Soluzioni della Prova di esonero di Fisica II per Chimica ... · All’interno dei due fori ... il...
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Soluzioni della Prova di esonero di Fisica II per Chimica, 3 / 12 / 2012Esercizio 1In una sfera isolante di raggio R e densità di carica r sono due fori sferici di raggio R/4, con i centri in (-R/2;R/2) e (R/2;R/2). All’interno dei due fori sferici sono due cariche negative di uguale valore, Q1 e Q2, tali da rendere il sistema globalmente neutro. Le due cariche sono nelle posizioni di coordinate: Q1 (-5R/8; R/2), Q2 (3R/8; R/2). Calcolare in direzione, modulo e verso, il valore del campo elettrico nei punti A (0,-R/2) e B (-3R/2; 0) indicati in figura.Calcolare inoltre le componenti Px ed Py del momento di dipolo totale del sistema di cariche.Dati : R = 0.11 m ; r = 1.5 10-9 C/m3
ü Soluzione: Nella figura sono indicati i vettori prodotti dal guscio sferico di raggio R e densità di carica r, e dalle sfere cariche con densità di carica negativa -r poste in corrispondenza dei fori, nei punti A e B:
ü
Soluzione: Nella figura sono indicati i vettori prodotti dal guscio sferico di raggio R e densità di carica r, e dalle sfere cariche con densità di carica negativa -r poste in corrispondenza dei fori, nei punti A e B:
In[2696]:= << PhysicalConstants`
In[2697]:= e0 = VacuumPermittivity
Out[2697]=8.85419µ10-12 Ampere Second
Meter Volt
Dati:
In[2698]:= R := 0.11 Meter
In[2699]:= r := 1.5 10-9 Coulombë Meter3Calcolo dei valori di Q1 e Q2.
Prima di tutto, calcoliamo i valori di Q1 e Q2. Il testo ci dice che le due cariche sono negative ed uguali, e tali da rendere ilsistema globalmente neutro. Quindi calcoliamo la carica presente nella sfera 1 con i fori 2 e 3: tale carica sarà positiva.Perchè la carica totale sia nulla, Q1 e Q2 dovranno avere ciascuna la metà di questo valore.Quindi:
Carica totale della Sfera 1 (Sfera di raggio R con densità di carica uniforme r)
In[2700]:= Qtot1 = r4
3 p R3
Out[2700]= 8.36292µ10-12 Coulomb
Carica totale della Sfera 2 (Sfera di raggio R/4 con densità di carica uniforme -r)
In[2701]:= Qtot2 = - r4
3 p
R
4
3
Out[2701]= -1.30671µ10-13 Coulomb
2 Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
Carica totale della Sfera 3 (Sfera di raggio R/4 con densità di carica uniforme -r). Vale Qtot3 = Qtot2
In[2702]:= Qtot3 = - r4
3 p
R
4
3
Out[2702]= -1.30671µ10-13 Coulomb
Il valore della carica Q1 (negativa) si trova sottraendo alla sfera 1 la carica delle sfere, cariche negativamente, 2 e 3, edividendo per 2:
In[2703]:= Q1 = -HQtot1 + Qtot2 + Qtot3Lê2Out[2703]= -4.05079µ10-12 Coulomb
In[2704]:= Q2 = Q1
Out[2704]= -4.05079µ10-12 Coulomb
Controllo: la carica totale deve essere 0:
In[2705]:= QtotSistema = Qtot1 + 2 Qtot2 + 2 Q1new
Out[2705]= 0. Coulomb
ü Calcolo del campo E in A(0;-R/2):
Modulo del Campo E della Sfera 1 (Sfera di raggio R e densità di carica r, con centro in (0;0))
Per r £ R, il modulo del campo elettrico è dato dal teorema di Gauss applicato ad una superficie sferica di raggio r, concen-trica con il guscio sferico:F(E(r)) = 4pr2E(r) = Q(r)/e0 La carica Q(r) è quella della sfera carica compresa tra 0 ed r:Q(r) = r 4
3 p Ir3M
per cui:
In[2706]:= E1int@r_D =r
4 p e0
1
r2 4
3 p Ir3M
Out[2706]=56.4705 Coulomb r Volt
Ampere Meter2 Second
Il modulo di E(r) per r=R/2 è:
In[2707]:= E1A = E1intB12
RFOut[2707]=
3.10587 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il campo E1 è diretto radialmente verso l'esterno, come indicato in figura (vettore blu).
Calcolo del Campo E della Sfera 2 (Sfera di raggio R/4 e carica -r, con centro in (-R/2;R/2))
La carica totale Q2 della sfera di raggio R/4 in (-R/2;R/2) è:
Il campo E2 prodotto dalla carica Qtot2 è diretto verso la sfera, come in figura (vettore rosso) ed ha un modulo che varia infunzione di r come:
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb 3
In[2708]:= E2m@r_D =Qtot2
4 p e0
1
r2
Out[2708]= -0.00117441 Coulomb Meter Volt
Ampere r2 Second
La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;R/2) dal punto A (0;R/2) è
In[2709]:= D2A = HRê2L2 + R2
Out[2709]= 0.122984 Meter2
La distanza del centro della Sfera 2 in (-R/2;R/2) dal punto A (0;R/2) è quindi R 5 í 2, per cui il modulo di E2 in A è dato
da:
In[2710]:= E2A = E2m@D2ADOut[2710]= -
0.0776469 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E2 forma con l'asse delle y un angolo q tale che:
sin q = (R/2)/(R 5 í 2) = 1/ 5
cos q = R/(R 5 í 2) = 2/ 5
per cui è:E2x = E2 sin q = E2/ 5 (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)E2y = E2 cos q = E2 2í 5 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2711]:= E2Ax = E2A í 5
Out[2711]= -0.0347247 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
In[2712]:= E2Ay = E2A 2 í 5
Out[2712]= -0.0694495 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Calcolo del Campo E della Sfera 3 (Sfera di raggio R/4 e carica -r, con centro in (R/2;-R/2))
La sfera 3 in (R/2;R/2) ha la stessa carica totale della sfera 2: Qtot3 = Qtot2. Inoltre, la distanza del centro della sfera 3 dalpunto A e la stessa del centro della sfera 2. Quindi il vettore E3 ha lo stesso modulo del vettore E2. Inoltre, anche il vettoreE3 forma con l'asse delle y lo stesso angolo q del vettore E2. L'unica differenza, è che la componente x di E3 ha direzioneopposta alla componente x di E2.Quindi si ha, nel punto A, per E3:E3x = - E2xE3y = E2y
In[2713]:= E3Ax := -E2Ax
In[2714]:= E3Ay := E2Ay
Calcolo del Campo E della carica Q1 in (-5R/8; R/2) in A
La carica Q1 dista da A:
4 Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2715]:= DQ1A =5 R
8
2
+R
2+R
2
2
Out[2715]= 0.129717 Meter2
per cui il modulo del campo elettrico dovuto a Q1 in A è:
In[2716]:= EQ1A =Q1
4 p e0
1
DQ1A2
Out[2716]= -2.16364 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ1 è diretto verso la carica Q1 e forma con l'asse delle y l'angolo j1 tale che:
sin j1 = (5R/8)/DQ1Acos j1 = (R/2 + R/2)/DQ1A
per cui è:EQ1Ax = EQ1A sin j1 (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)EQ1Ay = EQ1A cos j1 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2717]:= EQ1Ax = EQ1A H5 Rê8LêDQ1AOut[2717]= -
1.14673 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
In[2718]:= EQ1Ay = EQ1AR
2+R
2ì DQ1A
Out[2718]= -1.83477 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
Calcolo del Campo E della carica Q2 in (3R/8; R/2) in A
La carica Q2 dista da A:
In[2719]:= DQ2A =3 R
8
2
+R
2+R
2
2
Out[2719]= 0.11748 Meter2
per cui il modulo del campo elettrico dovuto a Q1 in A è:
In[2720]:= EQ2A =Q2
4 p e0
1
DQ2A2
Out[2720]= -2.63787 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ2 è diretto verso la carica Q2 e forma con l'asse delle y l'angolo j2 tale che:
sin j2 = (3R/8)/DQ2Acos j2 = (R/2 + R/2)/DQ2A
per cui è:EQ2Ax = EQ2A sin j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ2Ay = EQ2A cos j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb 5
Il vettore EQ2 è diretto verso la carica Q2 e forma con l'asse delle y l'angolo j2 tale che:
sin j2 = (3R/8)/DQ2Acos j2 = (R/2 + R/2)/DQ2A
per cui è:EQ2Ax = EQ2A sin j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ2Ay = EQ2A cos j2 (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2721]:= EQ2Ax = EQ2A H3 Rê8LêDQ2AOut[2721]= -
0.926217 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
In[2722]:= EQ2Ay = EQ2AR
2+R
2ì DQ2A
Out[2722]= -2.46991 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
Possiamo ora calcolare le componenti del campo totale in A:
EtotAx = E2Ax+E3Ax+EQ1Ax+EQ2Ax = EQ1Ax + EQ2Ax perchè è E2Ax = - E3Ax, come abbiamo vistoEtotAy = E1A + E2Ay + E3Ay + EQ1Ay+EQ2Ay
In[2723]:= EtotAx = -Abs@EQ1AxD + Abs@EQ2AxDOut[2723]= -0.220512 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F
In[2724]:= EtotAy = -Abs@E1AD + Abs@E2AyD + Abs@E3AyD + Abs@EQ1AyD + Abs@EQ2AyD êê N
Out[2724]= -2.96698 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter SecondF + 4.30468 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F
Il modulo del campo elettrico nel punto A è dato da:
In[2725]:= -2.9669759841706234`+ 4.304677034632822`
Out[2725]= 1.3377
In[2726]:=
EtotA = EtotAx2 + EtotAy2
Out[2726]= 0.0486255 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F2 +
-2.96698 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter SecondF + 4.30468 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F2
In[2727]:= 1.3377010504621984`2 + 0.048625492098938`2
Out[2727]= 1.33858
ü Calcolo del campo E in B(-3R/2;3R/2):Il campo E1B generato dalla sfera 1 in (0;0) in B (-3R/2;0) ha modulo:
6 Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2728]:= E1B =1
4 p e0
Qtot1
I 3 R2M2 êê N
Out[2728]=2.76078 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E1B forma un angolo di p/2 con l'asse delle y => E1Bx =E1B; E1By = 0E1Bx = E1B (<0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x negative)
La distanza D2B tra il centro della sfera 2 in (-R/2;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
In[2729]:= D2B = -3 R
2- -
R
2
2
+R
2
2
Out[2729]= 0.122984 Meter2
Il campo E2B generato dalla sfera 2 in (-R/2;R/2), nel punto B in (-3R/2;3R/2), ha modulo:
In[2730]:= E2B =1
4 p e0
Qtot2
D2B2êê N
Out[2730]= -0.0776469 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E2B forma un angolo q l'asse delle x tale che:sin q = R/2/D2Bcos q = R/D2BE2Bx = E2B cosq (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)E2By = E2B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2731]:= E2Bx = E2B R
D2B
Out[2731]= -0.0694495 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
In[2732]:= E2By = E2B
R2
D2B
Out[2732]= -0.0347247 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
La distanza D3B tra il centro della sfera 3 in (R/2;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
In[2733]:= D3B = -3 R
2-
R
2
2
+R
2
2
Out[2733]= 0.226771 Meter2
Il campo E3B generato dalla sfera 3 in (R/2;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:
In[2734]:= E3B =1
4 p e0
Qtot3
D3B2êê N
Out[2734]= -0.0228373 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore E3B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:sin q = R/2/D3Bcos q = 2R/D3Bper cui è:E3Bx = E3B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)E3By = E3B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb 7
Il vettore E3B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:sin q = R/2/D3Bcos q = 2R/D3Bper cui è:E3Bx = E3B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)E3By = E3B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2735]:= E3Bx = E3B2 R
D3Bêê N
Out[2735]= -0.0221555 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
In[2736]:= E3By = E3B Rê2D3B
êê N
Out[2736]= -0.00553886 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
La distanza DQ1B tra la carica Q1 in (-5R/8;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
In[2737]:= DQ1B = -3 R
2- -
5 R
8
2
+R
2
2
Out[2737]= 0.110856 Meter2
Il campo EQ1B generato dalla carica Q1 in (-5R/8;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:
In[2738]:= EQ1B =1
4 p e0
Q1
DQ1B2êê N
Out[2738]= -2.96253 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ1B forma con l'asse delle x un angolo q tale che:sin q = R/2/DQ1Bcos q = 7R/8/DQ1Bper cui è:EQ1Bx = EQ1B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ1By = EQ1B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2739]:= EQ1Bx = EQ1B
7 R8
DQ1B
Out[2739]= -2.57219 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
In[2740]:= EQ1By = EQ1B
R2
DQ1B
Out[2740]= -1.46982 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
La distanza DQ2B tra la carica Q2 in (3R/8;R/2) e il punto B in (-3R/2;0) è data da:
8 Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2741]:= DQ2B = -3 R
2-
3 R
8
2
+R
2
2
Out[2741]= 0.213457 Meter2
Il campo EQ2B generato dalla carica Q2 in (-5R/8;R/2), nel punto B in (-3R/2;0), ha modulo:
In[2742]:= EQ2B =1
4 p e0
Q2
DQ2B2êê N
Out[2742]= -0.799022 Coulomb Volt
Ampere Meter Second
Il vettore EQ2B forma con l'asse delle y un angolo q tale che:sin q = (R/2)/DQ2B cos q = (15R/8)/DQ2Bper cui è:EQ2Bx = EQ2B cos q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle x positive)EQ2By = EQ2B sin q (>0 cioè questa componente è diretta nel verso delle y positive)
In[2743]:= EQ2Bx = EQ2B
15 R8
DQ2B
Out[2743]= -0.772043 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
In[2744]:= EQ2By = EQ2B
7 R8
DQ2B
Out[2744]= -0.360287 Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
Possiamo ora calcolare le componenti del campo elettrico EtotB:EtotBx = -E1B + |E2Bx| + |E3Bx| + |EQ1Bx| + |EQ2Bx| (le componenti x hanno tutte segno concorde, tranne quella dellasfera 1)EtotBy = |E2By| + |E3By| + |EQ1By| + |EQ2By| (le componenti y hanno tutte segno concorde)
In[2745]:= EtotBx = -Abs@E1BD + Abs@E2BxD + Abs@E3BxD + Abs@EQ1BxD + Abs@EQ2BxD êê N
Out[2745]= -2.76078 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter SecondF + 3.43584 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F
In[2746]:= -2.760777718935578`+ 3.435841303826419`
Out[2746]= 0.675064
In[2747]:= EtotBy = Abs@E2ByD + Abs@E3ByD + Abs@EQ1ByD + Abs@EQ2ByD êê N
Out[2747]= 1.87038 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F
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In[2748]:= EtotB = EtotBx2 + EtotBy2
Out[2748]= 3.4983 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F2 +
-2.76078 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter SecondF + 3.43584 AbsB Coulomb Volt
Ampere Meter2 Second
F2
In[2749]:= 0.6750635848908408`2 + 1.8703751473718584`2
Out[2749]= 1.98847
Notare che le unità fisiche di Etot date da Mathematica corrispondono correttamente a V/m. Infatti è: [Ampere]=[Coulomb/-Second].
Calcolo delle componenti Px e Py del momento di dipolo del sistema.
Il momento di dipolo del sistema di cariche non dipende dal sistema di riferimento scelto per rappresentarlo, perchè il sistemadi cariche è globalmente neutro. Scegliamo quindi un riferimento opportuno per semplificare il calcolo. Se eseguiamo il calcolo ad esempio nell'origine del sistema di riferimento segnato in figura, si ha:Px = Q1(-5R/8) + Qtot1(-R/2) + Qtot2(R/2) + Q2(3R/8) = Q1(R/4) (tenendo conto del fatto che Q1=Q2 e Qtot1 = Qtot2)Py = Q1(R/2) + Qtot1(R/2) + Qtot2(R/2) + Q2(R/2) = (Q1+Q2+Qtot1+Qtot2)(R/2)
In[2750]:= Px = Q1 H-5 Rê8L + Qtot1 H-Rê2L + Qtot2 HRê2L + Q2 H3 Rê8LOut[2750]= -3.55751µ10-13 Coulomb Meter
In[2751]:= Py = Q1 HRê2L + Qtot1 HRê2L + Qtot2 HRê2L + Q2 HRê2LOut[2751]= 7.18688µ10-15 Coulomb Meter
ESERCIZIO 2Il sistema di condensatori in figura è mantenuto a potenziale costante dal generatore di tensione Vo. Ad un certo istante, ilcondensatore C4 viene riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa k4. Calcolare le cariche di polarizzazione presenti sul dielettrico inserito in C4, e l’energia guadagnata dal sistema di condensa-tori dopo l’inserimento del dielettrico.Dati : Vo = 10 V ; C1 = 1 nF ; C2 = 3 nF ; C4 = 2 nF ; C3 = 0.5 nF ; C5 = 1.5 nF ; k4 = 2.5
ü Soluzione:
10 Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
ü
Soluzione:
In[2752]:= << PhysicalConstants`
Dati:
In[2753]:= Vo := 10 Volt
In[2754]:= k4 := 2.5
In[2755]:= C1 := 10-9 Farad
In[2756]:= C2 := 3 10-9 Farad
In[2757]:= C3 := 0.5 10-9 Farad
In[2758]:= C4 := 2 10-9 Farad
In[2759]:= C5 := 1.5 10-9 Farad
ü Sistema in vuoto
La capacità totale del sistema è data da Ctot = C1 serie ((C2 serie C4)//(C3 serie C5))=C1 serie (Ca//Cb)
In[2760]:= Ca =C2 C4
C2 + C4êê N
Out[2760]= 1.2µ10-9 Farad
In[2761]:= Cb =C3 C5
C3 + C5
Out[2761]= 3.75µ10-10 Farad
In[2762]:= CtotVuoto =1
1C1
+ 1Ca
+ 1Cb
Out[2762]= 2.22222µ10-10 Farad
In[2763]:= EnTotVuoto = H1ê2L CtotVuoto Vo2
Out[2763]= 1.11111µ10-8 Farad Volt2
ü Sistema con dielettrico inserito
La capacità totale del sistema è data da Ctot = C1 serie ((C2 serie k4C4)//(C3 serie C5))=C1 serie (Cadiel//Cb) dato che orala capacità C4 è aumentata di un fattore k4 per la presenza del dielettrico
In[2764]:= CaDiel =k4 C4 C2
k4 C4 + C2
Out[2764]= 1.875µ10-9 Farad
In[2765]:= CtotDiel =1
1C1
+ 1CaDiel
+ 1Cb
Out[2765]= 2.38095µ10-10 Farad
In[2766]:= EnTotDiel = H1ê2L CtotDiel Vo2 êê N
Out[2766]= 1.19048µ10-8 Farad Volt2
Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb 11
In[2767]:= DeltaEnergia = EnTotDiel - EnTotVuoto
Out[2767]= 7.93651µ10-10 Farad Volt2
La differenza tra EnTotVuoto - EnTotDiel è positiva per la capacità CtotDiel. La batteria perde una quantità di energia pari a2 DeltaEnergia. Una quantità pari a Delta Energia viene dissipata, una quantità Delta Energia viene fornita alla capacità permatenere la tensione invariata ai suoi capi.
La carica Qo4 presente sulle armature del condensatore C4 in vuoto è data da Qo4 = C4 Vo4. Per ricavare la tensione Vo4dobbiamo calcolare tensioni e cariche su ciascun condensatore.
Senza dielettrico, la capacità totale del sistema è CtotVuoto => QtotVuoto = CtotVuoto Vo. D'altra parte, è QtotVuoto èuguale alla carica su C1 e alla carica sul parallelo di Ca e Cb. La differenza di potenziale su C1, VC1 è data da: VC1=Qtot-Vuoto/C1, per cui la differenza di potenziale ai capi della serie di C2 e C4, uguale alla differenza di potenziale ai capi dellaserie di C3 e C5, è data da: Vo - VC1. Un altro metodo consiste nel trovare la d.d.p. ai capi della capacità (C2 serie C4)//(C3serie C5) = Ca+Cb, data da Vab = QtotVuoto/(Ca+Cb). Questa d.d.p. è la stessa che si ha sia sul ramo C2-C4, che su quelloC3-C5. Quindi la carica che è sulla serie C2-C4 è data da: Qa=Vab Ca. Questa è anche la carica presente sulle armature diC4, in assenza di dielettrico, che ha quindi la d.d.p. Vo4=Qa/C4
In[2768]:= QtotVuoto = CtotVuoto Vo
Out[2768]= 2.22222µ10-9 Farad Volt
In[2769]:= VabVuoto = QtotVuotoêHCa + CbLOut[2769]= 1.41093 Volt
In[2770]:= QaVuoto = VabVuoto Ca
Out[2770]= 1.69312µ10-9 Farad Volt
In[2771]:= Vo4 = QaVuotoêC4Out[2771]= 0.846561 Volt
Con il dielettrico inserito nel condensatore C4, la capacità totale del sistema è CtotDiel => QtotDiel = CtotDiel Vo. D'altraparte, QtotDiel è uguale alla carica su C1 e alla carica sul parallelo di Ca e Cb. La differenza di potenziale su C1, VC1 è datada: VC1=QtotDiel/C1. La differenza di potenziale ai capi della capacità (C2 serie C4)//(C3 serie C5) = Ca+Cb, è data da Vab= QtotDiel/(Ca+Cb). Questa d.d.p. è la stessa che si ha sia sul ramo C2-C4, che su quello C3-C5. Quindi la carica che è sullaserie C2-C4 è data da: Qa=Vab Ca. Questa è anche la carica presente sulle armature di C4, in presenza di dielettrico, che haquindi la d.d.p. V4=Qa/k4C4
In[2772]:= QtotDiel = CtotDiel Vo
Out[2772]= 2.38095µ10-9 Farad Volt
In[2773]:= VabDiel = QtotDielêHCaDiel + CbLOut[2773]= 1.0582 Volt
In[2774]:= QaDiel = VabDiel CaDiel
Out[2774]= 1.98413µ10-9 Farad Volt
Le cariche di polarizzazione sul dielettrico in C4 sono pari alla carica su C4 (che abbiamo chiamato QaDiel) moltiplicata peril fattore (k4-1)/k4:
In[2775]:= QaDielPol = QaDiel k4 - 1
k4
Out[2775]= 1.19048µ10-9 Farad Volt
12 Esonero_Fis2Chimica_2012_12_03_v2-Soluzioni.nb
In[2776]:= V4 = QaDielêHk4 C4LOut[2776]= 0.396825 Volt
Tabella Riassuntiva dei risultati:
Esercizio 1:a) Campo in A(0;-R/2): Ex = -0.220512 V/m Ey= 1.3377 V/m E=1.33858 V/mb) Campo in B(-3R/2;0): Ex = 0.675064 V/m Ey=1.87038 V/m E=1.98847 V/mc) Px = -3.55751µ10-13 C m ; Py = 7.18688µ10-15 C m
Esercizio 2:a) Ctot in vuoto: 0.22 nFb) Etot in vuoto: 1.11 10-8 Jc) Ctot con dielettrico : 0.238 nFd) Energia totale con dielettrico: 1.19 10-8 J; Variazione dell'Energia totale: 7.94 10-10 Je) Qp = 1.19 10-9 C
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