SECTION 1Pendahuluan

SECTION 2Pengenalan sinyal dan sistem

SECTION 3Sinyal

SECTION 4Sistem (1)

SECTION 5Sistem (2)

SECTION 6Fourier (1)

SECTION 7Fourier (2)

SECTION 8Transformasi Z (1)

SECTION 9Transformasi Z (2)

SECTION 10Transformasi Laplace (1)

SECTION 11Transformasi Laplace (2)

PENGOLAHAN SINYALMade by yedi george

Deskripsi Mata Kuliah:

Mata Kuliah Pengolahan Sinyal merupakan kelanjutan dari mata kuliah Rangkaian Listrik dengan penguatan pada matematika dan fisika. Pemrosesan Sinyal memberikan dasar-dasar pengolahan sinyal baik secara digital maupun secara analog. Untuk itu diperlukan pengetahuan dasar tentang sistem dan sinyal (baik diskrit maupun kontinyu). Selain itu juga diberikan hal-hal dasar yang terkait dengan pengolahan sinyal seperti konvolusi dan transformasi sinyal (Fourier, Laplace, z) serta aplikasinya dalam dunia Telekomunikasi

Tujuan :

Memahami konsep dasar sinyal dan sistem serta mampu menganalisa sinyal dan sistem dengan berbagai macam metoda, baik untuk sinyal kontinu maupun diskrit dalam bidang telekomunikasi

Penilaian:

Tugas /Tes : 30% UTS : 30% UAS : 40%

Kepustakaan :

1. Gabel and Roberts. Signal and Linier System, 3rd ed. John Willey, 1987. 2. Oppenheim. Signal and System. Prentice Hall, 1983 3. Kwakernaak, H. dan Sivan. Modern Signal and System, Prentice Hall Inc. 1991

Materi:

N o Tanggal Materi Bahan/Tugas 1 Sept’201

4 Pendahuluan         SAP (rencana kuliah)         Kesepakatan kelas         Pra syarat

2 Okt’2014 Pengenalan sinyal dan sistem         Definisi         Input dan output system         Sistem diskrit dan

kontinyu         Aplikasi sinyal dan sistem

[2] bab 1 [3] bab 1

  3 Okt’2014 Sinyal

        Klasifikasi sinyal         Sinyal standard (step,

impulse, complex exponential, dll)

        Periodisitas (diskrit dan kontinyu)

        Operasi pada sinyal Latihan/Tugas 1

[2] bab 2: 7-35 [3] bab 11-53

4 Okt’2014 System         Klasifikasi sistem         Jenis sistem         Block diagram (system

interconnection)         LTI         Difference dan differential

equation         Latihan/Tugas 2

[1] bab 1, bab 2: 23-29, bab 3: 121-127 [2] bab 2: 35-45, bab 3: 95-120 [3] bab 3: 65-85

5 Nop’2014

Test 1  

6 Nop’2014

        Pembahasan secara umum test 1

        System o Konvolusi diskrit o Konvolusi kontinyu o Dekonvolusi diskrit o Latihan /Tugas 3

[1] bab 2: 46-68, bab 3: 129-145 [2] bab 3: 69-95

7 Nop’2014

Fourier (1)         Konsep dasar analisa

fourier         Analisa fourier dalam

power, elka., telematika         Deret fourier         Fourier untuk rangkaian

listrik         Latihan /Tugas 4

[1] bab 5: 239-266 [2] bab 4: 161-186

8 Nop’2014

Fourier (2)         Transformasi fourier

kontinyu         Transformasi fourier

diskrit         Sifat transformasi fourier         Konvolusi dengan

transformasi fourier         Pengenalana DFT dan FFT         Latihan         Berbagai macam aplikasi

 1] bab 5: 266-307 [2] bab 4: 186-212, bab 5: 306-327

9 Des’201 UTS

4 11 Des’201

4Z transform (1)         Konsep dasar transformasi

Z         Perhitungan dengan

rumus         RoC         Sifat transformasi Z         Invers transformasi Z         Latihan /Tugas 5

[1] bab 4: 177-214 [2] bab 10: 629-649

12 Des’2014

Test 2  

13 Jan’2015 Z transform (2)         Unilateral Z transform         Transformasi Z dalam

sistem LTI         Konvolusi dan dekonvolusi         Analisa respon frekuensi         Aplikasi transformasi Z

[1] bab 4: 214-221 [2] bab 10: 649-658

14 Jan’2015 Laplace (1)         Konsep dasar transformasi

laplace         Perhitungan dasar         RoC         Sifat transformasi laplace         Membaca tabel

transformasi laplace         Invers transformasi

laplace         Latihan /Tugas 6

[1] bab 6: 349-373 [2] bab 9: 573-604

15 Jan’2015 Laplace (2)         Transformasi laplace

unilateral         Two-sided Laplace

Transfrom         Aplikasi dalam rangkaian

listrik         Aplikasi pada pers.

diferensial         Kestabilan dalam domain s         Analisa frekuensi respon         Transformasi laplace

untuk sinyal periodik

[1] bab 6: 363-394 [2] bab 9: 604-616

16 Jan’2015 review   17 Peb’201

5Libur persiapan UAS  

18 Peb’2015

UAS  

    

BAB I SISTEM

A. Definisi Sistem

Sistem didefinisikan sebagai sebuah alat fisik yang melakukan operasi pada sinyal. Pengertian lain dari Sistem adalah model matematik yang menghubungkan antara input dan output, dimana input dan output merupakan hubungan sebab akibat.

Sebagai contoh, sebuah Filter (Tapis) yang digunakan untuk input noise dan interferensi yang mengganggu sinyal pembawa (carrier) dan informasi yang dikirimkan, dalam kasus ini Filter melakukan beberapa operasi sinyal.

A system is a part of environment that causes certain signals in that environment to be related

System relates input and output. Usually, inputs are associated with causes and output with effects

B. Klasifikasi Sistem

Sistem dapat diklasifikasikan ke dalam dua bagian besar yaitu:

1. Sistem Statis2. Sistem Dinamis

Sistem Statis yaitu apabila output pada saat tx hanya bergantung pada input pada saat tx (tidak dipengaruhi oleh input pada saat tx-1)Misalnya: R1

Vi(t) R2 Vo(t)

Vo(t1) = R2 / R1 + R2 . Vi(t1)

Vo(t2) = R2 / R1 + R2 . Vi(t2)

Sistem Dinamis yaitu apabila output pada saat tx dipengaruhi oleh input pada saat tx- 1 dan tx

Misalnya:

x-1 x i(t) t = tx

Io(t) io(t)=Io. e-t. R/L

Sistem Dinamis dapat dikelompokkan menjadi dua bagian yaitu:

a. Sistem non causal (anticipatory) yaitu bila output bergantung pada input tx-1, tx dan tx+1 (input sebelum, sekarang, dan akan datang)

b. Sistem Causal (non anticipatory) yaitu bila output bergantng pada input tx-1 dan tx (input sebelum dan sekarang)

Sistem Linier dan tak Linier

Sistem Linier adalah sistem yang mempunyai sifat superposisi yaitu: apabila input x1(t) mengahsilkan output y1(t) ; input x2(t) menghasilkan output y2(t).Jika [x1(t) + x2(t)] menghasilkan output [y1(t) + y2(t)], maka sistem tersebut dikatakan linier.

Sifat lain dari sistem linier adalah: Bila , adalah konstanta sembarang, maka x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)

Sistem tak Linier adalah sistem yang tidak mempunyai sifat superposisi yaitu: (superposisi pada input tidak berlaku pada output)

Sistem Kontinu terhadap waktu dan berubah terhadap waktu (time invariant dan time variant)

Sistem Time Variant adalah bila sistem operator (pembanding input terhadap output) berubah terhadap waktu.

Misalnya: y(t) = t u(t) y(t) output; u(t) input

dy/dt + t y = u(t)

Sistem Time Invariant adalah bila sistem operator (pembanding input terhadap output) tidak berubah terhadap waktu.

Misalnya: y(t) = u(t) + 4y(t) = u2(t) + 4dy/dt + y2 = u(t)

Time-invariant test:

Classification Causal and non-causal system

y(t) = x(t) + 2x(t-1) y(t) = x(t+1) – x(t) + 3x(t-2)

Memory and memoryless system y(t) = -4x(t-1) + 2x(t) y(t) = 2x(t)

Lumped and distributed system It is about the number of state…

Sistem Deterministik dan Sistem Stokhastik

Sistem Deterministik adalah suatu sistem yang me-relasikan antara input output (sistem operator) nya dapat ditentukan (deterministik)

Misalnya: input x(t) output y(t)

Relasi antara input output adalah: y(t) = R2/R1 + R2 . x(t)

R2

R1 + R2

Sistem Stokhastik adalah suatu sistem yang mana relasi antara input output (sistem operatornya) tidak deterministik dan hanya bisa didekati dengan pendekatan statistik.

Misalnya: y1(t) = sin (t + 1)

y1(t) = sin (t + 1)

y1(t) = sin (t + 1)

dimana 1 = 2 = 3 = ..................n dan y(t) adalah proses stokhastik

Two General Systems Continuous-time system

It processes continuous-time signal Discrete-time system

It processes discrete-time signal

System Interconnection Series

System Interconnection Paralel

Example…

y(n) = (2x(n) – x(n)2)2

PEMROSESAN SINYAL DIGITAL

Pada masa sekarang ini, pengolahan sinyal secara digital telah diterapkan begitu luas. Dari peralatan instrumentasi dan kontrol, peralatan musik, peralatan kesehatan dan peralatan lainnya. Istilah pengolahan sinyal digital sebenarnya kurang begitu tepat, yang lebih tepat adalah pengolahan sinyal diskrete. Tetapi karena istilah ini sudah luas digunakan, maka istilah pengolahan sinyal digital tetap digunakan dalam artikel ini. Dalam artikel ini akan dibahas dasar-dasar pengolahan sinyal digital, terutama dari sudut algoritma dan pemrograman di samping juga sedikit pembahasan tentang pertimbangan hardware dari sistem yang disusun.

Sistem Pengolahan Sinyal Digital

Proses pengolahan sinyal digital, diawali dengan proses pencuplikan sinyal masukan yang berupa sinyal kontinyu. Proses ini mengubah representasi sinyal yang tadinya berupa sinyal kontinyu menjadi sinyal diskrete. Proses ini dilakukan oleh suatu unit ADC (Analog to Digital Converter). Unit ADC ini terdiri dari sebuah bagian Sample/Hold dan sebuah bagian quantiser. Unit sample/hold merupakan bagian yang melakukan pencuplikan orde ke-0, yang berarti nilai masukan selama kurun waktu T dianggap memiliki nilai yang sama. Pencuplikan dilakukan setiap satu satuan waktu yang lazim disebut sebagai waktu cuplik

(sampling time). Bagian quantiser akan merubah menjadi beberapa level nilai, pembagian level nilai ini bisa secara uniform ataupun secara non-uniform misal pada Gaussian quantiser.

Unjuk kerja dari suatu ADC bergantung pada beberapa parameter, parameter utama yang menjadi pertimbangan adalah sebagai berikut :

Kecepatan maksimum dari waktu cuplik. Kecepatan ADC melakukan konversi. Resolusi dari quantiser, misal 8 bit akan mengubah menjadi 256 tingkatan nilai. Metoda kuantisasi akan mempengaruhi terhadap kekebalan noise.

Gambar 1. Proses sampling

Sinyal input asli yang tadinya berupa sinyal kontinyu, x(T) akan dicuplik dan diquantise sehingga berubah menjadi sinyal diskrete x(kT). Dalam representasi yang baru inilah sinyal diolah. Keuntungan dari metoda ini adalah pengolahan menjadi mudah dan dapat memanfaatkan program sebagai pengolahnya. Dalam proses sampling ini diasumsikan kita menggunakan waktu cuplik yang sama dan konstan, yaitu Ts. Parameter cuplik ini menentukan dari frekuensi harmonis tertinggi dari sinyal yang masih dapat ditangkap oleh proses cuplik ini. Frekuensi sampling minimal adalah 2 kali dari frekuensi harmonis dari sinyal.

Untuk mengurangi kesalahan cuplik maka lazimnya digunakan filter anti-aliasing sebelum dilakukan proses pencuplikan. Filter ini digunakan untuk meyakinkan bahwa komponen sinyal yang dicuplik adalah benar-benar yang kurang dari batas tersebut. Sebagai ilustrasi, proses pencuplikan suatu sinyal digambarkan pada gambar berikut ini.

Gambar 2. Pengubahan dari sinyal kontinyu ke sinyal diskret

Setelah sinyal diubah representasinya menjadi deretan data diskrete, selanjutnya data ini dapat diolah oleh prosesor menggunakan suatu algoritma pemrosesan yang diimplementasikan dalam program. Hasil dari pemrosesan akan dilewatkan ke suatu DAC (Digital to Analog Converter) dan LPF (Low Pass Filter) untuk dapat diubah menjadi sinyal kontinyu kembali. Secara garis besar, blok diagram dari suatu pengolahan sinyal digital adalah sebagai berikut :

Gambar 3. Blok Diagram Sistem Pengolahan Sinyal Digital

Proses pengolahan sinyal digital dapat dilakukan oleh prosesor general seperti halnya yang lazim digunakan di personal komputer, misal processor 80386, 68030, ataupun oleh prosesor RISC seperti 80860. Untuk kebutuhan pemrosesan real time, dibutuhkan prosesor yang khusus dirancang untuk tujuan tersebut, misal ADSP2100, DSP56001, TMS320C25, atau untuk kebutuhan proses yang cepat dapat digunakan paralel chip TMS320C40. Chip-chip DSP ini memiliki arsitektur khusus yang lazim dikenal dengan arsitektur Harvard, yang memisahkan antara jalur data dan jalur kode. Arsitektur ini memberikan keuntungan yaitu adanya kemampuan untuk mengolah perhitungan matematis dengan cepat, misal dalam satu siklus dapat melakukan suatu perkalian matrix. Untuk chip-chip DSP, instruksi yang digunakan berbeda pula. Lazimnya mereka memiliki suatu instruksi yang sangat membantu dalam perhitungan matrix, yaitu perkalian dan penjumlahan dilakukan dalam siklus (bandingkan dengan 80386, proses penjumlahan saja dilakukan lebih dari 1 siklus mesin).

Proses pengembagan aplikasi DSP

Apabila proses pengolahan sinyal dilakukan menggunakan komputer biasa, maka pengembangan program tidak berbeda seperti halnya pemrograman biasa lazimnya. Hanya algoritma yang diterapkan dan teknik pengkodean harus mempertimbangkan waktu eksekusi dari program tersebut.

Tata cara pengembangan perangkat lunak menjadi berbeda apabila kita menggunakan sistem chip DSP, misal TMS320C25. Terlebih lagi bila sistem tersebut nantinya akan bekerja sendiri (stand alone). Pengembangan model harus dilakukan dengan menggunakan perangkat bantu pengembang (development tool). Sebagai contoh digambarkan suatu sistem pendisain perangkat lunak DSP buatan SPW- DSP Frameworks, yang secara garis besar digambarkan sebagai berikut :

Gambar 4. Perangkat lunak pengembang aplikasi pengolahan sinyal digital.

Keterangan :

Design Database, berisi library disain yang telah tersedia dan lazim digunakan misal, FIR, IIR, Comb Filter dan lain-lain.

Signal Calculator, merupakan perangkat lunak simulasi sinyal. Dapat melakukan manipulasi dan pengolahan sinyal sederhana.

Sistem Disain Filter, merupakan perangkat lunak, untuk mendisain filter dengan response yang kita ingini, berikut pengujian filter tersebut. Lazimnya menggunakan beberapa algoritma disain seperti Park-McLelland, dan akan dihasilkan koefisien filter yang diingini.

TIL, akan menghasilkan Custon HDL dan Netlist , yaitu gambar diagram implementasi algoritma secara perangkat keras, dengan menggunakan chip-chip, misal chip FIR, IIR.

HDS, VHDL Generator, akan menghasilkan implementasi algoritma dalam deskripsi VHDL yang lazim digunakan dalam disain chip ASIC.

DSP ProCoder - Assembly Code Generator, menghasilkan program dalam bahasa assembly chip DSP tertentu

MultiProx, akan menghasilkan program yang diimplementasikan pada paralel DSP chip.

CGS, C Code Generator akan menghasilkan program dalam bahasa C.

Pada komputer utama, kita melakukan simulasi, disain filter, dan uji-coba awal. Program bantu tersebut tersedia pada program pengembang (development tool program). Apabila kita telah puas dengan algoritma tersebut, kita dapat mengimplementasikan sesuai dengan sistem yang akan kita gunakan. Program akan menghasilkan kode atau deskripsi yang dibutuhkan oleh jenis implementasi tertentu. Misal akan menghasilkan deskripsi dalam format VHDL, apabila kita ingin mengimplementasikan sistem menggunakan chip ASIC. Atau juga dapat dihasilkan kode dalam bahasa C bila kita menginginkan portabilitas dari implementasi yang dihasilkan.

Untuk lebih jelasnya langkah-langkah pengembangan program untuk sistem DSP dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 5. Langkah-langkah pengembangan sistem DSP

Dalam tahapan pengembangan ini, digunakan komputer utama sebagai perangkat bantu pengembang, dan sebuah DSP board, sebagai sasaran (target board) dari pengembangan program. DSP Board ini ada yang berhubungan dengan PC melalui ekspansion slot, dan melalui memori share, ada juga yang berhubungan dengan PC menggunakan hubungan serial atau parallel printer card, sehingga benar-benar terpisah dari PC dan proses hubungan dengan PC hanyalah pentransferan kode biner. Langkah-langkah pengembangan program aplikasi adalah sebagai berikut :

Langkah pertama, adalah mensimulasikan algoritma pengolahan sinyal dengan menggunakan perangkat simulasi ataupun program. Sinyal masukan disimulasikan dengan menggunakan data-data sinyal standard. Untuk keperluan ini dapat digunakan program-program khusus simulasi ataupun program bantu matematis seperti halnya MATLAB dengan Sinyal Processing Toolbox, Mathematica dengan DSP extension, DSPWorks, Khoros, dan lain-lain.

Langkah kedua dilakukan dengan menggunakan sistem DSP yang akan kita gunakan akhrinya, misal dengan menggunakan TMS320C25 Card (tipe ini telah digunakan di Laboratorium Teknik Komputer, STMIK Gunadarma). Biasanya pada card DSP telah terdapat unit ADC dan DAC, sehingga dapat dilakukan proses pencuplikan sinyal sesungguhnya. Pertama kali dicoba mengakuisisi sinyal masukan sesungguhnya, ini dilakukan dengan mencuplik sinyal masukan tersebut. Hasil akuisisi tersebut akan berupa deretan data akan digunakan untuk menguji algoritma. Kemudian secara off-line, baik menggunakan program bantu matematis ataupun melalui program yang ditulis untuk keperluan simulasi, sinyal tersebut diolah berdasarkan algortima yang diimplementasikan. Hasil olahan sinyal tersebut disalurkan ke jalur keluaran untuk menguji hasil akhir sesungguhnya dari algoritma tersebut. Proses ini masih dilakukan secara non-real time dan diproses oleh prosesor pada PC. Pengujian terhadap sinyal sesungguhnya dapat diukur dengan menggunakan alat ukur seperti osciloscope, spectrum analyzer dan lain-lain.

Kemudian, program yang ditulis dengan menggunakan instruksi dari chip DSP yang terdapat pada DSP Board tersebut diuji. Proses penulisan program dilakukan di komputer utama (misal PC), dan proses kompilasi juga dilakukan di komputer utama. Pengkompilasian menggunakan cross-compiler atau cross asseembler khusus. Setelah program berbentuk format biner, data akan ditransfer ke dalam memory di DSP board, dan sistem DSP tersebut dieksekusi. Pada tahap ini, komputer utama hanya bekerja untuk mengawasi keadaan memori, dan kerja dari program, tetapi tidak melakukan pengolahan sinyal. Pada tahap ini, masukan sesungguhnya digunakan untuk diolah dapat diberikan sehingga kerja dari algoritma dapat diamati pada keadaan sesungguhnya.

Langkah terakhir adalah dengan menulis kode biner tersebut ke dalam ROM, dan meletakkannya ke DSP board yang nantinya akan bekerja berdiri sendiri tanpa adanya sebuah PC. Misal DSP sistem tersebut digunakan untuk noise eliminator pada line telepon. Untuk membuat sistem yang lebih lengkap, sistem dapat dikombinasikan dengan mikrokontroller atau SBC (Single Board Computer) sebagai perangkat pengatur user interface.

Dengan demikian, secara garis besar langkah-langkah pengembangan perangkat lunak untuk sistem DSP dapat diringkas sebagai berikut :

Simulasikan algoritma dengan menggunakan data simulasi. Lakukan simulasi dengan sinyal sesungguhnya, pengolahan secara off-line dan proses masih

dilakukan di PC Tulis program menggunakan instruksi DSP. Kompilasi dan transfer ke RAM di DSP board. Eksekusi dan uji dengan sinyal sesungguhnya. Bila program sudah tidak ada kesalahan, tulis kode biner dari program ke ROM. Sistem siap pakai dengan ditambahkan prosesor utama yang menangani sistem pendukung.

Fourier Transform (1) History Signal representation Fourier in electrical engineering Fourier Series Application in electric circuit analysis

HistoryJean Baptiste Joseph Fourier was born on March 21, 1768, in FranceHe presented his paper about heat diffusion in 1807. He found series of harmonically related sinusoids to be useful in representing the temperature distribution through body

But… no one accept his theory…!

Signal Representation A periodic signal can be represented as sum of sinusoidal waves The sinusoidal wave has fundamental frequency and all waves are multiplication of

that fundamental freq.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Fundamental frequency = 50Hz, n = 1:10

0 200 400 600 800 1000 12000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Signal in frequency domain

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Fundamental frequency = 50Hz, n = 1:10, amplitude is half of the previous signal

0 200 400 600 800 1000 12000

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Signal in frequency domain, see the amplitude!!

Fourier in Electrical Engineering : Power system:

To analyze the high freq. in the power line due to non linear load à power factor and power quality issue

Electronics: Image and signal pre processing Convolution Electric circuit analysis for non DC signal

Telematics (telecommunication-informations): Image and signal pre processing Modulation analysis Sampling analysis

Fourier Analysis : Fourier Series

Exponential Sinusoid

Fourier Transform Discrete-time Fourier Transform Discrete Fourier Transform (DFT) Fast Fourier Transform (FFT)

Fourier Series Exponential

dengan

Fourier Series Sinusoids

dengan

Exercise: Get ao, an and bn for square wave below:

Get ao, an and bn for sawtooth wave below:

Electric Circuit Analysis : For electric circuit with non DC source, we can use Fourier analysis to solve the circuit The source should be periodic, then we will use Fourier series Usually, the sinusoid formula is used Find the ao, an and bn of all sources in the circuit

Find w of the signal (it is expressed in term of ‘n’) and transform all components into phasor representation

Get the equation and solve it (the solutions are in term of ‘n’)

Example...

V1

10 V 10 Hz 0Deg

R1

10 Ohm

L11.0H

Calculate the voltage drop at the inductor!!

The Fourier Series is discussed and students have to exercise how to use it.For the next class, students have to read Fourier Transform:

• Signals and Systems by A. V. Oppeneim ch 4 and 5, or• Signals and Linear Systems by Robert A. Gabel ch 5, or• Sinyal & Sistem (terj) ch 4 and 5

Fourier Transform (2)

Fourier transform for continuous-time signal Fourier transform for discrete-time signal Properties Convolution with Fourier Introduction to DFT and FFT

Fourier Analysis Fourier Series

Exponential Sinusoid

Discrete-time Fourier Transform Fourier Transform Discrete Fourier Transform (DFT) Fast Fourier Transform (FFT)

Discrete-time Fourier Transform (DTFT)

Exercise: h(n) = 1 for 0 ≤ n ≤ N-1, find the DTFT Proof that cos q, has sequence {½,0,½} in time domain

Properties of DTFT: Convergence Linearity Convolution Time shifting Parseval’s theorem Frequency convolution

Convolution with Fourier We have f = ½ for n=±1 and so is g, what is the spectrum of y = fg?

We have two choices to solve it: Multiply f and g, then find the signal in frequency domain, or Transform both f and g to frequency domain, then convolve them

Convolution with Fourier F = cos q and G = cos q also

Application of DTFT It is applied when one wants to design a digital filter The frequency response of the filter is known then one has to calculate its coefficients For detail discussion, please refer to Digital Signal Processing course for filter design

Continuous-time Fourier Transform (CTFT):

Energy and Power Signal: Energy signal is defined as Power signal has infinite energy but finite power

Exercise

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Properties of Fourier Transform: Symmetry Linearity Scaling Time shifting (delay) Frequency shifting (modulation) Time convolution Frequency convolution Time differentiation Time integration Frequency differentiation Frequency integration Reversal

The Energy Spectrum: Energy is defined as Proof that

Numerical Fourier Transform: How to calculate Fourier transform in computer?

The integration is approximated with sum and the technique is called DFT (Discrete Fourier Transform)

Unfortunately, DFT offers problem in computation speed For n values, we need n2 of multiplication and n(n-1) of addition

To solve this problem, FFT (Fast Fourier Transform) is used For detail discussion about DFT and FFT, please refer to Digital Signal Processing

course.

The Fourier transform is discussed and students have to exercise how to use it.For the next class, students have to read Z transform:

• Signals and Systems by A. V. Oppeneim ch 10, or• Signals and Linear Systems by Robert A. Gabel ch 4, or• Sinyal & Sistem (terj) ch 10