2 Solucion Ecuacion Estado-ppt

Solucin de la ecuacin de estado en modelos lineales Solucin de la ecuacin homognea Solucin de la ecuacin completa Clculo de la matriz de transicin casos simplificables mtodo de Cayley-Hamilton mtodo de Jordan mediante transformadas de Laplace nuemricamente mediante MatlabControl en el Espacio de Estado

Matriz de transicin Propiedades de la matriz de transicin

1

Solucin de la ecuacin homognea ecuacin homognea: resolucin por aproximaciones sucesivas (mtodo Peano-Baker)t t

x( t ) = A ( t ) x( t ) &

c.i. : x( t 0 ) = x 0"1 1

! 00(( t )= x 00 ! t) = x ! 0 (t) = x 0

x(t) = [ I +tt tt t t t0

#t0

t0

# A(" )d" + # A(" ) # A(" )d" d" + K# k "1t0t0 t0

! kk(( t )= x 00 + &&A((")! kk %1d" ! t ) = x + A" )! %1d" ! k ( t ) = x 0 + & A(" )! k %1d"x(( t )= lim ! kk(( t ) x t ) = lim ! t ) x( t ) =kklim ! k ( t ) $# $#k $#

! + ... ! A(# ) ! A(# 1 )K ! A(# k "1 )d# k "1 K d# 1d# + K ] x 0x( t ) = !( t, t 0 )x 0Control en el Espacio de Estado 2

t 00 t t0

!

1

Propiedades de la matriz de transicin derivada temporal valor en t0 transitividad inversa

d"(t,t 0 ) = A(t)"(t,t 0 ) dt !( t 0 , t 0 ) = I!( t 2 , t 0 ) = !( t 2 , t1 )!( t1, t 0 )

!

"(t,t 0 )#1 = "(t 0 ,t)"(t,t 0 ) = T #1"(t,t 0 )TControl en el Espacio de Estado 3

cambio de base en el espacio de estado:~

!!

Solucin de la ecuacin de estado en modelos lineales Solucin de la ecuacin homognea Solucin de la ecuacin completa Clculo de la matriz de transicin casos simplificables mtodo de Cayley-Hmilton mtodo de Jordan mediante transformadas de Laplace numericamente mediante MatlabControl en el Espacio de Estado


4

2

Solucin de la ecuacin completa ecuacin completa:

x( t ) = A( t )x( t ) + B( t )u( t ) & resolucin: se ensaya con una solucin del tipo:

x( t 0 ) = x 0

que introducida en la ecuacin diferencial permite obtener z(t) y por tanto la solucin buscada:t

x( t ) = !( t, t 0 )z( t )

x(t) = "(t,t 0 )x 0 +

t0

$ "(t,# )B(# )u(# )d#5

Control en el Espacio de Estado

!

Solucin de la ecuacin completat

x(t) = "(t,t 0 )x 0 +

t0

$ "(t,# )B(# )u(# )d#

"(t,t 0 )x 0 existe si y slo si existen c.i. de las variables!

de estado no nulas es la respuesta del sistema ante entrada nula, denominada evolucin libre del sistema existe si y slo si existe entada no nula es la respuesta del sistema desde c.i. nulasControl en el Espacio de Estado 6

!

t0

$ "(t,# )B(# )u(# )d#

t

!

3

Solucin de la ecuacin de estado en modelos lineales Solucin de la ecuacin homognea Solucin de la ecuacin completa Clculo de la matriz de transicin casos simplificables mtodo de Cayley-Hamilton mtodo de Jordan mediante transformadas de Laplace numericamente mediante MatlabControl en el Espacio de Estado


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Clculo de la matriz de transicin: casos simplificables en los casos en que A(t) # t"(t,t 0 ) = I + $ tttt00 A(# )d# + 0!t0

A(" )d" =

#

t t0

A(" )d"A(t)

se verifica:

Casos: A(t) es diagonal!

tt 2 2 3 3 1 tt 1 A( [ $ tt00 A(# )d# ] + 3! [ $ tttt00 A(# )d# ] + ...=e $tt00 A(## ))dd## 2!

& 'tt a11() )d) K $e 0 (( t, t 0 ) = $ M M $ 0 L $ %t

# ! ! t a () )d) ! e't 0 nn ! " 0 M

A(t) = a(t) M

M a(# )d# "(t,t 0 ) = e $t0

caso invariante: A(t)=A "( t, t 0 ) = e caso escalar: A(t)=a(t)

A( t !t0 )t

= "( t ! t 0 )

!

#( t, t 0 ) = e"t 0

a(! )d!


8

4

Clculo de la matriz de transicin: Mtodo de Cayley-Hamilton"(t,t 0 ) = eM

$t0 a(# )d# =

t

n%1

& h (t)Mj j= 0

j

calculndose los coeficientes hj(t) mediante: n%1 t "i $ a(# )d# t0 siendo i son los = & h j (t) "ij i = 1Ln e

!

j= 0

valores propios de M

si algn i tiene multiplicidad mi se verificar:!" k e %t0 "#k#t

a($ )d$

=#= #i

"k'

j= n&1 j= 0

h j (t) # j#= #i

"#k

k = 1Lmi &1


9

!

Clculo de la matriz de transicin: Mtodo de Jordan (1/2)si por cajas de Jordan: donde esta formada

entonces:


10

5

Clculo de la matriz de transicin: Mtodo de Jordan (2/2)donde para las cajas diagonales:

y para las cajas de Jordan:


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Clculo de la matriz de transicin: por transformada inversa Laplacetomando transformada de Laplace en sistemas lineales invariantes se obtiene: por tanto: y:


12

6

Ejemplo 2.1: sistema invarianteCalcular analticamente la evolucin del siguiente sistema desde [x1 x2]T=[1 1]T y con entrada:

" x1 % " 2 1%" x1 % "1% $ '=$ '$ ' + $ 'u #x 2 & #(1 0 2 & #0&

a) b)

Mediante Carley-Hamilton Mediante Jordan

!


13

Ejemplo 2.1: resolucin a)caso invariante a) Mediante Carley-Hamilton


14

7

Ejemplo 2.1: resolucin b)caso invariante b) Mediante la matriz de Jordan >> A=[2 1 ; -1 0]; [T,J]=jordan(A) T= 1 1 J= 1 1 -1 0 0 1 >> syms t real >> PhiJ=exp(J(1,1)*t)*[1 t; 0 1] >> Phi=inv(T)*PhiJ*T PhiJ =[ exp(t), exp(t)*t] [ 0, exp(t)] Phi=[ exp(t)*t+exp(t), exp(t)*t] [ -exp(t)*t, exp(t)-exp(t)*t]15


Ejemplo 2.1: resolucin c)caso invariante c) Mediante el comando >> expm(Matriz) >> expm(A*t) ans = [ exp(t)*t+exp(t), exp(t)*t] [ -exp(t)*t, exp(t)-exp(t)*t]


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8

Ejemplo 2.1: simulacin con Matlab>[Y,X]=LSIM(A,B,C,D,U,T,X0) comando nuevo >> A=[2 1 ; -1 0]; B=[1;0]; C=[1 1]; D=[0]; >> t=0:0.01:1; u=ones(length(t),1); >> lsim(A,B,C,D,u,t,[1;1]);

>> [Y,X]=lsim(A,B,C,D,u,t,[1;1]);Control en el Espacio de Estado 17

Ejemplo 2.2: sistema varianteCalcular analticamente la evolucin del siguiente sistema desde [x1 x2]T=[1 1]T y con entrada:

" x1 % "2t t %" x1 % "1% $ '=$ '$ ' + $ 'u #x 2 & #(t 0 2 & #0&a) b) Mediante Jordan Mediante Carley-Hamilton

!


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9

Ejercicio 2.1Dado el sistema del ejercicio 1.3, cuyas ecuaciones linealizadas en torno al p.e. s1=0.3, A1=2, A2=1,5, s2=0.25, F1=1, H1=1.38 y H2=0,816 son: f1 h1 s1 h2 s2

a) Calcular la matriz de transicin para t=1 (2 puntos) b) Calcular los valores de las alturas en el modelo anterior cuando estas valen un 10% ms que en el p.e. (2 puntos) c) Obtener y dibujar los valores de ambas alturas durante 10 segundos a partir de la matriz de transicin calculada, partiendo de unas alturas iniciales del apartado anterior y con entrada F1 permanentemente igual a la de su valor en el p.e. (4 puntos) d) Superponer en la grfica anterior la evolucin de las alturas obtenidas con el comando lsim (2 puntos)Control en el Espacio de Estado 19

Ejemplo 2.3: resolucin con Simulink


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Ejemplo 2.3: resolucin con Simulink


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Ejercicio 2.2Dado el sistema de depsitos del ejercicio 2.1 a) Dibujar en Simulink la evolucin de las alturas del modelo lineal en las condiciones del ejercicio 2.1 (mismas c.i. y entradas) (3,3 puntos) b) Comparar en un mismo grfico la evolucin de las alturas del modelo lineal con la evolucin del modelo no-lineal (3,3 puntos) c) Cargar en variables Matlab las evoluciones de las alturas de los apartados anteriores y compararlas en el mismo grfico con las obtenidas en el ejercicio 2.1 (3,3 puntos)


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