standard Brownian motion

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  • 8/7/2019 standard Brownian motion

    1/29

    P a g e 5 - 1

    5 . B r o w n i a n m o t i o n

    S e c t i o n 1 . T h e d e n i t i o n a n d s o m e s i m p l e p r o p e r t i e s .

    S e c t i o n 2 . V i s u a l i z i n g B r o w n i a n m o t i o n . D i s c u s s i o n a n d d e m y s -

    t i c a t i o n o f s o m e s t r a n g e a n d s c a r y p a t h o l o g i e s .

    S e c t i o n 3 . T h e r e e c t i o n p r i n c i p l e .

    S e c t i o n 4 . C o n d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n o f B r o w n i a n m o t i o n a t s o m e

    p o i n t i n t i m e , g i v e n o b s e r v e d v a l u e s a t s o m e o t h e r t i m e s .

    S e c t i o n 5 . E x i s t e n c e o f B r o w n i a n m o t i o n . H o w t o c o n s t r u c t

    B r o w n i a n m o t i o n f r o m f a m i l i a r o b j e c t s .

    S e c t i o n 6 . B r o w n i a n b r i d g e . A p p l i c a t i o n t o t e s t i n g f o r u n f o r -

    m i t y .

    S e c t i o n 7 . A b o u n d a r y c r o s s i n g p r o b l e m s o l v e d i n t w o w a y s :

    d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d m a r t i n g a l e s .

    S e c t i o n 8 . D i s c u s s i o n o f s o m e i s s u e s a b o u t p r o b a b i l i t y s p a c e s

    a n d m o d e l i n g .

    B r o w n i a n m o t i o n i s o n e o f t h e m o s t f a m o u s a n d f u n d a m e n t a l o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s .

    T h e f o r m u l a t i o n o f t h i s p r o c e s s w a s i n s p i r e d b y t h e p h y s i c a l p h e n o m e n o n o f B r o w n i a n m o -

    t i o n , w h i c h i s t h e i r r e g u l a r j i g g l i n g s o r t o f m o v e m e n t e x h i b i t e d b y a s m a l l p a r t i c l e s u s p e n d e d

    i n a u i d , n a m e d a f t e r t h e b o t a n i s t R o b e r t B r o w n w h o o b s e r v e d a n d s t u d i e d i t i n 1 8 2 7 . A

    p h y s i c a l e x p l a n a t i o n o f B r o w n i a n m o t i o n w a s g i v e n b y E i n s t e i n , w h o a n a l y z e d B r o w n i a n

    m o t i o n a s t h e c u m u l a t i v e e e c t o f i n n u m e r a b l e c o l l i s i o n s o f t h e s u s p e n d e d p a r t i c l e w i t h t h e

    m o l e c u l e s o f t h e u i d . E i n s t e i n ' s a n a l y s i s p r o v i d e d h i s t o r i c a l l y i m p o r t a n t s u p p o r t f o r t h e

    a t o m i c t h e o r y o f m a t t e r , w h i c h w a s s t i l l a m a t t e r o f c o n t r o v e r s y a t t h e t i m e | s h o r t l y a f t e r

    1 9 0 0 . T h e m a t h e m a t i c a l t h e o r y o f B r o w n i a n m o t i o n w a s g i v e n a r m f o u n d a t i o n b y N o r -

    b e r t W i e n e r i n 1 9 2 3 ; t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l w e w i l l s t u d y i s a l s o k n o w n a s t h e W i e n e r

    p r o c e s s . "

    A d m i t t e d l y , i t i s p o s s i b l e t h a t y o u m i g h t n o t s h a r e a n a l l - c o n s u m i n g f a s c i n a t i o n f o r t h e

    m o t i o n o f t i n y p a r t i c l e s o f p o l l e n i n w a t e r . H o w e v e r , t h e r e p r o b a b l y a r e a n y n u m b e r o f

    t h i n g s t h a t y o u d o c a r e a b o u t t h a t j i g g l e a b o u t r a n d o m l y . S u c h p h e n o m e n a a r e c a n d i d a t e s

    f o r m o d e l i n g v i a B r o w n i a n m o t i o n , a n d t h e h u m b l e B r o w n i a n m o t i o n p r o c e s s h a s i n d e e d

    c o m e t o o c c u p y a c e n t r a l r o l e i n t h e t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . H o w

    d o e s i t t i n t o t h e b i g p i c t u r e ? W e h a v e s t u d i e d M a r k o v p r o c e s s e s i n d i s c r e t e t i m e a n d

    h a v i n g a d i s c r e t e s t a t e s p a c e . W i t h c o n t i n u o u s t i m e a n d a c o n t i n u o u s s t a t e s p a c e , t h e

    p r o s p e c t a r i s e s t h a t a p r o c e s s m i g h t h a v e c o n t i n u o u s s a m p l e p a t h s . T o s p e a k a b i t r o u g h l y

    f o r a m o m e n t , M a r k o v p r o c e s s e s t h a t h a v e c o n t i n u o u s s a m p l e p a t h s a r e c a l l e d d i u s i o n s .

    B r o w n i a n m o t i o n i s t h e s i m p l e s t d i u s i o n , a n d i n f a c t o t h e r d i u s i o n s c a n b e b u i l t u p

    f r o m B r o w n i a n m o t i o n s i n v a r i o u s w a y s . B r o w n i a n m o t i o n a n d d i u s i o n s a r e u s e d a l l t h e

    t i m e i n m o d e l s i n a l l s o r t s o f e l d s , s u c h a s n a n c e i n m o d e l i n g t h e p r i c e s o f s t o c k s , f o r

    S t o c h a s t i c P r o c e s s e s J . C h a n g , J u n e 1 , 1 9 9 9

  • 8/7/2019 standard Brownian motion

    2/29

    P a g e 5 - 2 5 . B R O W N I A N M O T I O N

    e x a m p l e , e c o n o m i c s , q u e u e i n g t h e o r y , e n g i n e e r i n g , a n d b i o l o g y . J u s t a s a p o l l e n p a r t i c l e

    i s c o n t i n u a l l y b u e t e d b y c o l l i s i o n s w i t h w a t e r m o l e c u l e s , t h e p r i c e o f a s t o c k i s b u e t e d

    b y t h e a c t i o n s o f m a n y i n d i v i d u a l i n v e s t o r s . B r o w n i a n m o t i o n a n d d i u s i o n s a l s o a r i s e

    a s a p p r o x i m a t i o n s f o r o t h e r p r o c e s s e s ; m a n y p r o c e s s e s c o n v e r g e t o d i u s i o n s w h e n l o o k e d

    a t i n t h e r i g h t w a y . I n f a c t , i n a s e n s e d o e s n o n - s e n s e c o u n t ? , B r o w n i a n m o t i o n i s t o

    s t o c h a s t i c p r o c e s s e s a s t h e s t a n d a r d n o r m a l d i s t r i b u t i o n i s t o r a n d o m v a r i a b l e s : j u s t a s

    t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n a r i s e s a s a l i m i t d i s t r i b u t i o n f o r s u i t a b l y n o r m a l i z e d s e q u e n c e s o f

    r a n d o m v a r i a b l e s , B r o w n i a n m o t i o n i s a l i m i t i n d i s t r i b u t i o n o f c e r t a i n s u i t a b l y n o r m a l i z e d

    s e q u e n c e s o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s . R o u g h l y s p e a k i n g , f o r m a n y p r o c e s s e s , i f y o u l o o k a t

    t h e m f r o m f a r a w a y a n d n o t e x c e s s i v e l y c a r e f u l l y , t h e y l o o k n e a r l y l i k e B r o w n i a n m o t i o n

    o r d i u s i o n s , j u s t a s t h e d i s t r i b u t i o n o f a s u m o f m a n y i i d r a n d o m v a r i a b l e s l o o k s n e a r l y

    n o r m a l .

    5 . 1 T h e d e n i t i o n

    L e t ' s s c a n t h r o u g h t h e d e n i t i o n r s t , a n d t h e n c o m e b a c k t o e x p l a i n s o m e o f t h e w o r d s i n

    i t .

    5 . 1 D e f i n i t i o n . A s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n S B M f W t : t 0 g i s a s t o c h a s t i c

    p r o c e s s h a v i n g

    i c o n t i n u o u s p a t h s ,

    i i s t a t i o n a r y , i n d e p e n d e n t i n c r e m e n t s , a n d

    i i i W t N 0 ; t f o r a l l t 0 .

    T h e l e t t e r W " i s o f t e n u s e d f o r t h i s p r o c e s s , i n h o n o r o f N o r b e r t W i e n e r . T h e n a g a i n ,

    t h e r e i s a l s o a n o b j e c t c a l l e d t h e W i e n e r s a u s a g e " s t u d i e d i n p h y s i c s .

    T h e d e n i t i o n c o n t a i n s a n u m b e r o f i m p o r t a n t t e r m s . F i r s t , i t i s a l w a y s w o r t h p o i n t i n g

    o u t t h a t a s t o c h a s t i c p r o c e s s W i s r e a l l y a f u n c t i o n W : R ! R , a n d t h u s m a y b e

    v i e w e d i n t w o w a y s : a s a c o l l e c t i o n o f r a n d o m v a r i a b l e s " a n d a s a r a n d o m f u n c t i o n " o r

    r a n d o m p a t h " . T h a t i s , W = W t ; ! . F o r e a c h x e d t , W t ; i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n

    d e n e d o n , t h a t i s , a r a n d o m v a r i a b l e . S o W i s a c o l l e c t i o n o f r a n d o m v a r i a b l e s . W e w i l l

    u s e b o t h n o t a t i o n s W t a n d W

    t

    f o r t h e r a n d o m v a r i a b l e W t ; . F o r x e d ! , W ; ! i s

    a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d o n R

    +

    ; s u c h a f u n c t i o n c o u l d b e v i e w e d a s a p a t h . " T h u s

    W i s a r a n d o m f u n c t i o n , o r r a n d o m p a t h . W h i c h b r i n g s u s t o t h e n e x t i t e m : c o n t i n u o u s

    p a t h s . B y t h i s w e m e a n t h a t

    P f ! 2 : W ; ! i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n g = 1 :

    N e x t , t h e i n d e p e n d e n t i n c r e m e n t s r e q u i r e m e n t m e a n s t h a t f o r e a c h n a n d f o r a l l c h o i c e s

    o f t i m e s 0 t

    0

    t

    1

    t

    n

    1 , t h e r a n d o m v a r i a b l e s W t

    1

    , W t

    0

    ; W t

    2

    ,

    W t

    1

    ; : : : ; W t

    n

    , W t

    n , 1

    a r e i n d e p e n d e n t . T h e t e r m s t a t i o n a r y i n c r e m e n t s m e a n s

    t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e i n c r e m e n t W t

    ,W s d e p e n d s o n l y o n t

    ,s . N o t e t h a t f r o m

    S t o c h a s t i c P r o c e s s e s J . C h a n g , J u n e 1 , 1 9 9 9

  • 8/7/2019 standard Brownian motion

    3/29

    5 . 1 . T H E D E F I N I T I O N P a g e 5 - 3

    t h e r e q u i r e m e n t t h a t W t N 0 ; t , w e c a n s e e t h a t W 0 = 0 w i t h p r o b a b i l i t y o n e . F r o m

    t h i s , u s i n g i i a n d i i i o f t h e d e n i t i o n ,

    W t , W s W t , s , W 0 = W t , s