SUB GRUP

Definisi.

Suatu sub himpunan tak kosong H dari Grup G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi perkalian dalam G, H membentuk Grup.

LEMMA 2.4.1

Suatu sub himpunan tak kosong H dari grup G adalah sub grup dari G jika dan hanya jika

1.Jika a, b H maka ab H2.Jika a H maka H1a

LEMMA 2.4.2

Jika H adalah sub himpunan tak kosong hingga dari grup G dan H tertutup terhadap operasi perkalian, maka H adalah Sub Grup dari G.

CONTOH1. Misalkan G grup bilangan bulat

dengan operasi penjumlahan, H sub himpunan yang terdiri dari kelipatan 5. Tunjukan bahwa H sub grup dari G.

2. Misalkan G grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan. H(n) sub himpunan dari G yang terdiri kelipatan n. H(n) sub grup untuk setiap n. Apa yang dapat dikatakan dengan H(n)H(m)?

CONTOH3. Misalkan S sembarang himpunan, A(S)

himpunan dari pemetaan yang bersifat satu-satu dan pada dari S pada S. Jika x0 S, misalkan H(x0)={A(S): (x0)=x0}. H(x0) adalah sub grup dari A(S). Jika x1 x0 S kita definisikan dengan cara yang sama H(x1), H(x0) H(x1) sub grup dari A(S)

4. Misalkan G grup, aG. Misalkan (a)={ai:i bilangan bulat}. (a) adalah sub grup dari G

5. Misalkan G grup bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian, dan misalkan H sub himpunan dari bilangan rasional positif. Maka H sub grup dari G

CONTOH6. Misalkan G grup dari matriks bilangan

real 2x2, dengan ad-bc 0 dibawah operasi perkalian matriks. Misalkan maka H adalah sub grup dari G.

7. Misalkan H Grup seperti pada contoh 6, dan

maka K sub grup dari H.8. Misalkan G grup dari semua bilangan

kompleks tak nol a+bi (a,b bilangan real tidak keduanya nol) dibawah operasi perkalian, dan misalkan H={a+biG:a2 + b2 =1}. Tunjukan bahwa H sub grup dari G

d

b

c

a

0:

d 0

b adG

aH

1 0

b 1K

DEFINISI

Misalkan G grup, H sub grup dari G; untuk a,bG kita katakan a kongruen b mod H, ditulis ab mod H jika ab-1H

LEMMA

Relasi ab mod H adalah relasi ekivalen

DEFINISI

Jika H adalah sub grup dari G, aG, maka Ha={ha:hH}. Ha disebut koset kanan dari H dalam G.

LEMMA1. Untuk setiap aG, Ha={xG:ax

mod H}. 2. Terdapat korespondensi satu-

satu diantara dua koset kanan dari H dalam G.

3. Jika G adalah Grup Hingga dan H sub grup dari G, maka (H) adalah membagi (G).

DEFINISI1. Jika H adalah sub grup dari G,

maka index dari H dalam G adalah banyak koset kanan yang berbeda dari H dalam G. (notasi iG(H))

2. Jika G grup dan aG, maka order (atau periode) dari a adalah bilangan positif terkecil m sedemikian sehingga am=e.

AKIBAT1. Jika G adalah grup hingga dan aG, maka

(a)(G).2. Jika G adalah grup hingga dan aG, maka

a(G)=e3. Jika n bilangan bulat positif dan a adalah

relatif prim ke n, maka a(n) 1 mod n4. Jika p bilangan prima dan a sembarang

bilangan bulat, maka ap a mod p.5. Jika G grup hingga yang mempunyai

orde suatu bilangan prima, maka G adalah grup siklis.

A COUNTING PRINCIPLE1. Misalakan H, K subgrup dari G. HK adalah

subgrup dari G jika dan hanya jika HK=KH2. Jika H, K adalah subgrup dari grup

komutatif, maka HK adalah subgrup dari G.

3. Jika H dan K subgrup hingga dari G dengan orde (H) dan (K) masing-masing, maka

4. Jika H dan K adalah subgrup dari G dan (H)> , (K)> , maka

KH

KHHK

G G eKH

SUBGRUP NORMAL DAN GRUP HASIL BAGI

DEFINISISubgrup N dari G dikatakan subgrup

normal dari G jika untuk setiap gG dan nN, gng-1N

LEMMA1. N adalah sub grup normal dari G jika dan

hanya jika gNg-1=N untuk setiap gG.2. Subgrup N dari G adalah subgrup

normal dari G jika dan hanya jika setiap koset kiri dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G.

3. Suatu subgrup N dari G adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika perkalian dari dua koset kanan dari N dalam G adalah juga koset kanan dari N dalam G

TEOREMA

Jika G adalah grup, N subgrup normal dari G, Maka G/N adalah juga grup. Grup seperti ini disebut grup hasil bagi atau grup faktor

LEMMA

Jika G adalah grup hingga dan N adalah subgrup Normal dari G, maka (G/N)=(G)/(N).