Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Oleh Kelompok 3 // 10 IIS 1

Kelompok 3 IIS I• Ahmad Kemal• Ezra Jan Reynara• Fadhillah• M. Ramadhan• Sulthan Isa Ahmad• Vio Aji

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

( Metode Grafik , Eliminasi , Subsitusi , Eliminasi Subsitusi )

1. Metode Grafik

Contoh Soal :

Perhatikanlah pernyataan berikut!x + y = 2 ....……………………………..…………....... (1)

4x + 2y = 7 ....………...………………………………….. (2)

x + y = 2 ....…………………………….…………....... (1)Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk

Persamaan (1)

Diperoleh titik-titik potong kurva x + y = 2 terhadapsumbu koordinat, yaitu titik (0, 2) dan (2, 0).

x + y = 2x 0 2y 2 0

4x + 2y = 7 ....…………………………….…………....... (2)Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk

Persamaan (2)

Diperoleh titik-titik potong kurva 4x + 2y = 7 terhadapsumbu koordinat, yaitu titik dan .

4x + 2y = 7

x 0

y 0

Menarik garis lurus dari titik (0, 2) ke titik (2, 0) dan dari titik (0, ) ke titik (, 0) .

Berdasarkan gambar grafik x + y = 2 dan 4x + 2y = 7, kedua garis lurus tersebut berpotongan pada sebuah titik, yaitu titik ( , )

Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linear x + y = 2 dan 4x + 2y = 7 adalah {( , )}

2. Metode Eliminasi

Pengertian

Eliminasi artinya membuang atau menghilangkan SPLDV yang memiliki dua variabel, dengan membuang/menghilangkan atau mengeliminasi satu variabel kita memperoleh persamaan linear dengan satu variabel.

Contoh Soal

Perhatikan SPLDV berikut.

x + y = 2 4x + 2y = 7

Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut!

SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi.Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).

jawab

2y = 1 y =

Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2).

–2x = -3

x =

Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah

3. Metode Subsitusi

Pengertian

Subsitusi artinya mengganti/menempatkan, cara subsitusi dalam menyelesaikan SPLDV berarti mengganti variabel yang satu dengan variabel lain sesuai dengan persamaan yang diberikan.

Contoh Soal

Selesaikanlah SPLDV berikut!

3x – 2y = 84x + y =7

Jawab

3x – 2y = 8 ……………… persamaan (1)4x + y = 7 ……………… persamaan (2)

Dari persamaan (2) diperoleh

y = 7 – 4x ……………… persamaan (3)

Subsitusi/gantilah y pada persamaan (3) ke persamaan (1)

3x – 2(7 – 4x) = 8 3x –14 + 8x = 8

11x = 22 x = = 2.Setelah diperoleh nilai x = 2,

Subsitusikan nilai x ke persamaan (3) sehingga

y = 7– 4xy = 7 – 4(2)y = 7 – 8y = –1

Jadi penyelesaian SPLDV di atas adalah {(2, –1)}.

4. Metode Eliminasi dan Subsitusi

Contoh Soal

Perhatikan SPLDV berikut.

x + y = 2 4x + 2y = 7

Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut!

SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi terlebih dahulu.Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).

2y = 1 y =

Subtitusikan nilai y ke persamaan (1)

x + y = 2 x + = 2 x =

Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

( Metode Grafik , Eliminasi , Subsitusi , Eliminasi Subsitusi )

1. Metode Eliminasi

Contoh Soal

Perhatikan SPLTV berikut :

Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode eliminasi.

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2) dengan cara menjumlahkannya dan diperolehlah persamaan (4)

6x – 2y = 4 3x – y = 2 …………..(4)

Didapatlah persamaan (4) yaitu 3x – y = 2

Eliminasikan variabel z pada persamaan (1) dan (3), seperti di slide sebelumnya dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut dan diperolehlah persamaan (5),

9x – 9y = 0 x – y = 0……………………(5)

Didapatlah persamaan (5) yaitu x – y = 0

Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut;

3x – y = 2 x – y = 0

Penyelesaian dari SPLDV ini adalah; 2x = 2 x = 1

Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x

2y = 2 y = 1

Untuk memperoleh nilai z bisa menggunakan cara eliminasi variabel x dan z hingga diperolah SPLDV yang mengandung variabel z. Dengan ini variabel z mendapatkan hasil z = 1 .

Demikian himpunan penyelesaian soal ini adalah {(1, 1, 1)}

2. Metode Subsitusi

Contoh Soal

Perhatikan SPLTV berikut!

2x + y – z = 3 ……………….…….….(1) x + y + z = 1 ………………………….(2)x – 2y – 3z = 4 ……………………….(3)

Dari sistem persamaan barusan dapat disimpulkan subsitusi berikut;

Dari sistem persamaan (2) ;

x + y + z = 1 ,

Dapat diperoleh persamaan (4) yaitu ;

x = 1 - y - z

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) diperoleh :

2x + y – z = 32(1 – y – z) + y – z = 3

2 – 2y – 2z + y – z = 3 –y – 3z = 1 y = –3z – 1 …………………..(5)

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) diperoleh :

x – 2y – 3z = 41 – y – z – 2y – 3z = 4 –3y – 4z = 3 ……………….….(6)

Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (6) diperoleh :

–3y – 4z = 3 –3 (–3z – 1) – 4z = 3

9z + 3 – 4z = 3 5z = 0 z = 0 ……….(7)

Variabel z ditemukan dengan nilai z = 0, kemudian subsitusikan dengan persamaan (5)

y = –3z – 1y = –3(0) – 1y = –1

untuk z = 0, y = –1, disubsitusikan ke persamaan (2)

x + y + z = 1x – 1 + 0 = 1 x = 2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, –1, 0)}

3. Metode Eliminasi dan Subsitusi

Perhatikan SPLTV berikut :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas!

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), yaitu dengan menjumlahkan kedua persamaan itu sehingga diperoleh persamaan (4) sebagai berikut.

6x – 2y = 4 3x – y = 2 …………..(4)

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), yaitu dengan menjumlahkan kedua persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5) sebagai berikut.

9x – 9y = 0 x – y = 0……………………(5)

Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut.

3x – y = 2 x – y = 0

Penyelesaian dari SPLDV ini adalah

2x = 2 x = 1

Subtitusikan nilai x ke persamaan (5) diperoleh

x – y = 01 – y = 0 – y = –1 y = 1

Subtitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) diperoleh

x– 3y + z = –11– 3(1) + z = –1 1– 3 + z = –1 – 2 + z = –1 z = –1+ 2 z = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1, 1)}.

C. Sistem Pertidaksamaan

Linear Dua Variabel

Contoh Soal

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.

5x + 4y ≤ 207x + 2y ≤ 14

x ≥ 0y ≥ 0

Jawab:

Gambarkan setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel,yaitu 5x + 4y = 20, 7x + 2y = 14, x = 0 (sumbu y), y = 0 (sumbu x).

Gunakan titik uji (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabelyang diberikan

5x + 4y ≤ 20 5(0) + 4(0) ≤ 20 0 ≤ 20 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 5x + 4y = 20

7x + 2y ≤ 14 7(0) + 2(0) ≤ 14 0 ≤ 14 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 7x + 2y = 14

x ≥ 0 dan y ≥ 0

Daerah yang memenuhi berada di kuadran I.Dengan pola yang berbeda, arsirlah (raster) setiap daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Sekian