STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

34

Transcript of STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

Page 1: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

��� � � � � ��� ��� � � � � �� � �� � �� � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � ��� �

��� � � � � ������ �"!$#&%('*),+.-0/2143./6587�9:!<;>=?!$#&@BA0- 9:#?CED�!:;F%G#?#,9BHI32JLKNM0ON+.-0/2143P/+0%GQR9S�UTWVX%G#YTZ!:[]\^9STW=&%GV_9STW`baFc-d#?`feY%F�"c"`gTh�i!:[]M(9:#?c"9:cjYkml J #?!onpAP9:qrqs 9tnu�U%G#?aF%:5?M6Jwv$v kSj l Oyx&z j x

{ |m}*~&�?�u�2�2��~&�h��}�G���>�h�2���t�(�t�����t�N�h�����t���������i�������>��� �¢¡¤£y¥�¦r§¨¡¤£U©"¦r§�ª��>«�¬PªW�t«t�h­�®t���W�y§¨¡¤£°¯W¦r§����t�2�g��ª��±�������oª�­² � �U���>�³ª��.´����������t���oªyµ����t­³ªy¶��h«(ª��0���t�N���yªW�����>��­�¶u��´4�S��� ��ª��·�¸����­��¹���P´4ª��·¶dºt�h­�«>�»���Rª��>�t­����yªW����������>�¼�.ª����·¶F«t����­�����¶�§t�h�N���t��´����N��ª��t«u���h­��h�N��´4´��t�t���hªW�������t�N½¾ �N��¿�ÀiÁÂÀ�£�½&ÃÄ�Å���,�Å�h­�­Æ�Ç�t�°���Z���tªW�Å���t�h� �»���Ū�È]ªW�t��� �³ª��4� ���F�¼�oª��É�������t� �G�N�h� �ËÊrÌ�ÍÎÐÏ�Ñ�Ò ¿�Ó���>�¼�0���tªW� ÔÖÕ Ì Íλ×�Ø ¿ Ï Ô ÊrÌ ÍÎ Ì ÍÙ Ó Ø £Ú¨Û<Ü Ñ Ü Ý Í(Þ Üàß>Ü Ý Í6á Ü Ñ á ß>Ü Ý Í�â Êã£�½�£°Ó

�g���äªW­�­ ß Ï�ÑÅå.æoç ½?èä�t���ä�t���F�h�N�������ä�hª�­�­��h«*ªdÊf�É�¼ª��>«oª���«oÓÅ�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t�³ªW�*´4���������4�������u�¸�t���É��oª���ª�´��N���N�éÁ¢½ èé�¸����´��t­����궸���t�R�t���N���N�Ç��ªW�������$§W���m���éª�­ë�Iªy¶F� ª���� �t´4�N«¹���oªW�m���t�,�g��ªW�N�������oª�­ ² ���°���t��ª��´����������*����¿�ªW� Ñ Ø ¿>½ÃÄ��Á Ø £Uì Ú §:���t�h�(���>���N����� �h� �<���>«t���t�*�g��ª��N�������oªW­ ² � �U���>�³ª��(´����������.�������t���t���tª�­?� ��ª��t«oª�� «² � �U���>�³ª��(´����������$½�ÃÄ�IÁ íî£Uì Ú §$���t�h�(���t���t� �G�N�h� �ïÊfÌ ÍÎ Ï�Ñ]Ò ¿·Ó»�±ðG�t��®t�����¹ª*­����t�WñÄ��ª��t����«t�N�<�N�Gñ«t�N�t�h�W§<���tªW�¸���h§Æ�ë�&ò>ÊfóYÓ Ø Ô ¡�ÊfÌ Íô ÊrÌ Íõ ç ô á Ì Íõ Óã¦r§o���t�N�(öd÷õyø ô òtÊgóYÓ Ø^ù ½Iú^�g��ªW�N�������oª�­ ² ���°���t��ª��´����������û���éª�­��������N­��³ñü� ��´���­�ª��h§±���oªW�é���h§>ÊrÌ Íý ÎãÏ�Ñ�Ò ¿·Ó$�oª��Y���>�Å��ª�´4�,�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶»­�ªy��ª��ÅÊrþ Í Ì ÍÎ�Ï�Ñ�Ò ¿·Ó±½úÿ�t� �G�N�h� �]��ªW����� �ê¶F���>�ï���t�����t� ���<�N� �ü¶0�����hª�­�­��h«2ªZ� �h­ë�³ñü����´4��­³ª��ä�>���F�h�h� ���������.���t���¸�t���É�û�oª���ª�´4�±���N�Á¢½ ������������ ������������������������� ���!����"$#%�&('*)���+,�!).-0/$12�13�4��5���"$#%6��$)�-0/1$2�7$1�89/1:;�<3�89/$1:;�<=�&> ��-5?@"$)A6��B�$#%6DC�E�)A�$����&�F%).�������"$# �!�HG@)."I?J#��K�!#D+L"!�.��"#M8ONP�RQ"S��#T���U$)A�!�V8W�T�.).�!��"$#%"IXT�K�AED��#�.��U).�$�Y8 NP�RQ"0Z[")�+\���K��8W]^���A_C�)."969�%���<8�NP�RQ",��!�K�`�����%�89+a��������C����bNP�RQ",��#�.��U).�$���85+a��������C����a�T��)A�I�."$#�"IX5�K�AES��#�.��U).�$�c �<���<�!)A�AEd����C�CW"$)����6eC%�$)��.���$����-,�5-Sf���Fg:h)A�!#T�Bi����d�/j$7!k7�

£

Page 2: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

�G���t�h����� ´4ª��·¶2�t����®t­��N´4�Ë���N­³ªW���h«(���d�t�N�ü�Å��� � ����ª�����ª��oª�­ë¶F�����N§ ´4ªW���t�h´4ªW�����yª�­éºo�oª��>�h�ZªW�t«´4ª��·¶Ë�����t�N� ºo�N­�«t�N§W���t���t� �G�N�h� ���h�L�t�t«t�N�L� ���t«>¶]���N�h´ �h´��t��� ���hª�­�­ë¶����»�±ðG�t��®t���m���t��� �h­��³ñÄ����´4��­³ª��<�t�����Fñ�h�É�����h�¹ª��t«(���t��­����>�Wñü��ª��t���¨«t�N�<�N�t«t�N�Ç���t�����<�N� �����h�¹ª��t« �����t�h�����t���g��ªW�N�������oª�­ ² ���°���t��ª��6´����������t�ª�� �����t�¨� ��´��t­��N� �»�t���F�h�N�����N�Ë���,���t�����Ç���t«$§:����������´��S��� ��ª��·�»���ï�oªyµ���ªZ� ¶F� ���h´4ªW������� ���t«>¶2�W�R���t�h� ��t� �G�N�h��� �h��ª��t«����]�t���ä���>�h´ÿ���]�h���t� �����t�±�������t�h�,�É���F�¼�oª�� �������t� �G�N�h��� �h�N½����t�ä��ªy¶¨���¹ª��t�t� �·ª��¼�����t���� ���t«>¶6���Ë���P�g��­�­��°�˧鮷¶¢ªW�oª�­�����¶�§é���t�4´4�±���t�F«t�Ë�g��� ² � �°���t�³ª��6´4�W�������$½*Ãü�¢���>�Z� ���G�¼�oªW� �����Zª��tª�­ëñ¶F�����h§éª ² ���°���t��ª��(´4�W�������.�yª��(®S�¨�t���N«¢ªW�����t�¨���t�t�>�4Êê���t�����°Ó��t��������ªW�t«(´ïª��·¶P�����t�N�û�t���F�h�N��� �h�Êf�W½ �>½.���h�>�h��ªW­�«t���:�t� �����6�t���F�h�N��� �h�¼Ó��hª���®S�ï�h���t� �����t�±���h« ª�������­��>�������t�]����� ���G�¼�oªW� �����Z«t���:�N���h�·���³ª�­���Ç�oª"�������t�h½����t�Ë�<�°�Å�h�É�g�t­$���F��­:�g���ä«>�N���N��´����t���t�����>�h���]����­��>�������t�����ä���t�ËÃÄ����g����´��t­�ª>½�¸�U�Å�Nµ��h�N§t���R���Rª�­����]�Ç�t�°���Z���oªW�R�ë�Yª¹�É���F�¼�oª��É�����¸�t� �G�N�h����Ê�� Î Ï�Ñ�Ò ¿·ÓL�g���,���t���¼�����t��� ���F�¼�oª��É��������·���h����ª�­� �� Î�� � Î �������N­�­?«t�±ºo�t�N«6�g���˪*­³ªW�����¨�N­³ª�� �û�������·���h����ª��t«>�ïÊ�� Î Ï�Ñ]Ò ¿�Ó±§$���>�h�(���t���]�>���F�h�h� �Ê�� Î Ï ÑIÒ ¿·Ó?´��t�É�ä®<�»ª����N´4��´ïªW� �����t�·ª�­��ä��½ �t½�¡ Ú ¿W¦r½?ÃÄ�I�����Ç�t�°���Z���oª"�����>�»�g��ª��±�������oª�­ ² � �U���>�³ª��4´4�Wñ�������t�Ū������t�������h´���´4ª��É�����>�·ª�­��N�h½mèä�t�N���N�g�����»���t�»®S�yª��G�����g�>­S�N­³ª�� �����yª�­Æ���t�N��� ¶����$� ���F�¼�oª��É�����ûª��oª�­ë¶F�����¡ ¥�¦Æ���,�t���Ū��>�t­����yª�®t­��I���Ë�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t�³ªW�4´����������t�&�g���RÁ �Ø £Uì Ú ½LÃÄ�Å���,ª]�������t��ºo�hª��·�Rª��t«4�¼�oª�­ëñ­��N�t�����t�4�>����®t­��h´ ���ï�±ðF���h�t«.���t�¹� �h� �t­����»���d���t�¹�h­�ª���� ���yªW­Y� ���F�¼�oª��É������ª��oªW­�¶F�����¸���4���>�h���]�g��ª��±�������oª�­² � �U���>�³ª�� ´4�W�������t�h½4èä�t�h� �4�oªyµ��ï®S�h�h�Ъu�g�±� �oª��S�h� �¹��� ���t���]«t��� �h�±��������� ¾ ���i¡¤£��"¦RªW�t«��ûª��,ªW�t«���±¶F«t�4¡ Ú ¦:���·��� �G«>�t�h�N«*� ���F�¼�oª��É�����û���·���N����ª�­��Iª��>«*�±ðF���N�t«t�h«d���t�»ÃÄ���¨�g����´��t­³ªË�����g��ªW�N�������oª�­ ² � �U���Fñ�³ªW�¨´4���������>�h½éèä�t�h���?«t�Nºo�>���������t�?���<� ���G�¼�tª�� �����ä���·���h����ª�­>���ëµ���ªû� ���G�¼�tª�� ���������·���N����ªW­>���$�F����ªW�����t�°µG���¼��ü¶F�<�W§$���t���¼�(�����±ðG�t­�ª����t�N«.�g�t� ���t�h�û��� �G�h�±���������>½Ëèä�t�h���ûÃÄ���Z�g��� ´��t­�ªï���¸���t�¨�t� �oª�­&�¼�tª����(���>­��¹�g���«t���:�N���h�·���³ªW�������$½èä�t��� ���G�¼�tª�� ���������·���N����ª�­� Î��� Ù � Ì�ÍÙ �������6� �h� �<�N�N�]���u���t�¨�g��ªW�N�������oª�­ ² ���°���t��ª��6´����������t�N§Y���Gñ��� �G«>�t�h�N« ®·¶ ¾ ���$§!�ûª��Lª��t«(���±¶F«t��§m«t�F�h�Ë�t������ªW����� �ê¶0���t���g��­�­��°�����t�ï�t� ���S�h� �ü¶�§ Ô Î� � Ù � Ì�ÍÙ Ø ¿>½ú �t�N� �ü¶G�S�������É���F�¼�oª��É���������Ç���h����ª�­� Î�"� Ù � Ì�ÍÙ ���û���Ç�����F«t�t�N�h« ��ªW����� �ê¶F���t� Ô Î��� Ù � Ì�ÍÙ Ø ¿>½�èä�t����t� ���<�N� �ü¶�� �h�h´��Å���¹®S�¸��´��<���É�¼ª��·�?�������t�¸´4�F«t�h­����t�û�>����®t­��h´ ®·¶�� ���G�¼�tª�� �����¸«t�#�<�h� �h�·����ª�­o���Ç�oªW�������>��������.�g��ª��±�������oª�­ È˪��t��� �³ª��2�>����� �¨ª��»���t��«t� ��µF���t�ï��ª��t«>��´ �>���F�h�h� �h½%$����t� ��«t�N�»���t���g��­�­��°�����t���ü¶F�S���� «t�#�<�h� �h�·����ª�­$�&�F�tªW��������('�Î Ø*) Ê '�Î Ó � Ñ Þ,+ Ê ' Ù Ó � Ì ÍÎ.- Êã£�½ Ú ÓÃÄ�Å���,�oªW���t��ª�­o�����h���t����«t�h�,���oª"� ) Ê '�Î Ó&���,���>��´��yª�����ª"���¸���Y�¼�oª��>�����W�$���t�¸� ¶F�É���h´î� ��ªW��� '�Î ªW�,����´4�Ñ ªW�t« + Ê '�Î Ó � Ì�ÍÎ ���I���t�]��ªW�t«t��´ �S�h�É���t� ®oªW�������$½R�F�����t�û���h� ´ + Ê '�Î Ó � Ì�ÍÎ ���>���t­�«d�t���¸�N���·������®t�>������Ë���>��´��yª�����ª"�������$�¼�tª��t���W½?èä�t�¸���h� ´ ) Ê '�Î Ó,���?�t���N«ï���]���N�t���N���h�·�Å���t��ªyµ��h��ª��������,«t�N���h��´����>��� ������oª��É�����L���t���>����®t­��h´�ª��>« + Ê '�Î Ó����¸�t���N«.���Z� �h�t� �h���N�·�û���t�¹���·���N�t���ë�ü¶0�W�?���t�¹��ª��t«>��´��oª�� �»���?���>��t� ��®t­��N´0½Ëèä�t�N���±�g�����¨�ë�����»��´��<���É�¼ª��·�����*�±ðF���h�t«2���>�¨�h­³ªW�������yª�­ ���·���N���t� �N��ªW�������.��� ) ªW�t« + ���Z���>�«t���:�N���h�·���³ª�­$�&�Ç�oªW�������6ÊÉ£�½ Ú Ó ½èé�����·�����F«t�t�h�����t���t�N�w���·���N����ªW­ � � Ì Í §G���t�0/ ���¼���t� �G«>�t�N�ä����/ ���¼���hª�­��N�t­��t�Å���Å�t���N«$½,èä�t��t� �0����/ ���¼�¢�t���F«t�t�±�������t����ª��>��´ïªW­����t��®<�N�yª��t� �0�������t�����*�t����� �dª��oª�­ë¶G� �������t�u�t���tª�­��t���F«t�t�±��oª��ï®<�N�h� ª�� ���F�h�³ª"���h«B�������X���·���N����ª�­��4�W�¹�F����ªW�����>�UµF���¼�i�ü¶G�S�2ª��>«X���t�1/ ���¼� �t���F«t�t�±�Z�oª��ï®<�N�h�ª�� ���F�h�³ª"���h«*���ë���d���·���N����ª�­��I��� ÃÄ�����ü¶F�<�4Êf�W½ �>½»¡à¯W¦r§m¡¤£ Ú ¦³Ó±½ú ®>�����±�����>��­����>�ï���ä���t�Z�oª��S�h���������ëµ��N���t�°�˽ Ãü� �F�h�N������� Ú §?����´��ï«t�N���N�����G������� ª��t«Ð���N��´��ëñ�t��­�����¶d�g���»���t�¨�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t�³ªW�2´4���������>�ûª����¨����µ��N�$½�Ãü�6�G�N�N�������2�>§mªZ«t�N����µWªW����µ��¨���2���S�h�N�³ª�­«t�����h�±�������t������«t�±ºo�t�N«BªW�t« ªP� ���G�¼�tª�� �����Z���Ç���h����ª�­R����ÃÄ���P�ü¶F�S�*���¹«t�Nºo�>�h« �t�����t�P���t�3/ ���¼� �t� �G«Gñ�t�±�y½54o�t�É���t�N��´������W§&ªP�É���F�¼�oª��É�����4���·���N����ªW­R�W�¸�F����ªW�����t�°µG���¼�¢�ü¶F�<�ï���]«t�Nºo�>�h« ª��t«¢���t�4�ü�Å�.�ü¶F�<�N����?�É���F�¼�oª��É�����]���·���h����ª�­��¸ª�� �����N­³ªW���h«$½äÃü�.�G�h�±�������.¥t§Æ����´4�]�¼�oª��t�������&µWª�� �³ª�®>­��h�ä�g��� ´��t­�ª��¹ÊfÃÄ�����g���Éñ

Ú

Page 3: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

´��t­�ª��¼Ó¹ª����Z����µ��N���g�������>�Z�ü���2�ü¶F�<�N�����¸� ���F�¼�oª��É�����*���·���N����ª�­��h½ Ãü�B�G�h�±������� ©G§?�ü��� ª��t�>­����hªW�������t����R���t��ÃÄ���u�g��� ´��t­³ª*ªW��������µ��h�$½�Ãü�Ð�G�h�±���������G§é´��t­������t­������·���N����ªW­��û���ÅÃÄ���u�ü¶F�<�4ª��t«¢�F����ªW�����t�°µG���¼��ü¶F�<���g���Iª¹�g��ª��N�������oªW­ ² � �°���t�³ª��ï´4���������ïª����»«t�Nºo�>�h«dª��t«Z���t�û���Fñɬ0�±¶��h�I�g����´��t­�ª¹���I�±ðF���N�t«t�N«u������>�h���û´��t­������t­��¸���·���h����ª�­��h½&èä�t�»���h­�ªW�������ï®S�N�ü�Å�h�N�d���t�h� ���ü�����ü¶F�S�h�ä���m´��t­������t­��¸���·���h����ª�­������Å����µ��h�$½ú^� �Ç�oª�� �����Ç���h����ª�®t­����g�t�t�N�������tª�­$���&ª��g��ª��N�������oªW­ ² ���°���t��ª��d´4���������*�������h�>���h� �h�·���N«2ª���ª��d���>ºo�>��������>´ ���&��� ���>�������oªW­<���N��´��h½ÃÄ�����>�*���·���N����ª�­Å����ª.� ���G�¼�oªW� �����*���·���N����ªW­����»�F����ªW�����t�°µF���¼���ü¶F�<�Z�g����ªP�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t��ª��´����������*�������PÁ å ÊÉ£Uì Ú Ï £UÓI�oª����h���·�����Ç�t���t����ª�´��t­��Ë�oª"���t�N§<���>�h�P���t�¹���·���h����ª�­m�yªW�.®<�]«t�±ºo�t�h«(ªW�ª4­���´����ä�W�Rª4���&�Ç�t�h�t�N�¨���������N´ïª��>�P���>´4�N§S���t�N�������t�����·���h����ª��t«0�yª��P®<�¹�NµWª�­��tªW���N«.ªW��ª��·¶0�S�����Ç�®S�N�ü�Å�h�h�2�hª��¼�.�oªW�������?�oªW� ���ë�������*�<�����·���N½äÃÄ�»���¸�Å�h­�­é�Ç�t�°���P���oªW�¸���t�����¼�>�����N�¹���&�NµWª�­��tªW�������u���&���>����·���h����ª��t«¢�����t�W�¹µWª�­���« �������t�4���t�ï���·���h����ªW�����¹��� ² ���°���t�³ªW�д4�W�������$§Y���oªW�����N§&Á Ø £Uì Ú ½uÃÄ� � �����´��F�����$§G���t�N�Pª��dª��>�t­����yªW�������Z�W�?ª��uÃÄ���¨�g��� ´��t­�ª����� ÊrÌ ÍÎ Ó Ø � Êr¿�Ó Þ�� Î

� ��� ÊrÌ ÍÙ Ó � Ì ÍÙ Þ Á � Î� ßyÝ Í�� ô ��� � ÊfÌ ÍÙ Ó � ß Ï���t�N�����>����´��?«t�N�t�����N�L«t���:�N���N�Ç���³ªW�������˪W�t«�Á å Êã£Uì Ú Ï £°Ó±½éÃÄ� ���m���·���N���h�É�����t�¸�����>�����,���oª"�L�ë�tÁ Ø £Uì Ú���é�g����´4ª�­�­�¶û� �t®t� �������>���N«¨�������t�I���Ç�oª"�������$§����>�h�����>�����N­�­G�F�>�U����ÃÄ��»�g����´��t­³ª��g��� ² � �°���t�³ª���´4������������ä��®>�¼ª����t�h«:½

d�����ä~?�h��} ����� �?���Ö}2����} � �¨~?�N�4}¾ �N��� Ø�� � Ê æoçIÏ�æ Óï®S�ï���t�*���oªW�h�*����� �yª�­ ñĵWª�­��>�h«Ð�N���·�����Ç�t���t���g�t�t�±�������t����� æoç ���ë���Ð���>����>������ª�­�µWª�­��t���N�h��� ªW�t«X���>�P�����S��­�����¶����Ë­��G�hª�­��t�t�ë�g����´ �h���ǵ��h� ���h�t�N��½^èä�t�N���.���Zª¢�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶´��yª�� �t����� Í ���BÊ�� Ï�� Ó §:���t�N��� � ���»���t� ² �����N­ + ñãªW­����N®t��ªï� �t�¼�(���oªW�Ë���.���t�¨�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶d���oª��N�Ê � Ï!�PÏ � Í ÓÅ���t�Ë�N�G��� «t���tªW���û�t� �G�N�h� �»Ì Í �"��# æ «t�Nºt�t�h«Pª��Ì ÍÎ Ê%$�Ó Ø $»Ê Ñ Ó Ï $ å �

���ïª È]ªW�t��� �³ª��i�>���F�h�h� �*��ªW�����É�ê¶G���t� Êã£�½�£°Ó±½Eèä�t�.�>���F�h�h� � ÊrÌ ÍÎ § Ñ(Ò ¿·Ó����Z�hª�­�­��h«B���t�.�hª��t���t���yª�­Êf�É�¼ª��>«oª���«oÓ¹�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t�³ªW� ´���������� ������� �¸�t���É�4�tª���ª�´��N���h�¨Á6½¢Ãü�����t���¨�oª��S�h�¨���>­�¶ ���t����yªW�t���t���yª�­<�t���F�h�N���¸ª��t«u������ª���� �G�N�³ªW���h«*�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶����oª��N�]ª����û�t� �h«$½,èä�t� ���t���>���>�ä���>���ä�oª��S�h�ä�ë�I���ª�� ���t´��h«u���oª"�»Á å Ê ôÝ Ï £UÓ�����ª���®t�ë����ª�� ¶ï®t�>�äº>ðG�h«:½ $�­��yª�� ­�¶Z�ë� Á Ø £Uì Ú §>���t�û�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t��ª��´����������*���I���t�Ë� �¼ªW�t«oª�� « ² � �°���t�³ª��u´����������$½ÃÄ�u���*�h­��N´4�N�·�¼ª��ɶX���е��h� ���ê¶i���oªW�uªÐ�g��ªW�N�������oª�­ ² ���°���t��ª��_´����������X�g���uÁ �Ø £°ì Ú ���Z�>���dª���N´4��´ïªW� �����t�·ª�­���½ ÃÄ�d���*�Ç�t�°��� ¡ Ú ¿W¦����oªW�d���Ë���t�BÊf�t� �oª�­êÓï�É���F�¼�oª��É�����(���Ç���h����ª�­ '&( � Ù �(' Ù ���Z�Å�h­�­«t�±ºo�t�h«��g���&ª»­�ª������,�fª�´���­ë¶����Æ���Ç���h����ª��t«t�é�����������N���S�h�N�L���ûª¸�t���F�h�N���¸Ê '�Î Ï ÑIÒ ¿·Ó §W���>�h�����>���L�>���F�h�h� �Ê '�Î Ï�ÑÅÒ ¿·ÓL���,ªË� �h´���´4ª�� �����t��ª�­��W½Yèä�F�>�R���t�ä���N­�­t«t�±µ��N­����S�h«4�h­³ªW�������yª�­F���t�N��� ¶��g���?���N´4��´ïª��É�����t�·ª�­��h��yªW�t�t���d®S�6ªW�t�t­����h«_�t�N���W§ûª��t« ���t�(�É���F�¼�oª�� �����(���·���h����ª�­»�������w� �h� �<�N�N�d�����g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t��ª��´����������t�I�t�N�h«t������®S�Ë«t�Nµ��h­����<�N«$½¾ �N�*) � æoç,+.æoç # æoç ®S�]����µ��N�0®·¶)LÊ ß Ï�Ñ Ó Ø Á�Ê Ú Á á £UÓ Ü ß á Ñ Ü Ý Í�� Ý - Ê Ú ½�£°Ó

Page 4: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

¬Pª��·¶u� �h���>­��������é���>�����oª��S�h�ä�hª��0®S�Ë�±ðF���N�t«t�N«P����ª�´4��� �û���h�>�h��ªW­ )LÊ ß Ï�Ñ ÓÅ���oªW�¸���ä�ɶF´4´��N�������˪W�t«�S�����ë����µ���«>�Nºo�t�ë���W§G� ��)u���.Ê Ú ½ë£UÓ,���Å����µ��N�Zª���ª]�g�t�>�N�������ï�W�$�ü���¹µ�ªW���³ªW®t­��N�ŪW�t«ï�t�W�Å���t�h���Å«t���:�N���N�t�h�W½¾ �N� � � æoç # æ ®<�˪ ² �����h­:´4�hª����t��ª�®t­���Êf«t�±���N��´����t��� �����°Ó?�g�t�t�N�������:½?èä�t�û�g�t�t�N������� � å � Ý� Ê æoç Ó��ë�Ü � Ü Ý� � Ø � ÷

�� ÷� � Ê ß Ó � Ê Ñ Ó�) Ê ß Ï�Ñ Ó � ß � Ñ À ù - Ê Ú ½ Ú Ó

èä�t�]���t�>�h�ä�t� �G«t�>�N�¸���*���t�]�¸��­�®S�h�É�ä���tª��h� � Ý� ���ä«t�N�t�����h«d®Ç¶���� Ï ��� � ½èä�t�»� ���F�¼�oª��É�����¨Ê�/ ���h�t�N�¼Ó,���·���N����ª�­o���ë���Z� �h���S�h�±�I���¹�g��ª��±�������oª�­ ² � �U���>�³ª��Z´����������t�?�g���Å«t�N���h�ãñ´����t��� �����»�W�h���>�h­��¸���ä�hª�����­�¶ï«t�Nºo�>�h«$½� ��������������� � Ï�� å � Ý� Ê ætç Ó������! #"� ÷� � Ù � Ì�ÍÙ%$ "'&3 ÷�(� Ù � Ì�ÍÙ%$*) ,+- #.�.�&/ 10�"2 �&435 )7698 $ ":�; $*<>=�=#?�$ " )�$ "'& 658A@5$*)B?�$>C .D = + ? �1� @5$*)B?�$ "2E� = Ü � Ü Ý� $ "'& Ü � Ü Ý� ) =GF �E#� ?�@ #.IH $ "'&ÔKJ� ÷� � Ù � Ì ÍÙ � ÷

� � Ù � Ì ÍÎ�L Ø � ÷�� ÷� � Ê ß Ó � Ê Ñ Ó�) Ê ß Ï�Ñ Ó � ß � Ñ Ø � � ÏM� � � - Ê Ú ½ ��Ó

èä�t���L­��h´�´ïª����mµ��N����ºt�h«¨���Z¡ �U¦b½ ÃÄ�&�yªW��®<�Å�t���°µ��h«�«t��� �h�±��­�¶Ë®·¶]µ��N�����ê¶F���t�»�ë� �g��� ����´4�t­��?�g�t�t�N�������>�öuõN ø ôPO NDQ�R ÎTS�U ÎTSWV>XZY Ê ß ÓIª��t«u���t�N�0�>���F�h�h�N«t���>�����ë���0ª¨�oª�����ª����û���¨���t�Ë­���´����h½[ \Z~&�u�-] �_^ ~?�h� |m}*~a`cb����¹~?�N�4} d���� u������~&�h��} � � � �?� � }2� ��} � �fe~?�h��}g^

¾ �N�ZÊ � Ï!�PÏ �]ÍRÓ]®S�4���t�ï�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶2���tª��h���g����´��G�N�N������� Ú ���t�h� �Zª0�g��ª��N�������oªW­ ² ���°���t��ª��´����������.�������¢�¸�t���É�¹�tª���ª�´��N���h�]Áp�����Å�h­�­R«>�Nºo�t�N«$½ïèä�>�4�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶P´��yªW���t� � �]Í «t�N�<�N�t«t�¹���Á¢½&èä�>�����t���t���>�ä���t���I�tª��<�N�����>�û���t� � ���oªW��ª�´��N���h�äÁÖ����º>ðG�h«u� �t�¼�*���oªW��£Uì Ú À_ÁÂÀ�£�½,�F���t�N�ûÁ���IºGð>�N«$§o���t�Ë�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶ï´��yªW���t� �û����«t�h�>�����N«0®·¶ ��½¾ �N� ��h Ê � Ï!�PÏ �¹Ó Ø ��h ®<�û���t�Ë���oª��N�¹�W�&ª�­�­:��ª��t«t��´ µ�ªW���³ªW®t­��N� � � � # æ � �t�¼�0���oªW�i � i h � Ø Ê Ô Ü � Ü h Ó ôkj h À ùª��t«P­��N� � Ý� Ê æoç Ó Ø Û � Ü � � æoç # æ�Ï Ü � Ü Ý� � Ø ÷� ÷� � Ù � Î ) Ê ß Ï�Ñ Ó � ß � Ñ À ù â ½ �»�ê���N�P�g���¸�t����ªW�������oª�­����´4�>­����N���ü¶ � Ý� Ê æoç ÓI���ä«>�h�t�����h«d®·¶ � Ý� ½ 4o����ª��·¶ � å � Ý� §t«t�Nºt�t�ml � � Ý� # � ô Ê � Ï!�PÏ �¹Ó�ª��l>Ê � Ó � Ø �±ðG�on � ÷

� � Î�� Ì ÍÎ á £Ú � ÷�� ÷� � Ù � Î ) Ê ß Ï�Ñ Ó � ß � Ñqp

Ø �±ðG�gr � ÷� � Î�� Ì ÍÎ á £Ú Ü � Ü Ý�ts - Ê��>½�£°Ó

ÃÄ� � å � Ý� §F���t�N�9l>Ê � Ó å ��h Ê � Ï��0Ï �¹Ó?�g���I�yª��¼�fu Ò £Ëª��t«vl>Ê � ÓR���I�yª�­�­��N«Zª��*� ð>�S���t�N�·���³ªW­<�g�t�t�±�������Êf�W½ �>½ä¡ Ú £h¦³Ó±½éèä�t�ä����­�®S�h�É� � �oª��N� � Ý� ���é�oªW���>��ª�­�­�¶Ëª�� ���F�h��ªW���N«��������¹���>�äÈ˪��t��� �³ª��¹�t���F�h�N���N§��g��ª��±�������oª�­² � �U���>�³ª��4´4���������:§�®·¶����t��ªW�t�t����ª��¼�ï�t� ���t��ª��ZªW®t� ����ª��±��/ ���h�t�N�Å� �oª��h�W½?èä�t���¸��­�®<�N� �R���oªW�h�»�>­³ªy¶F�ª*®oª�� ��������­����g��� �Ç�t�N� �������t�]����ª�®t����­��>���¨�h���·�����Ç�t���ü¶�¡ �W¦RªW�t«2���t���±ðG�S���t�N�Ç���³ª�­&�g�>�t�N�������BÊ �G½�£UÓ»���˪�¸ª�«t���GñGw������F«>¶F´ «t�N����µWªW����µ����g����ª�����ª��>��­³ª"���û���é���t�û�g��ª��N�������oªW­ ² � �U���>�³ª��u´����������$½¥

Page 5: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

¾ �N����®S�û���t�Ë­����t�hª���� �oª��P�W� ���t�Ë�±ðG�<���t�h�·����ª�­��N§>���tªW�¸���h§� Ø � õ�� ø ô O � ltÊ � � Ó Ï ó å���Ï O � å.æ�Ï � � å � Ý� Ê æoç ÓÅ�g����� å £ Ï � � � Ï ó��� - Ê��>½ Ú Ó

��� ����5/� � ��� � ?D= $ &/ #" = = #� 6 � � h Ê � Ï��0Ï �¹Ó � 65) $ E��_u Ò £�� � " F:$*) � ? E < . $*) ��� ?D=4$ &/ #" = = #� 6 ��� Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó��� )76 6 � ú8�g�>�t�N�������oªW­ � � � # æ ���?��ª���«����¹®S�¸ª]�S��­�¶F�t��´4��ª�­>���<���t�ä�g��ª��N�������oªW­ ² ���°���t��ª���´4������������m���t�h� �¹����ª��S��­ë¶G�>��´4��ª�­ uéÊ�� ô Ï � Ý Ï � � � Ï � õ ÓI���t�¼�d���oª"�

� Ø uéÊfÌ ÍÎ X Ï Ì ÍÎ��ÅÏ � � � Ï Ì ÍÎ � Ó�g����� ��´��¨¿"! Ñ ô À Ñ Ý À � � �mÀ Ñ õ ½��F���t�N�dÊrÌ Í΢Ï�ÑËÒ ¿·Ó�����ªuÈ]ª��>������ª��2�t� �G�N�h���Ë�ë���������N­�­&�Ç�t�°������tªW�¨���t�*� �N�����»ª�­�­Å�S��­�¶F�t��´4��ª�­R�g��ª��N�������tª�­ ² ���°���t�³ªW� �g�>�t�N�������oªW­������¨«t�h�>���u��� � h Ê � Ï!�PÏ �¹ÓË�g���u Ò £�½�Ãü� ���t���¨�yª�� ��§����t�u«t�h�t� �h�t�N���4�������t�u�<��­�¶F�t��´��³ª�­��¹�g��­�­��°�����g� ��´ ���>�d�N���·�����F�>���ü¶Ð�W�»���>��t� �G�N�h����ªW�t«¢���>�u�F�����t�±ñ /¢�N���h� � ����ª�� �����t�N�����N´0½0è �P�t���°µ��Z���t�ï���t�h��� �h´����¹���¹���t­�¶ �t�N�h�N����ªW� ¶¢����t� �Uµ��.���oª"�uª��·¶i�S��­�¶F�t��´4��ª�­��yª��_®S�(ª��t�t� �yð>��´ïª"���h«X®Ç¶B���t�2�N­��N´4�N�Ç���Z���#�Ž �G���>�h�P���t�5/ ���¼��t� �G«t�>�N�]���Å�±ðG�<���t�h�·����ª�­��Ë���û� ����­�­?ªW� � ðG�<���>�h�·����ª�­?���Ë���û�yª��ɶ2���d���h�¨���oªW�]���Ë���û���t­�¶P�t�h�N�h� ��ª��ɶ ������>�U� ���oªW�ä�g����ª��·¶ Ñ í_¿G§oÌ ÍÎ �yªW�0®S�]ª��t�t� �°ðG��´ïªW���h«u®·¶*�h­��h´��h�·�������$�Ž¾ �N� �&% Ê ß Ó Ø Q R � U Î�Y Ê ß Ó � ½IÃÄ�����¸�h­��hª��ä���oª"���g��� � í8¿>§ �&% ������� � Ý� ½Ièä�>�h� l>Ê �'% Ó Ø)( Ê � Ó+* %-,�./ �g�������´4�û�S�����ë���ëµ��û�h���t� ��ª��·� ( Ê � Ó±½?ÃÄ�¸���ä�hª�� ¶ï�������h�û���oªW�� %ÅØ l>Ê �'% Ó á ( Ê � Ó( Ê � Ó � Ø *0%1, ./ á £

����Å���2��½?ÃÄ� � # ¿>§G���t�h� � % # Ì ÍÎ ��� � h Ê�� Ï��0Ï ��Ó&�g���Å�yª��¼�fu Ò £�½&èä�t���I�h��´4�t­��N���h�Å���t���t� �G�W�ã½43��� ����5/� � � � �1� � ô � � Ý �-� � ��� � õ $*) , #.D 8 #"!� = ? " � Ý� =#< E�� �1� $ � Ü � N á �65 Ü � �Ø ¿ � 65)87 �Ø:9 � ���! #"l>Ê � ô Ó�� l>Ê � Ý Ó�� � � ��� l>Ê � õ Ó $*) m. ? "2 $*) .IH ? "'&/ F #"'&/ #"!� ? " � Ý� �� )76 6 � èä�t���Å���t�N�����N´ �����F�>�U���*����®<�������>�û���$���t���g��ª��±�������oª�­ ² � �U���>�³ª��*´����������ï����� �h�t­�ª��h�N«*®Ç¶Zª� ��ª��t«oªW��« ² ���°���t��ª��u´4���������:§YÊf�W½ �>½»¡ Ú £±¦êÓ ½¾ �N� � ô Ï � Ý Ï � � � Ï � � ®S�»«t��� �����t�N�R�N­��h´��h�·������� � Ý� ½ ¾ �±��; ô Ï ; Ý ÏmÏ � � � Ï ; � ®<�¸���hª�­S�F�>´�®<�N���Å���t�¼����tªW� Ü ; ô ltÊ � ô Ó Þ ; Ý ltÊ � Ý Ó Þ � � � Þ ; � ltÊ � � Ó Ü � Ø ¿ -èä�Ç�t���g����ª��·¶ �Zå � Ý� § Ô ¡ ; ô l>Ê � ô Ó Þ ; Ý l>Ê � Ý Ó Þ � � � Þ ; � l>Ê � � Ó<� ltÊ � Óã¦ Ø ¿ -² ¶uªW�0�N­��h´��h�·��ª�� ¶ï�h��´��t�>��ªW�������Z�g���¸È˪��t��� �³ª��u��ª��t«t��´ µ�ªW���³ªW®t­��N�I���ä�g��­�­��°�������oªW�

; ô *>=@? X U A+B�C Þ ; Ý *>=D? � U A+B C Þ � � � Þ ; � *>=@?1E U A+B�C Ø ¿©

Page 6: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

���h�t­�ª��h� � ®Ç¶ � � �g��� � å.æ ������®>�¼ªW���; ô * % =@? X U A+B C Þ ; Ý * % =@? � U A+B C Þ � � � Þ ; � * % =D? E U A+B C Ø ¿ -� ðG�oª��t«����>�*ª�®S�Uµ��*��«t�N�·�����ü¶ ���¢���t�ï�<�°�Å�h������� � ª��t«��N��´4�tª��������t�Z�N�G� ���h���N�·���¨��� � h §&�g��� u å ¿ Ï £ Ï � � � Ï � á £ �¹������®>�¼ªW���*���t�û�fª�´���­ë¶����L�&�Ç�oªW�������t�

; ô � � ô Ï�� � h � Þ ; Ý � � Ý Ï�� � h � Þ � � � Þ ; � � � � Ï�� � h � Ø ¿�g����u Ø ¿ Ï £ Ï � � � Ï � á £�½Pèä�>��������ªP­����t�hª��]� ¶F� ���h´ �W���6���Ç�oªW�������>��ª��t« � �t�t�Ç�t�°���t�h½ ² ¶ ���>�� ª��t«>�h��´����t«>�Ë�g����´��t­�ª>§G���t�Ë«t�N���h� ´4���oª��·�����é���t���ä­����>�yª��I�ɶF� ���N´ ���

«>�N� Õ � � N Ï�� � h � × Ø��N�� 5 � � N á � 5 Ï�� � h � -

4o���¸�Nµ��N� ¶0�oª�����Ê 7 Ï 9 ÓI������� 7 �Ø 9 §S���t��� �N� Û �Zå � Ý� �'� � N á � 5 Ï�� � � �Ø ¿ â �������t�¹�h��´��t­��N´4�N�·���W�,ª�·¶F�<�N���t­�ª��t�Ë��� � Ý� ½R�G���>�h�����>�]���·���h� ���N�N�������*���éºo�t�ë���h­ë¶ï´4ª��·¶Z�N��´��t­��N´4�N�Ç���I���é�·¶F�<�N���t­�ª��t�h����� � Ý����Ë�t�W�¹�N´4�G�ü¶�§ ���t�h� �4���]ª �¢å � Ý� ���t�¼� ���oªW�v� � N á � 5 Ï�� � � �Ø ¿u�g���¹ªW­�­&�oªW����� 7 ª��t« 9 ���>�¼�¢���oª"�7 �Ø 9 ½,èä�Ç�t� ; ô Ø ; Ý � � � Ø ; � Ø ¿>½?èä�t�����t� �°µ��h�����>�Ë���t�h�����h´Ö½ 3èä�t�]ª�®S�°µ��û�ü�Å�����t�h�����h´������N«t�t�h�Ë´4ª��·¶ïµ��h���ëºo�yª"�������t�I�g�����g�t�>�N�������t�ä��� � Ý Ê�� Ï��0Ï ��Ó,����µ��N��� ñºo�hªW�������t�ä��� �±ðG�S���t�h�·���³ª�­��¸��� ��½èä�t�?�g��­�­��°�����>�����N���t­ë�é���Yª��]ª�®>����­��>���?�N���·�����Ç�t�ë�ü¶����G´��yª�� �t���N�m�g���Y����´��&����ª��t��­�ªW���N�Y���Ç�g��ª��±�������oª�­² � �U���>�³ª��u´����������$½��� ����5/� � � � �1� � �"� # æ ?D=�$ )M$ "'& 658(@5$*)B?�$>C .D =#< E��f�1� $ � � å ��h Ê�� Ï��PÏ ��Ó � 65) = 658 u Ò £ ����! #" Ô n �4ÊrÌ Í� Þ � �

�Ê�� � ÓhÊ ß Ó � ß Ó p Ø

Ô n �4ÊrÌ Í� Ó+* � A ��� , .� � X� �� � ����� U ���DA � A ��� � � � p Ê��>½ ��Ó+a�! ) �� ?D=��*?�@ #" C H Ê�� � ÓhÊ Ñ Ó Ø � ÷�

)LÊ Ñ Ï�� Ó � � � �$ "'& �ïå � Ý� �� )76 6 � èä�t�Ë���h� ´ �4ÊrÌ�Í� Ó�«t�h�>�����N�0�4Ê%$�Ó ½ ¾ �±��� å � Ý� ª��t«

�4ÊrÌ Í� Ó Ø l>Ê �tÓ Ø * � � ��� , .��� X� � � ����� U ��� � � � ��� � � � -èä�t�N��4ÊrÌ Í� Þ � �

�Ê�� � Ó Ù � ß Ó Ø �ïÊfÌ Í� Ó�* �� � � �! A��"�#� � -�G� Ô n �ïÊfÌ Í� Þ � �

�Ê�� � Ó Ù � ß Ó p Ø * � � � �$ A�� � � � -

Page 7: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

4o�t� ���t�h� ´4�����û���ä�g��­�­��°�������oªW�ÔÛ �4ÊrÌ Í� ÓGltÊ � Ó â Ø * � �� ����� U ��� � � A ��� � � �

Ø * � � � �$ A�� � � �èä�Ç�t�����>�ï���t�N�����N´ ���¹��� �t�Z�ë��� ����ª���� ð>�S���t�N�·���³ªW­Å�g�t�t�±��������l>Ê � Ó å �Ž.ú ­���´4�ë�����t�uª������t´4�N�·��h��´4�t­��N���h�I���>�]�>���F���ã½ 3¾ �N��ª��¸ª�«t���GñGw������F«>¶F´ «t�N����µWªW����µ�� ����� � ���6Ê � Ï��0Ï �¹ÓÅ®S�]����µ��N�0®·¶

� ��� � Ø * � A ��� ,�.� � X� �� � ����� U ���DA � A ��� � � �

ª��t«d«t�N�t�����û���t�Ë�±ðG�<�N�N��ªW�������d���ë���u���N���S�h�±����� �� ®Ç¶ �Ô §t���>�h�¢Ê �>½ �·Ó����ä����µ��N�0®·¶Ô

�ïÊfÌ Í� Þ � ��Ê�� � Ó Ù � ß Ó Ø �

Ô Ê �4ÊrÌ Í� Ó�Ó -4o���äª��g�>�t�N�������oªW­�� ��� � h Ê � Ï��0Ï �¹Ó»ÊTu Ò £UÓ�ªW�t«dª��g�t�t�N������� �ïå � Ý� § �ïÊfÌ�Í� Þ �� Ê�� � ÓhÊ��>Ó � �>Ó���I�Å�h­�­Y«t�Nºt�t�h«$½Rú»�0ª��oªW­������>�����é���t�¹¬Pª�­�­���ª°µF���Z«t�h� ��µWªW����µ���¡ Ú �W¦$�������·��� �G«>�t�h�N«$½

� ����� �� ��#� ����� �! )���&/ )B?�@5$ � ?�@ 6 � $�)M$ "'& 658 @5$*)B?�$>C .D � å � h ? " ���! & ?�) �E#� ? 6 " 6 � � � ?D=&/ 10�"2 �& $5= � A �4Ê%$�Ó Ø ­���´%�� �£�n �ïÊ $ Þ � � �

�Ê�� � ÓNÊ � Ó � � Ó á �4Ê%$�Ó p Ê��>½ ¥·Ó

? � ���! m. ?�8o? � �� ?D= � =m? " � h Ê � Ï!�PÏ �¹Ó���� </) �1�! )B8 65) ? � ���! ) ?D=_$ F')76 E� =�= Ê � � � Ù Ï ß Ò ¿·Ó =#< E�� ��� $ �� A � Ø � ÷

�� � � Ù � Ù � ß O - ß -� 65) $ .�. �Zå � Ý� ���! #" � ?D= =t$*? & � 6 C )���& ? � ) #"!� ?�$>C .D ��

èä�t�Ë�t�����t�N�¸����«t�N�ä«t�h� ��µWªW���ëµ��N�¸�hª��d®<�û«t�±ºo�t�N«P���dª�����´4��­³ª��R´ïªW�t�t�h�N½� ����� �� ��#� � ��� #��� �$¡à¿ Ï�� ¦ + ��# æ C $ = � 6 E�� $5= � ? E F')�6 E� =�= � � �! F')76 E� =�= � ?D= =t$*? &v� 6vC )���& ? � ) #"!� ?�$>C .D ? � � 65) $ E�� Ñ�å ¡ ¿ Ï�� ¦�� �ïÊ Ñ Ï �¤Ó ?D= )���& ? � ) #"!� ?�$>C .D $ "'& � �Ù � Î ?D=! q65? "!��.IH 8 $5=#</)M$>C .D ��

ÃÄ�,���&�yª��ɶ����ûµ��h���ë�궨ª����N­��h´��h�·��ª�� ¶]µ��N�������������<ªË�¼�tª��������>­���§W���oªW�,���h§��ë� � � æ # æ ���&ªË� ´4�F������g�t�t�±�������dª��t«1� �"� # æ ��� )oñü«>�#�<�h���N�·���³ªW®t­��¸���t�N� � Ê���ÓÅ���¸ª�­�� � )oñü«>�#�<�h���N�·���³ªW®t­��ûªW�t«� A � Ê���Ó Ø � � Ê���Ó � A �ª��t«� �Ù � Ê���Ó Ø � � Ê���Ó � �Ù �

Page 8: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

ª��t«u���>�]�ë���N��ªW���h«u«t��� �h�±�������oª�­:«>�h���ëµWªW���ëµ��h�� A X � A � � Ê �¹Ó Ø � � Ê���Ó � A X � A � � Þ � � � Ê �¹Ó � A X � � A � � -èä�t���g��­�­��U�����t�Z� �t­��N�]�g���Ë«t���:�N���N�Ç���³ªW�������2���t���¼�¢�hª��¢®S��µ��h� ��ºo�N«Ðª��]���(���t���t� �G���������?� ���<�������������

�>½ ¥�ª����Ë�t� �N�g�t­Y­�ªW���N�� A � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ Ø � ÷�

� ÷�

) Ê �mÏ �GÓ � � � ��� � � � Ø � � Ï�� � ��� Ê��>½ ©�Ó� �Ù � ÷

� � � � Ì Í� Ø � ÷�

) Ê �mÏ ß Ó � � � � Ø Ê�� � ÓhÊ ß Ó � Ê��>½ ��Ó� A l>Ê � Ó Ø l>Ê � Ó � ÷� � ÷

�)LÊ �éÏ �>Ó � � � �&� � � � Ø l>Ê � Ót� � Ï�� � ��� Ê��>½ ��Ó

� �Ù l>Ê � Ó Ø l>Ê � Ó � ÷� )LÊ �éÏ ß Ó � � � � Ø l>Ê � ÓNÊ�� � ÓNÊ ß Ó Ï Ê��>½ ¯�Ó���t�N��� � Ï��Zå � Ý� ½w¸�U� ���t�1/ ���¼� �t���F«t�t�±�������»�ü���Ð�g�t�>�N�������oª�­����������·��� �G«t�>�h�h«:½wèé�¢� ðG���h�t«i���t�0���t�h��� ¶ ���� ���G�¼�tª�� �����(�yª�­��h�t­��t�*�g��� ² � �U���>�³ª��8´4�W�������t�Z��� ���t�2�g��ª��N�������oªW­ ² ���°���t��ª��8´4���������>�h§����t��/ ���¼��yªW­��h�>­��t���g���ûÈ]ª��>������ª��(�t���F�h�N��� �h�ïÊf���]È˪��t� ���³ªW� ´��yªW���t� �h�¼Ó»���û�t���N«$½�èä�t� / ���¼�0�t���F«t�t�±�¹�W�R�ü�Å��±ðG�S���t�N�Ç���³ª�­�� l>Ê � ÓIª��>« l>Ê � ÓÅ���ä«t�Nºt�t�h«Pª��l>Ê � Ó���l>Ê � Ó Ø l>Ê � Þ � Ó - Ê��>½���Ó�G���t�h�]�g���»«t��� �����t�±� � ô § � Ý § � � �ë§ � õ ��� � Ý� §'ltÊ � ô Ó § l>Ê � Ý Ó±§ � � � § l>Ê � õ Ó¸ª����¹­����>�yª�� ­�¶*���t«t�h�S�h�>«t�h�·�y§<���t���«t�±ºo�t���������*�hª��d®<�û� ðG���h�t«>�h«0����«t�Nºo�>�Ë���t� / ���¼�4�t���F«t�t�±�0��� ���é�ü�����g�t�t�±�������oª�­�� � ª��t«� ����Ž w¸���������oªW� ÷� � Ù � Ì ÍÙ ���¹�t�W�¨ª��Ð�N­��N´4�N�Ç����� �ŽPèä�>�3/ ���¼�(�t� �G«t�>�N�¨�����±ðF���h�t«t�N«����.´���������N�t�h��ª�­$�g�t�t�±�������oª�­��N§t���>�h­��>«t���t�¹���t�û�g�t�t�±�������oª�­��ä��� ���t�û�g����´ ÷� � Ù � Ì ÍÙ §t���>�h��� �Zå � Ý� ½ �&������� � ���! � ��� ��� �Zå � Ý� � � å � Ý Ê�� Ï��0Ï ��Ó $ "'& � A � å � Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó�� �1�! #"

��� � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ø � � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ á � A � Ê �>½ë£°¿·Ó� )76 6 � ² ¶Z���t�Ë«t�Nºo�>���������6Ê �>½��·Ó §

ltÊ � Ó���ltÊ � � Ó Ø l>Ê � Þ � � Ó - Ê �>½ë£�£UÓ���#�<�h� �h�·����ªW�������t�]ª�®S�°µ��]��«t�N�Ç�����ü¶4�������u� �h���S�h�±����� � ª��t«u�NµWª�­��oªW���]ªW� � Ø ¿>§>���4��®G�¼ª����

ltÊ � Ó�� � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ø l>Ê � Ó�r � ÷� � Ù � Ì ÍÙ á � � ÏM� � � sØ l>Ê � Ó � ÷� � Ù � Ì ÍÙ á ltÊ � Ót� � Ï�� � � Ê �>½ë£ Ú Ó

¯

Page 9: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

² ¶PÊ �G½ ��Ó,���,�g��­�­��°���R���oªW�Å���t��­³ª��É�Å���h��´ ���Y���t��ªW®<�°µ��»�±ðG�t���N��� �����*��� � A l>Ê � Ó ½&èä�Ç�t�����>�»�g��­�­��°�����t����Ç�oªW­����ü¶ï���ä��ªW����� ºo�N«l>Ê � Ó�� � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ Ø l>Ê � Ó � ÷� � Ù � Ì ÍÙ á � A l>Ê � Ó - Ê �>½ë£ �·ÓÃÄ� � å � ���ïª(ºo�t�����0­����t�hª����h��´�®t���oª"�������B��� ltÊ � ô Ó §-l>Ê � Ý Ó±§ � � � §-l>Ê � õ Ó §����>�h�i� ðG���h�t« Ê��>½ë£ �·Ó¨®Ç¶­����t�yªW�����ü¶

��� � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ø � � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ á � A �Ø � � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ á � ÷�

� �Ù � � Ù � ß - Ê �>½ë£y¥ÇÓèä�t�]�t���F���é���é���t�Ë�t� ���S�����ë�������*���ä�h��´4�t­��N���h«u®·¶uèä�t�h��� �h´ �>½ë£�½ 3w¸�U�w���t�Ë� �h�h���t«0´���´��h�·�����IÊ �>½ë£°¿·ÓR���ä�h��´4�t�G���h«:½ w¸���������oªW��®·¶dª¨����´4�t­����h��´4�t�G�¼ªW�������ï�g���È˪��t��� �³ª��u��ª��t«t��´ µ�ªW���³ªW®t­��N�h§>�ë�ä�g��­�­��°�������oª"�Ô Ê�ltÊ � Ó l>Ê � Ó Ó Ø � ð>� � � Ï�� � � � -èä�Ç�t� Ô Ê1l>Ê � Ó�� l>Ê�� � Ó�Ó<Ê1l>Ê��ÆÓ���l>Ê � � Ó Ó<� Ø Ô l>Ê � Þ � � ÓGl>Ê�� Þ � � Ó<�Ø � ð>� � � Þ � ��Ï � Þ � � � � � -² �����_����«t�h�*���û���t���ï���Ç�oª�­����ü¶Xª����P�g�>�t�N�������t�ï������ª��>« � ½^è ª��Ç���t�Ð���t�.�oª��É����ª�­�«>�h���ëµWªW���ëµ�� � ������ %�NµWª�­��oªW���h«dªW�� Ø � Ø ¿>§t�ë�ä�g��­�­��U���Å���oªW�Ô n J l>Ê � Ó�� � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ L J l>Ê��ÆÓ�� � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L pØ �±ðG�¹Ê�� � Ï � � � Ó � � Ï�� � � ��� ÏM� � � Þ � �SÏ�� � � �Ø Ô � A l>Ê � Ó � A l>Ê�SÓ Þ l>Ê � ÓGltÊ�ÆÓt� �SÏ�� � � �èä�Ç�t� Ô n J l>Ê � Ó�� � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ L J l>Ê�SÓ�� � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L p Ø Ô Ê � A l>Ê � Ó � A l>Ê��ÆÓÞ l>Ê � ÓGltÊ�ÆÓt� �SÏ�� � � Ó -² ¶*®>��­����t�yªW�����ü¶�§F�g����ª��·¶ � ª��t« ÿ��� �ŧ>���>�Ë�g��­�­��°�����t�����Ç�oªW­����ü¶ï���ä��ªW����� ºo�N«Ô n J ��� � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ L J�� � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ L p Ø Ô � A � � A Þ � 4� �SÏ�� � � � -¾ �N� � ®S�Ë���Ç�oª�­$��� �½,èä�t�h�Ô J��� � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ L Ý Ø Ô � Ê � A �¹Ó Ý Þ � Ý�Ü � Ü Ý� � -èä�t�������h� �t­������ä� ��ªW���N«P���Z���t�û�g��­�­��°�����t�����t�h�����h´d½�

Page 10: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

��� ����5/� � ����� #� �Zå � Ý� $ "'&4.D #� � A C ���! oE 658 F .D #� ? 6 " 6 � � < "'&/ ) ���! m" 65)B8i � i ÝA ØÔÛ Ê � A ��Ó Ý Þ � Ý â Ï+a�! ) � ?D=_$v)M$ "'& 658 @5$*)B?�$>C .D �� � �! #" � 65)_$ "!H #.D 8 #"!� � å � A �"� �0 ÷� � Ù � Ì�ÍÙ ?D= +- #.�. &/ 10�"2 �&$ "'& Ô J

��� � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L Ý Ø Ô

Û Ê � A �¹Ó Ý Þ � Ý Ü � Ü Ý� â - Ê �>½ë£U©�Ó² ¶Z���t�Ë�<��­³ª�� � �yª"�������4���N�¼�t�t�#�F�>�Z¡ Ú £h¦r§t���t�N���Ë���I���t�û�g��­�­��°�����t���N������­�­³ªW� ¶�½� ���&������� ��� � ����� #� �SÏ � å � Ý� $ "'& � Ï å � � � �! #"Ô J

��� � ÷� � Ù � Ì ÍÙ �� � ÷

�� Ù � Ì ÍÙ L Ø Ô ¡ � A � � Þ � � �<Ï �'� � ¦ -èä�t��� �&�Ç�oª�­��ë�ü¶û���Y���t�Å�É�¼ª��É�����t���S�����Ç�Y�g���m���t�R«t�Nºo�>���������]���>���t�Å�É���F�¼�oª��É�����R���·���h����ª�­��������¹� �h���S�h�±����Ë���>���g��ªW�N�������oª�­ ² ���°���t��ª��ï´����������t�N½ ¾ �N��� å �ŽLèä�t��� ���G�¼�oªW� ���������·���h����ª�­ ��� � Ù � Ì ÍÙ ���R«t�Nºo�>�h«ª��t«d����´4�û�t� ���S�h� �����N��ªW�����F�h��ªW���N«*�������*���t���ä�É���F�¼�oª�� �����Ë���·���h����ª�­Yª�� �]�É���t«>���h«:½

$����>����«>�h��ª��.ª�� ®t������ª��ɶ*�oª��É���ë�������d�W��¡à¿ Ï�� ¦b§ �.�G¿ Ø Ñ � À Ñ ô À Ñ ô À � � �SÀ Ñ õ Ø � ½ 4L��� � �����>��g��­�­��°�����t� �¸���h´4ª��t�*���>´ ���ä���ëµ��h�u�t� ���t�����>� / ���¼�Z�t� �G«t�>�N�����·�����F«t�t�h�N«PªW®<�°µ�� �Ê � Ï �éÓ Ø õ � ô�N ø � � ÎTS ��ÊrÌ ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS Ó -

4o����´ÂÊ �>½��·Ó±§>�����yªW����­ë¶Z�g��­�­��°���I���oª"�¸���oªW�ä�g���¸ª��·¶ �ÿªW�t« ÿ���$�ŧ Ô Ê���� ¹Ó Ø Ô Ê���Ó Ô Ê ¹Ó±½Rèä�t�����«>�h�·���ë�ü¶.�±ðF���h�t«t�]���u´������¨���N�t�h��ª�­ � ª��t« � �t�¼�6���oªW� � � ���û���N­�­&«>�Nºo�t�N«_Êg��½ �t½0¡ ¯W¦r§m�$½ ¯(�·Ó±½èä�Ç�t���g����ª��·¶*�oª��É���ë������� �?§Ô�� õ � ô�N ø � � ÎTS ��ÊrÌ ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS Ó�� Ø õ � ô� N ø �ÔÖÕ

� ÎTS ��ÊrÌ ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS Ó ×Ø õ � ô� N ø �

Ô Ê�� ÎTS Ó ÔÖÕ Ì ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS ×�Ø ¿èé�4�N��´��t�>�������t� � Ý �t��� ´ ���� �Ê � Ï �éÓ §t«t�N�t�����

+ N 5äØ ÔÛÕ� ÎTS ��ÊrÌ ÍÎTSWV X á Ì ÍÎTS Ó × Õ � Î�� ��ÊrÌ ÍÎ��kV>X á Ì ÍÎ�� Ó × â -² ¶ $�������­�­³ª��ɶ �>½ �>§t�ë�ä�g��­�­��°�������oª"�

+ N 5 Ø Ô � � ÎTS V XÎTS � �Ù � ÎTS�� ß � Î�� V XÎ�� � �Î � Î�� � Ñ Þ � ÎTS � Î�� � ÎTSWV XÎTS � Î�� V XÎ�� )LÊ �éÏ �>Ó � � � �

£°¿

Page 11: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

èä�Ç�t� Ô �Ê � Ï �mÓ Ý Ø õ � ô�N U 5 ø �Ô � � ÎTS V XÎTS � �Ù � ÎTS�� ß � Î�� V XÎ�� � �Î � Î�� � Ñ Þ � ÎTS � Î�� � ÎTSWV XÎTS � Î�� V XÎ�� )LÊ �éÏ �>Ó � � � �

���h�>����� Ü � Ü � Ø ´4ª"ð N Ê Ñ N ç ô á Ñ N Ó�ª��t« ���Î Ø � ÎTS ��� Ñ N ! Ñ À Ñ N ç ô ½_ú���� �t´4�d���oª"�Zª�� Ü � Ü # ¿>§ÔÜ ��� á � Ü Ý� # ¿�ªW�t« õ � ô� N ø �

Ô n � ÎTSWV XÎTS Ü � �Ù � ÎTS á � �Ù � Ù Ü � ß p Ý�h���ǵ��h� ���h�����.¿>½ïèä�t�h�Ð�g� ��´Ö���>�Zª�®S�°µ��ï�ë�]���Ë�yª��ɶ(���P� �h�����oªW�¹���ûÊ�� õ Ï ó å � Ó�����ªd���&�F�>�h�t�N�Z����oª��É���ë�������t�û���t�¼�6���oªW� Ü � õ Ü # ¿0ª��]ó�# ù §é���t�h�iÊ �Ê � Ï � õ Ó Ï ó å#� Ó����]ª5$IªW�t�¼�·¶6� ���Ç�t�N�t�h�*���� Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó±½éèä�t�I­���´����é���o���>���&� ���Ç�t�h�>�h����� � Ý Ê�� Ï��PÏ ��Óm���L«>�Nºo�t�N«�ª��� �� � Ù � Ì ÍÙ �m���oª"�?���N§�«t�Nºt�t�� ��

� Ù � Ì ÍÙ Ø ­���´� � � � �õ � ô�N ø � � �ÎTS �¨ÊfÌ ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS Ó Ê �>½ë£ �·Ó

�������tªW� ÔÜ � �

�� Ù � Ì ÍÙ Ü Ý Ø

Ô �� � � � ��� �Ù � Ù � ß � Ý Þ Ü � Ü Ý��� -

¾ �N���ËÊr¿ Ï�� Ó�®S�0���t�0�fª�´���­ë¶Ð���Ë�É���F�¼�oª��É�����0�t���F�h�N��� �h�*����¡ ¿ Ï�� ¦¸� �t�¼�_���oªW�3� å �ËÊr¿ Ï�� Ó¨�ë�ÔÜ � Ü Ý� À ù §����� )tñü«t���:�N���N�Ç���³ª�®>­���§Å���t�d����ªW�h�.��� Õ � �Ù � Î Ï ¿ ! ß ! ��Ï ¿ ! Ñ ! �¸× �±ðG���É���*ªW�t«Ô �� Ê � �Ù � Ù Ó Ý � ß À ù ªW�t«P�g�����yª��¼�2� ���Ç�t�h�>�h�����?�oªW� ���ë�������t�¹Ê�� õ Ï ó å� Ó]���t�¼�.���oªW� Ü � õ Ü # ¿ZªW�ó # ù õ � ô� N ø �

Ô �� � � Î� ���S V XÎ ���S Ü � �Ù � �Î S õ � á � �Ù � Ù Ü � ß � ݪ��t« ÔÜ � �ûá � Ü Ý����N�t«u����¿4ªW�äó�# ù §>���t�N��� � õ �·¿ Ø Ñ � õ �� À Ñ � õ �ô À � � �>À Ñ � õ �õ � ô À Ñ � õ �õ Ø � ½èä�t�û�g��­�­��°�����>�����N���t­ë��� �t´�´ïª�� � �N�h�I���>�¹ªW®<�°µ��Ë�N���t� �����t�±�������0�W�&ª¨� ���G�¼�tª�� �����Ë���·���N����ªW­b½

��� ����5/� � ��� � #�*Ê � Î Ï�Ñiå ¡à¿ Ï�� ¦³Ó C $ = � 6 E�� $5= � ? E F')76 E� =�=g=#< E�� ��� $ � � å �ËÊf¿ Ï�� Ó�� � �! . ?�8o? ������������� �� ?D= � =9$ "'& ��� ?D= . ?�8o? � ?D= &/ 10�"2 �& $5= �� � Ù � Ì�ÍÙ ��� 65) 65@ ) � ��� ?D=v? "!�G �*)M$ . =t$ � ?D= 0 =Ô ��� � Ù � Ì�ÍÙ Ø ¿ $ "'&Ô

Ü � ��

� Ù � Ì ÍÙ Ü Ý ØÔ �� � � � �

�� �Ù � Ù � ß � Ý Þ Ü £ R � U � Y � Ü Ý� � - Ê �>½ë£���Ó

èä�t�û�g��­�­��°�����>���t�����<�N� �����h�ä�g��­�­��°�8«t��� �h�N��­�¶4�g����´î���t�]ª�®S�°µ��û���t�N�����N´0½£UÓ�ÃÄ��� Ï å �ËÊf¿ Ï�� Ó±§F���t�N�� Î�Ê O � Ù Þ ) Ù Ó � Ì ÍÙ Ø O � Î

�� Ù � Ì ÍÙ Þ ) � Î

� Ù � Ì ÍÙ O - ß -

£�£

Page 12: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

�g����ª��·¶*�N���t�É�¼ª��·��� O ª��>« ) ½Ú ÓSÃÄ� � å �ûÊr¿ Ï�� Ó § Ô ¡ ���>� ��� Ù � � � Ù ¦ Ý À ù ª��t«û� �t� ��� Ù � �ÔÜ � �Ù � Ù Ü Ý À ù §°���t�h� Õ Î� � Ù � Ì�ÍÙ Ï ¿ ! Ñ ! �¸×�oª��¸ª¨�h���Ç�����Ç�t���>�¸µ��h��� �����:½

�?�����<�N� �ü¶i£°Ó¹������®ÇµF�����t�h½ èé�2���t�°� Ú Ó¹­��±��� Î Ø Î� � Ù � Ì ÍÙ Ï ¿ ! Ñ ! � ½ ² ¶¢���>�Z���Ç�oª�­����ü¶Ê �G½�£���Ó±§t�ë�I�g��­�­��°���I���oªW�ÔÜ � Î á � Ù Ü Ý Ø Ô

Ü � ÎÙ � � � Ì Í� Ü Ý! Ô � J � ÎÙ � �� � � � � L Ý Þ�� ÎÙ � ÎÙ � � � � ) Ê �mÏ �GÓ � � � � ! Ê Ñ á ß Ó � ÎÙ

ÔÜ � �� � � Ü Ý � � Þ

Ô ¡é� �t���� Ù � � � Ù ¦ Ý � ÎÙ � ÎÙ )LÊ �mÏ �GÓ � � � �! Ê Ñ á ß Ó Ý Þ � Ê Ñ á ß Ó Ý Í -² ¶Z���t���û��­�´�������� �°µ4­��h´�´ïªu¡ Ú�Ú ¦b§t���t�Ë�t�����S�h�É�ü¶ Ú ÓI���ä��ªW����� ºo�N«$½Ãü� ���t�0èä�t�h��� �h´ �>½ �G§I�ë�4���4�>���ZªW�����>´4�N«B���tªW�4���t�P�É���F�¼�oª��É�����d�t� �G�N�h���2Ê � Ù Ï ß å ¡à¿ Ï�� ¦êÓ����ª�«oªW�>���N«4���]���t���g��ªW�N�������oª�­ ² ���°���t�³ªW�ï´����������$½ w��°�8ª���� �t´��¸���oªW� � �Ù � Ù Ø ¿Ë�g��� ß å ¡à¿ Ï�� ¦r½Lèä�Ç�t����*���t���ä�hª����W§ Ô

Ü � ��

� Ù � Ì ÍÙ Ü Ý ØÔ � � �

�� ��

� � � � ) Ê �mÏ �GÓ � � � � -èä�t�����fªW�N�����ä�É�¼ªW���h«d���*���>�Ë�g��­�­��°�����t�����>�h��� �h´d½��� ����5/� � ��� �1� � å �ûÊr¿ Ï�� Ó $ "'& ? � � =t$ � ?D= 0 = Ô ��� Ü � �Ù � Ù Ü � ß Ø ¿/� �1�! #"Ô

Ü � ��

� Ù � Ì ÍÙ Ü Ý ØÔÛ<Ü £ R � U � Y � Ü Ý� â -

ú��Zª��oªW­������>�¸�W�:���>���É���F�¼�oª�� �����¸���·���N����ªW­o���é�F����ªW�����t�°µF���¼���ü¶G�S� Î� � Ù � Ì�ÍÙ ���Rª�­�� �¹���·�����F«t�t�N�h«$½èä�t���Ë�ü¶F�S���������·���h����ª�­&���û���N­³ªW���h«2���*���>�����·���h����ª�­������·��� �G«>�t�h�N«6®·¶ ¾ ���B¡¤£��U¦RªW�t«2�ûª��?ª��t« �¸�N¶F«t�¡ Ú ¦b½� ����� �� ��#� � ��� #�ûÊ � õ Ï ó å � Ó C $ = �� < #"2E� 6 � F:$*) � ? � ? 6 " = 6 � ¡ ¿ Ï Ñ ¦ =#< E�� �1� $ � Ü � õ Ü # ¿ $5=ó # ù � �1� öuõ � ôN ø � � Ê Ñ � õ �N ÓhÊfÌ�Í�Ê Ñ � õ �N ç ô Ó á Ì�Í�Ê Ñ � õ �N Ó ÓmE 6 " @ )�� = ? " � Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó�� 6 ���! =t$*8 . ?�8o? � � 65)$ .�. =#< E�� = �� < #"2E� = Ê�� õ Ï ó å � Ó7� ���! #" ��� ?D= . ?�8o? � ?D= E $ .�.D �&f�1�! = � 6 E�� $5= � ? E ? "!�G �*)M$ . 6 � � )M$ � 6 " 65@ ? E����H F $ "'& ���! . ?�8o? � ?D= &/ #" 6 � �& C H Î�"� Ê ß Ó � Ì�Í�Ê ß Ó6���� ����5/� � ��� �1� � å �ËÊf¿ Ï�� Ó�� �1�! #" �1�! = � 6 E�� $5= � ? E ? "!�G �*)�$ . 6 �� � )M$ � 6 " 65@ ? E�� �kH F Î� � Ù � Ì�ÍÙ �� ?D= � =_$ "'&4�1�! � 6 .�. 6 + ? " � �� <P$ . ? ��H ?D= =t$ � ?D= 0 �&

� �

� Ù � Ì ÍÙ Ø � Î�

� Ù � Ì ÍÙ Þ � Î�� �Ù � Ù � ß O - ß -

£ Ú

Page 13: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

� )76 6 � ² ¶ �?�����<��� ��������� �>½ ¥t§õ � ô� N ø � � Î� ���S ÊfÌ Í Ê Ñ � õ �N ç ô Ó á Ì Í Ê Ñ � õ �N Ó�Ó Ø õ � ô�N ø � � Î� ���S ��ÊrÌ Í Ê Ñ � õ �N ç ô Ó á Ì Í Ê Ñ � õ �N Ó�Ó Þ õ � ô�N ø � � ���� / ���S�� / ���SWV X�� � Î� ���S

Ø õ � ô�N ø ��� Î� ���S ��ÊrÌ Í Ê Ñ � õ �N ç ô Ó á Ì Í Ê Ñ � õ �N Ó�Ó Þ�� Î� ���S V XÎ ���S � �Ù � Î� ���S � ß��

èä�t���¸�&�Ç�oª�­��ë�ü¶Z�hª�����­�¶Z�>���°µ��N�¸���t�Ëèä�t�h��� �h´d½ 3èä�t�N���Ë�ü�����ü¶F�<�N����� � ���G�¼�tª�� �����Ë���·���N����ªW­��äª�� �Ë®<�����u���·���N���h�É�����t�t½£UÓIèä�t�]�±ðG�S�h�±�¼ªW�������d���� Î� � Ù � Ì�ÍÙ ����¿�®t�>�¸���>�]�¼�tª����d���t­��û�g���ä���t�����ü¶F�S�¹�W�L���Ç���h����ª�­Y����´�������h��´4�t­����hªW���N«Z���oª��u�g���I���t�Ë���·���N����ª�­:���?�Ç����ª"�����t�°µF���¼�*�ü¶F�S��½Ú Ó�èä�>�û�¼�oª����u� �t­����g���Å���t�û���Ç���h����ª�­$���L�F����ªW�����t�°µF���¼�*�ü¶F�<�Ë���ä����´��t­��»®t�>� Ô Î� � Ù � Ì ÍÙ �Ø ¿¨������N�t�h��ª�­b½ú��0� ðtªW´4�t­��û���ä�t� �°µG��«t�h«u���tªW�����t�°���¸���oªW� Ô Û Î� � Ù � Ì ÍÙ â �����t�W�¸¿>½ÃÄ�¸���I�Å�h­�­Y�Ç�t�°���d���oªW�¸��� ' ����ª¨� ��ª��t«oª�� «0�>����´4ª�­:��ª��t«t��´ µWª�����ª�®t­��W§ '� �� Êf¿ Ï £UÓ §>���t�N�Ô' õ Ø n õ����� Ý � � � õ j Ý � � ��� ó2�����Nµ��h�¿ ��� ó2�����F«t«¾ �N� � Ê �<Ó Ø � õ ½,ÃÄ� ó(���ä�F«t«$§t���>�h�Ô

� Î� � ÊfÌ ÍÙ Ó � Ì ÍÙ Ø Ô

� Î�� �Ù � ÊfÌ ÍÙ Ó � ß

Ø Ô� Î� � � ÊrÌ ÍÙ Ó � �Ù Ì ÍÙ � ß

Ø Ô� Î� � � ÊrÌ ÍÙ Ó � Ù� )LÊ �mÏ ß Ó � � � ß

Ø Á � Î� ßyÝ Í�� ô Ô � � ÊfÌ ÍÙ Ó � ß

Ø ó$Á � Î� ßyÝ Í�� ô Ô Õ ÊrÌ ÍÙ Ó õ � ô × � ß

Ø ó$Á � Î� ß Ý Í�� ô Ô � Ì�ÍÙß Í � õ � ô ß õ Í��GÍ � ß

Ø ó�� Á Ñ � õ ç ô � Í� Ú õ � ô Êfó Þ £UÓ Á Õ õ � ôÝ × ����t���¼�0���ä�t����¿>½?ÃÄ� ó ���ä�Nµ��h�$§o���>�h�P®·¶Z���t�Ë��ª�´��Ë�h��´��t�>��ªW�������$§Ô� Î�ÊrÌ ÍÙ Ó õ � Ì ÍÙ Ø ¿ -w¸�U� ªW�t�����>�h�é���·���N���h�É�����t�»�t�>�h�t��´��h�>������� � �t�°���$½ ¾ �N� �Z®S�Iª��oª��É�����������Ë���>���t�Å���·���N� µWª�­<¡ ¿ Ï�� ¦ �¿ Ø Ñ � À Ñ ô À Ñ Ý À � � �>À Ñ õ Ø � ½ ¾ �N�¹Ê � Ê ß Ó Ï ß Ò ¿·ÓR®<�˪��É���F�¼�oª�� �����û�t� �G�N�h� �¸���Z���t�û�t� ��®oª�®>��­��ë�ü¶

£ �

Page 14: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

���tª��h��Ê�� Ï��0Ï ��Ó ½�4o���R���t� ² ���°���t��ª��Z´����������.ÊfÌ Î Ï�ÑIÒ ¿�Ó±§Ç���t��ÃÄ������·���h����ª�­Æ�yª��*®S�»«t�±ºo�t�N«uª������>�­���´4�ë�R���m���t� �����N´ïª��>�Z���t´�� ö õ � ôN ø � � ÎTS ÊrÌ ÎTS V X á Ì ÎTS ÓIª������>�û�oª�� ����������� Ü � Ü # ¿��g���I��´��F����� � ½?èä�t��F����ªW�����t�°µF���¼�*���·���h����ª�­:����«t�±ºo�t�h«0ª������t��­���´����R���Y���>� �¸���h´4ª��t�Z� �t´4�äö õ � ôN ø � ? / S ç ? / SWV>XÝ ÊrÌ ÎTSWV X á Ì ÎTS Óª��R���t���oª�� ����������� Ü � Ü # ¿>½?ÃÄ�Å´ïªy¶����N�h´ ����®S�»´���� ���oª"���t��ª�­S����«t�±ºo�t�»���t�Ë�F����ªW�����t�°µF���¼�Z���·���h����ª�­�g���,�g��ª��±�������oª�­ ² � �U���>�³ª��Z´����������PÊrÌ�Í΢Ï�ÑIÒ ¿�ÓR���ïª�����´4��­³ª�� �Iªy¶�½,ÃÄ�����R���t�°���*���oª"�Å���t�ûª�®S�°µ����ü�Å�­���´4�ë����ª��������t�Ë��ª�´��û�g����ª¨­³ª�� �����h­�ª�������� � ���G�¼�tª�� �����Ë�t���F�h�N��� �h�h½Ãü�t�ë����ª�­�­ë¶¨���t�û�g��­�­��°�����t��­��h´�´4ª����ä���ëµ��h�:½� ����� ������� � #�'u C $ F!6 =#? � ?�@ o @ #" ? "!� � ) � � �! #"Ô Õ Ì ÍÎ á Ì ÍÙ × h Ø u �Ú h j Ý ÊIuSì Ú Ó � Ü Ñ á ßtÜ h Í - Ê �>½ë£°¯·Ó� )76 6 � ² ¶ Êã£�½�£°Ó����ä�g��­�­��°�������tªW�Ô

Ü Ì ÍÎ á Ì ÍÙ Ü Ý Ø Ô ÊrÌ ÍÎ Ó Ý ÞÔ ÊrÌ ÍÙ Ó Ý á Ú Ô Ì ÍÎ Ì ÍÙØ Ñ Ý Í(Þ ßyÝ ÍÐá Ê Ñ Ý Í(Þ ßyÝ ÍÐá Ü Ñ á ß>Ü Ý Í Ó Ø Ü Ñ á ß>Ü Ý Íèä�Ç�t� Ì�ÍÎ á Ì�ÍÙÜ Ñ á ß>Ü Í ����ª��É�¼ª��>«oª���«PÈ˪��t��� �³ª��d��ªW�t«t��´îµ�ªW���³ªW®t­��ûªW�t«Ô

Ü Ì ÍÎ á Ì ÍÙ Ü h Ø Ü Ñ á ß>Ü h ÍÔ � Ì ÍÎ á Ì ÍÙÜ Ñ á ß>Ü Í � h

Ø u �Ú h j Ý ÊTuÆì Ú Ó�� Ü Ñ á ß>Ü h Í� ���&������� ��� � ��� � � 65) $ E���þÐí�£ �����! ) ?D=_$ � ý À ù =#< E��9��� $ �ÔÜ Ì ÍÎ á Ì ÍÙ Ü ý ! � ý Ü Ñ á ß>Ü ý Í - Ê �>½ë£ �·Ó

� ����� �� ��#� � � � �! F')76 E� =�= Ê � Ù Ï ¿ ! ß ! � Ó ?D=v=t$*? &�� 6�C $�C#65< "'&/ �& � <:$ & )M$ � ? E @5$*)B?�$ � ? 6 "F')76 E� =�= ? � ���! ) $*) E 6 " = � $ "!� = u Ò £ $ "'&]¿¨À � h À ù =#< E��v��� $ � � 65) $ "!H F:$*) � ? � ? 6 " � �Ç¿ Ø Ñ � ÀÑ ô À Ñ Ý À � � �tÀ Ñ õ Ø � � õ � ô� N ø �Õ Ô

Ü � ÎTSWV>X á � ÎTS Ü Ý h × ôkj h ! � h -�����P� � �1 � ¾ �N� � � æ # æ ®S���N���·�����Ç�t���t��­ë¶�«t�#�<�h� �h�·����ª�®t­��ä���ë����®<���>�t«t�h«4ºo���É��«t�N���ëµ�ª"����µ���½&èä�>�h�� ÊfÌ ÍÙ Ó����¸ª�®S���t�>«t�h« �Ç�oª�«t��ªW������µ�ªW���³ª"�������*�t���F�h�N���h½,Ãü�u�fª��N�h§t�g����ª��·¶fu Ò £]ª��t«d�oª�� �����������3�&§õ � ô�N ø � Û

ÔÜ � ÊrÌ ÍÎTSWV X Ó á � ÊfÌ ÍÎTS Ó Ü Ý h â ôkj h

Ø õ � ô�N ø �� Ô J

� ô� � �

Õ Ì ÍÎTS Þ�� ÊrÌ ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS Ó × � � ÊrÌ ÍÎTSWV>X á Ì ÍÎTS Ó L Ý h ôkj h! � õ � ô� N ø �

Ô ÕÜ Ì ÍÎTSWV>X á Ì ÍÎTS Ü Ý h × ôkj h

! � õ � ô� N ø � Ü Ñ N ç ô á Ñ N Ü Ý Í ! � �£y¥

Page 15: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

��� ����5/� � ��� ��� #�LÊ � Ê Ñ Ó Ï ¿ ! Ñ ! � Ó C $fC#65< "'&/ �& � <:$ & )M$ � ? E @5$*)B?�$ � ? 6 " F')76 E� =�= � � #� � � õ Ï ó å� � C $ = �� < #"2E� 6 � F:$*) � ? � ? 6 " =f6 � ¡à¿ Ï�� ¦ =#< E�� ��� $ � Ü � õ Ü # ¿ $5= ó # ù $ "'&� õ � ô� N ø � � Ê Ñ � õ �N ÓNÊrÌ Í Ê Ñ � õ �N ç ô Ó á Ì Í Ê Ñ � õ �N Ó Ó Ï ó å � �E 6 " @ )�� = � 6 $4)M$ "'& 658 @5$*)B?�$>C .D ? " � Ý Ê�� Ï��0Ï ��Ó7��+a�! ) � õ Ø Û Ñ � õ �� Ï � � � Ï�Ñ � õ �õ â � � �! #"� õ � ô�N ø � � Ê Ñ � õ �N ç ô ÓNÊrÌ Í Ê Ñ � õ �N ç ô Ó á Ì Í Ê Ñ � õ �N Ó Ó Ï ó å�� �$ . = 6 E 6 " @ )�� = � 6 ? " � Ý Ê�� Ï��0Ï ��Ó6�� )76 6 � ÃÄ�é��� ���h�N�é�������t�°�Ð���oªW� ö õ � ôN ø � Ê � ÎTS V X á � ÎTS ÓNÊrÌ�ÍÎTSWV X á Ì�ÍÎTS Ó:�N���·µ��N�����N�é���»¿ä��� � Ý Ê�� Ï��PÏ ��Ó ½ ¾ �±�u]®<�,ªä�Ç�t´�®S�h�éª��Y���t«t���yªW���h«û���û���t�?«t�Nºt�t���������û���G®S���t�t«t�N« �Ç�oªW«t��ªW�����LµWª�� �³ªW���������g���RÊ � Î Ï ¿ ! Ñ ! � Ó�� Ô � õ � ô� N ø � Ê � ÎTS V X á � ÎTS ÓhÊfÌ ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS Ó Ý��� ôkj Ý

! õ � ô� N ø �ÕÉÔ Ê � ÎTSWV X á � ÎTS Ó Ý

Ô ÊrÌ ÍÎTSWV>X á Ì ÍÎTS Ó Ý × ôkj Ý! õ � ô� N ø �

ÕÉÔ Ê � ÎTSWV X á � ÎTS Ó Ý h × ôkj Ý hÕÉÔ ÊfÌ ÍÎTSWV>X á Ì ÍÎTS Ó Ý�� × ôkj Ý��

! � õ � ô�N ø �Õ Ô Ê � ÎTSWV>X á � ÎTS Ó Ý h × ôkj h ôkj Ý � õ � ô�N ø �

Õ ÔÜ Ì ÍÎTSWV>X á Ì ÍÎTS Ü Ý�� × ôkj � ôkj Ý

! �� õ � ô� N ø � Ü Ñ N ç ô á Ñ N Ü Ý Í ôkj Ý

! � ´ïª"ð��� N � õ � ô Ê Ñ N ç ô á Ñ N Ó Í�� X� � õ � ô� N ø � Ü Ñ N ç ô á Ñ N Ü X�

! � � � ´4ª"ð��� N � õ � ô Ê Ñ N ç ô á Ñ N Ó Í�� X� # ¿ Ê O ßdÜ � Ü # ¿·Ó Ï���t�N����£Uì#u Þ £°ì�� Ø £�½ 3ÃÄ�4�yª��iª�­�� �¢®S�0� �t�°���i�������Xª6� ­������Ç��­�¶�´���� �0­��h�t�����·¶ ª������>´4�N�Ç�����tªW�ï�ë��Ê � Ù Ï ß Ò ¿·Ó¨���4ª�t� �G�N�h���Ë�������(®<���>�t«t�h«2�Ç�oª�«t��ªW������µWª�����ªW�������2ª��t« N ���˪��·¶2�S�����·�û���X¡ Ñ N Ï�Ñ N ç ô ¦b§Y���t�h�(���t��­���´����¸������>�*�����N´ïª��>��� �t´��Iö*õ � ôN ø � ��� S ÊrÌ�ÍÎTS V X á Ì�ÍÎTS Ó,�N���·µ��h� ���»��� � Ý Ê�� Ï��PÏ ��Ó ��� ��� � Ù � Ì�ÍÙ �ë�$�ë�,���?��� �t�¸�g���ª��·¶*�oªW� �����h�t­�ª��I�¼�t�����h�Ë��� ���>�¼�.ª N ½� ��} |$~��� d������ � ���

w��°� ª��dª��oª�­������t���W�é���t�ËÃÄ�����g��� ´��t­�ª����ä�N� �¼ªW®t­������t�N«$§>���tªW�����N§tª¨�¼�oª����*���t­����g�������>�]���·���h����ª�­���·�����F«t�t�h�N«u���Z���>�û­³ª��É�ä���N�N�������$½ ¾ �N� � � æ # æ ®<�˪��ü�����h�û�h���Ç�����Ç�t���>��­�¶ï«t�#�<�h� �h�·����ª�®t­����g�t�t�±�������£U©

Page 16: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

�������(®<���>�t«t�h«6���N�h���t«6«t�h� ��µWªW����µ��W½�èä�t�h� �g���˪d�tª�� ����������� °Ñ � Ï�Ñ ô Ï � � � Ï�Ñ õ �4���Ë¡à¿ Ï�� ¦?�ë���g��­�­��°���û®Ç¶è ª°¶F­������ �ä�g����´��>­³ª¹���oªW�� ÊfÌ Í� Ó á � Êr¿·Ó Ø õ � ô�N ø � � � ÊrÌ ÍÎTS V X Ó á � ÊfÌ ÍÎTS Ó �

Ø õ � ô�N ø � � � ÊfÌ ÍÎTS Ó � Ì ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS � Þ £Ú õ � ô�N ø � � � � Ê N Ó � Ì ÍÎTSWV>X á Ì ÍÎTS � ÝØ õ � ô�N ø � � � ÊfÌ ÍÎTS Ó�� � Ì ÍÎTSWV>X á Ì ÍÎTS � Þ õ � ô� N ø � � ÎTS V XÎTS � �Ù � � ÊfÌ ÍÎTS Ó � ß

Þ £Ú õ � ô� N ø � ��� � Ê N Ó � Ì ÍÎTS V X á Ì ÍÎTS � ÝØ � ô Þ � Ý Þ ��� Ï���t�N��� N å ÊrÌ�ÍÎTS Ï Ì�ÍÎTSWV>X Ó±½ �G���>�h�(���u���uª���� �t´4�N«w���oªW�0Á í £Uì Ú §��ë�Z�g��­�­��°���Z���oª"� ��� # ¿ ���� Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó±½ ² ¶����t��«t�Nºo�>�������������$���>�»� ���G�¼�tª�� �����¸���·���N����ª�­Æ���Ç�����F«t�t�N�h«Z�������t�»�t� �h�N�h«t���t�����N�N�������$§���>��ºt��� �Ë���h��´ � ô �h���·µ��N�����N�¹���1 ��� � � ÊrÌ�ÍÙ Ó � Ì�ÍÙ ��� � Ý ½ ² ¶2ª*µ��h� �������6���R���>���¼�tª����(���>­��¨�g�������>�)oñÄ«t�#�<�h� �h�·����ªW�������Z���S�h��ªW�����h§t�ë�I�g��­�­��°���I���oªW�ä�g��� ß å ¡ Ñ N Ï�Ñ N ç ô Ó� �Ù � � ÊrÌ ÍÎTS Ó Ø � � � ÊrÌ ÍÎTS Ó � �Ù Ì ÍÎTSØ � � � ÊrÌ ÍÎTS Ó � ÎTS�

)LÊ �mÏ ß Ó � �Ø Á ��� � ÊfÌ ÍÎTS Ó � ß°Ý Í�� ô á Ê ß á Ñ N Ó Ý Í�� ô �èä�Ç�t�Y���t�?� �h�N���t«]���t´��������t�&���t���N�,���t´��$�g����´8è ª°¶F­������ �$�g����´��t­³ª��N���·µ��N�����N�é����Á �� ß Ý Í�� ô � � � ÊfÌ�ÍÙ Ó � ß��� � Ý ½?èä�t�Ë�g��­�­��°�����t�¹�¼�oª����d���>­����g��� ´��t­³ª����ä��®>��ª����t�N«$½��� ����5/� � �����1� � � æ # æ ?D= $ �k+ ? E� gE 6 "!� ? " <!65< = .IH�& ? � ) #"!� ?�$>C .D � < "2E#� ? 6 " + ? �1� C#65< "'&/ �&&/ )B?�@5$ � ?�@ = � 6 65) &/ ) �k+ 6 � �1�! #"� ÊrÌ Í� Ó á � ÊfÌ Í� Ó Ø � �

� � � ÊfÌ ÍÙ Ó � Ì ÍÙ Þ Á � �� ß°Ý Í�� ô � � � ÊrÌ ÍÙ Ó � ß O - ß - Êg¥t½�£°Ó

ÃÄ���������·���h� �h�É�����>�P���.�>�����ï���oªW�¹���t���¹�g��� ´��t­³ªu��´��t­����h�û���t�Z�t� �oª�­�ÃÄ��P�g��� ´��t­³ª*�g��� ² ���°���t��ª��´����������Z���t�h�0Á Ø £Uì Ú ���I�g����´4ª�­�­ë¶����t®t�É���ë���>���h«d���6Êf¥t½ë£UÓ ½èä�t�¨�g��­�­��°�����>�4���>�h��� �h´Ö� �t�°���¹�>�U� ���*�N��´��t�>�������t� )oñÄ«t�h� ��µWªW����µ������ŪZ� ���F�¼�oª��É���������·���h����ª�­���?ÃÄ��4�ü¶F�S��½äÃÄ���hª��P®S�˵��h� ��ºo�N«P�g����´ ���t�]�t���F«t�t�±��� �t­��]ª��t«0���t� �¸���h´4ª��t�d���t´ ª��>�t���yðG��´4ªW�������t����¨���t�Ë� ���F�¼�oª��É�����]���·���h����ª�­r½��� ����5/� � � ��� #�:Ê � Î Ï Ñ�å ¡à¿ Ï�� ¦³Ó C $�= � 6 E�� $5= � ? E F')76 E� =�=�? "��ËÊr¿ Ï�� Ó $ "'&Å� �t� ��� Ù � �

ÔÜ � �Ù � Ù Ü Ý Àù $ "'& .D #��� Î Ø Î� � � � Ì�Í� � 65) ÑIå ¡à¿ Ï�� ¦1� � �! #" � 65) ß Ï�Ñ�å ¡à¿ Ï�� ¦

� �Ù � Î Ø � Î�� �Ù � � � Ì Í� Þ�� Î

�� � )LÊ ß Ï�� Ó � �¹Ï O - ß -

£ �

Page 17: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

w¸�U��ª¨´4��� �û���h�>�h��ªW­YÃÄ�����g����´��>­³ª����¸����µ��N�$½��� ����5/� � � ��� #� � Î Ø Î� � � � Ì�Í� �a+a�! ) »Ê � � Ï ¿ ! � ! � Ó ?D=c$ = � 6 E�� $5= � ? E F')76 E� =�=�? " �ËÊr¿ Ï�� Ó6�� =�=#< 8 m��� $ � ���! ) ?D=_$ "*þÐí�£ á Á =#< E�� ��� $ �Ô

Ü � � á � � Ü Ý ! � Ü � á � Ü Ý ý -+a�! ) Ü � á � Ü ! � � 65)c= 658 � íX¿ $ "'&­���´��� � U � � ÎZU � � � � � � �

ÔÜ � �� Ê�� � á � � Ó Ü Ý Ø ¿ -

� #� � � æoç +(æ # æ C $ � < "2E#� ? 6 "g� $*@ ? " � �1�! -0 )7= � E 6 "!� ? " <!65<>= &/ )B?�@5$ � ?�@ ? " ? � = 0 )7= � @5$*)B?�$>C .D $ "'& ���! = �E 6 "'& E 6 "!� ? " < 65<>= &/ )B?�@5$ � ?�@ ? " ? � =,= �E 6 "'& @5$*)B?�$>C .D �� � =�=#</8 �1� $ ���1�! = &/ )B?�@5$ � ?�@ =$*) C#65< "'&/ �& � � 65) 65@ ) � ? � ?D=m$5=�=#</8 �& ��� $ � Ô �� Ü � Ù � �Ù � Ù Ü � ß À ù $ "'&ïÊ � � Ê ß Ï � Ù Ó � Ù Ï ß å ¡à¿ Ï�� ¦êÓ?D=m? " �ËÊf¿ Ï�� Ó�� � �! #" � 65) ¿2! Ñ ! � �� Ê Ñ Ï � Î Ó Ø � Êr¿ Ï ¿·Ó Þ � Î

�� �� ß Ê ß Ï � Ù Ó � ß Þ�� Î

�� �� � Ê ß Ï � Ù Ó � Ù � Ì ÍÙÞ � Î

�� Ý �� � Ý Ê ß Ï � Ù Ó � Ù � �Ù � Ù � ß - O - ß - Êg¥t½ Ú Ó

� )76 6 � ¾ �N� �¢®S�˪��oª�� �����������Z«>�Nºo�t�N«.ª��¸ª�®S�°µ��Ë®·¶u���N�t­³ª��N���t� � ®·¶ Ñ ½?èä�t�h�� Ê Ñ Ï � Î Ó á � Êf¿ Ï ¿·Ó Ø õ � ô�� ø � � � Ê Ñ � ç ô Ï � Î E V>X Ó á � Ê Ñ � Ï � Î E Ó �

Ø õ � ô�� ø � � � Ê Ñ � ç ô Ï � Î E V>X Ó á � Ê Ñ � Ï � Î E V X Ó � Þ õ � ô�� ø � � � Ê Ñ � Ï � Î E V X Ó á � Ê Ñ � Ï � Î E Ó �®·¶*���t�]´��yª��uµWª�­��t�û���t�h��� �h´d½IÃÄ�¸�����yªW� ¶u�������N�¹���tªW�����t�˺o���É�»� �t´ �h���ǵ��h� ���h�»��� � Î

�� �� ß Ê ß Ï � Ù Ó � ß��� � Ý ½�w��°� �h���t� ��«t�N�ä���t�Ë���N�h���>«P���>´0½��¸�����>�4è ªy¶G­������ �I�g��� ´��t­³ªG§>���ä�g��­�­��°�������oªW�

� Ê Ñ � Ï � Î E V X Ó á � Ê Ñ � Ï � Î E Ó Ø � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó

Õ� Î E V X á � Î E × Þ £Ú � Ý �� � Ý Ê Ñ � Ï �� Î E Ó

Õ� Î E V X á � Î E × Ý Ï

���t�N��� �� Î E å Ê � Î E Ï � Î E V>X Ó±½,ú»�d�t�t�S�h��®S���t�t«d���ä��®>�¼ª����t�h«*�g��� Ô Õ� Î E V X á � Î E × Ý ª��ä�g��­�­��°���Ô Õ

� Î E V>X á � Î E × Ý Ø Ô J� Î E V XÎ E � �Ù � Ù � ß L Ý Þ

Ô� Î E V>XÎ E � Î E V XÎ E � � � � )LÊ �mÏ �GÓ � � � �

! Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó � Î E V XÎ EÔ Õ

� �Ù � Ù × Ý � ß Þ�� Î E V XÎ E � Î E V XÎ E Ê Ô � Ý� Ó ôkj Ý ÊÔ

� Ý� Ó ôkj Ý )LÊ �mÏ �GÓ � � � �! � rrÊ Ñ � ç ô á Ñ � Ó Ý Þ � Î E V XÎ E � Î E V XÎ E )LÊ �éÏ �>Ó � � � � s! � Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó Ý Þ � Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó Ý Í ! � Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó Ý Í£��

Page 18: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

���t�N��� Ñ N ç ô á Ñ N À £¨ª��>« � ���»ª4�h���t�É�¼ª��·�û���t«t�N�<�N�t«t�h�·�û�W�&���t�¹�oª��É����������� �?§S���oªW��´4ª°¶d«t���:�N�¸�g���«t���:�N���h�·��ª��t�>­����hªW�������t�N½èä�Ç�t� Ô õ � ô�� ø �� Ý �� � Ý Ê Ñ � Ï �� Î E Ó

Õ� Î E V>X á � Î E × Ý ! � õ � ô�� ø �

ÔÖÕ� Î E V X á � Î E × Ý

! � õ � ô�� ø � Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó Ý Í# ¿ ª�� Ü � Ü # ¿

���d���t�Ë�����>�h�ä�oª��>«� �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó

Õ� Î E V X á � Î E × Ø � �

� � Ê Ñ � Ï � Î E ÓÕ� Î E ��ÊrÌ ÍÎ E V>X á Ì ÍÎ E Ó ×Þ � �

� � Ê Ñ � Ï � Î E ÓJ� Î E V XÎ E Ê � Ù á � Î E Ó � Ì ÍÙ Lèä�t�˺o���É�����h� ´ ���*���>�]� �����·���oªW�t«0� ��«t�û�hª��d®<�Ë�±ðG�t� �h� ���h«.ª��

� �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó

Õ� Î E ��ÊrÌ ÍÎ E V>X á Ì ÍÎ E Ó ×

Ø � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó

J� Î E ÊfÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó á � Î E V>XÎ E � �Ù � Î E � ß L

Ø � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E ÊrÌ ÍÎ E V>X á Ì ÍÎ E Ó á � �

� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E V XÎ E � �Ù � Î E � ßØ � � �

� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E�� ��ÊrÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó Þ � Î E V>XÎ E � �Ù �� �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E � � ßá � �

� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E V>XÎ E � �Ù � Î E � ßØ � � �

� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E � ��ÊrÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó Þ � Î E V>XÎ E � Î E � �Ù � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � ßèä�Ç�t� õ � ô�� ø �

� �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó

Õ� Î E V>X á � Î E × Ø õ � ô�� ø �

� � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E�� ��ÊrÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó

Þ õ � ô�� ø � � Î E V>XÎ E � Î E � �Ù � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � ß -

ú»� Ü � Ü # ¿G§t���t�ûºo� � �����N��´ �N���·µ��h� ���h�¸���� Î�

� Ù � �� � Ê ß Ï � Ù Ó � Ì ÍÙ£°¯

Page 19: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

��� � Ý ª��t«u���t�Ë���N�h���>«0���N��´ �N���·µ��N�����N������ Î�� Ý �� � Ý Ê ß Ï � Ù Ó � �Ù � Ù � Ù � ß��� � Ý ½?èé�4�t� �°µ��Ë���t�û���>�h��� �h´ �ë�ä�������t­ë¶Z�t�N�h�N����ªW� ¶u�������>�U�w���oª"�»ªW� Ü � Ü # ¿>§

õ � ô�� ø �ÔÜ � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E V XÎ E Ê � Ù á � Î E Ó � Ì ÍÙ Ü # ¿

�G���t�h� � �oª��¸ª¨®<���t�t«t�N«P���N�h���>«0«t�N���ëµ�ª"����µ���§o�ë�I�g��­�­��°�������oª"�Ü � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó Ü ! � ÊÉ£ Þ Ü � Î E Ü Ó -èä�Ç�t� Ô

Ü � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó Ü Ý ! � -4o�t� ���t�h� ´4�����õ � ô�� ø �

ÔÜ � �� � Ê Ñ � Ï � Î E Ó � Î E V XÎ E Ê�� Ù á � Î E Ó � Ì ÍÙ Ü

! � õ � ô�� ø � nÔÜ � Î E V XÎ E Ê � Ù á � Î E Ó � Ì ÍÙ Ü Ý p ôkj Ý

Ø � õ � ô�� ø �� Ô J

� Î E V XÎ EÕ� �Ù Ê � Ù á � Î E Ó × � ß L Ý Þ

Ô� Î E V XÎ E � Î E V XÎ E Ê�� � á � Î E ÓhÊ � � á � Î E Ó�) Ê �mÏ �GÓ � � � � ôkj Ý

! � õ � ô�� ø � Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó � Î E V>XÎ EÔÖÕ

� �Ù Ê � Ù á � Î E Ó × Ý � ßÞ � Î E V XÎ E � Î E V XÎ E ÛÔ Ê � � á � Î E Ó Ý â ôkj Ý Û

Ô Ê � � á � Î E Ó Ý â ôkj Ý )LÊ �mÏ �GÓ � � � � � ôkj Ý! � õ � ô�� ø �

� ���t�Î E � Ù � Î E V XÔÜ � �Ù Ê � Ù á � Î E Ó Ü Ý Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó Ý Þ Ê Ñ � ç ô á Ñ � Ó Ý Í � � �t�Î E � Ù � Î E V X

Ô Ê � Ù á � Î E Ó Ý � ôkj Ý! �

� ���t�Î E � Ù � Î E V>XÔÜ � �Ù Ê � Ù á � Î E Ó Ü Ý ôkj Ý Þ � Ü � Ü Í ç ý � ô

# ¿ª�� Ü � Ü # ¿>½?èä�>�����t���°µ��h�����t�û���>�h��� �h´d½ 3èä�t�Ë�&�F�tª�­��ë�ü¶ Êf¥t½ Ú Ó��hª��0®S���g��� ´ïª�­�­�¶��±ðG�t� �h� ���h«(ªW�

� � Ê Ñ Ï � Î Ó Ø � �� Ñ Ê Ñ Ï � Î Ó � Ñ Þ � �

� � Ê Ñ Ï � Î Ó � Î � Ì ÍÎ Þ � Ý �� � Ý Ê Ñ Ï � Î Ó � Î � �Î � Î�� ÑÃÄ���4Ê ß Ó Ø O Ê ß Óä����ª¨«t�N���h��´����>��� �����»�g�>�t�N�������*���>�h�¢Êf¥t½ë£UÓ�����´4�>­���ºt�h�äª��ä�g��­�­��°���h½£ �

Page 20: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

� ���&������� ���� � � � #� � Î Ø Î� O � � Ì�Í� �a+a�! ) O å � Ý� $ "'& � � ætç +]æ # æ =t$ � ?D= 0 = �1�! E 6 "'& ? � ? 6 " =? " � �! 65) 8�� ����� � #��Ê � ?��� Ê ß Ï � Ù Ó O Ù Ï ß å ¡ ¿ Ï�� ¦³Ó C ? " �ËÊr¿ Ï�� Ó�� � �! #"� Ê Ñ Ï � Î Ó Ø � Êr¿ Ï ¿·Ó Þ � Î

�� �� ß Ê ß Ï � Ù Ó � ß Þ � Î

�� �� � Ê ß Ï � Ù Ó O Ù � Ì ÍÙÞ � Î

�� Ý �� � Ý Ê ß Ï � Ù Ó �

Ù�

)LÊ ß Ï �GÓ O � � � � ß O - ß -65) � 65)B8 $ .�.IH

� � Ê Ñ Ï � Î Ó Ø � �� Ñ Ê Ñ Ï � Î Ó � Ñ Þ � �

� � Ê Ñ Ï � Î Ó O Î�� Ì ÍÎÞ � Ý �� � Ý Ê Ñ Ï � Î Ó �

�

)LÊ Ñ Ï �GÓ O � � � � Ñ -ÃÄ� O Ù�� £�§t���t�N�0èä�>�h��� �h´ ¥t½ë£Ë���ä��®>��ª����>�h«$½Ãü� ���t�d�h­�ª���� ���hª�­I� ���G�¼�tª�� �����dª��oª�­ë¶F�����N§R���t�d� ���F�¼�oª��É�����d���·���h����ª�­I�hª��X®S�u«t�Nºt�t�h« �g�������h�t�N��ª�­���N´4��´ïªW� �����t�·ª�­��h��ª��t«0ª��PÃÄ����g��� ´��t­�ª��yª��0®<�Ë���ëµ��h�:½ ² ¶Z���t� ���G��®Fñɬ0�±¶��h��«t�N�h��´��S�����ë�������¢¡ ¥�¦r§Æª���N´4��´ïªW� �����t�·ª�­��&�yªW��®<�R�±ðG�t� �h� ���h«�ª��é���t�Å���t´^���oª�´4ª�� �����t�·ªW­��,ª��t«�ª�®S���t�t«>�h«�µWª�����ªW�������Ë�t���F�h�N���N½ú ���h´���´4ª��É�����>�·ª�­��¨Ê '�Î Ï�Ñ¸Ò ¿�Óä���ë���d���h� �<�N�N�����Zª ² ���°���t��ª��P´����������u�yª��0���ê���N�P®S��� ð>�>���h� ���N«6ªW�'�Î Ø ' � Þ Î��� Ù � Ì Ù Þ Î� � Ù � ß ½Lú���ÃÄ����g����´��t­³ª¸�������>��ª��oª�­��������t�é�g����´^�������¨���N���S�h�N�?�����g��ª��±�������oª�­² � �U���>�³ª��u´����������t�I���ä����µ��h�$½,èä�t���¸���h�t�N��ª�­�� �yª"�������Z���é���t�ËÃÄ�����g��� ´��t­³ª¹���ä�t� �N�g�t­m���dª��>�t­����yªW�������t�N½��� ����5/� � ����� #�:Ê � � Ï��På ¡ ¿ Ï�� ¦³Ó =t$ � ?D= � H��1�! E 6 "'& ? � ? 6 " = 6 � � �! 65) 8�� ��� $ "'&�.D #� Ô ���t� ��� Ù � � Ü Ù Ü Àù ���f #" 6 �G � Î Ø Þ Î� � � � Þ Î� � � � Ì�Í� � å2æ � 65) ÑIå ¡ ¿ Ï�� ¦1� � #�IÊ � ?�� Ê ß Ï � Ù Ó � Ù Ï ß å ¡à¿ Ï�� ¦êÓ å�ËÊf¿ Ï�� Ó�� � �! #" � 65) ÑIå ¡à¿ Ï�� ¦

� Ê Ñ Ï � Î Ó Ø � Êr¿ Ï ÇÓ Þ � Î�� �� ß Ê ß Ï � Ù Ó � ß Þ � Î

�� �� � Ê ß Ï � Ù Ó Ù � ßÞ � Î

�� �� � Ê ß Ï � Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ Þ � Î

�� Ý �� � Ý Ê ß Ï � Ù Ó � Ù � �Ù � Ù � ß O - ßèä�t�]�t���F���é���I���t�Ë��ª�´��]ª��ä�g���I���>�¹ªW®<�°µ��û���t�h��� �h´d½w¸�U�w���t�ËÃÄ����g��� ´��t­�ª¹�g��� æ õ ñĵWª�­��>�h«u�t���F�h�N��� �h�»���ä����µ��h�$½��� ����5/� � ����� #�IÊ � NÙ Ï 7 Ø £ Ï � � � Ï ó Ï ß å ¡à¿ Ï�� ¦³Ó =t$ � ?D= � H ���! oE 6 "'& ? � ? 6 " =_6 � � �! 65) 8�� ��� � 65) � �

� #� �Î Ø Î� � �Ù � Ì ÍÙ �4� Ø £ Ï Ú Ï � � � Ï ó � 65) Ñ�å ¡à¿ Ï�� ¦1� � 65) � Ø £ Ï Ú Ï � � �ãó .D #��Ê � � E Ê ß Ï � Ù Ó � �Ù Ï ß å¡à¿ Ï�� ¦êÓ C ? " �ËÊr¿ Ï�� Ó6� � #� � C f�k+ ? E� E 6 "!� ? " <!65< = .IH & ? � ) #"!� ?�$>C .D o+ ? ��� C#65< "'&/ �& &/ )#?�@5$ � ?�@ = � 6= �E 6 "'& 65) &/ ) � � �! #"� Ê Ñ Ï ôÎ,Ï � � � Ï õÎ Ó Ø � Êr¿ Ï ¿ Ï � � � Ï ¿·Ó Þ�� Î

� � Ù Ê ß Ï ôÙ Ï � � � Ï õÙ Ó � ßÞ õ�� ø ô �Î� � � E Ê ß Ï ôÙ Ï � � � Ï õÙ Ó � �Ù � Ì ÍÙ

Þ õ�� U ø ô � Î� � � E �� Ê ß Ï ôÙ Ï � � � Ï õÙ Ó � �Ù � �Ù Ù � ß O - ß -Ú ¿

Page 21: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

� )76 6 � èä�t�»���t�h��� �h´ ���?µ��h���ëºo�h«Z�g���Ró Ø Ú ½&è �¹����´4�t­����궹���t���t���¼ª"�������$§·­��±� � ô Ø �^ª��t« � Ý Ø �½¾ �N� �2�Ç¿ Ø Ñ � À Ñ ô À Ñ Ý À � � �tÀ Ñ õ Ø Ñ ®<�]ª¨�oª��É�����������*�W� ���t�Ë���·���N� µWª�­,¡à¿ Ï�Ñ ¦r½,èä�t�h�� Ê Ñ Ï Î Ï � Î Ó á � Êr¿ Ï ¿ Ï ¿·Ó Ø õ � ô�� ø �

Õ� Ê Ñ � ç ô Ï Î E V>X Ï � Î E V X Ó á � Ê Ñ � Ï Î E V X Ï � Î E V X Ó ×Þ õ � ô�� ø �

Õ� Ê Ñ � Ï Î E V X Ï � Î E V>X Ó á � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó × Êg¥t½ ��Ó

®·¶4���t��´��yª��4µ�ªW­��t�����t�N�����N´0½?ÃÄ�����Å�yª��ɶ4�������N�»���oª"�����>�»ºo���É�I� �t´ �N���·µ��N�����N����� Î� � ?� Î � ß ��� � Ý ªW�Ü � Ü # ¿>½?èé��«t�N���h��´����>�����t�Ë­���´4�ë���W� ���t�Ë���h�N���t«0���t´d§o�h���>����«>�h���yª��¼�u���N��´ ���*���t�Ë���>´1�

� Ê Ñ � Ï Î E V X Ï � Î E V>X Ó á � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E ÓØ � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó Õ Î E V>X á Î E × Þ ��� Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó Õ � Î E V X á � Î E ×Þ £Ú � ��� Ê Ñ � Ï � Î E Ï �� Î E ÓÕ Î E V>X á Î E × Ý Þ £Ú ����� Ê Ñ � Ï � Î E Ï �� Î E Ó

Õ� Î E V X á � Î E × ÝÞ � � � Ê Ñ � Ï � Î E Ï �� Î E Ó Õ Î E V X á Î E × Õ � Î E V X á � Î E × Ï���t�N��� � Î E å Ê Î E Ï Î E V X Óäª��>« �� Î E å Ê � Î E Ï � Î E V>X Ó±½,èä�Ç�t�õ � ô�� ø �

Õ� Ê Ñ � Ï Î E V X Ï � Î E V X Ó á � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó ×

Ø õ � ô�� ø � � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó Õ Î E V>X á Î E × Þ õ � ô�� ø � ��� Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó Õ � Î E V X á � Î E ×Þ £Ú õ � ô�� ø � � ��� Ê Ñ � Ï � Î E Ï �� Î E Ó Õ Î E V>X á Î E × ÝÞ £Ú õ � ô�� ø � ����� Ê Ñ � Ï � Î E Ï �� Î E Ó Õ � Î E V>X á � Î E × ÝÞ õ � ô�� ø � � � � Ê Ñ � Ï � Î E Ï �� Î E Ó

Õ Î E V>X á Î E × Õ � Î E V>X á � Î E ×Ø � �ô Þ � �Ý Þ � �� Þ � �

�Þ � �

�Ãü�dª�����´4��­³ª��?��ª°¶*ª��I���t�»�t���F���é���éèä�t�h�����h´ ¥t½ �G§>���I�yª��*®S�û���t�°���u���oª"��ª�� Ü � Ü # ¿>§ � �� �h���·µ��h�����h�����¿���� � Ý �g��� � Ø � Ï ¥ Ï ©F½� � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó Õ Î E V X á Î E ×�Ø � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó Õ � Î E ��ÊrÌ ÍÎ E V>X á Ì ÍÎ E Ó × Þ � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó J � Î E V XÎ E Ê � Ù á � Î E Ó � Ì ÍÙ L -Ãü�Zª]����´4��­³ª��L��ªy¶����¹���t�¸�t���F���Y���:èä�t�h�����h´î¥t½ �Ë���t�»� �h�N���t«Z� �t´ «t�G�N�Å�>�����N���·��� ��®t�>����ª�� Ü � Ü # ¿>½² ¶ï���t�Ë«t�±ºo�t���������u���é���>� / ���¼�Z�t� �G«t�>�N�����ä�g��­�­��°�������oªW�

� � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó Õ � Î E �¨ÊfÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó ×Ú £

Page 22: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

Ø � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó J � Î E ÊrÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó á � Î E V XÎ E � �Ù � Î E � ß LØ � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E ÊfÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó á � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E V>XÎ E � �Ù � Î E � ßØ Ê � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E Ó��¨ÊfÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó Þ � Î E V XÎ E � �Ù Ê � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E Ó � ßá � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E V XÎ E � �Ù � Î E � ßØ Ê � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E Ó��¨ÊfÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó Þ � Î E V XÎ E � ��� Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � �Ù Î E � Î E � ßÞ � Î E V XÎ E � � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � �Ù � Î E � Î E � ß Þ � Î E V XÎ E � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � �Ù � Î E � ßá � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E V XÎ E � �Ù � Î E � ßØ Ê � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � Î E Ó��¨ÊfÌ ÍÎ E V X á Ì ÍÎ E Ó Þ � Î E V XÎ E � ��� Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � �Ù Î E � Î E � ßÞ � Î E V XÎ E � � � Ê Ñ � Ï Î E Ï � Î E Ó � �Ù � Î E � Î E � ßÃü�0ª�� ��´���­�ª��R��ªy¶*�������t�Ë�t� �G�W� �W�Lèä�t�N�����N´ ¥t½ �>§t�����hª��d®<�Ë���>�U���d���oª"�¸ª�� Ü � Ü # ¿>§

� �ô # � Î�� �� � Ê ß Ï Ù Ï � Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ Þ � Î

�� Ý �� � Ý Ê ß Ï Ù Ï � Ù Ó � �Ù Ù � Ù � ßÞ � Î

�� Ý �� � ��� Ê ß Ï Ù Ï � Ù Ó � �Ù � Ù � Ù � ߪ��t«

� �Ý # � Î�� ����

Ê ß Ï Ù Ï � Ù Ó Ù � Ì ÍÙ Þ � Î�� Ý ���� Ý Ê ß Ï Ù Ï � Ù Ó � �Ù � Ù Ù � ßÞ � Î

�� Ý �� � ��� Ê ß Ï Ù Ï � Ù Ó � �Ù Ù Ù � ß

��� � Ý �t���°µF���t�¨���t�û���t�N�����N´0½ 3èä�t�ËÃÄ����g��� ´��t­�ª��g���I���t�¹�F����ªW�����t�°µF���¼�*�ü¶F�<�]���·���h����ª�­��I���ä����´4�t­��h�N½��� ����5/� � ��� � #�]Ê�� Î Ï�Ñ�å ¡à¿ Ï�� ¦³Ó C $vF')76 E� =�=,=#< E������ $ � �1�! $5=�=#< 8 F � ? 6 " = 6 � � �! 65) 8 � ���$*) =t$ � ?D= 0 �& � � #� Î Ø Î� � Ù � Ì�ÍÙ � � #� � � æoç +uæ # æ C $4$ �k+ ? E� E 6 "!� ? " <!65<>= .IH & ? � ) #"!� ?�$>C .D � < "2E#� ? 6 " + ? ��� C#65< "'&/ �&v&/ )B?�@5$ � ?�@ = � 6o= �E 6 "'& 65) &/ ) � � #��Ê � A��� Ê ß Ï Ù Ó � Ù Ï ß å ¡à¿ Ï�� ¦êÓ C ? "��ËÊr¿ Ï�� Ó6�� �! #" � 65) ÑIå ¡ ¿ Ï�� ¦

� Ê Ñ Ï Î Ó Ø � Êf¿ Ï ¿·Ó Þ�� Î�� �� ß Ê ß Ï Ù Ó � ß Þ�� Î

�� �� � Ê ß Ï Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ O - ß - Êg¥t½ ¥·Ó

Ú�Ú

Page 23: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

� )76 6 � w������û���oªW� � Î Ø Î� � Ù � Ì�ÍÙ ªW­������ ð>��� ����ªW�t« Î Ø � Î Þ�� Î

�� �Ù � Ù � ß -

��� ���t�¨���t�ËÃÄ�����g����´��>­³ª*Êg¥t½ Ú Ó� Ê Ñ Ï Î Ó Ø � Ê Ñ Ï � Î Þ � Î

�� �Ù � Ù � ß Ó

Ø � Êr¿ Ï ¿�Ó Þ�� Î�� �� ß Ê ß Ï Ù Ó � ß Þ � Î

�� �� � Ê ß Ï Ù Ó � �Ù � Ù � ßÞ � Î

�� �� � Ê ß Ï Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ Þ � Î

�� Ý �� � Ý Ê ß Ï Ù Ó � �Ù Ù � Ù � ß Êg¥t½ ©�Ó

w��°�� Î�� �� � Ê ß Ï Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ Ø � Î

� � � Ê ß Ï Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ á � Î�� �Ù Ê � � Ê ß Ï Ù Ó � Ù Ó � ß

Ø � Î� � � Ê ß Ï Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ á,� Î

� � ��� Ê ß Ï Ù Ó � �Ù Ù � Ù � ßá � Î� � � Ê ß Ï Ù Ó � �Ù � Ù � ß Êg¥t½ ��Ó

$���´�®t���t���t�����>�¹ªW®<�°µ��û�ü�Å�ï�&�F�tª�­��ë�����N�h§G���ä�g��­�­��°�������tªW�� Ê Ñ Ï Î Ó Ø � Êf¿ Ï ¿·Ó Þ�� Î

�� �� ß Ê ß Ï Ù Ó � ß Þ � Î

�� �� � Ê ß Ï Ù Ó � Ù � Ì ÍÙ�t� �UµF���t�¨���t�û���>�h��� �h´d½ 3

�v/��� ��� ��� �! f �� <:$ � ? 6 "�� � � � � E $ " C f �� F') =�= �& � 65)B8 $ .�.IH $5=� � Ê Ñ Ï Î Ó Ø � Î Ê Ñ Ï Î Ó � Ñ Þ � � Ê Ñ Ï Î Ó � Î -

65) 8 65) � #"2 )M$ .�.IH� � Ê Ñ Ï ôÎ�Ï ÝÎ�Ï � � � Ï õÎ Ó Ø � �

� Ñ Ê Ñ Ï ôÎ·Ï ÝÎ�Ï � � � Ï õÎ Ó � Ñ Þ � �� � ô Ê Ñ Ï ôÎ�Ï ÝÎ·Ï � � � Ï õÎ Ó � ôÎÞ � � � Þ � �

� � õ Ê Ñ Ï ôÎ�Ï ÝÎ·Ï � � � Ï õÎ Ó � õÎ -

� � � � ����� �y�y� �¹~?�N�4}g^ �,dw~ ] ` |$~��� u����� � � �èI���ûªW�t�t­����yªW�������>�Yª����R���ëµ��h�]�t�°�����G���t�RÃÄ�����g��� ´��t­³ªI�g���Y�g��ª��N�������oªW­ ² ���°���t��ª��]´4���������:½ 4 �����É�y§���>�¨���WñÄ�yª�­�­��h«P�t��´������h�>�h���t�û�¼�tª����û���»�±ðF���N�t«t�h« ���uªï�g��ª��N�������oªW­ ² � �U���>�³ª��2´����������$½]�G�N�h���>«$§éª��� h �N� ����´ïª"�������é���>�ïÊgÃÄ�����ü¶F�<�yÓä�É���F�¼�oª��É�����Ë���Ç���h����ª�­:�g����ª��g��ª��N�������oªW­ ² ���°���t��ª��u´4�W�������*���ä���ëµ��h�:½

Ú �

Page 24: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

¾ �N��Á õ Ê��<Ó�®S�Ë���t�]���N��´������û�S��­ë¶G�>��´4��ª�­S���L«>�h��� �h�ËóL§t���oªW�¸���N§* Î � � X� Î � Ø ÷�õyø � Ñ õ Á õ Ê �<Ó -¾ �N�

Ü � Ü � U Î Ø n � Î�� Î�

)LÊ �éÏ �>Ó � � � �&� � � � p ôkj Ý -���Nºt�t�

�� Î Ø Ü � Ü � ô� U Î � Î� � Ù � Ì ÍÙª��t«Á � U ?õ Ê Ñ Ó Ø Ü � Ü õ � U Î Á õ

Õ�� Î ×

��� ����5/� � �����1� � £ R � U � Y å � Ý� � ���! #"g�1�! � 6 .�. 6 + ? " � �� <P$ . ? ��H ?D= =t$ � ?D= 0 �&� Á � U ?õ Ê Ñ Ó Ø ó$Á � U ?õ � ô Ê Ñ Ó � Î�� Ì ÍÎ�Ï+a�! ) � ?D= ���! � ���6 �kH F _& ? � ) #"!� ?�$ . �*?�@ #" ? " � �! 65) 8 � ��� $ "'& ÑIå ¡ ¿ Ï�� ¦1�� )76 6 � 4L�ëð0ó�ªW�t«2«t�h�>����� '�Î Ø Á � U ?õ Ê Ñ Ó��g��� Ñ»å ¡ ¿ Ï�� ¦b½ �¸�����t�ï���>��ÃÄ���Z�g��� ´��t­�ª.Êfèä�>�h��� �h´ ¥t½ ��Óª��t«d�t� ��´��»�g���ä«t���:�N���h�·���³ªW�������*�ë�I�g��­�­��°���I���oªW�

� '�Î Ø ó Ü � Ü õ � Ý� U Î � Î � Î� ) Ê �mÏ�Ñ Ó � � � � Á õÕ�� Î × � Ñá Ü � Ü õ � U Î � Î � Î� )LÊ �mÏ�Ñ Ó � � � � Á �õ

Õ�� Î × Ü � Ü � �� U Î

J� Î� � Ù � Ì ÍÙ L � ÑÞ Ü � Ü õ � U Î Á �õ

Õ�� Î × Ü � Ü � ô� U Î � Î�� Ì ÍÎÞ Ü � Ü õ � U Î � Î � Î� )LÊ �mÏ�Ñ Ó � � � � Á � �õ

Õ�� Î × Ü � Ü � Ý� U Î � ÑØ ó Ü � Ü õ � Ý� U Î Á õ � ô

Õ�� Î × � Î�� Ì ÍÎÞ Ü � Ü õ � Ý� U Î � Î � Î� )LÊ �éÏ Ñ Ó � � � �� Û ó$Á õ Ê �� Î Ó á �� Î Á �õ Ê �� Î Ó Þ Á � �õ Ê �� Î Ó â � Ñ

ÃÄ�¸���I�Å�h­�­Y�F�>�U���u���tªW���g���ä�yª��¼�dó å � ���t�]���N��´������»�<��­ë¶F�t��´��³ª�­S��ªW�����ɺo�h�ó$Á õ Ê��<Ó á �SÁ �õ Ê �<Ó Þ Á � �õ Ê��<Ó Ø ¿

Ú ¥

Page 25: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

�g���ä�hª��¼�"� å.æ ½�èä�Ç�t�¸���t�Ë���t´ �W� ���t�û���h� ´4�ä���*���t�]ª�®S�°µ�� �¹���Ç�oª�­��¸¿>½?èä�t�˺o���É�¸���h� ´ ���ó$Á � U ?õ � ô Ê Ñ Ó � Î�� Ì ÍÎ.-èä�Ç�t�

� Á � U ?õ Ê Ñ Ó Ø ó$Á � U ?õ � ô Ê Ñ Ó � Î�� Ì ÍÎ�t� �UµF���t�¨���t�û���>�h��� �h´d½ 3èä�t�û�g��­�­��°�����>���h�É����´4ªW�����g���I���t� � h �>����´ �����t���±�g�t­Y���u� ��´4�˪W�t�t­����yªW�������>�h½��� ����5/� � � ��� #�¸Ê � Ù Ï ß å ¡ ¿ Ï�Ñ ¦êÓ C $v= � 6 E�� $5= � ? E F')76 E� =�=m=t$ � ?D= � H ? " � ���! $5=�=#</8 F � ? 6 " = 6 � � �! �65) 8 � ��� � 65) � � � #�%� Î � Ø Î� � Ù � Ì�ÍÙ � �1� Ô Î� Ü � Ù Ü h � ß À ù � Î� Ô Ü � �Ù � Ù Ü h � ß À ù $ "'&� h � ô �Zå �ËÊf¿ Ï�Ñ Ó7���1�! #" Ô

� hΠ! u h n � �

Õ ÔÜ � Ù � �Ù � Ù Ü h j Ý × Ý j h � ß p h j Ý - Êr©G½�£°Ó

� )76 6 � ú»�t�>­�¶F���t�2���t�uÃÄ���(�g����´��>­³ª�Êgèä�t�h��� �h´p¥t½ �·Ó����2� hÎ Êg®·¶Ð���t�dª�� ���t´��>�����������tªW� � h � ô �8å�ËÊf¿ Ï�Ñ Ó±§Ç���>�����N� ��� ���±�������Z���ï���t��®S���t�t«t�N«t�t�N������� � ���¨�����Å���N�h���t«*«>�h���ëµWªW���ëµ��h�����Zèä�t�N�����N´ ¥t½ ���hª��®S�]� �h´��°µ��h«oÓ±§o���ä�g��­�­��°�������oªW�� hÎ Ø u � Î

�� h � ôÙ � Ù � Ì ÍÙ Þ uéÊIu á £UÓ � Î

�� h � ÝÙ � Ù � �Ù � Ù � ß -èä�Ç�t� Ô

� hÎ Ø uéÊTu á £UÓ � Î�

Ô Õ� h � ÝÙ � Ù � �Ù � Ù × � ß -

Ô� hÎ ! uéÊTu á £°Ó � Î

ÔÜ � h � ÝÙ � Ù � �Ù � Ù Ü � ß! u Ý � Î

�Ê Ô � hÙ Ó ��� �

Õ ÔÜ � Ù � �Ù � Ù Ü � � × �

� � ß² ¶uªW�0���t���Ç�oª�­����ü¶4��� ¾ ªW�t���h�>�t���$§éÊg��½ �t½�¡ £h¦³Ó±§G���t�N���]���I���>�]���t���Ç�oªW­����ü¶Ô

� hΠ! u h n � �

ÕÉÔÜ � Ù � �Ù � Ù Ü � � × �

� � ß p � �-èä�t���¸�N��´��t­��±���h�I���t�Ë�t���F��� ���é���t�û���>�h��� �h´d½ 3

� ���&������� ��� � � ��� #� ���! oE 6 "'& ? � ? 6 " =f6 � � �! 65) 8 � ��� C =t$ � ?D= 0 �& $ "'&4.D #� u Ò Ú � � �! #"Ô� hÎ ! u h n � Î

�Ê Ô Ü � Ù Ü h Ó �

� � ß Þ � Î�

ÕãÔÜ � �Ù � Ù Ü h × �

� � ß p � �-

Ú ©

Page 26: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

� )76 6 � 4o����´ Ü O ) Ü ! O Ý Þ ) Ý §o�����g��­�­��U���Å���oªW�ÔÜ � Ù � �Ù � Ù Ü � � ! Ô

Ü � Ù Ü h ÞÔÜ � �Ù � Ù Ü h -èä�Ç�t� Õ Ô

Ü � Ù � �Ù � Ù Ü � � × �� ! Õ Ô

Ü � Ù Ü h ÞÔÜ � �Ù � Ù Ü h × �

! Ê Ô Ü � Ù Ü h Ó �� ÞÕãÔ

Ü � �Ù � Ù Ü h × �� -èä�t����µ��h� ��ºo�N�����t�Ë�h��� ��­�­�ª�� ¶�½ 3

� |$~ `û���¹~a`û� |m}Z~a`cb������q^ ��}2� � � �N~?� � �t` |m}Z~ `cb���� �q^¾ �±� � å � Ý� Ê ætç Óä®S�]���t�¼�P���oªW� Ü � Ü � Ø £�½I�G��´���­�ª��Å���.¡à¯W¦é«t�Nºt�t� Õ ÷� � Ù � Ì�ÍÙ ×�� õ ª��¸���t�]óSñÄ���/ ���¼�ï�<�°�Å�h������ ÷� � Ù � Ì�ÍÙ §t���oª"�����h§>«t�h�t�W���Ë�g����´4ª�­�­ë¶J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ � Ø J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � � õ � ô � � � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ Ï ó Ø Ú Ï � Ï � � �� ðG�

J� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � Ø ÷�õ°ø �

£ó � J � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ �­����

J £ Þ�� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � Ø ÷�õ°ø ô

Ê á £UÓ õ � ôóJ� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ �

� ����� ��������� Ü � Ü � Ø £5���1�! #" Õ ÷� � Ù � Ì�ÍÙ ×�� õ ?D= +- #.�.�&/ 10�"2 �& � 65) $ E���ó å � $ "'&J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ Ø Á õ J � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L Ï Ê��>½�£°Ó

+a�! ) ¸Á õ &/ #" 6 �G = ���! �� )B8o? �G F!6 .IH " 658o?�$ . 6 � &/ �*) � �ó��� )76 6 � èä�t�]���Ç�oª�­����ü¶(Ê��>½ë£UÓ����Iµ��h���ëºo�h«0®·¶*���t«>�t�N�������$½ 3ÃÄ�¸���ä�hª�� ¶ï�������h�û���oªW��Ê �>½ë£UÓ����I�����>�Ë�g���äó Ø £�½ ¾ �N��Ê �G½�£UÓ�®S�û��� �t�û�g���û£ Ï Ú Ï � � � Ï ó á £�½,èä�t�h�J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ Ø Á õ � ô Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ó�� � ÷

� � Ù � Ì ÍÙØ Á õ � ô Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ó � ÷� � Ù � Ì ÍÙ á � ? ntÁ õ � ô Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ó pØ Á õ � ô Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ó � ÷� � Ù � Ì ÍÙ á Á �õ � ô Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ó Ü � Ü Ý�Ø Á õ � ô Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ó � ÷� � Ù � Ì ÍÙ á Á �õ � ô Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ ÓØ Á õ Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ Ó

Ú �

Page 27: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

®·¶uª��d��«t�N�·�����ü¶4�g�������N��´������û�<��­ë¶F�t��´��³ª�­��h½éèä�t���äµ��N���ëºo�h�����t�Ë�&�F�tªW�������6Ê �>½ë£UÓ±½ 34o����ª��dª�� ®t������ª��ɶ�§t�>��� �h�N��� � å � Ý� Ê æoç Ó±§>���t�Ë�t���F«t�t�±�¸«t�Nºo�>�h«P���6Ê �>½ë£UÓ����ä� ðF���h�>«t�h«2ªW�J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ Ø Ü � Ü õ �

� ÷� � Ù � Ì�ÍÙÜ � Ü � � � õ Ø Ü � Ü õ � Á õ�� ÷�

÷� � Ù � Ì�ÍÙÜ � Ü � � -

� ����� ��� � ��� � å � Ý� Ê æoç Ó�� ���! #"Õ ÷� � Ù � Ì�ÍÙ × � õ ?D= +- #.�. &/ 10�"2 �& � 65) $ E���ó å � $ "'&J

� Î� � Ù � Ì ÍÙ L � õ Ø Á � U ?õ Ê Ñ Ó -�G���t�h� ÷� � Ù � Ì�ÍÙ ����ªïÈ˪��t� ���³ªW�0��ª��t«t��´ µWª�� �³ª�®>­���§o�ë�¸�����yª��ɶu�����h� ����´4ªW���Ë�ë����´4��´4�N�Ç���»ªW�t«���P���t�°�î���oªW�¹���t�ï���h� ���N��«t�Nºt�t���t�P�±ðG��

Õ ÷� � Ù � Ì ÍÙ × ���¹�h���·µ��h�����h�·����� � Ý Ê�� Ï��PÏ ��Ó ½.¬0�����h�°µ��h����>�h���Ë���I���t�û�g��­�­��°�����t���h��� ��­�­�ª�� ¶�½� ���&������� ��� � � � �1� � å � Ý� Ê ætç Ó�� ���! #"� ð>�

J� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L Ø l>Ê � Ó Ø �±ðG� J � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ á £ÚRÜ � Ü Ý� L -� )76 6 � ÃÄ���g��­�­��U���Å���oªW��±ðG�

J� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L Ø ÷�õ°ø �

£ó�� J � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õØ ÷�õ°ø �

£ó�� Ü � Ü õ � Á õ � ÷� � Ù � Ì�ÍÙÜ � Ü � �Ø �±ðG� �

Ü � Ü � ÷� � Ù � Ì�ÍÙÜ � Ü � á £Ú Ü � Ü Ý� �Ø �±ðG� J � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ á £ÚRÜ � Ü Ý� Lèä�t���¸�N��´��t­��±���h�I���t�Ë�t���F��� ���é���t�Ë­��N´4´4ª>½ 3èä�t�û�g��­�­��°�����>��­��N´4´4ª�����ª�­����¨�hª�� ¶*�����>���°µ��W½� ����� ��� � � 65) $ "!H ��+ 6 � < "2E#� ? 6 " = � $ "'& � ? " � Ý� Ê ætç Ó + ? �1�_� � Ï�� � � Ø ¿/� �1�! � 6 .�. 6 + ? " � �� <:$ . ? �kH?D= =t$ � ?D= 0 �&J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ � J � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L ��� Ø J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ J � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L ��� Ø Á � U ?õ Ê ù Ó Á � U A

Ê ù Ó -�G���t�h� ÷� � Ù � Ì�ÍÙ ì Ü � Ü � ª��t« ÷� � Ù � Ì�ÍÙ ì Ü � Ü � ªW���ïÈ]ª��>������ª�� ��ª��t«>��´ µWª�����ª�®t­��N�û������� ´��yª��6¿ª��t«uµWª�����ª��t�N�¨£�§>���>�h���ä�N�°µ�ªW���³ªW�t�h�Ë���Ô n J � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ ì Ü � Ü � LJ� ÷� � Ù � Ì ÍÙ ì Ü � Ü � L p Ø � � ì Ü � Ü � Ï�� ì Ü � Ü � � � Ï

Ú �

Page 28: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

ÃÄ���g��­�­��°�������oª"� Ô n J � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � õ J � ÷� � Ù � Ì ÍÙ L ��� p

Ø Ô n Ü � Ü õ � Ü � Ü � � Á õ Ê � ÷� � Ù � Ì ÍÙ ì Ü � Ü � ÓÉÁ�Ê � ÷

� � Ù � Ì ÍÙ ì Ü � Ü � Ó pØ

������

� ¿ ����� �Ø óÜ � Ü õ � Ü � Ü õ � � � ì Ü � Ü � ÏM� ì Ü � Ü � � õ � ����� Ø ó

����

� ¿ ����� �Ø ó� � Ï�� � õ � ����� Ø ó

² ¶uª¨�S��­³ªW��� �hªW�������ï���h�¼�t�t�#�Ç�t�Z¡ Ú £±¦m���ä���ä�yª��ɶ*���¨µ��N�����ê¶ï���t�û�g��­�­��°�����t��­��h´�´4ª>½� ����� ������� #� � ô Ï � � � Ï � õ � � ô Ï � � � Ï�� � å � Ý� Ê æoç Ó�� � �! � 6 .�. 6 + ? " � �� <P$ . ? ��H ?D= =t$ � ?D= 0 �&Ô n J � ÷� � ôÙ � Ì ÍÙ �_� � � � � ÷

� � õÙ � Ì ÍÙ L J� ÷� � ôÙ � Ì ÍÙ �_� � � � � ÷

� � �Ù � Ì ÍÙ L pØ � ¿ ? � ó �Ø �ôõ � ö �

� � ô ÏM� � � ô � � � � � Ý Ï�� � � Ý � � � � � �q� � õ Ï�� � � õ � � � ? � ó Ø � Ï+a�! ) ö �

&/ #" 6 �G = �1�! =#</8 65@ ) $ .�. F )B8o< � $ � ? 6 " = + 6 � £ Ï Ú Ï � � � Ï ó�� �¾ �N� * ô §�* Ý § � � �ë§�* õ § � � �$®S��ªd�N��´��t­��±������� ���t���t����´4ª�­L®oªW�����]��� � Ý� Ê æoç Ó±½3$����t� ��«t�N�]���t��óSñÄ���� ¶F´�´4�±��� ���I���N�t�����Å�t� �G«>�t�N�R��� � Ý� Ê ætç Ó � � Ù� Ê æ õ ç Ó � Ø � Ý� Ê æoç Ó���� � ��� � Ý� Ê æoç Ó ½&ÃÄ�R���&���>���N��´4�>­��N����������Lª�­�­<�g�t�t�N�������>�ä��� ���t�û�g��­�­��°�����t���g����´

� Ê ß ô Ï � � � Ï ß õ Ó Ø �ô � � X U � � � U � � � � O � X � � � � � * � X Ê ß ô Ó * � � Ê ß Ý Ó2� � � * � � Ê ß õ Ó Ï Ê��>½ Ú Ó���t�N��� � ���,ª��ɶG´�´��N��� �����g�>�t�N�������¨���<�����LµWª�����ª�®t­��h� ß ô §!� � � § ß õ ª��t«2�����?ªû�<��� ������µ������·���N���h�N½&èä�t�ä���±����&ª�­�­Y��� ���t��ª�®S�Uµ��]ºt�t�����¹� �t´4�¸����«t�N�t�����h« � õ ½ 4o���¸ª��0�h­��N´4�N�·���W�&���t�Ë�g��� ´Ê �>½ Ú Ó §S�ë����´��t­ë�����t­�����·���h����ª�­$���ä«>�Nºo�t�N«P®·¶

� õ Ê � Ó Ø �ô � � X U � � � U � � � � O � X � � � � � � ÷�

* � X Ê ß Ó � Ì ÍÙ � � ÷�

* � � Ê ß Ó � Ì ÍÙ � � � � � � ÷�

* � � Ê ß Ó � Ì ÍÙ Ê��>½ ��Ó² ¶ ¾ �N´4´4ª �>½ ©G§t���t�Ë�t����´ �W�äÊ��>½ ��Ó����ä���ëµ��h�d®·¶Ô

Ü � õ Ê � Ó Ü Ý Ø �� � �V ) Ê � ô Ï � ô Ó�) Ê � Ý Ï � Ý Ó2� � � )LÊ � õ Ï � õ Ó � Ê � ô Ï�� Ý Ï � � � Ï�� õ Ó� Ê�� ô Ï � Ý Ï � � � Ï � õ Ó � � ô � � Ý � � � � � õ � � ô � � Ý � � � � � õ - Ê��>½ ¥·Ó

Ú ¯

Page 29: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

èä�Ç�t���g����ª��·¶*�N­��h´��h�·� � ���� Ý� Ê æ õ ç Ó Ø Û � � æ õ ç # æ � � ����� ¶F´�´4�±��� ���»���ë���u���N���S�h�N�¸����������ª������t´4�N�·��� Ï Ü � Ü Ý� � Ø � � Ï � � � À ù â���t�N���

� � Ï�� � � Ø �� � �V )LÊ � ô Ï � ô Ó�)LÊ � Ý Ï � Ý Ó2� � � ) Ê � õ Ï � õ Ó � Ê � ô Ï�� Ý Ï � � � Ï�� õ Ó� Ê�� ô Ï � Ý Ï � � � Ï � õ Ó � � ô � � Ý � � � � � õ � � ô � � Ý � � � � � õ -èä�t�¸´��t­ë�����>­��I���Ç���h����ª�­ � õ Ê � Ó?�hª��ï®S�¸«t�Nºo�>�h«Z®·¶�ªË­���´���� �g����´ �h­��N´4�N�·���R��� � õ ª��t«4���?�g��­�­��°���&���oª"�Ô Ê Ü � õ Ê � Ó Ü Ý Ó Ø Ü � Ü Ý� -èä�t�Ë�g��­�­��°�����t�¹­��h´�´4ª��yª��0ª�­�� �¨®<�Ë� �t�°���P®·¶Z���>�]�S��­�ª���� �yªW�������ï���h�¼�t�>� �Ç�t��½� ����� ����� ��� � å � Ý� Ê æ õ ç Ó $ "'& �ïå � Ý� Ê æ � ç Ó�� ���! #"Ô Ê � õ Ê � Ó �

�Ê � Ó�Ó Ø

����

� � � Ï�� � � ? � ó Ø �

¿ ? � ó,�Ø �

Ê��>½ ©�Ó¾ �N� � å � Ý� Ê æ õ ç Ó ½?èä�t�¹�ë���N��ªW���h«u���·���N����ªW­$�yª��u®S�Ë«t�Nºo�>�h«P®·¶*���t�Ë���h�N�t��� ��µ��]�g��� ´��t­�ª

���� Ù X � Ù � � � � � � Ù � � Î � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó � Ì ÍÙ X � Ì ÍÙ � � � � � Ì ÍÙ �Ø � Î

J���� Ù X � Ù � � � � � � Ù � � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � ÏyÏ ß õ � ô Ï ß õ Ó � Ì ÍÙ X � Ì ÍÙ � � � � � Ì ÍÙ � � XGL � Ì ÍÙ � Ê��>½ ��Ó

��� ����5/� � ��� �1� � å � Ý� Ê æ õ ç Ó7� �1�! #"g���! ? � )M$ �G �& ? "!�G �*)�$ . � � � ��� �� ?D= � =_$ "'&� õ Ê � Ó Ø ó�� �

��� Ù X � Ù � � � � � � Ù � � Î � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó � Ì ÍÙ X � Ì ÍÙ � � � � � Ì ÍÙ ��- Ê��>½ ��Ó� )76 6 � 4L��� � �Y­��N� � �oªyµ��,���t�?���S�h�N�³ª�­W�g����´ �uØ ��� õ §°���oªW�m���N§ � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó Ø � Ê ß ô Ó � Ý Ê ß Ý Ó2� � � � Ê ß õ Ó ½èä�t�N�

� õ Ê � Ó Ø Á � U Aõ Ê Ñ Óª��t«� � õ Ê � Ó Ø � Á � U Aõ Ê Ñ ÓØ ó:Á � U Aõ � ô Ê Ñ Ó � Ê Ñ Ó � Ì ÍÎØ ó � õ � ô Ê � � � õ � ô � Ó � Ê Ñ Ó � Ì ÍÎ

èä�t���ïµ��N����ºt�h�6Ê �>½ ��Ó¨�g���ï���>�2�yª�� �.���t�h� � � Ø ��� õ ½ ² ¶X���t�2�<��­³ª�� � �yª"������� ���h�¼�t�>� �Ç�t�B¡ Ú £h¦b§����>����>�h��� �h´ �g��­�­��°���ä�yªW����­ë¶�½ 3Ú �

Page 30: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

�v/��� ��� � � 65) � )76 + " ?�$ " 8 6 � ? 6 ":� $ 8o< .I� ? F .D ? "!�G �*)M$ . + $5=v65)B?"�*? " $ .�.IH ? "!� )76 & < E� �& C H�� ? #"2 )� � ����� � ? #"2 )� = 65)B?"�*? " $ . 8o< .I� ? F .D ? "!� �*)M$ . ?D=4? " � $ E#� $g8o< .I� ? F .D ? "!� �*)M$ . 6 � � )M$ � 6 " 65@ ? E�� �kH F ��� �! 8o< .I� ? F .D ? "!�G �*)M$ . 6 � � ���6 ��H F + $5= ? "!� )76 & < E� �& ? " � ��� � �

4o��� ² ���°���t��ª��ï´����������$§����t�¸´��t­������t­��¸�F����ªW�����t�°µG���¼�Z���·���h����ª�­��Rª�­����]�oªyµ���®S�h�N�ï����«t�N­�¶��t� �h«*������>��ª��t�t­����yª"�������t�h½Ë�F���t�N�����t�¹����� �P���»¡ �W¦?ªW�t« ¡ £y¿W¦b§:���������Ç�t�°���2���oªW�»���t�¨«t�±ºo�t�ë�������.���,´��t­ë�����t­���F����ªW�����t�°µF���¼�P���·���h����ª�­��ä�������N­³ªW���h«u�������t�Ë«t�±ºo�t���������d����É����ª��h� �t½Åèä�>�h���¹�oª��¸®<�N�h�0´��t�¼�0�Å��� �*������>���I�����t���W½?èä�t�¹� �yª�«>�h�����ä� �N�g�h� ���N«d���P¡¤£ �W¦éªW�t«*���t�Ë���±�g�h� �h�t�N�h�����t�h� �h���$½ú �h­�ª����¸��� � )M$ E� = ª��t« 8o< .I� ? F .D � )M$ � 6 " 65@ ? E�� ? "!� �*)M$ . = ªW���]«t�Nºo�>�h«2ª��>«0���>���¸�Gñɬ0�±¶��N�»�g���Éñ´��t­�ª����ä� ðG���h�t«>�h«P�������t�û�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t��ª��0´����������t�N½ú��&���u¡¤£�£h¦r§����Ç�����F«t�t�N�Å���>� )��G� )M$ E� éè � � �g��� ����´4�t­��R�g�>�t�N�������t�N½Lèä�t���&�t�±�B�ü¶F�S�I���o����ª��h���±ðF���N�t«t����>�]�N­³ª�� �����yª�­$���t�]ª��t«d�t­³ªy¶F��ª��d��´��<���É�¼ª��·�ä� ��­��»���*���t���ä���N�N�������$½¾ �N� � ô Ï � Ý Ï � � � Ï � � å � Ý� Ê æoç Ó±½ $����t����«t�h�����>������´4�>­����g�t�t�±�������t�¸��� � Ý� Ê æ õ ç Ó���� ���t�]�g��­�­��°�����t��g��� ´� Ê Ñ ô Ï Ñ Ý Ï � � � Ï Ñ õ Ó Ø �ô � N X U N � U � � � U N � �

O N X U N � U � � � U N � � N X Ê Ñ ô Ó � N � Ê Ñ Ý Ó2� � � � N � Ê Ñ õ Ó - Ê��>½ ¯�ÓÃÄ� � ���ä����µ��h�d®Ç¶(Ê �>½ ¯·Ó±§G���t�N�d�g��� � å £ Ï Ú Ï � � � Ï ¡êõ Ý ¦ �ǧo«t�Nºo�>�è � �� � Ê Ñ ô Ï � � � Ï�Ñ õ � Ý � Ó Ø � ÷

�� � � � ÷

� � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß Ý � � ô Ï ß Ý � Ï�Ñ ô Ï � � � Ï�Ñ õ � Ý � Ó)LÊ ß ô Ï ß Ý Ó�) Ê ß � Ï ß � Ó2� � ��)LÊ ß Ý � � ô Ï ß Ý � Ó � ß ô � � � � ß Ý � -èé�Z«t�±ºo�t�����t������ª��h�]�g���¸���h�t�N��ª�­é�g�t�t�±�������t�h§<ª�������¡¤£�£h¦r§<­��N� ���hÊ ß Ï�Ñ Ó�®<��ª��2ª��>�t���yðG��´4ªW�������u������>� ������ª����g�t�t�N�������:§>���oª"�����h§ ­���´� � �� ���yÊ ß Ï�Ñ Ó � Ê ß Ó � ß Ø � Ê Ñ Ó���u� ��´4�û� �h�t� ��½Åú»��� �t´��Ë���oªW� � ÷

�� ÷�

���hÊ ß Ï Ñ Ó Ý � ß � Ñ À ù -4o����ª��·¶Z�g�t�>�N������� � å � Ý� Ê æ õ ç Ó±§t���t�û�g��­�­��U�����t��ªW�t�t���yðG��´4ªW��������� Ê Ñ ô Ï�Ñ Ý Ï � � � Ï�Ñ õ Ó Ø � ÷

�� � � � ÷

� � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó ���yÊ ß ô Ï�Ñ ô Ó ���hÊ ß Ý Ï Ñ Ý Ó2� � � ���hÊ ß õ Ï�Ñ õ Ó � ß ô � ß Ý � � � � ß õ����ª¨� ��´��t­��»�g�>�t�N�������u��� �ü¶G�S�4Ê �>½ ¯·ÓIª��>«0�ë� � ���¸�ɶF´4´��N�������W§G���t�h� �� ����ªW­����¨�ɶF´4´��N�������W½ ¾ �N�

� �yÊ ß Ï�Ñ Ó Ø � ÷�

���hÊ ß Ï�� Ó ���NÊ Ñ Ï�� Ó � � -ú��h�h����«t���t�¨�������t�Ë«t�±ºo�t���������*�W� �� §

è � �� � � Ê Ñ ô Ï � � � Ï�Ñ õ � Ý � Ó Ø � ÷�

� � � � ÷� � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó � Ê ß ô Ï ß Ý Ó2� � � � Ê ß Ý � � ô Ï ß Ý � Ó���hÊ ß Ý � ç ô Ï�Ñ ô Ó2� � � ���hÊ ß õ Ï�Ñ õ � Ý � Ó � ß ô � ß Ý � � � � ß õ

��¿

Page 31: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

� ����� �� �� � ��� � #� � å � Ý� Ê æ õ ç Ó�� � �! �!�G��� � )M$ E� 6 � � ?D=m=t$*? & � 6 �� ?D= � ? � è � �� � � Ê Ñ ô Ï � � � Ï�Ñ õ � Ý � ÓE 6 " @ )�� = � 6,$ � < "2E#� ? 6 " ? " � Ý� Ê æ õ � Ý �ç Ó $5= l # ¿ � � �! . ?�8o? � ? " � � < "2E#� ? 6 " ?D= E $ .�.D �&f���! ����G�1�v� )M$ E� 6 � � ����� $ � ?D= � èé� �� � Ê Ñ ô Ï � � � Ï�Ñ õ � Ý � Ó Ø ­���´� � � èé� �� � � Ê Ñ ô Ï � � � Ï�Ñ õ � Ý � Ó -w¸�U�i���·��� �G«t�>�h�I���>��´��>­������t­��I�F����ªW�����t�°µG���¼�ï���Ç���h����ª�­�� �g���?�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t�³ªW�4´����������t�N½����±ñºo�t�4ÊfÌ ÍÎ Ó � Ø ÷� ���yÊ Ñ Ï ß Ó � Ì ÍÙ ½,èä�t�h�¢ÊrÌ ÍÎ Ó � ���ä«t�#�<�h� �h�·����ª�®t­���½ ¾ �N� � å � Ý� Ê æ õ ç Ó ½ $����t����«t�h� �õ Ê � Ó�� Ø �

� � V � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ ÓhÊ��Ì ÍÙ X Ó � Ê��Ì ÍÙ � Ó � � � �yÊ��Ì ÍÙ � Ó � � ß ô � ß Ý � � � � ß õ -� ����� �� �� � � � �1� �õ Ê � ÓoE 6 " @ )�� = ? " � Ý Ê�� Ï��PÏ ��Ó $5= l # ¿/� ���! #" ���! 8o< .I� ? F .D � )M$ � 6 " 65@ ? E��? "!�G �*)�$ . ?D= =t$*? &4� 6 �� ?D= � $ "'& ?D= &/ #" 6 �G �& C H õ Ê � Ó Ø �

� � V � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó � Ì ÍÙ X � Ì ÍÙ � � � � � Ì ÍÙ � -èä�t�ï���h´4ª����t���t�d�oª��É�����ä���t���¹���N�N�����������¹«t�Nµ������N«����.���ëµF���t�d�h���>«t���������t�¹���t�¼�Ð���oªW� �õ Ê � ÓË����h���ǵ��h� ���h�·����� � Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó±½² ¶ï���t�Ë��«>�h�·���ë�ü¶ � õ Ø ö � � R � � Y õ �Ý E � � � õ � Ý � � � Á õ � Ý � Ê��<Ó±§o�ë�ä�g��­�­��°�������oª"�J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L õ Ø Ü � Ü õ �

� ÷� � Ù � Ì�ÍÙÜ � Ü � � õØ Ü � Ü õ � �� � R � � Y

ó �Ú � � �³Êgó á Ú �tÓ�� Á õ � Ý �� ÷� � Ù � Ì�ÍÙÜ � Ü � �

Ø �� � R � � Yó��Ú � � ��Êfó á Ú �>Ó�� Ü � Ü õ � � ÷� � Ù � Ì�ÍÙÜ � Ü � � � � õ � Ý � �

Ø �� � R � � Yó��Ú � � ��Êfó á Ú �>Ó�� Ü � Ü Ý �� J

� ÷� � Ù � Ì ÍÙ L � � õ � Ý � �

Ø �� � R � � Yó��Ú � � ��Êfó á Ú �>Ó�� Ü � Ü Ý �� � õ � Ý � Ê � � � õ � Ý � � Ó

Ø �� � R � � Yó��Ú � � ��Êfó á Ú �>Ó�� � õ � Ý �

Õ è � �� Ê � � õ Ó ×dÏ���t�N��� � � õ ���:���>�R�ɶF´4´��N������� ���h�>�����Y�t� �G«>�t�N�m��� � §°���oªW�Y���h§ � � õ Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó Ø � Ê ß ô Ó � Ê ß Ý Ó2� � � � Ê ß õ Ó±½¾ �N� � ô Ï � Ý Ï � � � Ï � õ å � Ý� Ê æoç Ó¸ª��t«0­��N� � ®S�¹���t���ɶG´�´��N��� � �hªW�������u��� � ô � Ý � � � � õ ½¸èä�t�h�2®·¶0ª�S��­³ª�� � �hªW�������4���h�¼�t�t�#�Ç�t��§

� ÷� � ô Ê ß Ó � Ì ÍÙ � ÷

� � Ý Ê ß Ó � Ì ÍÙ � � � � ÷� � õ Ê ß Ó � Ì ÍÙ

Ø �� � R � � Yó��Ú � � �³Êgó á Ú �tÓ � � õ � Ý �

Õ èé� �� Ê � Ó ×dÏ�>£

Page 32: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

�¸�����>�����t���I�g����´��t­�ª����ä�g��­�­��°�������oªW� �õ Ê � Ó Ø �� � R � � Y

ó �Ú � � ��Êfó á Ú �tÓ�� � � � V � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó � �hÊ ß ô Ï ß Ý Ó � �°Ê ß � Ï ß � Ó2� � � � �yÊ ß Ý � � ô Ï ß Ý � Ó���°Ê ß Ý � ç ô Ï�Ñ ô Ó2� � � ���°Ê ß õ Ï�Ñ õ � Ý � Ó � ß ô � � � � ß õ � Ì ÍÎ X � � � � Ì ÍÎ � � � E -ÃÄ�¸���ä�hª�� ¶Z����µ��h� ���ê¶Z���t�û�g��­�­��U�����t��� �h� �t­��h½��� ����5/� � ����� #� � å � Ý� Ê æ õ ç Ó C =#< E��4�1� $ � $ .�. 6 � �1�! �� )M$ E� = �� ?D= � ? " ���! � 6 .�. 6 + ? " � = #" = � � 65)£ ! � ! ¡³õ Ý ¦1��� � V � Ê ß ô Ï ß Ý Ï � � � Ï ß õ Ó � �yÊ ß ô Ï ß Ý Ó � �°Ê ß � Ï ß � Ó2� � � � �yÊ ß Ý � � ô Ï ß Ý � Ó ���hÊ ß Ý � ç ô Ï�Ñ ô Ó2� � � ���hÊ ß õ Ï�Ñ õ � Ý � Ó � ß ô � � � � ß õÊ��>½���ÓE 6 " @ )�� = � 6�$ � < "2E#� ? 6 "¢è � �� � ? " � Ý� Ê æ õ � Ý �ç Ó $5= l�# ¿ � � �! #" ���! = �� < #"2E� dÊ �õ Ê � Ó Ï ó å)� ÓE 6 " @ )�� = ? " � Ý Ê � Ï!�PÏ �¹Ó $ "'&4�1�! m. ?�8o? � ?D= �*?�@ #" C H ���! o �� � #"'&/ �& � < � �� #H> ) � 65)B8o< . $ õ Ê � Ó Ø �� � R � � Y

ó��Ú � � ��Êfó á Ú �tÓ � � õ � Ý � Êfèé� �� � Ó - Ê �>½ë£°¿·Ó�v/��� ��� � � � = � 65< . & C " 6 � �& �1� $ �����! $ " $ . 6 �*< 6 � �1� ?D= �1�! 65) 8 $ "'& ? " F:$*) � ? E < . $*) �1�! � 65)#8o< . $� � �������f� $5= C � #"g& ?D= E < =�= �&9 �� �G #" =#?�@ #.IH � 65) �1�! � )76 + " ?�$ " 8 6 � ? 6 " �ú��6ª �h���t���&�F�>�h�t�N�i���Zèä�>�h��� �h´ �>½ ¯>§ � �Ç�oªW������� Ê �>½ë£°¿·Ó §�ª_�¼�oª���� �±ðG�oª��>������� ���>�h��� �h´ ���«t�N���h� ��®S�h«$½îÃÄ�d���Z�Å�h­�­û�F�>�U���8���oª"�*���t�(�fª�´���­�¶ ����ª�­�­��<��­�¶F�t��´��³ª�­��4���_���t�(��ªW�t«t��´ µWª�� �³ª�®>­��h�Ì�ÍÎ X Ï � � � Ï Ì�ÍÎ E §$�g���Ë¿�! Ñ ô À � � �éÀ Ñ � ªW�t« � å � ����«>�h�t� �4��� � Ý Ê�� Ï��0Ï ��Ó ½¨�G���t�h�¨�hª��¼� ���Å���t�h� ��S��­�¶F�t��´��³ªW­������¹ªuºo�t�ë�������t´�������t��´4���t��´��³ª�­����������t���g����´ ÷� � ô Ê ß ô Ó � Ì ÍÙ X � � � ÷� � õ Ê ß õ Ó � Ì ÍÙ � §���t�N��� � ô Ï � � � Ï � õ å � Ý� ½Rèä�t�����t� �G«t�>�N�¸��� ���·���N����ª�­��ä��� / ���h�>�h�ä�ü¶F�<�]�yª��d®S�]� ðG�t���N�����N«(ª��¸ª�´��t­ëñ�����t­��»�F����ªW�����t�°µF���¼�*���·���h����ª�­ ÷� � � � ÷� Ê � ô � � � � � � õ ÓNÊ ß ô Ï � � � Ï ß õ Ó � Ì�ÍÙ X � � � � Ì�ÍÙ � ½ ² ¶����>�����Ç�oª�­����ü¶Ê �G½�£°¿�Ó±§G���t���Å´��t­ë�����>­��¸���·���N����ª�­S���L�F����ªW�����t�°µF���¼�Z�ü¶F�<�û�hª��u®<�»�±ðG�t���N��� �h«.ªW�äª�ºo�t�ë����§G­����t�yª��R�h��´�®t�ëñ�oªW�����������Æ´��t­ë�����>­��,���·���N����ªW­��L�W�ÆÃÄ���»�ü¶F�S��½?èä�Ç�t�&���>���fª�´���­�¶����Sª�­�­F­����t�yªW� �N��´�®t���oªW�������t�é���Æ´��t­ë�����t­�����·���h����ª�­��&�W�S���t�ä�g����´ ÷� � � � ÷� Ê � ô � � � � � � õ ÓNÊ ß ô Ï � � � Ï ß õ Ó � Ì ÍÙ X � � � � Ì ÍÙ � ���?«t�h�t� ����� � Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó±½èä�Ç�t�

� Ý Ê � Ï��0Ï �¹Ó Ø � � � Ø � � Þ ÷�õyø ô � ÷� � � � � ÷� � õ Ê ß ô Ï � � � Ï ß õ Ó � Ì ÍÙ X � � � � Ì ÍÙ � Ï

� � å.æ�Ï � õ å � Ý Ê æ õ ç ÓIª��t« ÷�õyø ô Ü � õ Ü Ý� À ù � Ê �>½ë£�£UÓèä�t�]���Ç�oª�­����ü¶2Ê �>½ë£�£UÓ����ä«t�h� �h����®<�N«0���*���t�û�g��­�­��°�����t�¹���t�N�����N´0½��� ����5/� � ��� �1� � å � Ý Ê � Ï!�PÏ �¹Ó�� �1�! #"g���! ) ?D=_$ = �� < #"2E� ]Ê � õ å � Ý� Ê æ õ ç Ó Ï ó å � Ó =#< E�� �1� $ �ö0÷õyø ô Ü � õ Ü Ý� À ù $ "'&

� Ø Ô Ê �¹Ó Þ ÷�õyø ô � � � V � õ Ê ß ô Ï � � � Ï ß õ Ó � Ì ÍÙ X � � � � Ì ÍÙ � - Ê �>½ë£ Ú Ó� Ú

Page 33: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

�v/��� ���� � �! �� F:$ " =#? 6 " � � ��� � � ?D=4$ " $ " $ . 6 �*< 6 � �1�! � � �6 � � ? #"2 ) E�� $/6 = �� F:$ " =#? 6 "�+a� ? E��?D= �� �G #"'&/ �& � 6 � )M$ E#� ? 6 " $ . � )76 + " ?�$ " 8 6 � ? 6 " ��� F . $ E ? " � �1�! 8o< .I� ? F .D ? "!� �*)M$ . =4C H9���! ? �G )�$ �G �&8o< .I� ? F .D ? "!�G �*)M$ . = $ "'& =#</8o8o? " � ���! ? "q0�" ? �G = )B? = �*?�@ =,$9= � 6 E�� $5= � ? E ? "!�G �*)M$ . ) F') = #"!� $ � ? 6 "� 65) � á Ô � ��� 6 �G m��� $ � ���! m� )B8_=o6 " ���! )B?"� �/��� $ "'& =#? &/ 6 � � � ��� � � $*) 65) �1� 6 �/6 " $ .���v/��� ��� � � "g $*) . ? ) @ )�=#? 6 " 6 � �1� ?D= F:$#F ) + $5= �*?�@ #" � 6 ;���� $ .�. ?�$ " F'< )c$ "'&f�! =#<PC#= �� < #"!�k.IHF')765@ ? &/ �& < = + ? �1�4���! F') F')B? "!� � � � +a�! ) �1�! 8o< .I� ? F .D ? "!� �*)M$ . = 6 � � )M$ � 6 " 65@ ? E�� ��H F $*) c&/ 10�"2 �&$ "'&4���! ?�) 0 )�= � $ "'& = �E 6 "'& 8 658 #"!� = $*) oE 658 F'< � �& ��v/��� ��� � � � � ) ���! =#<PCt8o?D=�=#? 6 " 6 � �1� ?D= F:$#F ) �����! $*< �1� 65)7=_C �E $*8 $ + $*) 6 � � � � +a�! ) = 658 ) #. $ � �& + 65)��v6 " � )�$ E#� ? 6 " $ . � )76 + " ?�$ " 8 6 � ? 6 " ?D= & 6 "2 ��� `cd `���`�}2��` ^¡¤£h¦ � ½ 4�½ ² �h�¼�W�h�Ç®oª��¼�(ª��>«��˽ ² �N­�­�´4ª��*Ãü�t�&�Ç�oª�­��ë�����h�h½o�G�t�����t���N�h§$£ � �·©G½¡ Ú ¦ /^½!�ûª��?ªW�t« $»½ $»½m�¸�N¶F«t��§éÃÄ���u�g��� ´��t­³ª��������(� �h���S�h�±�¹���Z�g��ª��±�������oª�­ ² ���°���t��ª��6´����������2ªW�t«������ª��t�t­����yª"�������$§>½>ú»�t�t­r½S¬PªW���$½S�F���F�¼�$½oú��oª�­b½ �PÊ㣠� � ��Ó±§>¥(� �"ñü¥�¥·¯>½¡ �W¦]ú�½ �ûªW�����t�G�¼ª�ª��t«PÈ�½ �]ªW­�­���ª��t�t�>�h§>¬0�t­������t­��»�g��ªW�N�������oª�­<���·���N����ªW­��h§ �,� �h�t� ���·�y§Y£ � ��¯>½¡ ¥�¦%$»½ ���h­�­³ª��¼�t�N�����ûª��t« � ½oú¹½S¬0�N¶��h�N§��?� ��®oª�®t��­��ë�ü¶Zª��>« �é�����N�Ç���³ª�­�� ² §!w¸��� ���P�¸��­�­�ª��t«$§<£ ��¯ Ú ½¡ ©"¦ ¾ ½ ���N�h���N�t���±�g���t«6ª��t«2ú¹½ �<½�����É� ��t�t�N­b§Y�Ç���F�¼�oª�� �����¨ªW�oª�­�¶F� ���»�W�R���t���g��ª��N�������oªW­ ² � �°���t�³ª��P´4�Wñ�������$§ �é�����N�·���³ªW­Yú»�oª�­ë¶F�����N§>����ª��>�<�hª��h½¡ �W¦]èû½ � ½����t�>�yª��$§"ú»®>����­��>���?�N���·�����Ç�t�ë�ü¶��g���YªW®t� ����ª��±� / ���h�t�N�m���oª��N�h�N§ �LªW�h��ºt� >½°¬PªW���:½"© Ú ÊÉ£ � �"¥ÇÓ±§

�·© �"ñ � � �G½¡ �"¦�È�½·ÈË� ���S�h�Ç®<�N���]ª��t«�ü½ w����������h§ �������t���t���N«t���±�����������:�g��ª��N�������oªW­ ² � �U���>�³ª���´4�W�������$§�>½·ú��t�t­b½�?����®$½ �(�dÊÉ£ � � �·Ó±§t¥�¿�¿"ñü¥>£°¿>½¡à¯W¦¹�¹½>����­�«t�h�$§ ² ½����Ç���N�t«oª�­r§�>½ �¸®���˪��t«*èû½ �<½��:�tª��t�t§t�F���F�¼�oª��É����� �Lª��É���³ªW­����#�<�h� �h�·����ª�­ � �Ç�oªUñ�������t�h§tª4¬d�G«t�N­����t�t§ / �>����� w¸����� � 4Æ�>�t�N�������oªW­:ú»�tª�­�¶F�����h§ ² �����Ç� �ª��>���h�N§Y£ � � �G½¡ �W¦��¨½��L½���� ª��t« �é½ ú¹½ ¬d�N¶��N�h§%$��oª����d«t��/ ���N�t�h�d�N�d���·����h����ª�­��N�d«>� 4o�N¶F�t´4ª��$§û��������h´����oª������«t� �?����®oªW®t��­�������N�����»Ã�ü§ä�N«$½�®Ç¶�>½äú �h�N´ïª>§ � ½ ú�½�¬0�±¶��h�0ª��t« ¬6½��R���N§ ¾ �h�±���t� ��w¸�����N�0���¬PªW���t�h´4ªW�����h� £ � Ú £�§Æ�G�t� ���t���N�Éñ � �h��­�ª��t§<£ ��¯�¯>§t©G£Nñ �G£�½¡¤£°¿W¦��¨½��L½���� ª��t« �é½ ú¹½ ¬d�N¶��N�h§��G�t�d­��N�d���·����h����ª�­��h�u´��t­ë�����>­��h�*«>�Ð�F����ªW�����t�°µF���¼�$§û��������h´����oª������«t� �?� ��®oª�®t��­��ë����h����� � ü§Å�h«$½Å®Ç¶�>½Åú �h�N´ïª>§ �é½ ú¹½ä¬0�±¶��h�uªW�t«8¬6½ �R���h§ ¾ �h�±���t� � w������h�Z���¬PªW���t�h´4ªW�����h� £ � Ú £�§Æ�G�t� ���t���N�Éñ � �h��­�ª��t§<£ ��¯�¯>§ � Ú ñü¯>£�½¡¤£�£h¦��¨½��L½m����ªW�t« �é½ ú¹½ ¬0�±¶��N�h§ ���6���t�Zª��>�t���yðG��´4ªW�������(�����Ç����ª"�����t�°µF���¼�6´��t­ë�����>­��¨���·���h����ª�­��N§ ����F���F�¼�oª��É����� �?���F�h�h� ���N�h§Sª��g�h� �����¼�t� ���ê�����*�t���t�������LÈ�½ �]ªW­�­���ª��t�t�>�h§Ç�h«$½o®·¶*�<½ $Iª�´�®tª��t���N§>�±�¸ª�­b½£y¥t£Nñ�£y¥ �G§>�G�t� ���t���h�h§Y£ � �(�>½

�(�

Page 34: STOCHASTIC CALCULUS FOR FRACTIONAL BROWNIAN

¡¤£ Ú ¦��¨½��L½��¸��ª��t« ² ½ ���Ç���h�>«oª�­b§(/ ���¼��ªW�t�t���yðG��´4ªW�������]���Sª��·�����h���oªW�����t�»­����t�hª��é� ���F�¼�oª��É������«t���:�N���h�Fñ����ª�­<�&�Ç�oªW�������t�N§o���d�F���G�¼�oªW� �����ûú»�oªW­�¶F������ª��t« �¸�N­³ªW���h«uèé���t���N�h§ �?� �����h½ �,� ��®$½ ��¯G§ ² �����Ç� �ª��t� �h�N§² ���É�����$§:£ � � �>§ Ú ¿(�"ñ Ú �>£�½¡¤£ �W¦%$»½o�����t«t� ���� ½ � ��N��� �±ñüú�®t���N�.ª��>«*ú�½Æ�<½ ���� � ��t�t�h­r§o¬0�>­������t­���/ ���N�t�h�ãñüÃÄ�������Ç���h����ª�­��&�?ª��*���Ç�����Wñ«t�t�±�����ɶ����>� µ��±¶�½U����� � $/6 = �� F:$ " =#? 6 " = � 8o< .I� ? F .D � ? #"2 ) � � ���6 ? "!�G �*)M$ . =-$ "'& �1�! ?�) $#F>F . ? E $ � ? 6 " =Êf�N«$½o®·¶ $»½Æ�����>«t� ��Ë�N��ª�­³Ó±§$£�� �(�>§ �,� ��®oª�®:½S�F���F�¼�oª��É�����N���G�h�N½�§ $ � $»§ ² �F�yª��¸ªW�����$§ 4 ¾ §$£ � ��¥t½

¡¤£y¥�¦¹�¹½ � ½t���>��� �h§ ¾ ���t�Wñb���N��´î� ������ª������yª��tª��h�ë�ü¶Z���ï���h� �h�ɵ��������h§>è ��ª��t�h½>ú»´��h�h½>�G�F��½ $���µF��­ � �t�t½$£�£ �ÊÉ£ ��©G£UÓ±§G¥·¿�¿"ñÄ¥t£°¿>½¡¤£U©"¦¹�¹½ � ½��¸�t���É�y§F¬0�±���t�F«t�&���t�t�����t��­����t�WñÄ���h� ´E� ������ª����Å����� �h� �h� µ������ �h§ �?���F��½"Ãü�t�É�y½ $��ëµF��­ � �t�����>�h�h� �

�Lª��É��ü§ $��oª��>���h�»©uÊÉ£ �·© �·Ó±§t©G£ �"ñã© ��¿>½¡¤£ �W¦ �¨½tÃÄ���t§o¬0�t­������t­��0/ ���N�t�h�����Ç���h����ª�­��N§�>½Æ¬Pª"���$½S�G�F��½ �ªW�oª��$§ �dÊÉ£ �·©G£UÓ §:£U©(�°ñ¼£ ��¥>½¡¤£��"¦��<½ >½ ¾ ���:§?�F���G�¼�oªW� �����*ª��oªW­�¶F�����¹���ä�g��ª��N�������tª�­ ² ���°���t��ª��д����������t�N§?�F���G�¼�oªW� �����h���F���F�¼�oª��É�����N��¸�N�$½Æ©�©dÊÉ£ � �·©�Ó §:£ Ú £��S£y¥·¿>½¡¤£°¯W¦ ² ½ ² ½t¬0ª��t«t�N­�®t� ���y§Fèä�t� 4o��ªW�N�¼ªW­:Èû�h��´4�±��� ¶��W� w»ªW���t���W½t�>ªW� 4o��ª��t�N��� �h�t§ $�ú%� 4o���h�N´ïªW�$§<£ ��¯(�>½¡¤£ �W¦ ² ½ ² ½&¬0ª��t«t�N­�®t� ���¨ª��>« >½ /^½ � ª�� w¸�h���N§ 4Æ��ª��N�������tª�­ ² ���°���t��ª��д����������t�h§é�g��ª��±�������oª�­,�t�������N�ª��t«dª��t�>­����hªW�������t�N§o�GÃüú�¬ ���NµS½Y£°¿0ÊÉ£ � ��¯·Ó±§G¥ Ú�Ú ñÄ¥ � �G½¡ Ú ¿W¦�¬6½�¬ ��N����µF���N�dª��t« >½ �é�h­�­³ª��t´4ª���­b§��F���F�¼�oª��É�����6Ãü�·���N����ª"�������$½äú»�hª�«t�h´���� �?���N���N§_w¸�N� �R��� ��ñ¾ ���t«t���Fñüèé�������·���t§$£ ��¯�¿>½¡ Ú £h¦ � ½ ú�½G¬0�±¶��h�N§����oª��·���t´ �t����®oª�®t��­����ü¶¹�g���,�t����®oª�®t��­����É���N§ ¾ �h�N�h½:w¸�����N�Å���Z¬0ªW���$½Æ£U©���¯>§F�G�t� ���t���h�h§£ � �(�G½¡ Ú�Ú ¦ ��½�/^½ �F��� �G�F�¼�(ª��t«Ð�<½ �˽ �<½ � ªW��ª�«t�tª��$§L¬0�t­�����«t��´4�N�t�������oª�­"���#�<�t������� �?���F�h�h� ���N�h§R�G�t� ���t���h�h§£ � � �G½¡ Ú �W¦��<½!/Ъ"�¼ª��oªW®<�W§&�F���G�¼�tª�� ����� ���#�<�h� �h�·����ª�­ � �F�tªW�������¢ªW�t«�¬PªW­�­���ªyµG���2$Iª�­��N�t­��>�h§éèLªW��ª0Ãü�t�É���ë���>������"4Æ�>�t«oª�´��h�·�¼ªW­ �¸�N���hª����¼�$§<�G�>�����>���h�N§$£ ��¯�¥>½¡ Ú ¥�¦ w¹½ / ���h�t�N�h§oèä�t�]�t��´������N�t�h���t�ä�¼�oª����N§Æú»´��h�h½ >½S¬PªW���:½���¿dÊÉ£ ��¥>£UÓ±§>¯ � �Uñ �(� �>½

��¥