Seminar 1b - 1. letnik, II. stopnja

Slikanje bioloskih tkiv sprostorsko modulirano

svetlobo

Avtor: Jure Novak

Mentor: prof. dr. Boris Majaron

Ljubljana, december 2015

Povzetek

V bliznji preteklosti je prislo do razmaha neinvazivnih opticnih metodza karakterizacijo bioloskih tkiv. Svetloba se med potovanjem skozi tkivoabsorbira in sipa. Razlicna tkiva edinstveno delujejo na svetlobo, kar namomogoca prostorsko razlocevanje tkiv v vzorcu. V seminarju predstavimradiacijsko transportno enacbo in difuzijsko aproksimacijo transporta fo-tonov. Predstavim tehniko slikanja s prostorsko modulirano svetlobo ineksperimentalne podatke povezem z difuzijsko aproksimacijo.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Tkivna optika 2

3 Slikanje s prostorsko modulirano svetlobo - SPMS 6

4 Zakljucek 11

1 Uvod

Uporaba neinvazivnih opticnih metod je v zadnjih dveh desetljetjih postala po-membno diagnosticno orodje za preucevanje tkiv. Razumevanje tkivne optikevodi v siroko polje moznosti za diagnosticne in terapevtske tehnike. Novejsemetode ze pocasi izrivajo standardne medicinske postopke, za katere je se ne-davno veljalo, da jih bo tezko preseci. Naprave, ki za delovanje uporabljajokoncepte difuznega odboja, so za klinicno uporabo zanimive zaradi njihoveenostavne proizvodnje in posledicno tudi nizke cene.

Cilji tkivne optike so popisati interakcijo svetlobe s tkivom, zgraditi kon-ceptualni okvir za interpretacijo opticnih in termicnih meritev v diagnosticnenamen in oceniti dozimetricne vrednosti za obdelavo tkiv. V seminarju sebom omejil na osnove tkivne optike, potrebne za razumevanje difuzne opticnespektroskopije. V zadnjem delu bom podrobneje opisal tehniko slikanja s pro-storsko modulirano svetlobo (SPMS) (angl. spatial frequency domain imaging- SFDI).

Na opticne lastnosti tkiva vpliva geometrija, prostorsko spreminjanje go-stote in kolicina posameznih gradnikov tkiva. Cilj uporabe difuzne opticnespektroskopije je locitev absorpcije in sipanja tkiva. V naprotju s siroko upo-rabljanimi slikovnimi metodami (rentgen, ultrazvok, nuklearna magnetna re-sonanca), je difuzna opticna spektroskopija nizkoresolucijska metoda. Zelo jeobcutljiva na fizioloske procese, kot sta metabolizem in prekrvavitev tkiva.Ponavadi uporabljamo svetlobo v bliznjem infrardecem spektru, ki se v tkivusiri do globine nekaj centimetrov.

2 Tkivna optika

Sirjenje svetlobe v snovi lahko opisemo z Maxwellovimi enacbami, a si z njimiv vsakdanjih problemih ne moremo pomagati. Najvecja tezava lezi v samiracunski pozresnosti se tako enostavnega primera [3]. Za izracun sipanja naeni celici je bil potreben superracunanik, zato je nemogoce uporabiti ta pri-stov v tkivu, ki vsebuje na milijone celic. Pri sipalnih eksperimentih s kozoopazimo zelo podobne rezultate za povrhnjico in podkozje, njuna mikroskop-ska sestava pa je povsem drugacna, kar nas se dodatno odvraca od uporabemikroskopskega pristopa. Bolj smiselno se je osredotociti na makroskopsko

2

teorijo. Osnovno izhodisce za razumevanje pojavov in izracune je sevalnatransportna enacba (RTE - ang. radiative transfer equation - RTE), znanatudi kot Boltzmannova enacba. S podrobno izpeljavo se lahko seznanimo v[1]. V tem poglavju bom definiral kolicine in zapisal koncno obliko sevalnetransportne enacbe. Vpeljal bom se difuzijsko aproksimacijo, s katero lahkododatno poenostavimo sevalno transportno enacbo. Difuzijska aproksimacijanam omogoca enostavno dolocanje vrednosti tkivnih parametrov. Kljub vsempoenostavitvam za realne probleme se vedno ne poznamo analiticnih resitevdifuzijske enacbe. Nasa presoja lezi predvsem v tem ali problem numericnoresujemo z RTE enacbo ali z difuzijsko aproksimacijo.

Opticni parametri tkiv in definicija kolicin

Najpomembnejsa parametra v tkivni optiki sta absorpcijski koeficient µa insipalni koeficient µs, oba z enoto [m�1]. Na podlagi vrednosti teh parametrovlahko med seboj locimo razlicne vrste tkiv, se posebej ce imamo na voljomeritve pri vec valovnih dolzinah. S prostim ocesomje nemogoce lociti pojavaabsorpcije in sipanja (slika 1). Prav razlocevanje med pojavoma je ena odbistvenih nalog tkivne optike, saj nam to omogoca prostorsko razlocevanjetkiv.

Slika 1: za razlicne vrednostireduciranega sipalnega koefici-enta in absorpcijskega koefici-enta lahko s prostim ocesomopazimo enak odboj difuznesvetlobe na vzorcu [1].

Slika 2: absorpcijski koeficientirazlicnih gradnikov tkiva v od-visnosti od valovne dolzine [2].

Prirocno je vpeljati se reducirani sipalni koeficient,

µ

0s = µs(1� g), (1)

kjer g predstavlja povprecni kosinus kota sipanja v tkivu, g = hcos ✓i.

3

Gostota svetlobnega toka (ang. flux density) je v tkivni optiki definirana kot

j(r, t) =

Z

s L(r, s, t) d⌦ [W m

�1], (2)

kjer je L(r, s, t) svetlost (ang. radiance), d⌦ prostorski kot in s enotski vektorsmeri sevanja.

Svetlost (angl. radiance) L(r, s, t), ki ima enoto [Wm

�2sr

�1], nam pove,koliksna je moc svetlobe, ki jo element povrsine dA0 na mestu r izseva v smeris v prostorski kot d⌦ (enacba 3)

L(r, s, t) =dP (r, s, t)

dA

0d⌦

. (3)

V tkivni optiki je pogosteje uporabljana kolicina hitrost fluence (ang. flu-ence rate) �(r, t). Ta je moc, ki vpada na infitizimalno kroglo, deljena z njenimpresekom

�(r, t) =

Z

4⇡L(r, s, t) d⌦ [W m

�2]. (4)

Absorpcija v tkivu je neodvisna od smeri vpadne svetlobe, zato je hitrostfluence, ki je prav tako neodvisna od smeri svetobe, bolj prirocna za uporabov tkivni optiki. Opozoriti je potrebno, da izkljucno v nesipajocih sredstvihvelja |j| = �.

Radiacijska transportna enacba nam poveze gradient svetlosti na mestu r

v smeri s z izgubo svetlosti zaradi absorpcije in sipanja svetlobe, povecanjemsvetlosti zaradi sipane svetlobe in spremembo svetlosti zaradi izvora svetlobe:

dL(r, s)

ds

= �(µa + µs)L(r, s) +

Z

4⇡p(s, s0)L(r, s)d⌦0 + S(r, s). (5)

Fazna funkcija p(s, s0) predstavlja verjetnostno gostoto za enkratno sipanje izsmeri s0 v smer s. Integriramo po celotnem prostorskem kotu d⌦0. Izvore namopise funkcija S(r, s).

Radiacijska transportna enacba omogoca numericni izracun sirjenja sve-tlobe po tkivu. V nadaljevanju bomo enacbo se poenostavili. Eksperimen-talno je potrjeno, da se resitve poenostavljene enacbe se vedno zadovoljivoujemajo z rigoroznimi numericnimi resitvami radiacijske transportne enacbe.

Difuzijski zakon

V nadaljni obravnavi bomo zanemarili valovne lastnosti svetlobe. Iz eks-perimentalnih podatkov je razvidno, da lahko za veliko stevilo problemov vtkivni optiki pridelamo natancne rezultate tudi, ce svetlobo obravnavamo kotmnozico delcev. Zanemarimo torej polarizacijo, ki se tako ali tako zaradisipanja izgubi po nekaj milimetrih poti skozi tkivo, in interferencne pojave.

V radiacijsko transportno enacbo bomo vtkali zakon o ohranitvi energijein difuzijski zakon ter zapisali difuzijsko aproksimacijo za razsirjanje svetlobe

4

v tkivu. Ta bo, kot bomo videli, povezovala absorpcijski in sipalni koeficients hitrostjo fluence, torej bo difuzijska enacba uporabna za razlocevanje tkiv.

Pogoja za veljavnost difuzijskega modela sta dva:

1. povprecna opticna pot fotonov ltr = (µtr)�1, kjer je µtr opticni tran-

sportni koeficient, mora biti dosti manjsa od tipicnih dimenzij sistema,ki ga obravnavamo. Povedano drugace, nahajati se moramo dalec odmej in izvorov, ter

2. foton se mora na svoji poti velikokrat sipati, preden se absorbira alizapusti medij, kar pomeni, da mora biti sipalni koeficient mnogo vecjikot absorpcijski koeficient.

Ce veljata zgoraj navedena pogoja, se lokalna hitrost fluence spreminja zelomalo, zato lahko uporabimo difuzijski zakon

j(r) = �D r�(r). (6)

Ohranitev energije

Tkivo zaradi pojava absorpcije vsrka energijo, enako µa(r)�(r, t). Po drugistrani zaradi difuzije vsaka tocka tkiva izgubi energijo, enako divergenci go-stote svetlobnega toka r · j(r, t). Iz zakona o ohranitvi energije sledi

1

c

@�(r, t)

@t

= �r · j(r, t)� µa(r)�(r, t) + q(r, t), (7)

kjer je q(r, t) dodatni skalarni clen, ki opisuje spremembo v energijskem tokuzaradi notranjih izvorov polja.

V stacionarnem stanju dobimo sledeco ohranitveno enacbo:

r · j(r) = �µa(r)�(r) + q(r). (8)

Difuzijska aproksimacija

Ze pri difuzijskem zakonu smo predpostavili, da je lokalna sprememba hitrostifluence �(r, t) zelo majhna, kar nas vodi do sklepa, da je svetlost L(r, s) rahloanizotropna

L(r, s) ⇡ L0(r) +3

4⇡j(r) · s. (9)

Gornji anizotropni priblizek za svetlost se imenuje Eddingtonova aproksima-cija ali P1 aproksimacija, predstavlja pa prva dva clena razvoja svetlosti L(r, s)po Legendrovih polinomih. Z nekaj knjigovodske spretnosti (glej [1]) skupajzdruzimo difuzijski zakon ter zakon o ohranitvi energije v koncno difuzijskoenacbo

D r2�(r) = µa�(r)� q(r), (10)

D =1

3µtr=

1

3(µa + µ

0s).

5

Dobljena difuzijska enacba omogoca dolocanje sipalnih in absorpcijskihkoeficientov. V primeru, da ne nepravilno napove eksperimentacne rezultate,se lahko se vedno zatecemo k numericnemu resevanju RTE enacbe, vendar jeto racunsko precej bolj pozresnen postopek.

3 Slikanje s prostorsko modulirano svetlobo - SPMS

Bistvo vsake tehnike za karakterizacijo bioloskih tkiv je, kot smo ze veckratomenili, zmoznost locevanja med sipalnimi in absorpcijskimi procesi s pomocjozajete prepuscene ali povratno sipane svetlobe. Tako prepuscena kot povratnosipana svetloba svetloba sta funkciji kraja in casa, zaradi cesar locimo casovnorazlocene in prostorsko razlocene tehnike slikanja. V tem seminarju se bomomejil le na slednje (slika 3).

Slika 3: prostorskorazlocena pristopa kmeritvam z difuznosvetlobo. Gornji graf pri-kazuje meritve v realnemprostoru, spodnji pa vfrekvencnem prostoru [4].

Do nedavnega so bile prostorsko razlocene tehnike omejene na realno pro-storsko domeno. V realni domeni prostorsko razsirjanje pulza opise funkcijasirjenja tocke (ang. spatial point spread function - s-PSF). Pomerimo jo zmrezo detektorjev (slika 4).

S Fourierjevo transformacijo lahko preidemo iz realne v frekvecno domeno.Odtod tudi ideja za slikanje v frekvencni domeni s prostorsko modulirano sve-tlobo (SPMS). Angleski izraz za tehniko je Spatial Frequency Domain Imaging(SFDI), v komercialnih aplikacijah tudi Modulated Imaging (MI). Pri SPMSzajemamo prostorsko prenosno funkcijo modulacije (PFM, angl. spatial mo-dulated transfer function - s-MTF).

Prenosna funkcija modulacije Koncept prenosne funkcije modulacije (PFM,angl. modulation transfer function - MTF) ponavadi uporabljamo kot meriloza kvaliteto opticnih sistemov, saj meri odziv sistema na sinusoidno osvetli-tev. Z vecanjem prostorske frekvence osvetlitve PFM pada (slika5). VrednostPFM za celotni sistem je zmnozek prenosnih funkcij modulacije posameznih

6

Slika 4: shema slikanja s prostorsko razloceno tehniko v realni domeni. Nashemi je prikazan potek signala v odvisnosti od casa. Zaradi sipanja se zacetnipulz svetlobe razsiri v casu. To omogoca karakterizacijo tkiva, saj se pulzrazsiri razlicno za razlicne vrednosti sipalnega koeficienta [1].

delov sistema. V nasem primeru PFM vsebuje informacijo o vplivu tkiva insistema na vpadno svetlobo za osvetlitev z doloceno prostorsko frekvenco.

Slika 5: prenosna funk-cija modulacije opise pa-danje intenzitete slike zvecanjem prostorske fre-kvence osvetlitve [5].

Osnove SPMS

Prva sta tehniko SPMS leta 1998 opisala Dognitz in Wangnieres, nista papokazala, da se lahko uporablja za prostorsko locevanje razlicnih tkiv. Ekspe-rimentalno uporabo SPMS v tkivni optiki je raziskovalna skupina na BeckmanLaser Institute predstavila leta 2005.

Eksperimentalna postavitev

Pri SPMS kontinuirano strukturirano osvetljujemo povrsino tkiva. Sipanosvetlobo zajemamo z zunanjo kamero (slika 6).

Pri eksperimentu lahko za osvetlitev uporabimo nekoliko prirejen komer-cialni projektor. Ta sluzi kot izvor bele svetlobe. Pred kamero prislonimointerferencni filter, da na zaslonu opazujemo le monokromatsko svetlobo [4].S programsko opremo ustvarimo vzorce osvetlitve in jih projiciramo na tkivo.Vzorec osvetljujemo pod majhnim kotom glede na normalo vzorca, da ne izgu-

7

Slika 6: postavitev eksperimenta [4].

bljamo svetlobe zaradi odboja. Zanima nas le svetloba, sipana v tkivu, zato bise radi znebili odboja na povrsini. Ta ohranja polarizacijo, zato se odbite sve-tlobe znebimo s prekrizanima polarizatorjema. Taka eksperimentalna metodaomogoca resolucije vse do fizikalne meje, dolocene s transportom svetlobe. Zmenjavo filtra pred kamero enostavno menjamo opazovano valovno dolzinosvetlobe.

Osvetljevanje

Vzorec osvetljujemo z v eni dimenziji z modulirano osvetlitvijo

IIN = I0 [1 +M0 cos(kx+ ↵)] , (11)

kjer je I0 intenziteta izvora, M0 amplituda modulacije, k prostorska frekvencain ↵ fazni zamik. Odboj bo sestavljen iz konstantnega prispevka intenziteteIkonst in spreminjajocega se prispevka intenzitete Ik

IOUT = Ikonst + Ik, (12)

Ik = Mk(x) cos(kx+ ↵),

kjer je Mk(x) prenosna funkcija modulacije pri doloceni prostorski frekvencik, ki nosi skupno informacijo o odzivu tkiva in sistema na osvetlitev.

Meritev Mk(x) Pri eksperimentu imamo na voljo podatke o intenzitetah vposameznih tockah slike, ki jih moramo preracunati vMk(x). Ena od moznostije izracun, analogen detekciji v komunikacijskih sistemih [6]. Za izracun potre-bujemo tri intenzitete v eni tocki, ki jih izmerimo pri fazah osvetlitve 0, 2/3 ⇡

in 4/3 ⇡ radianov. Ce sliko zajamemo za vse fazne zamike hkrati moramo slikonajprej se demodulirati. Mk(x) lahko za nastete fazne zamike poracunamo kot

Mk(x) =n

[I1(x)� I2(x)]2 + [I2(x)� I3(x)]

2

+ [I3(x)� I1(x)]2o1/2 (13)

8

kjer so I1, I2 in I3 intenzitete svetlobe v isti tocki pri zgoraj nastetih faznihzamikih. Gornji pristop, pri katerem uporabljamo razlike intenzitet, ima vecprednosti. Prva je ta, da odstrani vse vplive, ki so skupni vsem trem slikam.Avtomatsko se odsteje tudi vsa ambientalna svetloba, ki bi lahko prijadrala nanas vzorec. Kot drugo ta pristop ne zahteva poznavanja prostorske frekvenceosvetlitve, s cimer se znebimo napak zaradi napacne kalibracije.

Konstantni prispevek izracunamo kot povprecje vseh treh intenzitet

Ikonst(x) =1

3[I1(xi) + I2(xi) + I3(xi)]. (14)

Meritev koeficienta difuznega odboja Izmerili smo Mk(x), ki je sesta-vljen iz odziva sistema in vzorca, nas pa zanima le odziv vzorca. S PFMsistem

oznacimo prenosno funkcijo modulacije (PFM) eksperimentalne opreme. Z Rd

oznacimo PFM vzorca, ki je obenem tudi koeficient difuznega odboja. Celo-tno prenosna funkcija moramo torej nekako pretvoriti v koeficient difuznegaodboja Rd, ki karakterizira tkivo. Omenili smo, da se PFM za posamezne delesistema med sabo mnozijo.

Mk(x) = I0 · PFMsistem(x) ·Rd(x). (15)

K samim meritvam pristopimo na nacin, ki bo cim bolje odpravil sis-tematicne napake. Ucinkovito se meritev lotimo z uporabo standarda, t.j.vzorca z znanimi lastnostmi, ponavadi se uporabi lipidna emulzija. Merski po-stopek je sledec: s standardom opravimo referencno meritev Mk, std(x), natopomerimo Mk, vzorec(x). PFMsistem(x) je za vse meritve enak, zato strnemodve enacbi (15) v izraz

Rd(x) =Mk, vzorec(x)

Mk, std(x)·Rd, std, (16)

kjer jeRd, std koeficient difuznega odboja za standard, ki ga vnaprej izracunamos pomocjo modela.

V tem poglavju smo govorili o eksperimentalno dolocenenem koeficientu di-fuznega odboja Rd, v prvem delu seminarja pa smo govorili o difuzijski enacbi.Difuzijsko aproksimacijo moramo sedaj povezati z izmerjenimi kolicinami.

Resitev difuzijske enacbe za sinusoidni vzorec osvetlitve

Za nstavek za izvor, ki periodicno osvetljuje vzorec, vzamemo

q = q0(z) cos(kx+ ↵) (17)

kjer je z koordinata v smeri normale vzorca, q0 amplituda osvetlitve in ↵ faznizamik.

Ob predspostavki, da je nas vzorec medij z linearnim odzivom, tudi zahitrost fluence velja analogen izraz

� = �0(z) cos(2⇡fxx+ ↵), (18)

9

Slika 7: shema moduliranegasvetlobnega izvora in ustreznamodulirana hitrost fluence [4].

kjer je �0 amplituda osvetlitve.Ko enacbi (17) in (18) nesemo v difuzijsko enacbo (10), se lahko z malo

spretnosti (glej [4]) prebijemo do izraza

Rd(k) =3Aa0

⇣

µ0eff

µtr+ 1

⌘⇣

µ0eff

µtr+ 3A

⌘

, (19)

a

0 =µs(1� g)

µtr,

A =1�Reff

2(1 +Reff ), Reff ⇡ 0.0636 n+ 0.668 +

0.710

n

� 1.440

n

2,

µ

0eff = (µ2

eff + k

2)1/2, µeff = (3µaµtr)1/2

, µtr = µa + µs(1� g),

kjer je Reff efektivni koeficient difuznega odboja in n lomni kolicnik tkiva. Po-ljubna osvetlitev je linearna superpozicija sinusoidnih funkcij, zato resevanjeza poljubni primer ni veliko zahtevnejse. Z vsako meritvijo Rd torej dobimorazmerje med absorpcijskim koeficientom µa in sipalnim koeficientom µs. Zvec meritvami (razlicnimi k) dobimo tocne kvantitativne vrednosti obeh koe-ficientov. Vrednosti koeficientov se spreminjajo z valovno dolzino, kar lahkouporabimo v svoj prid. Poznamo modele, ki dobro opisejo potek opticnihkoeficientov glede na valovno dolzino. Izmerjena koeficienta zato dodatno sta-biliziramo s prilagajanjem na modele. Celoten postopek obdelave podatkovvidimo na sliki 8.

Globinska locljivost SPMS

Ena od zanimivih lastnosti SPMS je globinska locljivost. Iz simulacij vidimo,da se osvetlitev z visjo prostorsko frekvenco atenuira mocneje kot tista z nizjo,zato lahko s spreminjanjem frekvenabc dosezemo globinsko selektivnost (slika9).

10

Slika 8: shema obdelave podatkov pri SPMS. (a) Podatki o intenziteti pri vsakiod treh prostorskih frekvenc (pri vsaki smo zajeli podatke pri treh razlicnihprostorskih fazah) so (b) demodulirani, kalibrirani in (c) prilagojeni na mo-del z enacbami 15, 16 in 19. Podatki so obdelani za vsak piksel posebej.Natancnost dodatno izboljsamo z meritvami pri vecih valovnih dolzinah [7].

4 Zakljucek

V prvem delu seminarja sem opisal, kako lahko z nekaj truda zapisemo poeno-stavljene enacbe, ki se vedno dobro veljajo za v svojem bistvu zelo zapleteneprobleme. V drugem delu seminarja sem se osredotocil na tehniko SPMS, kije stara sele dobri dve desetletji. Kljub temu je ze dostopna v komercialnihnapravah za koncnega uporabnika (slika 4). Celotno polje ima se vedno velikomoznosti za razvoj, ki lahko na koncu pripelje do izboljsanja kvalitete zivljenjapacientov.

Literatura

[1] Welch. (2011). Optical-Thermal Response of Laser-Irradiated Tissue. Do-rdrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-90-481-8831-4

[2] Peng, Q., et. al (2008). Lasers in medicine. Reports on Progress in Physics,71(5), 056701. doi:10.1088/0034-4885/71/5/056701

[3] T. Spott: Characterization of layered tissue structures with di↵usely pro-pagating photon-density waves (Doctoral Thesis, Norwegian University ofScience and Technology, 1999).

11

Slika 9: graficni prikaz sirjenjamodulirane svetlobe v globinotkiva. Vzorci z manjso prostor-sko frekvenco prodrejo globlje vtkivo [4].

Slika 10: fotografija napravein uporabniskega vmesnikaza SPMS podjetja ModulatedImaging [8].

[4] Cuccia, et al. (2009). Quantitation and mapping of tissue optical propertiesusing modulated imaging. Journal of Biomedical Optics, 14(2), 024012.doi:10.1117/1.3088140

[5] Boreman. MTF in Electro-Optical Systems. In Modulation Transfer Func-tion in Optical and Electro-Optical Systems. Bellingham, USA: SPIE.doi:10.1117/3.419857.ch2

[6] Neil, et al. (1997). Method of obtaining optical sectioning by using struc-tured light in a conventional microscope. Optics Letters, 22(24), 1905.doi:10.1364/OL.22.001905

[7] Konecky, et al. (2009). Quantitative optical tomography of sub-surfaceheterogeneities using spatially modulated structured light. Optics Express,17(17), 14780–90. doi:10.1364/OE.17.014780

[8] http://modulatedimaging.com/applications/aesthetic/skin-assessment/,dostop 24.10.2014.

12