sistemasxf%20diedrico.docx

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La geometríadescriptiva tiene comofundamento la

representación de un objde tres dimensiones sobsoportes que solo tienendos, es decir supercies

planas.

Esta forma deexpresión se utilizada e

mundo de la técnica,industria, arquitectura,topografía, etc.

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

REPRESENTAR LAS TRES DIMENSIONES DE UNSOBRE UNA SUPERFICIE

ZACIÓNUTILI

EN EL MUNDO DE LA TECNICA E INDUSTRIA PARAO PROYECTAR MECANISMOS, EDIFICIOS, TERRENOS,


1. GENERALIDADES !"NDA#EN$% DEL SIS$E#A.AL!A&E$% DEL P"N$%.

En el sistema diédrico o de Monge, se debe al matemático y físicofrancés Gaspar Monge. Este científico es considerado como el Padre del aGeometría Descriptiva. Nació en Beauné en 1!", y murió en #aris en 1$1$.

%os distintos sistemas de representación se describen en el cuadro

siguiente.


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1.1. (%N)EN(I%NALIS#%S "$ILI*AD%S.

En el sistema diédrico inter&ienen dos planos, el plano 'ori(ontal y

&ertical.

)igura 1. Estos di&iden al espacio en cuatro regiones, llamadas octantes o

diedros. *e numeran en sentido contrario a las agu+as del relo+.

%a recta intersección de ambos planos, determinan la línea de tierra.

*e representa por dos tra(os más gruesos en sus etremos.

El plano 'ori(ontal lo di&idiéremos en dos partes, +ori,on-al an-erior ( PHA), si se encuentra a la derec'a de l línea de tierra, y +ori,on-alo/-erior (PHP) si se encuentra a la i(-uierda.

e igual forma el &ertical se di&ide en er-ical /uerior (PVS), si seencuentra por encima de la línea de tierra, y er-ical inerior (PVI) si seencuentra por deba+o del a misma,

%os planos se abaten de forma -ue el plano &ertical superior y el

'ori(ontal posterior sean coincidentes, al igual -ue el plano 'ori(ontal

anterior y el &ertical inferior


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!"

#$

!

#%

"

"&

"'

"'

a

c

#$ !

#% !"

"'

"&

c

a

(igura )


/l abatir los planos se abaten los puntos contenidos en los mismos,

de tal forma -ue la proyección &ertical de punto A0 -ueda por encima de la

línea de tierra, y la 'ori(ontal A’ por deba+o de ella.

%os puntos se representarán por letras maysculas. Empleando parala proyección 'ori(ontal la misma letra acompa2ada de un comilla 3p. e.

A’), y para la proyección 'ori(ontal y dos comillas A” , para la &ertical.

)igura 1.

*e llama cota, a la distancia del punto al plano 'ori(ontal. El

ale+amiento será la distancia del punto al &ertical.

%os puntos -ue están situados por encima del plano 'ori(ontal, /uco-a e/ o/i-ia. *i se encuentra por deba+o será nega-ia.

%os puntos a la derec'a del plano &ertical, el ale4amien-o e/o/i-io. / la i(-uierda nega-io. )igura 1.

El perfil X será un punto de referencia para situar el punto O . / la

derec'a será positi&o y a la i(-uierda negati&o

#lanos bisectores serán a-uellos -ue di&iden al espacio en oc'o

regiones llamadas oc-an-e/. Estos se numeran del 1 al $, en sentidocontrario a las agu+as del relo+. )igura 4.

.


5/51

!"

#$

!

*+. -*+. /

*+. 0

*+. 1

*+. 2 *+. 3

*+. 4

)er.

5isector-do

. 5isector

5

56

57

+ +7

a

c

+6

#%

!" !

#$

"

"6

"7

(igura /

57

56

"7

"6

+6

#$

#%

a

c

!

!"

+7


1.2. P"N$%SSI$"AD% EN L%S("ADRAN$ES. )igura 5 y!.

#unto A, situado en

el primer cuadrante primer

octante. 6ota positi&a.

/le+amiento positi&o. %

acota será menor -ue el

ale+amiento.

#unto B situado en el

plano bisector.

6ota igual al ale+amiento, ambos positi&os

#unto C situado en el primer cuadrante segundo octante. 6ota y

ale+amiento positi&os. % acota será mayor -ue el ale+amiento.)igura 4

6omo puede obser&arse al abatir los

planos, la proyección segunda de los

puntos -ueda por encima de la línea de

tierra y la primera por deba+o. En

consecuencia los puntos situados en el

primer cuadrante su cota siempre estará

por encima de la línea de tierra y elale+amiento por deba+o, y ambos serán

positi&os.


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!

!"

87

86

E79E6(6

(7

:7

:6

!79!6

%7

%6

;7

;6


7/51

!"

#$

!

#%

) 5%$E+*=

-5%$E+*=

*+. -

*+./

*+. 0

*+. 1

*+. 2 *+. 3

*+. 4

>9>6

>79?7979@6

?9?7

96

@9@7

=9=69=7

(igura 1

#$ !

#% !"

>6

?76

@7

=69=7>7

?6 7

@6

#$ !

!" #% AB

B C

DB

A

C

"lejamiento BCFaG

"lejamiento CGaF

+

-

#$

#%

!" ! o

+otaH FAG

+ota FAG A

+otaH FAG

* D

(igura 2

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#unto R , situado en la línea de tierra. 7odas sus proyecciones se

encontraran en ella. No tiene ni cota ni ale+amiento.

1.3. SI$"A(I6N DE P"N$%S P%R #EDI% DE (%%RDENADAS. )ig. ".

#ara situar los puntos por sus coordenadas, se adopta el

siguiente con&enio8

;


8/51

(7

(6E6

E7

86

87

+I+7

J

56

"6

57

"7

(igura 3

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E4ercicio?

e acuerdo con el con&enio establecido

anteriormente. *ituar los siguientes puntos en

el sistema diédrico8 / 3 94:, 4;, ;


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#ara su denominación utili(aremos letras minsculas acompa2adas

de una o dos comillas, segn sea la proyección 'ori(ontal o &ertical. 3#or

e+emplo r’, r” na recta -ueda definida por sus tra(as. Eisten dos tra(as una

'ori(ontal y otra &ertical.

*e denomina tra(a al punto de intersección de la recta con los planos

de proyección.

7ra(a 'ori(ontal se representa por H , su proyección será por tanto H’

acompa2ada de la letra minscula correspondiente a la recta. #or e+emplo

H’r .

7ra(a &ertical se representa por V , su proyección &ertical será por

tanto V” acompa2ada de la letra minscula correspondiente a la recta. #or

e+emplo V”r .

6omo H y V siempre serán coincidentes con sus respecti&as

proyecciones H’ y V”, en lo sucesi&o solo emplearemos su proyecciones.

2.2. PR%E((I6N DE "NA RE($A %&LI("A DADA P%R D%SP"N$%S DE ELLA.

*e la recta r , dada por los puntos A y B. )igura $.

?allamos las proyecciones 'ori(ontal de los puntos A’ y B’ .

*eguidamente 'allamos la &ertical, A” y B” . la unión de ambas nos

determinará las proyecciones r’ y r” del a recta r .


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r'

r5

r

5&

r'

r&

5&

5'

"&

5'

(igura 4


2.'. PR%E((I6N DE "NA RE($A %&LI("A #EDIAN$E S"S $RA*AS.

*ea la recta r -ue corta a los planos de proyección en los puntos H ≡

H’r y V≡ V”r, tra(as de la misma. /l ser las tra(as de la recta puntos de la

misma, bastará con unir sus proyecciones 'omónimas para obtener las

proyecciones r’-r” . El resultado será el mismo -ue si 'ubiéramos proyectado

los puntos G y E , pertenecientes a la recta. )igura @.


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2.3. RE($A PARALELA AL PLAN% )ER$I(AL PRI#ER("ADRAN$E RE($A !R%N$AL.

7endrá una sola tra(a la 'ori(ontal H ≡ H’ , y su proyección 'ori(ontal

será paralela a la línea de tierra. %a &ertical formará un determinado ángulo

con el plano 'ori(ontal. )igura 1;.

#ara 'allar los puntos de intersección de la recta con los bisectores,

bastará con buscar en la recta un punto cuya cota sea igual al ale+amiento si

se encuentra en el primer o tercer bisector, o bien -ue ambas seancoincidentes si se encuentran en el segundo y cuarto.

%a recta será &isible si se encuentra en el primer bisector, en caso

contrario será oculta y se representará por líneas de tra(os.

%os referidos puntos se representarán por o ! primero y segundo

bisector respecti&amente.


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2.5. PR%E((I6N DE "NA RE($A PARALELA AL PLAN%%RI*%N$AL % RE($A %RI*%N$AL.

Estará contenida en un plano paralelo al 'ori(ontal. 6ortará nicamente alplano &ertical. 7endrá la tra(a &ertical paralela a la línea de tierra. El punto de cortede la recta con el segundo bisector tendrá la misma cota -ue ale+amiento. )igura11 a y b.

#ara 'allar el punto de corte con el primer bisector tra(aremos una

recta auiliar ", -ue formará el mismo ángulo con la línea de tierra -ue r’ . El

punto X’-X ” será el punto de corte con el primer bisector. )igura 11 b.

2.. RE($A PARALELA AL PLAN% )ER$I(AL SEG"ND%("ADRAN$E.

*erá igual -ue la anterior, pero no será &isible. El punto de

intersección con el bisector estará por encima de la línea de tierra. )igura14.


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2.:. RE($A PERPENDI("LAR AL PLAN% )ER$I(AL. RE($ADE P"N$A


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5'

5&

(igura )0


2.>. RE($A PERPENDI("LAR AL PLAN% %RI*%N$AL RE($A)ER$I(AL


15/51


2.1'. RE($A C / C PARALELA A LA LBNEA DE $IERRA.*us proyecciones serán coincidentes. No tiene ninguna tra(a. *erá

preciso fi+ar un punto cual-uiera de la recta. )igura 1" a y b.


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" "'

(igura )2 b

"7

"6

#79 #6!79 !6

;7

;6

p&

r'

r&

p'


2.13. RE($APERPENDI("LAR

A LA LBNEA DE$IERRA

(%R$ND%SE (%NELLA.

Es un caso

particular de las rectas

de perfil, todas las tra(as se encontrarán en la línea de tierra. #ara -ue

-uede definida será preciso situar un punto cual-uiera de ella. #unto A.

)igura 1$.

Estas rectas estarán contenidas en un plano perpendicular a la línea

de tierra. *us proyecciones son coincidentes en un mismo punto de la líneade tierra.

*i la recta estu&iera contenida en un plano bisector, recta $ ($’-$”),

sus proyecciones serian las mismas, con la sal&edad -ue cual-uier punto de

la recta p.e J , tendría la misma cota -ue ale+amiento.

2.15. RE($A PERPENDI("LAR A LA LBNEA DE $IERRA(R"*ND%SE (%N ELLA. RE($AS DE PER!IL.

%a recta #, estará contenida en un plano % , perpendicular a los

planos de proyección. *us tra(as estarán en una línea perpendicular a la

línea de tierra y sus proyecciones V’- H 0, serán coincidentes. )igura 1@.


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#6 !7

!6

#7

s7

s6

(igura )K

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2.15.1. $ER(ERA PR%E((I6N DE "NA RE($A DEPER!IL.

#ara definir una recta de perfil será preciso representar la terceraproyección de la misma. )igura 4;.

7a(amos un plano de perfil PP . Giramos la tra(a 'ori(ontal H’ r , 'asta

-ue ocupe la posición (H’ r ), -ue uniéndola con V” r , tendremos la tercera

proyección de la recta r”’ .


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56

57

"7 "76

576

r7

r6

-

)

(igura -)

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2.1. ALLAR LA $ER(ERA PR%E((I6N DE "NA RE($A "EPASA P%R LA LBNEA DE $IERRA.

*ea la recta r ( r’, r”) dada por los puntos A (A”, A’) ! B (B’, B”)

*us tra(as y proyecciones están confundidas en una misma rectaperpendicular a la línea de tierra. )igura 41.

1. Elegimos un plano

cual-uiera de

perfil & .

4. %le&amos la recta

a tercera

proyección,

obteniendo la recta

rF.


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'. AL!A&E$% DEL PLAN%

>n plano -ueda definido por8

a< os rectas -ue se cortan, o paralelas,

b< 7res puntos no alineados

c< >na recta y un punto.

d< %os casos anteriores se reducen a dos rectas incidentes.

>n plano se

representa por sus

tra(as.

*e llama tra(as de

un plano a la

intersección de

este con los planos

de proyección.

#ara surepresentación

emplearemos

letras griegas.

En la figura 41, se 'a representado un plano oblicuo a los de proyección. /

la tra(a &ertical la 'emos

'.1. PLAN% DE (AN$% ' % PERPENDI("LAR AL )ER$I(AL.

PR%E($AN$E )ER$I(AL.


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'.2. PLAN% %RI*%N$AL ' % PARALEL% AL %RI*%N$AL DEPR%E((I6N PRI#ER ("ADRAN$E.

7endrá una sola

tra(a, la &ertical ' , -ue será

paralela a la línea

de tierra, y estará

por encima de

ella.

.

*i el plano se encuentra en el cuarto cuadrante la tra(a será oculta .)igura 4!.

'.'. PLAN% !R%N$AL ' PARALEL% AL )ER$I(AL. )igura 4: a y b.

7endrá una sola tra(a -ue estará por deba+o de la línea de tierra, y será

paralela a la misma '*.

*i el plano se encuentra en el segundo cuadrante + *, será oculto y

estará por encima de la línea de tierra.


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)igura 4: b

'.3. PLAN% DE PER!IL %PERPENDI("LAR A LA LBNEA DE$IERRA.

*us tra(as *- estarán en una misma

perpendicular a la línea de tierra. )igura 4".

'.5. PLAN% % PARALEL% A LA LBNEA DE $IERRA.

*us tra(as % *-% serán paralelas a la línea de tierra. )igura 4a y b.

'.. PLAN% % "E PASA P%R LA LBNEA DE $IERRA

%as tra(as estarán

confundidas con línea de tierra.

#ara su definición será preciso

representar un punto cual-uieradel plano. #or e+emplo el punto

A(A’-A”). )igura 4$ a y b.

El plano % *-% se representará por las proyecciones del punto y dos

pe-ue2os tra(os a cada lado de la recta -ue une los puntos.


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'.:. DE$ER#INAR LAS $RA*AS DE "N PLAN% DAD% $RESP"N$%S DEL #IS#%.

3. SI$"A(I6N DE RE($AS S%&RE PLAN%S

>na recta pertenece a un plano cuando las tra(as 'omónimas de la

recta se corresponden con las del plano.


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M -

M )

#7

#&

!6

!'

m6

m7 !6

!7

#7

#6

r7

r6

M-

M ) (igura /J b


#or tanto, para situar una recta sobre un plano, bastará con -ue sus

tra(as se encuentren sobre las del mismo nombre del plano.

3.1. SI$"AR "NA RE($A %&LI("A " EN "N PLAN% %&LI("% '*.

Bastará con -ue las tra(as de la recta " ("’-"”) estén situadas

sobre las 'omónimas del plano. Es decir H’ debe estar en '* y V” en ' .

)igura 5; a.

En la figura 5; b, se representa una recta oblicua r (r’-r”), en un plano

oblicuo ' ('*-' ), situada en el segundo cuadrante. =bsér&ese -ue su tra(asestán por encima de la línea de tierra.

3.2. SI$"AR "NA RE($A r %RI*%N$AL EN "N PLAN% %&LI("% .

%a tra(a 'ori(ontal de la recta será paralela a la 'ori(ontal del plano y

la &ertical será paralela a la línea de tierra. Esta recta recibe el nombre de

rec-a +ori,on-al de lano. )igura 51.


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.4.6

!6

!7

#6

#7

s7

s6

N -

N) (igura /0

#7

#6!7

!6

O-

O)

n6 n7


3.3. DI&"AR "NA RE($A r PARALELA A LA LBNEA DE $IERRA EN

"N PLAN% %

3.5. SI$"AR "NA RE($A # %&LI("A EN "N PLAN% ' PARALEL% A LA LBNEA DE $IERRA. )igura 5!.

3.:.SI$"AR"NARE($A DE


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PARALELO A LALÍNEA DE TIERRA.

ara su representación,tendremos que dibujar la terc

proPección del planoα3 . (igura /r7

r6

O -

O)

O/"'&Qr'

(igura //

-

)


PER!IL EN "N PLAN% % PARALEL% A LA LBNEA DE $IERRA.)igura 5:.

)igura 5:

5. IN$ERSE((I6N DE PLAN%S

7raba+aremos en el espacio. 6onsideremos dos planos cual-uiera % y '.

)igura 5".

6ortemos estos

dos planos por otros doscual-uiera, y .

*eguidamente 'allamos laintersección de los planos%, ', de tal forma -uetendremos las rectas / % y/ ', rectas -ue determinanun punto A comn a lostres planos.

epetimos la operación con los planos %..', =bteniendo el punto B.


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%a unión de los puntos A y B, nos determinan la intersección de los planos%-'.

#ara facilitar esta operación en el plano se toman como planos auiliares - , los planos 'ori(ontal y &ertical del sistema.

5.1. IN$ERSE((I6N DE D%S PLAN%S %&LI("%S ("AL"IERA

%a intersección de las dos tra(as 'ori(ontales % * y '* darán un punto

de la intersección H0H’ . C la unión de las tra(as &erticales % y ' darán el

punto V0V”. )igura 5 a y b.

%a recta intersección de ambos planos será la recta HV1/

5.2. IN$ERSE((I6N DE D%S PLAN%S PARALEL%S A LA LBNEA

DE $IERRA.

*us tra(as serán paralelas a la línea de tierra. *e re-uiere de la

tercera proyección para resol&er el problema. )igura 5$ a y b.


27/51

O-

O)

N-

N)

%

O

N

i&

i'

R) (igura /4 b

R -

V

V!

"#$%&

"'

α&

α(


5.'. RE($A IN$ERSE((I6N DE "N PLAN% %&LI("% (%N %$R%

PARALEL% AL %RI*%N$AL

*ea el plano oblicuo % y el paralelo al 'ori(ontal + . )igura 5@ a y b.

%a recta intersección / de ambos planos tendrá la tra(a &ertical /”

paralela a la línea de tierra coincidiendo con la tra(a &ertical del plano + y

la 'ori(ontal /’ paralela a la tra(a 'ori(ontal del plano % *.

)igura 5@ a )igura 5@ b

5.3. I N$ERSE((I6N DE "N PLAN% PARALEL% A L. $. (%N%$R% "E PASA P%R LA L. $.

1. epresentaremos ambos planos en tercera proyección.

4. ?allamos el punto de intersección /”’ de ambos planos.


28/51

A#

B#

)( )&

"76"#'

"#

i'

)3α 3

α&

α(

* &

*( (igura 0J b


5. #asamos dic'o punto a primera y segunda proyección /’ 9 /”. )igura !; a

y b.

5.5. IN$ERSE((I6N DE D%S PLAN%S PR%E($AN$ES("AL"IERA

%a intersección será una recta /(/’-/”) perpendicular al plano 'ori(ontal.

)igura !1a y b.


29/51

i7

iS I !&

!7

O-

O)

N-

N) (igura 0)


5.. RE($A IN$ERSE((I6N DE L%S PLAN%S % ' ("AS$RA*AS SE (%R$AN !"ERA DEL DI&"%. 3)igura !4<

1. 7ra(amos un plano cual-uiera -ue corte a los dos dados, por e+emplo

un plano paralelo al &ertical de proyección .


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IN$ERSE((I6N DE $RES PLAN%S. 3 )igura !5


31/51

%

%7 i7

i6

r7

r6I%&

!6

!7

#7

#6

&.

(

T-

T)

La recta vendrU dada por sus proPecci-.

or Varemos pasa un plano proPectanvertical(-&. $eguidamente determinar

su intersección con/(-/& , puntoI-I.

0.(1. PUNTO INTERSECCIÓN DRECTA PARALELA A LA


5.>. P"N$% IN$ERSE((I6N DE RE($A PLAN%

%a intersección del plano % con la recta r se logrará de la forma siguiente8

1.9 *e 'ace contener a la recta r en un plano cual-uiera, plano '.

4. ?allamos la intersección de ' con % , I ' % . ic'a intersección cortará

a la recta en el punto I -ue será el punto buscado. )igura !!a y b.

En el plano operamos de la misma forma. 6omo plano auiliar

tomaremos uno -ue nos facilite la resolución de forma rápida, por e+emplo

uno de los proyectantes de dic'a recta ' (' *- ' ).

5.@. P"N$% IN$ERSE((I6N DE RE($A r PERPENDI("LAR AL%RI*%N$AL (%N "N PLAN% %&LI("% 5. 3)igura !:


32/51

O -

O

!6

!7

#7

#6

%6

%7

i7

i6

r7

r6

W/

W-

W)

-

-


1. >tili(amos un plano de perfil &

(& *-& .

4. ?acemos contener a la recta r

en un plano auiliar paralelo ala línea de tierra ( *- ). %a

nica condición es -ue pase

por el punto A.

1 5. ?allamos la intersección de

)igura !" ambos planos, recta / (/’-/”). El

punto I’-I” , será la solución.

. PARALELIS#% PERPENDI("LARIDAD

.1. $E%RE#A DE LAS $RESPERPENDI("LARES?

*i dos recta r y # son perpendiculares en

el espacio y una de ellas por e+emplo la # es)igura ! paralela a un plano % , sus proyecciones r’ y #’ también lo

serán.

.2. IN(IDEN(IA EN$RE RE($AS.

#ara -ue dos rectas r y # se

corten en el espacio, las

proyecciones 'omónimas del punto


33/51

(igura 04 b

%7

%6

r7 s7

r6 s6


34/51

$e traza por el punto-.B P , una recta

paralela a2 . La traza Vorizontal del pla

pasarU por P serU paralela aα(. (igura1).

6.6. PARALELISMO ENTRERECTA Y PLANO

N -

N )

#6s

s7

s6

#7s

!6s

!7s

7

6

v7

v6

!6v

!7v

O-

O)(ig ura 1)


6omo las tra(as del plano

son rectas del mismo,

bastará con -ue estas sean

paralelas.

.5. $RA*AR P%R "N P"N$% P "NPLAN% ' PARALEL% A %$R% DAD% % .

1. *e 'ace contener en el plano % una recta cual-uiera por e+emplo la recta/.

>na recta r es paralela a un plano % cuando este contiene a unarecta # paralela a la r dada. )igura :4a y b.

4 )igura :4 b D


35/51

r

s

O

(igura 1- as6

s7

r6

r7

!6s

!7s

O)

#'$

#&$

s6

s7

s7

7

6

r6

r7

s6

!6r

!7r #6r

#7r

!6s

!7s

O-

O)(igura 1/


.:. DE$ER#INAR LAS $RA*AS DEL PLAN% % "E(%N$ENIEND% A LA RE($A r SEA PARALEL% A %$RA RE($A #.

1. #or un

punto P

cual-uiera

de la rectar , tra(amos

una recta

paralela a

la dada #.

4. *eguidamente'allaremosel plano-uecontenga aambas

rectas.)igura :5.

.>. PERPENDI("LARIDAD EN$RE RE($A PLAN%.


36/51

r6

r7N-

N)(igura 10 b

.6.5 TRAZAR POR UNPUNTOA UNA RECTA,

PERPENDICULAR A UNPLANOα .

5astarU con trazar una rectaperpendicular a las trazas del plano

que pase el puntoA . (igura 11.p6

"7

"6

p7

(igura 11 O )

O -

s6

@7

@6

s7

m7

m6

#'

#&

(igura 12

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*i una recta r y un plano ' sonperpendiculares, lo serán a

todas las rectas contenidas en

el plano,

siendo latra(a del

mismo una

de ellas.

El plano proyectantes -ue contiene a la recta será

perpendicular a % y ' y por tanto la recta % '

y % serán)igura :! a perpendiculares.

#or todo lo anterior, para tra(ar una recta perpendicular a un plano, bastará

con -ue las tra(as de la recta y las del plano sean perpendiculares. )igura:! a y b.

.10. $RA*AR P%R "N P"N$% Q "N PLAN% ' PERPENDI("LAR A "NA RE($A #.

#or el punto Q tra(aremos una

recta 'ori(ontal de plano " ("’-"”),

perpendicular a #’ . )igura :".

%a tra(a del plano pasará por V” y será

perpendicular a "” .


37/51

m'

#'$

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O)

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O -

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r'

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(igura 13 bT )

s'I T- I i'

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.11. PERPENDI("LARIDAD EN$RE D%S RE($AS.

No eiste a simple &ista relación gráfica -ue nos permita &er la

perpendicularidad entre dos rectas, tal y como podemos apreciar en la figura

:b.

#or tanto nos limitaremos a tra(ar una

recta perpendicular a # -ue pase por un

punto cual-uiera P.

Elegimos un punto cual-uiera P (P’-

P”) y tra(amos un plano perpendicular

%(% *% ) a # (#’-#”). E+ercicio : a y b.

1. ?acemos contener a la recta # en

un plano proyectante &ertical 5 (5

*- 5 ).

4. ?allamos la intersección de los planos % y '. ecta /(/’-/”). El punto I’-

I”, será la intersección de la recta con el plano.

5. >niendo I’-I” con P’-P” , tendremos la recta r(r’-r”), perpendicular a#(#’-#”).


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:. DIS$AN(IAS

:.1. DIS$AN(IA EN$RE D%S P"N$%S

%a distancia entre dos puntos &iene dada por el &alor de la 'ipotenusa

8 9 de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la diferencia de cotas o


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ale+amientos de los puntos A (A’-A”) y B(B’-B” ) y la proyección de la recta A-B. )igura 5@ a y b.

:.2. #BNI#A DIS$AN(IA DE "N P"N$% A "N PLAN%. )igura :@a y b.

:. %a 'ipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la diferencia de

cotas entre el punto P y la intersección I será la &erdadera magnitud de la

distancia del punto al plano.

β4 ≡ α2

:.'. ALLAR LA #BNI#ADIS$AN(IA EN$RE ELP"N$% P (P’-P”). LA


40/51



41/51


y b.

#ara ello pre&iamentetra(aremos una recta 'ori(ontal

de plano "("’-"”).

:.3. ALLAR LA#BNI#A DIS$AN(IA

EN$RE L%SPLAN%S% '. )igura "1a y"1b,

*ean los planos % y '. #or

?allamos la intersección de

7


42/51


)igura "1 a

>. A&A$I#IEN$%S

ecimos -ue abatimos un plano sobre otro, cuando 'acemos superponer

el primeros sobre el segundo, 'aciendo girar alrededor de un e+e, llamado

c'arnela, -ue es la intersección de ambos. 6on los abatimientos se

pretende obtener &erdaderas magnitudes de rectas o figuras planas.

1.9 #ara abatir un punto P , situado en el plano % , abatimos dic'o plano

% -ue contiene al punto P , utili(ando como c'arnela la intersección de losplanos % y H. %ínea 23. )igura "4 a.

4.9 El radio de giro será la mínima distancia del punto a la

c'arnela, la cual se 'alla como 'ipotenusa del triángulo

rectángulo cuyos catetos son P’ M y P’ (P).

>na &e( &isto el proceso en el espacio, traba+aremos en el plano.


43/51


*ea el punto P ( P’-P”).

1.9 El primer paso será 'allar el radio de giro :. #or P’ , tra(amos una

perpendicular y una paralela a la tra(a 'ori(ontal % *, -ue la utili(amos comoc'arnela.

4. *obre la paralela, lle&amos el &alor de la cota del punto 4 .

5.9 ?aciendo centro en M y con radio :, tra(amos un arco 'asta -ue

corte a la perpendicular P’ en P9, punto abatido.

?emos reali(ado el abatimiento en el plano 'ori(ontal, podemos

repetir la operación en el &ertical, la nica diferencia será -ue uno de los

catetos será, en este caso, el ale+amiento en lugar de la cota. )igura "4 b.

>.1. A&A$I#IEN$% DE P"N$% RE($A $RA*A DEL PLAN%.

1.9 *ea una recta r(r’-r”). )igura !!.


44/51


49. Elegimos dos puntos

cual-uiera de la recta,

por e+emplo, los puntos P

y Q y los abatimos, casoanterior.

5.9 %a unión de P9 y Q9,

puntos abatidos será la

recta r9, abatida.

!.9 #ara abatir las tra(a

del plano, basta con

abatir dos puntos de la

misma. El punto O’-O ”

se encuentra abatido porser punto doble, por tanto

abatiremos nicamente

el punto *’-*” .

:.9 %a &erdadera

magnitud de la recta también puede obtenerse abatiendo las tra(as de la

misma. ’-” . %a tra(a ;’ por encontrarse en la c'arnela -ueda batida en si

mismo.

>.2. A&A$I#IEN$% DE "NA !IG"RA ("AL"IERA

1.9 #artimos de un pentágono irregular, de &értices *’, ’, ;’,


45/51


5.9 #ara 'allar

la &erdadera

magnitud de

la figura,

utili(aremoscomo

c'arnela la

tra(a % *.

/batimos el la

tra(a &ertical

% del plano.

!.9

*eguidamente abatimos las rectas 'ori(ontales de plano -ue pasan por los

&értices del pentágono.

!.9 *eguidamente abatimos las rectas 'ori(ontales de plano -ue pasan por

los &értices del pentágono.

!.9 *eguidamente abatimos las rectas 'ori(ontales de plano

-ue pasan por los &értices del pentágono.

>.'. DADA "NA !%R#AP%LIG%NAL A9, B9, C9,

D9 DE$ER#INAR S"PR%E((I6N%RI*%N$AL )ER$I(AL "$ILI*AND%

(%#% (ARNELA LA $RA*A %RI*%N$AL DEL PLAN%.


46/51

+6

86E6

"6

E757

87 +7

8o

Eo

"o

5o

+o

"7

56

O I cV

(igura 21

"7

a

a6

"7-

#6

c

c

(ig ura 22b


1. ?allaremos la tra(a &ertical

del plano % .

4.9 El punto A por encontrarse

en la c'arnela es un punto

doble, por lo tanto A9 ≡A’ .

5. Mediante 'ori(ontales de plano

'allaremos el resto de los puntos.

@. (A#&I%S DE PLAN%

%os cambios de plano tienen como ob+eti&o permaneciendo fi+a la

posición de la figura en el espacio &ariar uno de los planos de proyección de

forma -ue este se colo-ue en una posición adecuada -ue nos facilite la

representación del ob+eto.


47/51

#7

#6

"7

"6

a

a

"6) #6)

!6

r7

r6

r&)

(igura 23


6uando &arían los

planos, cambia la posición

de la línea de tierra. Esta

nue&a línea de tierra serepresenta por dos tra(os

gruesos. )igura "" a y b.

El punto A” cambia de posición conser&ando el &alor de la cota 4. El

punto A’ permanece fi+o, &ariando el &alor del ale+amiento 2. )igura ! a y

b.

/

@.1. (A#&I% DE "NA RE($A %&LI("A A PARALELA AL%RI*%N$AL.< %RI*%N$AL DE PLAN%=

Elegimos una

nue&a línea

de tierra

paralela a la

tra(a &ertical

del plano ya

-ue la

proyección

&ertical de la

recta será

paralela a laL.> . #ara ello

cambiamos el

plano

'ori(ontal.


48/51

Elegimos una nueva línea de).Btierra.

razamos por el punto-.B N, crucede las dos líneas de tierra, las rperpendiculares a cada una de

/.B Llevamos sobre la perpendicla nueva línea de tierra el valor

cota 7 de puntoN. (igura 24.

?& )

#

O&-O -

O)

?&

?'

c

?' )

c

(igura 24


6ambiamos dos de los puntos de la recta, por e+emplo una de sus tra(as V y

un punto cual-uiera A. )igura ".

@.2. (A#&I% DE LAS $RA*AS DE "N PLAN% %&LI("% ("AL"IERA.

@.'. (A#&I% DE LAS $RA*AS DE "N PLAN% %&LI("% A PLAN%PR%E($AN$E )ER$I(AL.

Elegiremos la nue&a línea de tierra perpendicular a la tra(a 'ori(ontal % *.

)igura "@.

El resto del e+ercicio es similar al anterior.

@.3. (A#&I% DE LAS $RA*AS DE "N PLAN% %&LI("% A PLAN%

PR%E($AN$E %RI*%N$AL.


49/51

?&

?'

?' )

#6

O -

O)

?&)

O&-

(igura 2K

>7

>6>6)

O-

O)O&)

!6

(igura 3J

e

e7

"7)"7

"6 ")

a7

a(igura 2) b


En este caso la nue&a línea de tierra será

perpendicular a la tra(a &ertical. )igura ;.

10. GIR%S

10.1. GIR% DE"N P"N$%

%os giros son

otro de los

procedimiento para

obtener

proyecciones en

&erdadera magnitud.


50/51

"7

"

X)-456

57

e7

e6

r7

r6

r )

rY)

56)

57)

(igura 2-


%os resultados son los mismos -ue con los cambios de planos, pero en este

caso los planos de proyección permanecen fi+os y son los puntos los -ue

cambian de posición.

10.2. GIR% DE "NA RE($A %&LI("A A %$RA P%SI(I6N DE%&LI("IDAD.

El giro de una recta, se limita al giro de dos puntos de la misma.

/mbos puntos deben girarse en el mismo *entido y con el mismo ángulo.

El e+e de giro puede adoptarse cru(ándose con la recta o

cortándola. En nuestro caso adoptaremos un e+e de giro ?’-?” ,-uecorte a la recta r’-r” , y sea perpendicular al plano 'ori(ontal.

10.'. GIR% DE "NA RE($A %&LI("A A PARALELA AL )ER$I(AL.


51/51

Ztilizaremos un eje de giro perpend

al plano Vorizontal898-8: P que corte ala recta en el puntoB 9 B-B:.

) . :iramos el puntoA , el valor del Ungpreciso para dejarla paralela a la lí

tierra. *cupando la posiciónA(.

- . orA , trazamos una recta paralela L..

. El punto/ B 9 B-B: , estU abatido en mismo.

e7

e6 "6

"7

r7

r6

r7)

r6)

"6)

"7)

5'

5& (igura 2/


11. PIR#IDE. REPRESEN$A(I6N DESARR%LL%.

%a pirámide está generada por una recta, -ue sea poya en un punto fi+o,

llamado &értice, y se despla(a por una superficie poligonal.

*i dic'a superficie es un polígono regular y el &értice se sita en el centro

*i el polígono de la base es irregular o la altura de la pirámide no se sita en el centro del

mismo, será irregular.

11.1. Dada la irámide rec-a de Ja/e +eKagonal ao8ada en el lano +ori,on-al.de-erminar :

1 La ro8eccin er-ical.

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