Soal Aljabar Matriks ITS

download Soal Aljabar Matriks ITS

of 25

  • date post

    16-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    591
  • download

    33

Embed Size (px)

Transcript of Soal Aljabar Matriks ITS

i

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak jauh. Sejalan dengan tujuan penyelenggaraan perkuliahan, materi modul ajar ini dipilih dari pokokpokok aljabar matriks sebagai bahan penyeragaman pemahaman aljabar martriks bagi mahasiswa. Dalam hal ini, setelah mengikuti kuliah sesuai materi dalam modul ajar ini, diharapkan mahasiswa mempunyai bekal yang cukup baik untuk mengikuti perkuliahan. Materi yang diberikan dalam modul ajar ini cukup untuk ukuran perkuliahan satu semester. Untuk itu, materi dalam modul ini diberikan dengan cara sederhana dan contoh singkat; mengingat bahwa semua materi harus diserap sendiri. Untuk itu diharapkan peserta kuliah dengan tekun dan sungguh-sungguh mengikuti modul ini dan aktif mengerjakan soal-soal. Penyusun menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu hingga tersusunnya modul ini. Tak lupa, kritik dan saran untuk menyempurnakan modul ini sangat diharapkan.

Surabaya, Januari 2007 Penyusun

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar Daftar Isi 1 Sistem Persamaan Linear 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris . . . . . . . . .

ii iii 1 1 2 3 4 5 6 7 7 8 9 10 11 11 12 12 13 14 14 15 17 17 18

Determinan 2.1 2.2 2.3 2.4 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . .

3

Vektor dan Operasinya 3.1 3.2 3.3 3.4 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Panjang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Transformasi Linear dan Sifat 4.1 4.2 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Ruang Vektor 5.1 5.2 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun . . . . . . . . . . . .

iii

5.3 5.4 5.5 5.6

Soal-Soal Latihan Bebas Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong . . . . . Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 19 19 20

iv

Modul

1

Sistem Persamaan Linear1.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Persamaan-persamaan manakah yang termasuk persamaan linear? (a) 2x + 3y + 2z = 6 (d)1 2x

(b) 2xy + 3y + 2z = 6 (e)1 x

(c) 2x + 3y = 2z + 6 (f)1 4x 2 3y = 6

+

3y 2

=6

+ 3y z = 6

2. Jika p adalah suatu konstanta, persamaan manakah yang termasuk persamaan linear (a) 2x + 3y = sin p (b) py + 3x + 2z = 1 (c) px + p y = 6

3. Buatlah matriks A, x dan b yang dapat mewakili sistem persamaan linear dibawah ini 2x + 3y + 4z = 6 3x + 3y 6z = 12 4. Buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear dibawah ini 3x + 4y 3z = 12 x + 2y + 9z = 21 3y + 2x + 6z = 22

1

1.2. Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL

2

5. Apakah sistem linear dibawah termasuk sistem linear homogen 3x + 2y = 3z x + 9z = 2y 3y + 11z = 2x 6. Cari sistem persamaan linear dari matriks diperbesar dibawah ini 3 22 4 3 1 12 2 1 3 4 13 12 33 11 3 1 81 2 32 3 32 7 34 23 55

1.2

Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Diantara matriks-matriks tersebut yang termasuk matriks yang berbentuk eselon, eselon tereduksi, atau bukan keduanya 1 2 1 1 0 1 (a). 0 1 2 (b). 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 (e). 0 1 0 0 0 1 (f). 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

(c). 0 1 0 0 0 1 1 0 0 (g). 0 0 1 0 1 0

(d). 0 1 0 0 0 0 1 1 0 (h). 0 1 0 0 0 0

2. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss 2x + 2y + 2z = 12 x + 2y + 3z = 14 3x + y + 2z = 11 3. Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss-Jordan x + 2y + 2z = 9 x + y 3z = 2 3x y + 2z = 9Modul Aljabar Matriks ITS BPKLN-DepDikNas

1.3. Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya

3

4. Selesaikan sistem linear homogen dibawah ini dengan metode sebarang x + 2y + 2z = 0 x + y 3z = 0 3x y + 2z = 0 5. Selesaikan sistem linear dibawah ini dengan metode sebarang x1 + 2x2 + 2x3 = x4 x1 + x2 3x4 = 2x3 2x1 2x3 + 2x4 = x2 6. Carilah nilai a, sedemikian hingga sistem linear tersebut mempunyai satu penyelesaian, banyak penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian x1 + 2x2 3x3 = 4 3x1 x2 + 5x4 = 2 4x1 + x2 + (a2 14)x3 = a + 2

1.3

Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Diketahui matriks beserta ukurannya, yaitu A34 , B34 , C42 , D32 , dan E43 , tentukan manakah yang dapat dilakukan, jika tidak dapat dilakukan beri komentar (a) B A (e) E(B + A) (b) A C + D (f) E(A C) (c) A E + B (g) ET A (d) A B + B (h) (AT + E) D

2. Diketahui persamaan matriks dibawah ini a-b carilah nilai a, b, c dan d 3. Pandang matriks-matriks dibawah ini 1 2 4 1 X= 3 6 Y = 2 2 4 3 Z= 2 3 1 2 0 2 W = 3 2 6 2 1 2 1 0 5 b+c = 16 2

3d+c 2a-4d

14 12

Hitung operasi matriks dibawah (jika memungkinkan)Modul Aljabar Matriks ITS BPKLN-DepDikNas

1.4. Soal-Soal Latihan Matriks Invers

4 (c) ZW (g) 3Y + ZX (d) W X (h) XZ 2W

(a) XY (e) Y X Z

(b) Y Z (f) ZX 2Y

4. Carilah matriks A berukuran 4 4, yang anggotanya memenuhi syarat yang dinyatakan (a) aij = i + j (b) aij = ij1 (c) aij = 1, |i j| > 1

1, |i j| 1

5. Jika matriks A berukuran p q, maka tr(AAT ) = tr(AT A) = s dimana s adalah jumlah kuadrat anggota-angota A.

1.4

Soal-Soal Latihan Matriks Invers

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. Diketahui empat matriks, yaitu A= 2 3 3 5 B= 5 3 3 2 C= 4 3 5 4 D= 4 3 5 4

1. Hitunglah (a) AB (d) BA (g) CA (j) DA (b) AC (e) BC (h) CB (k) DB (c) AD (f) BD (i) CD (l) DC

Apa yang dapat saudar simpulkan ? 2. Gunakan hasil kesipulan soal sebelumnya, kemudian hitunglah (a) A3 (e) (A1 )3 (a) (AB)3 (b) B 3 (f) (B 1 )3 (b) (AB)1 (c) C 3 (g) (C 1 )3 (c) (CD)1 (d) D3 (h) (D1 )3 (d) (DC)3

3. Gunakan hasil dari soal sebelumnya, kemudian hitung (a) A2 2A + IModul Aljabar Matriks ITS BPKLN-DepDikNas

1.5. Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers

5

(b) B 2 2B + I (c) (A2 2A + I)(B 2 2B + I) 4. Hitunglah (a) AT (e) (A1 )T (a) (AT B T )1 (b) B T (f) (B 1 )T (b) (B 1 A1 )T (c) C T (g) (C 1 )T (c) (C T DT )T (d) DT (h) (D1 )T (d) (DC)T

5. Matriks

1 0 1

A= 1 1 0 0 1 1 Tentukan apakah A mempunyai invers atau tidak, jika punya, carilah inversnya (petunjuk selesaikan AX = I)

1.5

Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Manakah diantara matriks dibawah ini yang termasuk matriks elementer a. 1 0 b. 3 1 1 0 c. 1 0 0 5 d. 0 1 1 0

3 1

2. Carilah operasi baris yang menghasilkan matriks elementer berikut a. 0 1 1 0 b. 3 0 0 1 8 1 2 c. 1 0 0 52 d. 1 0

3 1 3 2 1

3. Diketahui matriks 3 2 1 A = 3 6 3 8 1 2

B = 3 6 3 3 2 1

C = 3 6 3 2 3 0

Carilah matriks elementer E1 , E2 , E3 dan E4 , sedemikian hingga a. E1 A = B 4. Pandang matriks A= 1 0 3 3BPKLN-DepDikNas

b. E2 B = A

c. E3 A = C

d. E4 C = A

Modul Aljabar Matriks ITS

1.6. Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris

6

(a) Cari matriks elementer E1 dan E2 sedemikian hingga E2 E1 A = I (b) Tulis A1 sebagai perkalian dua matriks elementer (c) Tulis A sebagai perkalian dua matriks elementer 5. Carilah invers dari 1 2 3

B= 2 5 3 1 0 8

1.6

Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris

Kerjakan soal-soal berikut untuk mengukur tingkat pemahaman saudara, selanjutnya bandingkan jawaban saudara dengan kunci jawaban yang telah disediakan. 1. Apakah matriks-matriks dibawah ini mempunyai invers, jika ya, cari inversnya 2 0 0 2 0 0 2 0 (a) (b) 0 0 0 (c) 0 3 0 0 5 0 0 5 0 0 4 2. Hitunglah A2 , A2 , dan Al dari (a) A = 2 0 0 3 2 0 0 (b) A = 0 1 0 0 0 3 (c) A = 0 01 2

01 3

01 4