SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO Definiciones ! Variables de estado: es el conjunto más pequeño de variables que determinan el

estado de un sistema (x1, x2, …, xn). ! Orden del sistema n: es el menor número de variables de estado necesario para su

descripción. ! Vector de estado: vector n-dimensional cuyas componentes son las variables de

estado. ! Espacio de estado: espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados representan los

valores numéricos de las variables de estado x1, x2, …, xn. Los modelos en espacio de estado describen el comportamiento del sistema para cualquier 0tt ≥ conocidos el vector de estado en el instante inicial ( 0tt = ) y las entradas al sistema para 0tt ≥ .

Su descripción matemática no es única, y se presenta en forma de n ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden combinarse en una ecuación diferencial vectorial-matricial de primer orden.

nittututxtxftx pnii ...1));(),...,();(),...,(()( 11 ==& (1)

mjttututxtxgty pnjj ...1));(),...,();(),...,(()( 11 == (2)

)),(),(()( tttft uxx =& (3)

)),(),(()( tttgt uxy = (4)

Solución de la ecuación de estado lineal homogenea invariante en el tiempo La ecuación de estado para modelo lineal invariante en el tiempo es:

)()()( ttt uBxAx ⋅+⋅=& (5)

La solución de la ecuación homogénea es la solución de la siguiente expresión,

)()( tt xAx ⋅=& (6)

que puede escribirse como una serie infinita con coeficientes indeterminados

)0(...)...()0()()( 2 xCCCIxx n21 ⋅+⋅++⋅+⋅+=⋅Φ= nttttt (7)

donde )(tΦ es la denominada matriz de transición estado. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial (6) e igualando los términos de igual potencia, pueden calcularse las matrices desconocidas:

)0(...)...()0(...)...2( 1 xACACAxCCC n1n21 ⋅++++=⋅++++ − nn tttnt (8)

)(1 tu

)(tup

)(2 tu M

)(1 ty)(2 ty

)(tym

M

SISTEMA

)(...,),(),( 21 txtxtx n

nn n

AC

AACC

AACC

AC

23

12

1

!1

231

31

21

21

3

2

=

⋅==

==

=

M

(9)

Por lo tanto, para movimiento libre, la evolución temporal del vector de estado a partir de su valor inicial puede calcularse a partir de la siguiente serie infinita:

)0(...)!

1...!3

1!2

1()0()( 3322 xAAAAIxx A ⋅++++++=⋅= nnt tn

tttet (10)

La matriz teA es la matriz de transición de estado para el caso particular de sistema lineal estacionario en movimiento libre. Se denomina matriz exponencial por la similitud que tiene con la expansión en serie de una función exponencial escalar, que puede considerarse como un caso particular unidimensional de la matriz exponencial. Propiedades de la matriz exponencial

a) )()( tt Φ⋅=Φ A& .

Se puede probar que la matriz exponencial de una matriz A de nxn converge para todo valor finito de t. Por ello se puede diferenciar la serie término a término:

AAAAAIA

AAAA

AA

A

⋅=⋅=

+++++⋅=

=+++++= −

ttnn

nnt

eetn

tt

tnntte

dtd

...!

1...!2

1

...!

...!3

3!2

2

22

1232

(11)

b) )()()( stst Φ⋅Φ=+Φ

( )

( ) ( ) )( !

...!3

1!2

1!2

1!3

1!2

1!2

1

...!

1...!2

1...!

1...!2

1

!!)()(

0

32233222

2222

00

stek

st

stssttststst

sn

sstn

tt

ks

kteest

k

stk

k

nnnn

k

kk

k

kkst

+Φ==+=

=+

++++

+++++=

=

+++++

+++++=

=

⋅

⋅=⋅=Φ⋅Φ

∑

∑∑

∞

=

+

∞

=

∞

=

A

AA

A

AAAI

AAAIAAAI

AA

(12)

c) )()(1 tt −Φ=Φ−

Es un caso particular del anterior ( ts −= )

)()()()()( 1 tttttt −Φ=−Φ⇒−Φ⋅Φ=−Φ (13)

d) )()()()( tt Φ⋅Φ=Φ⋅Φ ττ (Propiedad conmutativa)

Es un caso particular del anterior

)()()()()()( tttt Φ⋅Φ=+Φ=+Φ=Φ⋅Φ ττττ (14)

Solución completa de la ecuación de estado lineal para sistema estacionario

La solución de la ecuación diferencial (5) es la solución de la ecuación homogenea xh(t) más una solución particular de la completa xp(t). La solución homogenea es:

)0()0()()( xxx A ⋅=⋅Φ= th ett (15)

Para calcular la solución particular xp(t), se prueba una solución del tipo

)()()()( tettt tp ppx A ⋅=⋅Φ= (16)

donde )(tp es un vector desconocido tal que 0p =)( 0t .

)()()()()()()()()()()()(

tttttttttttt

p

p

pxAppAppx

&

&&&&

⋅Φ+⋅=

=⋅Φ+⋅Φ⋅=⋅Φ+⋅Φ= (17)

Sustituyendo el valor de )(tpx& en la ecuación diferencial completa (5)

)()()( ttt pp uBxAx ⋅+⋅=& (18)

)()()()()( ttttt pp uBxApxA ⋅+⋅=⋅Φ+⋅ & (19)

)()()( 1 ttt uBp ⋅⋅Φ= −& (20)

τττ dtt

)()()(0

1 uBp ⋅⋅Φ= ∫ − (21)

Por lo tanto, la solución particular es

∫∫ ⋅⋅−Φ=⋅⋅Φ⋅Φ= −tt

p dtdt00

1 )()()()()( ττττττ uBuBx (22)

y la solución completa de la ecuación de estado es

∫ ⋅⋅−Φ+⋅Φ=t

dttt0

)()()0()()( τττ uBxx (23)

Solución de la ecuación de estado por transformada de Laplace La ecuación de estado para modelo lineal invariante en el tiempo es:

)()()( ttt uBxAx ⋅+⋅=& (5)

Tomando transformadas de Laplace

)()()0()( ssss UBXAxX ⋅+⋅=− (24)

( ) )()0()( sss UBxXAI ⋅+=⋅− (25)

( ) ( ) )()0()( 11 ssss UBAIxAIX ⋅⋅−+⋅−= −− (26)

Tomando transformadas inversas, se obtiene la resolución de la ecuación de estado, equivalente a la Ec. 23.

( ){ } ( ){ })()0()( 1111 ssst -- UBAIxAIx ⋅⋅−+⋅−= −− LL (27)

Esta expresión tiene la ventaja de no utilizar series infinitas, por lo que se le denomina solución cerrada de la ecuación de estado. La solución de la ecuación de estado debe ser la misma por cualquier método. Por tanto, identificando expresiones entre las Ec. 23 y 27

( ){ }11)( −−==Φ AIA set -t L (28)

Esta ecuación proporciona una evaluación directa de la matriz exponencial.

La matriz ( )AI −s es de gran interés para evaluar las características dinámicas del sistema. La ecuación característica del sistema es

0=− AIs (29)

y sus raíces, que son los polos de la función de transferencia compleja o valores propios de la matriz, tienen un papel primordial en la descripción matemática del sistema dinámico:

- En el caso más simple, cuando los valores propios pi (i=1…n) son todos reales y distintos, en los elementos de la matriz de transición de estado )(tΦ aparecen

términos exponenciales del tipo tipe . Esta suma de términos exponenciales corresponde a la solución de una ecuación diferencial lineal de orden n.

- Para el caso de raíces repetidas, los modos que aparecen incorporan términos del

tipo tipe , tipet ⋅ , !2

2 tipet ⋅ , …, ( )!1

1

−⋅−

ket tipk

donde k es la multiplicidad de la raíz.

- Cuando aparecen parejas de polos complejos conjugados del tipo ωσ jpi ±−=

su modo correspondiente incorpora términos oscilatorios del tipo )sin( ϕωσ +− te t .