GRUP PERMUTASI

1. Pendahuluan

Pada pertemuan-pertemuan sebelumnya telah dibahas mengenai grup

mulai dari definisi grup, cara menentukan suatu himpunan merupakan grup atau

bukan, menentukan finite dan infinite grup, definisi subgrup, syarat-syarat

subgrup pada suatu grup, menetukan order dari grup dan order dari anggota grup,

hingga penjelasan tentang grup siklik. Maka pada pertemuan ini akan dijelaskan

suatu himpunan fungsi satu-satu dari himpunan S onto dirinya sendiri. Dimana

himpunan fungsi semacam ini dinotasikan dengan simbol A(S). Sehingga S kita

ganti dengan grup G maka A(S) diterjemahkan fungsi satu-satu dari suatu grup

onto grup itu sendiri. Oleh karena setiap grup dapat direpresentasikan sebagai

subgrup dari A(S). Jika grup G berhingga maka grup berhingga ini dapat

direpresentasikan sebagai subgrup dari Sn untuk suatu n dimana Sn merupakan

grup simetris derajat n. Dengan kata lain, grup permutasi dari himpunan A adalah

himpunan permutasi-permutasi dari A yang membentuk sebuah grup dengan

operasi komposisi fungsi.

Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan

mampu:

a. Membentuk grup permutasi

b. Menjelaskan sifat-sifat grup permutasi

c. Menentukan cycle (putaran) dan orbit dalam grup permutasi

d. Menerapkan teorema-teorema yang berhubungan dengan grup permutasi

2. Definisi

Permutasi A, Grup Permutasi A

Permutasi dari sebuah himpunan adalah fungsi dari A ke A yang

berkorespondensi satu-satu dan onto. Permutasi grup dari himpunan A adalah

himpunan permutasi-permutasi dari A yang membentuk sebuah grup dengan

operasi komposisi fungsi.

Contoh 1:

Sebagai contoh, kita daftarkan sebuah permutasi 𝛼 dari himpunan

{1,2,3,4} dengan menetapkan 𝛼 (1)= 2 𝛼 (2)=3 𝛼 (3)=1 𝛼 (4)=4

Untuk menunjukkan korespondensi ini adalah menuliskan 𝛼 dengan membentuk

barisan sebagai berikut.

=[123 4231 4 ]

Di sini (j) diganti secara langsung di bawah j untuk setiap j. Begitu pun,

permutasi dariβ dari himpunan {1,2,3,4,5 , 6 } ditetapkan β(1) = 5, β(2) = 3, β(3) =

1, β(4) = 6 β(5) = 2, β(6) = 4

Ditentukan dalam barisan dengan bentuk sebagai berikut

= [123 4 67531 6 24 ]

Permutasi komposisi ditunjukkan dalam notasi barisan yang diangkat dari

kanan ke kiri dengan membawa dari atas ke bawah lagi.

Contoh 2:

σ = [123 4 524 3 51] dan γ = [123 4 5

54 1 23 ] maka

γ σ = [123 4 554 1 23 ][12 3 45

2 43 5 1] = [123 4 542 1 35 ]

Dari kanan kita mempunyai 4 dibawah 1 jika (γσ ) (1 )=γ ¿jadi γσ

mengirimkan 1 ke 4. sisa dari baris bawah γσ diperoleh dengan model yang sama.

3. Sifat-Sifat Grup Permutasi

Dua unsur a, b ∈ S berelasi a≡ bfi jika dan hanya jika b = a.f i untuk suatu

bilangan bulat i, maka akan ditunjukkan bahwa relasi ini merupakan relasi

ekivalensi dalam S sebagai berikut:

1. Sifat refleksi : a≡ a fe karena a = afo = ae.

Contoh 3: Simetri Dari Persegi (𝑆4)

Pada contoh ke-3, kita menghubungkan setiap pergerakan dalam D4

dengan permutasi dari penempatan-penempatan tiap empat sudut persegi. Sebagai

contoh, jika kita tandai empat posisi sudut seperti dalam gambar di bawah dan

terap menandai ini yang ditetapkan sebagai acuan. Kita dapat menggambarkan

sebuah rotasi 90 hasil prmutasi.

ρ=[123423 4 1]

Sedangkan refleksi dengan garis mendatar sumbu horizontal menghasilkan

∅=[12 3 421 4 3 ]

Dua elemen ini secara umum menghasilkan group (bahwa, setiap elemen

adalah kombinasi beberapa ρ dan ). Jika D4 ditampilkan dengan cara ini, kita

katakan bahwa D4 adalah sebuah subgroup dari S4.

2. Sifat simetris: jika a≡ bfi maka b = a. f i, karena i bilangan bulat terdapat –i

sehingga a = b f –i. Ini berarti b≡ afi.

Contoh 4: Grup Simetri Segitiga sama sisi( S3)

Misalkan S3 menyatakan semua himpunan fungsi satu-satu dari{1 , 2 , 3 }

untuk himpunan itu sendiri. Kemudian S3dalam komposisi fungsi adalah

grup dengan elemen ke-6 elemennya adalah.

ε=[1 231 23 ]α = [123

231]α 2 = [123

312]

β = [123132]αβ = [123

213]α 2 β= [123321]

Catatan bahwa βα= [123321]≠ αβsehingga S3 adalah tidak Abelian.

3. Sifat transitif: jika a≡ bfi dan b≡ cfi berarti b = a. f i dan

c = bf i = (af i)f j = af (i+j), yang berarti a ≡ cfi.

Contoh 5:

4. Menentukan Cycle (putaran) dan Orbit

a. Notas Cycle

Notasi cycle memiliki teori yang bermanfaat pada sifat-sifat penting dari

sebuah permutasi yang digambarkan, ketika notasi cycle digunakan.

Contoh 6:

Sebagai ilustrasi dari notasi cycle, mari kita lihat permutasi di bawah ini :

α=[12 3 45 621 4 65 3]

Nilai permutasi di atas dapat ditampilkan secara skematis seperti dibawah ini :

Sehingga dapat ditulis (1,2)(3,4,6)(5) dari notasi cycle. Sebuah gambaran

dari barisan (a1, a2 …. , am) disebut panjang cycle m atau perputaran m cycle.

b. Orbit dari grup permutasi

Misalkan f suatu permutasi pada himpunan S sehingga f ∈ A(S), klas

ekivalen yang terbentuk dalam S yang disebabkan adanya relasi ekivalensi diatas

disebut orbit dari a oleh f untuk suatu a ∈ S dan orbit dari a oleh f ini terdiri atas

unsur-unsur.

Contoh 7:

Misalkan dalam S6 suatu permutasi f ∈ A(S6) berbentuk

f = (1 2 3 4 5 61 5 3 4 6 2)

Perhatikan

orbit dari 1 hanya terdiri dari : 1 = 1f

Orbit dari 2 diperoleh : 2f = 5, 2f2 = 5f = 6, dan 2f3 = 6f = 2, sehingga

orbit dari 2 terdiri dari (2,5,6)

Orbit dari 3, terdiri dari 3 sendiri karena 3=3f.

Orbit 4, juga terdiri dari 4 sendiri.

Sehingga putaran dari f adalah : (1), (2,5,6),(3), (4). Putaran f diatas sering

ditulis sebagai f = (2,5,6) dimana orbit terdiri dari satu unsur sering tidak

dituliskan.

5. Teorema-Teorema yang Berhubungan Dengan Grup Permutasi

Teorema 5.1 Produk disjoint cycles

Setiap permutasi dari himpunan terbatas dapat ditulis sebagai cycles atau

sebagai produk dari disjoint cycles.

BUKTI. α menjadi permutation = {1,2,3 ,……,n }. Untuk menulis siklik

disjoint, kita memulai dengan memilih anggota A, katakan a1, dan biarkan

a2 = α ¿) , a3=α ¿

dan seterusnya, sampai kita dapatkan α 1= α m(a1) untuk beberapa m. Kita tahu ada

beberapa karena deretan a1, α ¿), α 2 ( a1 ) , … harus tidak berhingga, jadi pada

akhirnya terjadi pengulangan, α i ( a1 )=α j ( a1 ), untuk i dan j dengan i < j. Kemudian

a1= α m(a1), dimana m = j – i. Dan kita sebut hubungan diantara a1 , a2 , a3 , … .. am

sepertiα=(a¿¿1 , a2 , a3 , … ..am)…¿

Contoh 8:

Jika urutan notasi untuk α dan β, masing-masing adalah

α=[12 3 4521 3 54] dan β = [123 4 5

54 1 23 ]Kemudian, dalam notasi cycle, α = (12)(3)(45), β = (153)(24), dan αβ =

(12)(3)(45)(153)(24).

Untuk menempatkan αβ dalam bentuk disjoint cycle amati bahwa (24)

menentukan 1; (153) mengirimkan 1 ke 4.kemudian dengan cara ini. Kemudian

dengan cara ini kita mendapatkan αβ = (14)(253).

Teorema 5.2 Disjoint Cycles Commute

Jika dua buah siklik α=¿ dan b=(b1 , b2 , b3 , … ..bn ) tidak memiliki isi yang

sama, kemudian αβ=βα.

BUKTI. α dan β dari permutasi

S = {a1 , a2, a3 ,… ..am, ( b1 , b2 ,b3 ,… ..bn ) , c1 , c2 , c3 ,… ..ck }

Dimana c’s anggota S yang tersisa dari α dan β. Untuk membuktikan αβ=βα,

maka ditunjukan (αβ ) ( x )=( βα ) (x ) untuk semua x di S. Jika x adalah elemen a

maka:

(αβ ) ( ai )=α (β ( ai ))=α ( ai )=ai+1

Sehingga ditafsirkan a i+1 sebagai ai jika i=m

¿

Karenanya, fungsi dari αβ dan βα di dalam eleman. Argumen yang mirip

menunjukan bahwa αβ dan βα sedang itu b elemen sama baiknya. Akhirnya,

katakan x adalah elemen dari c, atau c1. Kemudian di dapatkan

(αβ ) ( ci )=α ( β (c i ))=α ( c i)=c i

( βα ) ( ci )=β (α (c i ))=β ( c i)=a i

Dalam contoh perkalian siklik, kita menunjukan produk (1 3) (2 7) (4 5 6) (8) (1 2

3 4) (6 4 8) (5) dapat ditulis dengan (1 7 3 2) (4 8) (5 6). Apakah ekonomi dalam

rumus keuntungan hanya untuk menulis permutasi dalam bentuk menguraikan

siklus? Tidak. Yang nantinya akan ditunjukan dalam theorema selanjutnya, order

dari permutasi.

Teorema 5.3 Order Suatu Permutasi (Ruffini-1799)

Order suatu permutasi suatu yang ditulis dalam di set terbatas memisah format

siklik adalah yang umum yang terakhir berbagai panjang siklik.

BUKTI. Pertama, mengamati suatu siklus panjangnya n yang mempunyai order

n. (memverifikasi sendiri). Kemudian, memisalkan α dan β dengan memisahkan

siklus panjangnya m dan n, dan membiarkan k, maka jadilah yang umum yang

mengalikan berbagai m dan n. Itu mengikuti dari Teorema 4.1 yang kedua-duanya

α k dan βk adalah permutasi identitas ε dan, karena m dan n berubah, (αβ )k= α k βk

adalah juga identitas. kemudian, kita mengetahui dengan kesimpulan ke Teorema

4.1 (α k=e menyiratkan bahwa suatu membagi k) bahwa order αβ-membiarkan kita

menyebutkannya t-harus membagi k. Akan tetapi (αβ )t=α t β t=ε , sedemikian

sehingga α t=β−t. Bagaimanapun, itu harus jelas bahwa jika α danβ tidak punya

simbol, umum yang sama adalah benar untuk α t danβ−t, karena peningkatan suatu

siklus bagi suatu kuasa tidak memperkenalkan lambang baru. Tetapi, jika α t dan

β−t adalah sama dan tidak punya simbol, mereka umum harus kedua-duanya jadi

akan menjadi identitas, sebab tiap-tiap lambang didalam α t ditetapkan, perbaiki

oleh β−t dan sebaliknya (tidak ingat bahwa suatu lambang muncul adalah suatu

permutasi ditetapkan dan diperbaiki oleh permutasi). Mengikuti itu, kemudian, itu

kedua-duanya m dan n harus membagi t. Ini berarti k, paling sedikit itu yang

umum berbagai m dan n, dibagi t juga. menunjukkan ini bahwa k= t.

Dengan begitu jauh, kita sudah membuktikan bahwa teorema adalah benar kasus

di mana permutasi adalah siklik tunggal atau suatu produk dua memisah siklik.

Kasus yang umum yang menyertakan lebih dari dua siklik dapat ditangani dengan

suatu cara yang sepadan.

Ketika kita akan segera melihat, yang terutama sekali macam penting permutasi

adalah suatu siklik panjangnya 2-itu adalah, suatu permutasi tentang format (ab).

Banyak orang pengarang menyebutkan permutasi ini perubahan, karena efek ab)

adalah untuk mempertukarkan atau mengubah urutan suatu a dan b.

Teorema 5.4 Produk 2 Siklus

Tiap-tiap permutasi di (dalam) n>1,adalah suatu produk 2-siklus.

BUKTI. Pertama, catat bahwa identitas itu dapat dinyatakan ketika (1 2)(1 2), dan

ini merupakan suatu produk 2-siklus. Dengan Teorema 5.1, kita mengetahui

bahwa tiap-tiap permutasi dapat ditulis dalam format

(a1a2...ak)(b1b2...bt)...(c1c2...cs).

suatu perhitungan langsung menunjukkan bahwa ini adalah sama sebagai

(a1ak)(a1ak-1)...(a1a2)(b1bt)(b1bt-1)...(b1b2)(c1cs)(c1cs-1)...(c1c2)

Ini tanda bukti.

Penghapusan yang pertama di dalam contoh yang berikut mempertunjukkan

teknik ini. Produk lain di dalam contoh 4 pertunjukan bahwa penghapusan suatu

permutasi ke dalam suatu produk 2-siklus tidaklah unik.

CONTOH 4

(1 2 3 4 5) = (1 5) (1 4) (1 3) (1 2)

= (4 5) (5 3) (2 5) (1 5)

= (2 1) (2 5) (2 4) (2 3)

= (5 4) (5 2) (2 1) (2 5) (2 3) (1 3)

Contoh 4 genap pertunjukan bahwa banyaknya 2-siklus boleh bertukar-tukar dari

satu penghapusan kepada yang berikutnya. Teorema 5.5 (dalam kaitan dengan

Cauchy) mengatakan bagaimapun itu ada satu aspek suatu penghilangan yang

tidak pernah bervariasi. Kita mengisolasikan suatu spesial kasus Teorema 5.5

sebagai lemma.

LEMMA

Jika ε =β1 β2...βr, dimana β ’s adalah 2-siklik, kemudian r adalah

BUKTI. Dengan jelas, r 1, karena suatu 2-siklus bukanlah identitas. Jika r =

2,kita adalah yang dilaksanakan.jadi,kita mengira bahwa r > 2 dan kita berproses

dengan induksi. Karena (i j) = (j i),hasil β1 β2 dapat dinyatakan salah satu dari

format yang berikut menunjukkan pada sisi kiri:

(a b)(a b) = ε

(a b)(a c) = (b c)(a b)

(a b)(c d) = (c d)(a b)

(a b)(b c) = (b c)(a c).

Jika kasus yang pertama terjadi, kita boleh menghapus β1 β2 dari produksi untuk

memperoleh ε = β3...βr dan oleh karena itu, dengan prinsip Induksi Matematika,

r-2 yang kedua menjadi genap. Di dalam lain tiga kasus, kita menggantikan

format β1 β2 pada sisi kiri oleh counterpantnya pada sisi kanan untuk memperoleh

suatu produksi baru r 2-siklik itu masih identitas, hanyalah dimana kejadian

pertama bilangan bulat adalah di dalam yang kedua 2-siklik produk sebagai ganti

yang dulu. Kita sekarang mengulangi prosedur itu hanya uraikan dengan β2 β3,

dan, sama seperti sebelunnya,kita memperoleh suatu produk (r-2) 2-siklus

sepadan dengan identitas itu atau suatu produksi baru r 2-siklik, di mana kejadian

yang pertama suatu adalah di (dalam) yang ketiga 2-siklik. Melanjutkan proses,

kita ini harus memperoleh suatu produk (r-2) 2-beredar sama kepada identitas,

sebab jika tidak kita mempunyai suatu produk sepadan dengan identitas dimana

kejadian yang pertama bilangan bulat adalah didalam 2-siklik yang terakhir, dan

produk seperti itu tidak menentukan suatu sedangkan mengerjakan identitas.

Karenanya, dengan induksi, r-2 bahkan dan r bahkan juga.

Teorema 5.5 Selalu Genap atau Selalu Ganjil

Jika pada permutasi α dapaat dinyatakan sebagai perkalian yang berjumlah 2

siklik, maka setiap penguraian α akan menjadi perkalian dari 2 siklik yang

bahkan harus memiliki jumlah 2 siklik. Seperti yang ada di bawah; jika

α=β1 β2 …βr dan α=γ1 γ 2 …γ s

dimana β dan γ adalah 2 siklik, maka r dan s keduanya genap atau ganjil.

BUKTI. Amati bahwa

β1β2 … β r = γ 1γ 2 … γ s menyiratkan

ε=γ 1 γ 2 … γ s β r-1 ... β2

-1β1-1

= γ 1 γ 2 … γ s β r … β2 β1,

karena 2 siklik adalah inversnya sendiri. Demikian, seperti yang di atas menjamin

bahwa s + r adalah genap. Sehingga terjadi r dan s keduanya adalah genap dan

ganjil.

DEFINISI: Permutasi Genap dan Ganjil

Sebuah permutasi yang dapat dinyatakan sebagai perkalian, maka jumlah 2 siklik

disebut permutasi genap. Sebuah permutasi yang dapat dinyatakan sebagai

perkalian dari 2 siklik yang ganjil, maka disebut permutasi ganjil.

Teorema 5.4 dan 5.5 menunjukkan bahwa setiap permutasi dapat jelas

diklasifikasikan sebagai genap atau ganjil, tetapi tidak untuk keduanya. Pada saat

ini adalah wajar untuk menanyakan apa signifikasi pengamatan ini. Jawabannya

terdapat pada Teorema 5.6.

Teorema 5.6 Permutasi Genap Membentuk Group

Himpunan permutasi genap di Sn membentuk subgroup Sn.

BUKTI. Bukti ini diserahkan kepada pembaca.

Pada permutasi genap subgroup dalam Sn akan jadi sering muncul yang kita

berikan nama khusus dan notasi.

DEFINISI: Group Bertukar dari Tingkat n

Group permutasi genap n adalah simbol yang dilambangkan oleh An dan disebut

group bertukar dari tingkat n.

Hasil berikutnya menunjukkan bahwa tepat setengah dari unsure-unsur Sn (n > 1)

menjadi permutasi genap.

Teorema 5.7

Untuk n > 1, An adalah order yang mempunyai n !2

BUKTI.

Untuk setiap permutasi ganjil σ , permutasi (12)σ adalah permutasi genap.

Demikian, setidaknya ada sebagai permutasi ganjil yang banyak karena ada yang

aneh. Di sisi lain, untuk setiap permutasi genap , permutasi (12) permutasi

ganjil. Jadi, setidaknya ada banyak maupun sedikit pada permutasi ganjil sebagai

permutasi genap. Itu terjadi karena sebuah angka sama dari permutasi genap dan

ganjil. Karena │Sn│= n!, sedangkan yang kita miliki │An│= n !2

.

Tabel 5.1 Group A4 bertukar dengan permutasi Genap dari {1, 2, 3, 4}

(Dari tabel ini, permutasi A4 ditujukan sebagai α 1, α 2, …, α 12dan entri k di dalam

table mewakili α k. Misalnya, α 3α 8 = α 6.)

α 1 α 2 α 3 α 4 α 5 α 6 α 7 α 8 α 9 α 10 α 11 α 12

α 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

α 2 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11

α 3 3 4 1 2 7 8 5 6 11 12 9 10

α 4 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9

α 5 5 8 6 7 9 12 10 1 1 4 2 3

α 6 6 7 5 8 10 11 9 12 2 3 1 4

α 7 7 6 8 5 11 10 12 9 3 2 4 1

α 8 8 5 7 6 12 9 11 10 4 1 3 2

α 9 9 11 12 10 1 3 4 2 5 7 8 6

α 10 10 12 11 9 2 4 3 1 6 8 7 5

α 11 11 9 10 12 3 1 2 4 7 5 6 8

α 12 12 10 9 11 4 2 1 3 8 6 5 7

Ket:

α 1 = (1) α 2 = (1 2) (3 4)

α 3 = (1 3) (2 4) α 4 = (1 4) (2 3)

α 5 = (1 2 3) α 6 = (2 4 3)

α 7 = (1 4 2) α 8 = (1 3 4)

α 9 = (1 3 2) α 10 = (1 4 3)

α 11 = (2 3 4) α 12 = (1 2 4)

Group bertukar merupakan contoh yang paling penting dari group. Group A4 dan

A5 akan muncul beberapa kali di bab berikutnya. Khususnya A5 yang memiliki

signifikansi historis yang besar.

Interpretasi geometris A4 diberikan dalam contoh 5, dan tabel perkalian A4

diberikan pada tabel 5.1.

CONTOH5.Rotasi Bidang Empat

12rotasidarisebuahbidang empat yang biasadapatdengan

mudahdigambarkandenganunsur A4. BarisatasGambar

5.1menggambarkanidentitasdantiga1800"ujung" tentangsumburotasi yang

bergabung dengantitik tengahdariduasisi. Bariskeduaterdiridari1200

putaran"wajah" tentangsumbubergabungsimpulkepusatwajahyang berlawanan.

Barisketiga terdiridari1200(atau 2400) rotasi"wajah".

Pemberitahuanbahwaempatrotasipada bariskeduadapatdiperolehdarimereka

yangdibarispertama olehperkalian dari kiriempatdibarispertama olehrotasi(1 2 3),

sedangkanmerekadibaristiga puluhdapatdiperolehdariorang-orangdi

barisketigadarikiri-mengalikan yang ada dibarispertamaoleh(1 2 3).

Molekuldenganrumuskimiadari AB4, seperti metana(CH 4)

dankarbontetraklorida(CCl4), telahA4sebagaikelompoksimetrimereka.

Gambar5.2menunjukkandarisatumolekultersebut.

Banyak permainan dan puzzle dapat di analisis menggunakan permutasi.

CONTOH6(Loren Larson) SebuahPuzzlePiringan yang Bergeser

Mempertimbangkan puzzle yang ditunjukkandi bawah(ruang di

tengahadalahkosong)

Denganmenggeserpiringansepanjanggarisditunjukkandarisatuposisi ke posisi

laintanpamengangkatataumelompat, bisakitamemdapatkan danmengemukakan

tatasusunannya?

Untukmenjawabpertanyaan

inikitamelihatposisisepertinomorpadagambarpertamadi atasdan

mempertimbangkandualangkahdasar: (i) memutarsemuapiringan pada

satuposisisearah dengan jarum jam(ditunjukan dengan r), dan(ii)

piringandiposisi1pindah keposisi3, piringanpadaposisi2bergerakkeposisi1,

danposisipiringan3bergerakkeposisi2(ditunjukan dengan s). Dalampermutasi,

kamimemilikir=(1 2 3 4 5 6) dans=(1 3 2). Jelas,

himpunansemuakemungkinanbergerakdalamsubgroupdar

iS6dihasilkanolehrdans(yaitu, semuarangkaianrdans's).

Kitadimintauntukmengekspresikan(2 3 4) dalamhalrdans.Sebuah judulpercobaan

mengungkapkanbahwa(234) =rs2r-1. Disisilain,tidak mungkinuntukcepat(12)

dalamhalrdan s.

Halmemukautentangmasalahpermutasiadalah

bahwaadasoftwareperpaketyangbisamenjawabbanyak pertanyaanlangsung. Dalam

kasusini, kamiakanmemintakomputeruntukmenentukanjika(2 3 4) adalahyang

dapat dinyatakandalamjangka wakturdans, dan jikademikian, bagaimana.

Misalnya, dengansoftwareGAP(lihat perangkat lunakyang disarankanpadaakhir

babini)kitamenggunakanperintah:

gap G : = group simetri (6)

gap r : = (1, 2, 3, 4, 5, 6); s : - (1, 3, 2)

gap K : = subgrup (G[r,s );

gap faktorisasi (K(2, 3, 4));

Tigabaris pertamamenginformasikankomputerbahwa

kelompokkitaadalahsubkelompokS6dihasilkanolehr=(1 2 3 4 5 6) dans=(1 3 2)

sedangkanpermintaanbariskeempatyang(2 3 4) diungkapkandalamrdans.

GAPdapatmenghitung43, 252, 003, 274, 489, 856, 000 (43+triliun)

permutasikubusrubik's labelwajahparakubussepertiyang ditunjukkandi sini.

permutasikelompokkubusdihasilkannyarotasiberikutdarienamlapisan.

Atas = (1, 3, 8, 6) (2, 5, 7, 4) (9, 33, 25, 17) (10, 34, 26, 18) (11, 35, 27, 19)

Kiri = (9, 11, 16, 14) (10, 13, 15, 12) (1, 17, 41, 40) (4, 20, 44, 37) (6, 22, 46, 35)

Depan = (17, 19, 24, 22) (18, 21, 23, 20) (6, 25, 43, 16) (7, 28, 42, 13) (8, 30, 41,

11)

Kanan = (25, 27, 32, 30) (26, 29, 31, 28) (3, 38, 43, 19) (5, 36, 45, 21) (8, 33, 48,

24)

Samping = (33, 35, 40, 38) (34, 37, 39, 36) (3, 9, 46, 32) (2, 12, 47, 29) (1, 14, 48,

27)

Bawah = (41, 43, 48, 46) (42, 45, 47, 44) (14, 22, 30, 38) (15, 23, 31, 39) (16, 24,

32, 40)

A CHECK-DIGIT SCHE BASED ON D5

Pada tahun 1969 J. verhoeff membagi metode pemanfaatan grup dihedral beroeder

10 untuk mendeteksi semua digit unggal eror dan transposisi eror digit-digit yang

berdekatan tanpa menghindari beberapa bilangan atau mengajukan karakter baru.

Untuk menggambarkan metode permutasi ini

= (0 1 5 8 9 4 2 7) (3 6)

Dan grup dihedral berorder 10 yang digambarkan oleh table di bawah ini (disini

kita menggunakan 0 sampai 4 untuk rotasi dan 5 sampai 9 untuk refleksi)

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 0 6 7 8 9 5

2 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6

3 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7

4 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8

5 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1

6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2

7 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3

8 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4

9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

IdeVerhoeff melihat digit 0 sampai 9 sebagai element dari grup D5 ,faktanya

beberapa rangkaian digit a1 , a2… a(n−1) kami melampirkan cek digit an maka (a1)

* ❑2(a2) * ❑3(a3) * … * ❑n−1(an−1) * ❑n(an) = 0 (disini ❑2(x) = ((x)); ❑3(x) =

(❑2(x)) dan sebagainya)

Karena memiliki sifat

❑i(a) ≠❑i(b) jika a b

Pada tahun 1990 pemerintah jerman mulai menggunakan modifikasi dari skema

cek digit Verhoeff untuk membubuhkan cek digit kedalam serial nomor pada bank

jerman (mata uang dutces mark)

Table selanjutnya memberikan nilai fungsi ❑i(j), baris disimbolkan oleh ❑i dan

kolom disimbolkan oleh j

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 5 7 6 2 8 3 0 9 4

❑2 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2

❑3 8 9 1 6 0 4 3 5 2 7

❑4 9 4 5 3 1 2 6 8 7 0

❑5 4 2 8 6 5 7 3 9 0 1

❑6 2 7 9 3 8 0 6 4 1 5

❑7 7 0 4 6 9 1 3 2 5 8

❑8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

❑9 1 5 7 6 2 8 3 0 9 4

❑10 5 8 0 3 7 9 6 1 4 2

Contoh

Mata uang yang memiliki nomer serial AG8536827U dengan menggunakan table

di bawah ini

A D G K L N S U Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(0) * ❑2(2) * ❑2(2) *❑3(8) * ❑4(5) * ❑5(3) * ❑6(6) * ❑7(8) * ❑8(2) * ❑9(7) *

❑10(7) * 7 = 1 * 0 * 2 * 2 * 6 * 6 * 5 * 2 * 0 * 1 * 7 = 0

Ilustrasikan bagaimana menggunakan table perkalian dihedral 5

1 * 0 * 2 * 2 = (1 * 0) * 2 * 2 = 1 * 2 * 2 = (1 * 2) * 2 = 3 * 2 = 0

SOAL LATIHAN (Hal. 107-110)

1.Find the order of each of the following permutations.

a .(14 )=(4 1)

b .(14 7 )=(17 )(1 4)

c .(14 7 62 )=(12 ) (1 6 ) (17 )(1 4)

3.What is the order of each of the following permutations.

a .(12 4 ) (3 57 )

[1 2 32 4 5

4 5 61 7 6

73]

b .(12 4 )(35 6)

[1 2 32 4 5

4 5 61 6 3]

c .(12 4 ) (3 5 )

[1 2 32 4 5

4 51 1]

d. (1 2 4)(3 5 7 8)

[1 2 32 4 5

4 5 61 7 6

7 88 3]

4 .What is the order of each of the following permutations?

a .[1 2 32 1 5

4 5 64 6 3]

= (12 ) (3 56 )(4)

b .[1 2 37 6 1

4 5 62 3 4

75]=(17 53 )(2 64)

8. What is the maximum order of any element in A10 ?

10!2

=5 .9!

40. Prove that Sn is non-abelian for all n ≥3.

S3 = 3! = 6

6 fungsi (α ,β , ε , α2 , αβ , βα)

αβ ≠ βα

[a1 a2 a3

b1 b2 b3][b1 b2 b3

a1 a2 a3]≠[b1 b2 b3

a1 a2 a3][a1 a2 a3

b1 b2 b3]

(b1 b2 b3 ) ≠ (a1 a2 a3 ) non-abelian