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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI URBINO

FACOLTA DI SCIENZE AMBIENTALI

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE AMBIENTALI

TESI DI LAUREA

STUDIO DELLA DISPERSIONE DIINQUINANTI PASSIVI IN UNO STRATOLIMITE GENERATO DA UN MODELLOLARGE EDDY SIMULATION (L.E.S.)

Relatore: Laureando:

Prof. UMBERTO GIOSTRA ALEXANDRE RADICCHI

Correlatore:

Prof. UMBERTO RIZZA

anno accademico 2001–2002

Indice

I Parte Generale 4

1 Equazioni fondamentali della fluidomeccanica 5

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Fluidi ideali e fluidi reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Equazioni del campo di moto per fluidi Newtoniani . . . . . . . . 9

1.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Equazione del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4 Equazioni di Navier–Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5 Equazione della vorticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.6 Equazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Caratteristiche ed equazioni fondamentali dello strato limite at-

mosferico 16

2.1 Caratteristiche dello strato limite atmosferico . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Altezza e struttura dello strato limite atmosferico . . . . . 18

2.1.3 Strato limite convettivo diurno (CBL) . . . . . . . . . . . 20

2.1.4 Lo strato limite stabile (o notturno) . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.5 Lo strato residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Equazioni fondamentali dello strato limite atmosferico . . . . . . . 23

i

2.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Approssimazione di Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.4 Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5 Equazione per la conservazione del momento . . . . . . . . 25

2.2.6 Equazione per l’energia termica . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.7 Conservazione di grandezze scalari . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.8 Temperatura potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.9 Criterio di stabilita statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Equazioni per i flussi turbolenti 30

3.1 Natura della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Equazioni per il flusso medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2 Scomposizione con media d’insieme . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Equazioni per le variabili medie e le fluttuazioni turbolente 33

3.2.4 Equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Equazione di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Equazione del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Equazione dell’energia temodinamica . . . . . . . . . . . . 35

Conservazione di quantita scalari . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Il problema della chiusura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3.2 Chiusure del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Teoria K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Teoria della lunghezza di rimescolamento . . . . . . . . . . 38

3.4 Equazione per l’energia cinetica turbolenta . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1 Derivazione dell’equazione per la TKE . . . . . . . . . . . 41

3.4.2 Bilancio della TKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Termine (1)+(2), variazione totale della TKE . . . . . . . 42

Termine (3), produzione-distruzione per galleggiamento . . 43

ii

Termine (4): produzione meccanica . . . . . . . . . . . . . 44

Termine (5): trasporto turbolento . . . . . . . . . . . . . . 44

Termine (6): flussi turbolenti di pressione . . . . . . . . . . 45

Termine (7): dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5 Stabilita statica e stabilita dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.1 Stabilita statica e stabilita dinamica . . . . . . . . . . . . 46

3.5.2 Numero di Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Numero di Richardson di flusso . . . . . . . . . . . . . . . 48

Numero di Richardson di gradiente . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.3 Lunghezza di Obukhov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Le scale della turbolenza 52

4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Cascata energetica ed ipotesi di Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1 Cascata energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.2 Ipotesi di Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Caratteristiche spettrali della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.1 Spettro dei numeri d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.2 Spettro delle frequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.3 Ipotesi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

II Modellistica numerica 61

5 Large Eddy Simulation 63

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Nozioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1 Il filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.2 Equazioni per le componenti risolte . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.3 Conservazione del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2.4 Conservazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 Parametrizzazione del sottogriglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

iii

5.3.1 Modello di Smagorinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.2 Valutazione della costante di Smagorinsky . . . . . . . . . 74

6 Descrizione del modello LES utilizzato 76

6.1 Equazioni per le variabili risolte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.1.1 Scelta del filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2 Parametrizzazione del sottogriglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.1 Modello corrente per le scale residue . . . . . . . . . . . . 78

6.2.2 Equazione prognostica per l’energia cinetica residua . . . . 80

6.2.3 Estensione del modello di base . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Modello per la viscosita turbolenta residua . . . . . . . . . 82

Modello per la viscosita turbolenta media . . . . . . . . . 82

Fattore di isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Lo schema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.4 Le condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4.1 Condizioni laterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.4.2 Condizioni al suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.4.3 Condizioni al top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Soluzione dell’equazione di conservazione di uno scalare median-

te un metodo misto elementi finiti–differenze finite 87

7.1 Concetti generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.2 Soluzione del trasporto avvettivo . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.3 Schema numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.1.4 Applicazione di un filtro nonlineare . . . . . . . . . . . . . 92

7.1.5 Condizioni iniziali ed al contorno . . . . . . . . . . . . . . 95

7.1.6 Prove sullo schema avvettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2 Soluzione del trasporto diffusivo con il metodo delle differenze finite 97

7.2.1 Caso non omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.2.2 Condizioni iniziali ed al contorno . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2.3 Affidabilita dello schema diffusivo . . . . . . . . . . . . . . 99

iv

7.3 Soluzione Globale dell’equazione diffusivo–avvettiva . . . . . . . . 99

8 Simulazioni e risultati 101

8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.1.1 Tipo di esperimenti condotti . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.1.2 Studio della dispersione da una linea sorgente . . . . . . . 102

8.1.3 Caratteristiche del PBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.1.4 Sistema di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.2 Dispersione nello strato limite convettivo . . . . . . . . . . . . . . 106

8.2.1 Concentrazione cross-wind integrata . . . . . . . . . . . . . 110

8.2.2 Altezza media del pennacchio e parametro di dispersione

verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.3 Dispersione nello strato limite misto . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.3.1 Altezza media, concentrazione cross-wind e parametro di

dispersione verticale del pennacchio . . . . . . . . . . . . . 116

A Teoria della similarita nello strato limite convettivo I

A.1 Similarita di Monin–Obukhov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

A.2 Similarita per convezione libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

A.3 Teoria della similarita per lo strato di rimescolamento . . . . . . . IV

B Schemi d’integrazione alle differenze finite V

B.1 Metodo esplicito: schema di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . V

B.2 Metodo implicito: schema di Crank–Nicolson . . . . . . . . . . . . VI

C Integrali di funzioni chapeau VIII

D Delta di Dirac X

D.1 Caratteristiche generali, caso monodimensionale . . . . . . . . . . X

v

Elenco delle figure

1.1 Velocita in un flusso laminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Sforzi agenti su di un elemento di volume. . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Sforzi e deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Profilo di temperatura nel PBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Strati della troposfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Profilo del vento in differenti condizioni di stabilita . . . . . . . . 21

2.4 Vari profili nel CBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Profilo di temperatura potenziale nell’NBL . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Evoluzione temporale della TKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Profili del flusso verticale di TKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Evoluzione temporale del parametro L. . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 Scale del moto turbolento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Cascata energetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Spettro della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1 Operazione di filtro su di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . 65

5.2 Tipi di filtri impiegati in un LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.1 Funzioni del tipo chapeau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Azione di un filtro numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3 Test di conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.4 Movimento di una massa cubica in tre dimensioni . . . . . . . . . 98

vi

8.1 Schema della linea sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2 Distribuzione iniziale di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.3 Profilo di temperatura al tempo t0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.4 Profilo di temperatura media al tempo di rilascio della linea sor-

gente nei casi convettivo e misto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.5 Profili di vento medio nei casi convettivo e misto . . . . . . . . . . 106

8.6 Campi di velocita nel caso convettivo . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.7 Profilo di skewness nel CBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.8 Distribuzione della massa nella simulazione B . . . . . . . . . . . 109

8.9 Distribuzione di w nel nella simulazione B . . . . . . . . . . . . . 110

8.10 Test sulla conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.11 Evoluzione della concentrazione cross-wind integrata nella simula-

zione B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.12 Altezza media del pennacchio nella simulazione B . . . . . . . . . 113

8.13 Parametro di dispersione nella simulazione B . . . . . . . . . . . . 114

8.14 Campo della velocita w nella simulazione SB2 . . . . . . . . . . . 114

8.15 Distribuzione della massa inquinante nella simulazione SB2 . . . . 115

8.16 Campi di vento w mediati nella simulazione SB2 . . . . . . . . . . 116

8.17 Altezza media del pennacchio nella simulazione SB2 . . . . . . . . 117

8.18 Parametro di dispersione nella simulazione SB2 . . . . . . . . . . 118

8.19 Evoluzione della concentrazione cross-wind integrata nella simula-

zione SB2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

vii

Introduzione

L’attuale e sempre crescente interesse nei confronti dell’inquinamento atmosferico

richiede una dettagliata conoscenza dello strato limite planetario e dei moti in

esso presenti. E, infatti, nei primi due chilometri di atmosfera, a contatto con

la superficie terrestre, che i processi naturali, quali l’evaporazione e la traspira-

zione, o antropici, quali l’emissione di gas di scarico, hanno luogo e manifestano

maggiormente i loro effetti.

In questo strato i processi di trasporto delle specie inquinanti, sono dovuti

ai moti di natura turbolenta, la previsione dei quali diviene, quindi, di estrema

importanza ai fini della salvaguardia della biosfera.

La turbolenza, tuttavia, rappresenta ancora uno dei problemi in gran parte

irrisolti della fisica classica, soprattutto in quanto particolarmente sensibile al

contesto fisico in cui si manifesta (e.g. tipo di fluido, condizioni al contorno,

condizioni iniziali del moto, etc.).

A causa delle difficolta incontrate nell’adoperare gli strumenti analitici tradi-

zionali della fisica-matematica, in tale contesto, e divenuta comune la pratica di

analizzare i fenomeni turbolenti per mezzo di metodi alternativi, in particolare il

calcolo numerico (fluidodinamica computazionale o CFD1).

Le tecniche impiegate dalla fluidodinamica computazionale sono molteplici,

ed in continua evoluzione, parallelamente alla potenza dei calcolatori elettronici.

Per lo studio della turbolenza atmosferica possiamo citare vari metodi, fra i quali:

1Computational fluid dynamic.

1

modelli RANS2, modelli a PDF3, DNS4, LES5.

Il compito della tecnica LES e quello di risolvere numericamente le scale piu

ampie ed a maggior contenuto energetico della turbolenza, parametrizzando le

scale piu piccole. Essa ha acquisito negli anni sempre maggiore popolarita, grazie

soprattutto ai successi ottenuti con le simulazioni di Smagorinsky [31], Lilly [17],

Deardorff [6], Moeng [20], etc., fino ad essere considerata , attualmente, uno dei

metodi piu potenti, in particolare per lo studio della turbolenza nello strato limite

convettivo, in cui a prevalere sono i moti6 a larga scala.

Lo scopo di questo lavoro di tesi e quello di studiare la dispersione di un inqui-

nante passivo all’interno dello strato limite planetario, sfruttando la tecnica LES

per generare i campi di moto turbolento. A tal proposito, e stato sviluppato un

adeguato metodo numerico per la risoluzione dell’equazione avvettivo–diffusiva

che descrive l’evoluzione spazio–temporale di uno scalare.

Nella prima parte di questa tesi vengono introdotte alcune nozioni fondamen-

tali per lo studio della turbolenza nello strato limite atmosferico. Nel Capitolo

1, si introducono le equazioni base della fluidomeccanica, ampliate nel Capitolo

2 al fine di renderle applicabili allo strato limite. Nel Capitolo 3 si analizzano i

problemi relativi all’applicazione di tali equazioni nella descrizione di flussi tur-

bolenti, e si introducono, in particolare, il problema della chiusura, e semplici

tecniche per la sua risoluzione, basate su di un approccio in media d’insieme.

Il Capitolo 4 contiene alcune nozioni sulle caratteristiche dimensionali dei moti

turbolenti, e introduce in particolare, il concetto di cascata energetica assieme

alle ipotesi di Kolmogorov.

La seconda parte della tesi nasce con lo scopo di descrivere le caratteristiche

del modello utilizzato. Mentre il Capitolo 5 contiene gli aspetti generali della

tecnica LES, il Capitolo 6 descrive il modello LES sviluppato da Moeng et al.,

utilizzato per questo lavoro di tesi.

2Reynolds-averaged Navier–Stokes.3Probability density function.4Direct numerical simulation.5Large eddy simulation6Eddies.

2

Nel Capitolo 7 si descrive lo schema numerico misto elementi finiti–differenze

finite impiegato per risolvere il problema avvettivo-diffusivo. Infine il Capitolo

8 presenta i risultati delle simulazioni effettuate, per descrivere la dispersione

di una linea sorgente elevata istantanea, all’interno di uno strato limite di due

tipi differenti: in un primo esperimento di tipo convettivo (caso B), e nell’altro di

natura mista, cioe debolmente convettivo, ma con una certa forzatura di gradiente

(caso SB2). I risultati delle simulazioni del caso convettivo vengono confrontati

con quelli ottenuti da Nieuwstadt [25, 12].

3

Parte I

Parte Generale

4

Capitolo 1

Equazioni fondamentali della

fluidomeccanica

1.1 Introduzione

1.1.1 Fluidi ideali e fluidi reali

Si definisce come fluido ideale un fluido che sia incompressibile ed inviscido, cioe

il cui moto sia caratterizzato dall’assenza di forze tangenziali (sforzi di gradiente)

fra suoi strati adiacenti. Cio equivale a dire che un fluido ideale non oppone

resistenza a cambiamenti di forma imposti dalle forze esterne.

Benche la descrizione matematica di tali fluidi abbia raggiunto un notevole

sviluppo, da un punto di vista pratico, essa riesce solo in alcuni casi1 ad essere

soddisfacente per descrivere il mondo reale.

Si definisce come fluido reale un fluido in cui siano considerate, oltre alle forze

normali, forze tangenziali agenti fra suoi strati adiacenti, e fra il fluido e le pareti

che lo circondano2. Queste forze tangenziali (o di frizione) sono direttamente

legate a proprieta fisiche dei fluidi reali, fra cui la viscosita.

1Fluidi a bassa viscosita.2no-slip condition.

5

1.1.2 Viscosita

Si immagini che due superfici piane separate da una distanza h in y, una in moto

con una velocita U e l’altra ferma, siano separate da una massa di fluido reale a

pressione costante. Per la presenza di forze tangenziali il fluido sara caratterizzato

da un gradiente di velocita nella direzione y di tipo lineare, cioe la velocita in un

punto, u(y), sara proporzionale alla distanza dalla superficie ferma sottostante:

u(y) =y

hU . (1.1)

Figura 1.1: Distribuzione della velocita all’interno di un fluido, confinato fra due superfici,

parallele al flusso.

In accordo con osservazioni sperimentali, le forze di frizione (τ) agenti all’in-

terno del fluido, sono proporzionali al rapporto U/h, che, per un volume di fluido

infinitesimo, puo essere riscritto come du/dy, a meno di una costante, µ, detta

viscosita, funzione delle proprieta fisiche del fluido:

τ = µdu

dy. (1.2)

L’equazione (1.2) viene detta legge della frizione di Newton, ed i fluidi in cui

e applicabile questa relazione lineare, fra lo sforzo di gradiente τ ed il gradien-

te du/dy, vengono detti fluidi Newtoniani. La viscosita si esprime in kg/ms o

Ns/m2.

In alcuni casi e usata una variante della suddetta viscosita3, la viscosita

cinematica, ν:

ν =µ

ρ, (1.3)

3Spesso detta viscosita dinamica.

6

dove ρ rappresenta la densita del fluido.

Come gia affermato, la viscosita e una proprieta fisica del fluido, ed e funzione

sia della temperatura che della pressione; ad un aumento della temperatura, la

viscosita dei gas aumenta, mentre quella dei liquidi diminuisce. La viscosita

viene anche considerata una proprieta di trasporto del fluido per la sua capacita

di trasportare momento in direzione perpendicolare a quella del flusso.

1.1.3 Numero di Reynolds

Ci si trova ora davanti alla seguente questione: in che caso flussi differenti, inseriti

in un contesto geometrico simile (stessa forma degli ostacoli, stesse condizioni al

contorno, ecc.) mostrano comportamenti simili?

Flussi con aspetto simile vengono detti meccanicamente similari. Affinche questa

condizione si verifichi, si deve richiedere che il rapporto tra le forze agenti sulle

particelle di fluido, situate in posizioni medesime, sia costante.

Tra le possibili forze agenti su di una particella di fluido (frizione, forze iner-

ziali, pressione e forze di volume), si considera come maggiormente significativo

in questo contesto il rapporto tra la frizione e le forze inerziali.

Dato un sistema di riferimento cartesiano, per moti diretti nella direzione

dell’asse x, le forze inerziali, per unita di volume, possono essere definite da

ρ du/dt, cioe

ρ∂u

∂x

dx

dt= ρu

∂u

∂x. (1.4)

Le forze di frizione, per unita di volume, possono essere ottenute dalla legge della

frizione di Newton, e scritte come

∂τ

∂y= µ

∂2u

∂y2. (1.5)

Si puo quindi scrivere la condizione di similarita come

ρu∂u/∂x

µ∂2u/∂y2= costante . (1.6)

7

Da un’analisi dimensionale delle caratteristiche del flusso, e possibile semplificare

l’equazione precedente, inserendovi delle grandezze caratteristriche: ρ, µ, una ve-

locita caratteristica del flusso V (velocita media), ed una lunghezza caratteristica

d (larghezza del dominio), ottenendo

ρV d

µ= costante . (1.7)

La condizione di similarita meccanica fra due flussi, viene soddisfatta quando

per punti simili il valore della quantita

Re =V d

ν(1.8)

e lo stesso. La quantita Re prende il nome di numero di Reynolds, quantita

adimensionale definita da O. Reynolds nel 1883, durante studi su flussi interni a

condotti.

Nei suoi studi Reynolds, associo a tale quantita anche un’altro significato,

essa, caratterizzando la forma del flusso, fornisce informazioni sulla sua natura:

un flusso puo essere di due tipi differenti, laminare e turbolento.

Un flusso laminare e generalmente caratterizzato da linee di flusso parallele,

in cui le particelle di fluido adiacenti si muovono in maniera ordinata, con scarsi

rimescolamenti.

Nei flussi turbolenti il moto di tali particelle risulta altamente disordinato,

irregolare e scarsamente predicibile. I moti turbolenti sono in genere altamente

rotazionali, dissipativi e diffusivi, mostrando una natura apparentemente caoti-

ca agli occhi di un osservatore, assieme ad intense fluttuazioni di temperatura,

velocita e concentrazione, attorno ai loro valori medi.

Dunque date le grandezze caratteristiche del flusso, si puo determinare un

valore di Re superato il quale (per aumenti di V o diminuzione di ν) il flusso

diverra turbolento, tale valore viene detto numero di Reynolds critico (Rec) per

quel determinato flusso.

Si tornera successivamente sul discorso relativo ai flussi turbolenti, ed alle

implicazioni relative ai differenti significati del numero di Reynolds.

8

1.2 Equazioni del campo di moto per fluidi New-

toniani

1.2.1 Introduzione

Nella descrizione matematica del moto di un fluido generico (Newtoniano) che si

fara qui di seguito, si prendera come acquisita l’ipotesi che il fluido sia rappre-

sentabile come mezzo continuo (ipotesi del continuo). In tale situazione, il piu

piccolo volume considerato dV deve possedere caratteristiche omogenee, il che

impone di fissare dimensioni per dV grandi comparate alle distanze medie che

separano le molecole del fluido.

In tre dimensioni, il campo di moto di un fluido, e definito dal vettore delle

velocita u, dalla pressione p e dalla temperatura T , con

u = ui+ vj + wk , (1.9)

dove u, v, w sono le componenti e i, j,k i vettori unitari, in un sistema di coor-

dinate cartesiano, del vettore delle velocita. Per determinare queste quantita, si

devono definire le seguenti equazioni:

• equazione di continuita (conservazione della massa);

• equazioni del momento (conservazione del momento);

• equazione dell’energia (conservazione dell’energia);

che rappresenta un sistema chiuso, essendo il numero delle incognite uguale a

quello delle equazioni.

1.2.2 Equazione di continuita

L’equazione di continuita deriva dall’applicazione, in ogni volume infinitesimo

di fluido, della legge di conservazione della massa. Essa esprime il fatto che, per

unita di volume, il totale della massa che si muove verso l’interno e verso l’esterno,

per unita di tempo, deve eguagliare la variazione di massa dovuta a cambiamenti

9

della densita per unita di tempo. Per flussi non-stazionari, per i quali si verifica

∂/∂t 6= 0, questo porta a scrivere

Dρ

Dt+ ρ divu = 0 , (1.10)

ovvero in un’altra notazione,

∂ρ

∂t+ div(ρu) = 0 . (1.11)

Nell’equazione (1.10) l’operazione Dρ/Dt rappresenta la derivata totale (o

sostanziale) della densita rispettivamente al tempo

Dρ

Dt=∂ρ

∂t+ u · gradρ (1.12)

composta da una parte locale ∂ρ/∂t, che rappresenta la variazione nel tempo

della densita, in un determinato punto del dominio di definizione del flusso, e da

una parte convettiva u · gradρ, conseguenza del cambiamento di posizione di una

determinata particella di fluido.

E possibile a questo punto sfruttare i concetti introdotti , per fornire la nozione

di fluido incompressibile, data dalla seguente definizione:

in un fluido incompressibile la derivata totale della densita rispetto al

tempo e nulla (Dρ/Dt = 0)

il che porta immediatamente ad affermare che flussi incompressibili sono di natura

solenoidale, ovvero a divergenza nulla

divu = 0 , (1.13)

cioe affinche un flusso sia incompressibile, non e necessario che la densita si man-

tenga costante nel fluido durante il moto, bensı che ogni particella di fluido (con

volume dato) mantenga la propria densita iniziale.

1.2.3 Equazione del momento

L’equazione del momento rappresenta l’equazione base della meccanica, e stabili-

sce che il prodotto della massa per l’accelerazione deve eguagliare la somma delle

10

forze di volume e di superficie agenti su di una determinata particella di fluido.

Se si denotano le forze di volume con f (f = ρg, con g vettore dell’accelerazione

di gravita) e le forze superficiali (pressione e forze di frizione), sempre per unita

di volume, con P , l’equazione del momento puo essere scritta come

ρDu

Dt= f + P (1.14)

dove

Du

Dt=∂u

∂t+

du

dt(1.15)

rappresenta l’accelerazione totale (o sostanziale) costituita dall’accelerazione lo-

cale ∂u/∂t, e dall’accelerazione convettiva du/dt, che puo essere riscritta come

du

dt= (u · grad)u . (1.16)

1.2.4 Equazioni di Navier–Stokes

Per un fluido Newtoniano isotropo, in cui cioe esista una relazione lineare fra

tensore degli sforzi e tensore delle deformazioni, e possibile, dopo un opportuno

sviluppo delle forze di superficie P , ottenere la seguente forma per l’equazione

del momento (per una trattazione completa vedi [30]

ρDu

Dt= f − grad p+ div τ , (1.17)

dove τ , tensore degli sforzi viscosi e definito come

τ = µ

(2ε− 2

3δ divu

), (1.18)

parte deviatorica (o anisotropa) del tensore totale degli sforzi σ

σ = −δp+ τ , (1.19)

con δ delta di Kronecker ed ε tensore delle deformazioni, definito in uno spazio

tridimensionale dalla seguente matrice simmetrica

ε =

∂u∂x

12

(∂v∂x

+ ∂u∂y

)12

(∂w∂x

+ ∂u∂z

)12

(∂u∂y

+ ∂v∂x

)∂v∂y

12

(∂w∂y

+ ∂v∂z

)12

(∂u∂z

+ ∂w∂x

)12

(∂v∂z

+ ∂w∂y

)∂w∂z

. (1.20)

11

Se si prende in considerazione il fatto che in un flusso incompressibile divu =

0, l’equazione (1.17) puo essere riscritta come

ρDu

Dt= f − grad p+ µ div gradu , (1.21)

con p pressione agente sul volumetto di fluido definita come parte isotropa del

tensore totale degli sforzi.

Figura 1.2: Sforzi agenti su di un elemento di volume.

Si prenda ora brevemente in considerazione la restante parte delle forze agenti

all’interno del fluido, cioe la componente f . La forza di volume di maggiore

interesse e senza dubbio la forza di gravita. Se si pone

g = −grad Ψ , (1.22)

dove Ψ e il potenziale gravitazionale, la forza di volume f puo essere scritta come

f = −ρ grad Ψ . (1.23)

Si puo a questo punto definire la pressione modificata come

p = p+ ρΨ (1.24)

e quindi riscrivere l’equazione (1.21), in base a queste nuove grandezze, ottenendo

Du

Dt= −1

ρgradp+

µ

ρdiv gradu , (1.25)

12

ovvero

Du

Dt= −1

ρ∇p+ ν∆u , (1.26)

la quale rappresenta l’equazione di Navier–Stokes in forma vettoriale, dove ∇p =

grad p e ∆ = div grad e l’operatore Laplaciano.

Figura 1.3: Assi principali degli sforzi (a) e delle deformazioni (b).

Nel caso di un fluido ideale, nel quale le componenti anisotrope del tensore

totale degli sforzi siano nulle, dall’equazione (1.26) otteniamo

Du

Dt= −1

ρ∇p , (1.27)

detta equazione di Eulero.

Le equazioni di Navier–Stokes, assieme all’equazione di continuita, rappre-

sentano un gruppo di quattro equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE4)

non lineari, in quattro incognite, u, v, w e p, infatti la densita ρ e stata assunta

costante con l’ipotesi di incompressibilita.

Ricapitolando, le equazioni di Navier–Stokes definiscono, assieme all’equazio-

ne di continuita, la conservazione di momento, e di massa, per il moto di un

fluido incompressibile Newtoniano, e mostrano che la variazione di velocita di

una particella di fluido e inversamente legata al gradiente di pressione interno al

fluido, e direttamente all’azione diffusiva esercitata dal termine di sforzo viscoso.

4Dall’inglese Partial Differential Equation.

13

Al fine di completare la descrizione del campo di moto di un fluido, come

gia stabilito e necessario introdurre, assieme all’equazione di continuita e di

Navier–Stokes, un’equazione per l’energia (termica) contenente la prima legge

della termodinamica, cio verra fatto successivamente.

1.2.5 Equazione della vorticita

Accanto alla velocita locale di un fluido, un’altra quantita importante e la sua

velocita angolare locale. La grandezza standard che esprime tale quantita e la

vorticita ω, cioe il rotore del campo u,

ω = ∇× u . (1.28)

In un fluido Newtoniano, incompressibile, l’equazione per l’evoluzione della

vorticita si ottiene applicando l’operatore (∇×) all’equazione di Navier–Stokes,

cioe,

Dω

Dt= ν∆ω + ω · ∇u , (1.29)

dove il termine ω ·∇u assume un grande significato nella turbolenza, per quanto

riguarda il fenomeno dell’allungamento dei vortici5.

1.2.6 Equazione dell’energia

Si consideri una particella di fluido di massa dM = ρdV , con volume dV =

dxdydz, inserita in un sistema di riferimento cartesiano. In accordo con la prima

legge della termodinamica, la variazione di energia totale DEt della particella,

per unita di tempo Dt, e uguale al calore fornitogli QDt, ed al lavoro compiuto

su di essa, WDt:

DEtDt

= Q+W . (1.30)

5Vortex stretching.

14

Da uno sviluppo dei due termini di destra che compaiono in questa equazione,

(vedi [30, 16]), e possibile ottenere la seguente relazione

ρcpDT

Dt= div (λ gradT ) + βT

Dp

Dt+ Φ (1.31)

dove T e la temperatura, cp il calore specifico a pressione costante, β = −1/ρ(∂ρ/∂T )p

il coefficiente di espansione termica, Φ = div(τu)−udivτ la funzione di dissipa-

zione e λ la conducibilita termica.

A questo punto abbiamo cinque equazioni per cinque incognite u, p, T ; in

vista della chiusura possono essere necessarie anche l’equazione di stato per la

densita ρ(p, T ), l’equazione per il calore specifico cp(p, T ), quella per la viscosita

µ(p, T ), e la conducibilita termica λ(p, T ).

15

Capitolo 2

Caratteristiche ed equazioni

fondamentali dello strato limite

atmosferico

2.1 Caratteristiche dello strato limite atmosfe-

rico

2.1.1 Introduzione

L’atmosfera terrestre rappresenta una struttura, verticalmente disomogenea, sud-

divisibile, in funzione della distribuzione di temperatura, in quattro principali

strati. Dal suolo, troposfera, stratosfera, mesosfera e termosfera, separati ri-

spettivamente dalle seguenti superfici di discontinuita, tropopausa, stratopausa e

mesopausa (vedi figura 2.1). Questa trattazione si riferirera esclusivamente alla

parte dello strato piu superficiale, la troposfera, che maggiormente influisce sulla

qualita della vita degli esseri viventi a contatto col suolo, si trattera cioe dello

strato limite atmosferico1 (ABL2 o PBL3) (vedi figura 2.2), la rimanente parte

1Detto in alcuni casi strato di Ekman2Atmospheric Boundary Layer.3Planetary Boundary Layer.

16

della troposfera prende invece la denominazione di atmosfera libera, caratteriz-

zata da flussi quasi-geostrofici, e praticamente indipendenti dalle influenze della

superficie.

Figura 2.1: Profilo medio di temperatura nei vari strati dell’atmosfera terrestre.

Figura 2.2: Suddivisione della troposfera in “strato limite” ed “atmosfera libera.”

L’ABL rappresenta, come gia detto, quella parte della trosposfera maggior-

mente influenzata dalla presenza della superficie terrestre, in questo strato infatti

giocano un ruolo fondamentale l’azione combinata degli effetti di natura mecca-

nica e termica, indotti dalla presenza della superficie stessa. Infatti i flussi d’aria

presenti in questa regione, nonche agli effetti della forza di Coriolis e dei gradien-

ti di pressione, vengono sottoposti ad intensi sforzi di gradiente, originati dalle

17

frizioni con la superficie, a forti deformazioni dovute all’interazione con la topo-

grafia, e ad intensi scambi di umidita e calore sensibile. I principali effetti termici

sono causati dal riscaldamento solare del suolo durante il giorno e dal suo raffred-

damento radiativo durante la notte, tale ciclo da origine ad intensi fenomeni di

evaporazione, traspirazione e condensazione. L’interazione di tutti questi feno-

meni porta alla formazione di moti estremamente instabili, ed irregolari, a moti

cioe di tipo turbolento, che tendono a svilupparsi su un ampio spettro di scale

temporali e spaziali. Tali fluttuazioni tendono ad incrementare notevolmente gli

scambi energetici, con la superficie sottostante, sottoforma di flussi di momento,

calore e vapore.

2.1.2 Altezza e struttura dello strato limite atmosferico

L’ABL, data la sua origine, possiede un’altezza estremamente variabile, sia nello

spazio che nel tempo, soprattutto in risposta all’intensita delle sue interazioni

con la superficie sottostante (terrestre o marina). Questa puo infatti variare da

una decina di metri, in condizioni di stabilita atmosferica notturna, ad uno o due

chilometri nei casi di forte convezione diurna.

Al di sopra delle regioni terrestri, l’ABL possiede una sua ben definita strut-

tura, in continua evoluzione durante l’arco delle ventiquattro ore.

Gli sforzi compiuti nello studio della parte bassa dell’atmosfera, soprattutto

in seguito all’introduzione di tecniche avanzate di misurazione, hanno permesso

di suddividere lo strato limite atmosferico in due regioni principali:

• lo strato superficiale (SL4), caratterizzato da una profondita variabile (50-

100 m), e dalla presenza di flussi turbolenti approssimativamente costanti

con l’altezza, e da moti essenzialmente indipendenti dalla rotazione terre-

stre, ma, piuttosto, determinati dall’interazione con la superficie;

• una regione, superiore al precedente strato, con un’ estensione in altezza

che puo raggiungere i 500-1000 metri, in cui la struttura dei venti risulta

4Surface layer.

18

principalmente influenzata dai gradienti di temperatura, dalla rotazione

terrestre, ed in parte dalla superficie del suolo.

Se vista come l’altezza alla quale i venti raggiungono il bilancio geostrofico,

la profondita dell’ABL zh puo essere espressa come (vedi [33])

zh = C

(u∗f

), (2.1)

con C costante empirica, u∗ velocita di frizione5 e f = 2πΩ sinφ parametro di

Coriolis.

Questa definizione si basa pero su assunzioni relative a strati limite neutral-

mente stabili, nei quali cioe particelle di aria trasportate verticalemente in ma-

niera adiabatica, mantengano la stessa densita dell’aria circostante. Il gradiente

di temperatura verticale, all’origine di tale fenomeno e noto in meteorologia, co-

me gradiente termico adiabatico (secco)6, spesso indicato con Γ, quantificabile

come un incremento di circa un grado celsius ogni cento metri di altezza. Ta-

le situazione e perlopiu transitoria, situazioni molto piu frequenti sono lo strato

limite convettivo, nel quale le temperature, crescono in altezza piu rapidamente

del gradiente adiabatico, in modo tale che particelle trasportate verticalmente

sperimentino un’aria circostante piu densa, e lo strato limite stabile con gradien-

ti di temperatura meno elevati di quello adiabatico. I limiti superiori di questi

due strati definiscono le profondita degli strati limite, rispettivamente, diurno e

notturno, rappresentati da

zh =

zi altezza dello strato limite diurno,

h altezza dello strato limite notturno.

Con zi corrispondente alla base dello strato di inversione termica, ricoprente lo

strato limite diurno, ed h fatto corrispondere in genere con l’altezza alla quale si

manifestano i jets notturni.

5La velocita di frizione e definita come il modulo del flusso turbolento di momento verticale

al suolo√−〈u′w′〉0.

6Lapse rate adiabatico.

19

2.1.3 Strato limite convettivo diurno (CBL)

Gia dalle prime ore del giorno, quando il suolo comincia ad essere riscaldato dai

raggi solari, prende forma, uno strato limite di tipo convettivo, spesso denominato

come strato di rimescolamento (ML7). Durante la mattinata tale strato continua

a svilupparsi, fino a raggiungere la sua piena conformazione all’incirca nel pieno

pomeriggio.

Tale regione dell’ABL, comprensiva dello strato superficiale, e caratterizzata

dalla presenza di moti turbolenti di origine principalmente convettiva (turbolen-

za statica), in associazione a turbolenza di origine dinamica, ovvero frutto dei

gradienti di vento, perlopiu verticali. Alla base delle forzature convettive, vi e il

trasferimento di calore dal suolo, riscaldato dalla radiazione solare, verso le zone

piu alte e fredde dell’ML, che porta alla formazione di strutture caratteristiche

degli strati limite convettivi (non solo atmosferici), risalenti–calde, termiche8 (o

“updrafts”), e discendenti–fredde “downdrafts”.

I flussi d’aria calda creano una “spinta” sulle regioni piu alte dell’ML, fino

a perforare in certi casi lo strato d’inversione termica che lo sovrasta, portando

ad una espansione in altezza della zona perturbata, con formazione di uno strato

di intrusione9, caratterizzato da scambi d’aria con le zone sovrastanti. Tale

fenomeno si stabilizza quando viene raggiunto l’equilibrio tra il flusso energetico

solare e la dissipazione turbolenta. In seguito al termine degli apporti energetici

si viene a ricreare la conformazione notturna, caratterizzata dallo strato limite

stabile e da uno strato residuo sovrastante.

Una delle caratteristiche principali dell’ML e il notevole rimescolamento ver-

ticale di temperatura, vento, umidita, ecc. Il profilo verticale delle componenti

orizzontali del vento assume in generale un profilo logaritmico, con forte crescita

nello strato superficiale, della forma

〈u(z)〉 =u∗k

ln

(z

z0

), (2.2)

7Mixed Layer.8Thermals.9Entrainment layer, corrispondente allo strato di inversione.

20

dove z0, lunghezza di rugosita10, e l’altezza alla quale 〈u〉 svanisce, e 〈〉 e un

operatore di media spaziale. Va, pero, notato che tale relazione e valida per

strati limite neutrali, mano a mano che l’ABL diviene instabile il profilo di vento

si allontana dalla forma logaritmica (vedi figura 2.3). Per molte applicazioni,

l’equazione (2.2) puo essere ritenuta valida in tutte le condizioni di stabilita,

purche ci si mantenga a distanze dal suolo non superiori ai 10 m.

Figura 2.3: Profilo caratteristico del vento medio in varie condizioni di stabilita atmosferica.

Il profilo di temperatura e superadiabatico nell’SL ed adiabatico nella porzione

intermedia dell’ML, il che ci mostra come la prima porzione dello strato limite

convettivo abbia carattere piu instabile della porzione sovrastante (vedi figura

2.4).

2.1.4 Lo strato limite stabile (o notturno)

Per via dell’inerzia radiativa del suolo, durante l’avanzare della notte, la porzione

piu bassa dell’ABL, viene trasformata in uno strato staticamente stabile, con

debole turbolenza. Spesso nell’interfaccia, peraltro molto sfumata, con lo strato

residuo sovrastante possono venirsi a formare venti con intensita prossima a quella

dei venti geostrofici (10–30 m/s), che prendono il nome di jets notturni, fonte di

turbolenza anche in tale strato (vedi figura 2.5). Strati di questo tipo possono

10Roughness length.

21

Figura 2.4: Profili di velocita, direzione del vento e profilo di temperatura potenziale in uno

strato limite convettivo.

anche formarsi durante le ore diurne in seguito alla presenza di suoli piu freddi

dell’aria sovrastante.

Figura 2.5: Profili di temperatura potenziale virtuale e di vento in uno strato limite notturno.

2.1.5 Lo strato residuo

Conseguentemente al diminuito apporto energetico solare, le termiche smettono

di formarsi, ed i moti turbolenti, della parte intermedia dell’ABL, tendono a

decadere, portando alla formazione di uno strato mescolato, residuo dello strato

di rimescolamento precedente. Lo strato residuo (RL11), sovrastato dallo strato

di inversione, e neutralmente stratificato, con turbolenza isotropica, cioe con

caratteristiche omogenee in tutte le direzioni dello spazio.

11Residual Layer.

22

2.2 Equazioni fondamentali dello strato limite

atmosferico

2.2.1 Introduzione

Si e gia introdotta (vedi Capitolo 1), una serie di equazioni, generali, utili alla

descrizione del moto di fluidi incompressibili di tipo Newtoniano. Ora verranno

riprese per adattarle alla descrizione dei moti che caratterizzano l’ABL, cioe vi-

scosi, compressibili, inseriti in un sistema di riferimento gravitazionale ruotante.

A tal fine si introdurra anche la cosiddetta approssimazione di Boussinesq, per

esprimerle in forma semplificata.

2.2.2 Approssimazione di Boussinesq

Boussinesq nei suoi studi, al fine di giungere ad una forma semplificata delle

equazioni che descrivono il moto di un fluido atmosferico, in seguito ad analisi

dimensionali, fece le seguenti assunzioni:

1. viscosita dinamica µ e conducibilita termica molecolare kT , sono grandezze

che possono essere considerate costanti all’interno del fluido;

2. le fluttuazioni di densita all’interno del fluido sono di entita trascurabile,

cioe il rapporto |∆ρ/ρ0| 1, con ∆ρ = ρa−ρ0, dove ρa e la densita attuale

del fluido e ρ0 una densita di riferimento;

3. il rapporto |∆T/T0| 1, con ∆T = Ta − T0, dove Ta e la temperatura

attuale del fluido e T0 e una temperatura di riferimento tale che

∂T0

∂z= − g

cp= −Γ , (2.3)

con cp calore specifico a pressione costante, Γ gradiente di temperatura

adiabatico secco (≈1K/100m) e g accelerazione di gravita.

4. il rapporto |∆p/p0| |∆ρ/ρ0|, con ∆p = pa− p0, pa temperatura attuale e

p0 pressione statica dello strato di riferimento; essa obbedisce alla condizione

23

idrostatica:

∂p0

∂z= −gρ0 (2.4)

5. il calore generato dagli sforzi viscosi puo essere trascurato nell’equazione

dell’energia termica. Cosa che e gia stata fatta nella presentazione di tale

equazione nel Capitolo 1.

Da queste assunzioni si ottiene che i flussi atmosferici possono essere trattati

come incompressibili, con una densita dipendente dalla temperatura, le cui varia-

zioni acquistano un certo significato solamente se moltiplicate per l’accelerazione

di gravita, nel produrre un termine di galleggiamento.

2.2.3 Equazione di stato

L’equazione di stato per un gas ideale

p0 = Rρ0T0 (2.5)

puo essere utilizzata anche nell’ABL. Dalle assunzioni fatte da Boussinesq, e

possibile dedurre la seguente conclusione: per piccole deviazioni dallo stato di

riferimento di un fluido, le variazioni di densita possono essere espresse in termini

di variazioni di temperatura, vale a dire,

∆ρ

ρ≈ −∆T

T0

, (2.6)

valida solamente per aria secca. Nel caso in cui sia presente vapore acqueo

l’equazione (2.5) va riscritta come

∆ρ

ρ≈ −∆Tv

Tv0

, (2.7)

dove Tv = T (1+0.61q) e la temperatura virtuale, ovvero la temperatura che l’aria

secca avrebbe se la sua pressione fosse la stessa dell’aria umida; q = ρw/(ρd +ρw)

e l’umidita specifica, ρd e ρw, sono le densita, rispettivamente, di aria secca ed

umida.

24

2.2.4 Equazione di continuita

Cosı come si e gia visto, la forma generale dell’equazione di continuita per un

fluido compressibile e

∇u = −1

ρ

∂ρ

∂t. (2.8)

Da un’analisi di scala delle caratteristiche dell’ABL, si ottiene che il termine di

sinistra e tipicamente dell’ordine di 10−4 s−1, mentre il termine di destra e in

genere dell’ordine di 10−1–10−2 s−1. E quindi lecito scrivere, per scopi pratici,

∇u = 0 . (2.9)

2.2.5 Equazione per la conservazione del momento

Introducendo nell’equazione di Navier–Stokes (1.26), una componente del moto

dovuta al galleggiamento g(T/T0)δi3, ed una dovuta alla rotazione della sfera

terrestre 2Ωjεijkuk (forza di Coriolis), si puo scrivere, in forma tensoriale (usando

il formalismo degli indici ripetuti) come

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= − 1

ρ0

∂p

∂xi+ g

T

T0

δi3 + ν∂2ui∂x2

j

− 2Ωjεijkuk , (2.10)

dove Ωj e la velocita angolare terrestre, le cui componenti sono (0, ω cosφ, ω sinφ)

con φ latitudine, ω = 2π radianti/24h, εijk il tensore alternante, e δij la delta di

Kronecker.

2.2.6 Equazione per l’energia termica

Nel caso specifico di aria secca l’equazione di conservazione del calore si scrive

come

∂T

∂t+ uj

∂T

∂xj︸︷︷︸(1)

= kT∂2T

∂x2j︸︷︷︸

(2)

− 1

ρ0cp

∂Rnj∂xj︸︷︷︸

(3)

, (2.11)

dove kT = λ/ρcp e la diffusivita termica molecolare. Il termine (1) rappresenta

il cambiamento totale di energia termica in una particella di fluido, mentre, il

25

termine (2) rappresenta la dissipazione molecolare di tale energia, il termine (3)

rappresenta, infine, la variazione di energia dovuta a fenomeni radiativi, total-

mente trascurati nella prima formulazione di tale equazione (vedi Capitolo 1),

ed in genere trascurabile anche nell’atmosfera ad una certa distanza dal suolo.

Rispetto a tale prima formulazione sono stati, trascurati i termini legati alle va-

riazioni di pressione, ed alla dissipazione molecolare, ritenuti poco influenti in

atmosfera.

Esiste un termine aggiuntivo nel caso in cui si voglia tenere conto, in atmo-

sfera umida, dei contributi del calore specifico e del calore latente, quest’ultimo,

rilasciato o assorbito durante i cambiamenti di fase dell’acqua atmosferica.

∂T

∂t+ uj

∂T

∂xj= kT

∂2T

∂x2j

− 1

ρ0cp

∂Rnj∂xj

− LpE

ρ0cpw, (2.12)

dove Lp rappresenta il calore latente associato ai cambiamenti di fase ed E la

massa di vapore acqueo generata, per unita di tempo e di volume. cpw rappresenta

invece il calore specifico dell’aria umida a pressione costante.

2.2.7 Conservazione di grandezze scalari

L’equazione che governa la conservazione delle grandezze scalari (e.g. c) in

atmosfera e

∂c

∂t+ uj

∂c

∂xj=

∂

∂xj

(Kxj

∂c

∂xj

)+ S . (2.13)

Questa rappresenta un’equazione di continuita, dove il termine Kxj rappresen-

ta la diffusivita molecolare dello scalare in direzione xj, S rappresenta un termine

sorgente o pozzo. Nel caso del vapore acqueo, c viene sostituito dall’umidita spe-

cifica12 q, mentre il termine S andra a rappresentare fenomeni di evaporazione e

condensazione.

12Il rapporto fra la massa di vapore acqueo e massa totale d’aria, presente in un certo volume

d’atmosfera.

26

2.2.8 Temperatura potenziale

Per temperatura potenziale (θ) s’intende la temperatura che una particella d’a-

ria avrebbe se fosse spostata ad un certo livello di riferimento (spesso il livello

con pressione pari a 1000 mb), mediante un trasferimento adiabatico. Dalla

temperatura attuale della particella, si puo definire

θ = T

(1000

p

)k, (2.14)

dove k = R/cp e p e la pressione attuale della particella, espressa sempre in

millibar.

La temperatura potenziale e una caratteristica propria della particella mante-

nuta in spostamenti di tipo adiabatico. Quindi nel caso di stratificazioni adiaba-

tiche dell’atmosfera, la temperatura potenziale rimarra costante con l’altezza. Si

puo esprimere il gradiente di θ in funzione di quello di T ; riscrivendo l’equazione

(2.14) in forma differenziale si ottiene, infatti

∂θ

∂z=θ

T

(∂T

∂z+ Γ

)≈ ∂T

∂z+ Γ . (2.15)

Questa approssimazione risulta particolarmente utile nelle parti basse della

troposfera, o dell’ABL, nelle quali cioe θ e T non si differenziano per piu del dieci

percento.

In un’atmosfera di tipo adiabatico, ∂θ/∂z = 0, cosicche si puo prendere il gra-

diente di θ come misura della deviazione del profilo verticale attuale di tempera-

tura da quello adiabatico. In genere i motivi di questa deviazione sono molteplici,

come ad esempio, i fenomeni convettivi, radiativi, avvettivi, i processi chimici,

etc.

Tali relazioni rimangono valide nel caso di aria umida se al posto di T e θ, se

si pongono le corrispondenti temperature virtuali Tv e θv. Da cui

∂θv∂z≈ ∂Tv

∂z+ Γ . (2.16)

Se, pero, durante i processi di risalita le particelle sono sottoposte a processi

di condensazione, il gradiente di temperatura adiabatico secco Γ, va sostituito

27

con il gradiente adiabatico di saturazione

Γs = −(∂T

∂z

)sat.

=g

(cp + Ledqs/dT ), (2.17)

dove qs e l’umidita specifica di saturazione ed Le il calore latente di vaporizza-

zione. E da notare che il gradiente adiabatico di saturazione e sempre minore

del gradiente adiabatico secco, per via del calore latente rilasciato nei processi di

condensazione.

2.2.9 Criterio di stabilita statica

Capire la struttura termica verticale dello strato limite e di fondamentale impor-

tanza al fine della determinazione delle sue condizioni di stabilita statica, cioe

suscettibili alle forze di galleggiamento.

Da un punto di vista pratico, variazioni in altezza di temperatura ed umidita

specifica, portano a variazioni della stratificazione verticale della densita. Cio si-

gnifica che una particella muovendosi verso l’alto o verso il basso verra sottoposta

in base alla differenza di densita con l’ambiente circostante ad una accelerazione

per galleggiamento, data dalla legge di Archimede

ab = g

(ρ− ρpρp

)= g

(Tvp − Tv

Tv

), (2.18)

dove il pedice p si riferisce alla particella. Questa puo essere riscritta come

ab ≈ −g

Tv

(∂Tv∂z

+ Γ

)∆z = − g

Tv

∂θv∂z

∆z . (2.19)

Se si trasporta una particella d’aria verso l’alto, essa tendera a raffreddarsi

adiabaticamente raggiungendo una propria temperatura, che potra essere diffe-

rente rispetto a quella dell’ambiente circostante. Infatti possono sussistere tre

casi differenti,

• la particella avra una temperatura superiore rispetto all’ambiente circostan-

te, quindi ab > 0, la particella tendera a salire. Questa situazione prende

il nome di instabilita statica, cioe −∂T∂z

> Γ ovvero ∂θ∂z

< 0, si dice che il

gradiente di temperatura e superadiabatico;

28

• la particella avra una temperatura uguale a quella dell’ambiente esterno,

quindi ab = 0, non agiranno forze esterne su di essa. Tale situazione prende

il nome di neutralita, cioe −∂T∂z

= Γ ovvero ∂θ∂z

= 0, si dice che il gradiente

di temperatura e adiabatico;

• la particella avra una temperatura inferiore rispetto all’ambiente circostan-

te, quindi ab < 0, agira una spinta verso il basso, a farle ripristinare la

posizione originaria. Tale situazione prende il nome di stabilita statica, do-

ve cioe −∂T∂z

< Γ ovvero ∂θ∂z> 0, si dice che il gradiente di temperatura e

subadiabatico.

Successivamente si ritornera sul concetto di stabilita atmosferica, quando si

sara introdotta l’equazione per l’energia cinetica turbolenta.

29

Capitolo 3

Equazioni per i flussi turbolenti

3.1 Natura della turbolenza

Nella vita quotidiana si osservano continuamente fenomeni turbolenti, ma defi-

nirli in maniera sintetica ed universale va ben al di sopra delle proprie capacita,

sia da un punto di vista matematico, sia da un punto di vista piu prettamente fe-

nomenologico. Si provera comunque a definirne alcuni dei caratteri fondamentali

(vedi [33]):

• elevata irregolarita, una delle caratteristiche dei flussi turbolenti e la ca-

sualita con la quale si manifestano, rendendo assolutamente problematico

qualsiasi approccio di tipo deterministico, ed inducendo chiunque provi a

studiarli, ad adoperare approcci alternativi, quali ad esempio quelli di tipo

statistico;

• elevata diffusivita, tale caratteristica dei flussi turbolenti fa sı che in es-

si si vedano intensificati quei fenomeni di rimescolamento delle quantita

caratteristiche del fluido, quali momento, temperatura, calore, etc;

• elevati numeri di Reynolds, flussi turbolenti si originano spesso in seguito

all’instabilita di flussi laminari, che si genera in seguito al superamento di

valori critici del numero di Reynolds. Tale instabilita e legata all’interazio-

ne fra il termine viscoso ed il termine inerziale (non-lineare) dell’equazione

30

del moto del fluido. Tale proprieta risulta estremamente vincolante da un

punto di vista matematico, infatti ancora non esiste una conoscenza ma-

tematica abbastanza sviluppata, riguardante la risoluzione delle equazioni

differenziali alle derivate parziali non-lineari, da permetterci di ottenere

soluzioni generalizzate per tale tipo di problemi;

• fluttuazioni tridimensionali della vorticita, la turbolenza e tridimensionale,

rotazionale e caratterizzata da intense fluttuazioni della vorticita.

• elevata dissipazione, i flussi turbolenti sono sempre dissipativi. Gli inten-

si sforzi di gradiente, nel deformare il flusso, sfruttano parte dell’energia

cinetica dei vortici, per poi dissiparla sottoforma di energia termica.

3.2 Equazioni per il flusso medio

3.2.1 Introduzione

Sebbene il set di equazioni fornito nel Capitolo 2, date appropriate condizioni

iniziali ed al contorno, rappresenti un sistema chiuso, la teoria della turbolenza,

ovvero dello strato limite atmosferico e di per se incompleta. Il motivo principale

di tale affermazione sta nella non-linearita delle equazioni di Navier–Stokes, che

ne inducono il comportamento caotico. Cio implica l’impossibilita di definirne

soluzioni analitiche nei casi di flussi instabili e turbolenti. E per tale motivo che

quı di seguito si cerchera di descrivere approcci alternativi per la descrizione del

moto nello strato limite, che si ispirano ad una visione statistica del flusso. Si

procedera, in particolare, con una separazione delle variabili caratteristiche del

flusso in una componente media (i.e. 〈ui〉) ed in una componente fluttuante (i.e.

u′i). Seguendo l’approccio introdotto da Reynolds alla fine del 1800, possiamo

31

scrivere le seguenti scomposizioni

ui = 〈ui〉+ u′i

θ = 〈θ〉+ θ′

p = 〈p〉+ p′

c = 〈c〉+ c′

ρ = 〈ρ〉+ ρ′

(3.1)

Per fare cio verra introdotto dapprima il metodo piu tradizionale della media

d’insieme, per, sucessivamente, affrontare il discorso relativo alla media di volume,

sfruttata nella large eddy simulation.

3.2.2 Scomposizione con media d’insieme

Trattando le variabili del flusso come variabili aleatorie, si pu‘ødefinire la media

d’insieme1, come la media effettuata su di un insieme di realizzazioni del flusso

turbolento. Purtroppo, nella pratica usuale, un tale tipo di operazione non e

spesso realizzabile. E per cio, assumendo che il flusso sia statisticamente sta-

zionario, ovvero che la media d’insieme sia indipendente dal tempo, che al fine

pratico questa venga sostituita, in un determinato punto del flusso, dalla media

temporale, basandosi sulla cosiddetta ipotesi ergodica. Si puo infatti scrivere

〈ui〉e ≈ 〈ui〉t =1

∆t

∫ t2

t1

ui(t)dt con ui = u, v, w per i = 1, 2, 3 (3.2)

dove l’operatore 〈〉e rappresenta una media d’insieme, e l’operatore 〈〉t rappre-

senta una media temporale. Tale ipotesi risulta tanto piu valida, quanto piu e

grande l’intervallo di tempo sul quale viene effettuata la media temporale.

In genere l’intervallo ∆t = t2 − t1 deve essere grande in rapporto al periodo

delle fluttuazioni che si vogliono eliminare con l’operazione (3.2).

In quanto segue si utilizzera la notazione semplificata 〈〉 per rappresentare la

media temporale.

1Ensemble mean.

32

3.2.3 Equazioni per le variabili medie e le fluttuazioni

turbolente

La decomposizione delle variabili meteorologiche in una componente media ed

in una fluttuante, la loro sostituzione nelle equazioni introdotte nel Capitolo

1, l’applicazione di una media temporale su di ogni termine di tali equazioni e

l’applicazione delle seguenti regole

〈u′i〉 = 〈θ′〉 = 〈c′〉 = 0

〈〈ui〉〉 = 〈ui〉

〈ui + uj〉 = 〈ui〉+ 〈uj〉

〈〈ui〉uj〉 = 〈ui〉〈uj〉⟨∂ui∂xi

⟩=∂〈ui〉∂xi

con xi = x, y, z per i = 1, 2, 3⟨∫uidxi

⟩=

∫〈ui〉 dxi ,

(3.3)

porta ad un sistema di equazioni per il flusso medio. Per ottenere le equazioni

corrispondenti alle fluttuazioni, si sottraggono alle equazioni per le variabili totali,

scomposte alla Reynolds,

ui = 〈ui〉+ u′i (3.4)

θ = 〈θ〉+ θ′ (3.5)

c = 〈c〉+ c′ (3.6)

le equazioni per le variabili medie.

3.2.4 Equazione di stato

〈p〉 = R 〈ρ〉〈T 〉 . (3.7)

In realta la densita ρ e sottoposta a piccole fluttuazioni, per cui si puo anche

trascurare l’operazione di media, ma per correttezza nelle seguenti equazioni la

si indichera comunque.

33

Equazione di continuita

L’equazione di continuita per la componente media della velocita risulta

∂〈ui〉∂xi

= 0 , (3.8)

e di conseguenza, per la componente fluttuante

∂u′i∂xi

= 0 . (3.9)

Equazione del momento

L’equazione per il momento medio risulta

∂〈ui〉∂t

+ 〈uj〉∂〈ui〉∂xj

=

− 1

〈ρ〉∂〈p〉∂xi

+ ν∂2〈ui〉∂x2

j

− ∂〈uiuj〉∂xj

+ gδi3 − 2Ωjεijk 〈uk〉 , (3.10)

e quindi per la parte fluttuante

∂u′i∂t

+ 〈uj〉∂u′i∂xj

+ u′j∂〈ui〉∂xj

+ u′j∂u′i∂xj−∂⟨u′iu′j

⟩∂xj

=

− 1

〈ρ〉p′

∂xi+ ν

∂2u′i∂x2

j

+ gθ′

〈θ〉δi3 − 2Ωjεijku

′k . (3.11)

Si descrivera, brevemente, il significato fisico di alcuni dei termini che com-

paiono nell’equazione (3.10). Il primo termine rappresenta la variazione locale di

momento medio del fluido, il secondo termine rappresenta la variazione spaziale

di tale momento, in seguito al movimento del fluido con una componente media

〈ui〉. Il quarto termine introduce l’influenza della rotazione terrestre sul momento

del fluido, il sesto rappresenta l’influenza degli sforzi viscosi sul moto medio, ed

infine l’ultimo termine introduce l’influenza degli sforzi turbolenti, detti anche

stress di Reynolds, sul moto della componente media. Il significato fisico di tale

nuovo termine e di notevole importanza nella comprensione dei moti turbolenti.

Esso infatti mostra come le fluttuazioni di velocita u′i influiscano sulla progressio-

ne del moto medio 〈ui〉, in particolare incrementando la resistenza del fluido alle

34

deformazioni. In altre parole, le componenti fluttuanti del moto agiscono sulle

componenti medie nella stessa maniera in cui vi agisce la viscosita molecolare,

esse infatti, sotto un certo profilo, sono fonte di una viscosita che potremmo de-

finire apparente, dall’intensita, nei flussi con elevati numeri di Reynolds, molto

superiore rispetto a quella di tipo molecolare e non piu legata alle caratteristiche

del fluido, ma bensı del flusso. Lo sforzo apparente, o stress di Reynolds, che ne

risulta viene spesso indicato con τ ′ij, ed e

τ ′ij = −〈ρ〉⟨u′iu′j

⟩, (3.12)

dove⟨u′iu′j

⟩rappresenta il flusso turbolento di momento, nella direzione xi, della

componente fluttuante u′j.

Va comunque notato che malgrado la loro definizione, ci si riferisca spesso agli

stress di Reynolds come agli elementi del tensore simmetrico di secondo ordine

〈uiuj〉.

Equazione dell’energia temodinamica

Se nell’equazione (2.11) si introduce in luogo della semplice temperatura T la

temperatura potenziale θ, essa puo essere riscritta per la componente media come

∂〈θ〉∂t

+ 〈ui〉∂〈θ〉∂xj

+∂⟨u′jθ′⟩

∂xj= kT

∂2〈θ〉∂x2

j

− 1

〈ρ〉 cp∂Rnj∂xj

, (3.13)

dove⟨u′jθ′⟩ rappresenta il flusso turbolento di calore nella direzione xj.

Conservazione di quantita scalari

Applicando all’equazione (2.13), scomposta per componenti, l’operazione di me-

dia, si ottiene

∂〈c〉∂t

+ 〈ui〉∂〈c〉∂xj

+∂⟨u′jc′⟩

∂xj= D

∂2〈c〉∂x2

j

+ S . (3.14)

Anche in questo caso compare un termine di divergenza di un flusso turbolento⟨u′jc′⟩. Va notato che il termine S, indicante un pozzo od una sorgente della

quantita scalare c, dev’essere opportunamente modificato per rappresentare le

sole quantita medie.

35

3.3 Il problema della chiusura

3.3.1 Introduzione

Sebbene il nuovo sistema di equazioni risulti piu semplice di quello introdotto nel

Capitolo 2, non si ha piu a disposizione un set chiuso di equazioni, infatti il nu-

mero di incognite, supera il numero di equazioni. Come si e potuto vedere, sono

presenti variabili di una nuova natura, cioe le covarianze⟨u′iu′j

⟩,⟨u′jθ′⟩ , ⟨u′jc⟩,

ecc. Purtroppo l’introduzione di nuove equazioni per tali incognite non permet-

te di risolvere il problema, ovvero di chiudere il sistema, infatti si trova che le

covarianze sono funzione, a loro volta, di triple correlazioni, e cosı via. Proprio

per questa sua natura ricorsiva, tale condizione viene denominata problema della

chiusura.

E possibile rendersi conto, a questo punto, come la risoluzione delle equazioni

per la componente media delle variabili dello strato limite atmosferico, dipenda

dall’introduzione di tecniche per la parametrizzazione delle nuove incognite, fina-

lizzate ad una chiusura “artificiale”, o semi-empirica, del suddetto sistema. Tali

tecniche prendono il nome di chiusure, e sono legate all’ordine delle correlazioni

che vengono approssimate, ovvero modellizzate. Se ci si ferma alle equazioni gia

introdotte, non si puo far altro che parametrizzare direttamente le covarianze,

di modo da effettuare chiusure, dette di primo ordine. Nel parametrizzare triple

correlazioni, si introdurrebbero chiusure di second’ordine. Ci si limitera, visto lo

scopo di questa discussione, solamente alla trattazione delle prime.

3.3.2 Chiusure del primo ordine

Le covarianze⟨u′iu′j

⟩,⟨u′jθ′⟩ sono grandezze di fondamentale importanza nella

descrizione fisica dello strato limite atmosferico, infatti spesso rappresentano i

termini di maggior peso nelle equazioni del moto medio. Come gia detto, al fine

di rendere tali termini utilizzabili, e necessario basarsi su talune assunzioni.

Le teorie piu semplici, ma maggiormente utilizzate, finalizzate al raggiungi-

36

mento di tale scopo si basano su analogie tra i moti turbolenti e quelli molecolari,

queste sono la teoria K 2 e la teoria della lunghezza di rimescolamento3.

Teoria K

In analogia con la legge di frizione di Newton, data dall’equazione (1.2), Boussi-

nesq nel 1877, suggerı di scrivere gli stress di Reynolds come

τ ′ij = −ρ⟨u′iu′j

⟩= ρKm

d〈ui〉dxj

, (3.15)

dove Km rappresenta una grandezza legata al flusso detta viscosita turbolenta4

o coefficiente del trasporto turbolento di momento lungo xj. L’equazione (3.15)

puo essere riscritta per il flusso turbolento verticale del momento in direzione

x1 = x, come

−ρ 〈u′w′〉 = ρKmd 〈u〉dz

. (3.16)

Lo stesso tipo di equazioni, ispirato alle leggi della conduzione del calore di

Fourier, e della diffusione di massa di Fick, puo essere scritto per il trasporto

verticale turbolento di calore e di scalari come

ρcp 〈w′θ′〉 = −ρcpKhd〈θ〉dz

(3.17)

ρ 〈w′c′〉 = −ρKzd〈c〉dz

, (3.18)

dove Kh e Kz sono rispettivamente la conducibilita termica turbolenta e la dif-

fusivita turbolenta5 introdotta da Schmidt nei primi del novecento. Va sotto-

lineato che i coefficienti di trasporto turbolento non possono essere considerati

costanti all’interno di un flusso in quanto per loro natura devono rappresentare

la complessita del flusso stesso.

2K-theory.3Mixing length theory.4Eddy viscosity.5Eddy diffusivity.

37

Nell’ABL il valore dei coefficienti turbolenti e molto piu grande dei corrispetti-

vi coefficienti molecolari, ed in pratica i flussi totali, in direzione verticale, possono

essere definiti esclusivamente dalla loro parte turbolenta, in quanto appunto

ν Km (3.19)

kT Kh (3.20)

D Kz . (3.21)

Purtroppo, benche intuitivamente realistiche, le relazioni appena fornite si

basano su considerazioni troppo poco rigorose, infatti il parallelismo che sta alla

base della loro formulazione, fra processi di scambio molecolari e processi di scam-

bio turbolenti, in seguito ad attente analisi, non risulta abbastanza soddisfacente

da un punto di vista fisico.

Sono vari i motivi di tale affermazione, per prima cosa, i coefficienti di scambio

turbolento, come gia accennato, non sono grandezze legate al fluido, ma bensı

al flusso, esse sono infatti grandezze che variano sia nel tempo che nello spazio

all’interno di uno stesso fluido.

In secondo luogo, puo non essere valida l’ipotesi secondo cui, nei flussi tur-

bolenti, gli scambi di calore, massa, momento, avvengano contro gradiente, e,

infatti, frequente osservare, soprattutto negli strati limite convettivi, comporta-

menti contrari, il che induce a pensare che le relazioni flusso–gradiente non siano

valide localmente.

Quindi per concludere, le leggi appena fornite possono adattarsi senza pro-

blemi solamente a flussi neutrali o altamente stratificati, in cui esistano forti

gradienti, purche la determinazione dei suddetti coefficienti vada effettuata caso

per caso.

Teoria della lunghezza di rimescolamento

Con lo scopo di definire la viscosita turbolenta come una funzione della geometria

e delle caratteristiche del flusso, Prandtl nel 1925, estese ulteriormente l’analogia

esistente fra i processi di scambio molecolari e quelli di tipo turbolento.

38

Si puo infatti visualizzare un flusso turbolento come costituito da una serie di

vortici6, di grandezza variabile, i quali mantengano le proprie caratteristiche, fino

a venir degradati. La peculiarita di tali vortici e quella di trasferire momento,

calore e massa, da un luogo all’altro del fluido, in analogia ai moti molecolari in

un gas. Puo essere, quindi, assunto che una particella di fluido, originariamente

posta ad un’altezza z, conservi, nel suo movimento all’interno di un vortice, le

sue caratteristiche, fintanto che non venga a scambiarle con l’ambiente esterno

ad un livello z + l′, dove l′ rappresenta una lunghezza casuale di rimescolamen-

to. Ipotizzando che al livello di partenza le particelle abbiano caratteristiche

quantitativamente simili a quelle del flusso medio in quella regione (e.g. per la

componente del moto in direzione x, 〈u(z)〉), e considerando la fluttuazione ori-

ginata dal vortice nella regione di arrivo sara data da u′ = 〈u(z + l′)〉 − 〈u(z)〉,ovvero

u′ = l′d〈u〉dz

, (3.22)

l’equazione (3.15) potra essere riscritta come

−ρ 〈u′w′〉 = ρ 〈l′w′〉 d〈u〉dz

. (3.23)

Dal confronto fra le equazioni (3.15) e (3.23), e possibile riscrivere la viscosita

turbolenta come

Km = 〈l′w′〉 . (3.24)

Assumendo che le fluttuazioni di velocita siano isotrope, cioe che

w′ ≈ u′ ≈ l′d〈u〉dz

(3.25)

otteniamo dalle equazioni (3.24) e (3.25)

Km = 〈l′l′〉 d〈u〉dz

= l2d〈u〉dz

, (3.26)

dove l rappresenta la lunghezza di rimescolamento, caratterizzante le scale della

turbolenza in un determinato punto del flusso. Al fine di chiudere l’equazione6Eddies.

39

(3.10), si pu‘øsostituire nell’equazione (3.15), l’equazione (3.26), purche venga

definita una dipendenza esplicita di l dalla posizione nel flusso. A questo propo-

sito Prandtl affermo che in uno strato limite superficiale neutrale, la lunghezza

di rimescolamento l, poteva essere assunta proporzionale all’altezza dal suolo,

secondo

l = kz , (3.27)

dove k rappresenta la costante di Von Karman.

Fino ad ora si sono applicate le assunzioni della teoria della lunghezza di

rimescolamento solamente alla viscosita turbolenta. In realta simili assunzioni

possono essere utilizzate per definire gli altri coefficienti di trasporto turbolen-

to incontrati. Infatti assumendo che w′ ≈ l′d〈u〉 /dz e che θ′ ≈ l′d〈θ〉 /dz, la

conducibilita termica turbolenta puo essere definita come

Kh = l2θd〈u〉dz

, (3.28)

mentre la diffusivita turbolenta sara data da

Kz = l2cd〈u〉dz

, (3.29)

dove lθ ed lc sono rispettivamente le lunghezze di rimescolamento che caratteriz-

zano i trasporti di calore e di massa. In particolare da loro relazioni e possibile

definire i numeri di Prandtl e di Schmidt turbolenti

Prt =Km

Kh

, Sct =Km

Kz

(3.30)

analoghi dei numeri di Prandtl e Schmidt nei flussi viscosi

Pr =ν

kT, Sc =

ν

D. (3.31)

Le limitazioni, riguardanti le ipotesi alla base della teoria k vengono estese

anche alla teoria della lunghezza di rimescolamento.

40

3.4 Equazione per l’energia cinetica turbolenta

L’energia cinetica turbolenta (TKE7), e una grandezza di estrema importanza

nella descrizione dei flussi turbolenti, in quanto rappresenta una misura della

loro intensita, e si ricollega direttamente ai fenomeni di trasporto di momento

calore e massa nello strato limite atmosferico.

In quanto segue si andra in particolare ad analizzare l’equazione che ne descri-

ve l’evoluzione ed i termini che vi compaiono, con lo scopo di descrivere i processi

fisici alla base dell’instabilita dell’ABL.

3.4.1 Derivazione dell’equazione per la TKE

L’energia cinetica e proporzionale al quadrato del momento meccanico di un

corpo, diviso per la sua massa, ovvero data una particella d’aria di massa unitaria,

si ha

Et =1

2uiui . (3.32)

In seguito alla scomposizione della velocita di una particella di fluido in una

componente media ed in una fluttuante, si puo scomporre anche l’energia cinetica

totale in due parti, un’energia cinetica della componente media (MKE8)

Em =1

2〈ui〉〈ui〉 (3.33)

ed un’energia cinetica turbolenta

e =1

2u′iu′i , (3.34)

tali che

Et = Em + e+ 〈ui〉u′i . (3.35)

Per eliminare il quarto termine di questa equazione, si media Et, ottenendo

〈Et〉 = Em + 〈e〉 , (3.36)7Turbulent kinetic energy.8Mean kinetic energy.

41

dove 〈e〉 rappresenta l’energia cinetica turbolenta media, chiamata successivamen-

te, per semplicita, energia cinetica turbolenta, la cui forma esplicita e

〈e〉 =1

2〈u′iu′i〉 . (3.37)

Come si puo vedere tale equazione e proporzionale alla traccia della matrice del

tensore degli sforzi di Reynolds.

Se si moltiplica l’equazione (3.11) per la velocita, ottenendo un’equazione

per l’evoluzione della varianza, la si divide per 2, per poi mediarla, si ottiene

l’equazione per l’evoluzione dell’energia cinetica turbolenta

∂〈e〉∂t︸︷︷︸(1)

+ 〈uj〉∂〈e〉∂xj︸︷︷︸

(2)

= δi3g

〈θ〉〈u′iθ′〉︸︷︷︸

(3)

−⟨u′iu′j

⟩ ∂〈ui〉∂xj︸︷︷︸

(4)

−∂⟨u′je⟩

∂xj︸︷︷︸(5)

− 1

ρ

∂〈u′ip′〉∂xi︸︷︷︸(6)

− ε︸︷︷︸(7)

. (3.38)

Come si puo subito notare non compaiono piu termini contenenti il parametro

di Coriolis, questo infatti non altera il contenuto energetico di una particella in

movimento, ma ne devia solamente la traiettoria.

3.4.2 Bilancio della TKE

Ora si analizzera brevemente il significato fisico dei termini che costituiscono

l’equazione (3.38).

Termine (1)+(2), variazione totale della TKE

∂〈e〉∂t

+ 〈uj〉∂〈e〉∂xj

Somma dei contributi di variazione locale (1), e per avvezione (2), rappresenta il

risultato dei vari meccanismi in atto nell’ABL a dissipare, produrre e trasferire

energia cinetica turbolenta.

42

Localmente, nell’arco di una giornata, la TKE e soggetta a grandi variazioni

di intensita: essa cresce notevolmente nelle prime ore di una giornata soleggiata

(soprattutto al suolo), per poi decrescere nelle ore notturne (vedi figura 3.1).

Figura 3.1: Evoluzione temporale dell’energia cinetica turbolenta.

Il termine (2), descrive il trasporto di TKE all’interno dello strato limite per

azione delle componenti medie del moto. In genere, data la sua scarsa intensita

viene spesso trascurato.

Termine (3), produzione-distruzione per galleggiamento

δi3g

〈θ〉〈u′iθ′〉

La parte piu importante del termine di galleggiamento, e senza dubbio il flusso

turbolento verticale di temperatura potenziale 〈w′θ′〉. Esso e altamente suscet-

tibile alle condizioni di stratificazione termica dello strato limite, infatti il suo

valore oltre che in modulo, varia nell’arco di ventiquattro ore anche in segno.

Nei primi 2/3 dello strato limite convettivo, esso possiede segno positivo e

tende a decrescere in intensita con l’altezza, circa linearmente, con un valore

massimo al suolo. In questo caso, per valori al suolo maggiori di 1× 10−2 m2s−1,

esso e sintomo della produzione di termiche di aria calda in movimento verso la

parte alta del CBL. Tale fenomeno prende il nome di convezione libera.

43

In condizioni atmosferiche staticamente stabili, cioe con valori di 〈w′θ′〉 nega-

tivi, una particella d’aria spostata verticalmente, da parte dei vortici turbolenti,

sperimentera una forza tendente a riportarla nella sua posizione originaria, con

una tendenza generale a sopprimere TKE.

Contribuendo solamente alla componente verticale della TKE tale termine e

di natura anisotropa.

Termine (4): produzione meccanica

−⟨u′iu′j

⟩ ∂〈ui〉∂xj

La presenza contemporanea di flussi turbolenti di momento e di gradienti di

velocita, porta ad un incremento della turbolenza atmosferica con un meccanismo

detto di convezione forzata. Un segno negativo precede tale termine, al fine di

rendere il suo contributo alla generazione di turbolenza positivo. Ovviamente

la sua intensita e strettamente legata all’intensita del vento, e spesso raggiunge

valori massimi, nei pressi del suolo, per la presenza di forti gradienti verticali

delle componenti orizzontali del vento.

Tale termine e spesso positivo anche in assenza di forzature energetiche solari,

dando origine a fenomeni turbolenti anche in strati limite non convettivi, come

ad esempio in quello notturno. Tale termine da il suo massimo contributo nelle

direzioni x e y della TKE, mostrando la sua natura anisotropa.

Osservando l’equazione per l’energia cinetica media, si puo vedere che com-

pare un termine simile a questo ma di segno opposto. Cio significa che esiste

un meccanismo di trasformazione dell’energia cinetica media in energia cinetica

turbolenta, e viceversa.

Termine (5): trasporto turbolento

∂⟨u′je⟩

∂xj

44

Questo termine non crea e non distrugge TKE, ma essendo una divergenza, ne

descrive la ridistribuzione fra i vari strati dell’ABL.

Figura 3.2: Profili medi del flusso turbolento verticale adimensionale di energia cinetica

turbolenta durante le ore diurne.

In figura 3.2 e possibile notare come i flussi di maggiore intensita si concentri-

no, nel caso di un CBL, ad altezze intermedie, questo significa che in tali regioni

si avra un afflusso netto di TKE proveniente dal basso. Il segno negativo che

precede questo termine sta ad indicare che per divergenze positive del flusso, in

un determinato punto del dominio in considerazione, l’apporto di TKE risultera

negativo.

Termine (6): flussi turbolenti di pressione

1

ρ

∂〈u′ip′〉∂xi

Data la scarsa entita delle fluttuazioni di pressione atmosferiche, vi e una notevole

difficolta nel valutare il contributo di questo termine al bilancio della TKE, anche

se da un punto di vista concettuale e possibile affermare che il suo ruolo principale

e quello di ridistribuire l’energia cinetica, fra i vortici di differente dimensione9

(Vedi [3]).9Ovvero, di differente numero d’onda.

45

Termine (7): dissipazione

ε = ν

⟨∂u′i∂xj

2⟩Questo termine ci da una misura del contributo della dissipazione molecolare di

energia cinetica turbolenta. Esso risulta di notevole importanza soprattutto per

i moti di piccola scala, atti a dissipare l’energia prodotta dai vortici di grande

scala tramite il cosiddetto processo della cascata energetica. Vista l’esistenza di

meccanismi di trasporto della TKE, tale termine spesso, non eguaglia l’energia

prodotta localmente.

L’energia cinetica turbolenta, rappresenta, come si puo vedere dall’equazio-

ne (3.38), una quantita continuamente ridistribuita e dissipata all’interno del

flusso. Se non ci fosse un qualche meccanismo di produzione, essa svanirebbe

gradualmente assieme al fenomeno turbolento stesso.

3.5 Stabilita statica e stabilita dinamica

Dato che flussi turbolenti possono autoalimentarsi od essere trasformati in la-

minari e dato che, viceversa, flussi laminari possono essere trasformati in flussi

turbolenti ovvero rimanere tali, e utile capire quali siano i fattori destabilizzanti

del flusso ed in che maniera essi interagiscano. Tale questione puo essere in parte

chiarita dall’analisi di alcuni dei termini costitutivi dell’equazione per il bilancio

dell’energia cinetica turbolenta. Ma prima si analizzera brevemente quali sono i

due principali meccanismi influenzanti la stabilita atmosferica.

3.5.1 Stabilita statica e stabilita dinamica

Come visto in precedenza (cfr. Sezione 2.2.9), la stabilita statica rappresenta

una misura della capacita delle sole forze convettive di destabilizzare il flusso

nello strato limite. La conoscenza della stratificazione termica verticale, e fon-

damentale al fine di definire le condizioni di stabilita statica dell’ABL. Questo

46

approccio va sotto il nome di analisi locale della stabilita atmosferica. In realta

una misura dei gradienti di temperatura verticali, in una determinata regione del-

l’ABL, si rivela spesso insufficiente per la determinazione della stabilita statica,

in quanto fenomeni convettivi possono sussistere anche laddove la stratificazione

termica sia di tipo adiabatico. Vi e un approccio piu globale per lo studio della

stabilita statica, che va sotto il nome di analisi nonlocale, e che prende spunto

dall’osservazione dei flussi di calore verticali.

Per flussi turbolenti verticali di calore 〈w′θ′〉 di segno positivo, vi sara una

tendenza delle particelle d’aria al suolo di risalire dando origine a termiche. Vi-

ceversa, valori di tali flussi di segno negativo, sono sintomo di uno strato limite

staticamente stabile. Per valori nulli di tale termine lo strato limite e detto

neutrale.

Per instabilita dinamica intendiamo quella generata da gradienti di vento

capaci per via delle forzature viscose di produrre fenomeni turbolenti.

Piuttosto che le attivita singole di convezione termica e forzatura meccanica,

svolge un ruolo importante la loro attivita combinata. Attraverso una misura

delle loro intensita relative, e possibile individuare i meccanismi (termico e mec-

canico) che generano l’instabilita nell’ABL. Se si pensa, ad esempio, che gradienti

di vento possano generare vortici, andando a disturbare una stratificazione termi-

ca in equilibrio, si vede subito come un’iniziale instabilita dinamica dello strato

limite possa portare instabilita statica nello stesso dominio.

Il numero di Richardson, permette, da un confronto fra questi due fenomeni,

di prevedere la natura dei flussi nello strato limite.

47

3.5.2 Numero di Richardson

Numero di Richardson di flusso

Viene detto numero di Richardson di flusso Rf , il rapporto fra i termini (3) e (4)

dell’equazione (3.38),

Rf =

(g

〈θ〉

)〈w′θ′〉⟨

u′iu′j

⟩ ∂〈ui〉∂xj

. (3.39)

Esso fornisce una misura dell’importanza relativa dei termini di produzione-

distruzione della TKE dovuti a galleggiamento e gradienti verticali di vento. Si

puo avere:

• Rf < 0, il flusso risulta staticamente instabile, infatti, dato che il denomi-

natore e generalmente di segno negativo, si avranno flussi di calore di segno

positivo, e movimento risalente delle particelle di fluido riscaldate dal suolo;

• Rf = 0, il flusso e neutrale, cio significa che non vi e generazione di flusso

turbolento di calore da parte del suolo, quindi le particelle sono in equilibrio

statico con l’ambiente;

• Rf > 0, il flusso e staticamente stabile, cio non significa pero che sia sta-

bile in senso lato, infatti possono esistere forzature di gradiente tali da

mantenere il flusso dinamicamente instabile.

A questo proposito Richardson propose che per Rf < 1 le forze di galleggia-

mento negative non riuscissero a contrastare le forze di gradiente, mentre

per Rf > 1 queste ultime venissero constrastate dalle prime.

Nei casi di omogeneita orizzontale ed assenza di subsidenza l’equazione (3.39)

puo essere riscritta come

Rf =

(g

〈θ〉

)〈w′θ′〉

〈u′w′〉 ∂〈u〉∂z

+ 〈v′w′〉 ∂〈v〉∂z

. (3.40)

48

Da questa discussione, nasce la conclusione che flussi staticamente instabili,

sono, in presenza di gradienti di vento, sempre dinamicamente instabili, mentre

il viceversa non e sempre vero.

Numero di Richardson di gradiente

Un problema legato all’utilizzo del numero di Richardson di flusso, nasce, in par-

te, dal fatto che esso e utilizzabile solamente nei casi in cui si conoscano i valori

dei flussi turbolenti, rendendone impossibile l’utilizzo nel caso, ad esempio, di

flussi laminari. Ed in altra parte nella difficolta pratica di effettuare misurazio-

ni attendibili dei suddetti flussi turbolenti. E proprio a questo proposito che,

sfruttando il ragionamento introdotto nella Sezione 3.3.2, per ipotizzare che

〈w′θ′〉 ∼ ∂〈θ〉∂z

(3.41)

e

〈u′w′〉 ∼ ∂〈u〉∂z

(3.42)

〈v′w′〉 ∼ ∂〈v〉∂z

, (3.43)

e possibile riesprimere il numero di Richardson come

Ri =

g

〈θ〉∂〈θ〉∂z[(

∂〈u〉∂z

)2

+

(∂〈v〉∂z

)2] , (3.44)

in questa forma chiamato numero di Richardson di flusso, o nell’uso comune,

semplicemente, numero di Richardson.

Esperimenti di laboratorio hanno mostrato che per Ri < Rc (con Rc = 0.21)

la tendenza dei flussi e quella di divenire turbolenti, mentre per Ri > RT (con

RT = 0.25) e quella di assumere carattere laminare.

Discretizzando le derivate che compaiono nell’equazione (3.44) e possibile

ottenere una versione del numero di Richardson utile per le applicazioni pratiche.

49

Figura 3.3: Evoluzione temporale del parametro L.

3.5.3 Lunghezza di Obukhov

Nella parte dello strato limite piu prossima alla superficie terrestre, a dare un

maggior contributo all’instabilita atmosferica e il termine di produzione mecca-

nica, mentre tale situazione tende ad alterarsi mano a mano che ci si allontana

dal suolo. C’e infatti un’altezza alla quale il termine di galleggiamento diviene

dominante. Obukhov nel 1946, propose di usare tale altezza come lunghezza di

scala, dopo averla stimata nella seguente maniera. Presso la superficie (cfr. Se-

zione 2.1.3) il profilo di vento assume un profilo logaritmico, espresso in forma

differenziale come

∂〈u〉∂z

=u∗kz

. (3.45)

Dalla sostituzione dell’equazione (3.45) nell’equazione (3.39) si ottiene, all’al-

tezza alla quale denominatore e numeratore si eguagliano

g

〈θ〉〈w′θ′〉0 kz

u3∗

= 1 , (3.46)

dove 〈w′θ′〉0 e il flusso di calore alla superficie del suolo. La lunghezza alla quale

e valida tale relazione e

L = − 〈θ〉u3∗

g 〈w′θ′〉 k, (3.47)

50

chiamata lunghezza di Obukhov 10, la cui evoluzione diurna e illustrata in figura

3.3.

la lunghezza L ci permette di definire un’altezza nondimensionale ζ, spesso

usata come parametro di stabilita

ζ =z

L. (3.48)

Nei casi di convezione libera, nei quali cioe la forzatura di gradiente risulta

trascurabile rispetto ai fenomeni convettivi, ζ →∞, mentre nei casi di convezione

forzata, nei quali i gradienti di vento giocano una parte preponderante nella

generazione di instabilita, ζ → 0.

10Il segno negativo e aggiunto allo scopo di uniformarsi al segno di Ri.

51

Capitolo 4

Le scale della turbolenza

4.1 Introduzione

I moti in uno strato limite turbolento, sono costituiti da vortici appartenenti ad

un ampio spettro di scale spaziali (10−3−103 metri) e temporali (sec-ore), aventi

un differente ruolo nel bilancio dell’energia cinetica turbolenta. Se i vortici di

piu grande dimensione si formano assorbendo energia dall’ambiente circostante,

quelli di dimensione minore, trasportano energia cinetica, mediante processi in-

viscidi, fintanto che essa non venga dissipata sottoforma di energia interna, dalle

forze viscose. Questa rappresentazione, tipica di qualsiasi flusso turbolento, fu

formalizzata da Richardson nel 1922, e ad essa venne dato il nome di cascata

energetica.

Piu tardi, nel 1941, Kolmogorov, diede una formulazione quantitativamen-

te piu completa di questo fenomeno, formulando una serie di ipotesi, tuttora

accettate, che vanno sotto il nome di ipotesi di Kolmogorov.

52

4.2 Cascata energetica ed ipotesi di Kolmogo-

rov

4.2.1 Cascata energetica

Considerando un flusso ad elevato numero di Reynolds, con lunghezza di scala L,

velocita caratteristica U e scala temporale T , si puo pensare che esso sia costituito

da vortici di varie dimensioni. Quelli piu grandi, aventi dimensioni paragonabili a

quelle del flusso (l0, u0, τ0)∼(L,U , T ), e non soggetti all’azione diretta delle forze

viscose, tendono a rompersi e a trasferire il proprio contenuto energetico a quelli

piu piccoli, di dimensione (η, uη, τη), che invece interagiscono direttamente con le

forze dissipative di natura viscosa.

Uno dei motivi che rende questa idea di grande importanza, e che il grado di

dissipazione della TKE, ε, puo essere visto come una funzione del flusso energetico

proveniente dai grandi vortici, indipendente dal valore della viscosita ν. Infatti,

se si considera che i grandi vortici hanno un’energia cinetica proporzionale a u20,

si puo immaginare che il processo di trasferimento energetico sara dell’ordine di

u20/τ0 = u3

0/l0, ovvero

ε ∼ u30

l0. (4.1)

Malgrado questa nozione possa fornire una maggior chiarezza sul compor-

tamento caotico della turbolenza, ulteriori informazioni, soprattutto di natura

quantitativa, possono essere dedotte dalle tre ipotesi di Kolmogorov [14].

4.2.2 Ipotesi di Kolmogorov

Ipotesi dell’isotropia locale: per numeri di Reynolds sufficien-

temente elevati, i moti turbolenti di piccola scala (l l0) sono

statisticamente isotropi.

Benche i grandi vortici abbiano natura altamente anisotropa, legata alla lo-

ro interazione con l’ambiente esterno (geometria, topografia, etc.), nella loro

53

transizione verso le scale piu piccole del moto essi tendono ad assumere una

conformazione localmente1 isotropa.

Se si indica con lEI la scala di separazione fra i vortici di grande dimensione,

anisotropi, e quelli isotropi, si puo affermare quanto segue.

Prima ipotesi di similarita: nei flussi turbolenti che abbiano nu-

mero di Reynolds abbastanza elevato, i caratteri statistici delle piccole

scale del moto (l < lEI) hanno una forma universale, univocamente

determinata dalle grandezze ν ed ε.

L’intervallo l < lEI viene definito come intervallo dell’equilibrio universale, ed

i moti che vi appartengono sono caratterizzati da tempi di scala

τ =l

u(l)(4.2)

abbastanza piccoli da adattarsi rapidamente alle variazioni dei flussi energetici

provenienti dalle scale piu grandi.

Fissati i parametri ν ed ε, si possono determinare univocamente le scale dei

moti piu piccoli del flusso turbolento. Queste vanno sotto il nome di scale di

Kolmogorov

η ≡(ν3

ε

)1/4

, (4.3)

uη ≡ (εν)1/4 , (4.4)

τη ≡(νε

)1/2

. (4.5)

In base a queste definizioni si ottiene l’identita

Reη =ηuην

= 1 , (4.6)

consistente con l’idea che alle scale piu piccole del moto, il numero di Reynolds sia

piccolo abbastanza da garantire un azione efficace dei processi diffusivi molecolari.

1Nello spazio delle frequenze.

54

Da quanto detto in precedenza, e possibile ricavare informazioni circa i rap-

porti esistenti fra le scale caratteristiche di un determinato flusso turbolento. Se

si considera la relazione (4.1) si puo scrivere

η

l0∼ Re−3/4 , (4.7)

uηu0

∼ Re−1/4 , (4.8)

τητ0

∼ Re1/2 . (4.9)

da cui si deduce che, maggiore e il valore di Re2, maggiore sara la differenza

dimensionale fra le scale η ed l0. In particolare, e possibile identificare un inter-

vallo η l l0, in cui i moti sono di dimensione abbastanza ridotta rispetto a

quelli contenenti energia, ma allo stesso tempo abbastanza grande da non essere

coinvolti dai processi dissipativi:

Seconda ipotesi della similarita: per ogni flusso turbolento avente

numero di Reynolds abbastanza elevato, le statistiche dei moti con

scala appartenente all’intervallo η l l0, hanno forma universale

ed univocamente determinata dal parametro ε.

Questa ipotesi, determina una suddivisione dell’intervallo dell’equilibrio uni-

versale, in due regioni, l’una compresa fra lEI ed una nuova lunghezza di scala

lDI , che chiameremo sottointervallo inerziale3(o subrange inerziale), non soggetto

alle forze viscose, e l’altra compresa fra lDI ed η che possiamo chiamare intervallo

di dissipazione4, in quanto soggetto ai fenomeni dissipativi molecolari. Le varie

regioni in cui si sono suddivisi i moti turbolenti sono mostrate in figura 4.1.

Una quantita di estrema importanza nell’ambito della cascata energetica, e

rappresentata dall’intensita con la quale l’energia viene trasferita dai grandi vor-

tici, ai vortici dell’intervallo dissipativo, attraverso il subrange inerziale. Si puo

indicare tale quantita con F . Per lDI < l < lEI si puo scrivere

F(lEI) = F(l) = F(lDI) = ε , (4.10)2Caratteristico delle scale l0 del moto.3Inertial subrange.4Dissipation range.

55

Figura 4.1: Immagine schematica delle tre classi di scale del moto turbolento introdotte da

Kolmogorov.

cioe, l’intensita del trasferimento energetico da parte dei grandi vortici (F(lEI))

definisce l’intensita del flusso nel subrange inerziale (F(lDI)) e l’intensita della

dissipazione ε (vedi figura 4.2).

Figura 4.2: Schema mostrante il processo di cascata energetica.

4.3 Caratteristiche spettrali della turbolenza

4.3.1 Spettro dei numeri d’onda

Per definire come l’energia cinetica turbolenta si distribuisce tra i vortici di va-

ria dimensione di un flusso turbolento, si deve introdurre la nozione di spettro

energetico. Ipotizzando di avere due sensori, posti ad una distanza relativa r5,

capaci di registrare le fluttuazioni di velocita del flusso che li attraversa, possiamo

5Spatial lag.

56

ricavare il tensore delle correlazioni spaziali6 Rij(r), secondo la formula

Rij(r) =⟨u′i(x)u′j(x+ r)

⟩e. (4.11)

gli elementi diagonali Rii(r) sono detti autocorrelazioni. L’informazione circa la

posizione x puo essere trascurata solo per flussi omogenei nello spazio.

Dalla funzione di autocorrelazione, e possibile ottenere informazioni sulla

distanza entro la quale determinate componenti di un moto turbolento, risul-

tano correlate, ovvero legate. Questa viene detta lunghezza di scala integrale

Euleriana, ed e definita come

Λii =1

Rii(0)

∫ ∞0

Rii(r)dr . (4.12)

La trasformata di Fourier di Rij(r), converte tale correlazione nel tensore

spettrale energetico Eij(κ), dove κ rappresenta il vettore dei numeri d’onda7. Tali

tensori vengono definiti dalle seguenti trasformata ed antitrasformata di Fourier

Eij(κ) =1

(2π)3

∫∫∫ +∞

−∞Rij(r)e−iκ·rdr (4.13)

Rij(r) =

∫∫∫ ∞−∞

Eij(κ)eiκ·rdκ . (4.14)

In realta il numero di informazioni necessarie per determinare queste due

funzioni risulta spesso difficilmente ottenibile nei casi pratici. Per tale motivo, si

utilizza lo spettro energetico scalare E(κ), definito come

E(κ) =1

2

∫S

Eii(κ)dσ , (4.15)

dove l’integrale di superficie, viene effettuato su di una sfera di raggio κ = |κ| nello

spazio tridimensionale dei numeri d’onda. La funzione E(κ) viene detta densita

spettrale e descrive il modo in cui l’energia cinetica turbolenta si distribuisce tra i

vortici di differente dimensione. In particolare per essa vale la seguente relazione∫ ∞0

E(κ)dκ = 〈e〉 . (4.16)

6Euleriane.7Numero di picchi che un’onda possiede per unita di lunghezza.

57

Figura 4.3: Spettro caratteristico dei numeri d’onda in un campo di moto turbolento.

Figura 4.3 contiene una rappresentazione schematica dell’andamento di E(κ),

valida per lo strato limite atmosferico, nella quale si possono identificare tre

principali regioni:

A intervallo dei vortici contenenti energia;

B sottintervallo inerziale;

C intervallo di dissipazione.

Sempre Kolmogorov, ipotizzo che nella regione del subrange inerziale E(κ)

dovesse essere proporzionale a ε2/3κ−5/3 (vedi regione B in figura 4.3), ovvero

E(κ) = Cε2/3κ−5/3 , (4.17)

dove C viene detta costante di Kolmogorov, avente un valore stimato compreso

fra 0.5 e 0.6 (vedi [13]).

4.3.2 Spettro delle frequenze

Spesso nello studio dell’atmosfera, piuttosto che con dati raccolti in differenti

regioni dello spazio simultaneamente, si ha a che fare con dati raccolti in un unico

punto dello spazio, ma in momenti differenti. Cio porta ad ottenere successioni

di dati, dette serie temporali.

58

In questi casi, e possibile definire correlazioni, in funzione della distanza

temporale τ 8, secondo la formula

Rij(τ) =⟨u′i(t)u

′j(t+ τ)

⟩e≈ lim

T→∞

1

T

∫ T

0

u′i(t)u′j(t+ τ)dt , (4.18)

ed, analogamente, definire una scala caratteristica della turbolenza

Tii =1

Rii(0)

∫ ∞0

Rii(τ)dτ , (4.19)

detta tempo di scala integrale Euleriano.

Anche in questo caso e possibile ottenere uno spettro dalla funzione di auto-

correlazione, si possono infatti definire

Eii(ω) =1

π

∫ +∞

−∞Rii(τ)e−iωτdτ (4.20)

Rii(τ) =

∫ ∞0

E(ω)eiωτdω , (4.21)

dove con ω si indica una frequenza lineare9.

4.3.3 Ipotesi di Taylor

Gli spettri ottenuti da serie temporali non sono in generale equivalenti a quelli

ottenuti da serie spaziali. Solamente sotto alcune condizioni, che vanno sotto il

nome di ipotesi di Taylor della turbolenza congelata, la funzione spettrale definita

in equazione (4.20), puo essere considerata equivalente (in uno spazio differente),

alla densita spettrale ottenuta in equazione (4.15).

Nel caso si stia analizzando un flusso turbolento tridimensionale, caratterizza-

to dalla presenza di una componente media del moto 〈u〉 e di fluttuazioni aleatorie

u′, tali che sia

|u′|| 〈u〉 |

1 , (4.22)

8Time lag.9Numero di picchi di un’onda che attraversano un punto per unita di tempo.

59

allora si puo immaginare il flusso turbolento come un sistema cristallizzato di

vortici, in movimento verso un’ipotetico sensore, fisso nello spazio, alla velocita

〈u〉.E in questa situazione, che misurazioni delle fluttuazioni u′, effettuate nel

tempo, ad intervalli ∆t, possono essere equiparate a misurazioni effettuate in un

determinato istante in differenti posizioni dello spazio, distanziate fra loro di ∆x,

purche sia

∆x = 〈u〉∆t . (4.23)

Grazie a questo principio, si puo quindi affermare che, tra la frequenza lineare

ω ed il numero d’onda κ esiste la relazione

ω = 〈u〉κ , (4.24)

da cui e possibile dedurre che le equazioni (4.15) e (4.20) contengono lo stesso tipo

di informazione, espressa in funzione di grandezze differenti, tra loro linearmente

dipendenti.

60

Parte II

Modellistica numerica

61

Prefazione

Predire il comportamento dei flussi turbolenti dello strato limite atmosferico e

un’operazione alquanto delicata, ed e per tale motivo che si procede ad una

approssimazione delle equazioni per il moto totale, ovvero ad una modellizzazio-

ne delle componenti originate dalle fluttuazioni caotiche, delle equazioni per le

componenti medie (cfr. Capitolo 2).

Se cio e vero per approcci risolutivi di tipo analitico, come ci si pone di fronte

a tale problema quando la soluzione da ottenere e di tipo numerico?

Le possibilita sono molteplici, da un punto di vista teorico, avremmo la possi-

bilita di risolvere direttamente (simulazione numerica diretta o DNS10) le equa-

zioni gia citate (il sistema chiuso, fornito nel Capitolo 1), ma da un punto di vista

pratico, per studi dell’ABL, le capacita di calcolo offerte dai moderni calcolatori

non ce lo consentono, e secondo alcune opinioni, non ce lo consentiranno ancora

per molto tempo. Se, infatti, riprendendo l’equazione (4.7), scriviamo

l0η

=

(u0l0ν

)= Re

3/4l0,

e consideriamo che in un’ABL tipico, la grandezza media dei vortici contenenti

energia (l0) e dell’ordine di 300 m, e la loro velocita (u0) e tipicamente dell’ordine

di 1 m/s, possiamo affermare che

l0η∼ 3 · 105 .

Cio ci induce ad affermare, che dovendo risolvere le componenti del moto che

vanno da una dimensione di 300 m ad una di circa 1 mm, per descrivere il

comportamento temporale di un fluido in un dominio spaziale, tridimensionale,

di 10×10×10 km, sarebbero necessari, un numero di punti griglia dell’ordine di

1020, valore questo notevolmente eccessivo.

Questo ci fa giungere alla conclusione, che nella maggior parte dei casi11,

sia necessario, anche nell’ambito del fluidodinamica computazionale, adoperare

procedure modellistiche.

10Direct numerical simulation.11Per flussi ad elevato numero di Reynolds.

62

Capitolo 5

Large Eddy Simulation

5.1 Introduzione

Data la notevole complessita dei processi fisici caratterizzanti lo strato limite

atmosferico, lo sviluppo di modelli semplici e generali, basati sul concetto di

media d’insieme, risulta estremamente difficile se non impossibile. Infatti, al fine

di realizzare tali modelli, e di procedere con la chiusura semiempirica del sistema

di equazioni in esame, e generalmente necessario avere a disposizione una grossa

mole di dati sperimentali, riguardanti le caratteristiche turbolente dell’ABL nelle

sue varie condizioni di stabilita.

Un approccio alternativo, e quello che si basa sul calcolo delle componenti

di un flusso turbolento, mediante risoluzione numerica diretta delle equazioni

di Navier–Sotkes (DNS), ovvero tramite una determinazione delle sole scale del

moto di maggior interesse (e.g. LES).

Nella large eddy simulation, vengono rappresentati direttamente i moti tridi-

mensionali di grande scala, i quali caratterizzano maggiormente la morfologia del

flusso, mentre vengono parametrizzati i moti piu piccoli. Quindi, la tecnica LES

puo essere considerata come un metodo avente caratteristiche intermedie, fra un

DNS ed un modello semiemprico.

La tecnica LES e in genere costituita da una serie di passi concettuali:

1. un’operazione di filtro (o media di volume ˜) viene applicata alle variabili

63

del flusso, al fine di scomporle in una componente filtrata (o risolta1, e.g. ui)

ed in una residua2 (SGS3, e.g. u′i), alla stessa maniera delle scomposizioni

alla Reynolds. Le componenti filtrate rappresentano le caratteristiche dei

moti di grande scala, che si vogliono rappresentare esplicitamente;

2. le equazioni per l’evoluzione delle variabili risolte, vengono ricavate dalle

equazioni di Navier–Stokes filtrate. Queste possiedono una forma standard,

se non per la presenza di termini legati alle componenti residue del moto (i.e.

tensori degli stress residui), che ne impongono una chiusura parametrica;

3. la chiusura di tali equazioni viene ottenuta parametrizzando i flussi residui,

nel piu semplice dei casi, mediante una procedura ereditata dalla teoria K;

4. le equazioni derivanti da quest’ultimo passo vengono, quindi, risolte nume-

ricamente, ottenendo un’approssimazione dei moti di grande scala.

5.2 Nozioni di base

5.2.1 Il filtro

Si e affermato detto che alla base di una large eddy simulation vi e una scompo-

sizione delle variabili del flusso (e.g. ui) in due parti, una risolta (e.g. ui) ed una

residua (e.g. u′i), tali che

ui = ui + u′i , (5.1)

dove ˜ rappresenta un’operazione di media volumetrica, definita in tre dimensioni

da Leonard (1974), come

˜ui(xi) =

∫∫∫V

ui(x′i)G(xi − x′i)dx′i , (5.2)

1Resolved.2Residual.3Subgrid-scale.

64

valutata sull’intero dominio di definizione del flusso, dove G rappresenta una

funzione filtrante (passa-basso) soddisfacente la seguente condizione di normaliz-

zazione∫∫∫V

G(xi − x′i)dx′i = 1 . (5.3)

Nel caso piu semplice G rappresenta una funzione omogenea, indipendente cioe

dalla posizione xi. L’ampiezza del filtro (∆), viene generalmente scelta in modo

tale da essere inferiore alla lunghezza caratteristica dei moti del subrange inerziale

lEI , ovvero dei piu piccoli vortici contenti energia.

Figura 5.1: Curva superiore: campione del campo di velocita u(x)(= U) e del corrispondente

campo filtrato mediante un filtro gaussiano u(x)(= U). Curva inferiore: campo residuo u′(x)

e campo residuo filtrato u′(x).

A questo proposito, va sottolineato che la spaziatura di griglia caratteristica

dello schema numerico, dovra essere abbastanza piccola da permettere un’ade-

guata risoluzione delle piu piccole fluttuazioni delle variabili risolte. Se infatti

l’equazione (5.1), mostra una grossa somiglianza con una equazione di Reynolds,

in realta, ui, al contrario di 〈ui〉e rappresenta ancora una variabile aleatoria, ed

in genere il residuo filtrato non ha valore nullo

u′i 6= 0 . (5.4)

65

Spesso puo risultare comodo esprimere l’operazione (5.2) in forma spettrale, ovvero,

posto che per la funzione ui(xi) valga la seguente trasformazione

ui(κi) = Fui(xi) =1

2π

∫ +∞

−∞ui(xi)e−iκixidxi , (5.5)

con F operatore di trasformazione di Fourier, l’equazione (5.2) puo essere riscritta

come

˜ui(κi) = G(κi)ui(κi) , (5.6)

dove G(κi) viene definita funzione di trasferimento, per la quale vale

G(κi) = 2πFG(xi) . (5.7)

Figura 5.2: Tipi principali di filtri G(r) (con r = xi− x′i): filtro a box, linea tratteggiata; filtro

gaussiano, linea continua; filtro spettrale, linea tratto-punto.

I filtri piu comunemente utilizzati (vedi figura 5.2) sono:

• filtro a box (box filter), dato dall’espressione

G(xi − x′i) =1

∆θ(∆/2− |xi − x′i|) , (5.8)

66

con θ, theta di Heaviside, cioe

θ(k)

0 se k > 0

1 se k < 0 .(5.9)

Quando introdotto nell’integrale (5.2), tale filtro definisce ˜ui(xi) come media

di ui(x′i) nell’intervallo xi − 1

2∆ < x′i < xi + 1

2∆;

• filtro gaussiano (gaussian filter), definito come

G(xi − x′i) =

(6

π∆2

)1/2

e−

6(xi − x′i)2

∆2 , (5.10)

agisce pesando la media volumetrica di ui(xi) tramite una distribuzione

gaussiana di media zero e varianza σ2 = 112

∆2.

• filtro di taglio spettrale (sharp spectral filter), dato dalla formula

G(xi − x′i) =sin(π(xi − x′i)/∆)

π(xi − x′i), (5.11)

agisce azzerando le fluttuazioni del moto turbolento aventi numeri d’onda

|κ| maggiori di un certo κc = π∆

, detto numero d’onda di taglio4.

5.2.2 Equazioni per le componenti risolte

Le equazioni di conservazione che descrivono l’evoluzione del campo di velocita fil-

trato u(x, t) vengono ottenute applicando l’operatore di filtro (5.2) alle equazioni

di Navier–Stokes (2.10), incontrate nel Capitolo 2.

Considerando un filtro spazialmente omogeneo, il quale commuti con l’opera-

zione di differenziazione, si puo ottenere, per l’equazione di continuita,

∂ui∂xi

=∂ui∂xi

= 0 , (5.12)

ed anche

∂u′i∂xi

=∂

∂xi(ui − ui) = 0 , (5.13)

4Cutoff wavenumber.

67

da cui e possibile concludere che, sia il campo filtrato u, che il campo residuo u′

sono solenoidali.

5.2.3 Conservazione del momento

Da quanto gia detto, se si applica l’operazione (5.2) alle equazioni (2.10), si ottiene

∂ui∂t

+∂uiuj∂xj

= − 1

ρ0

∂p

∂xi+ g

T

T0


j

− 2Ωjεijkuk . (5.14)

Tale equazione descrive l’evoluzione dei moti di grande scala dell’ABL, ovvero

dei moti con lungezza caratteristica maggiore della lunghezza di taglio del filtro.

Questa non puo essere, pero, risolta fintanto che non si definisca piu in dettaglio

il termine non-lineare uiuj. Per tale termine vale in generale la relazione

uiuj 6= uiuj , (5.15)

dalla quale si definisce una quantita simile ad un tensore degli sforzi turbolenti,

ηij,

ηij = uiuj − uiuj , (5.16)

detto generalmente tensore degli sforzi residui5.

Questa grandezza, rappresentante l’effetto dei moti di piccola scala (residui)

su quelli risolti del flusso turbolento, puo essere riscritta scomponendo il termine

uiuj mediante la scomposizione (5.1), ottenendo

uiuj = ˜uiuj − uiuj + u′iuj + ˜uiu′j + u′iu′j

= Lij + Cij +Rij ,(5.17)

dove

Lij = ˜uiuj − uiuj termine di Leonard , (5.18)

Cij = ˜uiu′j + u′iuj termine misto , (5.19)

Rij = u′iu′j termine di retro-diffusione , (5.20)

ai quali e possibile associare i seguenti significati fisici:5Residual stress tensor.

68

• il primo termine, rappresenta l’interazione di coppie di vortici risolti nel

produrre turbolenza di piccola scala;

• il secondo termine, rappresenta l’interazione fra moti risolti e moti residui, e

quantifica il trasferimento di energia verso le piccole scale della turbolenza;

• il terzo termine6, dato dall’interazione di moti di piccola scala rappresenta

il trasferimento di energia da queste ai moti risolti.

Se si introduce questa scomposizione nell’equazione (5.14), dopo aver definito

il tensore anisotropo degli sforzi residui (cioe la parte anisotropa di ηij),

τij = ηij −1

3ηkkδij , (5.21)

e dopo aver introdotto la pressione modificata π,

π = p+1

3ηkkρ0 , (5.22)

si puo scrivere

∂ui∂t

+∂uiuj∂xj

= − 1

ρ0

∂π

∂xi+ g

T

T0


j

− 2Ωjεijkuk −∂τij∂xj

, (5.23)

o alternativamente

∂ui∂t

+∂˜uiuj∂xj

= − 1

ρ0

∂p

∂xi+ g

T

T0


j

− 2Ωjεijkuk

−∂(˜uiu′j + u′iuj + u′iu

′j)

∂xj. (5.24)

Queste due forme dell’equazione per la conservazione del momento per i moti

risolti, furono ottenute da Leonard nel 1974 [15], in seguito ad una generalizza-

zione della forma ottenuta da Lilly nel 1966 [17]. Secondo quest’ultimo, infatti,

valendo la relazione

˜uiuj ≈ uiuj , (5.25)

6Back-scatter term.

69

l’equazione (5.17) poteva essere scritta come

η′ij = u′iuj + ˜uiu′j + u′iu′j = Cij +Rij , (5.26)

da cui

τ ′ij = η′ij −1

3η′kkδij , (5.27)

e

π′ = p+1

3η′kkρ0 , (5.28)

e quindi

∂ui∂t

+∂uiuj∂xj

= − 1

ρ0

∂π′

∂xi+ g

T

T0


j

− 2Ωjεijkuk −∂τ ′ij∂xj

. (5.29)

Benche le equazioni (5.23) e (5.29) descrivano entrambe lo stesso fenomeno fi-

sico, nella prima lo sforzo residuo contiene anche un contributo dovuto al termine

di Leonard Lij, al quale viene associata una certa parte della dissipazione energe-

tica dei moti di grande scala. Assumendo, infatti, che il termine di dissipazione

viscosa, presente nelle suddette equazioni, sia trascurabile da un punto di vista

dimensionale, la perdita di energia da parte dei moti di grande scala avviene per

opera dei termini non-lineari risolti (Lij) e dei termini non-lineari del sottogriglia

(Cij +Rij). Questo fatto si esprime anche dicendo che la dissipazione energetica

dei moti di grande scala (ε) e data dalla relazione

ε = εRS + εSGS , (5.30)

dove εRS rappresenta la dissipazione dovuta ai termini non-lineari risolti7 e εSGS8,

rappresenta la dissipazione dovuta ai termini del sottogriglia.

In particolare Leonard [15] ottenne il seguente risultato

εRS ≥ 0.3ε± 0.1εSGS , (5.31)

7RS=resolved scale.8SGS=sub-grid scale.

70

il quale sottolinea l’estrema importanza del termine Lij nella descrizione dell’e-

voluzione del campo di moto u(x, t).

In realta l’importanza del termine di Leonard dipende dalla natura del filtro

applicato nell’operazione (5.2), infatti, se si utilizza un filtro di tipo spettrale, e

possibile dimostrare che Lij = 0, mentre per i filtri gaussiano ed a box Lij 6= 0,

sempre.

Cio significa che, in generale, gli effetti del tensore degli sforzi residuo, e di

conseguenza la sua parametrizzazione vengono definiti in base alle caratteristiche

del filtro applicato.

5.2.4 Conservazione dell’energia

L’energia cinetica turbolenta filtrata E viene ottenuta applicando l’operazione

(5.2) al campo E = 12uiui, cioe

E =1

2uiui . (5.32)

Questa quantita puo essere scomposta in due parti, cioe

E = Ef + e , (5.33)

dove

Ef =1

2uiui (5.34)

rappresenta l’energia cinetica del campo di moto filtrato, ed

e =1

2uiui −

1

2uiui =

1

2ηii (5.35)

rappresenta l’energia cinetica residua.

L’equazione di conservazione per Ef si ottiene moltiplicando l’equazione (5.23)

per uj, ottenendo

∂Ef∂t

+ uj∂Ef∂xj− ∂

∂xi

[uj

(2νSij − τij −

p

ρ0

δij

)]= −εRS − Pr , (5.36)

71

dove

Sij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)(5.37)

rappresenta il tensore di deformazione per le scale risolte, e

εRS = 2νSijSij (5.38)

rappresenta la dissipazione viscosa compiuta direttamente della componente fil-

trata, mentre

Pr = −τijSij = εSGS , (5.39)

e la velocita di produzione di e, e rappresenta una misura della intensita con la

quale l’energia cinetica viene trasferita dai moti delle scale risolte a quelli delle

scale residue.

5.3 Parametrizzazione del sottogriglia

Come si e appena visto, con la introduzione dell’operazione di filtro, si viene a

formare nell’equazione per la conservazione del momento risolta (equazioni (5.23),

(5.24), (5.29)), un termine residuo (τij), molto simile ad uno stress di Reynolds,

che ne impedisce la chiusura. Per tale motivo, al fine di ottenerne una soluzione,

si e costretti ad introdurre delle parametrizzazioni che modellizzino τij.

Va notato che malgrado il termine τij contenga i contributi di fenomeni fi-

sici differenti (Lij, Cij, Rij) e pratica comune parametrizzarlo come se fosse una

grandezza unitaria. Infatti, molto spesso, l’incertezza introdotta nella rappre-

sentazione del flusso in seguito a tale operazione, ha spesso un effetto di entita

trascurabile sulla descrizione dei moti risolti.

5.3.1 Modello di Smagorinsky

L’approccio introdotto da Smagorinsky rappresenta, senza dubbio, l’approccio

piu semplice e piu frequentemente adottato per la chiusura del sistema di equa-

zioni dinamiche delle variabili del flusso filtrate.

72

Si tratta essenzialmente di un modello costruito grazie alle idee che portarono

alla formulazione della teoria K. Esso definisce i termini residui τij e τ ′ij, introdotti

nelle equazioni (5.23) e (5.29), come funzioni non-lineari del tensore risolto delle

deformazioni Sij, mediante la relazione

τij = −2KMSij = −KM

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

), (5.40)

ed allo stesso modo, per i flussi residui di calore

τθi = −KH∂θ

∂xi, (5.41)

con KM e KH detti, rispettivamente, viscosita e diffusivita turbolente dei moti

residui, definiti da

KM = (CS∆)2 S = l2SS , (5.42)

KH = KM/Pr , (5.43)

dove CS viene detta costante di Smagorinsky, da definire, ∆ rappresenta la lun-

ghezza caratteristica dei moti filtrati, lS la lunghezza di scala di Smagorinsky ed

S il modulo del tensore delle deformazioni, cioe

S = (2SijSij)1/2 (5.44)

ed infine Pr rappresenta il numero di Prandtl per i moti residui e viene spesso

posto pari ad 1/3.

Una delle caratteristiche fondamentali di tale modello sta nella imposizione

che il flusso di energia cinetica avvenga univocamente dai moti delle scale risolte

ai moti delle scale residue, senza tener conto di eventuali fenomenti di retro-

diffusione. Infatti, e possibile dimostrare che

Pr = KMS2 , (5.45)

il che, in associazione col fatto che KM > 0, sempre, porta a concludere quanto

appena affermato.

73

Uno sviluppo del modello introdotto da Smagorinsky, apporta modifiche nel-

la definizione del KM . Al fine di tenere conto di eventuali effetti di galleggia-

mento caratteristici di ABL convettivi, si include nella definizione del KM una

dipendenza dal numero di Richardson Ri (vedi Sezione 3.5.2),

KM = (CS∆)2 S (1−Ri/Ric)n , (5.46)

dove Ric, numero di Richardson critico di gradiente viene spesso posto pari ad

un valore compreso fra 0.2− 0.4, mentre n viene in genere posto pari a 1/2.

Dalla formula (5.46) e possibile osservare che per Ri = Ric, KM = 0, il che

corrisponde ad un flusso di tipo laminare.

5.3.2 Valutazione della costante di Smagorinsky

Lilly nel 1966 [17] presento un metodo per la determinazione teorica della costante

CS, valido per flussi turbolenti omogenei e con filtri applicati nella regione del

subrange inerziale, cioe tali che

lDI < ∆ < lEI . (5.47)

Assumendo che il trasferimento di energia verso i moti residui sia completa-

mente bilanciato dalla dissipazione εSGS, si puo affermare che, in media

εSGS ≈ Pr =⟨KMS

2⟩e

= C2S∆2

⟨S3⟩e, (5.48)

dove 〈〉e e un’operatore di media d’insieme.

Se si assume inoltre che la deformazione quadratica media, dopo aver applicato

un filtro spettrale, nell’ambito di un campo di turbolenza isotropa, sia data,

usando lo spettro di Kolmogorov per il subrange inerziale (vedi equazione (4.17)),

da ⟨S2⟩e

= 2

∫ κc

0

κ2E(κ)dκ ≈ 2

∫ κc

0

κ2Cε2/3κ−5/3dκ =3

2Cε2/3κ4/3 , (5.49)

dall’equazione (5.48), si ottiene

CS =1

π

(2

3C

)3/4

, (5.50)

74

da cui, per C, costante di Kolmogorov, pari a 1.6,

CS ≈ 0.16 . (5.51)

Ricapitolando, da informazioni circa le caratteristiche dei moti risolti, si sono

ottenute informazioni utili alla parametrizzazione dei moti delle scale residue.

75

Capitolo 6

Descrizione del modello LES

utilizzato

Dopo aver introdotto le caratteristiche fondamentali di una large eddy simula-

tion, si possono presentare le proprieta di base del modello LES elaborato da

Moeng et al., quı utilizzato per la simulazione della turbolenza in uno strato

limite atmosferico.

6.1 Equazioni per le variabili risolte

Seguendo Moeng [20], se si trasforma il termine avvettivo non-lineare ˜uiuj nella

sua forma rotazionale (vedi [33]), si puo scrivere

∂˜uiuj∂xj

= −εijk ˜ujωk +1

2

∂ ˜ujuj∂xi

, (6.1)

con ωi componente della vorticita nella direzione xi. Se inoltre si definisce il

termine

ηij = u′iu′j + u′iuj + ˜uiu′j , (6.2)

da cui

τij = ηij −1

3ηkkδij , (6.3)

76

ed ancora

P ∗ =p

ρ0

+ηkk3

+˜ukuk2

, (6.4)

si puo riscrivere l’equazione (5.24), per le componenti del moto u, v, w, come

∂u

∂t= ˜vωz − ˜wωy + fv − ∂P ∗

∂x− ∂〈p〉

∂x+∂τxx∂x− ∂τxy

∂y− ∂τxz

∂z, (6.5)

∂v

∂t= ˜wωx − ˜uωz + fu− ∂P ∗

∂y− ∂〈p〉

∂y+∂τyx∂x− ∂τyy

∂y− ∂τyz

∂z(6.6)

e

∂w

∂t= ˜uωy − ˜vωx + g

θ

θ0

− ∂P ∗

∂z− ∂τzx

∂x− ∂τzy

∂y− ∂τzz

∂z

−

⟨˜uωy − ˜vωx + gθ

θ0

− ∂P ∗

∂z− ∂τzx

∂x− ∂τzy

∂y− ∂τzz

∂z

⟩, (6.7)

dove l’operatore 〈〉 denota un’operazione di media orizzontale, f = 2Ω sinφ rap-

presenta il parametro di Coriolis (con la latitudine terrestre φ), e θ la temperatura

potenziale virtuale.

Va notato che l’equazione prognostica (6.7) viene risolta per la parte di w che

devia rispetto alla media orizzontale 〈w〉.Nel sistema di equazioni appena fornito compaiono le cinque incognite u, v, w, θ

e P ∗, per cui vanno definite anche le equazioni per θ e P ∗: il campo di pressione

P ∗, viene ricavato dall’equazione di Poisson

∇2P ∗ =∂Hx

∂x+∂Hy

∂y+∂Hz

∂z, (6.8)

dove Hxi rappresenta la somma dei termini che compaiono alla destra delle equa-

zioni (6.5)-(6.7); mentre l’equazione descrivente l’evoluzione della temperatura

potenziale virtuale θ, e

∂θ

∂t= −

˜u∂θ

∂x−˜v∂θ

∂y−˜w∂θ

∂z− ∂τθx

∂x− ∂τθy

∂y− ∂τθz

∂z, (6.9)

con τθxi flusso turbolento di temperatura potenziale del sottogriglia.

Dalla soluzione del sistema costiuito dalle equazioni (6.5), (6.6), (6.7), (6.8) e

(6.9), si ottiene un insieme di funzioni aleatorie continue nello spazio.

77

6.1.1 Scelta del filtro

Benche la scelta iniziale di Moeng et al. [20] si concentrasse sull’applicazione di

un filtro di tipo gaussiano (vedi equazione (5.10)) da una analisi di sensibilita

condotta sui risultati ottenuti dall’applicazione al LES dei filtri gaussiano, a box

e spettrale, e da un’analisi di compatibilita degli spettri ottenuti dalle simula-

zioni, con gli spettri teorici derivanti dalle ipotesi di Kolmogorov (cfr. [21]), si e

finalmente scelto di applicare un filtro di tipo spettrale (vedi equazione (5.11)).

6.2 Parametrizzazione del sottogriglia

I risultati ottenuti da LES dello strato limite atmosferico, costruiti mediante le

parametrizzazioni viste nel Capitolo 5, mostrano alcune discrepanze, soprattut-

to nella regione dello strato superficiale, con i profili di vento, temperatura ed

umidita ottenuti con le teorie di similarita.

I motivi di tali discrepanze si possono spiegare attraverso i due punti seguenti:

• essendo basate su di un approccio di media d’insieme tali parametrizza-

zioni, risultano incapaci di prevedere eventuali fenomeni di retro-diffusione

energetica;

• nello strato superficiale, la dominanza dei moti di scala residua, rende

incapace il LES di prevedere i moti di tale regione in maniera obbiettiva.

Si rende quindi necessaria l’introduzione di tipi piu adeguati di parametrizza-

zioni, due fra questi sono gli approcci introdotti da Moeng [20] e Sullivan et al.

[23], analizzati quı di seguito.

6.2.1 Modello corrente per le scale residue

Riprendendo l’approccio introdotto da Smagorinsky, si puo scrivere

τij = −2KMSij (6.10)

78

dove il tensore delle deformazioni risolto e dato da

Sij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

). (6.11)

Allo stesso modo si e definito

τθi = −KH∂θ

∂xi. (6.12)

Il modello introdotto da Moeng [20], si discosta dal modello di Smagorinsky in

quanto determina i coefficienti Ki basandosi su stime esplicite dell’energia cinetica

del sottogriglia, con un processo simile ad una chiusura al secondo ordine.

In tale modello, che successivamente verra chiamato “modello base”, le equa-

zioni (6.10) e (6.12) possono essere utilizzate solo dopo aver definito

KM = Ckle1/2 (6.13)

e

KH =

(1 +

2l

∆

)KM (6.14)

dove e rappresenta l’energia cinetica del sottogriglia, l una lunghezza di rimesco-

lamento, ∆1 il passo medio di griglia e Ck una costante da determinare.

Si ha in particolare che

∆3 = ∆x∆y∆z , (6.15)

con ∆x,∆y e ∆z passi di griglia nelle direzioni x, y e z, definiti, coerentemente

al metodo numerico risolutivo misto spettrale nel piano (x, y) ed alle differenze

finite in z, come

∆x =3Lx2Nx

(6.16)

∆y =3Ly2Ny

(6.17)

∆z =LzNz

(6.18)

1Spesso ampiezza del filtro e passo di griglia coincidono, ma cio non e sempre vero.

79

con Lxi e Nxi dimensione del dominio spaziale e numero di punti griglia nella

direzione xi. Ed ancora che

l =

∆ per stratificazioni dell’ABL instabili,

0.76e1/2(g

θ0

∂θ

∂z

)1/2per stratificazioni stabili dell’ABL. (6.19)

con θ0 temperatura potenziale virtuale ad un certo livello di riferimento.

6.2.2 Equazione prognostica per l’energia cinetica residua

L’equazione prognostica per e, proposta da Deardorff [7] e ripresa da Moeng [20],

assume la forma(∂

∂t+ uj

∂

∂xj

)e = P +B +D − ε , (6.20)

dove

P = −u′iu′j∂ui∂xj

produzione di gradiente, (6.21)

B =g

θ0

w′θ′ produzione per galleggiamento, (6.22)

D = −∂(u′je+ u′jp

′)

∂xjtrasporti turbolenti e di pressione, (6.23)

ε = Cεe3/2l dissipazione molecolare, (6.24)

con Cε coefficiente di dissipazione da determinare.

I termini P,B e D, possono essere riscritti come

P ≈ −τijSij , (6.25)

B ≈ g

θ0

τθw , (6.26)

D ≈ − ∂

∂xj

(2KM

∂e

∂xj

). (6.27)

I coefficienti Cε e Ck vengono, in generale, determinati in modo da essere con-

sistenti con la teoria del sub-range inerziale di Kolmogorov. Infatti tali costanti

80

vengono definite assumendo che i moti residui siano di tipo isotropo, con una

pendenza spettrale, nella regione del sub-range inerziale, dell’ordine di κ−5/3.

Da simili considerazioni Moeng ricava i seguenti valori

Ck ≈ 0.10 , (6.28)

Cε ≈ 0.93 . (6.29)

6.2.3 Estensione del modello di base

All’avvicinarsi di una parete (e.g. suolo), le caratteristiche della turbolenza ven-

gono ad alterarsi. Aumenta il gradiente del vento medio, e di conseguenza la

tendenza del moto a divenire anisotropo, inoltre decresce la dimensione delle sca-

le dominanti del moto. Muovendosi dalle regioni interne dell’ABL verso le regioni

vicine al suolo, si ha quindi una transizione da un tipo di moto isotropo con sca-

le dominanti risolte dall’operazione di media volumetrica, ad un moto di tipo

anisotropo con scale dominanti spesso non risolte da tale operazione.

Di conseguenza, se il modello di base riesce a descrivere abbastanza accura-

tamente il campo di moto delle regioni intermedie dello strato limite, cio non

risulta piu vero per le regioni dello strato superficiale.

Per ovviare a tale problema Sullivan et al. [23] hanno introdotto un nuovo

termine nella equazione parametrica per il tensore degli sforzi (τij). Questo ter-

mine tiene conto della natura anisotropa dei moti dello strato superficiale, ed

introduce una dipendenza di τij dalle deformazioni indotte dal gradiente verti-

cale del vento medio. Cio consiste essenzialmente nell’aggiungere un contributo

dovuto a caratteristiche di media d’insieme nel modello base.

Riassumendo, in Sullivan et al. viene esteso il modello di base per l’SGS al

fine di tener conto della natura disomogenea del moto in direzione verticale (z), e

della risoluzione limitata del LES (vincolata dall’ampiezza del filtro ∆) nei pressi

di superfici rigide, come il suolo.

Il modello per lo sforzo residuo a due parti proposto da Sullivan et al. [23],

pone quindi

τij = −2KMγSij − 2KMa 〈Sij〉 , (6.30)

81

dove 〈〉 rappresenta un’operazione di media spaziale nelle direzioni omogenee x

e y, usata in luogo dell’operazione di media d’insieme, e dove KMa rappresenta

una viscosita turbolenta media, e γ un fattore di isotropia, il quale controlla la

transizione fra i due tipi di parametrizzazione.

Modello per la viscosita turbolenta residua

La quantita KM , viene definita come nel modello base (vedi equazione (3.24)),

KM = Ckle1/2 (6.31)

ma con una differenza nell’equazione prognostica per e, infatti ora il termine P

di produzione meccanica, viene definito come

P = 2KMγ(Sij − 〈Sij〉)(Sij − 〈Sij〉) , (6.32)

in modo da considerare solamente l’influenza delle fluttuazioni di velocita nella

produzione di e.

Modello per la viscosita turbolenta media

Prendendo spunto dalla teoria della lunghezza di rimescolamento Sullivan et al.

definiscono la viscosita turbolenta media KMa come

KMa = (CK lm)2√

2 〈Sij〉〈Sij〉 , (6.33)

ovvero

KMa = (CK lm)2

√(∂〈u〉∂z

)2

+

(∂〈u〉∂z

)2

, (6.34)

con CK costante legata alla geometria del flusso, e lm lunghezza di rimescolamento

legata allo passo di griglia.

La scelta di CK viene effettuata in modo da essere coerente con la teoria della

similarita di Monin-Obukhov (vedi appendice A), dello strato superficiale.

82

Dopo una serie di assunzioni, si giunge alla seguente forma per la viscosita

turbolenta media:

KMa = K∗Ma

kz1

u∗φm(z1)

√2 〈Sij〉〈Sij〉 , (6.35)

con K∗Ma = KMa(z1), con z1 quota del primo punto griglia, k costante di Von

Karman, u∗ velocita di frizione e φm funzione di stabilita di Monin-Obukhov.

Le modifiche apportate al campo di velocita generato dal LES, grazie al-

l’applicazione delle suddette considerazioni, inducono modifiche anche nei profili

di temperatura potenziale, in modo da rendere superflua qualsiasi modifica del

termine τθi definito in equazione (6.12).

Fattore di isotropia

La necessita di introdurre un fattore di modulazione nella relazione (6.30), nasce

dall’osservazione che il valore ottimale del parametro di Smagorinsky CS, decre-

sce con l’aumentare del gradiente medio del vento e di conseguenza nelle zone

dell’ABL piu prossime al suolo.

Siccome l’isotropia delle piccole scale del moto sussiste soltanto nei casi in cui

il rapporto delle intensita di deformazione dei moti di grande scala e dei moti di

piccola scala, superi certi valori critici (∼ 10), il fattore di isotropia viene definito

come

γ =S ′

S ′ + 〈S〉, (6.36)

dove

S ′ =√

2 〈(Sij − 〈Sij〉) (Sij − 〈Sij〉)〉 , (6.37)

viene usato come stima delle deformazioni di piccola scala e rappresenta le flut-

tuazioni medie delle deformazioni risolte, mentre

〈S〉 =√

2 〈Sij〉〈Sij〉 , (6.38)

rappresenta le deformazioni di grande scala.

83

Da cio e possibile vedere che γ decresce con S ′/ 〈S〉, riducendo la viscosita

turbolenta netta KMγ, ed incrementando, quindi, l’importanza di KMa.

Quindi, fissato S ′, si ha che

per 〈Sij〉 → 0⇒ γ → 1 ,

per 〈Sij〉 → ∞ ⇒ γ → 0 ,

da cui si ricava che nei pressi della parete (i.e. suolo), la viscosita turbolenta, rice-

ve contributi dalla sola viscosita media, mentre lontano dalla parete, la viscosita

turbolenta e definita esclusivamente dal termine residuo.

6.3 Lo schema numerico

Tenendo conto delle capacita del calcolatore in uso, si cerca durante la simula-

zione LES per un strato limite atmosferico, di rappresentare un dominio spaziale

reale, in modo tale da simulare la presenza di qualche vortice di grande dimen-

sione, ed allo stesso tempo di rappresentare i moti di scala piu piccola possibile,

appartenenti al subrange inerziale. Praticamente, dato un dominio spaziale di

5× 5× 2 Km, un LES simile a quello da noi impiegato, e capace di rappresentare

dai tre ai cinque vortici dominanti, in orizzontale, fino alle scale dei moti con

dimensione 100× 100× 4 m.

Lo schema numerico impiegato da Moeng et al. [20], e uno schema mi-

sto pseudo-spettrale nel piano (x, y), ed alle differenze finite lungo z, adatto

alla rappresentazione di turbolenza omogenea in orizzontale e disomogenea in

verticale.

La tecnica pseudo-spettrale utilizzata, sviluppata da Fox e Orzag [11], viene

applicata per il calcolo delle derivate orizzontali. Ad esempio, per calcolare la

derivata in x di ui, si definisce dapprima il coefficiente di Fourier di ui, mediante

ˆui(κm, y, z) =1

N

N∑n=1

u(xn, y, z)e−iκmxn , (6.39)

dove N rappresenta il numero di punti griglia nella direzione x. Quindi tale

coefficiente viene moltiplicato per iκm, al fine di rappresentare la derivata nello

84

spazio di Fourier, dopo di che il tutto viene antitrasformato, mediante la relazione(∂ui∂x

)n

=

N/2∑m=−N

2+1

iκm ˆui(κm, y, z)eiκmxn , (6.40)

dove κm = 2πm

N∆x, per rappresentare la derivata di ui nel punto n.

Le derivate verticali vengono stimate mediante uno schema esplicito del terzo

ordine del tipo Runge-Kutta, con passo temporale variabile per le derivate nel

tempo.

6.4 Le condizioni al contorno

Le condizioni al contorno del dominio di calcolo, imposte nel LES, sono di tre

tipi differenti:

• condizioni laterali;

• condizioni al suolo;

• condizioni al top.

6.4.1 Condizioni laterali

Al fine di facilitare le simulazioni, di evitare l’introduzione di disturbi artificia-

li nella soluzione ottenuta e di rendere possibile l’impiego del metodo pseudo-

spettrale, ai bordi laterali del dominio spaziale sono fissate condizioni periodiche,

il che significa, che i campi in uscita da un lato del dominio vengono fatti rientrare

dal lato opposto, nel piano (x, y).

85

6.4.2 Condizioni al suolo

Tenendo conto delle relazioni di similarita di Monin-Obukhov, il gradiente di

vento al suolo, cioe nello strato superficiale, viene fissato da

∂u

∂z=u∗ cosφ

k1

2z1

Φ

1

2z1

L

, (6.41)

dove Φ rappresenta un funzione di Monin-Obukhov, u∗ la velocita di frizione, z1

la quota del primo punto griglia, k la costante di Von Karman e L la lunghezza

verticale del dominio.

Al suolo vengono anche fissati i flussi di temperatura, in modo tale da rico-

struirne il gradiente verticale.

6.4.3 Condizioni al top

Generalmente il top del dominio LES viene posto ben al di sopra del top dell’ABL,

in modo da evitare possibili disturbi numerici della soluzione cercata. Oltre alle

condizioni di sforzo nullo2 ∂u/∂z = ∂v/∂z = 0, per il fatto che i moti turbolenti

possono eccitare la produzione di onde di gravita, nello strato di inversione e

applicata una condizione radiativa capace di permettere l’uscita di tali onde,

garantendo pero la conservazione dell’energia.

2Stress-free conditions.

86

Capitolo 7

Soluzione dell’equazione di

conservazione di uno scalare

mediante un metodo misto

elementi finiti–differenze finite

7.1 Concetti generali

7.1.1 Introduzione

Una delle possibilita offerte dall’applicazione della tecnica LES ai fini ambientali,

e data dallo studio della dispersione di inquinanti nei campi di turbolenza generati

numericamente, in modo tale da ottenere informazioni qualitativo-quantitative

spesso difficili da ottenere con campagne di misura sperimentali.

I possibili approcci utilizzati per la simulazione della dispersione di un com-

posto chimico nel campo turbolento generato da un LES, sono due. Si puo

infatti adoperare un approccio di tipo Lagrangiano, se si segue il tragitto com-

piuto da una o piu particelle rilasciate ad un determinato istante di tempo nel

campo di turbolenza generato. Oppure si puo adoperare un approccio di tipo

Euleriano, se si immette una certa “massa” di inquinante, e se ne osserva l’evo-

87

luzione temporale–spaziale, da un sistema di riferimento fisso rispetto al dominio

di calcolo.

L’approccio impiegato in questa tesi e quello di tipo euleriano, e si basa sulla

risoluzione, assieme al sistema di equazioni caratteristico del LES, descritto nei

capitoli precedenti, di un’equazione per la conservazione di una grandezza scalare,

che nel nostro caso specifico, rappresenta la concentrazione c(x, t) di un qualsiasi

inquinante passivo, con le seguenti caratteristiche

• inerte, cioe incapace di istaurare reazioni chimiche con le speci presenti nel

mezzo circostante;

• di densita simile a quella dell’ambiente di immissione.

L’equazione presa in oggetto ha la forma dell’equazione (2.13), con la diffe-

renza che a questa viene applicata una operazione di filtro, da cui

∂c

∂t+ ui

∂c

∂xi= ν

∂2c

∂x2i

+∂

∂xi

(Kcxi

∂c

∂xi

), (7.1)

con ν diffusivita molecolare e Kcxi componente in direzione xi della diffusivita

turbolenta Kc, e dove il primo termine a secondo membro, rappresentante l’effetto

della diffusione molecolare puo essere trascurato, vista la sua scarsa importanza

se confrontato con il secondo termine rappresentante l’effetto diffusivo dovuto ai

moti del sottogriglia.

Il metodo numerico di integrazione utilizzato e di natura mista: la parte

avvettiva dell’equazione (7.1) viene risolta mediante il metodo di Galerkin del

residuo pesato1, corrispondente ad un approccio agli elementi finiti, mentre la

restante parte diffusiva viene risolta mediante un metodo alle differenze finite di

tipo Crank-Nicolson (vedi appendice B).

Per comodita in seguito si indicheranno i campi di concentrazione e velocita

risolti rispettivamente con c ed ui, in luogo di c ed ui.

1Weighted residual.

88

7.1.2 Soluzione del trasporto avvettivo

Data l’equazione generica di trasporto avvettivo della grandezza scalare c(x, t)

in una dimensione:

∂c

∂t+ u

∂c

∂x= 0 (7.2)

per procedere con una sua risoluzione secondo il metodo degli elementi finiti, si

approssimano le funzioni c ed u, mediante i seguenti sviluppi,

c(x, t) = αj(t)φj(x) (7.3)

u(x, t) = uj(t)φj(x) (7.4)

per j = 1, r, dove r rappresenta il numero di punti griglia nella direzione in ogget-

to, con αj(t) e uj(t) coefficienti da determinare, e φj(x) funzioni di interpolazione

lineare locali dette chapeau functions (vedi figura 7.1), tali che:

φj(x) =

x− xj−1

xj − xj−1

per xj−1 ≤ x ≤ xj,

xj+1 − xxj+1 − xj

per xj ≤ x ≤ xj+1,

0 altrove ,

(7.5)

Figura 7.1: Funzioni del tipo chapeau.

ed in modo tale che c(xj, t) = αj(t), nel punto della griglia xj.

Se si sostituiscono le variabili c ed u dell’equazione (7.2), con i loro sviluppi,

si ottiene una approssimazione dell’equazione (7.2), riscrivibile come

∂

∂t(αj(t)φj(x)) + uk(t)φk(x)

∂

∂x(αj(t)φj(x)) = R , (7.6)

89

dove R, rappresenta il residuo derivante dall’approssimazione effettuata.

Usando l’imposizione variazionale di Galerkin, per il residuo dell’equazione

(7.6), cioe⟨φi,

[∂

∂t(αjφj) + ukφk

∂

∂t(αjφj)

]⟩= 0 (7.7)

si ottiene una nuova formulazione dell’equazione (7.2):∫X

φi

[∂

∂t(αjφj) + ukφk

∂

∂x(αjφj)

]dx = 0 (7.8)

riscrivibile in forma tridiagonale, come

Mijdαj(t)

dt+ βk(t)Nijkαj(t) = 0 , (7.9)

dove

Mij =

∫X

φi(x)φj(x)dx, (7.10)

Nijk =

∫X

φi(x)φj(x)dφk(x)

dxdx. (7.11)

Il sistema di ODE (7.9) puo essere semplificato tenendo conto delle identita

di appendice C cosı da ottenere (vedi Long [18]):

∆x αj−1 + 4∆x αj + ∆x αj+1

− (2uj + uj−1)αj−1 + (uj+1 − uj−1)αj

+ (2uj + uj+1)αj+1 = 0 (7.12)

dove α = ∂α/∂t.

Le derivate temporali ed i termini avvettivi dell’equazione (7.12) possono

essere approssimati usando schemi del tipo FTCS, Crank–Nicolson, etc.

7.1.3 Schema numerico

Come e stato appena detto le derivate temporali ed i termini avvettivi dell’equa-

zione (7.12) devono essere approssimati mediante un’opportuno schema numerico

90

al fine di ottenerne un’adeguata soluzione. Uno dei possibili approcci e quello di

impiegare uno schema del tipo Crank-Nicolson (vedi appendice B).

Se nell’equazione (7.12) si pone

Aj−1 = 2uj + uj−1 (7.13)

Bj = uj+1 − uj−1 (7.14)

Cj+1 = 2uj + uj+1 (7.15)

questa diventa:

∆xαj−1 + 4∆xαj + ∆xαj+1 − Aj−1αj−1 −Bjαj + Cj+1αj+1 = 0. (7.16)

Approssimando le derivate temporali attraverso i loro rapporti incrementali:

αj =∂αj∂t≈αn+1j − αnj

∆t(7.17)

l’equazione (7.16) diviene:

αn+1j−1 − αnj−1

∆t+ 4

αn+1j − αnj

∆t+αn+1j+1 − αnj+1

∆t

+1

∆x(−Anj−1α

nj−1 + Bn

j αnj + Cn

j+1αnj+1) = 0. (7.18)

In realta risulta piu accurato riscrivere l’equazione (7.18), approssimando-

ne il termine fra parentesi mediante uno schema di Crank-Nicolson, cosı da

trasformarla in:

αn+1j−1 − αnj−1 + 4αn+1

j − 4αnj + αnj+1

+ α(−An+1

j−1αn+1j−1 +Bn+1

j αn+1j + Cn+1

j+1 αn+1j+1

)+ α

(−Anj−1αj−1 +Bn

j αnj + Cn

j+1αnj+1

)= 0, (7.19)

dove

α =∆t

2∆x. (7.20)

Se raccogliamo nell’equazione (7.19) i termini simili si ottiene lo schema:

αn+1j−1

(1− αAn+1

j−1

)+ αn+1

j

(4 + αBn+1

j

)+ αn+1

j+1

(1 + αCn+1

j+1

)= αnj−1

(1 + αAn

j−1

)+ αnj

(4− αBn

j

)+ αnj+1

(1− αCn

j+1

), (7.21)

91

che in forma espansa diventa

αn+1j−1 [1− α (2uj + uj−1)] + αn+1

j [4 + α (uj+1 − uj−1)]

+ αn+1j+1 [1 + α (2uj + uj+1)] = αnj−1 [1 + α (2uj + uj−1)]

+ αnj [4− α (uj+1 − uj−1)] + αnj+1 [1− α (2uj + uj+1)] . (7.22)

Questo, in forma matriciale, non e altro che un problema del tipo

A ·α = b , (7.23)

con A matrice tridiagonale dei coefficienti, α vettore incognito e b vettore dei

termini noti.

7.1.4 Applicazione di un filtro nonlineare

Risolvendo il sistema (7.23) esplicitamente attraverso codici numerici, si ottiene

una soluzione disturbata dalla presenza di onde numeriche ad alta frequenza (vedi

figura 7.2), conseguenza degli errori di discretizzazione del sistema di calcolo. Al

fine di ottenere una soluzione maggiormente realistica, cioe che abbia le seguenti

caratteristiche:

• conservazione della massa, la massa totale introdotta all’inizio della simu-

lazione deve essere mantenuta intatta durante la simulazione dato che nel

problema non vengono considerati meccanismi di produzione o distruzione

dello scalare c;

• mantenimento di valori positivi, siccome la grandezza che sta simulando

e una concentrazione, questa durante la simulazione non dovra assumere

valori negativi, in quanto privi di significato;

• mantenimento di elevati gradienti, la distribuzione di massa iniziale e ca-

ratterizzata dalla presenza di forti gradienti, che almeno nelle prime fasi

della simulazione, quando cioe i processi diffusivi risolti o di sottogriglia

sono meno intensi delle traslazioni della massa, devono essere mantenuti

tali.

92

Si e indotti ad applicare ad ogni ciclo di calcolo un filtro per eliminare i

suddetti disturbi (vedi figura 7.2 e McRae [19]).

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

C

x

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

C

x

Figura 7.2: figura di sinistra: soluzione monodimensionale non filtrata del sistema (7.23); figura

di destra: soluzione monodimensionale filtrata del sistema (7.23).

La scelta e ricaduta su di un filtro introdotto da Forester [10] il quale trasforma

localmente l’equazione (7.2) in una di tipo diffusivo:

∂c

∂t+ u

∂c

∂x=

∂

∂xKn

∂c

∂x, (7.24)

dove Kn e il coefficiente di diffusione associato al processo di filtraggio.

Dopo che la soluzione dell’equazione (7.2) e avanzata di uno step temporale,

un set di criteri empirici viene impiegato per decidere se un determinato valore

puo rimanere o deve essere rimosso al fine di “addolcire” tale soluzione.

L’equazione dalla quale si ottiene lo scalare filtrato in un determinato punto

j della griglia numerica e:

ck+1j = ckj +

Kf

2[(cj+1 − cj)(ψj + ψj+1)− (cj − cj−1)(ψj + ψj−1)]k , (7.25)

dove ck+1j e il valore del campo scalare nel punto j dopo k applicazioni del filtro,

Kf e un peso associato al processo di filtraggio e ψj e una variabile che puo

assumere i valori 0, 1 a seconda che si voglia applicare o meno il filtro nel punto

j.

Un elemento chiave nell’applicazione del filtro e la selezione dei punti nei quali

porre ψ = 1:

93

• inizialmente tutte le ψ sono poste a zero;

• quindi viene valutata la funzione Se nei vari punti dell’intervallo di defini-

zione del problema, al fine di identificare discontinuita del segno e quindi

punti di massimo e di minimo;

• poi si considera un punto j, nel quale sia stato individuato un punto critico

ed un intervallo [j−m, j +m+ 1] attorno ad esso, nel quale viene valutata

la continuita nel segno della funzione Se:

Se = sgn[ce − ce−1] e = j −m, ..., j, ..., j +m+ 1 (7.26)

dove

sgn(c) =

+1 se

c

|c|≥ 0,

−1 sec

|c|< 0.

(7.27)

La distribuzione dello scalare c nell’intervallo [j −m, j + m + 1] e accettata

se le Sj+1, ..., Sj+m+1 hanno lo stesso segno e se le Sj−1, ..., Sj−m hanno segno

opposto a quello di Sj+1, allora i valori di ψ vengono lasciati invariati; se invece

questa condizione non e soddisfatta (cioe non c’e continuita nel segno di S) ψ e

posto uguale ad 1 nel range [i− l, i+ l], dove i e un generico punto in cui non sia

rispettato il segno.

Per assicurarsi che i punti nei quali si pone ψ = 1 corrispondano a regioni con

disturbo solamente di tipo numerico, e necessario assegnare adeguati valori ad l

ed m:

• il valore di m e scelto in modo tale che sia uguale alla meta della lunghezza

d’onda del disturbo a minima frequenza;

• l sara scelto in modo da garantire una buona continuita del campo c.

Quindi la determinazione di m, l,Kf e soprattutto di natura empirica. I valori

che sono stati impiegati in tale lavoro sono

• m = 3, l = 2, Kf = 0.1, per la direzione orizzontale;

• m = 2, l = 1, Kf = 0.1, per la direzione verticale.

94

7.1.5 Condizioni iniziali ed al contorno

E noto che al fine di conoscere la soluzione particolare di una certa equazione

differenziale e necessario avere informazioni ulteriori a quelle che vengono fornite

dall’equazione stessa, si tratta in generale di

• condizioni al contorno, benche queste possano essere classificate ulterior-

mente, si tratta in generale del comportamento che la funzione incogni-

ta assume ai bordi del dominio di calcolo ∂Ω. Le condizioni al contorno

vengono solitamente suddivise in tre tipi differenti:

- condizioni di Dirichlet, quando viene fissata una relazione del tipo

c(x, t) = f(x, t) in x ∈ ∂Ω ; (7.28)

- condizioni di Neumann, quando viene fissata una relazione del tipo

∂c(x, t)

∂n= f(x, t) oppure , (7.29)

∂c(x, t)

∂s= g(x, t) in x ∈ ∂Ω , (7.30)

dove i vettori n e s rappresentano rispettivamente, il vettore normale

ed un vettore tangente alla superficie ∂Ω;

- condizioni di Robin (o miste), quando viene fissata una condizione del

tipo

∂c(x, t)

∂n+ kc(x, t) = f(x, t) per k > 0 in ∂Ω. (7.31)

• condizioni iniziali, si tratta, nei problemi in cui sia coinvolta anche la

variabile tempo, dei valori che la funzione incognita possiede nell’istante

t = 0.

Nel nostro caso le condizioni al contorno devono rispettare le condizioni im-

poste campi del LES, ovvero, si tratta di condizioni periodiche nel piano (x, y) e

di condizioni riflettenti al suolo ed al top del dominio di calcolo, cio significa in

particolare, che dobbiamo fissare

95

• lateralmente, ct1 = ctn;

• verticalmente, ct0 = ct1 e ctn+1 = ctn.

Per quanto riguarda invece le condizioni iniziali, si e sempre adoperato la

tecnica dei rilasci istantanei omogenei, cio significa che all’istante di tempo t = 0,

una certa massa di un generico scalare passivo viene rilasciata in una determinata

regione dello spazio, il che coincide col porre

c(x′, 0) = c0 per x′ ∈ D (7.32)

dove D ∈ Ω rappresenta la regione in cui viene rilasciato l’inquinante, con Ω

dominio spaziale di calcolo e c0 valore costante della concentrazione in ogni punto

dello spazio D, tale che∫Dc(x, 0)dx = 1 . (7.33)

7.1.6 Prove sullo schema avvettivo

Per poter analizzare il funzionamento delle tecniche introdotte, in vista di una loro

applicazione a casi reali, e necessario effettuare dei saggi sulla loro coerenza nel

trasporto di masse dalla forma nota, per verificare l’evoluzione di certi parametri,

indicatori della bonta del metodo stesso.

Nei tests in tre dimensioni, si e sottoposto una massa cubica ad un campo

di vento costante, tenendo in continuo controllo l’evoluzione della massa totale

di tale cubo: affinche il metodo sia realistico la massa inizialmente introdotta

deve conservarsi, anche in seguito all’attraversamento dei bordi. In questo caso

sussiste una condizione di Neumann periodica: il flusso uscente deve eguagliare

quello entrante, vedi figura (7.4).

96

0.99

0.995

1

1.005

1.01

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

mas

sa

tempo

conservazione massa

Figura 7.3: Test sullo schema avvettivo: conservazione della massa.

7.2 Soluzione del trasporto diffusivo con il me-

todo delle differenze finite

7.2.1 Caso non omogeneo

L’equazione generica del trasporto diffusivo di uno scalare c in una dimensione, e

∂c

∂t− ∂

∂xKcx

∂c

∂x= 0 (7.34)

e puo essere facilmente risolta mediante uno schema alle differenze finite del tipo

Crank-Nicolson tradizionale, diventando

cn+1i − cni

∆t=

1

2

[K ′cx(c

ni+1 − cni )−K ′′cx(cni − cni−1)

∆x2

]+

1

2

[K ′cx(c

n+1i+1 − cn+1

i )−K ′′cx(cn+1i − cn+1

i−1 )

∆x2

]. (7.35)

Quest’ultima equazione, dopo aver raccolto i termini simili ed aver posto

α = ∆t/2∆x2, puo essere riscritta come:

− αK ′′cxcn+1i−1 + (1 + αK ′cx + αK ′′cx)c

n+1i − αK ′cxcn+1

i+1

= αK ′′cxcni−1 + (1− αK ′cx − αK ′′cx)cni + αK ′cxc

ni+1, (7.36)

97

Figura 7.4: Test sullo schema avvettivo: movimento di una massa cubica all’interno di un

dominio tridimensionale.

dove:

K ′cx = Kcx(i+1

2, j, k)

K ′′cx = Kcx(i−1

2, j, k) ,

rappresentano i valori in due punti adiacenti della griglia, della diffusivita turbo-

lenta Kcx. Questa grandezza viene valutata a partire dalla viscosita turbolenta

fornita dal LES, essendo

Sc =KM

Kc

, (7.37)

dove Sc, numero di Schmidt turbolento e assunto da Moeng et al. [20] pari a

0.33.

98

7.2.2 Condizioni iniziali ed al contorno

Anche in questo caso valgono le considerazioni fatte per lo schema avvettivo in

Sezione 7.1.5.

7.2.3 Affidabilita dello schema diffusivo

Benche siano state effettuate prove anche sullo schema diffusivo, non ne riportia-

mo i risultati, data la maggiore semplicita del metodo, e la sua ormai comprovata

affidabilita, in associazione col fatto che in genere soluzioni numeriche dell’equa-

zione diffusiva non danno origine agli stessi disturbi originati da soluzioni di

schemi avvettivi.

7.3 Soluzione globale dell’equazione diffusivo–

avvettiva, tridimensionale, tramite una tec-

nica di “splitting temporale”

La tecnica impiegata per l’integrazione dell’equazione (7.1), in tre dimensioni e

quella del fractional steps. Questa rappresenta un’importante tecnica per ridurre

PDE tridimensionali in un set di equazioni temporali, localmente unidimensionali.

Infatti se si riscrive l’equazione (7.1) nelle sue singole componenti (trascurando il

termine di sorgente S), cioe:

∂c

∂t= −u ∂c

∂x− v ∂c

∂y− w∂c

∂z+

∂

∂xKcx

∂c

∂x+

∂

∂yKcy

∂c

∂y+

∂

∂zKcz

∂c

∂z, (7.38)

si puo riscrivere in forma operatoriale come

∂c

∂t= Axc+ Ayc+ Azc+Dxc+Dyc+Dzc, (7.39)

dove Axi = ui

∂

∂xi,

Dxi =∂

∂xiKcxi

∂

∂xi.

(7.40)

99

Ad ogni passo temporale si risolve un sequenza di equazioni ognuna contenente

un singolo operatore, ottenendo a fine sequenza la soluzione richiesta c(x, t).

Al fine di ottenere un’accuratezza del secondo ordine (vedi [5]), dobbiamo

adoperare cicli alterni del tipo:

ct =[AxFDx

][AyFDy

][AzFDz

]ct−1 (7.41)

ct+1 =[DzAzF

][DyAyF

][DxAxF

]ct, (7.42)

dove come gia visto l’operazione di filtro F viene utilizzata dopo ogni “substep”

avvettivo.

100

Capitolo 8

Simulazioni e risultati

8.1 Introduzione

Nel precedente capitolo si sono introdotti i principi di base sui quali costruire le

simulazioni, ora si discutera delle caratteristiche e dei risultati ottenuti.

8.1.1 Tipo di esperimenti condotti

Cio che si e cercato di studiare mediante la tecnica adottata e il comportamento

di un’inquinante passivo, rilasciato ad alta quota (zs/zi = 0.5) da una sorgente

continua (i.e. ciminiera). Le simulazioni sono state effettuate in due tipi dif-

ferenti di strato limite atmosferico: uno convettivo, caratterizzato da forzature

principalmente termiche, e l’altro, chiamato “misto”, caratterizzato da flussi ter-

mici di minore intensita, e di forzature di tipo meccanico, cioe, frutto di gradienti

verticali di vento.

A tal fine si e introdotto in un determinato istante di tempo tr, una linea

sorgente (vedi figure 8.1 e 8.2), all’interno dei due tipi di campi turbolenti generati

mediante la tecnica LES. Tale linea posta in direzione dell’asse x, possiede sezione

unitaria (pari ad un solo punto di griglia) con distribuzione trasversale della

concentrazione, approssimabile con un delta di Dirac (vedi appendice D):

c(x, y′, z′, tr) = cr , (8.1)

101

Figura 8.1: Schema tridimensionale della distribuzione di massa rilasciata al tempo tr.

con ∫∫∫L

c(x, tr)dx = 1 , (8.2)

dove, (y′, z′) rappresenta la coordinata del piano (y, z) nella quale e localizzata

la linea sorgente, e L rappresenta l’intero dominio di calcolo.

Il dominio di calcolo in cui sono state effettuate le simulazioni e un parallele-

pipedo le cui dimensioni sono di 5× 5× 2 km nel caso convettivo e di 3× 3× 1

km nell’altro caso. In ciascuna direzione ci sono 96 punti griglia, in modo che le

dimensioni di ogni intervallo spaziale siano di 52 m, nella direzione orizzontale e

di 21 m in quella verticale, nel primo caso e di 31 e 10 m nel secondo.

8.1.2 Studio della dispersione da una linea sorgente

Una linea sorgente istantanea, puo essere interpretata, come suggerito da Nieuw-

stadt et al. [25, 12] come una sorgente puntiforme ad emissione continua. Questa

interpretazione e valida solamente nel caso in cui la diffusione nella direzione

del vento sia trascurabile se confrontata all’avvezione dell’inquinante. Se tale

condizione viene soddisfatta, riprendendo l’ipotesi di Taylor, si puo interpretare

l’evoluzione della linea sorgente in funzione di t, allo stesso modo della diffusione

di un pennacchio in funzione della distanza x dal punto sorgente. La relazione

che lega questi due fenomeni, e la relazione di traslazione x = 〈u〉 t.

102

5,0 20 35 50 65 80 95 1,1E2

1,1E2 95 80 65 50 35 20 5,0

1000 2000 3000 4000 5000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

z (m

)

x (m)

Figura 8.2: Distribuzione di massa all’istante di rilascio tr, integrata lungo la direzione y. E

possibile vedere come gia nelle prime fasi di calcolo si rendono evidenti i disturbi introdotti dal

metodo numerico.

Una conseguenza di tale approccio e che l’operazione di media spaziale com-

piuta lungo una linea parallela alla linea sorgente risulta equivalente ad una

media temporale del pennacchio. Va pero sottolineato che affinche valga tale

equivalenza, il valore del tempo di media Ta relativo alla dimensione spaziale Lx,

cioe

Ta =Lx〈u〉

(8.3)

dev’essere maggiore del tempo di scala della turbolenza (τ∗).

Siccome nelle simulazioni effettuate tale condizione non e generalmente os-

servata, le statistiche ricavate, per essere significative, vengono mediate su piu

realizzazioni dell’esperimento, ottenute spostando la posizione iniziale della linea

sorgente lungo la direzione y.

103

8.1.3 Caratteristiche del PBL

I due differenti ABL impiegati (B1 ed SB22), sono stati generati mediante il codice

descritto da Moeng (vedi [20, 21, 22, 22, 23]).

Come descritto dettagliatamente in [22], i due tipi di ABL sono ottenuti va-

riando la velocita del vento geostrofico Ug3 e l’intensita del flusso superficiale di

calore Q∗ = 〈w′θ′〉0. In realta, fissati tali parametri, occorre aspettare un certo

numero di cicli di calcolo (circa sei volte il tempo di turnover di un grande vor-

tice4, corrispondente a circa 4000 intervalli temporali), affinche il campo di moto

generato raggiunga uno stato statisticamente quasi-stazionario. Infatti, entrambe

le simulazioni partono da un flusso laminare, cioe con campi di vento di intensita

pari a quella di Ug a tutte le quote, all’interno dell’intero dominio di simulazione.

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

300 302 304 306 308 310 312

z/z i

T K

Profilo al tempo t0

Figura 8.3: Profilo di temperatura al tempo t0.

Il profilo iniziale di temperatura potenziale media, e pari a 300 K al di sotto

dell’altezza iniziale del PBL (zi0 = 937 m per B e 468 m per SB2), al di sopra

della quale incrementa di 8 K per sei ∆z, per poi incrementare con un gradiente

pari a 3 K/km (vedi figura 8.3).

In tabella 8.1 sono riassunte le caratteristiche iniziali delle due simulazioni.

1Buoyancy.2Shear-buoyancy.3Ug = 〈u〉, con 〈〉 operatore di media spaziale orizzontale.4τ∗ = zi/w∗.

104

Lx (= Ly) Lz Ug Q∗ zi0

Simulazione (km) (km) (m s−1) (m s−1K) (m)

B 5 2 10 0.24 1000

SB2 3 1 15 0.03 500

Tabella 8.1: Condizioni iniziali delle simulazioni prese in considerazione.

u∗ w∗ zi τ∗

Simulazione (m s−1) (m s−1) (m) (sec) −zi/L

B 0.56 2.02 1030 510 18

SB2 0.56 0.79 493 624 1.4

Tabella 8.2: Parametri caratteristici delle simulazioni: u∗ rappresenta la velocita di frizione,

w∗ = [g/T0 〈wθv〉0 zi] la velocita convettiva, zi l’altezza media dell’ABL, τ∗ il tempo di turnover

dei grandi vortici, −zi/L il parametro di stabilita di Obukhov, 〈wθv〉i il flusso di calore alla

quota zi e 〈u1〉 la velocita media del vento al primo livello d’altezza.

In tabella 8.2 sono rappresentati alcuni dei parametri di scala caratteristici

delle due simulazioni, mentre in figura 8.4 sono rappresentati i profili di tempe-

ratura dei casi convettivo e misto. In figura 8.5 sono invece riprodotti i profili

di vento medio nei casi convettivo e misto, da quı e possibile notare come nella

regione 0.2 < z/zi < 1 il profilo del caso B sia costante. Questa situazione do-

vuta alle capacita di rimescolamento di un CBL va sotto il nome di well-mixed

condition.

8.1.4 Sistema di calcolo

Il calcolatore mediante il quale sono state effettuate le simulazioni e un server

alpha con processore ev-67 da 667 Mhz (risk) a 64 bit, munito di 1.1 Gb di

memoria ram.

105

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

300 302 304 306 308 310 312

z/zi

T K

Caso convettivo

33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3

3

Caso misto

Figura 8.4: Profilo di temperatura media al tempo di rilascio della linea sorgente nei casi

convettivo e misto.

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 2 4 6 8 10

z/zi

velocita (m/s)

〈u〉

3 33333333333333333333333333333333333333333333333333

333 3 3 3333333333333333333333333333333333333333

3

〈v〉

00.20.40.60.8

11.21.41.61.8

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16

z/zi

velocita (m/s)

〈u〉

3 3 333333333333333333333333333333333333333333

33333 3 3 3 333

33333333333333333333333333333333333333333

3

〈v〉

Figura 8.5: Profili di vento medio nei casi convettivo (sopra) e misto (sotto).

8.2 Dispersione nello strato limite convettivo

Tale esperimento e stato effettuato rilasciando la sorgente istantanea ad un altezza

dal suolo pari a zs = 500 m, tale che zs/zi ≈ 0.5. La simulazione e stata compiuta

106

per 2000 passi temporali, corrispondenti, dato un intervallo temporale variabile

attorno ai 2 secondi, a circa 1 ora di tempo reale. Il tempo necessario per compiere

tale simulazione e di circa 24 ore di calcolo.

Figura 8.6: Isolinee rappresentanti il campo di velocita verticale w all’istante tr della simulazio-

ne B, su di un determinato piano (x, z) del dominio spaziale. Le linee tratteggiate rappresentano

le zone con w negativo, mentre le linee continue rappresentano zone con w positivo. In questa

immagine sono evidenziati, in particolare due updrafts, aventi altezza pari a quella dell’ABL.

Le linee sono state costruite ad intervalli di 0.5 m s−1.

Figura 8.6 mostra una fotografia del campo di vento w in un determinato

piano (x, z), all’istante di rilascio della linea sorgente. Da quı e possibile co-

gliere alcune caratteristiche di un strato limite convettivo, e cioe, la presenza di

strutture con dimensione dell’ordine di z ≈ zi, costituite dagli updrafts (w > 0),

capaci di trasportare le masse d’aria calda dal basso verso l’alto e dai downdrafts

(w < 0) che viceversa trasportano le masse d’aria piu fredde e piu dense verso

il suolo. Un’altra informazione che e possibile cogliere da tale figura e la netta

prevalenza areale delle regioni a velocita negativa, ovvero dei downdrafts, rispetto

alle zone con velocita positiva, peraltro caratterizzate da valori piu intensi di w.

Cio corrisponde all’affermare che in uno strato limite convettivo la componente

verticale del moto possiede skewness (Sw) positiva; tale affermazione e conferma-

ta dalla figura 8.7, in cui viene rappresentato un profilo verticale di Sw estratto

dal campo di moto generato dalla simulazione B. Tale profilo risulta irregolare in

quanto non mediato nel tempo.

107

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

z/zi

⟨w3⟩/⟨w2⟩3/2

33

33

33

33

33

33

33

33

333

33

3333

33

33

3333

33

33

33

33

Figura 8.7: Profilo della skewness Sw ottenuto dal campo turbolento generato dalla simulazione

B; l’operatore 〈〉 rappresenta una media spaziale orizzontale.

Una volta rilasciato, il nostro inquinante viene sottoposto all’azione combinata

dell’avvezione dovuta alla presenza dei grandi vortici e del campo di vento medio

orizzontale, e della diffusione turbolenta legata ai processi caratteristici dei moti

delle scale piu piccole. In uno strato limite convettivo, la tendenza generale

di un inquinante, emesso ad alta quota, e quella di venire trascinato dai moti

discendenti (downdrafts) ed accumularsi verso le zone dello strato superficiale,

dalle quali, successivamente risalire sotto l’azione degli updrafts, in maniera tale

da essere rimescolato per l’intero spessore dell’ABL. Nella sequenza di immagini

mostrate in figura 8.8 e rappresentata la distribuzione, integrata lungo y e mediata

su 150 passi temporali consecutivi, della nostra massa inquinante.

Da queste immagini e possibile identificare l’azione dei moti di grande scala

maggiormente evidenti durante le fasi iniziali della dispersione, quando ancora lo

spessore della linea e piccolo rispetto alle scale spaziali della convezione. Questo

comportamento tende a modellare la distribuzione di massa iniziale portando alla

formazione di regioni ad alta concentrazione. All’avanzare della simulazione, si

manifesta con maggiore intensita l’azione dei fenomeni diffusivi nello smussare

i forti gradienti di concentrazione e nel ridistribuire la massa uniformemente su

tutto il dominio spaziale. Allo stesso tempo si puo osservare come la presenza

108

1020

3040

4030

2010

5050 60

1000 2000 3000 4000 5000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

A)z (

m)

x (m)

15

1510

6,0

1,8

10

6,0

19

23

2732

1000 2000 3000 4000 5000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

B)

z (m)

x (m)

8,8

13

1616

138,8 5,0

1,3

20

20

20

24

24

28

1000 2000 3000 4000 5000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

C)

z (m)

x (m)

19

19

17

1412 9,06,5 4,01,5

14

17

12

19

9,0

22

22

1000 2000 3000 4000 5000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

D)

z (m)

x (m)

Figura 8.8: Immagini della distribuzione della massa inquinante emessa dalla linea sorgente,

mediata su vari istanti della simulazione B.

dello strato d’inversione alla quota approssimata di 1100 m, assieme al suolo

agiscano da barriera per la propagazione dell’inquinante, che per altro tende ad

accumularsi con maggior intensita verso le regioni basse.

In figura 8.9 vengono mostrate immagini del campo w integrato lungo y, e

mediato su vari intervalli di tempo consecutivi, corrispondenti alle distribuzioni

di concentrazione di figura 8.8.

Sebbene dall’osservazione delle distribuzioni di concentrazione istantanea in-

tegrata (e/o mediata) sia possibile comprendere l’andamento generale dell’inqui-

nante, si e cercato di ottenere dei parametri quantitativamente piu significativi.

Alcuni fra questi sono la concentrazione cross-wind integrata, 〈cy(z, t)〉, l’altezza

109

0

-0,050-0,10

0

0

-0,15-0,20 -0,050

-0,25

-0,10-0,30

0,050

00,050

-0,15-0,20

0,050

0,050

0,10

0,10

0,15

0,15

-0,050

0,200,20

1000 2000 3000 4000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800A)

z (m)

x (m)

0

0

0,050

0,10

0,150,050

0

-0,050

0

-0,050

0,050

-0,10

-0,15

0,10-0,20

0,050

-0,25 -0,30

0,15

1000 2000 3000 4000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

B)

z (m)

x (m)

0

0

0

0,050

0,050

00

-0,050

-0,10

-0,15-0,20

0,050

0,10

-0,25

0,10

-0,30

0,100,15

-0,35

0,15

-0,050

1000 2000 3000 4000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

C)

z (m)

x (m)

0,020

0,020

0,0200,080

0,080

-0,040-0,040

-0,10

-0,16

-0,22

0,080-0,28

0,140,080 -0,34

-0,040

-0,040

0,14

1000 2000 3000 4000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

D)

z (m)

x (m)

Figura 8.9: Immagini della distribuzione della velocita verticale w mediata su vari istanti della

simulazione B.

media del pennacchio, 〈z(t)〉, ed il parametro di dispersione verticale, σ2z , definiti

nelle successive Sezioni (vedi [25])

8.2.1 Concentrazione cross-wind integrata

Ottenuto il valore della concentrazione in ogni punto del dominio di calcolo e

ad ogni istante di tempo t, cioe noto il valore di ogni componente della matrice

quadridimensionale c(x, y, z, t), si definisce la concentrazione media normalizzata

come

〈c(y, z, t)〉 =1

Q

∫Lx

c dx , (8.4)

110

dove Q e la massa totale di inquinante introdotta nella linea sorgente. Se in-

tegriamo la matrice 〈c(y, z, t)〉 lungo y e z, ad ogni istante, per il principo di

conservazione della massa, si dovrebbe ottenere una valore unitario, sempre che

lo schema impiegato sia corretto. Questa condizione, come gia detto, e stata

verificata durante l’intera simulazione. in figura 8.10 e possibile osservare che la

massa non oscilla per piu dell’1 %.

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

mas

sa

tempo

massa relativa

Figura 8.10: Test della conservazione della massa sulla prova di dispersione nello strato limite

convettivo.

A questo punto possiamo definire la concentrazione cross-wind integrata,

mediante l’equazione

〈cy(z, t)〉 = zi

∫Ly

〈c(y, z, t)〉 dy . (8.5)

Da questa definizione segue che per distribuzioni uniformi della massa lungo

la direzione z del CBL, 〈cy(z, t)〉 assume un valore uniformemente unitario.

La distribuzione di 〈cy(z, t)〉 da noi ottenuta e rappresentata in figura 8.11,

ed e frutto della media su due realizzazioni del flusso.

In questa ricostruzione dell’andamento della cross-wind nel tempo, e possibile

identificare una tendenza della linea sorgente a discendere verso il suolo durante

le prime fasi della sua propagazione, ed una successiva omogeneizzazione del

valore della concentrazione lungo la verticale z, come previsto dalla teoria del

“well-mixed layer”.

111

0,200,601,01,4

1,4

1,0

0,600,20

1,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

z/zi

X=w*t/z i

Figura 8.11: Andamento della concentrazione cross-wind integrata, mediato su due simulazioni,

per il caso B.

8.2.2 Altezza media del pennacchio e parametro di di-

spersione verticale

L’altezza media del pennacchio, zm = 〈z〉 rappresenta l’altezza che suddivide la

concentrazione cross-wind integrata in due aree aventi massa uguale, ovvero

zm =

∫ zi

0

∫Ly

z 〈c(y, z, t)〉 dzdy . (8.6)

L’andamento dell’altezza media del pennacchio che si e ottenuto e mostrato in

figura 8.12 ed e stato ricavato come media fra due simulazioni differenti, ottenute

ponendo la linea sorgente in due punti diversi dell’asse y. In questa immagine, e

possibile identificare una tendenza della massa di inquinante a discendere, nelle

prime fasi della simulazione, in accordo con le previsioni effettuate da Nieuwstadt

[25, 12], e da Deardorff nei suoi lavori degli anni ’70.

112

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(z−z s

)/z i

X = w∗t/zi

Simulazione BNieuwstadt (1987)

3 33

33 3 3 3 3 3 3

3 3 3

3

Nieuwstadt (1988)

++++

++++

+++++++

+ + +

+

+

+

+

Willis and Deardorff

2222222

22222222 2 2

22

22 2

22 2 2

2

Figura 8.12: Confronto fra vari andamenti dell’altezza media di un pennacchio (zm − zs)/zi in

varie simulazioni di strato limite convettivo.

Si puo a questo punto definire il parametro di dispersione verticale come

σ2z =

∫ zi

0

∫Ly

(z − zs)2 〈c〉 dzdy , (8.7)

il cui andamento, in funzione della distanza adimensionale X = w∗t/zi e mostrato

in figura 8.13.

In questa immagine, la dispersione verticale media della linea sorgente mostra

un certo discostamento dai risultati ottenuti da Nieuwstadt [25]. Una giustifica-

zione di tale discrepanza potrebbe essere identificata nel differente tipo di modello

usato per la parametrizzazione dei moti del sottogriglia ed anche nella differente

risoluzione utilizzata durante le simulazioni (403 per Nieuwstadt [25]).

8.3 Dispersione nello strato limite misto

In tale caso l’altezza di rilascio della linea sorgente e stata posta pari a zs = 250

m, in modo tale che sia zs/zi ≈ 0.5. Anche in questo caso si e proceduto con una

simulazione di 2000 passi temporali, corrispondenti ad 1 ora di tempo reale. In

figura 8.14 e rappresentato il campo di velocita verticale w all’istante di rilascio

della linea sorgente.

113

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

σ2 z

X = w∗t/zi

Simulazione BNieuwstadt (1987)

3

3

3

3

33 3

3 33

3 3 3 3

3

Figura 8.13: Confronto fra vari andamenti del parametro di dispersione in uno strato limite

convettivo.

Figura 8.14: Isolinee rappresentanti il campo di velocita verticale w all’istante tr della si-

mulazione SB2, su di un determinato piano (x, z) del dominio spaziale. Le linee tratteggiate

rappresentano le zone con w negativo, mentre le linee continue rappresentano zone con w

positivo.

Rispetto al caso precedente e possibile notare come siano in generale spazial-

mente piu distanziate fra loro le isolinee. Cio significa che nella simulazione SB2,

l’andamento di w e piu omogeneo nello spazio, rispetto al caso B. Un’altra ca-

ratteristica che e possibile notare e la minore dimensione delle strutture verticali

della turbolenza (dovuta all’assenza di forzature termiche di particolare intensita)

e la loro maggiore inclinazione rispetto alla verticale, dovuta alla presenza di un

114

gradiente di vento superficiale particolarmente intenso.

4,02852

76100 1,2E21,5E21,7E21,7E21,5E21,2E2 100 76

5228

4,0

4,0

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

1000A)

z (m)

x (m)

6476

7664

5341

30 18 6,5

8753

99

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

1000B)

z (m)

x (m)

7664

5341

3018

6,5

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

1000C)

z (m)

x (m)

79

69

5848

3727

165,5

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

1000D)

z (m)

x (m)

Figura 8.15: Immagini della distribuzione della massa inquinante emessa dalla linea sorgente,

mediata su vari istanti della simulazione.

In figura 8.15, sono rappresentate varie fasi temporali della dispersione del-

l’inquinante passivo, con distribuzione mediata su 150 intervalli temporali ed

integrata in direzione z. Le immagini corrispondenti ai campi di vento w mediati

sugli stessi intervalli sono mostrate in figura 8.16.

In figura 8.15 si osserva come la tendenza generale della massa emessa sia quel-

la di accumularsi verso il suolo, ma, in confronto al caso convettivo, in maniera

omogenea lungo la direzione x. Cio e principalmente dovuto all’assenza delle

strutture verticali particolarmente vigorose caratteristiche degli strati limite con-

vettivi. La presenza, inoltre, di forti gradienti verticali di vento (vedi figura 8.5)

115

1E-3

1E-3

-0,0055

0,0075

0,0075

1E-3

0,014

-0,012

0,021

0,0075

-0,0055

0,014-0,0055

-0,012

0,014 0,0075

-0,012

0,0075

0,014

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

A)z (

m)

x (m)

-1,7E-18

-1,7E-18

-1,7E-18-1,7E-18

0,0060

-1,7E-18

-0,0060

0,00600,012-0,0060

-0,0060

-0,012

-1,7E-18

-0,0060

0,018-0,0060

-0,018

0,012

0,0060

-0,012

-0,0060

-0,012

0,0060

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

B)

z (m)

x (m)

0

0

0

00

0,0080

0

-0,0080

-0,0080

0,0080

0,0080

0,0080-0,0080

0,0080

0,016

-0,016

-0,0080

-0,016 0,016

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

C)

z (m)

x (m)

-0,0025

0,0060

-0,0025

-0,0025

-0,011

-0,011

0,014-0,011

0,0060

0,0060

0,023

-0,011

0,014

-0,019

-0,011

500 1000 1500 2000 2500 3000

200

400

600

800

D)

z (m)

x (m)

Figura 8.16: Immagini dei campi di vento u mediati su 150 passi temporali ed integrati in y

nel caso misto.

nella regione dello strato superficiale, garantisce, sempre rispetto al caso convetti-

vo, un migliore rimescolamento delle regioni basse dell’ABL. Infatti, osservando le

figure 8.16 C e D, e possibile notare come le isolinee siano maggiormente spaziate

verso il suolo.

8.3.1 Altezza media, concentrazione cross-wind e parame-

tro di dispersione verticale del pennacchio

Alla stessa maniera del caso precedente, si sono analizzati i parametri zm, 〈cy(z, t)〉e σ2

z(t).

116

L’evoluzione dell’altezza media della massa inquinante e mostrata in figura

8.17.

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(z−z s

)/z i

X = w∗t/zi

Simulazione SB

Figura 8.17: Andamento dell’altezza media del pennacchio nello strato limite misto.

Anche in questo caso nella sua fase iniziale il pennacchio mostra una tendenza

a discendere, ma senz’altro molto ridotta rispetto al caso convettivo, si potrebbe

piuttosto affermare che l’altezza media della massa inquinante tende a mantenersi

ad un livello costante.

In figura 8.18 viene mostrato l’andamento del parametro di dispersione verti-

cale.

Tale grandezza mostra rispetto al caso B, una crescita leggermente piu lenta,

frutto dell’assenza di intensi moti verticali, per poi raggiungere un valore costante

una volta che la massa si e distribuita sull’intera profondita del PBL.

In figura 8.19 viene infine mostrato l’andamento della concentrazione cross-

wind integrata.

Questa immagine conferma il fatto che il pennacchio nelle sue prime fasi,

subisca una leggera discesa, ma senza dubbio molto piu blanda rispetto a quella

mostrata in figura 8.11, allargandosi comunque in maniera abbastanza simmetrica

(gaussiana) rispetto alla quota z = zs.

117

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

σ2 z

X = w∗t/zi

Simulazione SB

Figura 8.18: Andamento del parametro di dispersione verticale nello strato limite misto.

0,50 1,0

1,00,50

1,52,0

2,5

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

z/zi

X=w*t/z i

Figura 8.19: Andamento della concentrazione cross-wind integrata, mediato su due simulazioni,

per il caso SB2.

118

Conclusioni

La tecnica Large Eddy Simulation ha reso possibile negli ultimi decenni la simu-

lazione numerica tridimensionale dei campi di vento e di turbolenza caratteristici

di uno strato limite planetario.

Essa puo essere usata per studiare sistematicamente le problematiche connes-

se con la micrometeorologia e la turbolenza nello strato limite atmosferico. Le

simulazioni tridimensionali possono dare, infatti, informazioni statistiche molto

utili circa la struttura di tale regione della troposfera.

Lo sviluppo attuale di elaboratori massicciamente paralleli, rendera questo

approccio ancora piu efficace, rendendo possibile l’estensione delle simulazioni a

5123 punti griglia, ed oltre, permettendo una migliore rappresentazione dei flussi

turbolenti.

D’altra parte gli esperimenti in campo di dispersione sono stati condotti ne-

gli anni passati in maniera sporadica, soprattutto in considerazione dell’enorme

costo finanziario che essi richiedono. Una conseguenza di tale fatto e la scarsa

disponibilita di dati sperimentali utilizzabili da parte della comunita scientifica.

In questo lavoro di tesi si e mostrato, in particolare, qual’e il comportamento

di un inquinante atmosferico passivo emesso da una sorgente puntiforme elevata,

sottolineando quali siano i principali meccanismi alla base della sua dispersione.

L’equazione di conservazione di uno scalare risolta con la tecnica mista “ele-

menti finiti–differenze finite”, grazie anche all’ausilio della tecnica del fractional

steps, utilizzando i campi di vento e turbolenza generati dal LES, ha fornito cam-

pi di concentrazione che riproducono abbastanza realisticamente l’andamento di

un’inquinante, cosı come osservato dai risultati sperimentali e numerici esistenti

119

per lo strato limite convettivo. Per quanto invece riguarda il risultati ottenuti

nella simulazione della dispersione in un PBL misto, l’assenza di dati sperimen-

tali e numerici, ha reso difficoltosa la conferma della bonta del modello. Cio non

toglie, comunque, la possibilita di affermare la coerenza dei risultati ottenuti con

considerazioni di tipo teorico.

Lo schema numerico utilizzato ha quindi fornito risultati pienamente soddi-

sfacenti, da un punto di vista qualitativo.

Il presente approccio, ovvero le simulazioni di dispersione in campi LES, si mo-

stra estremamente promettente, in quanto potra fornire alla comunita scientifica

dati di dispersione su cui calibrare/valutare i propri modelli.

Sono vari i possibili sviluppi futuri. Da una parte vi e la possibilita di includere

nella equazione di dispersione Euleriana, termini relativi a reazioni chimiche, quali

ad esempio quelle di tipo fotochimico, in modo tale da poter studiare l’evoluzione

di ozono, ossidi di azoto, composti organici volatili, etc. Da un’altra parte vi

sarebbe la necessita di adattare lo schema numerico del LES in modo tale da

renderlo capace di simulare campi di moto turbolenti anche nel caso di topografie

complesse ed agglomerati urbani.

120

Appendice A

Teoria della similarita nello

strato limite convettivo

A.1 Similarita di Monin–Obukhov

Secondo le ipotesi di similarita proposte da Monin e Obukhov attorno al 1950,

le caratteristiche dello strato superficiale stratificato, dipendono essenzialmente

dall’altezza z, dallo sforzo superficiale −〈u′w′〉0, dal flusso di calore superficiale

〈wθ〉0 e dal parametro di galleggiamento g/T0.

Tali grandezze vengono usate per costruire i seguenti parametri adimensionali:

• velocita di frizione, u∗ = (−〈u′w′〉0)1/2;

• temperatura di frizione, θ∗ = −〈w′θ′〉0u∗

;

• lunghezza di Obukhov, L =u2∗

k(g/T0)θ∗.

L’applicazione delle ipotesi di Monin–Obukhov ai gradienti verticali di velocita

e temperatura, porta alle seguenti relazioni,

kz

u∗

∂〈u〉∂z

= φm(ζ) , (A.1)

kz

θ∗

∂〈θ〉∂z

= φh(ζ) , (A.2)

I

il che implica che i gradienti adimensionali di vento e temperatura, sono funzione

della altezza adimensionale ζ, definita come

ζ =z

L. (A.3)

Dall’integrazione delle equazioni (A.1)-(A.2) si ottengono i seguenti profili

adimensionali

〈u〉u∗

=l

k

(lnz

z0

−Ψm(ζ)

), (A.4)

〈θ〉 − 〈θ0〉θ∗

=α

k

(lnz

z0

−Ψh(ζ)

), (A.5)

dove 〈θ0〉 e la temperatura potenziale media all’altezza z = z0, α e una costante

dal valore compreso fra 0.9 e 1, e

Ψ(ζ) =

∫ z/L

z0/L

(1− φm(ζ))dζ

ζ, (A.6)

Ψh(ζ) =

∫ z/L

z0/L

(1− φh(ζ))dζ

ζ, (A.7)

dove la forma delle funzioni φm e φh viene definita dalla osservazione di da-

ti sperimentali. La forma piu frequentemente usata e fornita dalle relazioni di

Businger–Dyer:

φh = φ2m = (1− 15ζ)−1/2 per − 5 < ζ < 0 , (A.8)

φh = φm = 1 + 5ζ per 1 > ζ ≥ 0 . (A.9)

Dalla teoria della similarita di Monin–Obukhov e possibile ottenere informa-

zioni anche sulla turbolenza tramite una stima delle grandezze 〈u′2〉 /u∗, 〈v′2〉 /u∗,〈w′2〉 /u∗ e 〈θ′2〉 /θ∗ in funzione di ζ.

Va notato a questo punto la forte dipendenza delle statistiche delle fluttuazioni

orizzontali di velocita negli strati instabili e convettivi dalla grandezza zi (spessore

dell’ABL), trascurato dalla similarita di Monin–Obukhov.

II

Se per ζ ≥ 0 (condizioni neutrali o stabili) possiamo infatti scrivere

〈u′2〉u∗≈ 2.5 , (A.10)

〈v′2〉u∗≈ 1.9 , (A.11)

〈w′2〉u∗≈ 1.3 , (A.12)

per ABL instabili e convettivi si trova

〈u′2〉u∗≈ 〈v

′2〉u∗

=(

12− 0.5ziL

)1/3

perziL< 0 , (A.13)

〈w′2〉u∗

= 1.3(

1− 3z

L

)1/3

per ζ ≤ 0 . (A.14)

A.2 Similarita per convezione libera

Monin ed Obukhov per i limiti u∗ → 0 e ζ →∞ elaborarono la teoria di similarita

per convezione libera locale, secondo cui solo le grandezze z, g/T0 e 〈w′θ′〉0 sono

considerate rilevanti, ed infatti si definiscono i parametri

uf =

(g

T0

〈w′θ′〉0 z)1/3

, (A.15)

θf = 〈w′θ′〉2/30

(g

T0

z

)−1/3

, (A.16)

da cui

〈w′2〉uf

= Cw , (A.17)

〈θ′2〉θf

= Cθ , (A.18)

con Cw ≈ 1.4 e Cθ ≈ 1.3.

III

A.3 Teoria della similarita per lo strato di rime-

scolamento

Questa teoria elaborata negli anni ’70 da Deardorff, si adatta bene alla para-

metrizzazione delle variabili turbolente in uno strato limite convettivo. Secondo

tale teoria, mediante le grandezze indipendenti z, g/T0, 〈w′θ′v〉0 e zi e possibile

definire i parametri

w∗ =

(g

T0

zi

)1/3

, (A.19)

T∗ =〈w′θ′v〉0w∗

, (A.20)

dalle quali si definiscono unicamente, in funzione di z/zi, le grandezze 〈u′2〉 /w∗,〈v′2〉 /w∗ e 〈θ′2〉 /T∗, ed in particolare

〈u′2〉w∗≈ 〈v

′2〉w∗≈ 0.60 . (A.21)

I profili di temperatura e vento medio non possono essere definiti da que-

ste assunzioni, in quanto sono assunti uniformi in un ABL convettivo “ben

mescolato”1.

1Well-mixed.

IV

Appendice B

Schemi d’integrazione alle

differenze finite

B.1 Metodo esplicito: schema di Eulero

L’equazione di diffusione

∂c

∂t=∂2c

∂x2(B.1)

puo essere risolta con un metodo esplicito.

Il primo passo consiste nel discretizzare i domini X e T in cui sono definite le

variabili x e t in I ed N intervalli di uguale ampiezza ∆x e ∆t, tali che

xi = i∆x con i = 1, . . . , I (B.2)

tn = n∆t con n = 1, . . . , N . (B.3)

In questa maniera possiamo discretizzare la variabile c(x, t) in modo che sia

c(xi, tn) = cni . (B.4)

Se si sviluppa la funzione c(x, t) in serie di Taylor, separatamente rispetto a t

e rispetto ad x, si ottiene

cn+1i = cni + δt

(∂c

∂t

)ni

+1

2δt2(∂2c

∂t2

)ni

+ . . . , (B.5)

V

da cui segue(∂c

∂t

)ni

=cn+1i − cniδt

+O(δt) . (B.6)

Analogamente, lo sviluppo rispetto ad x, tenendo t costante, e definito da

cni+1 = cni + δx

(∂c

∂x

)ni

+1

2δx2

(∂2c

∂x2

)ni

+ . . . (B.7)

cni−1 = cni − δx(∂c

∂x

)ni

+1

2δx2

(∂2c

∂x2

)ni

− . . . , (B.8)

da cui

cni+1 + cni−1 = 2cni + δx2

(∂2c

∂x2

)ni

+ . . . , (B.9)

e quindi(∂2c

∂x2

)ni

=cni+1 − 2cni + cni−1

δx2+O(δx2) . (B.10)

Se si sostituiscono tali risultati nell’equazione (B.1), si ottiene l’approssima-

zione

cn+1i = cni + r(cni−1 − 2cni + cni+1) , (B.11)

dove r = δt/δx2.

La formula (B.11), che permette di esprimere direttamente il valore della una

variabile incognita cn+1i in funzione dei termini noti del tempo n, e detta formula

esplicita alle differenze finite.

Affinche la soluzione fornita da questa equazione sia stabile occorre che sia

r ≤ 1

2. (B.12)

B.2 Metodo implicito: schema di Crank–Nicolson

Un metodo implicito con cui risolvere l’equazione parabolica (B.1) fu proposto da

Crank e Nicolson. Il metodo prevede di sostituire la derivata spaziale in equazione

VI

(B.1) con una media della forma (B.10) fatta sull’(n− 1)-esimo e l’(n+ 1)-esimo

intervallo temporale, in modo tale da ottenere

cn+1i − cniδt

=1

2

[cni+1 − 2cni + cni−1

δx2+cn+1i+1 − 2cn+1

i + cn+1i−1

δx2

]+O(δt2+δx2) . (B.13)

Raccogliendo tutti i termini incogniti a primo membro e quelli noti a secondo

membro, si puo riscrivere

−rcn+1i−1 + (2 + 2r)cn+1

i − rcn+1i+1 = rcni−1 + (2− 2r)cni + rcni+1 . (B.14)

Come e possibile osservare per riuscire a definire c e necessario risolvere un

sistema di I equazioni ad ogni passo temporale, in particolare se riscritto in forma

matriciale tale sistema assume una forma tridiagonale.

VII

Appendice C

Integrali di funzioni chapeau

∫X

φj±1φj dx =∆x

6∫X

φ2j dx =

2∆x

3∫X

dφj±1

dxφj dx = ±1

2∫X

dφjdx

φj dx = 0∫X

φj±pφj dx = 0 p > 1∫X

dφj±pdx

φj dx = 0 p > 1

VIII

∫X

φ2j

dφjdx

dx = 0∫X

φjφj±1dφj±1

dxdx = ±1

6∫X

φj±1φjdφjdx

dx = ±1

6∫X

φ2j

dφj±1

dx= ±1

3

∫X

[dφj±1

dx

]2

φj dx =1

2∆x∫X

dφjdx

dφj±1

dxφj dx = − 1

2∆x∫X

[dφjdx

]2

φj dx = 0

∫X

φ2j

d2φj−1

dx2dx =

2

∆x∫X

φj±1φjd2φj±1

dx2dx = ± 1

∆x∫X

φj±1φjd2φjdx2

dx = 0∫X

φ2j

d2φj±1

dx2dx = 0

IX

Appendice D

Delta di Dirac

D.1 Caratteristiche generali, caso monodimen-

sionale

Per delta di Dirac si definisce la funzione generalizzata δ(x) tale che

δ(x) =

0 per x 6= 0,

∞ per x = 0.(D.1)

e ∫ +∞

−∞δ(x)dx = 1 . (D.2)

La funzione s.s. che piu si avvicina a tale distribuzione e la gaussiana

Dn(x) =n√2π

exp(−1

2x2n2) , (D.3)

con media 0 e σ2 =1

n, tale che∫ +∞

−∞Dn(x)dx = 1 . (D.4)

Per n→∞ si ha in particolare

limn→∞

∫ +∞

−∞Dn(x)g(x)dx = g(0) , (D.5)

X

ovvero, che∫ +∞

−∞δ(x)g(x)dx = 0 , (D.6)

e quindi che∫ +∞

−∞δ(x− a)g(x)dx = g(a) . (D.7)

XI

Bibliografia

[1] W. F. Ames. Numerical methods for partial differential equations. Academic

press, 1992.

[2] S. P. Arya. Air pollution meteorology and dispersion. Oxford university

press, 1999.

[3] G. K. Batchelor. The theory of omogeneous turbulence. Cambridge university

press, 1953.

[4] J. Crank. The mathematics of diffusion. Oxford university press, 1995.

[5] G. I. Marcuk. Metodi del calcolo numerico. Editori riuniti, Edizioni Mir,

1984.

[6] J. W. Deardorff. Three-dimensional numerical study of the height and mean

structure of a heated planetary boundary layer. Boundary-layer meteorology,

7:81–106, 1974.

[7] J. W. Deardorff. Stratocumulus-capped mixed layers derived from a three-

dimensional model. Boundary layer meteorology, 18:495–527, 1980.

[8] C. R. Doering and J. D. Gibbon. Applied analysis of the Navier-Stokes

aquations. Cambridge texts in applied mathematics. Cambridge university

press, 1995.

[9] C. A. J. Fletcher. Computational techniques for fluid dynamics, volume

Volume I. Springer–Verlag, 1991.

a

[10] C. K. Forester. Higher order monotic convective difference schemes. Journal

of Computational Physics, 23:1–22, 1976.

[11] D. G. Fox and S. A. Orzag. Pseudospectral approximation to two-

dimensional turbulence. Journal of Computational Physics, 11:612–619,

1973.

[12] L. Van Haren and F. T. M. Nieuwstadt. The behavior of passive and buoyant

plumes in a convective boundary layer as simulated with a large-eddy model.

Journal of applied meteorology, 28:818–832, 1988.

[13] J. C. Kaimal and J. J. Finnigan. Atmospheric boundary layer flows. Oxford

university press, 1994.

[14] A. N. Kolmogorov. The local structure of turbulence in incompressible

viscous fluid for very large reynolds numbers. Dokl. Akad. Nauk. SSSR,

30:299–303, 1941.

[15] A. Leonard. Energy cascade in large-eddy simulations of turbulent fluid

flows. Advances in geophysics, 18:237–248, 1974.

[16] M. Lesieur. Turbulence in fluids. Kluwer academic publishers, 1995.

[17] D. K. Lilly. On the application of the eddy-viscosity concept in the inertial

subrange turbulence. Technical Report 123, National center for atmospheric

research, Boulder, CO, 1966.

[18] P. E. Long. An examination of some simple numerical schemes for calculating

scalar advection. Journal of applied meteorology, 20:146–156, 1980.

[19] G. J. McRae. Numerical solution of the atmospheric diffusion equation for

chemically reacting flows. Journal of Computational Physics, 43:1–42, 1982.

[20] C.H. Moeng. A large-eddy-simulation model for the study of the planetary

boundary-layer turbulence. Journal of the atmospheric sciences, 41:2052–

2062, 1984.

b

[21] C.H. Moeng. Spectral analysis of large-eddy simulations of the convective

boundary layer. Journal of the atmospheric sciences, 45:3573–3587, 1988.

[22] C.H. Moeng and P. P. Sullivan. A comparison of shear- and buoyancy-

driven planetary boundary layer flows. Journal of the atmospheric sciences,

51:999–1022, 1994.

[23] C.H. Moeng and P. P. Sullivan. A subgrid-scale model for large-eddy si-

mulation of planetary boundary-layer flows. Boundary-layer meteorology,

71:248–276, 1994.

[24] F. T. M. Nieustadt and H. Van Dop. Atmospheric turbulence and air

pollution modelling. D. reidel publishing company, 1982.

[25] F. T. M. Nieuwstadt and J. P. J. M. M. De Valk. A large eddy simulation

of buoyant and non-bouyant plume dispersion in the atmospheric boundary

layer. Atmospheric environment, 21:2573–2587, 1987.

[26] D. W. Pepper. Modelling the dispersion of the atmospheric pollution using

cubic splines and chapeau functions. Atmospheric Environment, 13:223–237,

1978.

[27] R. A. Pielke. Mesoscale meteorological modeling. Academic press, 1990.

[28] S. B. Pope. Turbulent flows. Cambridge university press, 2000.

[29] G. Prouse. Equazioni differenziali alle derivate parziali. Masson, 1994.

[30] H. Schlichting and K. Gersten. Boundary layer theory. Springer, 2000.

[31] J. Smagorinsky. General circulation experiments with the primitive

equations: I. the basic equations. Mondial weather review, 91:99–164, 1963.

[32] R. B. Stull. An introduction to boundary layer meteorology. Kluwer academic

publishers, 1988.

c

[33] H. Tennekes and J. L. Lumley. A first course in turbulence. The MIT press,

1972.

[34] F. Trombetti and M. Tagliazzucca. Characteristic scales of the atmosphe-

ric surface layer. Technical Report 4, Istituto FISBAT, C.N.R., Bologna,

November 1994.

[35] R. J. Yamartino. The calgrid mesoscale photochemical grid model-i. model

formulation. Atmospheric Environment, 26A:1493–1412, 1991.

d

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