sin x cos2 x 1 - ss-prehrambenotehnoloska-zg.skole.hr · sin x y sin xcos y cosxsin y sin x y sin...

Razumijevanje postupka rješavanja složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Mira MIhajlović Petković 1

Adicijske formule

Formule dvostrukog kuta

Formule polovičnog kuta

Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

2 2sin cos 1x x

sin

cos

xtgx

x

cos

sin

xctgx

x

1tgx ctgx Projektna nastava



Formule :

yxyxyx sincoscossinsin yxyxyx sincoscossinsin

yxyxyx sinsincoscoscos yxyxyx sinsincoscoscos

tgxtgy

tgytgxyxtg

1

tgxtgy

tgytgxyxtg

1

Ad

icijs

ke fo

rmul

e :

ctgxctgy

ctgxctgyyxctg

1

ctgxctgy

ctgxctgyyxctg

1

xxx cossin22sin xxx 22 sincos2cos

xtg

tgxxtg

21

22

xctg

xctgxctg

2

12

2

Fo

rmul

e

dvo

stru

kog

i

tost

ruko

g ku

ta:

sin sin sin3 3 4 3x x x cos cos cos3 4 33x x x

2

cos1

2sin

xx

2

cos1

2cos

xx

For

mul

e

polo

vičn

og

kuta

:

x

xxtg

cos1

cos1

2

x

xxctg

cos1

cos1

2

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx coscos

2

1sinsin

2sin

2cos2sinsin

yxyxyx

yxyxyx sinsin

2

1cossin

2cos

2cos2coscos

yxyxyx

yxyxyx sinsin

2

1sincos

Pre

tvar

anje

sum

e(ra

zlik

e) u

pro

dukt

i o

brnu

to:

2sin

2sin2coscos

yxyxyx

yxyxyx coscos

2

1coscos



Riješeni primjeri zadataka :

1. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je

2

3,

3

1sin

2. Primjenom formula na početku izračunaj:

a) Ako je zadano 45 2, tg odredi tg tg

,2

bez određivanja

vrijednosti kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu.

b) Odredi 2

cos,2

sin,2

xxxctg bez određivanja vrijednosti kuta aki je zadano

sin , ,x x 4

5

3

22

c) Odredi yxtg i xsin 2 bez određivanja vrijednosti kutova ako je

,

2,

5

4sin xx i

2,2

3,

13

12cos yy

3. Dokaži:

a)sin sin

sin

cos cos

cos

3 33 33

x x

x

x x

x

b)1 2 2

1 2 2

cos sin

cos sin

x x

x xtgx

4. Pojednostavi korištenjem adicijskih formula izraz:

xxctgxtg

2cos

2

32



Rješenja primjera:

1. a) 2

3,

3

1sin

Ako pogledamo formule dvostrukih kutova na početku vidimo da nam trebaju vrijednosti svih trigonometrijskih funkcija da bi izračunali vrijednosti dvostrukih kutova.

Kako je kut trećeg kvadranta ostale funkcije izračunavamo pomoću formula:

2sin1cos predznak cosinusa u trećem kvadrantu je – pa od predznaka ispred korijena u formuli uzimamo samo njega.

3

22

3

24

9

8

9

11

3

11cos

2

Tangens i kotangens izračunamo pomoću formula:

22

1

3

223

1

cos

sin

tg

Racionaliziramo nazivnik : 4

2

22

2

2

2

22

12

tg

22

22

111

tg

ctg

Sad možemo izračunati sve vrijednosti trigonometrijskih funkcija dvostrukog kuta:

9

24

3

22

3

12cossin22sin

xxx

9

7

9

1

9

8

3

1

3

22sincos2cos

22

22

xxx



7

24

28

216

16

142

2

16

2162

2

16

21

2

2

4

21

4

22

1

22

22

xtg

tgxxtg

24

7

24

18

222

122

2

12

22

ctgx

xctgxctg

Racionalizacija nazivnika: 8

27

24

27

2

2

24

72

2

xctg

2. a) Ako je 2,45 tg odredi tg tg

,2

bez određivanja vrijednosti

kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu.

Iz zadanih podataka možemo izračunati tg

2

/45

tg

tg

11

45

tgtg

tgtg

tgtg

uvrstimo umjesto 2tg

tgtg

tg21/1

21

2

tgtg 212 212 tgtg

1tg

Kako je

cos1

cos1

2

tg potrebno je najprije izračunati cos

21

1cos

tg kut je prvog kvadranta, pa uzimamo predznak +, ispred

korijena.



2

1

11

1cos

2

pa je:

12

12

12

12

12

12

2

122

12

2

11

2

11

2 2

2

tg

2251

1222

2

2

tg

2.b) Odredi 2

cos,2

sin,2

xxxctg bez određivanja vrijednosti kuta ako je zadano

sin , ,x x 4

5

3

22

Kad pogledamo formule za tražene vrijednosti polovičnog kuta:

2

cos1

2sin

xx ,

2

cos1

2cos

xx ,

x

xxctg

cos1

cos1

2

vidimo da iz sinx, moramo izračunati cosx.

xx 2sin1cos , kao je x iz četvrtog kvadranta, ostavljamo samo + ispred

korjena

5

3

25

9

25

1625

25

161

5

41cos

2

x

pa sad možemo izračunati:

( ispred korijena zadržavamo predznak + za 2

sinx

, predznak – za2

cosx

, predznak

- za 2

xctg , jer je

2,2

3x pa je

,4

3

2

x a to je kut drugog kvadranta )



5

5

5

5

5

1

5

1

25

2

25

31

2

cos1

2sin

xx

5

52

5

5

5

2

5

4

25

8

25

31

2

cos1

2cos

xx

24

5

25

8

5

31

5

31

cos1

cos1

2cos

x

xx

2. c) Odredi yxtg i xsin 2 bez određivanja vrijednosti kutova ako je

,

2,

5

4sin xx i

2,2

3,

13

12cos yy

Pogledajmo formule za ono što se traži:

tgxtgy

tgytgxyxtg

1

, xxx cossin22sin

iz kojih je očito da treba izračunati cosx, tgx, tgy, siny

xx 2sin1cos Uzimamo predznak – jer je x u drugom kvadrantu

5

3

25

9

5

41cos

2

x

3

4

5

35

4

cos

sin

x

xtgx

xx 2cos1sin Uzimamo predznak – jer je x u četvrtog kvadrantu

13

5

169

25

13

121sin

2

x



12

5

13

1213

5

cos

sin

y

ytgy

Sad možemo izračunati:

56

33

9

1412

11

9

51

12

516

12

5

3

41

12

5

3

4

1

tgxtgy

tgytgxyxtg

169

120

13

12

13

52cossin22sin

xxx

3. a) sin sin

sin

cos cos

cos

3 33 33

x x

x

x x

x

Pojednostavljivanjem lijeve strane trebali bi dobiti 3 koji je na desnoj strani:

3cos

3coscos

sin

3sinsin 33

x

xx

x

xx

koristimo formule:cos cos cos3 4 33x x x sin sin sin3 3 4 3x x x i dobijemo:

3cos

)cos3cos4(cos

sin

sin4sin3sin 3333

x

xxx

x

xxx

3cos

cos3cos4cos

sin

sin3sin3 333

x

xxx

x

xx

3cos

cos3cos3

sin

)sin1(sin3 32

x

xx

x

xx

3cos

)1cos(cos3)sin1(3

22

x

xxx

3)1cos(3)sin1(3 22 xx

3)1cossin1(3 22 xx

3)1cossin1(3 22 xx



3)1)cos(sin1(3 22 xx

3)111(3

3=3

3. b) 1 2 2

1 2 2

cos sin

cos sin

x x

x xtgx

Da bi dokazali jednakost treba pojednostavniti izraz na lijevoj strani jednakosti. Pri tome koristimo formule:

xxx cossin22sin xxx 22 sincos2cos

i dobijemo:

tgxxxxx

xxxx

cossin2sincos1

cossin2)sin(cos122

22

tgxxxxxxx

xxxxxx

cossin2sincoscossin

cossin2sincoscossin2222

2222

tgxxxx

xxx

cossin2cos2

cossin2sin22

2

tgxxxx

xxx

)sin(coscos2

)cos(sinsin2

tgxx

x

cos

sin

4. a) Pojednostavi korištenjem adicijskih formula izraz:

?2

cos2

32

xxctgxtg

Primijenimo adicijske formule za tangens, kotangens i kosinus: yxyxyx sinsincoscoscos

tgxtgy

tgytgxyxtg

1



ctgxctgy

ctgxctgyyxctg

1

xxctgxctg

ctgxctg

tgxtg

tgtgxsin

2sincos

2cos

2

3

12

3

21

2?

xctgx

tgxxx

ctgx

ctgx

tgx

tgxsin

1

1sin1cos0

0

10

01

0

xtgxxtgxtgx sin2sin



Zadatci za vježbu:

1. Odredi vrijednosti dvostrukog kuta ostalih trigonometrijskih funkcija ako je:

a)2

3,

5

3sin

xx

b) xx

2,

13

5cos

c)2

3,

12

5 xtgx

d) xctgx

2,

20

21

e) xx

2,

29

21sin

f) 2

2

3,

65

16cos xx

g)2

3,

16

153

xtgx

h)2

3,

4

3 xctgx

Ove zadatke je moguće riješiti pomoću primjera 1 i prvog dijela osnova trigonometrije, primjeri pod 3.

2. Primjenom formula na početku izračunaj:

a) Ako je zadano 2,135 tg odredi 2

, tgtg bez određivanja

kutova. Kutovi se nalaze u prvom kvadrantu.

b) Ako je 4

3 , 2

,8

73cos koliko je sin ?

c) Odredi 2

cos,2

sin,2

xxxtg bez određivanja vrijednosti kuta ako je zadano

cos ,x x 4

5

3

2

d) Odredi 2

,2

xctg

xtg bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano

cos ,x x 3

5

3

22

.



e) Odredi 2

sin,2

,2

xxctg

xtg bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano

xx

2,

13

5sin .

f) Odredi 2

,2

,2

sinx

tgx

ctgx

bez određivanja vrijednosti kuta, ako je zadano

xx

2,

13

5cos .

g) Odredi 2

cos,2

sin,2

xxxctg bez određivanja vrijednosti kuta aki je zadano

,

2

3,

29

20sin xx

h) Odredi yxtg ako je ,

2,

3

2sin xx i

2,2

3,

4

3cos yy

i) Izračunaj sin i sin ako je sin , . 3

5II i

cos , . 5

13IV

j) Za kutove

02

02

, , , zadano je sin ,cos 4

5

2

10. Odredi

sin bez računanja vrijednosti kutova.

k) Neka je sin ,cos , ,x y x y 3

5

3

4 2

3

22

.Odredi ctg x y

l) Ako je

,2

,2

,014

33cos

14

35sin yxyx izračunaj:

)sin( yx , yxtg , x2sin , 2

cosx

Zadatak 2. a i b)) može se riješiti pomoću rješenja primjera 2. a)Zadatak 2. c), d) , e), f) i g) mogu se riješiti pomoću rješenja primjera 2. b)Zadatak 2. h) , i), j), k i l)) mogu se riješiti pomoću rješenja primjera 2. c)



3. Dokaži:

a) 1 2 2 2 cos cosx x

b) 1 2 22 sin cosx x

c)1

2 22

cos

cosx x

d) xctgxcos

xcos 2

21

21

e) cos sin cos4 4 2x x x

f)1 2

2

sin

cos

sin cos

cos sin

x

x

x x

x x

g) xtgxx

xx 242

42

cos42sin

sin42sin

h)tttt

t

cos

1

2cossinsin

2sin

i) xx

ctg

xctg

sin

21

22

2

Zadatak 3. a), b) , c), d), e), f), g), h) i i) mogu se riješiti pomoću rješenjaprimjera 3. a) i b).Dapače, oni su značajno jednostavniji u odnosu na predznanje učenika od kojih se očekuje da ih riješe.

4. Pojednostavi korištenjem adicijskih formula slijedeće izraze:

a) )6

sin(

x

b) )3

cos( x

c) )4

(

xtg

d) )4

3( xctg

e) tg x ctg x x

2

3

2cos

f)

2cos

44

xxctgxtg

g) sin cos sin sinx x x x

3

22

2

h)

2sincossin

2cos

xxxx



i)

x

xctgx

2

3sin

2

5cos

Rj. xx cossin

Zadatak 4. a), b) , c), d), e), g), h)i i) mogu se riješiti pomoću rješenja primjera 4. a) .Dapače, oni su značajno jednostavniji u odnosu na predznanje učenika od kojih se očekuje da ih riješe.

Zadatci za nadobudne:

1. Izračunaj:

8

13

8

17

18

9

8

5

ctgctg

ctgctg

Rj. -1

2. Izračunaj:

145sin35sin125sin55sin

162sin12sin108sin282sin

Rj.2

3

3. Izračunaj: 12

23sin

12

41sin

Rj.2

2

4. Svedi na što jednostavniji oblik: xxx

xxx

3sin2sinsin

3cos2coscos

(uputa: grupirati 2

pribrojnika i primijeniti formulu pretvorbe)

5. Izračunaj:

41cos1

53sin37sin2

Rj. 2



6. Napiši u obliku umnoška:

6

5cos

3cos 22

Rj.

62sin

7. Izračunaj:xx

xxxx22 cos3cos

sin3coscos5sin

8. 14. Izračunaj: cos24

43cos

24

85

Rj. 2

sin x cos2 x 1 - ss-prehrambenotehnoloska-zg.skole.hr · sin x y sin xcos y cosxsin y sin x y sin...

Documents

Transcript of sin x cos2 x 1 - ss-prehrambenotehnoloska-zg.skole.hr · sin x y sin xcos y cosxsin y sin x y sin...