Solución parcial completo.docx

7/25/2019 Solucin parcial completo.docx

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17.2)

Para abordar este ejercicio es importante reconocer el tipo de sistema de cola al quepertenece.

Es un sistema M/M/s

A medida que vamos cambiando el modelo con respecto a la cantidad de servidoresutilizados para obtener diferentes resultados es apropiado utilizar una plantilla en Ecelque nos permita conocer los cambios asociados a las variables que podemosmodificar en el ejercicio.

a)

=70call

h

=6call

h

r=

=

70

6=11,67

=

s =

70

6 s=

11,67

s

s debe ser m!nimo 12 para ase"urar que la cola no crezca indefinidamente.

#e sabe que un poco m$s que el %&' de los clientes esperan m$s de ( minutos paraque un representante conteste la llamada.

uscamos el valor de tiempo de espera en *oras

t=4min1h60min

=0,0666667 h

Con 12 servidores obtenemos:

l = 7+m = ,s = 12

Prob(Wq >

t) =

+-77,

when t = +-+,,,,7

El 77- ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola.

Con 13 servidores:


2/33

l = 7+m = ,s = 1%

Prob(Wq >

t) =

+-%,21

(when t = +-+,,,,7

El %,-2 ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola.

Con 14 servidores:

l = 7+m = ,s = 1(

Prob(Wq >t) = +-1,%7+(when t = +-+,,,,

7El 1,-%7 ' de las personas esperan m$s de ( minutos en cola.

Se define as q!e el "ro#eso ini#ialmente #!enta #on 13 servidores$

s=13

b)

A*ora buscamos que el &' esperen 1 minuto o menos

Prob0qt)314 Prob0q5t)3+.+&

Entonces buscamos un valor en el cual la Prob0q5t) sea menor del &'.

6eniendo en cuenta cambiar las unidades de tiempo a *oras

t=1min1h60min

=0,0166667 h

os si"uientes son los valores de la probabilidad que el tiempo en cola sea ma8or a t

# Prob0q 5 t)1( +-%2,&1& +-1(21%

1, +-11+&1&17 +-+,+,&71 +-+%2+7


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9ebido a los resultados de la prueba se encuentra que el n:mero de servidores que*ace que la Prob0q 5 t)+.+& es s31.

Este n:mero de servidores implica contratar a & empleados m$s.

c)

a primera opci;n es +' de clientes que esperen 1 minuto o menos-

uscamos el valor de s con el que la Prob0q5t) sea menor del 2+'.

t=1min1h60min

=0,0166667 h

# Prob0q 5 t)1( +-%2,&

1& +-1(21%1, +-11+&1&17 +-+,+,&71 +-+%2+7


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9e esta forma se denota que efectivamente el proceso de selecci;n del n:mero deservidores depende del *ec*o que los clientes trabajen para la empresa. #i los clientesfueran eternos a la empresa suceden dos detalles que alteran el proceso de elecci;n-el primero es que a la empresa no le cuesta que los clientes llamen en *oras detrabajo 8 el se"undo es que los clientes no est$n obli"ados a usar el call center

dispuesto.

d)

El &' esperen 1 minuto o menos implica que el n:mero de servidores sea 1.

tenernos?

=70call

h

=8callh

r=

=

70

8=8,75

=

s =

70

8 s=

8,75

s

# debe ser ma8or o i"ual a r

@mplica que s es ma8or o i"ual a

@n"resamos los datos en la plantilla de Ecel *asta conse"uir el criterio deseado.

Entonces buscamos un valor en el cual la Prob0q5t) sea menor del &'- cont31minuto

t=1min1h60min

=0,0166667 h

# Prob0q 5 t) +-7%11(

1+ +-%+,&2&

11 +-11%(,12 +-+(+&21% +-+1%+1

1( +-++((


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os damos cuenta que si se utiliza el proceso de aprendizaje MarB s;lo debe usar a12 servidores- por lo que podemos analizar cu$nto a*orro se obtiene con estaelecci;n.

El costo de entrenar a 12 servidores es?

C=122500=30000

MarB dejar!a de contratar , servidores que equivale a

C=630000=180000

Por lo que se a*orra ,+ +++ en el primer aCo- lo que *ace que sea la mejor opci;n.

d)

os damos cuenta que los datos que deben evaluarse con ma8or precisi;n son el

promedio de entrada en el sistema 8 el promedio de tiempo de servicio - las

cuales tomamos de una forma simplificada como constantes.

6ambi=n se deben *acer selecciones 8 obtener datos de cuantas llamadas enpromedio puede un servidor contestar por cada *ora.

Estos tres datos son fundamentales para determinar el n:mero de servidores a usar 8para obtenerlos se debe *acer un se"uimiento muestral de cada uno de los datos.

1.2A)

P$"ina &, ta*a *amd8 na edici;n.

1) @dentificar al cliente 8 al servidor?

0a) Aviones que lle"an a un aeropuerto?


6/33

0c) Derramientas verificadas en un taller de maquinado.


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d) @nfinita En masa 9etermin!stico

6iempo deprocesar la

carta

@nfinita Aleatoria

e) @nfinita @ndividualmente

Probabil!stico

6iempo enre"istrar

materias

@nfinita H@H

f) @nfinita @ndividualmente

Probabil!stico

6iempo quelleva el caso

@nfinita H@H

") @nfinita @ndividualmente

Probabil!stico

6iempo quetoma elpa"o

@nfinita H@H

*) @nfinita @ndividualmente

Probabil!stico

6iempo deparqueo

9ebe ser+

o *a8


8/33

%)

Para este punto debemos identificar cada una de las colas solicitadas.

a) Iecepci;n de ;rdenes de trabajo

b) Procesamiento de orden ur"ente 01 m$quina)

c) Procesamiento de orden re"ular 01 m$quina)

d) Procesamiento de orden ur"ente 0l!nea de producci;n)

e) Procesamiento de orden re"ular 0l!nea de producci;n)

f) Iecepci;n 8 env!o de ;rdenes completadas

") 9eposito de *erramientas

*) Aver!a de una m$quina


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0b) #i se anticipa un lar"o tiempo de espera- un cliente que lle"a puede desistir de*acer cola.

Cierto$

0c)


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1.&A)

P$"ina ,+ ta*a *amd8 na edici;n.

Ejemplo 1.&41

NO roceries opera con tres cajas. El "erente utiliza el si"uiente pro"rama paradeterminar la cantidad de cajas en operaci;n- se":n la cantidad de clientes que *a8aen la l!nea?

os clientes lle"an al $rea de cajas de acuerdo con una distribuci;n de Poisson contasa media de 1+ clientes por *ora. El tiempo promedio en la caja es eponencial conmedia de 12 minutos. 9etermine la probabilidad de estado estable Pn de que *a8a nclientes en el $rea de cajas.


11/33

El valor de P+ se determina a partir de la ecuaci;n?

- de forma equivalente

Ktilizando la serie de suma "eom=trica

Por lo tanto- P+31

55 .

9ado P+- a*ora podemos determinar Pn con n5+. Por ejemplo- la probabilidad de ques;lo una caja abra se calcula como la probabilidad de que *a8a cuando muc*o tresclientes en el sistema?

Podemos utilizar Pn para determinar medidas de desempeCo para la situaci;n deNO. Por ejemplo?

1. En el ejemplo 1.&41- determine lo si"uiente?

0a) a distribuci;n de probabilidades de la cantidad de cajas abiertas.

P {0

cajas abiertas}=P0=

1

55=0.018182


12/33

P {1cajas abiertas }=P1+P2+P3= 1

55 (2+4+8 )=14

55=0.254545

P {2cajas abiertas }=P4+P5+P6= 1

55 (8+8+8 )=24

55=0.436364

P {3 cajasabiertas }=1n=0

6

Pn=1(1+14+24 ) 1

55=16

55=0.290909

0b) El promedio de cajas ocupadas.

Promedio de cajas ocupadas=0155

+11455

+22455

+31655

=2

2. En el modelo de NO del ejemplo 1.&41- supon"a que el tiempo entre lle"adas enel $rea de cajas es eponencial con media de & minutos 8 que el tiempo en la caja porcliente tambi=n es eponencial con media de 1+ minutos. #upon"a adem$s que NOa"re"a una cuarta caja 8 que las cajas abren con base en incrementos de dos clientes.

9etermine lo si"uiente?

0a) as probabilidades de estado estable- Pn para todas las n.

1

=5

=1

5=0.2

llegadas

min 60min

1h =12

llegadas

h

n={5clientes

h ; n=0,1,2

10clientes

h , n=3,4

15clientes

h ,n=5,6

20clientes

h , n>7 }

P1=12

5 P0=2.4P0


13/33

P2=(125)

2

P0=5.76P

0

P3=

(12

5

)

2

(12

10

)P

0

=6.912P0

P4=(125)

2

(1210 )2

P0

=8.2944P0

P5=(125)

2

(1210 )2

(1210 )P0=6.63552P0

P6=(125)

2

(1210 )

2

(1215 )

2

P0=5.308416P0

Pn 7=(125)2

( 1210 )2

(1215 )2

(1220 )n6

P0

=5.308416 (0.6 )n6P0

n=0

Pn=1=P0(1+2.4+5.76+6.912+8.2944+6.63552+5.308416+7.962624 )

P0=0.022587

de la misma forma que en el ejemplo

n=0

Pn=1=P0(1+2.4+5.76+6.912+8.2944+6.63552+5.308416+5.308416(1220 )+5.308416(1220 )2

+5.308

1=P0

(

31.00192+5.308416( 1

112

20))

=P0(44.27296 )


14/33

P0=

1

44.27296=0.022587

P1=0.0225872.4=0.05420916

P2=0.0225875.76=0.13010199

P3=0.0225876.91=0.15608426

P4=0.0225878.2944=0.18735532

P5=0.0225876.63552=0.14988426

P6=0.0225875.308416=0.11990741

Pn=10.82342072=0.17657928

Pn 7=1n=0

6

a cual es la probabilidad de necesitar una cuarta caja

0b) a probabilidad de que se requiera una cuarta caja.

Pn=10.82342072=0.17657928

Pn 7=1n=0

6

0c) El promedio de cajas ociosas.

P {0cajas abiertas}=P0=0.022587

P {1cajas abiertas }=P1+P

2=0.18431947

P {2cajas abiertas }=P3+P

4=0.34343958

P {3 cajasabiertas }=P5+P

6=0.26979166


15/33

P {4cajas abiertas }=Pn 7=0.17657928

promediode cajas ociosas

4(10.18431947+20.34343958+30.26979166+40.17657928 )

promediode cajas ociosas=1.61310925

%. En el modelo de NO del ejemplo 1.&41- supon"a que las tres cajas est$n siempreabiertas 8 que la operaci;n est$ confi"urada de tal manera que el cliente va8a primeroa la caja vac!a. 9eterminar lo si"uiente?

0a) a probabilidad de que tres cajas est=n en uso.

n={ 5clientes

h ; n=1,2

15clientes

h ; n=3,4,}

P1=10

5P0=2P0

P2=(105)(

10

10 )P0=2P0

Pn 3=(105)(10

10 )(10

15 )n2

P0

=2( 23 )n2

P0

n=0

Pn=1=P0

(1+2+2+2

(( 23 )+(

2

3 )2

+(23 )3

+

))1=P0(3+2(

1

12

3))=P0(9 )

P0=

1

9=0.1111111


16/33

Ptrescajas estenen uso=Pn 3=1(P0+P1+P2 )=1(0.1111+0.2222+0.2222 )

Ptrescajas estenen uso=P n 3=0.4445

0b) a probabilidad de que cliente que lle"a no ten"a que esperar.

Pn 2=P0+P1+P2=0.5555

(. Hirst anB de #prin"dale opera cajeros autom$ticos de un solo carril. os autoslle"an de acuerdo con una distribuci;n de Poisson a raz;n de 12 autos por *ora. El

tiempo por caja necesario para completar la transacci;n en el cajero es eponencialcon media de , minutos. El carril tiene espacio para un total de 1+ autos. Kna vez queel carril est$ lleno- los dem$s autos que lle"an buscan el servicio en otra sucursal.9etermine lo si"uiente?

n={12carrosh ; n=0,1, ,9,100 ; n 11

}n=

60

6

=10carros

h

Pn={(1210 )n

P0

; n=0,1, ,9,10

0 ; n 11 }

n=0

Pn=1=P0(1+1.2+1.22+1.23++1.210)=P

0(11.211

11.2)=P032.1504185344

P0=

1

32.1504185344=0.031103794152167

0a) a probabilidad de que un auto que lle"ue no pueda utilizar el cajero porque elcarril est$ lleno.

P10=

(

12

10

)

10

P0=0.192586


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0b) a probabilidad de que un auto no pueda utilizar el cajero en cuanto lle"ue.

Pn 1=1P0=10.0311=0.9689

0c) El promedio de autos en el carril.

Promediode autosen elcarril=n=0

10

nPn=00.311+10.03732+20.44784+30.0537408+40.06448

&. LAl"una vez *a escuc*ado a al"uien repetir el contradictorio comentario? QEl lu"arest$ tan abarrotado que 8a nadie va all!R Este comentario equivale a decir que la

oportunidad de desistir se incrementa con el aumento en la cantidad de clientes quebuscan un servicio. Kna posible plataforma para modelar esta situaci;n es decir que latasa de lle"adas al sistema se reduce a medida que la cantidad de clientes seincrementa. 9e manera m$s espec!fica- consideramos el caso simplificado del


18/33

P4=

6

26

46

66

8P

0=3.375P0

P5=

6

26

46

66

8 6

10P

0

=2.025P0

P6=

6

26

46

66

8( 610 )

2

P0

=1.215P0

P7=

6

26

46

66

8( 610 )

3

P0

=0.729P0

P8=6

2 6

4 6

6 6

8 ( 6

10 )4

P0=0.4374P

0

Pn 9=6

26

46

66

8( 610 )

4

( 510 )n8

P0

=0.4374(0.5 )n8P0

n=0

12

Pn=1=P0(3+4.5++0.0944+0.05668)

P0=0.049525883

n Pn

0

0,049525

88

1

0,148577

65

2

0,222866

47

3

0,222866

47

4

0,167149

85

5

0,100289

91

6

0,060173

95

7

0,036104

37

8

0,021662

62

9

0,010831

3110 0,005415


19/33

66

11

0,002707

83

12

0,001353

91

0a) a probabilidad de que los clientes comiencen a desistir.

P12=0.00135391

0b) a probabilidad de que todas las mesas est=n ocupadas.

Pn5=1(P0+P1+P2+P3+P4 ) 3+.1+1

0c) El n:mero promedio de tablas en uso.

nPn+5Pn 5=P1+2P2+3P3+4P4+5Pn5=2.120523092

Promediodetablasenuso=n=0

4

0d) El promedio de parejas que esperan a que se desocupe un mesa de pool.

Promedio de par que esperan=P6+2P7+3P8+4P9+5P10+6P11+7P12=0.293498428

S,. Kna peluquer!a atiende a un cliente a la vez 8 cuenta con tres sillas para losclientes que esperan. #i el lu"ar est$ lleno- los clientes se van a otra parte. aslle"adas ocurren de acuerdo a una distribuci;n de Poisson con media de ( por *ora. Eltiempo para recibir un corte de pelo es eponencial con media de 1& minutos.9etermine lo si"uiente?

n={4 ; n=0,1, ,40; n5 }

n=60

15=4

0a) as probabilidades de estado estable.

P1=

4

4P

0=P0


20/33

P2=(44 )

2

P0=P

0

P3=

(4

4

)

3

P0=P

0

P4=(44 )

4

P0=P

0

5P0=1

P0=1

5=0.2

0b) a cantidad esperada de clientes en la peluquer!a.

n=0

4

nPn=1

5(1+2+3+4 )=2

0c) a probabilidad de que los clientes se va8an a otra parte porque la peluquer!a est$llena.

P4=0.2

7.


21/33

0a) Prepare el dia"rama de transici;n- 8 determine la ecuaci;n de balanceo delsistema.

5.5P1=10P

0

10P0+6P

2=(5.5+9)P

1

9P1+6.5P3=(6+8)P2

8P2+7P4=(6.5+7)P3

0b) 9etermine las probabilidades de estado estable.

P1=1.82P

0

P2=2.727P

0

P3=3.3566P

0

P4=3.3566P

0

P0=

1

1+1.82+2.727+3.3566+3.3566=0.081565

P1=0.148448

P2=0.222427

P3=0.27378


22/33

P4=0.27378

.


23/33

. a comprobaci;n por medio de inducci;n para derivar la soluci;n "eneral delmodelo "eneralizado se aplica como si"ue.


24/33

1+-2,+,&,

&

2+-2,+,&,

&

%+-17%1%+(

%

( +-+,&,&22

&+-+(%(72,

1, +-+217%1%

7+-+1+,&,

&

+-++&(%(7

%

+-++2717%

1

1++-++1%&,

,

11 +-+++,7%(

12+-+++%%,7

(

1%+-+++1,%

71( -(1&E4+&1& (-2(&2E4+&1, 2-122,E4+&17 1-+,1(E4+&1 &-%+7(E4+,1 2-,&%7E4+,

2+ 1-%2,&E4+,21 ,-,%(2,E4+722 %-%171%E4+72% 1-,&&,E4+72( -222E4+2& (-1(,(1E4+

bservamos que se cumplen todas las pol!ticas de servicio en el aCo actual.

q3+-17%1%+(%

n=0

9

Pn=0.99728261

Prob0q 5 t) 37-E4+,b)

%ata &es!lts

= % 0mean arrival rate) 3(-&2%+1

7

= 10mean servicerate) q3

1-&2%+17

s 3 ( 0U servers) 3 1-&+(%%,


25/33

2

Pr0 5 t) 3 +-+2%+1q

3+-&+(%%,

2V*en t 3 &

= +-7&

Prob0q 5 t) 3 +-++%(%%V*en t 3 & n Pn

+.+

+.

+.1

+.

+.2

Probabilit8

++-+%77%&(

1+-11%2+7&(

7

2+-1,11%2

1

%+-1,11%2

1

(+-127%&(

1

&+-+&&1,

, +-+71,%1&1

7+-+&%72%,

%

+-+(+27+2

2

+-+%+2227,

7

1++-+22,,7+7

&

11+-+17+++%+

,12 +-+127&+2%

1% +-++&,2,72

1(+-++7172++

(

1&+-++&%7++

%

1,+-++(+%(2&

2

17+-++%+2&,

1+-++22,2,

71 +-++17+1&

2++-++127,(,

%


26/33

21+-+++&7%(

722 +-+++71+1

2%+-+++&%&+

2(

+-+++(+%

1

2&+-+++%+21

1o cumple la pol!tica del n:mero promedio de clientes en cola no debe eceder a 1.

q31-&2%+17

6ampoco cumple la pol!tica de al menos el &' del tiempo- el n:mero de clientes en al cola nodebe eceder a &.

n=0

9

Pn=0.9093317

a tercer pol!tica si la cumple. Prob0q 5 t) 3+-++%(%%

c)

%ata &es!lts

= % 0mean arrival rate) 3%-%&(227(+

&

= 10mean servicerate) q3

+-%&(227(+&

s 3 & 0U servers)

3 1-11+7&+2

Pr0 5 t) 3 +-++%1q

3+-11+7&+

2V*en t 3 &

= +-,

Prob0q 5 t) 3 1-+7E4+&

V*en t 3 & n Pn

+.++.

+.1

+.

+.2

Probabilit8

+ +-+(,,(72%

1+-1%(1,

1

2+-2+12&%

,

%+-2+12&%

,


27/33

(+-1&7(%((+

2

&+-+((,+,(

1

,+-+&,,7,%

&

7 +-+%(++&%1

+-+2+(+%(

+-+122(2+

1++-++7%(&2&

11+-++((+71&

,

12+-++2,((2

%


28/33

()

Tamos a describir el proceso de pintura de un mueble en una carpinter!a?

9efinimos la media de lle"ada de piezas a ser pintadas como 1 pieza / * 8 la media detiempo del proceso como (& minutos.

#e modela el proceso como un M/M/1

=1pieas

h

= 1

0.75

pieas

h =1.33

r=

= 1

1.33=0.75188

=

s =

1

1.33 s=

0.75188

s

# debe ser m!nimo 1 para que no se acumulen las piezas indefinidamente.

Podemos in"resar los datos a nuestra plantilla del modelo M/M/sDaciendo a s31

bteniendo un valor esperado de la detenci;n en cola de

q32.27(2% *

Tariamos los valores de s para ver en qu= momento q es un cuarto de la inicial

a cual debe ser menor a .&,,+,

Encontramos que con 2 servidores 8a tendremos suficiente para reducir el q a+-12%7&%% que es muc*o menor que un cuarto del tiempo esperado inicial.

Este valor equivale a contratar un pintor m$s con el fin de reducir el tiempo en cola a menos deun cuarto del inicial.


29/33

%ata &es!lts

= 1 0mean arrival rate) 3 %-+%+%+%+%

= 1-%%0mean servicerate) q3 2-27(2%%%1

s 3 1 0U servers) 3 %-+%+%+%+%

Pr0 5 t) 3 +-712(q

3 2-27(2%%%1V*en t 3 1

= +-7&17,

Prob0q 5 t) 3 +-&(+&((

V*en t 3 1 n Pn

++.1

+.2

+.%

+.(

+.&

Probabilit8

+ +-2(12+%+11 +-1,&&,,172 +-1(+2,1%%% +-1+&(,(7,2( +-+72,1%

& +-+&,21,,(, +-+((2%17 +-+%%7+&&+% +-+2&%(2(% +-+1+&((

1+ +-+1(%2,,1

%ata &es!lts

= 1 0mean arrival rate) 3+-7&,%%,

2

= 1-%%

0mean service

rate) q3

+-12%7&%

%s 3 2 0U servers)

3+-7&,%%,

2

Pr0 5 t) 3 +-%2,+2,q

3+-12%7&%

%V*en t 3 1

= +-%7&%&

Prob0q 5 t) 3 +-+%+,1

V*en t 3 1 n Pn


30/33

+

+.1

+.2

+.%

+.(

+.&

Probabilit8

++-(&%&&11

%

1+-%(1+1,(7

,

2+-122+1,

%

%+-+(1,12

1

(+-+111(

%

&+-++,11&

&, +-++2&,+7&

7+-+++,2,

+-+++%,11

%

+-+++1%,+&

71+ &-11((E4+&

Para el proceso de servicio vamos a utilizar el ejemplo de un cajero autom$tico

El cual recibe en promedio %+ clientes por *ora 8 cada uno se demora 1.& minutos.

#e modela el proceso como un M/M/1

=30clientes

h

=40clientes

h =1.33

r=

=

30

40=0.75

=

s =

1

1.33 s=

0.75

s

# debe ser m!nimo 1 para que no se acumulen las piezas indefinidamente.


31/33

Podemos in"resar los datos a nuestra plantilla del modelo M/M/s

Daciendo a s31

bteniendo un valor esperado de la detenci;n en cola de

q32.2& *

Tariamos los valores de s para ver en qu= momento q es un cuarto de la inicial

a cual debe ser menor a .&,2&

Encontramos que con 2 servidores 8a tendremos suficiente para reducir el q a+-12272727% que es muc*o menor que un cuarto del tiempo esperado inicial.

Este valor equivale a establecer un cajero m$s con el fin de reducir el tiempo en cola a menos

de un cuarto del inicial.


32/33

%ata &es!lts

= %+ 0mean arrival rate) 3 %

= (+0mean servicerate) q3 2-2&

s 3 1 0U servers) 3 +-1

Pr0 5 t) 3 (-&(E4+&q

3 +-+7&V*en t 3 1

= +-7&

Prob0q 5 t) 3 %-(E4+&

V*en t 3 1 n Pn

+

+.1+.2

+.%

+.(

+.&

Probabilit8

+ +-2&1 +-17&2 +-1(+,2&% +-1+&(,7&

( +-+71+1&,%& +-+&%2,172, +-+((((,27 +-+%%%7+72 +-+2&+222 +-+1771172

1+ +-+1(+7%711 +-+1+&&7(

%ata &es!lts

= %+ 0mean arrival rate) 3

+-7272727

%

= (+0mean servicerate) q3

+-12272727%

s 3 2 0U servers)

3+-+2+++

Pr0 5 t) 3 7-72E41q

3+-++(+++

V*en t 3 1

= +-%7&

Prob0q 5 t) 3 %-&E42%

V*en t 3 1 n Pn


33/33

+

+.1

+.2

+.%

+.(

+.&

Probabilit8

++-(&(&(&(&

&

1+-%(+++

1

2+-127(++

%+-+(7(+%(

1

(+-+1777,2

& +-++,7(1,1

,+-++2&21+

(

7+-+++(+%

+-+++%&&&1

&

+-+++1%%%1

1+(-(2E4

+&

Solución parcial completo.docx

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