STUDIE VAN WACHTLIJNMODELLEN VOOR KLANTEN MET...

UNIVERSITEIT GENT

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE

ACADEMIEJAAR 2009 – 2010

STUDIE VAN WACHTLIJNMODELLEN VOOR KLANTEN MET DEADLINES

Masterproef voorgedragen tot het bekomen van de graad van

Master in de Toegepaste Economische Wetenschappen: Handelsingenieur

SOETKIN VERKEST

onder leiding van

Prof. H. BRUNEEL

i

Permission Ondergetekende verklaart dat de inhoud van deze masterproef mag geraadpleegd en/of

gereproduceerd worden, mits bronvermelding.

Soetkin Verkest

ii

Time is what we want most,

but... what we use worst.

(Penn, 1682)

Woord vooraf Tijdens mijn studies handelsingenieur heb ik al heel wat bijgeleerd over het reilen en

zeilen in en rond bedrijven. Bedrijven bestaan uit verschillende afdelingen die elk hun

verantwoordelijkheid hebben. Denk maar aan de afdelingen aankoop, logistiek,

financiën, marketing & verkoop. Grote bedrijven zijn vaak slechts een schakel in de weg

van grondstof naar eindproduct. Binnen deze bedrijfscontext gaat mijn interesse vooral

uit naar de analyse van processen en systemen. Het optimaliseren en integreren van

processen en systemen binnen de supply chain en zelfs binnen één bedrijfsschakel zijn

taken waar altijd verbetering mogelijk is. Voor mijn masterproef wou ik dan ook graag

een onderwerp dat hiertoe kon bijdragen.

Aangezien “tijd” in deze maatschappij steeds

meer als een schaarse factor wordt beschouwd,

vond ik het onderwerp “Studie van

wachtlijnmodellen voor klanten met deadlines”

een interessante titel voor mijn masterproef. Het

leek me boeiend om wachtlijnsystemen, een fenomeen waar we dagelijks mee

geconfronteerd worden, van naderbij te bestuderen. Om me meer in de materie in te

werken, heb ik vorig jaar als keuzevak de cursus “Wachtlijntheorie” bij prof. Bruneel

gevolgd (Bruneel, 2009).

Verder wil ik via deze weg iedereen bedanken die mij bij het tot stand brengen van deze

masterproef geholpen heeft. Eerst en vooral wil ik Tom Maertens bedanken voor de vele

hulp die hij mij aangeboden heeft bij het schrijven van dit werk. Ik wil hierbij ook mijn

promotor Prof. Dr. Ir. H. Bruneel bedanken voor het vertrouwen dat hij in mij heeft

gesteld. Daarnaast wil ik ook nog enkele mensen bedanken die mij gesteund hebben

tijdens het maken van deze masterproef, met name mijn ouders, mijn vriend en mijn

kotgenoten.

iii

Inhoudsopgave

Hoofdstuk 1 ............................................................................................................................... 1

Inleiding ..................................................................................................................................... 1

1.1 Algemeen wachtlijnsysteem ..................................................................................... 1

1.2 Wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines ..................................................... 2

1.3 De psychologie van “het wachten”............................................................................ 3

1.4 Toepassingen .............................................................................................................. 3

1.5 Overzicht ..................................................................................................................... 4

Hoofdstuk 2 ............................................................................................................................... 5

Literatuurstudie ........................................................................................................................ 5

2.1 Modellen voor klanten met deadlines ...................................................................... 5

2.2 Discrete-tijd wachtlijnsysteem ................................................................................. 6

2.3 Hedendaagse telecommunicatienetwerken ............................................................ 7

Hoofdstuk 3 ............................................................................................................................. 10

Mathematisch model ............................................................................................................... 10

3.1 Structuur van het wachtlijnsysteem ....................................................................... 10

3.2 Aankomstproces....................................................................................................... 11

3.3 Bedieningsproces ..................................................................................................... 12

3.4 Wachtlijndiscipline .................................................................................................. 12

3.5 Deadlines .................................................................................................................. 12

3.6 Verkorte notatie discrete-tijd wachtlijnsysteem ................................................... 13

3.7 Prestatiematen ......................................................................................................... 14

Hoofdstuk 4 ............................................................................................................................. 15

Analyse van de systeembezetting........................................................................................... 15

4.1 Systeemvergelijking ................................................................................................. 15

4.2 Regimegedrag systeembezetting ............................................................................ 17

4.3 Bepaling onbekende constante ...................................................................... 21

iv

Hoofdstuk 5 ............................................................................................................................. 23

Momenten van de systeembezetting ...................................................................................... 23

5.1 Gemiddelde waarde van de systeembezetting ...................................................... 23

5.1.1 Eerste methode ............................................................................................... 23

5.1.2 Tweede methode ............................................................................................ 25

5.2 Variantie van de systeembezetting ........................................................................ 26

Hoofdstuk 6 ............................................................................................................................. 30

Analyse van het verliesproces ................................................................................................ 30

6.1 Verliesproces ............................................................................................................ 30

6.2 Verliesdebiet ............................................................................................................. 32

6.3 Verlieskans ............................................................................................................... 33

Hoofdstuk 7 ............................................................................................................................. 34

Numerieke voorbeelden ......................................................................................................... 34

7.1 Binomiaal aankomstproces ..................................................................................... 34

7.2 ATM-technologie ...................................................................................................... 35

7.3 ATM-schakelelement ............................................................................................... 36

7.4 Verwachtingswaarde van de systeembezetting .................................................... 37

7.5 Variantie van de systeembezetting ......................................................................... 41

7.6 Verlieskans ............................................................................................................... 45

7.7 Stelling van Little ..................................................................................................... 47

Hoofdstuk 8 ............................................................................................................................. 51

De bedrijfscontext ................................................................................................................... 51

Hoofdstuk 9 ............................................................................................................................. 54

Besluit ...................................................................................................................................... 54

Bibliografie .............................................................................................................................. 56

v

Lijst van figuren 1.1 Elementaire structuur van een wachtlijnsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1 Eenvoudig voorbeeld synchrone transmissietijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Voorspelling wereldwijd gebruik internetverkeer 2006-2012 . . . . . . . . . 7

3.1 Structuur van het wachtlijnsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Kans dat de deadline van klant A op het einde van een slot niet verloopt . . 12

3.3 GI/1/1 Wachtlijnsysteem met verschoven geometrische deadline . . . . . . 13

4.1 Toevalsgrootheden en op de tijdsas: illustratie . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.1 Toevalsveranderlijke op de tijdsas: illustratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.1 Een NxN-schakelelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.2 Vereisten van een toepassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.3 Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v de

aankomstintensiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4 Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de

aankomstintensiteit bij en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.5 Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de kans dat een

klant zijn deadline niet verloopt (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.6 Variantie van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit . . . . . . . . 42

7.7 Variantie van de systeembezetting t.o.v. de kans dat een klant zijn

deadline niet verloopt (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.8 Verlieskans bij een wachtlijnsysteem met deadlines t.o.v. de

aankomstintensiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.9 Verlieskans t.o.v. de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt (σ) . . . . 46

7.10 Gemiddelde vertragingstijd t.o.v. de aankomstintensiteit . . . . . . . . . . . . 48

7.11 Gemiddelde vertragingstijd t.o.v. de kans dat de deadline van een

klant niet verloopt (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.1 Voorbeeld van een supply chain keten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

vi

Lijst van tabellen 5.1 Afgeleiden F(z) en Ai(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

Hoofdstuk 1

Inleiding

1.1 Algemeen wachtlijnsysteem

Wachtlijnen zijn een bekend fenomeen in het dagelijkse leven. Iedereen kent de lange

rijen van klanten die wachten op “bediening” bij de slager, de bakker, de bank, de ingang

van een concertzaal of het treinloket. Het begrip “klanten” is in de wachtlijntheorie een

algemene benaming voor entiteiten die in een wachtlijnsysteem binnenkomen en die

bediening nodig hebben. De “inrichting” die de bediening aan deze klanten verstrekt,

wordt in de wachtlijntheorie gewoonlijk als bedieningseenheid aangeduid.

De term “wachtlijn” verwijst naar de plaats waar klanten hun beurt kunnen afwachten

vooraleer ze bediend worden. Een “wachtlijnsysteem” duidt op het geheel van de

bedieningseenheid en de bijhorende wachtlijn.

Figuur 1.1: Elementaire structuur van een wachtlijnsysteem

Een wachtlijn ontstaat wanneer, met de middelen waarover het systeem beschikt, er

meer klanten in het systeem binnenkomen dan dat het systeem kan verwerken. Deze

overbezetting van het systeem is meestal tijdelijk, waardoor het systeem alle wachtende

klanten na verloop van tijd toch kan bedienen.

2

Klanten bieden zich bij het wachtlijnsysteem, voorgesteld in Figuur 1.1, aan om één of

andere vorm van bediening te krijgen. De bedieningseenheid van het wachtlijnsysteem

bestaat uit één of meerdere bedieningsstations die tegelijkertijd kunnen werken. Een

bedieningsstation is een eenheid die één klant tegelijk de gevraagde diensten kan

verstrekken. De wachtlijn waarin klanten terechtkomen als de bedieningseenheid volzet

is, bestaat uit een aantal wachtplaatsen. Elke wachtplaats biedt ruimte voor één

wachtende klant.

Bij het aankomen van klanten in een klassiek wachtlijnsysteem kunnen zich drie

verschillende situaties voordoen. Ten eerste kan een klant aankomen bij een

wachtlijnsysteem en is er nog een bedieningsstation vrij. De klant zal onmiddellijk

bediend worden. Ten tweede kan een klant aankomen bij een wachtlijnsysteem en

vaststellen dat er geen bedieningsstation vrij is. De klant zal moeten wachten. Als laatste

kan het voorkomen dat een klant niet wordt geaccepteerd in het wachtlijnsysteem

omdat de wachtlijn reeds volzet is. Hierbij gaat de klant verloren.

1.2 Wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines

In klassieke wachtlijnsystemen kunnen klanten het systeem pas verlaten indien ze

volledig bediend zijn. In deze masterproef bestuderen we wachtlijnsystemen waarbij

klanten het systeem kunnen verlaten vooraleer ze (volledig) bediend zijn. In deze

masterproef worden namelijk wachtlijnsystemen bestudeerd waarbij de aankomende

klanten ieder een deadline hebben, met andere woorden, iedere klant heeft een

maximum toelaatbare verblijftijd in het wachtlijnsysteem. Wanneer de deadline van een

klant verstrijkt vóór de klant bediend kan worden, moet deze klant het systeem verlaten.

Deze masterproef wil een antwoord bieden op twee onderzoeksvragen. Ten eerste zal

worden nagegaan welke de invloed is van deadlines op wachtlijnsystemen. Belangrijke

prestatiematen daarbij zijn de systeembezetting en het verliesproces. De verschillen en

gelijkenissen met reeds bestudeerde wachtlijnsystemen zullen hier ook gemaakt

worden. Als tweede doelstelling wordt de complexiteit van de wiskundige analyse

nagegaan bij wachtlijnsystemen met deadlines.

3

1.3 De psychologie van “het wachten”

Wachtlijnen kunnen voor de klant zichtbaar of onzichtbaar zijn. Deze twee soorten

wachtlijnen lokken bij de klant een andere “wachtreactie” uit. Het onderstaande geval is

een voorbeeld van een zichtbare wachtlijn waar de klant een deadline heeft tot het begin

van de bediening.

Indien een klant aankomt bij de bank, zal hij/zij eerst kijken hoeveel klanten voor hem

bediend moeten worden. Indien deze geschatte wachttijd minder is dan de tijd die hij/zij

wil wachten vooraleer hij/zij bediend wordt, zal de klant aanschuiven. Indien deze

geschatte wachttijd meer is dan de tijd die deze klant wil wachten, zal de klant meestal

onmiddellijk vertrekken en niet wachten. Eenmaal klanten besloten hebben om aan te

schuiven, gaan ze de rij niet rap verlaten. Naarmate ze dichter bij het bedieningsloket

komen, hebben ze meer geduld en zullen ze gemakkelijker langere bedieningstijden van

klanten die voor hen zijn, tolereren.

Dit geldt echter ook bij klanten met een deadline tot het einde van de bediening. Een

voorbeeld hiervan is terug te vinden bij het downloaden van bestanden. Indien

bestanden in het begin traag binnenkomen, zal de gebruiker waarschijnlijk afhaken.

Indien bestanden eerst rap en erna trager binnenkomen, zal de gebruiker meer geduld

hebben omdat het bestand al voor een deel gedownload is.

Klanten die echter te maken hebben met een onzichtbare wachtlijn zullen meestal niet

meteen het systeem verlaten. Denk maar aan een persoon die belt naar de klantendienst

van een bedrijf. Indien de klant niet meteen binnengeraakt in het callcenter, zal hij/zij

niet meteen opgeven. Na verloop van tijd kan de klant wel ontmoedigd geraken en

afhaken. Deze “wachtreactie” is dus verschillend met de wachtreactie van een klant

waarvoor de wachtlijn wel zichtbaar is, zoals het bovenstaande voorbeeld van de klant

die naar de bank gaat. Dit verschil in reactie bij zichtbare of onzichtbare wachtlijnen

komt enkel voor indien de klanten mensen zijn. Bij pakketten (bijvoorbeeld bits) is hier,

logischerwijs, echter geen verschil.

1.4 Toepassingen

Een wachtlijnsysteem met deadlines kan binnen de bedrijfscontext als model voor tal

van praktische toepassingen gebruikt worden. Denk maar aan het stockeren van

4

bederfbare producten in winkels of distributiecentra. Deze producten mogen niet langer

verkocht worden indien hun houdbaarheidsdatum verstreken is. De houdbaarheids-

datum stelt in dit geval de deadline van de productenverkoop voor.

Naast goederenstromen, die het proces voorstellen van grondstof tot finaal product, zijn

er in bedrijven ook heel wat informatiestromen. Deze zorgen ervoor dat data met

betrekking tot bepaalde producten, productieprocessen, aankopen, verkopen of

marketingacties zo snel mogelijk verstuurd worden naar de betrokken afdeling. Deze

informatiestromen moeten steeds up-to-date zijn, zodanig dat alle afdelingen alles

kunnen opvolgen en zodat ze kunnen inspelen op veranderingen. Informatiestromen

zijn eveneens onderhevig aan deadlines. Enkele voorbeelden zijn real-time toepassingen

en berekeningen, statistische procescontrole en geautomatiseerde fabricage (Movaghar,

On queueing with customer impatience until the beginning of service, 1998). Een

voorbeeld van statistische procescontrole is terug te vinden bij de fabricage van

goederen. Indien foutmeldingen bij een productieproces namelijk niet op tijd worden

doorgegeven aan de operator van een machine, zal de machine na verloop van tijd

blokkeren en gaat er winst verloren. De rol van het internet als hedendaags

telecommunicatienetwerk is bij deze informatiestromen van cruciaal belang. Wanneer

de tijdsvertraging bij de doorstroom van gegevens te hoog oploopt, kan het gebeuren dat

het niet meer zinvol is dat deze gegevens alsnog bij de eindgebruiker terecht komen.

Het optimaliseren van deze wachtlijnsystemen zorgt ervoor dat bedrijven competitief

kunnen blijven binnen hun sector. In deze inleiding gaan we hier niet verder op in.

1.5 Overzicht

In hoofdstuk 2 wordt een beknopte literatuurstudie gegeven met betrekking tot

dergelijke wachtlijnsystemen. Hoofdstuk 3 geeft een korte beschrijving van het

mathematisch model dat in de daaropvolgende hoofdstukken geanalyseerd zal worden.

In hoofdstukken 4 en 5 wordt de systeembezetting onderzocht. In hoofdstuk 6 gaan we

nader in op het berekenen van de verlieskans. Numerieke voorbeelden waarbij enkele

prestatiematen bestudeerd worden, zijn terug te vinden in hoofdstuk 7. In hoofdstuk 8

bespreken we wachtlijnsystemen in de bedrijfscontext en in hoofdstuk 9 trekken we

enkele conclusies.

5

Hoofdstuk 2

Literatuurstudie

2.1 Modellen voor klanten met deadlines

In deze masterproef bestuderen we wachtlijnsystemen waarbij klanten het systeem

kunnen verlaten vooraleer ze (volledig) bediend zijn. De literatuur met betrekking tot

dit onderwerp is beperkt. Toch zijn er heel wat toepassingen te vinden. In de literatuur

wordt vaak verwezen naar het begrip “impatient customers”, hier vrij vertaald als

ongeduldige klanten. Een ongeduldige klant heeft een deadline wanneer hij het

wachtlijnsysteem binnenkomt. Indien de klant niet bediend wordt vooraleer zijn

deadline verloopt, verlaat hij het systeem.

Barrer was één van de eersten die een wachtlijnsysteem met deadlines bestudeerde. Hij

ging hierbij uit van een wachtlijnmodel met Markoviaanse aankomsten

bedieningsprocessen, één bedieningsstation en een first-come-first-served (FCFS)

wachtlijndiscipline. De bestudeerde deadline had een deterministische verdeling

(Barrer, 1957).

In heel wat modellen wordt de deadline algemeen (General) beschouwd. Via numerieke

voorbeelden wordt dan gekeken naar de verschillen tussen specifieke verdelingen voor

deadlines. De deterministisch verdeelde deadline is in deze numerieke voorbeelden het

meest besproken. Enkele voorbeelden zijn terug te vinden in (Cohen, 1968) en (Barrer,

1957). Bij een deterministische verdeling bestaat de deadline van elke klant uit een vast

aantal slots. Naast de deterministisch verdeelde deadline worden in de literatuur ook

nog andere verdelingen onderzocht zoals bijvoorbeeld de exponentiële verdeling uit de

continue tijd (Ancker & Gafarian, 1963).

In de literatuur wordt er een onderscheid gemaakt tussen een deadline tot het begin van

de bediening en een deadline tot het einde van de bediening. In het eerste geval kunnen

klanten die bediend worden niet meer uit het wachtlijnsysteem verwijderd worden

indien hun deadline verstrijkt tijdens de bediening. Zij kunnen enkel het

6

wachtlijnsysteem verlaten indien hun deadline verstreken is vooraleer de werkelijke

bediening begonnen is (Movaghar, On queueing with customer impatience until the

beginning of service, 1998). In het tweede geval loopt de deadline tot het einde van de

bediening en kan de klant op elk moment het wachtlijnsysteem verlaten (Movaghar, On

queueing with customer impatience until the end of service, 2005). De

wachtlijnmodellen die in deze twee werkstukken van Movaghar bestudeerd worden, zijn

van continue aard.

2.2 Discrete-tijd wachtlijnsysteem

Zoals reeds hierboven vermeld, gaan we in deze masterproef uit van een discrete-tijd

wachtlijnsysteem. De discrete tijdsschaal veronderstelt dat de tijd opgesplitst is in

intervallen van een vaste lengte. Deze intervallen worden slots genoemd. Bediening kan

enkel aanvangen op slotgrenzen, waardoor de bediening van een aangekomen klant ten

vroegste kan starten bij het begin van het slot na zijn aankomstslot. De bedieningstijd

wordt eveneens uitgedrukt in een geheel aantal slots, waardoor klanten het systeem

enkel kunnen verlaten op slotgrenzen.

Figuur 2.1: Eenvoudig voorbeeld synchrone transmissietijd

De transmissie van een klant in de discrete tijd begint en eindigt dus steeds op een

slotgrens. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van Figuur 2.1. Een klant komt toe op

tijdstip A. Indien er op dat moment geen andere klanten in de wachtlijn zijn, start de

bediening van deze klant op tijdstip B. Als de bedieningstijd gelijk is aan één slot, verlaat

de klant het systeem op tijdstip C. In de continue tijd kan de bediening van deze klant,

indien er zich geen andere klanten in de wachtlijn bevinden, onmiddellijk beginnen op

tijdstip A. Als de slots echter voldoende klein zijn, kan het discrete-tijd wachtlijnsysteem

ook gebruikt worden als een benadering van gelijkaardige modellen in de continue tijd.

7

De discrete tijdsschaal krijgt steeds meer aandacht van de telecommunicatiesector,

zeker nu de transmissie van informatie steeds sneller en in grotere hoeveelheden

verloopt. Heel wat elementen in dit domein zijn immers gebaseerd op synchrone

transmissie. Denk maar aan de centrale verwerkingseenheid in computersystemen en

de communicatiekanalen die spraak, data of videobeelden versturen. Deze real-time

informatiestromen worden steeds belangrijker voor bedrijven. In het volgende

onderdeel gaan we kort in op deze hedendaagse telecommunicatienetwerken.

2.3 Hedendaagse telecommunicatienetwerken

In telefoonnetwerken kunnen wachtlijnen ontstaan bij telefoonoproepen die op een

vrije lijn in de centrale wachten. Indien klanten te lang moeten wachten om connectie te

krijgen, geraken ze ontmoedigd en hangen ze op. Dit is een klassiek voorbeeld waarbij

twee punten met elkaar verbonden worden. Met de blijvende stijging van het

internetgebruik en de opkomst van 3G smartphones en het mobiel internet, staat de

digitale telecommunicatiewereld voor een nieuwe uitdaging. Communicatiepatronen

evolueren van netwerken waar twee gebruikers persoonlijk met elkaar verbonden zijn

naar multidirectionele netwerken waar verschillende gebruikers met elkaar kunnen

communiceren. Denk maar aan MySpace, Facebook, Youtube and Skype. Deze sociale

netwerken zijn voorbeelden van platformen waar gebruikers onderling meningen, links,

video’s, foto’s en andere multimedia delen. Volgens schattingen zullen er in 2011 meer

dan twee miljard mensen actief gebruik maken van het internet.

Figuur 2.2: Voorspelling wereldwijd gebruik internetverkeer 2006-2012

8

Op Figuur 2.2 is te zien dat in 2012 de verschillende vormen van online video (internet

video to TV, internet video to PC en peer-to-peer netwerken) bijna 90% van het IP-

verkeer zullen innemen (Van den Dam, Nelson, & Lozinski, 2008).

De hedendaagse digitale telecommunicatienetwerken zullen in de toekomst rekening

moeten houden met deze stijgende vraag. Ze zullen er dus voor moeten zorgen dat de

netwerkcapaciteit voldoende groot is om piekmomenten te overbruggen. Gebruikers

kunnen video-bestanden verkrijgen via streaming (Youtube) of via downloaden

(iTunes). Bij streaming moet het bestand niet eerst gedownload worden en kan de

gebruiker bijna onmiddellijk het bestand afspelen. Het mediabestand zal hierdoor wel

nooit volledig bij de gebruiker aanwezig zijn. Bij downloaden kan de gebruiker het

bestand pas afspelen als het volledig binnengehaald is. De tijd die nodig is om

multimediabestanden te streamen of te downloaden is afhankelijk van de totale

capaciteit van de server en het aantal gebruikers die tegelijkertijd deze capaciteit

moeten delen. Indien dit, volgens de gebruiker te traag gaat, zullen klanten afhaken. We

merken hier dus opnieuw het wachtlijnprobleem waarbij klanten deadlines hebben.

In de paper “het online ter beschikking stellen van TV diensten” (Hoβfeld, Leibnitz, &

Remiche, 2007) wordt deze problematiek nader onderzocht. In deze paper gaat men het

effect op de server na van klanten die tijdens de bediening afhaken. Eerst geeft men een

korte uitleg over de online TV diensten die men zal onderzoeken. In een tweede deel

wordt een M/M/1n-model in de continue tijd opgebouwd. De karakteristieken van dit

model zijn: een Poisson-aankomstproces, exponentiële bedieningstijden en één

bedieningseenheid die tot n klanten tegelijk kan bedienen. De bandbreedtebeperking

van de klant zelf is eveneens in rekening gebracht. De wachtlijn voor klanten wordt

oneindig groot beschouwd. Men gaat uit van een exponentieel verdeelde deadline. Dit

model bestudeert men in het derde deel verder aan de hand van numerieke

voorbeelden, waarbij men gegevens van de website OnlineTVRecorder.com gebruikt.

Men besluit dat de kans dat een gebruiker niet afhaakt tijdens het downloaden tot op

een bepaald punt exponentieel toeneemt bij een proportionele stijging van de capaciteit

van de server. De bedoeling van deze paper is nu om dit resultaat te gebruiken om

verdeelnetwerken te ontwerpen met een hogere betrouwbaarheid naar de gebruikers

toe.

9

In de literatuur zijn nog heel wat toepassingen van klanten met deadlines terug te

vinden waar telecommunicatienetwerken worden bestudeerd. Een ander voorbeeld

waar men het effect van “ongeduldige klanten” nagaat, is te vinden in (Garnett, 1998). In

deze thesis onderzoekt Garnett de invloed van “ongeduldige klanten” op de efficiëntie

en het service level in callcenters. Efficiëntie wijst hier naar het minimaliseren van de

kosten, terwijl service level refereert naar de snelheid en dus de kwaliteit waarmee

callcenters hun klanten kunnen bedienen. De studie focust zich op het continue M/M/N

model met exponentiële deadline. Zowel modellen met een eindige als oneindige

opslagcapaciteit worden bestudeerd. In een latere studie (Garnett, Mandelbaum, &

Reiman, 2002) gaat men hier verder op in en leidt men vuistregels af voor de

personeelsplanning van grote callcenters, met als doelstelling de som van

personeelskosten, wachten verlatingskosten van klanten te minimaliseren. Ze

ontwikkelden met andere woorden een model waar men tracht een optimaal evenwicht

te vinden tussen de efficiëntie en het service level in een callcenter. Gebaseerd op deze

en andere werken, bestudeerde Zeltyn ook nog het M/M/N model met algemene

deadlines (Zeltyn, 2004). Onderzoek met betrekking tot de personeelsplanning bij

callcenters is nog steeds aan de gang. Recent kwam nog een paper uit waar men

bovenop het M/M/N model met algemene deadlines, eveneens rekening hield met een

kostenbeperking (Mandelbaum & Zeltyn, 2009).

Nadat we in dit hoofdstuk kort hebben toegelicht wat er reeds te vinden is in de

literatuur, zullen we in het volgende hoofdstuk het wachtlijnmodel beschrijven dat in

deze masterproef onderzocht zal worden.

10

Hoofdstuk 3

Mathematisch model

In dit hoofdstuk beschrijven we het wachtlijnmodel dat we in het vervolg van deze

masterproef zullen analyseren.

3.1 Structuur van het wachtlijnsysteem

We beschouwen een discrete-tijd wachtlijnsysteem met een oneindige opslagcapaciteit

en één bedieningsstation. Dit wachtlijnsysteem wordt voorgesteld in Figuur 3.1.

Figuur 3.1: Structuur van het wachtlijnsysteem

De discrete-tijdsschaal veronderstelt dat de tijd opgesplitst is in intervallen van gelijke

lengte, slots genaamd.

Wachtlijnen worden gebruikt voor de tijdelijke opslag van klanten die wachten op

bediening. Een oneindige opslagcapaciteit van een wachtlijn betekent dat klanten

onbeperkt in het wachtlijnsysteem kunnen aankomen zonder dat klanten verloren gaan

vanwege een vol wachtlijnsysteem. Een oneindige wachtlijn bestaat in werkelijkheid

niet, maar is een realistische benadering voor een systeem met een grote, eindige

wachtlijn die zelden volledig bezet is.

Het bedieningsstation zorgt voor de bediening van een klant. Wachtlijnsystemen

bevatten één bedieningseenheid die uit één of meerdere bedieningsstations bestaan. In

deze masterproef beschouwen we een wachtlijnsysteem met één bedieningsstation.

11

3.2 Aankomstproces

Het aankomstproces beschrijft de mate waarin en de manier waarop klanten aankomen

in het systeem. Aangezien dit proces van een onzekere en onvoorspelbare aard is,

drukken we het proces uit op een stochastische wijze. In deze masterproef

veronderstellen we een ongecorreleerd aankomstproces. Het aantal aankomsten tijdens

slot wordt aangeduid door . De zijn onafhankelijk en identisch gedistribueerd

van slot tot slot. De massafunctie van wordt gedefinieerd als , i.e.,

(3.1)

De distributie van kan eveneens gekarakteriseerd worden aan de hand van een

probabiliteitsgenererende functie (pgf). Deze wordt gedefinieerd als . Hierbij is z

een complexe veranderlijke. De pgf stelt de z-getransformeerde van de

massafunctie voor,

(3.2)

De aankomstintensiteit geeft het gemiddeld aantal aankomsten per slot weer. Deze

bekomen we via de momentgenererende eigenschap: door de pgf eenmaal af te

leiden en z gelijk te stellen aan 1. De aankomstintensiteit wordt aangeduid door de

parameter λ :

= E’(1).

(3.3)

In de numerieke voorbeelden zal het aankomstproces nader gespecificeerd worden

zodanig dat we de invloed van de verschillende systeemparameters op de

prestatiematen kunnen nagaan.

12

3.3 Bedieningsproces

We vertrekken van een systeem met één bedieningsstation zonder onderbrekingen. Er

kan dus slechts één klant per keer bediend worden. De tijdsas is ingedeeld in slots en de

transmissietijd van één klant bedraagt één slot. De bediening kan enkel aanvangen (en

eindigen) op slotgrenzen. Nieuw aankomende klanten worden dus verondersteld ten

vroegste bij het begin van het slot volgend op het aankomstslot bediend te kunnen

worden.

3.4 Wachtlijndiscipline

De term wachtlijndiscipline wordt gebruikt om de volgorde aan te duiden waarin

klanten bediend worden. De wachtlijndiscipline die we in dit wachtlijnmodel hanteren is

First-Come-First-Served (FCFS). De klant die eerst aankomt in het systeem, zal eerst

bediend worden. Naast deze heb je in de literatuur nog tal van andere

wachtlijndisciplines. Enkele voorbeelden zijn Last-Come-First-Served (LCFS),

prioriteitsdiscipline (PR), random selection for service (RSS) en processor sharing (PS).

3.5 Deadlines

Zoals reeds vermeld in de inleiding heeft elke klant een deadline: elke klant die zich in

de wachtlijn bevindt heeft op het einde van ieder slot, zonder hierbij te kijken naar de

toestand van de server, een kans σ om in de wachtlijn te blijven en een kans om

de wachtlijn te verlaten zonder bediend geweest te zijn. Merk op dat aankomende

klanten het systeem niet kunnen verlaten op het einde van hun aankomstslot. Dit wordt

geïllustreerd aan de hand van Figuur 3.2.

Figuur 3.2: Kans dat de deadline van klant A op het einde van een slot niet verloopt

13

We hebben dus een verschoven geometrische deadline. De massafunctie geeft de

kans weer dat de deadline van één klant gelijk is aan n slots:

(3.4)

De bijhorende probabiliteitsgenererende functie wordt hieronder weergegeven:

(3.5)

Aangezien de wachtlijn oneindig groot wordt verondersteld, kunnen eenheden enkel

verloren gaan indien hun deadline verloopt.

3.6 Verkorte notatie discrete-tijd wachtlijnsysteem

Het wachtlijnsysteem dat in deze masterproef bestudeerd wordt, wordt nog eens

geïllustreerd in onderstaande Figuur 3.2.

Figuur 3.3: GI/1/1 Wachtlijnsysteem met verschoven geometrische deadline

We maken hierbij gebruik van de “Kendall-notatie” A’–B–m–K. Deze verkorte notatie

wordt gebruikt om een type wachtlijnsysteem te specificeren. De symbolen A’ en B

verwijzen naar de distributie van de aankomsten en de bediening. We beschouwen

hierbij een algemene discrete aankomstdistributie waarbij de toevalsgrootheden

onderling onafhankelijk zijn. De “Kendall-notatie” kort dit af als GI (general

independent). Aangezien de bedieningstijd van één klant gelijk is aan één slot, kunnen

14

we constateren dat het bedieningsproces een deterministische distributie heeft, wat

afgekort wordt als 1. Het symbool m duidt het aantal parallelle uitgangskanalen aan.

Zoals hierboven reeds vermeld is, bevat dit wachtlijnsysteem slechts één

uitgangskanaal. Het symbool K refereert naar de opslagcapaciteit van het

wachtlijnsysteem. Indien deze grootheid oneindig groot is, wordt K niet opgegeven, wat

hier het geval is. Samengevat geeft dit een GI–1–1 wachtlijnsysteem met verschoven

geometrische deadline.

3.7 Prestatiematen

De grootheden die van belang zijn bij het bestuderen van een dergelijk systeem zijn:

Systeembezetting: het aantal klanten die zich in het systeem bevinden,

Vertragingstijd: de tijd die een klant in het wachtlijnsysteem doorbrengt,

Verliesproces: het aantal klanten die het systeem verlaten vooraleer ze bediend

zijn.

Aangezien het in- en uitgangsproces beschreven is door middel van een discreet

toevalsproces, zijn de hierboven vermelde grootheden ook discrete toevalsgrootheden.

De systeembezetting wordt beschreven in hoofdstuk 4 en 5. De gemiddelde

vertragingstijd wordt in hoofdstuk 7 kort toegelicht aan de hand van de stelling van

Little. Het verliesproces wordt beschreven in hoofdstuk 6.

Kort samengevat vertrekken we bij dit model vanuit een wachtlijnsysteem met een

oneindige wachtlijn, met één uitgangskanaal, een algemeen ongecorreleerd

ingangsproces en bedieningstijden die deterministisch gelijk zijn aan één slot. De

klanten zijn onderhevig aan deadlines, waardoor het mogelijk is dat een klant onbediend

het wachtlijnsysteem verlaat.

15

Hoofdstuk 4

Analyse van de systeembezetting

In dit hoofdstuk wordt het regimegedrag van de systeembezetting bij het begin van een

slot bestudeerd. De systeembezetting geeft het aantal klanten weer die zich in het

systeem bevinden. Eerst stellen we de systeemvergelijking van de systeembezetting op.

Vervolgens zetten we deze systeemvergelijking om naar probabiliteitsgenererende

functies. Daarbij veronderstellen we dat het systeem naar een evenwichtstoestand

evolueert. Deze evenwichtstoestand is alleen bereikbaar als het systeem voldoet aan de

evenwichtsvoorwaarde die zegt dat het gemiddeld aantal inkomende klanten gelijk moet

zijn aan het gemiddeld aantal uitgaande klanten. Tenslotte bepalen we een numerieke

procedure om de onbekende constante te berekenen. In hoofdstuk 5 leiden we de

eerste twee momenten van de systeembezetting af met de daarbij horende variantie. In

hoofdstuk 7 bestuderen we het effect van de systeemparameters op de gemiddelde

systeembezetting en de variantie van de systeembezetting.

4.1 Systeemvergelijking

We duiden de systeembezetting bij het begin van slot k aan met . De

probabiliteitsgenererende functie van is gedefinieerd als:

(4.1)

De systeembezetting evolueert van slot k naar slot volgens:

(4.2)

16

Deze toevalsgrootheden worden op de tijdsas voorgesteld in onderstaande Figuur 4.1.

Figuur 4.1: Toevalsgrootheden en op de tijdsas: illustratie

De toevalsgrootheid neemt de waarde 1 aan als de klant in het systeem blijft op het

einde van slot en de waarde 0 als de klant het systeem verlaat op het einde van het

slot. Elke klant die zich in de wachtlijn bevindt, heeft een deadline die op het einde van

slot k met kans verstrijkt. In dat geval verlaat de klant het systeem zonder

bediend te zijn. Anderzijds heeft elke klant een kans σ om, op het einde van slot k, in het

systeem te blijven. De massafunctie wordt dus gedefinieerd als:

(4.3)

De zijn onafhankelijke Bernoulli-toevalsgrootheden met parameter σ. Aangezien de

onafhankelijk en identisch verdeeld zijn, kunnen we de gemeenschappelijke

probabiliteitsgenererende functie definiëren:

(4.4)

De notatie , die deel uitmaakt van de systeemvergelijking, wordt gebruikt om

de grootheid aan te duiden. Van alle klanten die zich bij het begin van

slot in het systeem bevinden , als er tenminste klanten aanwezig zijn op het einde

van het voorgaande slot, gaat er één naar het bedieningsstation. Elke overige klant blijft

in het systeem met kans σ en verlaat het systeem met kans De term

geeft dan het aantal klanten weer die in het systeem zijn op het einde van

slot . Deze term is gelijk aan 0 indien er zich bij de aanvang van slot geen klanten in

de wachtlijn bevinden of doordat de deadline van alle klanten in de wachtlijn verstrijkt.

17

Daarnaast komen in slot ook nieuwe klanten toe. Zij worden in de systeemvergelijking

weergegeven door de discrete toevalsveranderlijke . De rij vormt, bij

onderstelling, een rij van onafhankelijk gelijk verdeelde toevalsgrootheden met

algemene massafunctie en genererende functie . Deze werden reeds in het

vorige hoofdstuk (vergelijking 3.1) beschreven, i.e.,

(4.5)

4.2 Regimegedrag systeembezetting

Uitgaande van de systeemvergelijking (4.2) en de gekende distributies van en kan

de distributie van de systeembezetting bepaald worden. Daarvoor zetten we de

systeemvergelijking om naar pgfs:

(4.6)

of wegens de statistische onafhankelijkheid van het aankomstproces van slot tot slot,

(4.7)

De eerste factor van (4.7) wordt hieronder verder berekend met behulp van de wet voor

de totale verwachtingswaarde:

Met leidt dit verder tot:

18

(4.8)

De tweede factor van vergelijking (4.7) is de genererende functie die het

ingangsproces weergeeft. Door het samenvoegen van voorgaande berekeningen,

bekomen we:

(4.9)

Indien we de tijdsparameter onbeperkt laten toenemen in vergelijking (4.9),

convergeren de genererende functies en beiden naar de limietfunctie

. Op die manier vinden we de volgende functionele vergelijking voor de pgf van de

systeembezetting bij het begin van een willekeurig slot in stochastisch regime:

(4.10)

Om verdere berekeningen leesbaarder te maken wordt gedefinieerd als:

Hierdoor kunnen we vergelijking (4.10) herschrijven als:

(4.11)

19

Deze functionele vergelijking is eigenlijk niets anders dan een relatie tussen en

. We gebruiken nu deze relatie om impliciet te bepalen, via een iteratieve

procedure. Hiervoor definiëren we eerst :

(4.12)

Gebruik makend van de definitie van kunnen we nu herschrijven als:

(4.13)

In vergelijking (4.13) werken we volledig uit, weergegeven in het rood:

(4.14)

In vergelijking (4.14) werken we nu volledig uit, weergegeven in het groen:

+

(4.15)

20

In vergelijking (4.15) kan nu volledig uitgeschreven worden. Via deze

iteratieve procedure bekomen we dan uiteindelijk het volgende resultaat:

(4.16) Voor geldt verder dat:

(4.17)

(4.16) wordt dan:

(4.18)

Rekening houdend met het feit dat de limiet voor 1 gaande naar oneindig van naar

1 gaat doordat σ tussen 0 en 1 ligt, i.e.,

(4.19)

21

We krijgen uiteindelijk, samen met het invullen van de normeringsvoorwaarde

, het volgend resultaat:

(4.20)

Vanuit deze vergelijking, waarbij afgezonderd is in het linkerlid, is het nu mogelijk

om de onbekende constante te berekenen. In hoofdstuk 5 zullen we deze

vergelijking verder gebruiken als vertrekpunt voor het berekenen van de eerste twee

momenten van de systeembezetting.

4.3 Bepaling onbekende constante

Door in vergelijking (4.20) gelijk te stellen aan 0, bekomen we voor :

(4.21)

We stellen echter vast dat de term naar 1 convergeert voor een grote waarde van ,

want

(4.22)

en dus voor grote waarden van i. Als gevolg hiervan zal de term

eveneens naar 1 convergeren voor een grote waarde van . Stel voor dat

, dan wordt :

(4.23)

(4.24)

22

Hierdoor hoeven we het product van de termen voor lopende van 0 tot

enkel te laten lopen tot de waarde aangezien dit toch geen effect zal hebben op het

resultaat en de berekening enkel bemoeilijkt wordt.

geeft de kans weer op een ledig systeem. Deze is afhankelijk van het

aankomstproces en de waarde voor σ. Aangezien de term deel uitmaakt van de

systeembezetting, zullen we vergelijking (4.24) in hoofdstuk 7 nodig hebben bij de

numerieke voorbeelden.

23

Hoofdstuk 5

Momenten van de systeembezetting

In dit hoofdstuk worden de eerste twee momenten van de systeembezetting berekend,

waaruit we de gemiddelde systeembezetting en de variantie van de systeembezetting

bepalen. In hoofdstuk 7 zullen we deze formules gebruiken bij de numerieke

voorbeelden.

5.1 Gemiddelde waarde van de systeembezetting

5.1.1 Eerste methode

De gemiddelde systeembezetting kan op twee manieren berekend worden. Eerst

berekenen we de gemiddelde systeembezetting aan de hand van de functionele

vergelijking (4.11). We zonderen daarvoor af:

(5.1)

Vervolgens vervangen we door :

(5.2)

Indien we in vergelijking (5.2) gelijk stellen aan 1, zijn zowel de noemer als de teller 0.

Met behulp van de regel van de l’Hôpital bekomen we uiteindelijk het volgend resultaat:

(5.3)

24

Indien we in deze vergelijking z gelijk stellen aan 1 bekomen we:

(5.4) Door gebruik te maken van de definitie van , i.e.,

(5.5)

Kunnen we vergelijking (5.4), rekening houdend met en , als volgt

schrijven:

(5.6)

Als we afzonderen, bekomen we een formule voor de gemiddelde

systeembezetting:

(5.7)

Dit is een eenvoudige manier om de gemiddelde systeembezetting te berekenen. Via

deze manier is het echter wel niet mogelijk om de variantie van de systeembezetting te

berekenen.

25

5.1.2 Tweede methode

Ten tweede kan de gemiddelde systeembezetting berekend worden, vertrekkende

van vergelijking (4.11), die we hieronder nog eens neerschrijven:

(5.8)

Na enig rekenwerk leidt dit tot de volgende afgeleide:

(5.9)

Later in dit hoofdstuk zullen we verder bouwen op deze formule om de variantie van de

systeembezetting te berekenen. Uit vergelijking (5.9) kan verder de gemiddelde

systeembezetting berekend worden, door in deze vergelijking te stellen:

(5.10) Zoals verwacht zijn vergelijkingen (5.7) en (5.10) gelijk aan elkaar.

26

5.2 Variantie van de systeembezetting

De variantie van de systeembezetting kunnen we berekenen via volgende formule:

(5.11)

De laatste twee termen kunnen we aan de hand van vergelijking (5.7) gemakkelijk

berekenen. De eerste term is de tweede afgeleide van , voor . De berekening

van deze term is nogal complex en wordt hieronder weergegeven.

Om de tweede afgeleide van te berekenen vertrekken we vanuit (5.9),i.e.,

We leiden deze vergelijking nogmaals af:

(5.12)

27

Vervolgens stellen we z gelijk aan 1 in vergelijking (5.10):

(5.13)

Voor de functies en geldt dat:

Tabel 5.1: Afgeleiden F(z) en Ai(z)

28

Met behulp van Tabel (5.1) kan vergelijking (5.13) vereenvoudigd worden tot de

volgende uitdrukking:

(5.14)

De term kunnen we als volgt uitwerken:

(5.15)

De term kan op een gelijke manier uitgewerkt worden:

(5.16)

29

Dit geeft de volgende vergelijking voor :

(5.17)

De variantie van de systeembezetting bekomen we uiteindelijk door:

(5.18) Mits enige vereenvoudiging wordt dit:

(5.19)

30

Hoofdstuk 6

Analyse van het verliesproces

6.1 Verliesproces

Om het verliesproces te bestuderen, bekijken we eerst wanneer klanten op het eind van

een slot in het systeem blijven en wanneer ze het systeem verlaten. Van alle klanten die

zich bij het begin van slot in het systeem bevinden, als er tenminste klanten aanwezig

zijn, gaat er één naar het bedieningsstation. Elke overige klant die zich bij het begin van

slot in het systeem bevindt, heeft een deadline die op het einde van het slot met kans

verstrijkt waarbij de klant het systeem verlaat zonder bediening. Elke klant

heeft dus een kans σ dat zijn deadline nog niet verstrijkt op het einde van slot en σ

geeft dus de kans weer dat de klant in het systeem blijft. We definiëren als een

toevalsgrootheid die weergeeft of een klant het systeem verlaat op het einde van een

slot. De toevalsgrootheid neemt de waarde 1 aan als de klant het systeem verlaat en

de waarde 0 als de klant in het systeem blijft. Merk op dat deze toevalsgrootheid het

complement voorstelt van de toevalsgrootheid (zie supra 4.1). De massafunctie

wordt gedefinieerd als:

(6.1)

De zijn onafhankelijke Bernoulli-toevalsgrootheden met parameter .

Aangezien de onafhankelijk en identisch verdeeld zijn, kunnen we een

gemeenschappelijke pgf definiëren:

(6.2)

31

Om het verliesproces te bepalen, stellen we de toevalsgrootheid op. De

toevalsgrootheid geeft het aantal klanten weer dat verloren gaat in slot :

(6.3)

De toevalsveranderlijke wordt visueel op de tijdsas voorgesteld in Figuur 6.1. De

andere toevalsveranderlijken uit Figuur 6.1 zijn in hoofdstuk 4 gedefinieerd.

Figuur 6.1: Toevalsveranderlijke op de tijdsas: illustratie.

De term geeft het totaal aantal klanten weer die in het systeem waren in

het begin van slot k en waarvan hun deadline verstrijkt op het einde van slot . Deze

term is gelijk aan 0 indien er zich bij de aanvang van slot geen klanten in de wachtlijn

bevinden of indien de deadline van alle klanten in de wachtlijn verstrijkt.

Hieronder wordt weergegeven hoe de probabiliteitsgenererende functie L(z) wordt

bekomen:

(6.4)

32

Met wordt dit:

(6.5)

Deze vergelijking geeft het regimegedrag weer van het aantal klanten dat verloren gaat

op het einde van een willekeurig slot. Alle factoren uit deze vergelijking zijn gekend.

6.2 Verliesdebiet

Het verliesdebiet geeft het gemiddeld aantal klanten weer die verloren gaan in een

willekeurig slot in regime. Het wordt berekend aan de hand van de volgende formule:

(6.6) Door eenmaal af te leiden, vinden we:

(6.7) Als we in deze uitdrukking gelijk stellen aan 1, leidt dit tot:

(6.8) Indien we in deze berekening invullen, geeft dit:

(6.9)

33

6.3 Verlieskans

De verlieskans geeft de fractie weer van het aantal klanten die verloren gaan in een slot.

De verlieskans geeft dus de verhouding van het verliesdebiet op de aankomstintensiteit

weer:

(6.10)

Op het eerste zicht lijkt het dat de parameter σ geen invloed heeft op de verlieskans. Dit

is echter maar schijn. Via de constante is dit namelijk wel het geval. De verlieskans

varieert echter indien verschillende waarden van λ en σ optreden. We zullen dit in het

volgende hoofdstuk aan de hand van numerieke voorbeelden illustreren.

34

Hoofdstuk 7

Numerieke voorbeelden

In dit hoofdstuk worden de resultaten uit de vorige hoofdstukken toegepast.

7.1 Binomiaal aankomstproces

We beschouwen een binomiale aankomstdistributie met parameters N en . Deze

distributie wordt gekenmerkt door de massafunctie,

(7.1) en de probabiliteitsgenererende functie,

(7.2)

Figuur 7.1: Een NxN-schakelelement

Deze distributie beschrijft het aankomstproces in een uitgangswachtlijn van een ATM-

schakelelement met N ingangslijnen en N uitgangslijnen (Figuur 7.1). In dit onderdeel

leggen we eerst kort uit wat ATM in het algemeen is. Daarna lichten we één ATM-

schakelelement toe, dat zich in een ATM-netwerk bevindt. Binnen de ATM-technologie

spreekt men niet over klanten, maar over cellen. In deze masterproef nemen we deze

terminologie enkel over bij de uitleg van de ATM-technologie en het ATM-

35

schakelelement. Om consistent te blijven met de berekeningen in de rest van deze

masterproef, zullen we bij de bespreking van de gemiddelde systeembezetting, de

variantie van de systeembezetting, de verlieskans en de gemiddelde vertragingstijd,

terug gebruik maken van het begrip “klant”.

7.2 ATM-technologie

ATM-technologie is een techniek om breedbandnetwerken te implementeren.

Breedbandnetwerken zijn communicatielijnen die tegelijkertijd verschillende

multimedia-toepassingen kunnen ondersteunen. Een ATM-netwerk bestaat uit

verschillende ATM-schakelelementen die met elkaar verbonden zijn. Het aantal poorten

van een schakelelement is beperkt. ATM wordt hierdoor niet gebruikt tussen

eindstations (individuele gebruikers), maar voor verkeer tussen centrales onderling.

Voor de verspreiding van ATM-verkeer op grote schaal, maakt men onder andere

gebruik van het welgekende ADSL.

Figuur 7.2: Vereisten van een toepassing

36

Zoals te zien is op Figuur 7.2 kunnen toepassingen met verschillende vereisten,

uitgedrukt in duurtijd (seconden) en snelheid (bits per seconde), ondersteund worden

door ATM. “High quality video” vereist de langste continue stroom van gegevens over

het netwerk aan een snelheid van ongeveer 1 Gbps (Gigabits per seconde). “High quality

video” is een real-time multimedia toepassing. Real-time multimedia vereist een hoge

bandbreedte waar er bij het transporteren slechts een kleine vertraging wordt

toegelaten. De tijd die een cel dus krijgt om van bron tot bestemming te geraken wordt

beperkt door een deadline, die de maximale tijd weergeeft. Een cel die na deze deadline

op zijn bestemming komt, is waardeloos. Er zijn twee oplossingen: ofwel moet er aan de

verbinding een voldoende grote bandbreedte toegekend worden zodanig dat de

tijdslimiet zeker gehaald wordt en de vertraging voldoende klein is; ofwel moet men

gebruik maken van priorititeitsdisciplines waarbij cellen op basis van hun deadline

voorrang krijgen ten opzichte van andere cellen (Ferdi).

7.3 ATM-schakelelement

Een specifiek onderdeel van een ATM-netwerk is een ATM-schakelelement. Een

schakelelement heeft een aantal ingangslijnen en een aantal uitgangslijnen. Cellen

komen bij elke ingang aan met een snelheid van maximum één cel per slot. De

aankomsten aan de ingangslijnen worden gegenereerd door i.i.d. Bernoulli-processen

met aankomstintensiteit λ. Inkomende cellen worden dan gerouteerd naar de

uitgangslijn die overeenstemt met hun bestemming, op een onafhankelijke en uniforme

wijze. Het schakelelement zorgt er dus voor dat de cellen die aankomen worden

doorgestuurd naar de juiste uitgang. Aangezien er in hetzelfde slot, door de

aanwezigheid van verschillende ingangen, meerdere cellen kunnen aankomen voor

eenzelfde uitgangslijn, kan er een conflict ontstaan. Cellen zullen in een bufferruimte

voor de uitgang moeten wachten. Alle uitgangsbuffers gedragen zich onderling identiek

doordat inkomende cellen, zoals reeds vermeld, op een onafhankelijke en uniforme

wijze naar deze buffers gerouteerd worden. In dit hoofdstuk zal slechts één

uitgangsbuffer, weergegeven door de rechthoek met stippellijn op Figuur (7.1),

geanalyseerd worden. Het mathematisch model dat beschreven werd in hoofdstuk 3

wordt op deze uitgangsbuffer toegepast. Aankomende cellen kunnen tijdelijk opgeslagen

worden in deze buffer. De wachtlijndiscipline in deze buffer is First-In-First-Out (FIFO).

37

Aankomende cellen in deze uitgangsbuffer worden gegenereerd volgens een binomiaal

aankomstproces. We beschouwen een 16x16-schakelelement.

In het vervolg van dit hoofdstuk wordt het effect van deadlines onderzocht op enkele

performantiematen. Achtereenvolgens worden de gemiddelde waarden van de

systeembezetting, de variantie van de systeembezetting, de verlieskans en de

gemiddelde vertragingstijd besproken. Hierbij zullen we ook de verschillen bekijken

tussen wachtlijnen waarbij klanten geen deadline hebben en tussen wachtlijnen waar

klanten wel een deadline hebben. Dit gebeurt aan de hand van grafieken. Deze grafieken

werden bepaald via een numerieke methode, waarbij voor iedere waarde van de x-as in

de figuur een y-waarde moest gevonden worden.

7.4 Verwachtingswaarde van de systeembezetting

De verwachtingswaarde van de systeembezetting werd in hoofdstuk 5 gedefinieerd als

het gemiddeld aantal klanten die zich in het systeem bevinden bij het begin van een slot.

De formule die de gemiddelde systeembezetting weergeeft, is:

(7.3)

De gemiddelde systeembezetting wordt dus bepaald door de parameters λ, σ en .

De aankomstdistributie heeft niet alleen een invloed op via de aankomstintensiteit

λ, maar ook via . Indien we namelijk van naderbij bekijken:

(7.4)

dan merken we op dat de aankomstverdeling verborgen zit in de term . In het

vervolg van dit onderdeel zullen we de invloed van de aankomstintensiteit en van de

parameter op de gemiddelde systeembezetting nagaan.

In Figuur 7.3 wordt de verwachtingswaarde van de systeembezetting weergegeven in

functie van de aankomstintensiteit λ. In deze figuur zullen we verschillende waarden

van de parameter σ bekijken. We vergelijken wachtlijnsystemen met deadlines voor de

38

volgende waarden . Hiernaast vergelijken we ook met een

wachtlijnsysteem zonder deadline.

Figuur 7.3: Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit

Figuur 7.3 toont duidelijk de invloed van een wachtlijnsysteem waarbij klanten een

deadline hebben. In een model waar klanten het systeem niet kunnen verlaten

(grafieklijn 6) kan, naarmate de aankomstintensiteit naar 1 gaat, de server enorm

overladen geraken. Het systeem wordt instabiel en de wachtlijn blijft maar groeien.

Indien de aankomstintensiteit gelijk is aan één, gaat de gemiddelde systeembezetting

zelfs naar oneindig. Wanneer klanten het systeem wel kunnen verlaten vooraleer ze

bediend worden, gaat de gemiddelde systeembezetting niet naar oneindig. Dit schaadt

echter wel het service level van de klanten waarvan hun deadline verlopen is. Ze zijn

immers niet bediend. Hierdoor vermindert de systeembezetting wel, waardoor andere

klanten die zich nog in de wachtlijn bevinden, rapper bediend kunnen worden. Bij

λ

Wachtlijnsystemen met deadline (1) (2) (3) (4) (5)

Wachtlijnsysteem zonder deadline (6)

39

wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines moet men dus rekening houden met de

trade-off tussen efficiëntie en service level. De efficiëntie wijst hier op de tijd dat het

systeem nodig heeft om al het onuitgevoerd werk uit te voeren. Het service level wijst

hier op het verliesproces. We gaan hier verder op in bij het onderdeel m.b.t. de

verlieskans.

Fig 7.4: Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit bij en

De gemiddelde systeembezetting van een wachtlijnsysteem zonder deadlines is steeds,

onafhankelijk van de aankomstintensiteit, groter dan deze van een wachtlijnsysteem

met deadlines. Voor heel lage aankomstintensiteiten merken we dit verschil amper. Dit

komt omdat er weinig klanten in de wachtlijn moeten plaatsnemen. Vanaf een

aankomstintensiteit van 0.2, merken we dat de gemiddelde systeembezetting van een

wachtlijnsysteem zonder deadlines lichtjes aan exponentieel toeneemt naarmate de

aankomstintensiteit verhoogt.

Wachtlijnsystemen met deadline (1) (2)

λ

40

Bij de wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines merken we op dat naarmate de

parameter σ groter wordt, de gemiddelde systeembezetting van de wachtlijnsystemen

met deadlines toeneemt. Indien we de parameter σ echter gelijk zouden stellen aan 0

(Figuur 7.4), zouden klanten het systeem na 1 slot verlaten. Indien ze dus niet

onmiddellijk bediend worden na het einde van hun aankomstslot, verlaten ze het

systeem zonder bediening. De grafiek, waarbij (grafieklijn 1), neemt lineair toe

naarmate de aankomstintensiteit toeneemt en de gemiddelde systeembezetting zal voor

gelijk zijn aan 1. Dit resultaat kunnen we ook uit Formule 7.3 halen. Indien in deze

formule , is . De toename van de gemiddelde systeembezetting is dus

identiek aan de toename van de gemiddelde systeembezetting, aangezien de

richtingscoëfficiënt van deze rechte gelijk is aan 1. Bij de waarde (grafieklijn 2)

merken we een lichte stijging. Klanten blijven immers met 10% kans in het systeem na

het verloop van een slot.

Figuur 7.5: Verwachtingswaarden van de systeembezetting t.o.v.

de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt (σ)


σ

41

Bij een evenredige stijging van de waarde van sigma met sprongen van 0.2, merken we

dat de stijging van de gemiddelde systeembezetting meer dan evenredig toeneemt

(Figuur 7.3). De grafieken met waarden en liggen dichter bij elkaar dan

de grafieken met waarden en . Deze toename vergroot naarmate de

aankomstintensiteit toeneemt. Als de aankomstintensiteit toeneemt, merken we ook op

dat bij (grafieklijn 5) de curve lichtjes exponentieel toeneemt, net als bij een

wachtlijnsysteem zonder deadlines (grafieklijn 6), maar dan in mindere mate. Dit komt

omdat slechts bij 10% van de klanten de deadline verstrijkt vooraleer ze bediend zijn.

Op Figuur 7.5 is de gemiddelde systeembezetting weergegeven ten opzichte van

parameter σ die de kans weergeeft dat de deadline van een klant niet verloopt. Deze

grafiek is opgemaakt voor verschillende waarden van de aankomstintensiteit, namelijk:

. Als de kans dat de klant zijn deadline niet verloopt klein is

( ), zal de waarschijnlijkheid dat de klant het systeem verlaat vooraleer hij

bediend is, groot zijn. Hierdoor gaan veel klanten verloren en blijft de gemiddelde

systeembezetting relatief laag. We kunnen dit systeem niet vergelijken met een systeem

zonder deadline aangezien klanten hier immers een kans hebben om in het

systeem te blijven. Het is bij deze wachtlijnsystemen dus onmogelijk om de waarde

sigma te laten variëren.

7.5 Variantie van de systeembezetting

De variantie van de systeembezetting werd in hoofdstuk 5 aan de hand van de volgende

formule gedefinieerd:

(7.5)

42

Deze is dus afhankelijk van de parameters σ, λ, en De laatste term, , is

het tweede moment van het aankomstproces. Deze term geeft de onregelmatigheid in

het aankomstproces weer. Hieronder bespreken we nu enkele grafieken die de variantie

van de systeembezetting weergeven in functie van de aankomstintensiteit λ en de

parameter σ die de kans weergeeft dat een klant in het systeem blijft.

In Figuur 7.6 wordt de variantie van de systeembezetting in functie van de

aankomstintensiteit λ weergegeven. In deze figuur zullen we verschillende waarden van

de parameter σ bekijken. We vergelijken wachtlijnsystemen met deadlines voor de

volgende waarden . Hiernaast vergelijken we ook met een

wachtlijnsysteem zonder deadline.

Figuur 7.6: Variantie van de systeembezetting t.o.v. de aankomstintensiteit



λ

43

Figuur 7.6 toont de invloed van een wachtlijnsysteem waarbij klanten een tijdslimiet

hebben. De variantie van de systeembezetting in een model waar klanten het systeem

niet kunnen verlaten (grafieklijn 6), is bij lage waarden van de aankomstintensiteit

kleiner dan bij wachtlijnsystemen met deadlines. Naarmate de aankomstintensiteit

toeneemt, neemt de variantie van de systeembezetting bij een wachtlijnsysteem zonder

deadlines exponentieel toe. Op een bepaald moment kruist deze grafiek alle andere

grafieken. Hierbij wordt grafieklijn 1, waar de waarde , eerst gekruist. Bij deze

grafiek is de variantie op de systeembezetting immers het kleinst aangezien de

gemiddelde systeembezetting amper de waarde 1 overschrijdt. Naarmate de

aankomstintensiteit naar 1 gaat, zal de server van een wachtlijnsysteem zonder deadline

enorm overladen geraken. Het systeem wordt instabiel en de wachtlijn blijft maar

groeien. Indien de aankomstintensiteit gelijk is aan één, gaat de variantie van de

systeembezetting zelfs naar oneindig. Dit concludeerden we eveneens bij de gemiddelde

systeembezetting van wachtlijnsystemen zonder deadlines. Doordat klanten het systeem

wel kunnen verlaten, gaat de variantie van de systeembezetting niet naar oneindig. Het

systeem blijft stabiel.

Bij de wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines merken we op dat naarmate de

parameter σ groter wordt, de variantie van de systeembezetting van wachtlijnsystemen

met deadlines toeneemt. De conclusies hieromtrent zijn dezelfde als bij de gemiddelde

systeembezetting.

Bij een evenredige stijging van de waarde sigma met sprongen van 0.2, merken we dat

de stijging van de variantie van de systeembezetting meer dan evenredig toeneemt

(Figuur 7.6). De grafieken met waarden en liggen dichter bij elkaar dan

de grafieken met waarden en . Deze toename vergroot naarmate de

aankomstintensiteit toeneemt. Verder merken we ook op dat bij de curve

(grafieklijn 5) ook lichtjes exponentieel toeneemt naarmate de aankomstintensiteit λ

toeneemt, net zoals bij een wachtlijnsysteem zonder deadlines, maar dan in mindere

mate.

Op Figuur 7.7 is de variantie van de systeembezetting weergegeven ten opzichte van

parameter σ die de kans weergeeft dat de deadline van een klant niet verloopt. Deze

grafiek is opgemaakt voor verschillende waarden van de aankomstintensiteit, namelijk:

44

. We kunnen dit systeem niet vergelijken met een systeem

zonder deadline aangezien klanten hier immers een kans hebben om in het

systeem te blijven. We merken hier op dat de variantie bij de grafieken met lage

aankomstintensiteit ( ) maar heel lichtjes toeneemt naarmate de

parameter σ toeneemt. De beginwaarde van deze grafieken is bij een hogere

aankomstintensiteit wel steeds iets groter.

Fig 7.7: Variantie van de systeembezetting t.o.v. de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt (σ)

Bij grafieklijn 4, waar , merken we een lichte exponentiële toename bij stijgende

σ. Bij grafieklijn 5, waar , is dit verschil nog veel duidelijker. We merken hier

zelfs op dat de variantie blijft toenemen naarmate σ naar 1 gaat. Dit stemt immers bijna

overeen met een wachtlijnsysteem waar klanten geen deadlines hebben. De kans dat een

σ


45

klant namelijk in het systeem blijft, is 90%. Dit verklaart het asymptotisch gedrag van

deze grafieken bij .

7.6 Verlieskans

De verlieskans werd in hoofdstuk 6 gedefinieerd als de fractie klanten die verloren gaan

in een slot. De verlieskans geeft de verhouding van het verliesdebiet op de

aankomstintensiteit weer:

(7.6)

Aangezien de gemiddelde aankomstintensiteit, ongeacht de aankomstdistributie, steeds

gelijk is aan λ, lijkt de aankomstverdeling verder niet direct een invloed te hebben op de

verlieskans van een wachtlijnsysteem met deadlines. Zoals reeds vermeld bij de

gemiddelde systeembezetting, heeft de aankomstverdeling via echter toch een

invloed op de verlieskans. De parameter σ heeft eveneens via de term een invloed

op de verlieskans. In het vervolg van dit onderdeel zullen we de invloed van de

aankomstintensiteit λ en van de parameter op de verlieskans nagaan.

Op Figuur 7.8 is de verlieskans uitgezet in functie van de aankomstintensiteit. We

merken hierbij op dat de verlieskans op alle grafieken, ongeacht de waarde van de

parameter σ, stijgt naarmate de aankomstintensiteit toeneemt. Wanneer de waarde van

de parameter toeneemt, daalt de verlieskans. Dit is logisch aangezien klanten bij een

hogere σ meer kans hebben dat hun deadline niet verloopt, waardoor er dus minder

klanten verloren gaan. Deze klanten hebben dan ook meer kans dat ze effectief bediend

worden. Bij de waarden en neemt de verlieskans degressief toe

naarmate de aankomstintensiteit toeneemt. Bij de waarde neemt de verlieskans

lineair toe naarmate de aankomstintensiteit toeneemt. Bij de waarden en

neemt de verlieskans progressief toe naarmate de aankomstintensiteit

toeneemt.

46

Figuur 7.8: Verlieskans bij een wachtlijnsysteem met deadlines t.o.v. de aankomstintensiteit

Figuur 7.9: Verlieskans t.o.v. de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt (σ).


verlieskans


verlieskans

λ

47

Op Figuur 7.9 is de verlieskans weergegeven ten opzichte van de kans dat de deadline

van een klant niet verloopt. Alle grafieken, ongeacht de aankomstintensiteit, nemen

meer dan evenredig af naarmate de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt,

toeneemt. Dit is ook logisch aangezien er hierdoor meer klanten effectief zullen bediend

worden. Bij is de verlieskans nul. Alle klanten blijven hier immers in het systeem

aangezien ze geen deadline hebben. Naarmate de verschillende grafieken een hogere

aankomstintensiteit hebben, zullen meer klanten verloren gaan, aangezien de wachtlijn

langer zal zijn en de deadlines van de klanten dezelfde distributie behouden.

7.7 Stelling van Little

Een van de meest fundamentele stellingen uit de wachtlijntheorie is de “Stelling van

Little”. Deze stelling geeft, indien het wachtlijnsysteem zich in regimetoestand bevindt,

een verband weer tussen de gemiddelde vertragingstijd van klanten in het systeem en

het gemiddeld aantal klanten aanwezig in het wachtlijnsysteem. Dit geldt voor ieder

willekeurig wachtlijnsysteem. Dit wil zeggen dat men geen rekening hoeft te houden met

de distributie van het in- en uitgangsproces, het aantal in- en uitgangskanalen, de

opslagcapaciteit, de wachtlijndiscipline van het systeem, enzoverder. Men moet er enkel

voor zorgen dat de volgende grootheden betekenisvol zijn: de aankomstintensiteit λ, de

gemiddelde systeembezetting en de gemiddelde vertragingstijd . Dit is het

geval indien deze grootheden een zekere mate van stationariteit vertonen, wat zeker

geldt voor een wachtlijnsysteem in regime.

De gemiddelde systeembezetting geeft het gemiddeld aantal klanten weer die zich

in het systeem bevinden. De gemiddelde aankomstintensiteit geeft het gemiddeld

aantal klanten aan die per slot in het systeem binnenkomen. In wachtlijnsystemen met

deadlines geldt de stelling van Little als je de vertragingstijd definieert als de verblijftijd

van een klant in het systeem. Zo wordt er ook rekening gehouden met klanten die hun

deadline niet halen, maar die wel een zekere tijd in het systeem verblijven. De stelling

van Little geldt bij deze wachtlijnsystemen niet als je de vertragingstijd van een klant

definieert als het aantal slots tussen het einde van z'n aankomstslot en het einde van het

slot waarin de klant effectief bediend wordt. In dat geval reken je dus de klanten die hun

deadline niet halen, niet mee in de vertragingstijd. Je rekent hier enkel de klanten die

effectief bediend zijn mee. De gemiddelde vertragingstijd moet dus gelijk zijn aan

48

de gemiddelde verblijftijd van een klant, ongeacht of hij wel/niet bediend is. De stelling

van Little wordt dan als volgt gedefinieerd:

(7.7) Hieruit kunnen we de gemiddelde vertragingstijd afleiden:

(7.8)

Als laatste zullen we nog even de gemiddelde vertragingstijd ten opzichte van de

parameters λ en σ bekijken.

Figuur 7.10: Gemiddelde vertragingstijd t.o.v. de aankomstintensiteit

Op Figuur 7.10 is de gemiddelde vertragingstijd uitgezet in functie van de

aankomstintensiteit. Om te kunnen vergelijken met een wachtlijnsysteem zonder

λ



49

deadlines, wordt ook de gemiddelde vertragingstijd voor dit wachtlijnsysteem getoond.

De waarde voor de wachtlijnsystemen met deadlines is voor de verschillende

grafieken gelijk aan: 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 en 0.9. We kunnen hierbij concluderen dat de

gemiddelde vertragingstijd toeneemt naarmate de waarde σ toeneemt. Dit komt omdat

klanten bij een hogere σ een grotere kans hebben dat hun deadline niet verloopt. Ze

hebben hier dus meer kans om in het systeem te blijven.

Op Figuur 7.11 zien we de gemiddelde vertragingstijd ten opzichte van de kans dat een

klant zijn deadline niet verloopt (parameter σ). Deze grafiek is opgemaakt voor

verschillende waarden van de aankomstintensiteit, namelijk: .

Fig 7.11: Gemiddelde vertragingstijd t.o.v. de kans dat de deadline van een klant niet verloopt (σ).

Bij een lage waarde σ, is de kans dat een klant zijn deadline niet verloopt, relatief klein.

De kans dat de klant dus in het systeem blijft, is eveneens relatief klein. Bij deze lage

waarden merken we, ongeacht de aankomstintensiteit, een gemiddelde vertragingstijd

σ


50

van iets maar dan 1. Naarmate σ toeneemt, merken we meer verschil tussen de

verschillende grafieklijnen. Grafieklijnen 1 en 2, met een lage aankomstintensiteit, zijn

lichtjes stijgend waardoor de gemiddelde vertragingstijd bij hogere σ amper toeneemt.

Dit is ook logisch aangezien er zich bij een lage aankomstintensiteit minder rap

wachtlijnen zullen vormen dan bij een hoge aankomstintensiteit. Klanten worden hier

dus rapper bediend dan bij wachtlijnsystemen met hoge gemiddelde

aankomstintensiteiten. Dit is te merken in grafieklijn 5. Naarmate de kans dat een

deadline niet verloopt (σ) toeneemt bij wachtlijnsystemen met hoge gemiddelde

aankomstintensiteit, blijven klanten langer in het systeem. Door de hoge σ zullen ze het

systeem ook niet rap verlaten door een verlopen deadline. De grootte van de wachtlijn

neemt toe, waardoor eveneens de gemiddelde vertragingstijd van een klant toeneemt.

Dit kunnen we eveneens uit de bovenstaande stelling van Little besluiten.

51

Hoofdstuk 8

De bedrijfscontext

In dit hoofdstuk zullen we het algemeen belang van wachtlijnsystemen binnen de

bedrijfscontext nader verklaren.

Binnen de bedrijfscontext kan het beheer van wachtlijnsystemen cruciaal zijn. Hierbij zal

vooral de afdeling supply chain management betrokken zijn. Het concept “supply chain”

is een verzamelnaam voor alle processen die een product doorloopt, vertrekkende van

de grondstoffen van het product tot wanneer het product bij de klant aangekomen is.

Het kan zelfs nog breder gezien worden indien het product nog diensten-na-verkoop

nodig heeft, zoals onderhoud. Binnen de supply chain bevinden zich dus meerdere

“spelers”, zoals te zien is op Figuur 8.1.

Figuur 8.1: Voorbeeld van een supply chain keten

Supply chain management houdt zich bezig met het optimaliseren en op elkaar

afstemmen van processen en systemen binnen de supply chain. Het gaat hierbij zowel

om goederenstromen (zoals het binnenkomen van grondstoffen), de productie en de

eindlevering, als om informatiestromen tussen de verschillende bedrijven binnen de

52

supply chain. Deze informatiestromen zorgen ervoor dat de gehele keten op elkaar

afgestemd is en niemand met een tekort of overschot zit.

De headliner “faster, better, cheaper” is in supply chain management heel belangrijk

(Chopra & Meindl, 2007). Deze wijst op de verschillende domeinen waar men zich als

bedrijf kan differentiëren ten opzichte van anderen. Hierbij zal vaak een trade-off

moeten gemaakt worden. Rappere bediening of betere kwaliteit voor de klant kosten

vaak meer, terwijl goedkopere bediening vaak gepaard gaat met een lagere kwaliteit en

een lagere bedieningssnelheid. Als bedrijf moet je uitblinken in één van de drie, anders

is het moeilijk om te overleven. Bedrijven die met elkaar samenwerken om uiteindelijk

een finaal product aan de klant te kunnen leveren, moeten consistent zijn in hun

strategische beslissingen. Een recent voorbeeld is te vinden bij de supermarktketens in

België. Colruyt, Aldi en Lidl differentiëren zich door de klant lage prijzen aan te bieden.

Delhaize differentieert zich door goede klantenservice te bieden. Carrefour had noch een

goedkope reputatie, noch een klantgerichte reputatie en moest hiervoor boeten. Het

geldt natuurlijk niet dat Colruyt, Aldi en Lidl geen goede kwaliteit bieden. Deze winkels

bieden dezelfde productkwaliteit aan, maar zij bieden hun klanten minder “frills” aan. Er

is geen muziek in de winkels, er hangen spaarlampen, diepvriezers zijn gesloten zodat

weinig energie verloren gaat, schappen zijn functioneel zodanig dat er zoveel mogelijk

producten op kunnen gestapeld worden… De klant kiest wat hij wil: lage prijzen of een

betere klantenservice. Dit fenomeen vind je in alle sectoren terug, denk maar aan de

vliegtuigmaatschappijen zoals Ryanair versus Brussels Airlines.

De supply chain is eigenlijk een wachtlijnsysteem. De productvraag bepaalt hoeveel

producten er moeten gemaakt worden. Aangezien men op voorhand niet kan weten

hoeveel producten de klanten in het totaal zullen kopen, moeten bedrijven dit

voorspellen. Wanneer men de productvraag voorspeld heeft, kan de productie beginnen.

Het productieproces bestaat uit een routing, waarbij de onderdelen verschillende

machines (nodes genaamd) moeten doorlopen. De onderdelen die samen finaal een

product vormen, worden vóór elke machine beschouwd als de “aankomende klanten”.

Deze onderdelen verschillen van node tot node tot er uiteindelijk een finaal product is.

De machines zijn de bedieningsstations. De bedieningsstijden van machines zijn

verschillend en hangen af van productklasse tot productklasse. Bij onvoorziene

machinebreuken treedt er eveneens variabiliteit op in de bedieningstijd, door de

53

reparatietijd die de machines nodig hebben, vooraleer ze terug kunnen werken. Het doel

van supply chain management is nu om de doorlooptijd van de producten te reduceren

doorheen het productieproces. Hierbij is het vooral belangrijk om knelpunten op te

sporen en aan te pakken. Knelpunten zijn plaatsen waar lange rijen producten wachten

op bediening (Govil & Fu, 1999).

Het beheer van wachtlijnsystemen binnen bedrijfsprocessen zal voornamelijk een

invloed hebben op de strategische factor “faster”. Hoe sneller producten/klanten

bedieningsprocessen kunnen doorlopen, hoe hoger de kwaliteit zal zijn. Het prijskaartje

dat aan deze snellere verwerking vasthangt, zal echter wel hoger zijn. De trade-off die

moet gemaakt worden, is hier dus terug zichtbaar en zal moeten samenhangen met de

rest van de strategische beslissingen binnen een bedrijf. Indien je als bedrijf gekend

staat voor je snelheid (denk maar aan Telenet) zul je hier veel belang aan moeten

hechten. Indien je echter gekend staat als de goedkoopste, zal de klant al eerder willen

wachten. Iemand met een gewone internetverbinding, zal langer willen wachten tot

bestanden gedownload zijn dan iemand met een supersnelle kabel.

Bedrijven moeten voldoen aan de vraag. Indien dit onmogelijk is, lopen klanten immers

naar concurrerende bedrijven. Om aan de vraag te voldoen, is het voor bedrijven van

groot belang dat ze het gedrag van wachtlijnsystemen (zoals de routing van het gehele

productieproces) kunnen voorspellen. Op deze manier is een bedrijf in staat om

welbepaalde parameters (zoals het aantal machines die parallel verschillende

onderdelen omzetten naar finale producten) zodanig te kiezen, dat het systeem voldoet

aan de vraag.

We kunnen dus besluiten dat supply chain management een directe impact heeft op de

strategische keuzes van een bedrijf. Door wachtlijnsystemen binnen de supply chain

goed te analyseren en in lijn te brengen met de bedrijfsstrategie, kunnen bedrijven hun

competitief voordeel behouden.

54

Hoofdstuk 9

Besluit

In deze masterproef werden wachtlijnsystemen bestudeerd waarbij de aankomende

entiteiten ieder een deadline hebben. Iedere entiteit heeft dus een maximum toelaatbare

verblijftijd in het wachtlijnsysteem. Wanneer de deadline van een klant verstrijkt vóór

de klant bediend kan worden, moet deze klant het systeem verlaten.

De invloed van deadlines op wachtlijnsystemen werd bestudeerd aan de hand van

probabiliteitsgenererende functies. Met behulp van deze functies werden belangrijke

prestatiematen berekend. Het analytisch model dat in deze masterproef werd opgesteld,

is echter wel een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Toch is het mogelijk om

kwalitatieve besluiten te trekken. De analyse leidt namelijk tot gesloten formules voor

de verwachtingswaarde van de systeembezetting, de variantie van de systeembezetting

en de verlieskans. Met behulp van deze formules werd de performantie van een concrete

toepassing uit de telecommunicatie onderzocht, met name een NxN-schakelelement met

Bernoulli-aankomsten.

Ondanks het feit dat het analytisch model dat in deze masterproef bestudeerd werd een

sterke vereenvoudiging is van de werkelijkheid, was de wiskundige analyse toch

complex. Bij de berekening van de verwachtingswaarde en de variantie van de

systeembezetting, kwamen formules voor waarin de factoren van sommatie- en

multiplicatietekens tot oneindig doorliepen. Naarmate dit model meer naar de

werkelijkheid zal gemodelleerd worden, zal deze complexiteit wellicht eveneens

toenemen.

In de toekomst kunnen nog veel uitbreidingen beschouwd worden. Zo zou het mogelijk

zijn om andere deadlineverdelingen te beschouwen en deze met elkaar te vergelijken. Er

kunnen uiteraard ook andere aankomstprocessen of uitgangsprocessen beschouwd

worden. Men kan hierbij in de bedieningseenheid, in plaats van één bedieningsstation,

meerdere bedieningsstations naast elkaar plaatsen. Hiernaast kan men ook overgaan

naar een eindig wachtlijnsysteem of kan men een andere wachtlijndiscipline

55

beschouwen. Deze masterproef is slechts een vertrekpunt voor de analyse van

wachtlijnsystemen voor klanten met deadlines in de discrete tijd.

56

Bibliografie Ancker, C. J., & Gafarian, A. V. (1963). Some queueing problems with balkin and reneging.

Operations Research (11), p. 88-100.

Barrer, Y. D. (1957). Queueing with impatient customers and ordered service.

Operations Research (5), p. 650-656.

Bruneel, H. (2009). Wachtlijntheorie. Cursus faculteit Toegepaste Wetenschappen,

Universiteit Gent, Vakgroep Telecommunicatie en Informatieverwerking.

Chopra, S., & Meindl, P. (2007). Supply chain management. Pearson Education.

Cohen, J. W. (1968). Single server queue with uniformlybounded virtual waiting time.

Journal of Applied Probability (5), p. 93-122.

Ferdi, P. (sd). Info over ATM. Opgeroepen op april 26, 2010, van Website van Katholieke

Universiteit Leuven:

http://www.econ.kuleuven.ac.be/tew/academic/infosys/members/PUT/papers/ATM

%20-%20een%20inleiding.doc.

Garnett, O. (1998). Designing a telephone call center with impatient customers.

Research thesis, Israel institute of technology, Operations research and systems analysis,

Israel, Haifa.

Garnett, O., Mandelbaum, A., & Reiman, M. (2002). Designing a call center with impatient

customers. Research.

Govil, K. M., & Fu, C. M. (1999). Queueing theory in manufacturing: a survey. Journal of

manufacturing systems , 18 (3), 214-240.

Hoβfeld, T., Leibnitz, K., & Remiche, M.-A. (2007). Modeling of an online TV recording

service. ACM sigmetrics, Performance evaluation review , 35 (2).

Mandelbaum, A., & Zeltyn, S. (2009). Staffing many-server queues with impatient

customers: constraint satisfaction in call centers. Operations Research , 57 (5), p. 1189-

1205.

Movaghar, A. (1998). On queueing with customer impatience until the beginning of

service. Queueing Systems (29), p. 337-350.

Movaghar, A. (2006). On queueing with customer impatience until the end of service.

Stochastic Models , 22 (1), p. 149-173.

Penn, W. (1682). Some fruits of solitude in reflections and maxims.

57

Van den Dam, R., Nelson, E., & Lozinski, Z. (2008). The changing face of communication.

Opgeroepen op april 15, 2010, van Website van IBM Global Business Services:

http://www-935.ibm.com/services/us/gbs/bus/html/gbs-telcos-

socialnetworking.html?cntxt=a1005266

Zeltyn, S. (2004). Call centers with impatient customers: eact analysis and many-server

asymptotics of the M/M/n+G queue. Reserach thesis, Israel institute of Technology.

STUDIE VAN WACHTLIJNMODELLEN VOOR KLANTEN MET...

Documents

Transcript of STUDIE VAN WACHTLIJNMODELLEN VOOR KLANTEN MET...