Computación Científica Resolución de una ecuación no lineal Parte 1 Profesora: Dra. Nélida...
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Computación Científica
Resolución de una ecuación no lineal
Parte 1
Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole
![Page 2: Computación Científica Resolución de una ecuación no lineal Parte 1 Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole.](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022013011/54dd19b1497959a82a8b4724/html5/thumbnails/2.jpg)
Resolución de ecuaciones
0)(
limxsucesión
0f(x) solucionar
*
*k
xf
xxkk
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Algoritmo general
• Inicialización
• k=0
• Test de convergencia
• Obtención de nuevo valor de solución (método de resolución de ENL)
• k=k+1
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Test de convergencia
it
xxxo
xx
xf
kkk
kk
k
max)3
)2
)()1
1
1
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Situaciones con dificultades numéricas
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Método de Sustitución Sucesiva (de punto fijo – de orden p)
)()(1
),...,(
*1*11
111
xxxxp
xxx
kk
pkkpk
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Representación gráfica: búsqueda del punto fijo
1)( kk xxg
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Interpretación geométrica del Método de sustitución sucesiva
baxx ,1)(
Sucesión convergente
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Interpretación geométrica del Método de sustitución sucesiva
baenx ,1)(
Sucesión divergente
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Armado de métodos de sustitución sucesiva
2)(
)(
)(
0
1
3
ln1
2
1
1
1
x
x
x
x
exxx
xx
exx
ex
2
1
3
22
2
1
1
12
1)(
ln
1)(
)(
x
ex
xxx
x
ex
x
x
2163.0)(
7642.1)(
5673.0)(
763.1
3
2
1
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Teorema del valor medio para derivadas
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] que tiene derivada en cada punto del intervalo abierto (a,b) , entonces existe al menos un punto interior c , interior a (a,b), tq’
))(()()(
))(()()(
*1*1 xxxx
Entonces
abcfafbf
kk
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Interpretación geométrica del TVM
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Teorema del valor intermedio
*: enderivada admite )( Si xxxx
xxx )( de solución es Si * xmx 1)( , algunpara Si
en )( de soluciónúnica la es )
lim)
)
:)(:sucesiónla '
*
*
10
xxxc
xxb
kxa
queverificaxxxxsiqpq
kk
k
kkk
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Demostración
• a) por inducción
pp
ppp
pp
pkk
xxx
xxxxxx
xx
xx
xpkxxx
x
),(1)( donde
)()()(
)(
)(
qpq' :que supongamos
:hipótesis
*1
*1*1*
**
1
*
0
kxk
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Demostración
b) El límite tiende a la solución
**0
**
*22
*2*1*
*1*1*1*
01
)()(
)()()(
xxxxmmk
xxmxx
xxmxxmxxmxx
xxmxxxxxx
kk
kkk
k
kkkk
kkkk
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Demostraciónc) El punto fijo es la única solución en ese entorno.
Por el absurdo
Absurdo 1)(
)(-
)()(-)(
1)( :suponiendo y medio valor del teorema con
)( tq` que Asumo
)( tq` que Asumo
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Teorema del Valor Intermedio (otro)
),( intervalo el en una vez menos lopor
)( y )( entre oscomprendid
valoreslos s toma todo funciónla , )()( que tales
, dera cualesquie puntos dos son Si
, de puntocada encontinua Sea
21
21
21
21
xx
xfxf
fxfxf
baxx
baf
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Teorema del Valor Intermedio (para funciones continuas)
)( que tal
, punto unhay entonces
,)( y )( entreencuentra se gy
, encontinua es Si
xfg
ba
bfaf
baf
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Orden de Convergencia de un método iterativo
xxCCn
xxCCn
xx
xxCC
xx
kx
xx
kkk
kkk
k
knkk
k
k
kk
para 0 decir, es 2 si CUADRÁTICA
para 0 decir, es 1 si LINEAL
:denomina se a deia convergencla ,particular En
para 0
:si n orden dedenomina se a deia convergencLa
,...2,1,0para deerror el
Sea
21
1
1
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GALERÍA DE MÉTODOS
MÉTODO Nro de puntos anteriores
Convergencia Cte asintótica de error
BISECCION 2 Lineal 1/2
NEWTON (raíces simples)
1 Cuadrática
NEWTON (raíces múltiples)
1 Lineal
SECANTE 2 Superlineal (n=1.62)
REGULA FALSI 2 Lineal C<<<1/2
RF MODIFICADO 2 Superlineal (n=1.442)
)(
)(
2
1
f
f
q
q 1
62.0
)(
)(
2
1
f
f
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Bracketing
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Método de Bisección
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Algoritmo de bisección
pb
papfaf
ii
TOLab
pf
abap
NMAXi
i
fijar contrario caso
entonces 0)()(
1
FINp:SALIDA
2
)( ó 0)(Si
2
)(
Mientras
1
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Criterios de parada
)(
01
1
N
NN
NN
NN
pf
pp
pp
pp
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Errores
2
1C
absolutoerror )(2 00
abab NNN
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Observaciones
• Está basado en el teorema del valor intermedio para funciones continuas (tabulación sistemática)
• La parte más dura es encontrar un bracket• Cada iteración reduce el intervalo a la mitad• Baja velocidad de convergencia• Bueno para inicializar• No tiene en cuenta la forma de la función, sólo el signo
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Lectura obligatoria
• Rao Pags 48-79