Sliade Relasi
23
Home Page Title Page Contents JJ II J I Page 1 of 25 Go Back Full Screen Close Quit 1
-
Upload
rosyadiadnan -
Category
Documents
-
view
57 -
download
3
description
sddad
Transcript of Sliade Relasi
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 1 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 1 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Himpunan Bilangan dan Fungsi
October 5, 2011
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 1 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
CONTENTS
1 Himpunan Bilangan 31.1 Himpunan Bilangan Asli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Himpuan Bilangan Cacah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Himpuan Bilangan Bulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Himpuan Bilangan Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Perkembangan perhitungan π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Perkalian Kartesius, Relasi dan Fungsi 152.1 Perkalian Kartesius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Sifat-sifat Relasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Jenis-Jenis Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 2 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 1
HIMPUNAN BILANGAN
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun penggunaannya tidakbisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak dini. Untuk menggambarkan bilangan,kita menggunakan lambang bilangan (angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung danmatematka umumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan Hindu-Arab yang terdiri atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk menunjukkan tingkatandan urutan ada lambang bilagan lain yang disebut lambang bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v...). Pada subbab ini akan dibahas beberapa himpunan bilangan yang penting.
1.1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan ini merupakanbilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin menghitung banyaknya sesuatu
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 3 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
yang ada di sekuitar kita.
Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, · · · }
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah penjumlahan dan perkaliandengan beberapa sifat berikut:
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
∀x, y ∈ N, x+ y ∈ N∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N)
Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik penjumlahan dan perkalian,yaitu:
∀x, y ∈ N x+ y = y + x
x.y = y.x
∀x, y, z ∈ N x+ (y + z) = (x+ y) + z
x.(y.z) = (x.y).z
Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan.
∀x, y, z ∈ N (x+ y)z = xz + yz
Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas penjumla-han.
∃1, 3 ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
tetapi6 ∃ e ∈ N, 3 ∀x ∈ N x+ e = e+ x = x
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 4 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut:
1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun perkalian.
∀x(6= 1) ∈ N, 6 ∃x′ ∈ N, 3 x.x′ = 1
2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
∃x, y ∈ N 3 (x− y) 6∈ N dan
∃x, y ∈ N 3 (x/y) 6∈ N
Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan komposit. Bilanganprima1 adalah bilangan yang hanya dapat dibagi bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1tidak termasuk bilangan prima. Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit.Jadi
1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 · · · }
2. Himpunan bilangan Komposit = N/P
Definisi 1.1.1. Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k∗ adalah bilangan asli berikutnyasetelah bilagan asli k. Jadi k∗ = k + 1.
Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut Postulat Peanoyang mengatakan bahwa Untuk S ⊆ N , berlaku[
(1 ∈ N) ∧ (∀ k ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)]⇒ (S = N) (1.1)
1Teori tentang himpunan bilangan prima dapat dilihat pada beberapa sumber diantaranya Courant &Robbins [?, hal 21-31]
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 5 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Persamaan ( pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dariN , berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S maka pengurutnya (k∗) juga pada S, makaS adalah himpunan seluruh bilangan asli.
[(n1 ∈ N) ∧ (∀ (k > n1) ∈ S ⇒ k∗ ∈ S)
]⇒ (S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · }) (1.2)
Persamaan ( pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu himpunan bagian S dariN , berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada S maka pengurutnya (k∗) juga padaS, maka S adalah himpunan bilangan asli mulai dari n1, yaitu S = {n1, n1 +1, n1 +2, · · · }.
Postulat Peano di atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksimatematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang dapat dirumuskan sebagaiberikut: [(
P (1))∧(∀ k, P (k)⇒ P (k∗)
)]⇒(P (n),∀n ∈ N
)(1.3)
Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan himpunan bilan-gan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak terhitung.
Definisi 1.1.2. Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit, jikahimpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian atau seluruh himpunan bilanganAsli. Jika tidak demikian maka himpunan dikatakan himpunan takterhitung yang meru-pakan himpunan kontinu.
Contoh 1.1.1. H = {1, 3, 5, · · · },Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan bulat adalahtermasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan H = {x|1 < x < 2, x ∈ <}, himpunanbilangann Rasional, himpunan bilangan Riil adalah himpunan tak terhitung.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 6 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1.2. Himpuan Bilangan Cacah
Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak mempunyai identitas pen-jumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli digabung dengan 0 sebagai unsur identitaspenjumlahan, maka terbentuklah himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacahdisebut juga himpunan bilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan untukmementukan kardinal suatu himpunan. Kardinal himpunan ∅ adalah 0. Jadi bilangancacah atau bilangan kardinal mulai dari 0.
Himpunan bilangan Cacah(C) =(N ∪ {0}
)= {0, 1, 2, · · · }
Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga berlaku pada him-punan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku pada himpunanbilangan asli(identitas penjumlahan, berlaku pada himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacahmeskipun memiliki identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers pen-jumlahan maupun invers perkalian.
Sifat 5 Identitas Penjumlahan
∃ 0 ∈ C, 3 ∀c ∈ C, 0 + c = c+ 0 = c
Tetapi∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c+ c′ = 0
1.3. Himpuan Bilangan Bulat
Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse penjumlahannya,maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z.
Z = C ∪ {−1,−2, · · · } = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · }
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 7 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan, tetapi bukaninvers perkalian.
Sifat 6 Invers Penjumlahan.
∀ c ∈ C, ∃ c′ ∈ C 3 c+ c′ = 0
Tetapi,
∀ c(6= 0) ∈ C, 6 ∃ c′ ∈ C 3 c.c′ = 1
1.4. Himpuan Bilangan Rasional
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers perkaliannya, makaterbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q. Disamping itu bilangan rasional juga ter-tutup terhadap penjumlahan dan perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsurlainnya). Secara umum bilangan rasional didefinisika seperti pada definisi berikut ini.
Definisi 1.4.1. Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuka/b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q dapat dinyatakan sebagai pecahan desimalberhingga atau pecahan desimal takhingga tapi berulang.
Contoh 1.4.1. 1/5 = 0, 20 dan 1/3 = 0, 33333... = 0, 33 adalah bilangan-bilangan rasional
Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers penjumlahan,maupun invers perkalian.
Sifat 7 Invers Perkalian∀x ∈ Q, ∃x′ ∈ Q 3 x+ x′ = 0 dan
∀x(6= 0) ∈ C, ∃x′ ∈ Q 3 c.c′ = 1
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 8 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1.5. Himpunan Bilangan Irasional dan Himpunan Bilangan Riil
N C Z Q
U=R
Gambar 1.1: Diagram Venn mengilustrasikan himpunan Bilangan Riil
Dalam himpunan bilangan rasional persamaan xn = y untuk n ≥ 2 tidak memilikipenyelesaian. Pernyataan ini ekuivalen dengan pernyataan bahwa tidak ada bilangan ra-sional x sedemikian sehingga xn = 2. Dengan kata lain, n
√2 bukan bilangan rasional.
Bilangan-bilangan yang tidak rasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan seba-gai rasio dua bilangan bulat (a/b), disebut bilangan irasional. Bilangan rasional selainmerupaka bilangan akar ( n
√a) juga termasuk didalamnya adalah bilangan yang dinyatakan
dalam bentuk pecahan desimal takhingga tapi tak berulang. Ada dua bilangan irasionalyang sangat penting yaitu bilangan Euler e yang diperkenalkan Euler tahun 1748 dan bi-
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 9 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
langan Archimedes π. Bilangan e didefinisikan sebagai
e =
∞∑n=0
1
n= 1 +
1
1!+
1
2!+
1
3!+ · · ·
dan pendekatan π diberikann oleh banyak matematisi diantaranya adalah John Wallis den-gan rumus
π
2=
∞∏n=1
(2n
2n+ 1
2n
2n− 1
)(Courant & Robbins [?]) Gabungan antara himpunan bilangan Rasional dan himpunanbilangan Irasional disebut bilagan Riil R. Secara diagram struktur Himpunan Bilangandapat digambarkan pada Gambar
Sifat-sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan dapat dirangkum seperti pada Tabelberikut.
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 10 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
No Sifat-sifat Operasi Himpunan BilanganN C Z Q <
1 Identitas Penjumlahan (0), 0 + a = a+0 = a
× X X X X
2 Identitas Perkalian(1), 1a = a1 = a X X X X X3 Kumutatif Penjumlahan a+ b = b+ a X X X X X4 Kumutatif Perkalian ab = ba X X X X X5 Asosiatif Penjumlahan (a+b)+c = a+
(b+ c)X X X X X
6 Asosiatif Perkalian (ab)c = a(bc) X X X X X7 Invers Penjumlahan a+ (−a) = 0 × × X X X8 Invers Perkalian a(1/a) = 1 × × X X X9 Distributif Perkalian terhadap Penjum-
lahan a(b+ c) = ab+ acX X X X X
10 Tertutup terhadap Operasi Invers Pen-jumlahan a+ (−b) = c
× × X X X
11 Tertutup terhadap Operasi InversPerkalian a(1/b) = c
× × × X X
12 Tertutup terhadap Operasi ab = c × × × × X
1.6. Perkembangan perhitungan π
Sejak zaman dahulu diketahui bahwa rasio luas lingkaran terhadap kuadrat jaraknya danrasio keliling lingkaran dengan diameternya adalah konstan. Namun, pada awalnya belumdiketahui bahwa kedua konstanta tersebut adalah sama. Buku-buku kuno menggunakankonstanta yang berbeda untuk kedua rasio tersebut.
Perhitungan π menarik perhatian sejak zaman sebelum masehi (sekuitar 1650 SM, diMesir Kuno digunakan pendekatan π = 3, 16.). Kalkulasi teoritis sepertinya dimulai oleh
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 11 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Riil
Irasional Rasional Q
Pecah Bulat Z
Cacah C Bulat Neg
Asli N 0
Gambar 1.2: Diagram struktur mengilustrasikan pembagian himpunan Bilangan Riil
Archimedes (287-212 SM) yang mendapatkan pendekatan
223/71 < π < 22/7.
Sejak itu sampai sekarang banyak sekali para matematisi yang melakukan perhitungan baiksecara analitik maupun dengan menggunakan komputer. Pada zaman modern sekarangakurasi perhitungan π sempat dijadikan salah satu tes untuk mengukur kecanggihan kom-puter maupun suatu algorithma. Beberapa hasil perhitungan π diberiikan pada Tabel
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 12 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel 1.1: Perhitungan π secara analitikMatematisi Waktu Desimal NilaiRhind papyrus 2000 SM 1 3.16045 (= 4(8/9)2)Archimedes 250 SM 3 3.1418Aryabhata 499 4 3.1416 (= 62832/2000)
Brahmagupta 640 1 3.1622 (=√
10)Fibonacci 1220 3 3.141818Madhava 1400 11 3.14159265359Newton 1665 16 3.1415926535897932Rutherford 1824 208 hanya 152 benarShanks 1874 707 hanya 527 benar
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 13 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Tabel 1.2: Perhitungan π dengan mesinMatematisi Waktu Desimal Mesin
Ferguson 1947 710 KalkulatorFerguson, Wrench 1947 808 KalkulatorSmith, Wrench 1949 1120 KalkulatorReitwiesner dkk. 1949 2037 ENIACNicholson, Jeenel 1954 3092 NORACFelton 1957 7480 PEGASUSGenuys 1958 10000 IBM 704Felton 1958 10021 PEGASUSGuilloud 1959 16167 IBM 704Shanks, Wrench 1961 100265 IBM 7090Guilloud, Filliatre 1966 250000 IBM 7030Guilloud, Dichampt 1967 500000 CDC 6600Guilloud, Bouyer 1973 1001250 CDC 7600Miyoshi, Kanada 1981 2000036 FACOM M-200Guilloud 1982 2000050Kanada, Yoshino, Tamura 1982 16777206 HITACHI M-280HUshiro, Kanada 1983 10013395 HITACHI S-810/20Gosper 1985 17526200 SYMBOLICS 3670Bailey 1986 29360111 CRAY-2Kanada, Tamura, Kubo 1987 134217700 NEC SX-2Kanada, Tamura 1988 201326551 HITACHI S-820/80Chudnovskys 1989 525229270Kanada, Tamura 1989 536870898Chudnovskys 1989 1011196691Kanada, Tamura 1989 1073741799Chudnovskys 1994 4044000000Kanada, Tamura 1995 3221225466Kanada 1995 6442450938Kanada, Takahashi 1999 206158430000 HITACHI SR8000
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 14 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
BAB 2
PERKALIAN KARTESIUS, RELASI DAN FUNGSI
Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada juga operasi himpunanyang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian kartesius.
2.1. Perkalian Kartesius
Definisi 2.1.1 (Operasi Perkalian). Perkalian (atau disebut juga perkalian kartesius) duabuah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua pasangan berurut unsur per-tamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur keduanya berasal dari himpunan pengali.
A×B = {(x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B}
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 15 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 2.1.1. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {4, 5} maka
1. A×B = {(1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4), (5, 5)}
2. B ×A = {(4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, dapatjuga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar
A
B
0 2 4 6
02
46
Gambar 2.1: Diagram katesius mengilustrasikan A×B
Teorema 2.1.1. Untuk sembarang A dan B, secara umum berlaku:
1. A×B 6= B ×A
2. A×B ≡ B ×A
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 16 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. (A×B) = (B ×A)⇔ A = B
Definisi 2.1.2.A×A = A2 = {(a1, a2)|a1, a2 ∈ A} (2.1a)
A×A× . . .×A︸ ︷︷ ︸n
= An = {(a1, a2, . . . , an)|ai ∈ A, i = 1, 2, . . . , n} (2.1b)
2.2. Relasi
Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian dari perkaliandua himpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan A ke B dinotasikan dengan RA×B atauR : A→ B. Ada tiga komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi R : A→ B yaitu:
1. Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domin, yaitu himpuan A yangyang akan dihubungkan dengan suatu himpunan lain.
2. Adanya daerah kawan yang disebut kodomin, yaitu himpunan B yang menjadi kawanhimpunan A.
3. Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal A dan himpunan kawan B.
A B Gambar 2.2: Diagram panah untukrelasi A ke B, atau ARB
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 17 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara diantaranya adalahdengan mengguakan diagram panah, himpunan pasangan berurut. Jika pasangan berurut(x, y) merupakan ang-gota dari R maka dinotasikan dengan (x, y) ∈ R, jika tidak makadinotasikan (x, y) 6∈ R.
Contoh 2.2.1. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan pengawanan
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), · · · }
atauR = {(x, y)|y ≤ x; x, y ∈ N}
Contoh 2.2.2. Misalkan R adalah relasi dari N ke N dengan aturan R(n) = 2n dapatdinyatakan dengan R = {(x, y)|y = 2x, x ∈ N}
Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan disebut daerahhasil/ range dari R. Pada contoh diatas daerah hasil HR adalah himpunan bilangan bulatpositif, yaitu HR = {2, 4, 6, · · · }.
2.3. Sifat-sifat Relasi
Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi beberapa jenisdiantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan kedirinya sendiri, kesimetrisanperkawanan. Berikut adalah definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinyasendiri.
Definisi 2.3.1. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika
∀x, (x, x) ∈ R
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 18 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 2.3.2. Relasi R dikatakan bersifat non-refleksif jika
∃x, (x, x) 6∈ R
Definisi 2.3.3. Relasi R dikatakan bersifat irrefleksif jika
∀x, (x, x) 6∈ R
Definisi 2.3.4. Relasi R dikatakan bersifat simetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
Definisi 2.3.5. Relasi R dikatakan bersifat non-simetrik jika
∃x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 2.3.6. Relasi R dikatakan bersifat asimetrik jika
∀x, y (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) 6∈ R
Definisi 2.3.7. Relasi R dikatakan bersifat transitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) ∈ R
Definisi 2.3.8. Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif disebut relasiekuivalensi.
Contoh 2.3.1. Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi refleksif.
1. Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil.
∀x, x = x yaitu (xRx)
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 19 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0.
∀x, x faktor dari x yaitu (xRx)
4. Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri.
Contoh 2.3.2. Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif.
1. Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapat dibagi 0)
2. Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri.
Contoh 2.3.3. Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif.
1. Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yang tidak samadengan dirinya sendiri.
2. Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yag kurang daridirinya sendiri.
3. Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih gemuk daridirinya sendiri.
4. Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih cantik dari dirinyasendiri.
Contoh 2.3.4. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik.
1. Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
2. Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
3. Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 20 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Contoh 2.3.5. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik.
i Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi mencintai pada himpunan manusia
Contoh 2.3.6. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Contoh 2.3.7. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif.
i Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia
iii Relasi lebih tua pada himpunan manusia
Definisi 2.3.9. Relasi R dikatakan bersifat non-transitif jika
∃x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
Contoh 2.3.8. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif.
i Relasi berpotongan pada himpunan.
ii Relasi mengenal pada himpunan manusia
Home Page
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 21 of 25
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definisi 2.3.10. Relasi R dikatakan bersifat intransitif jika
∀x, y, z[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R
]⇒ (x, z) 6∈ R
Gambar 2.3: Diagram panah mengilustrasikan relasi A ke A
Secara grafik, dalam bentuk diagram panah, beberapa jenis relasi dari A ke A digam-barkan dalam Gambar
Contoh 2.3.9. Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi.
i Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
ii Relasi kongruensi pada himbunan segitiga.
iii Relasi kesejajaran pada himbunan garis.
iv Relasi sama tinggi pada himpunan manusia.
v Relasi sama berat pada himpunan manusia.
