Sistema en Diferencias Finitas José Alberto Contreras Fernández Antonio Murillo Melero.

Sistema en Diferencias Sistema en Diferencias FinitasFinitas

José Alberto Contreras José Alberto Contreras FernándezFernández

Antonio Murillo MeleroAntonio Murillo Melero

ÍndiceÍndice

IntroducciónIntroducción Análisis del sistema propuestoAnálisis del sistema propuesto Estudio de la ecuación diferencial Estudio de la ecuación diferencial

asociada al sistema propuestoasociada al sistema propuesto AplicacionesAplicaciones ConclusionesConclusiones BibliografíaBibliografía

IntroducciónIntroducción

Comenzaremos con un pequeño Comenzaremos con un pequeño resumen de las bases teóricas que se resumen de las bases teóricas que se van a utilizar a lo largo del trabajo y van a utilizar a lo largo del trabajo y luego se expondrá un estudio del luego se expondrá un estudio del comportamiento del sistema comportamiento del sistema parametrizado en los puntos críticos parametrizado en los puntos críticos elegidos. elegidos.

Para finalizar, se hallará un posible Para finalizar, se hallará un posible sistema de ecuaciones diferenciales sistema de ecuaciones diferenciales asociado.asociado.


Ecuación en diferencias finitasEcuación en diferencias finitas Un sistema en diferencias finitas se Un sistema en diferencias finitas se

define iterando una transformación define iterando una transformación ff de de modo que Xn+1 = modo que Xn+1 = ff (Xn) en el caso de (Xn) en el caso de una única dimensión una única dimensión


Relación con ecuaciones Relación con ecuaciones diferencialesdiferenciales


Clasificación de los SDFClasificación de los SDF EndomorfismosEndomorfismos

Diferentes valores de Xn se transforman en Diferentes valores de Xn se transforman en los mismos valores de Xn+1 al aplicar la los mismos valores de Xn+1 al aplicar la función función ff. No son invertibles.. No son invertibles.

En una dimensión:En una dimensión: La ecuación de Malthus:La ecuación de Malthus: ff(x) = c x(x) = c x Logístico: Logístico: ff(x) = c x (1-x)(x) = c x (1-x)

En En dosdos dimensionesdimensiones:: Exacto: Exacto: ff(x,y) = (3x + y, x + 3y)(x,y) = (3x + y, x + 3y)


Clasificación de los SDFClasificación de los SDF Automorfismos Automorfismos

Cada valor de Xn se transforma en un valor Cada valor de Xn se transforma en un valor diferente de Xn+1 al aplicar diferente de Xn+1 al aplicar ff. Si son . Si son invertibles. invertibles.

En una dimensión:En una dimensión: CircularCircular: : ff (x) = (x) = ff (x+1) - 1 (x+1) - 1

En dos En dos dimensionesdimensiones:: La aplicación de Arnold: La aplicación de Arnold: ff(x,y) (x,y) = (x + y, x + = (x + y, x +

2y)2y) SistemasSistemas cuadráticos: cuadráticos: ff(x,y) (x,y) = (y + = (y +

1 - a x2, b x)1 - a x2, b x)


Propiedades de los SDFPropiedades de los SDF VolumenVolumen

El mapa es diferenciable.El mapa es diferenciable. El valor absoluto de su determinante El valor absoluto de su determinante

Jacobiano es la unidad en todo el mapa, es Jacobiano es la unidad en todo el mapa, es decir,decir,

Siendo φ representa un mapaSiendo φ representa un mapa

IntroducciónIntroducción Propiedades de los SDFPropiedades de los SDF

Symplectic Symplectic un mapa symplectic es un mapa que un mapa symplectic es un mapa que

preserva la suma de las áreas preserva la suma de las áreas proyectadas sobre el conjunto de los proyectadas sobre el conjunto de los (pi,qj) planos. Es la generalización de (pi,qj) planos. Es la generalización de un mapa que preserva el área. un mapa que preserva el área.

Donde T es la traspuesta y Σ es una Donde T es la traspuesta y Σ es una matriz antisimétrica constante ΣT = - matriz antisimétrica constante ΣT = - Σ Σ


Propiedades de los SDFPropiedades de los SDF Simétricos Simétricos

Un mapa es simétrico respecto de una Un mapa es simétrico respecto de una transformación g si transformación g si

Invertibles Invertibles Un mapa es invertible respecto de Un mapa es invertible respecto de

una transformación θ siuna transformación θ si

Análisis del sistema Análisis del sistema propuestopropuesto


Soluciones de Soluciones de λλ Raíces reales conjugadas. Raíces reales conjugadas. Raíces reales dobles.Raíces reales dobles. Raíces complejasRaíces complejas


Distinta fenomenologíaDistinta fenomenología


Raíces reales conjugadasRaíces reales conjugadas a = 0, b = 1y a = 0, b = 1y αα = 0.1= 0.1


Raíces reales conjugadasRaíces reales conjugadas a = 0, b = 1y a = 0, b = 1y αα = 0.01= 0.01


Raíces reales conjugadasRaíces reales conjugadas a = 0, b = 1y a = 0, b = 1y αα = -0.1= -0.1


Raíces reales conjugadasRaíces reales conjugadas a = 0, b = 1y a = 0, b = 1y αα = -0.01= -0.01


Estudio del volumen raíces Estudio del volumen raíces reales reales conjugadasconjugadas

El sistema no preserva el volumenEl sistema no preserva el volumen


Raíces reales doblesRaíces reales dobles a = 2, b = 1y a = 2, b = 1y αα = 0.1= 0.1


Raíces reales doblesRaíces reales dobles a = 2, b = 1y a = 2, b = 1y αα = 0.01= 0.01


Raíces reales doblesRaíces reales dobles a = 2, b = 1y a = 2, b = 1y αα = -0.1= -0.1


Raíces reales doblesRaíces reales dobles a = 2, b = 1y a = 2, b = 1y αα = -0.01= -0.01


Estudio del volumen raíces Estudio del volumen raíces reales reales doblesdobles



Raíces complejasRaíces complejas a = 2, b = 0.5 y a = 2, b = 0.5 y αα = 0.1= 0.1


Raíces complejasRaíces complejas a = 2, b = 0.5 y a = 2, b = 0.5 y αα = 0.01= 0.01


Raíces complejasRaíces complejas a = 2, b = 0.5 y a = 2, b = 0.5 y αα = -0.1= -0.1


Raíces complejasRaíces complejas a = 2, b = 0.5 y a = 2, b = 0.5 y αα = -0.01= -0.01


Estudio del volumen raíces Estudio del volumen raíces complejascomplejas


Ecuación diferencial Ecuación diferencial asociadaasociada

Introducción a EulerIntroducción a Euler

Presuponemos una discretización por Presuponemos una discretización por Euler.Euler.


Suponemos que se ha utilizado para Suponemos que se ha utilizado para discretizar un Δt = h = 10 discretizar un Δt = h = 10 -3-3


Si realizamos el mismo proceso con Si realizamos el mismo proceso con la segunda ecuación:la segunda ecuación:


El sistema resultante sería:El sistema resultante sería:

Puntos fijos del sistema de Puntos fijos del sistema de ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales

Valoración de la discretización Valoración de la discretización aplicada:aplicada:

Puntos fijos del sistema de Puntos fijos del sistema de ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales

Podemos afirmar que el sistema Podemos afirmar que el sistema discreto conserva las propiedades discreto conserva las propiedades cualitativas y cuantitativas de los cualitativas y cuantitativas de los puntos fijos.puntos fijos.

AplicacionesAplicaciones

¿Para qué discretizar un ¿Para qué discretizar un sistema contínuo?sistema contínuo? Simulación del comportamiento de un sistema Simulación del comportamiento de un sistema

o ecuación que no se puede resolver o ecuación que no se puede resolver analíticamente.analíticamente.

Física experimental.Física experimental. Química. Cristalografía.Química. Cristalografía. Ingeniería.Ingeniería. Matemáticas. Estadística.Matemáticas. Estadística. Geología. Sedimentación.Geología. Sedimentación. Tratamiento de imágenes digitales.Tratamiento de imágenes digitales. Predicción atmosférica.Predicción atmosférica.


Tratamiento de imágenes. Tratamiento de imágenes. Discretización del gradiente.Discretización del gradiente.


Tratamiento de imágenes. Tratamiento de imágenes. Discretización del vector gradiente.Discretización del vector gradiente.


Extracción de bordes:Extracción de bordes:


Discretización de ecuaciones en Discretización de ecuaciones en derivadas parciales no-lineales. derivadas parciales no-lineales. Filtrado de imágenes digitales:Filtrado de imágenes digitales:


Predicción Atmosférica.Predicción Atmosférica. Durante los últimos años, debido Durante los últimos años, debido

fundamentalmente a la intervención fundamentalmente a la intervención humana en el clima, hay un creciente humana en el clima, hay un creciente interés en la predicción del cambio interés en la predicción del cambio climático bien atmosférico u oceánico. climático bien atmosférico u oceánico. Este interés lleva al análisis de grandes Este interés lleva al análisis de grandes conjuntos de datos para su posterior conjuntos de datos para su posterior tratamiento en un modelo teórico e tratamiento en un modelo teórico e interpretación de los resultados obtenidos. interpretación de los resultados obtenidos.

AplicacionesAplicaciones Los modelos numéricos de la atmósfera se clasifican Los modelos numéricos de la atmósfera se clasifican

en:en: Globales Globales RegionalesRegionales LocalesLocales Según el dominio que abarcan.Según el dominio que abarcan. Dichos modelos se basan en la integración numérica Dichos modelos se basan en la integración numérica

de las ecuaciones que representan las leyes de de las ecuaciones que representan las leyes de conservación de masa, momento, calor y humedad. conservación de masa, momento, calor y humedad.

La integración numérica está basada en una La integración numérica está basada en una discretización espacial del dominio en una grilla, en discretización espacial del dominio en una grilla, en cuyo caso se resuelve la formulación equivalente en cuyo caso se resuelve la formulación equivalente en diferencias finitas.diferencias finitas.


Un problema importante en la Un problema importante en la modelación atmosférica es la necesidad modelación atmosférica es la necesidad de representar procesos dentro de de representar procesos dentro de escalas espaciales más pequeñas que escalas espaciales más pequeñas que aquellas explícitamente resueltas por aquellas explícitamente resueltas por las ecuaciones discretizadas. las ecuaciones discretizadas.

La representación de las escalas no La representación de las escalas no resueltas en la modelación atmosférica resueltas en la modelación atmosférica se conoce como parametrización.se conoce como parametrización.

ConclusionesConclusiones

El método de diferencias finitas es El método de diferencias finitas es una herramienta muy útil para el una herramienta muy útil para el estudio y simulación de sistemas estudio y simulación de sistemas continuos continuos

Las aplicaciones abarcan diversos Las aplicaciones abarcan diversos campos de estudio actualescampos de estudio actuales

BibliografíaBibliografía [1] A.Giraldo y M.A.Sastre. [1] A.Giraldo y M.A.Sastre. Sistemas Dinámicos Sistemas Dinámicos

Discretos y Caos. Teoría, Ejemplos y AlgoritmosDiscretos y Caos. Teoría, Ejemplos y Algoritmos, , Fundación General de la Universidad Politécnica Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid (2002).de Madrid (2002).

[2] C.Fernández Pérez, F.J. Vázquez Hernández, [2] C.Fernández Pérez, F.J. Vázquez Hernández, J.M. Vegas Monaster. J.M. Vegas Monaster. Ecuaciones diferenciales y Ecuaciones diferenciales y en diferencias finitas. Sistemas dinámicosen diferencias finitas. Sistemas dinámicos, , Thomson (2003).Thomson (2003).

[3] [3] Encyclopedia of Nonlinear ScienceEncyclopedia of Nonlinear Science, Alwyn , Alwyn Scott (2005).Scott (2005).

[4] J.A. Infante y J. Mª. Rey; Métodos Numéricos. [4] J.A. Infante y J. Mª. Rey; Métodos Numéricos. Teoría, problemas y prácticas con MATLABTeoría, problemas y prácticas con MATLAB; ; Ediciones Pirámide (1999).Ediciones Pirámide (1999).

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