UNIDAD 6 OBLIGACIONES Y CONTRATOS Profesora: Dra. Nélida ...
Sistemas Lineales Análisis de error Prof.: Dra. Nélida Beatriz Brignole.
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Sistemas LinealesSistemas Lineales
Análisis de error
Prof.: Dra. Nélida Beatriz Brignole
ErroresErrores
Errores de redondeoErrores en los valores de A y b Incertidumbre en la solución
calculada x
ResiduoResiduo
*
1
1*
*
)( demedida es )(
0)(
)(
xxxexr
bAxxr
Axbxr
bAxe
bAx
Sistema mal condicionadoSistema mal condicionado
01868832.01868832.0det
8648.02969.1
2161.01441.00
8642.08648.02969.1
2
2
10
10
4870.0
9911.0
1440.0
8642.0
1441.02161.0
8648.02969.1
1440999923.0
*8
8
A
X
grande e pequeño r
x :es V.V. el embargo sinr
xbA
Relación entre residuo y errorRelación entre residuo y error
)()()(
)()(
)()(
)()(
11
1
*
*
*
xrAxrAxe
xrAxe
xrxeA
xrxxA
bAxAxAx
bAx
Relación entre residuo y errorRelación entre residuo y error
b
xrAKxrA
b
A
x
xrA
x
xe
b
A
xxAbAx
x
xrA
x
xe
xrAxe
)()()(
)()(
1
)()(
)()(
1
*
1
*
***
*
1
*
1
Número de condiciónNúmero de condición
ini
ini
ini
ini
ini
ini
Ay A
AAAK
porque mín
AK
AAAA
AA
AA porque AAAAAK
AK
IIAAAAAK
1
1
1
11
1
1
1
11
11
11
11
min
1)(max)(
min
1max)()()(
max)(
)()(
)(
)()()()(
1)(
1)()(
Cotas de errorCotas de error
b
bAA
x
b
A
AA
x
bA
x
bA
x
x
bAx
bAx
bxA
bbxxA
AK
)(
1
*
1
*
1
*
1
*
1
1
*
cia)(consisten
)(
Cotas de errorCotas de error
A
AAK
xx
x
A
AAAAA
xx
x
xxAAxxAAx
xxAAx
xxAxA
xAAxxA
bxxAA
)(
)(
)(
0)(
0
))((
*
11
*
*1
*1
*1
*
*
*
Resolución de Sistemas LinealesResolución de Sistemas Lineales
Métodos directos:
Refinamiento iterativo
Refinamiento iterativoRefinamiento iterativo
rxA
xxAxAAxr
xAbr
)(
Algoritmo: Refinamiento IterativoAlgoritmo: Refinamiento Iterativo
lazo fin
deseado) error el alcanzó se(no PARARiti Si
solución)la es x ( PARARb
r Si
más) refinar puede se(no PARARrr Si
iaconvergenc de d)Test
Axbr precisión doble en Calcular c)
xxx b)
rxA LU cióndescomposi por Resolver a)
:hacer iaconvergenc hasta i para 2)
Axbrprecisión doble en Calcular 1)
bAx de aproximada soluciónx :Dado
ii
ii
ii
iii
ii
max
1
1
11
11
00
0
Resolución de Sistemas LinealesResolución de Sistemas Lineales
Métodos iterativos
)(1 kk xx
Métodos iterativosMétodos iterativos
Ventajas?– Espacio: convenientes para matrices ralas (sparse)
– Tiempo: menor número de operaciones
Desventajas?– Velocidad: convergencia lenta
– Convergencia: no siempre se obtiene la solución en un número finito de pasos
Diseño generalDiseño general
kk CxBbBx
CxBbBx
bCxBx
bxCB
bAx
111
11
)(
Cuándo tiene sentido esto?Cuándo tiene sentido esto?
kk
kk
kk
kk
eCBe
xxCBxx
CxBbBx
CxBbBx
xx
11
*1
*1
111
*11
*
*
)(
lim
Análisis de errorAnálisis de error
11
0
111
211
111
CB
:iaconvergenc de e suficientcondición
eCBeCBe
eCBCeBe
k
kk
kkk
Condición necesaria y suficiente de convergenciaCondición necesaria y suficiente de convergencia
)(
1)(
*01
*1
1
xxMxx
M
bMxx
kk
kk
DemostraciónDemostración
1)(
1max1
)(
)(
1
222111
0
*
222111*1*2
222111*1
2211*1
2211*1
2211*0
M
i
uuuxx
MuuMuMxxMxx
uuuxx
MuuMuMxx
uuuMxx
uuuxx
ini
i
nk
nnkk
k
nnn
nnn
nn
nn
nn
Principales Métodos IterativosPrincipales Métodos Iterativos
JacobiGauss SeidelSOR: Sobrerelajación sucesiva
Métodos Iterativos: JacobiMétodos Iterativos: Jacobi
nnn
knnn
kn
knnk
n
knn
kkk
knn
kkk
Pa
xaxaxabx
Pa
xaxaxabx
Pa
xaxaxabx
)(11
)(22
)(11)1(
222
)(2
)(323
)(1212)1(
2
111
)(1
)(313
)(2121)1(
1
Métodos Iterativos: Gauss SeidelMétodos Iterativos: Gauss Seidel
nn
knnn
kn
knnk
n
knn
kkk
knn
kkk
a
xaxaxabx
axaxaxab
x
axaxaxab
x
)(11
)1(22
)1(11)1(
22
)(2
)(323
)1(1212)1(
2
11
)(1
)(313
)(2121)1(
1
Método de JacobiMétodo de Jacobi
bDxULDx
bxULDx
bxUDL
bAx
UDLA
k
M
k
kk
J
111
1
Método de Gauss SeidelMétodo de Gauss Seidel
bDLxUDLx
bUxxDL
bxUDL
bAx
UDLA
k
M
k
kk
GS
111
1
Condiciones de convergenciaCondiciones de convergencia
Si A es simétrica, definida positiva, entonces Gauss-Seidel converge
Si A es estrictamente diagonal dominante por filas,
entonces Gauss-Seidel y Jacobi convergen
Diagonal dominanciaDiagonal dominancia
ni
ni
,1aa
si columnaspor dominante diagonal
es A que dice se :Def
,1aa
si filaspor dominante diagonal
es A que dice se :Def
n
ji1i
ijjj
nxn
n
ji1j
ijii
nxn
Diagonal dominancia estrictaDiagonal dominancia estricta
ni
ni
,1aa
si columnaspor dominante diagonal nteestrictame
es A que dice se :Def
,1aa
si filaspor dominante diagonal nteestrictame
es A que dice se :Def
n
ji1i
ijjj
nxn
n
ji1j
ijii
nxn
TeoremaTeorema
Si A es estrictamente diagonal dominante por filas , entonces A puede ser factorizada usando EG sin pivoteo por columnas
Si A es estrictamente diagonal dominante por columnas , entonces A puede ser factorizada usando EG sin pivoteo por filas
Método SORMétodo SOR
bwLDwxwDwUwLDx
wLxDxxwDwUxwb
xwDDxUxLxbw
xwDDxwDx
wxxwwxwxxx
wwpxx
UxLxbDx
xxp
k
M
k
kkkk
kkkk
kkGSk
GSkkk
GSkkk
SORpaso
GSkk
kkGSk
kGSkGS
SOR
111
11
11
11
111
1
11
1
1
1
1
1
)1(
ión)amplificac -ón (aceleraci 1
Condición necesaria de convergenciaCondición necesaria de convergencia
20 w
ObservacionesObservaciones
w=1 Método de Gauss-Seidelw<1 Subrelajación
(paso más corto que el de GS)w>1 Sobrerelajación
(paso más largo que el de GS)
Lectura obligatoriaLectura obligatoria
Rao “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists”, Prentice Hall, 2002
Págs 152-188