidad respecto a los l'mites de las sucesiones se establece en el
teorema siguiente.
Teorema" -ilimn
|an|=0 entoncesan=0limn
Ejemplos
a. 8etermine limn
2n+3n+1
8ividamos el numerador y el denominador por la potencia m$s alta de n y
utilicemos las leyes de los l'mites limn
2n+3n+1
= limn
2+3
n
1+1
n
=2+01+0
=2
b. *alcule limn
ln (n)n
/ote 0ue el denominador y numerador y denominador se van par infinito conforme
n . #a regla de #9:ospital no se puede aplicar en forma directa. -in
embargo podemos aplicarla a la funcin relacionada f(x )=ln(x)x y obtener"
1
x
1=0
ln (x )
x =limx
limx
Por lo tanto tenemos limn
ln (n)n =0
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c. 8etermine si la sucesin an=(1)n
converge o diverge.
-i escribimos los trminos de la sucesin tendremos {1,1,1,1,1,1} ! ya
0ue los trminos de la sucesin oscilan entre &2 y 2 infinidad de veces! an no se
aproima a ningn nmero; como consecuencia ellimx
(1)nno eiste; es decir!
la sucesin {(1)n } diverge.
d. Evale
1n
limn
en caso de 0ue eista
%plicando un teorema visto antes tenemos
1 n
=limn
1
n2 =0
limn
Por tanto!
1n
limn
El siguiente teorema establece un criterio para las sucesiones llamadas
geomtricas
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Teorema!#a sucesin {rn } converge si 1
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= se tiene el siguiente teorema.
Teorematoda sucesin acotada y montona es convergente
Serie
Es la sumatoria de una sucesin
Ejemplos"
Tipos de series"
-erie finitas" ienen un nmero limitado de trminos.
-eries infinitas" el nmero de trminos es ilimitado.
-eries montonas" son a0uellas 0ue mantienen una misma tendencia 7as
el infinito
$recientes" a2> a3>a4>;??>; an(va aumentando trmino a trmino)
Decreciente" a21; a31; a41;??1; an (va disminuyendo trmino a trmino)
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%lunos tipos de series
Serie &eom'trica!
Es a0uella serie cuyo trmino de formacin es"
donde"
a" es una constante!
r" es la base
$riterios para la serie!
-i @r@ > 2 la serie converge! entonces se aplica la siguiente frmula para determinar
el valor de la convergencia.
-i @r@ 12 la serie diverge.
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(Serie %rmnica!
Es a0uella serie cuyo trmino de formacin es"
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-iempre diverge.
Serie p!
Es a0uella serie cuyo trmino de formacin es"
-i pA2 la serie es convergente
-i p , 2 la serie es divergente
Propiedades de las series"
-i las series %,Bany C,Bbnconvergen a las sumas indicadas y c es una
constante! entonces las series
Ban +bn, %+C y Bcantambin convergen! como sumas.
2.& Bcan, cBan
3.& Ban +bn,Ban+Bbn
4.& Ban &bn,Ban&Bbn
Teorema de la $onverencia
-i la serie es convergente! entonces el l'mite en el infinito es igual a
cero.
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$riterio de la diverencia!
-i el l'mite no eiste o distinto de cero! entonces la serie es divergente. Este
criterio est$ basado en el teorema de la convergencia. -i el limite llegara a dar
cero el criterio no es concluyente puesto 0ue el teorema dice 0ue las series
convergente siempre dan cero mas no lo contrario. :ay algunas series divergentes
0ue su l'mite en el infinito es igual a cero! como es el caso de las serie armnica.
Ejercicios relacionados al tema!
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Serie Telescpica o desplea)le"
Es a0uella serie cuyo trmino de formacin se puede representar por de la
siguiente manera"
8e una ecuacin compleja en el denominador se lleva a dos m$s sencillas! por
varios mtodos"
-i es un polinomio por el proceso de fraccin simple! si una funcin logar'tmica
por sus propiedades.
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Suma parcial.
Para la serie Banla n&esima suma parcial viene dada por"
-n, a2+a3+a4+ ???+an
-i la sucesin de parciales D -n converge a -! se dir$ 0ue la Banconverge.
8onde - es la suma de la serie. -i D -n diverge la serie tambin lo 7ar$.
$riterio de la interal.
Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integralimpropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas! no
negativas y decrecientes.
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$riterios de $omparacin
$omparacin Directa
#a comparacin directa es trmino a trmino y se aplican los siguientes criterios"
FGanGbn
2.& -i Bb converge! entonces Ba tambin converge
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3.& -i Ba diverge! entonces Bb tambin diverge
$omparacin en el l*mite
8onde Bb es convergente o divergente.
*riterios para la toma de decisin"
-i l ,F para b convergente entonces a tambin converge.
l , H para b divergente entonces a tambin diverge.
l, I (es una constante) para b convergente o divergente! entonces a ser$ convergente o divergente.
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$riterio de la ra+n o cociente!
-i l 12 o H diverge
-i l > 2 converge
-i l,2 no concluye
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