JU SREDNJOŠKOLSKI CENTAR „NIKOLA TESLA“

VUKOSAVLJE

Aktiv prirodno-matematičke grupe predmeta

TEMA: Nastavna sredstva i pomagala u nastavi matematike

Autor : Bojan Kovačević, dipl. matematičar i informatičar

Mart 2014. godine

1. UVOD

Nastavni objekti i nastavna sredstva predstavljaju jedan od ključnih i trajno aktuelnih problema savremene didaktike i jedno od suštinskih pitanja u vezi sa nastavnom tehnologijom. Stoga se van konteksta nastavne tehnologije ne mogu razmatrati ni nastavni objekti ni nastavna sredstva. Šta više, oni su konstitutivni dio nastavne tehnologije (koja obuhvata i metode rada, organizaciju). Samim tim se nastavna tehnologija , sa nastavnikom, učenikom i nastavnim sadržajem, javlja kao osnovni faktor nastavnog procesa.

Šema 1.

Satavni dio cjelokupnog nastavnog procesa jeste, dakle, nastavna tehnologija. Nastavna tehnologija ima za cilj omogućavanje što uspješnije realizacije nastavnog procesa. Sve što se koristi u tu svrhu, može se nazvati nastavnom tehnologijom. Tu spadaju nastavni objekti, sredstva, pomagala, metode, organizacija nastave, sistem sredstava i pomagala itd.

U ovom radu nastojao sam što je moguće više posvetiti se problematici nastavnih sredstava i pomagala (odabir, prednosti i nedostaci), konkretno u nastavi matematike. Pored kratkog pregleda šta se može da posluži kao sredstvo i pomagalo u nastavi matematike, posebnu pažnju sam posvetio edukativnom matematičkom software-u kao nastavnom sredstvu.

2

UČENIK

TEHNOLOGIJA

NASTAVNIK

SADRŽAJ

2.Funkcija nastavnih sredstava i pomagala

Svaka nastava se realizuje na mestima koja su za to uređena, a koja se nazivaju nastavni objekti. Pri tome se koriste tehnički i drugi predmeti, podešeni ili proizvedeni za potrebe nastavnog rada, odnosno primjenjuju se nastavna sredstva.

NASTAVNA SREDSTVA SU DIDAKTIČKI OBLIKOVANA IZVORNA STVARNOST;IZVORI ZNANJA

NASTAVNA POMAGALA SU ORUĐA ZA RAD

Funkcija objekata i sredstava nastavnog rada se različito shvatala u pojedinim periodima razvoja teorije i prakse vaspitanja i obrazovanja. Tako, tradicionalna didaktika svodi funkciju nastavnih objekata i sredstava na zadovolјavanje zahtjeva očiglednosti. Nasuprot tome, savremena didaktička misao zastupa gledište po kojem oni sve više postaju sredstva rada i instrumenti aktivnog usvajanja i stvaralačke primjene obrazovno-vaspitnih vrijednosti. Očigledno je, dakle, da po savremenom didaktičkom shvatanju, nastavni objekti i sredstva imaju vrlo složenu funkciju, koja se ogleda u obezbjeđivanju optimalnih uslova za objašnjavanje nastavnog gradiva, otkrivanje i istraživanje postavlјenih problema, ostvarivanje produktivnog rada u procesu shvatanja i usvajanja nastavnog sadržaja te sistematsko prikazivanje, pokazivanje i uvježbavanje u nastavnom radu. Ovakvo gledanje na funkciju objekata i sredstava nastavnog rada zasnovano je na naučnim saznanjima koja, s jedne strane, razotkrivaju funkciju nastavnih objekata, a s druge, uvode u funkciju nastavnih sredstava. Tako su rezultati naučnih istraživanja pokazali da se čulom sluha usvaja 20% izloženih činjenica, a čulom vida od 30% do 50%; istovremeno se čulom sluha i čulom vida usvaja od 50% do 70% izloženih činjenica, a sluhom i radom − do 90% izloženih činjenica (slika 2).

SLUH20%

VID50%

OSTALO30%

Dimenzije usvojenih činjenica pojedinačno

3

SLUH I PRAKSA

90%

10%

Dimenzija usvojenih činjenica (grupisano)

Međutim, pored dimenzija usvojenih činjenica, vrlo je važan i efekat njihovog zadržavanja. O tome govore rezultati brojnih drugih istraživanja, po kojima je efekat učenja sljedeći:

- u verbalnim situacijama, posle tročasovne pauze, on iznosi od 25% do 70%, a poslije trodnevne pauze samo 10%;

- u vizuelnim situacijama (na bazi pokazivanja), poslije tročasovne pauze, on iznosi 72%, a poslije trodnevne pauze 20%;

- u verbalno-vizuelnim situacijama, poslije tročasovne pauze efekat je 85%, a posle trodnevne pauze 65%

Na osnovu ovih pokazatelja, zaključuje se da nastavna sredstva i pomagala u kombinaciji sa nastavnim objektima doprinose uspješnom savlađivanju nastavnog procesa, ali i još više, doprinosi uveliko i očuvanju savladanog gradiva, što nastavni proces čini kvalitetnim i efikasnim .

Stoga možemo zaključiti, nastavna sredstva i pomagala, ne da su poželjna , već su i neophodan dio nastavnog procesa.

4

SLUH I VID 70%

OSTALO30%

Dimenzije usvojenih činjenica (grupisano)

3. Klasifikacija nastavnih sredstava I POMAGALA

U prošlom dijelu sam već spomenuo, nastavna sredstva su didaktički oblikovana izvorna stvarnost, izvori znanja. Dok su nastavna pomagala oruđa za rad. Osnovna funkcija je što uspješnija realizacija anstavnog procesa. Nastavna sredstva i pomagala su mnogobrojna, kako za svaki nastavni predmet tako i za obrazovne nivoe. Razvojem nastave razvijaju se i usavršavaju i nastavna sredstva.

Jedna od osnovnih pretpostavki uspješnog ostvarivanja nastavnog rada jeste savremena primjena tradicionalnih i novih nastavnih sredstava, jer se njihovim korištenjem znatno utiče na razumijevanje i shvatanje nastavnog gradiva, na aktivnost polaznika i racionalizaciju nastavnog rada. Sa razvojem nastave razvijaju se i usavršavaju i nastavna sredstva, tako da su sve brojnija za svaki nastavni predmet i na svakom obrazovnom stupnju. Samim tim se javlјa i problem njihove klasifikacije. U tom pogledu se među savremenim didaktičarima vrlo često javlјaju znatne razlike.

Međutim, i pored toga, može se dati jedna relativno sveobuhvatna klasifikacija kao izraz današnjeg stanja nastavnih sredstava.

Klasifikacija nastavnih sredastava :

a) VERBALNA NASTAVNA SREDSTVAb) TEKSTUALNA NASTAVNA SREDSTVAc) AUDITIVNA NASTAVNA SREDSTVAd) VIZUALNA NASTAVNA SREDSTVAe) AUDIO-VIZUALNA NASTAVNA SREDSTVAf) PROIZVODNO-RADNA I EKSPERIMENTALNA NASTAVNA SREDSTVA g) NASTAVNA SREDSTVA SA KOMPLEKSNOM DIDAKTIČKOM FUNKCIJOM

U verbalna nastavna sredstva se svrstavaju riječi i govor. To su najstarija, ali i najčešće primjenjivana sredstva u nastavi uopšte, a posebno u nastavi društvenih nauka. I pored tako široke primjene verbalnih nastavnih sredstava, treba imati u vidu da se nastavni rad ne može realizovati isklјučivom primjenom riječi i govora, kao što se ne može ni ostvariti bez njih. Kada govorimo o nastavi matematik,e riječ i govor su takođe neophodni, ali naravno potrebno ih je sistematski povezivati sa drugim sredstvima. Živa rieč i govor mogu da budu veoma produktivni ukoliko angažuju pažnju učenika i misaono ih aktiviraju. Da bi se to postiglo, izlaganje nastavnika mora da bude slobodno, neposredno, slikovito, izražajno i prilagođeno strukturi i razvijenosti nastavne grupe. Stoga nastavnik mora dobro da poznaje nastavno gradivo, da ga didaktički prerađuje tako da bude logički povezano, pregledno i po obimu odmjereno. Takođe, neophodno je da uspostavi prirodan i neposredan kontakt sa polaznicima. Pravilno upotrijeblјene riječi i slikovit govor omogućavaju polaznicima da na osnovu izlaganja nastavnika stvore realne predstave o sadržaju izlaganja. Izražajnost izlaganja podrazumeva odgovarajuće intonaciju, tempo i stil. Prilikom izlaganja visina glasa ne treba da se razlikuje od glasa koji se koristi u svakodnevnom razgovoru, mada je poželјna promjena visine glasa kako bi se postigla veća izražajnost i istaklo bitno. Slično je i sa brzinom govora, koja mora da bude takva da omogući lako praćenje izlaganja, odnosno da odgovara

5

prosečnoj brzini mišlјenja polaznika. Sporija brzina izlaganja može da se koristi kada treba ukazati na dijelove sadržaja koji su bitni i koje treba shvatiti.

Tekstualna nastavna sredstva imaju značajnu ulogu i široku primjenu u svakom nastavnom radu, jer tekst predstavlјa vrijedan izvor znanja i pouzdan oslonac za realizaciju osnovnih zadataka nastave. Tekst je nezamjenlјiv u vođenju i navikavanju učenika da se samostalno koristi knjigom i uopšte pisanom i štampanom rječju. U grupu tekstualnih nastavnih sredstava se svrstavaju razne vrste pisanih i štampanih tekstova. Od pisanih tekstova najčešće se koriste: pisane riječi, zapisi na tabli, zapisi u sveskama. Zapis na tabli je sastvani dio nastave iz svakog predmeta. Njime se sažeto i logično predočava značenje pojedinosti o nekom problemu u okviru nastavne jedinice. Isto tako, njegov značaj leži u tome što je to, da kažem, prvi susret sa informacijom. U tehničkom pogledu, savremenije rješenje predstavlјa zapis pomoću grafoskop-projekcije; njegova prednost je u tome što nastavnik ne prekida vizuelni kontakt sa učenicima i što može vrlo lako da prati njihovo reagovanje na sam zapis.

U nastavnom radu se, osim pisanih, koriste i razne vrste štampanih tekstova, kao što su: leci, legende, plakati,zbirke zadataka, članci i knjige. Knjiga, kao tekstualno nastavno sredstvo, ima dugu tradiciju i još uvijek svestranu primjenu u nastavnom radu. Nјena vrijednost dolazi posebno do izražaja danas, kada su sve oblasti lјudskih znanja podložne brzim promjenama. Naime, u savremenim uslovima naučna misao zabilježena u knjizi postaje lako dostupna lјudima. Zbog toga je knjiga nezaobilazan izvor znanja u svakoj nastavi, a posebno u samoobrazovanju.

Auditivna nastavna sredstva obuhvataju sredstva u čijoj primjeni dominiraju auditivni (čulni) elementi, odnosno sredstva koja omogućavaju uklјučivanje auditivnih elemenata u proces saznanja i doživlјavanja. Ono što moram napomenuti jeste da auditivna nastavna sredstva skoro pa i nisu zastupljena u nastavi matematike. No, ne možemo reći da su u potpunosti nezastupljena. Primjeri auditivnih nastavnih sredstava mogu biti radio emisije matematičkog edukativnog karaktera, snimci na audio nosačima takođe edukativnog matematičkog sadržaja.

Vizuelna nastavna sredstva predstavlјaju veoma važan vizuelan izvor znanja. Za razliku od auditivnih, ona su mnogo više zastupljenija i , možemo reći, neophodna u nastavi matematike. Nјihovim posmatranjem se doprinosi bržem i potpunijem upoznavanju objektivne stvarnosti i realnijem formiranju želјenih predstava. Pored toga, rad s ovim sredstvima doprinosi i razvoju praktičnih sposobnosti učenika. Međutim, da bi njihova primjena imala određene efekte, posmatranje u nastavi ne može da se svede na jednostavno gledanje i zapažanje, već mora da bude planski, organizovano i sistematski vođeno. Od vizuelnih nastavnih sredstava najvažnija su sledeća:geometrijski modeli, fotografije, dijaploče (slajdovi), dijafilmovi, aplikacije, tabele, grafikoni, crteži, skice, sheme i simboli.

Audio-vizuelna nastavna sredstva integrišu u sebi didaktička svojstva auditivnih i vizuelnih nastavnih sredstava, čime obezbjeđuju istovremeno i auditivno i vizuelno percipiranje, a samim tim i prošireno vaspitno-obrazovno dejstvo. Zahvalјujući tome, audio-vizuelna sredstva snažno utiču na aktivnost učenika, razbijaju monotoniju i dosadu i značajno doprinose većoj dinamičnosti, interesantnosti i e- fikasnosti nastavnog rada. Najpoznatija i najčešće primjenjivana audio-vizuelna nastavna sredstva su: sinhronizovani dijafilmovi, tonfilm i televizija. Takođe, mora se napomenuti da nastava matematike oskudijeva u audio-vizualnim nastavnim sredstvima. Ono šta bi se moglo primijeniti u nastavi

6

matematike jesu tv emisije edukativno-matematičkog sadržaja, snimljena predavanja na audio-vizualnom nosaču, video linkovi itd.

Proizvodno-radna i eksperimentalna nastavna sredstva omogućavaju: samostalno upoznavanje i analiziranje predmeta, pojava i procesa o kojima se u nastavi učilo; povezivanje teorijskih znanja s praksom; usvajanje radnih navika; formiranje pravilnog odnosa prema radu. Zbog toga je njihova uloga u razvijanju stvaralačkih radnih sposobnosti i sticanju savremene kulture rada veoma značajna. Proizvodno-radna i eksperimentalna nastavna sredstva su veoma brojna, a najvažnija među njima su: alati, mašine, instrumenti, pribor i materijal za rad, aparati i uređaji za eksperimentisanje, laboratorijski pribor i materijal za eksperimentalni rad. Ova nastavna sredstva nalaze svoju primjenu u opšteobrazovnim i stručnim školama, ali sa različitom funkcijom. Rad ovim sredstvima podrazumeva obezbjeđivanje odgovarajuće higijensko-tehničke zaštite, što je značajno ne samo sa stanovišta zaštite na radu već i sa stanovišta vaspitnog uticaja na polaznike. Takođe, moram napomenuti da je primjena ovih sredstava u matematici neznačajna.

Međutim, razvoj didaktike, psihologije, elektronike i informacionih tehnologija je doveo do pojave medija za dvosmjerni prenos informacija, kao što su: mašine za učenje, kompjuteri i trenažeri. Nјihova primjena je uticala na promjenu klasične organizacije i metoda rada i značajno doprinijela aktivnijem uklјučivanju učenika u nastavni proces. Mašine za učenje su nastavna sredstva (uređaji) koja omogućuju da polaznik u pojedinim situacijama procesa učenja dođe do problema (zadatka) i da ga samostalno rješava, da dobije informaciju o tome da li je uspešno riješio zadatak ili je napravio grešku, ali i da bude podstaknut (potkreplјen) na dalјu aktivnost. Pri tome se učenik angažuje prema svojim mogućnostima, odnosno radi sopstvenim tempom i ritmom. Do danas se razvio veliki broj mašina za učenje, koje se međusobno razlikuju po složenosti i nekim posebnim svojstvima. S obzirom na konstrukciju, ove mašine mogu biti mehaničke, električne i elektronske. Svaki tip mašina za učenje ima određene mogućnosti u pogledu izvođenja programa, a samim tim i određene didaktičke karakteristike koje opredjelјuju njihovu primjenu. Međutim, njih danas sve više potiskuju i u nastavi zamenjuju kompjuteri.

Zahvalјujući svojim tehničkim mogućnostima u pogledu brzine i preciznosti primanja, smještaja i čuvanja ogromnog broja informacija i efekata njihove analize, kompjuteri imaju istaknuto mjesto u nastavi i učenju. Kompjuterska tehnologija omogućuje multimedijski pristup realizaciji cilјeva i zadataka nastave, uz maksimalno uvažavanje predznanja polaznika, njihovih individualnih karakteristika i sposobnosti. Ona obezbjeđuje optimalne uslove za individualizovanu i individualnu nastavu, dvosmjerni tok informacija u svim etapama nastavnog rada i svestraniju motivisanost polaznika za učenje. Takođe, kompjuteri su se toliko razvili da , slobodno možemo reći, potpuno su u stanju da zamijene bilo koju mašinu za učenje. Takođe, ne manji značaj u nastavi matematike imaju i posebni matematički software-i , edukativnog kao i praktičnog karaktera. U drugom dijelu ovog rada cjelokupnu pažnju ću upravo posvetiti jednom takvom software-u .

Govoreći o software-u polako zalazim u dio o nastavnim pomagalima. No, kad govorimo i primjeni matematičkog software-a u nastavi matematike, onda govorimo o nastavnoj tehnologiji .

7

Svrha nastavnih pomagala, odnosno pomoćnih tehničkih sredstava je da omoguće primjenu nastavnih sredstava. Ona, dakle, nisu neposredni objekti proučavanja u nastavi (izvori znanja), nego se pomoću njih omogućava drugim nastavnim sredstvima da dođu do izražaja. Na primer, školska tabla je nastavno pomagalo, a zapis na tabli je nastavno sredstvo; magnetofon i gramofon su nastavna pomagala, a zvučni snimci sa magnetofonske trake i gramofonske ploče su nastavna sredstva; televizor je nastavno pomagalo, a televizijska emisija je nastavno sredstvo. Nastavna pomagala su brojna. Među njima su najznačajnija: školska tabla, panoi, pokazivači, aplikatori, grafoskop, dijaprojektor, kino-projektor, geometrijski pribor, logaritamske tablice, digitron, mjerni instrumenti, projekciona platna, gramofon, magnetofon, kasetofon, diktafon, radio-prijemnik, televizor, DVD plejer i dr.

Sva navedena nastavna sredstva imaju široku primjenu u nastavnom radu. Međutim, da bi se ona adekvatno i uspješno koristila, nastavnik mora da poznaje njihove osnovne tehničke karakteristike i funkciju i da dobro ovlada načinima njihove primene.

Izbor nastavnih sredstava, redosled i način njihove upotrebe zavise od brojnih činilaca, među kojima su najvažniji: cilј i zadaci teme (nastavne jedinice), priroda nastavnog gradiva, struktura i nivo nastavne grupe, iskustvo učenika, nastavne metode, oblici nastavnog rada, materijalno-tehnički uslovi, nastavnikove sposobnosti i stavovi, kao i svojstva samih nastavnih sredstava. Sve to govori da ne postoje univerzalna i nezamjenlјiva nastavna sredstva, već da svaka nova nastavna situacija zahtijeva primenu drugih nastavnih sredstava. Takođe, prilikom izbora sredstava, a naročito pomagala, treba voditi računa dane odvlače pažnju učenicima. Takođe, moraju biti prilagođena učenicima (ne preteška, prevelika,opasna); moraju biti manipulativna i što je najvažnije, po mom mišljenju, ne smije ih biti previše.

8

4. NASTAVNA SREDSTVA I POMAGALA U NASTAVI MATEMATIKE

U ovom dijelu detaljnije ću se posvetiti nastavnim sredstvima i pomagalima koji se najčešće koriste u matematici kao i neka pomagala koja bi se mogla i trebala korisiti više.

Uspješna realizacija nastavnog časa , pored dobrog planiranja zavisi i od mnogih drugih faktora kao što su odabir metoda, redoslijed i način prezentovanja, pristup i način komunikacije sa učenicima, odabir zadataka za demostraciju, prilagođavanje gradiva i složenosti problema učenicima itd. Međutim, za uspješnu realizaciju časa neophodan je i pravilan izbor nastavnih sredstava i pomagala.

Izbor nastavnih sredstava, redosled i način njihove upotrebe zavise od brojnih činilaca, među kojima su najvažniji: cilј i zadaci teme (nastavne jedinice), priroda nastavnog gradiva, struktura i nivo nastavne grupe, iskustvo učenika, nastavne metode, oblici nastavnog rada, materijalno-tehnički uslovi, nastavnikove sposobnosti i stavovi, kao i svojstva samih nastavnih sredstava. Sve to govori da ne postoje univerzalna i nezamjenlјiva nastavna sredstva, već da svaka nova nastavna situacija zahtijeva primenu drugih nastavnih sredstava. Takođe, prilikom izbora sredstava, a naročito pomagala, treba voditi računa dane odvlače pažnju učenicima. Takođe, moraju biti prilagođena učenicima (ne preteška, prevelika,opasna); moraju biti manipulativna i što je najvažnije, po mom mišljenju, ne smije ih biti previše.

Spektar nastavnih sredstava u matematici je relativno širok. Neke sam naveo u prethodnom poglavlju , a ovje ću se detaljnije osvrnuti na najčešće korištena.

4.1. UDŽBENIK I ZBIRKE ZADATAKA

Cjelokupna didaktička i metodička literatura udžbenik definiše kao osnovno radno sredstvo u nastavi, najviše utkano u nastavni proces. Na rad nastavnika organski se nadovezuje samostalni rad učenika sa udžbenikom u školi i kod kuće. U toku nastavnog rada treba učenike naučiti kako se samostalno služiti udžbenikom (prema Pedagoškom rječniku, Beograd, 1967. i Enciklopedijskom rječniku pedagogije, Zagreb,1963). Dr Đorđe Lekić razmatrajući didaktičko-metodičku funkciju udžbenika kaže: „Udžbenik je knjiga iz koje učenik uči kako treba da uči. Savremeni udžbenik nije samo izvor činjenica, već i naučno-popularna knjiga koja treba učeniku da omogući:utvrđivanje i obnavljanje obaveznog gradiva posle nastavnikove obrade i samostalan rad u različitim oblicima i nastavnim pojedinostima... U dobro organizovanom nastavnom procesu, ove dve uloge udžbenika su sjedinjene.“ (Dr Đorđe Lekić:Eksperimentalna didaktika, II dopunjeno izdanje, Misao. Novi Sad, 1985). Udžbenik matematike je posebno važna školska knjiga. U njemu su dati i objašnjeni obrasci,formule, postupci, pitanja i zadaci za vježbanje, provjeravanje itd. Bez njegove upotrebe nastava matematike učenicima ne može biti jasna i razumljiva.Učenje isključivo iz bilježaka je nedopustiva, velika pedagoška i metodička greška, jer ono ne može biti efikasno. Tako stečeno znanje je površno i nepovezano, jer rijetko koji učenik će zabilježiti sve ono što je na času rađeno. Didaktičar Ignjacije Smolec o ovome kaže: „Razlog što je matematika teška tolikim đacima leži u tome što je oni ne uče iz

9

knjiga. Gotovo i nema đaka koji matematiku uči iz knjiga. To je velika greška, jer time zapostavljaju jedno važno djelotvorno sredstvo za savladavanje matematike.“ (Smolec: Kako da učim matematiku

, Školska knjiga, Zagreb, 1964). Dakle, neprihvatljiv je stav pojedinih profesora matematike da je udžbenik nepotreban, jer to je specijalna knjiga koja na pristupačan i sistematičan način uvodi učenike u gradivo ovog predmeta i pomaže im da ga shvate i razumiju, bez čega ono ne može biti usvojeno niti primijenjeno u praksi.

Međutim, na ovom mjestu moram spomenuti i jednu drugu problematiku sa kojom sam upoznat iz iskustva. Svakako , udžbenik je nezamijenjiv i primarni izvor informacija. Značaj udžbenika ne umanjujem ni najmanje. No, problem se javlja sa druge strane. Definicija udžbenika jeste da je to knjiga koja na pristupačan i sistematičan način uvodi učenike u gradivo predmeta. Ali šta ako ti udžbenici nisu takvi?

Primijenjujući udžbenike odobrene od strane Ministarstva prosvjete i kulture RS-a u radu , naišao sam na velike poteškoće. U najvećem dijelu, udžbenici i njihov sadržaj su većim dijelom ili čak potpuno nerazumljivi učenicima srednje škole. Ovaj problem se mora posmatrati sa dvije strane: sa aspekta posljedica na nastavu matematike i sa aspekta uzroka.

Sa aspekta posljedica, nastava matematika postaje nerazumljiva, onemogućen je samostalni rad, dodatna nastavnikova objašnjena u nekim situacijama dovode do dodatnih nejasnoća, gubi se motivacija sa nastavu matematike i matematika stiče status „preteškog“ i „predmeta kojeg je normalnom učeniku nemoguće naučiti“. Ta averzija ide to te mjere da postaje „normalno“ ne znati matematiku . U nekim slučajevima dolazi do pada samopouzdanja , međutim , i taj slučaj po mome mišljenju je pozitivniji od situacije da se prema matematici stvara i njeguje jedan ignorantski odnos.

Sa aspekta uzroka , najvećim dijelom udžbenici su sačinjeni od strane nestručnih autora. Ne želim nikoga omalovažavati i snižavati ičiju stručnost, međutim, nakon čitanja sadržaja stiče se utisak da su ga sačinjavali autori koji nemaju doticaja sa nastavom niti didaktikom i metodikom nastave. Za ovu tvrdnju imam osnova jer većinu autora poznajem kao asistente i profesore na fakultetu koji uopšte nemaju veze sa metodikom. Smatram da se prilikom kreiranja udžbenika MORAJU uključiti stručne osobe iz polja metodike nastave matematike, psihologije kao i tim profesora koji rade u srednjoj školi. Međutim, ovo nije jedini razlog nerazumijevanja udžbenika za srednjhe škole. Možda veći problem jesu udžbenici osnovne škole. Razumljivost, sistematičnost i pristupačnost udžbenika za osnovnu školu je na još nižem nivou. Navešću samo jedan primjer: pojam dokaza nije u potpunosti razumljiv ni završnim razredima srednjih škola , a kamoli učenicima u osnovnoj školi. Nivo mentalnog razvoja ne dopiušta uzrastima osnovne škole da usvoje i shvate taj pojam. Međutim, udžbenici osnovnih škola obiluju takvim pristupom i zadacima.

Drugi problem koji se pojavio prilikom upotrebe udžbenika jeste nepostojanje jedinstvenog udžbenika matematike za srednje stručne škole u RS-u. Reforma srednjoškolskog obrazovanja uvela je modularnu nastavu koja primat daje samostalnosti u radu učenika. Nastavnik više nema primarnu ulogu u nastavi već samo upućuje na izvore informacija i pomaže u samostalnom radu učenika. Obično, gradivo matematike je takvo da ne postoji jedinstven udžbenik koji bi se mogao koristiti te i nastavnici i učenici moraju koristiti više udžbenika, knjiga da bi savladali gradivo . Smatram da je ovo nedostatak reforme i uopšte modularne nastave na anšem prostoru. Razlozi su višestruki,

10

nemogućnost pristupa izvorima, finansijska osnova, različiti pristupi istom problemu u različitim udžbenicima itd.

Razmatrajući ove probleme, moram reći da u nekim slučajevima, nekorištenje udžbenika više djeluje pozitivno nego negativno.

Što se tiče zbirki zadataka , njih odvajam od udžbenika. Uloga i značaj zbirki zadataka je ponajviše u utvrđivanju i produbljivanju znanja, osposobljavanju za praktičnu primjenu naučenog kao i razvoju matematičkog mišljenja. Smatram da su zbirke zadataka neophodnije u nastavi matematike od samih udžbenika. Zbirke koje imaju riješene zadatke, nude dvosmjernost u nastavi; pružaju učeniku povratnu informaciju u njegovom radu tako da sam učenik ima samostalan uvid u svoj rad, može ga usmjeravati i produbljivati. Najveći problem u vezi zbirki zadataka jeste nesistematičnost i netačnost. Netačni rezultati mogu izazvati konfuziju kod učenika, pogrešan uvid u vlastiti rad što može na kraju proizvesti averziju prema radu, matematici ili pak pad samopouzdanja. Obično su te greške tehničke prirode . Ovdje bih naglasio još jednu stvar, trebalo bi izbjegavati klasifikaciju zadataka prema složenosti i težini. U većini slučaja , klasifikacija dovodi do sprečavanja produbljivanja znanja jer mnogi učenici , zbog samog stava i renomea matematike, odbijaju čak i razmatranje „težih“ zadataka jer njima je „dovoljno da urade ove lagane zadatke i dobiju kakvu takvu pozitivnu ocjenu „.

4.2. PANO

Pano je nastavno pomagalo koje je možda zanemareno u nastavi matematike. Uloga panoa u nastavi je višestruka, od obrazovne do estetske. Danas se pano rijetko koristi , međutim njegov značaj je veliki. Prvenstveno, pano služi kao pomoćna tabla. Sadržaj panoa je učenicima stalno pred očima, dok se sadržaj na tabli briše. Sadržaj može poslužiti i za procjenu razvoja kod učenika jer je taj sadržaj dostupan svo vrijeme dok se obrađuje neka tema. Takođe, problem zornosti , koji se često javlja u matematici, može se realizovati panoima.

Sa druge strane, panoe obično rade učenici te na taj način se pojačava njihova uloga u nastavi. Stoga, u izradu panoa treba uključiti što je moguće više učenika.

Panoi su stalno pred očima učenika, pa se taj sadržaj lako i trajno pamti. U skladu s tim, panoi su pogodni recimo za prikaz formula, međusobnih odnosa u geometriji, grafika funkcija, geometrijskih slika, tijela i odnosa, skupova, relacija, brojeva .... Takođe, panoi bi trebali da ukrašavaju zidove učionice koja služi za izvođenje nastave matematike.

Panoi mogu poslužiti i da prikažu povezanost matematike i drugih oblasti. Ponekad je , recimo, nerazumljiva svrsishodnost matematike . Učenicima je mnogo lakše prihvatiti i usvojiti sadržaje koji se mogu primijeniti negdje . Ovaj problem se lako može prevazići panoima. Na primjer, osna simetrija , kao izometrijsko preslikavanje, može se panoima povezati sa slikarstvom i likovnom kulturom.

11

4.3. GRAFIKONI

Grafikoni, posebno grafikoni funkcija su neizostavni dio nastave matematike. To su, prvenstveno, nastavna sredstva . Njihov najvažniji značaj se veže za funkcije. Naime, analiza u matematici je veoma značajna i krucijalna oblast. Stoga je shvatanje i savladavanje njenih osnovnih elemenata, pojmova i odnosa veoma bitno. A upravo, to se radi u srednjoj školi. Grafici su idealni u prezentovanju i shvatanju pojmova kao što su znak funkcije, monotonost, kodomen, nule funkcija, presjek funkcija, konveksnost, asimptote, ekstremi, rješenje sistema. Obično se suha definicija ovih pojmova , prezentovana učenicima, pokazala kao neshvatljiva i nerazumljiva. Iz vlastitog iskustva sam uvidio da, kad se radi o funkcijama, najefikasniji metod da se savladaju određeni pojmovi, jeste koristiti grafik i insistirati od učenika da se što više služe grafikom.

Na primjer, metodska tema kvadratna funkcija. Moj pristup tom dijelu sastoji se u sljedećem. Na samom početku , koristim konkretna dva primjera kvadratnih funkcija, u prvom koeficijent a je pozitivan, a u drugom negativan. Grafike tih funkcija konstruišem koristeći tabelu;uzimam proizvoljan broj realnih brojeva, tražim vrijednosti funkcije za date vrijednosti te dobijam nekoliko tačaka na grafiku. Pomoću njih konstruišem grafik. Nakon toga, koristeći se grafikom, ispitujem osnovna svojstva kvadratne funkcije, domen, kodomen, nule, znak , monotonost, ekstremne vrijednosti. Na osnovu ta dva primjera, zajedno sa učenicima izvodim osnovna svojstva kvadratne funkcije. Međutim, odmah nakon toga demonostriram, što i od đaka očekujem, konstrukciju grafika na osnovu nekolicine potrebnih elemenata (nule, osa simetrije, tjeme i presjek sa y-osom ). Sve ostale osobine određuju se korištenjem grafika.

PRIMJER 1

Konstruiši grafik kvadratne funkcije f ( x )=x2−5 x+6 te ispitaj osnovne osobine funkcije!

Rješenje

Za konstrukciju grafika potrebne su mi :nule funkcije, osa simetrije, tjeme i presjek sa y-osom . Odredimo ih!

Nule funkcije određuju se obrascem f(x)=0 tj x2−5 x+6=0. Na osnovu formule x=−b ±√b2−4ac2a

dolazimo do rješenja : x1=3 i x2=2 te su nule funkcije u tačkama A(3,0) i B(2,0).

Osa simetrije je prava x=−b2a

tj prava x=52

.

Tjeme funkcije T(−b2a

;−D4 a

¿ tj tačka T(5/2;1/4).

Presjek sa y-osom : f(0)=6.

Na osnovu ovih elemenata , znajući da je grafik kvadratne funkcije parabola, i pošto je a=1>0 parabola je sa otvorom prema gore, dolazimo do grafika :

12

Na osnovu grafika, dolazimo do ostalih svojstava :

Znak funkcije:

f ( x )>0 , x∈ (−∞ ,2 )∪ (3 ,+∞)

f ( x )<0 , x∈ (2,3 )

Monotonost:

f ↑ , x∈( 52 ,+∞)f ↓ , x∈(−∞,

52)

Ekstremne vrijednosti:

Funkcija dostiže minimum -1/4 za x=5/2

Kodomen:

f ( x )∈¿

13

5. Primjena računara u nastavi matematike

U prethodnom dijelu osvrnuo sam se na najznačajnija nastavna sredstva i pomagala u nastavi matematike. U ovom, posljednjem dijelu, želim da istaknem značaj i potencijale računara i informacione tehnologije u nastavi matematike, posebno korištenje matematičkih software-a kao nastavnih pomagala. Neki će možda reći da nisam uopšte ni spomenuo neka veoma značajna sredstva i pomagala kao što su geometrijski pribor, projektor, tabla, kreda...

No, smatram da je tome posvećeno već mnogo stručne literature i publikacija od mnogo kompetentnijih stručnjaka od mene. Stoga sam želio da se osvrnem na nešto novije, savremenije, , a čemu se , po meni nezasluženo, ne pridaje veliki značaj. To su računar i informacione tehnologije u nastavi matematike. Posebno , matematički software kao pomagalo, a i sredstvo.

Mašine za učenje već odavno su našle svoj put u učionice. Spomenimo najprije kalkulatore i trenažere. Međutim, računarska tehnologija rapidno napreduje te smo došli do tog nivoa da računari mogu da zamijene sve mašine za učenje i mnogo više. Računari mogu da budu kalulatori, trenažeri, prostor za slkadištenje, možemo da ih koristimo kao sveske, da pohranjujemo informacije na njih, pa čak da pravimo animacije, grafikone, tabele, prikazujemo geometrijske odnose. Ja sam veliki pobornih informacionih tehnologija i smatram da u skorijom budućnosti više nećemo imati potrebu za korištenjem svesaka, olovaka, geometrijskog pribora itd. Sve to će nam zamijeniti računari.

Pored praktične koristi, upotreba računara u nastavi matematike ima i fiziološko-psihičke prednosti. Kоrištеnjе rаčunаrа оd strаnе učеnikа utičе nа razvoj niza njihovih psihоmоtоrnih i kоgnitivnih spоsоbnоsti: spоsоbnоsti rеšаvаnjа prоblеmа, аpstrаktnоg mišlјеnjа, lоgičkоg rasuđivanja i intuitivnоg sаznаvanja i iskustvа; оlаkšаvа snаlаžеnjе u svijеtu simbоlа ; utičе nа rаzvој kооrdinаciје pоkrеtа, vеštinе čitаnjа i pisаnjа, krеаtivnоst, kоmunikаciјu i mоtivаciјu. Vеlikа zаintеrеsоvаnоst učеnikа zа rаd nа rаčunаru mоžе sе оbјаsniti unutrаšnjоm mоtivаciјоm, kојu kоd djеcе pоdstičе kоrištеnjе nоvе tеhnоlоgiје.

Rаd nа rаčunаru zа učеnikе prеdstаvlја pоsеbаn оblik učеnjа. Učеnici u nаstаvi mаtеmаtikе tеžе dа rаzumiјu i оvlаdајu оnim štо zа njih imа pоsеbаn smisао i znаčеnjе. Rjеšаvајući mаtеmаtičkе zаdаtkе primеnоm rаčunаrа učеnici utvrđuјu stеčеnа i usvајајu nоvа znаnjа i pоstајu svjеsni nоvih iskustаvа. Rаd nа rаčunаru učеnikе аktivniје uklјučuје u prоcеs primаnjа infоrmаciја, čimе sе stvаrа rеаlnа оsnоvа zа trајniје i еfikаsniје kоrišćеnjе usvојеnih mаtеmаtičkih pојmоvа. То је vеоmа važno pоštо sе znа dа је tеmеlјnа funkciја rаčunаrа u nаstаvi mаtеmаtikе uprаvо u tоmе dа se angažuje štо višе pеrcеptivnih spоsоbnоsti učеnikа (vizuеlnih, аkustičkih, аudiоvizuеlnih i sl.) kako bi sе оsigurаlо kvаlitеtniје usvајаnjе mаtеmаtičkih prеdstаvа i pојmоvа. Prоcеs sticаnjа mаtеmаtičkih znаnjа primеnоm rаčunаrа, оsim pеrcеpciја i prеdstаvа stеčеnih pоsmаtrаnjеm, uklјučuје i vеоmа intеnzivnе intеlеktuаlnе аktivnоsti (аpstrаktnо mišlјеnjе), о čеmu trеbа vоditi rаčunа ukоlikо žеlimо dа primеnа rаčunаrа u nаstаvi mаtеmаtikе budе uspеšnа. Upоtrеbа rаčunаrа će biti u funkciјi rаzvоја mаtеmаtičkоg mišlјеnjа i uspеšnоg usvајаnjа mаtеmаtičkih pојmоvа samo аkо оsigurа i

14

pоdstаknе оdgоvаrајućе misаоnе аktivnоsti učеnikа. Rаdоm nа rаčunаru učеnici usvајајu оdrеđеnе pеrcеptivnе pоdаtkе, a njih je potrebno transformisati u odgovarajuće pojmovne sadržaje – što se može obavljati isključivo misaonim putem. Prilikоm plаnirаnjа kоrišćеnjа rаčunаrа оd strаnе učеnikа u nаstаvnоm prоcеsu bitnо је uvаžiti individuаlnе mаtеmаtičkе , baš kao i opšte intelektualne spоsоbnоsti učеnikа.

5.1. PRIKAZ MOGUĆIH PRIMjENA RAČUNARA U NASTAVI MATEMATIKE

U narednom dijelu navodim nekoliko primjera gdje se sve mogu primijeniti računari u nastavi matematike

5.1.1.Pripreme nastavnika

Među poslove nastavnika matematike spada i pripremanje materijala za rad na času – nastavnih listića na kojima se nalaze zadaci i pripremanje zadataka za pismenu provjeru znanja učenika. Nažalost, znatan dio nastavnika matematike testove još uvek priprema pišući ih olovkom. Rukopis nastavnika često nije dovoljno čitljiv, pa su brojevi sadržani u zadacima ponekad nejasno napisani, što dovodi do zabune pri rešavanju zadataka. Nastavnikove pripreme za časove podložne su stalnim promenama. Budući da savjesni nastavnici matematike kontinuirano analiziraju svoje časove, neprekidno postavljajući sebi pitanje šta bi sve trebalo promijeniti u pripremi da bi čas bio što kvalitetniji - bilo bi mnogo praktičnije imati pripreme u elektronskom obliku. Jednom napisana priprema za čas na računaru može se dopunjavati nekim novim sadržajima, mijenjati i kao takva sačuvati u elektronskom obliku i po potrebi odštampati. Time bi se izbjeglo ponovno pisanje onih sadržaja koji se zadržavaju u dnevnim pripremama.

Microsoft Word je primjer jednog tekstualnog software-a koji se može iskoristiti u nastavi matematike. Naime, pored mogućnosti za obradu teksta, MS Word nudi i mogućnost rada sa matematičkim tekstom, pisanje matematičkog sadržaja . MS Word sadrži ugrađene komande i funkcije za pisanje matematičkih sadržaja. One se nalaze u tab-u INSERT , dugme EQUATION

Pored raznih simbola, ovdje nam se nudi mogućnost pisanja razlomaka, stepena, indeksa, matrica, integrala, operatora, korjena itd. Čak postoje i već ugrađene neke najznačajnije formule i relacije .

Primjer:

ex=1+ x1 !

+ x2

2 !+ x3

3 !+… ,−∞<x<∞

sinα ± sin β=2sin 12

(α ± β )cos 12

(α∓ β )

15

∫−1

2x2−3x−5

x3−1dx

Pored toga, postoji i dodatak MS Word-u- Microsoft Math Add. Tu se na raspolaganju nalazi velika kolekcija matematičkih simbola i struktura koje mogu biti dio matematičkih izraza.

Po uspješno završenoj instalaciji, pojavljuje se tab (kartica) Mathematics. Ne samo da se matematički izrazi mogu bez problema ubacivati u tekst nego je omogućeno i izračunavanje matematičkih izraza direktno u dokumentima. Microsoft Mathematics Add-In se može iskoristiti za izračunavanje standardnih matematičkih funkcija kao što su trigonometrijske funkcije, korjen ili logaritam, operacije nad matricama i kompleksnim brojevima, izračunavanje statističkih funkcija, izračunavanje određenih integrala, rastavljanje polinoma na činioce , crtanje 2D grafova i 3D grafova u Dekartovom koordinatnom sistemu i dr.

Na primer, brojevni izraz 52+ 3√ 6427−(−5 )3∗27

13 najlakše se pravi pomoću galerije izraza, a znaci za

računske operacije unose se preko tastature, pa se klikom na dugme Compute-->Calculate dobija

rezultat : 22736

− direktno u dokumentu.

Zatim, možemo iskoristiti ovaj dodatak za prikaz grafika trigonometrijskih funkcija.

Na primjer, grafik funkcije y=sin x

16

Ovaj dodatak možemo iskoristiti i za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Na primjer, sistem

2 x−3 y+5=0

x+ y=6

Selektujemo obje jednačine i odaberemo opciju SOLVE FOR X,y u opciji COMPUTE te dobijemo rješenje

(x=135

, y=175 )

Takođe, rješenje možemo predstaviti i grafički odabirom GRAPH 2D u opciji GRAPH.

Ovaj dodatak može poslužiti i za prikaz funkcija više promjenjljivih. Na primjer, funkcija z= x2

16+ y2

25

predstavlja elipsoid i on se može prikazati grafički odabirom opcije PLOT IN 3D.

17

5.1.2. Program GEOGEBRA

Jedan od najčešće korišćenih programa koji mogu da se koriste za nastavu i učenje matematike jeste Geogebra. To je besplatan softver koji u sebi obuhvata geometriju, algebru i analizu i zaista predstavlja veliku podršku u povezivanju matematičkih pojmova. Njen tvorac , Markus Hohenwarter , pokrenuo je projekat 2001. godine na Univerzitetu u Salcburgu, nastavljajući ga sada na Univerzitetu u Lincu, uz pomoć programera i prevodilaca u cijelom svetu. Nakon objavljivanja na Internetu 2002. godine,neočekivano veliki broj nastavnika je kontaktiralo Markusa Hohenwartera da podijele svoje oduševljenje zbog mogućnosti korišćenja softvera Geogebra u učionicama. Nakon neizmjernih pozitivnih povratnih informacija od nastavnika uslijedilo je nekoliko nagrada za edukativni softver, uključujući i nagradu European Academic Software Award 2002. godine . Geogebra ima tri različita prikaza matematičkih objekata : grafički prikaz, algebarski prikaz i tabelarni prikaz (slika ). Pri tome su svi načini prikaza istog objekta dinamički povezani i automatski se prilagođavaju svakoj promjeni koja se izvrši u bilo kojem prikazu, nezavisno od načina na koji su objekti nastali. Geometrijske konstrukcije se prave u grafičkom prikazu , pomoću miša i alata za konstrukcije. U polje za unos se direktno unose algebarski izrazi, a njihova grafička prezentacija će automatski biti prikazana u grafičkom prozoru.

18

Može se reći da je za nastavnike matematike Geogebra veoma jednostavna za korišćenje. To je stoga što nastavnici razumiju matematičke ideje i logiku koja stoji iza alata koje nudi Geogebra. Međutim, bilo bi od velike koristi uputiti i učenike na korišćenje ovog programa za rješavanje matematičkih problema kao i za istraživanje matematičkih odnosa. Izgradnja matematičkih modela pomoću softvera može se učiti istovremeno sa matematikom. Ovde su prikazani samo neki primjeri za korišćenje programa Geogebra u nastavi, a mogućnosti za primenu su zaista daleko šire. Moć vizuelizacije i matematičku pozadinu programa Geogebra nastavnici mogu koristiti kao sredstvo za razvoj teorijskih značenja geometrijskih pojmova, i to već u ranoj fazi uvođenja geometrijskih pojmova. Geogebra podržava matematički adekvatan razvoj odgovarajućih geometrijskih koncepta. Kada se uvodi pojam prave , učenik crta pravu liniju koristeći olovku i lenir. Korištenjem ovih alata učenik ne mora da mnogo razmišlja o preduslovima za određenost prave. Kada učenik koristi program Geogebra za crtanje prave, najprije mora da postavi tačku. Onda se prava pojavljuje, ali se njen pravac pomijera kursorom. Pravac se bira izborom druge tačke . Dvije različite tačke određuju tačno jednu pravu –učenik može da usvoji teoriju prilikom crtanja prave u programu Geogebra. . Slično važi i kad se crta krug. Prvi Geogebra alat za crtanje kruga zahtijeva da se izabere tačka (centar kruga) i udaljenost centralne tačke do tačke na krugu . Drugi Geogebra alat za crtanje kruga zahteva da se izabere tačka (centar kruga) i odabere dužina poluprečnika. Dakle, ovim pristupom konstrukcije učenik razvija svijest o tome da je krug određen centrom kruga i konstantnim rastojanjem od centra kruga do tačke na krivoj (poluprečnik). Kako je u osnovi programa Geogebra koordinatni sistem , ovaj program može naći izuzetnu primenu u upoznavanju koordinatnog sistema i njegovog korištenja. Čak šta više, nastavnik matematike ne mora prvobitno da poučava učenike kako da ucrtavaju tačke u koordinatnom sistemu i kako da očitavaju koordinate tačaka na papiru. Čas se može tako organizovati da se u isto vreme učenici upoznaju sa koordinatnim sistemom, ali i sa alatima za crtanje koje pruža program Geogebra.

19

Algebarski prostor

Geometrijski

prostor

Jedna od glavnih karakteritika programa Geogebra jeste dinamičnost prikaza. Za razliku od skice na papiru, koja predstavlja statički model, u Geogebri je moguće mijenjati određene parametre u grafičkom prozoru. U samom postupku konstrukcije matematičkih objekata određeni parametri se definišu da budu primijenljivi na ekranu. Ovo je omogućeno upotrebom klizača. Dinamičnost programa Geogebra naročito je pogodna za zapažanje i vizuelno predstavljanje zavisnosti pojedinih matematičkih objekata od određenih parametara. Recimo, kada se obrađuje nastavna jedinica Zavisnost linearne funkcije y=kx+n od parametara k i n, prilikom crtanja grafika funkcije u programu Geogebra parametri k i n mogu da se definišu da budu promenljivi na slici putem klizača (slika ). Tako će učenik moći da prati promjenu izgleda grafika funkcije u zavisnosti od pomenutih parametara i da bude podstaknut na samostalno izvođenje zaključaka.

Pored toga Geogebra se može primijeniti prilikom obrade dijelova koji se odnose na stereometriju, tj geometrijska tijela i njihov prikaz. Naročito je korisno prikazati poprečne , dijagonalne i osne presjeke tijela .

20

Na samom kraju navodim primjer pripreme nastavnog časa , nastavna tema: elipsa, na kojem sam kao nastavno pomagalo koristio software GEOGEBRA.

ČAS :68 NASTAVNA CJELINA:Konusni presjeci Metodska jedinica: ElipsaOBLICI RADA: frontalni, individualni METODE RADA: demonstracija ,rad na tabli, metoda razgovoraTIP ČASA: obradaNASTAVNA SREDSTVA: kreda, tabla, zbirka zadataka iz matematike za III razred srednje škole ,software Geogebra, led projektor DATUM :26.02.2014. godineŠkola: SŠC ''Nikola Tesla'' VukosavljeOdjeljenje: III-2Cilj časa: usvajanje matematičkih znanja (predstavljanje elipse jednačinom drugog reda), razvijanje logičkog mišljenja i zaključivanja, tačnost, jasnoća, urednost, potpunost, koordinacija ritmičkog pisanja i govora , samostalnostZadaci nastavnog sata: učenik bi trebao da zna odrediti jednačinu elipse ako se znaju neki jednostavniji elementi, razvijeni oblik transformisati u osnovni kao i presjek prave i elipse

STRUKTURA ČASA UVODNI DIO (5 minuta)

Aktivnost nastavnika Aktivnost učenika

Upisivanje časa

Pojam elipse -definišu elipsu, intuitivno

GLAVNI DIO (35 minuta)

Dio sadržaja Aktivnost nastavnika Aktivnost učenika

Ciljevi časa Upoznaje učenike sa sadržajima i ciljevima časa

21

Ispisuje naslov na tabli

Elipsa -Definicija elipse: skup tačaka u ravni čiji je zbir rastojanja od dvije fiksne tačke konstantan-prikazuje im na slajdu elipsu (geogebra) sa svim elementima, žiže, velika i mala osa,tjemena...Jednačina elipse:

e ≡x2

a2+ y2

b2=1

č ije su ž i ž e u tač kama F ' (−c ,0 ) i F (c ,0)c=√a2−b2

e= ca

linearniekscentricitet

Primjeri Primjer 1,2,3 - demonstracija Učestvuju

Primjeri - Usmjeruje i nadgleda Rad na tabli:primjer 4 i 5

ZAVRŠNI DIO (5 minuta)

Dio sadržaja Aktivnosti nastavnika Aktivnosti učenika

zadaća -zadataka 6, zadatak 7 -zapisuju

Zadaci:

1. Na geogebra skicirana elipsa gdje imamo tjemena elipse.Odredi jednačinu !2. Na geogebra elipsa sa jednom tačkom na njoj i dužinom velike poluose3. Odredi jednačinu elipse čije je velika osa 16, a konfokalna je elipsi 3x2+4 y2−120=04. Odredi tjemena , veliku i malu osu kao i žiže elipse 3 x2+5 y2−15=05. Odredi presjek prave 2x-3y=0 i elipse x2+4 y2−16=06. Odredi jednačinu elipse kojoj pripada tačka A(5,6) ,a žiže su joj F1(-8,0) i F(8,0)7. Odredi presjek elipse 3 x2+5 y2−15=0 i prave x− y−1=0

Na geogebri koristim prikaz elipse :

22

Prikaz je dinamički. Koristim tačku A da pokažem svojstva tačaka na elipsi, samim tim da savladaju definiciju, da je zbir rastojanja od fokusa kanstantan. Pored toga koristim klizače za veliku poluosu a i i žižno rastojanje od koordinatnog početka , da ilustrujem položaj elipse u zavisnosti od ovih elemenata. Pored toga na prikazu je mala poluosa, koja se računa preko formule. Takođe, prikazan je linearni ekscentricitet, koji zavisi od c i a. Veoma korisno je vidjeti kako se mijenja izgled elipse kada se linearni ekscentricitet povećava i smanjuje, tj kad se smanjuje ili povećava velika poluosa tj. učenici sami uviđaju da što je ekscentricitet bliži 1 to je elipsa „više spljoštena“.

23

6. ZAKLJUČAK

U ovom radu nastojao sam predočiti značaj nastavnih sredstava i pomagala. Sama nauka govori da su oni neophodni za što uspješniju realizaciju nastavnog procesa. Spektar sredstava i pomagala je jako širok i na nastavniku je da odluči koji i kada da primijeni. Možda je i najpresudni momenat u cjelokupnoj organizaciji nastave upravo u odabiru nastavnih sredstava i pomagala. Nastavnik prije svega mora da dobro poznaje nastavna sredstva i pomagala prije nego što ih koristi. Kada govorimo sa tehničke strane, nastavnik mora vješto da rukuje pomagalima. Prvenstveno, ako je riječ o matematičkom software-u.

Takođe, nastava matematike , da bi bila uspješna, treba da iskoristi pogodnosti koje nam nudi informaciona tehnologija. Mi smo danas u mogućnosti da primijenimo računar u skoro svim oblastima djelovanja pa tako i u matematici. Digitalni svijet obiluje alatima koji se mogu iskoristiti. Ti alati ne da olakšavaju rad, već su i korisni sa strane mentalnog i psiho-fizičkog razvoja ličnosti. Na samom kraju mogu da iznesem sopstvenu ideju, razmišljanje i aspiraciju koji se tiču metodike nastave matematike: nastava matematike treba da se realizuje na način da se prezentacija matematičkog sadržaja vrši uporedo sa osposobljavanjem učenika za korištenje matematičkog software-a kao i na primjenu tog software-a na sadržaj koji se prezentuje.

24

SADRŽAJ

1. UVOD ............................................................................................22. FUNKCIJA NASTAVNIH SREDSTAVA I POMAGALA ..........................33. KLASIFIKACIJA NASTAVNIH SREDSTAVA I POMAGALA....................54. NASTAVNA SREDSTVA I POMAGALA U NASTAVI MATEMATIKE......9

4.1. UDŽBENIK I ZBIRKE ZADATAKA ..............................................9 4.2. PANOI ....................................................................................11 4.3. GRAFIKONI .............................................................................12

5. PRIMJENA RAČUNARA U NASTAVI MATEMATIKE ..........................14

5.1. PRIKAZ MOGUĆIH PRIMjENA RAČUNARA U NASTAVI MATEMATIKE......... 15

5.1.1. PRIPREME NASTAVNIKA........................................15

5.1.2. PROGRAM GEOGEBRA ...........................................18

6. ZAKLJUČAK .......................................................................................23

25

Literatura i izvori

1. Pedagoški rječnik, Beograd, 1967. 2. Enciklopedijski rječnik pedagogije, Zagreb,19633. Smolec: Kako da učim matematiku,Školska knjiga, Zagreb, 19644. Dr Đorđe Lekić:Eksperimentalna didaktika, II dopunjeno izdanje, Misao, Novi Sad, 19855. www.geogebra.org 6. http://www.microsoft.com/ 7. Vladimir Poljak:DIDAKTIKA, Školska knjiga 1984

26