Simulazioni Molecolari

Minimizzazione dell’energiaUn solo minimo

Ricerca conformazionaleMolti minimi

Simulazione molecolareGenera una successione di strutture che non sono minimi

Permette l’esplorazione dello spazio conformazionale

Si riferiscono a un insieme di molecole e non ad una

Applicazioni

Calcolo delle proprietà di un sistemaProprietà energeticheProprietà strutturaliProprietà termodinamicheProprietà dinamiche

Ricerca conformazionale

Studio del moto delle molecole

macroscopico

Generalità

• I metodi di simulazione molecolare permettono di studiare e prevedere il comportamento di sistemi macroscopici costituiti da un numero enorme di molecole ( 1023)

• Ciò è ottenuto tramite l’uso di modelli ridotti del sistema macroscopico che contengono un numero ridotto di molecole (10-1000)

• Le tecniche di simulazione molecolare sono due: Monte Carlo Dinamica molecolare

Meccanica statistica• In generale il valore di una proprietà di un sistema dipende dalla posizione e dai

momenti pi=mivi delle N particelle che variano nel tempo

x1(t), y1(t), z1(t), x2(t), y2(t) , z2(t) ……., xN(t), yN(t), zN(t)

px1(t), py1(t), pz1(t), px2(t), py2(t) , pz2(t) ……., pxN(t), pyN(t), pzN(t)

• Il valore istantaneo della proprietà A può essere scritto: A (PN (t), rN(t)) e fluttua nel tempo come risultato dell’interazione fra le particelle

• Il valore sperimentale della proprieta è la media di A nel tempo di misura:

• E’ quindi necessario conoscere come variano posizioni e velocità di ogni particella

nel tempo, cosa che è possibile in linea di principio ma impossibile in pratica per

un sistema macroscopico con 1023 particelle

0)()((

1lim

t

NNave dtttAA rP

• Per risolvere questo problema è stata sviluppata la meccanica statistica in cui un singolo sistema che si evolve nel tempo è sostituito da un gran numero di repliche del sistema, considerate però in uno stesso istante (insieme)

• La media temporale è quindi sostituita dalla media sull’insieme: in cui l’integrale è esteso a tutte le coordinate e i momenti del sistema

considerato, cioè d= dPNdrN

• Il sistema più comunemente usato in meccanica statistica é quello canonico in cui il numero di particelle N, il volume V e la temperatura T sono costanti

• In meccanica statistica si introduce poi il concetto di spazio delle fasi che

altro non è un’estensione dello spazio conformazionale da una a più

molecole

dAA NNNN ),(),( rPrP

Un sistema di N-particelle è completamente definito dalle 3N coordinate e dai 3N momenti P=mv

Un insieme di questi 6N valori (PN , rN)=(Px1, Py1,.., Pz3N ; x1, y1.., z3N)definisce uno stato del sistema o un punto nello spazio delle fasi.

Ciascuna proprietà sperimentalmente misurabile A è ottenuta come media pesata di quella proprietà sullo spazio delle fasi:

La funzione peso da la probabilità di trovare questo particolare stato del sistema nello spazio delle fasi, cioè la probabilità che il sistema abbia coordinate rN e momenti PN

dAA NNNN ),(),( rPrP

),( NN rP

Per l’insieme canonico (N V T costanti) la probabilità è data dall’espressione di Boltzmann function:

QTkE BNNNN /)/),(exp(),( rPrP

TkE

CQB

NN

NVT

),(exp

rP

• A (PN , rN) è il valore della proprietà A che il sistema assume nello stato (PN , rN) cioè in quel punto delle spazio delle fasi.

Ad esempio l’energia si ha:

E(PN , rN) = i=1,N Pi2/2mi + V(rN)

d

Ipotesi Ergodica

In meccanica statistica il valore di una proprietà A è quindi ottenuto come media sull’insieme <A>, per calcolare la quale dobbiamo conoscere la probabilita che il sistema sia in un certo stato (PN , rN) Alternativamente possiamo propagare un singolo sistema nello spazio delle fasi e ottenere il valore di A come media temporale:

L’ ipotesi ergodica stabilisce che:

o meglio, visto che di necessita dobbiamo usare un tempo finito:

0)()((

1lim

t

NNave dtttAA rP

aveAA

aveAA

Propagazione del sistema nel tempo

Dinamica MolecolareDeterministica

M

i

NNAM

A1

)(1

rP

M

i

NAM

A1

)(1

r

Monte CarloStocastica

In tutte le tecniche di simulazione molecolare si genera una successione nel

tempo di M configurazioni del sistema e per ciascuna si calcola A (PN , rN)

Proprietà Termodinamiche

M

iiEM

Eu1

1Energia Interna:

222 /}{ TkEEC Bv Capacità termica

N

i

N

ijijijB frTNk

VP

1 1311

Pressione:

)3(221

2

cB

N

i i

i NNTk

m

PK

Temperatura:

Impostazioni comuni della simulazione

Scelta del modello dell’energiaMeccanica molecolareAb initioSemiempirico

Scelta del modello di confine

Scelta della configurazione iniziale

Fase di equilibrazione Dalla configurazione iniziale all’equilibrio

Monitoraggio delle proprietà del sistema

Fase di produzione

Analisi della simulazione

Condizioni al contorno periodiche

Rimuove gli effetti di confinePermette il calcolo di proprie-tà macroscopiche usando un piccolo numero di particelle

Quando una particella esce da una cella è sostituita dalla sua immagine che entra dalla cella sul lato opposto

Il problema del campionamento

La successione di stati del sistema che si ottiene in una simulazione molecolare definisce un campionamento dello spazio delle fasi

Per ottenere buoni risultati il campionamento deve essere omogeneo e permettere di esplorare un’ampia parte dello spazio delle fasi

In particolare il campionamento è convergiuto se: le quantità medie rimangono stabili nel tempoSimulazioni da diverse condizioni iniziali danno gli stessi risultati

Metodo Monte Carlo

• Il metodo Monte Carlo genera casualmente delle configurazioni e usa degli particolari criteri per decidere se accettare o no ciascuna nuova configurazione nel set usato per il calcolo della proprietà A

• Questi criteri assicurano che la probabilità di ottenere una nuova configurazione sia uguale al fattore di Boltzmann

• Configurazioni di bassa energia vengono quindi generati con probabilità più alta che configurazioni di alta energia

• Alla fine dellla simulazione il valor medio della proprietà e ottenuto come semplice media

QTkE BNNNN /)/),(exp(),( rPrP

M

i

NAM

A1

)(1

r

• Nel metodo Monte Carlo l’energia è determinata solo dalla posizione degli atomi e non dai loro momenti

E(PN , rN) = V(rN)

• La limitazione dovuta a questo fatto è che non si calcolano i valori assoluti delle proprietà ma solo le deviazione rispetto al valore per il gas ideale (facilmente calcolabile analiticamente)

• Non c’è alcuna relazione temporale fra configurazioni successive ottenute in una simulazione Monte Carlo

Integrazione Monte Carlo

Area sotto la curva = _________________________________

n. di punti sotto la curva

n. di punti totali

Proprietà termodinamiche

trial

trial

N

i BN

i

N

i BN

iN

iN

TkV

TkVVV

1

1

]/)(exp[

]/)(exp[)()(

r

rrr

)()()( NNNN VdV rrrr

ZTkV B

NN ]/)(exp[

)(r

r

]/)(exp[ TkVdZ BNN

NVT rr

Energia potenziale media:

Usando l’integrazione Monte CarloSi generano Ntrial configurazioni casuali e si calcola:

Z

• Questo approccio non è però fattibile per l’alto numero di configurazioni con fattore di Boltzmann molto piccolo

• Questo problema è ovviato nell’approccio Metropolis in cui le configurazioni sono generate con probabilità uguale proprio al fattore di Boltzmann

• L’integrale per Q o per una qualsiasi proprietà A può quindi essere approsimato da una semplice somma

M

i

NAM

A1

)(1

r

Metropolis Monte Carlo

Metropolis Test

“Prova” Movimento casuale

E

NO

YES

E < 0or exp(-E/RT) < X[0,1]

??X[0,1] è un numero casuale fra 0 e 1

Si generano selettivamente configurazioni che danno contributi maggiori all’ integrale

Applicazioni

Simulazioni atomiche (esempio, cluster atomici)

Simulazioni di liquidi

Determinazione delle conformazioni molecolari (sistema di una sola molecola)

Polimeri

Esempio Sistema di tre atomi uguali in una cella cubica Calcolo dell’energia potenziale totale media del sistema

Configurazione iniziale

Energia potenziale E1:

])()[(4])()[(4),,( 6

13

12

13

6

12

12

12321 rrrrrrrV

])()[(4 6

23

12

23 rr

1

2

3

r13

r12

r23

1)

2) Variazione casuale della posizione di un atomo qualsiasi, ad esempio l’atomo 2

1

2

3

Nuova configurazione

Energia potenziale nuova configurazione E2:

])()[(4])()[(4),,( 6

13

12

13

6

12

12

12321 rrrrrrrV

])()[(4 6

23

12

23 rr

3)

5) Nel caso b) si effettua una variazione casuale dell’ultima configurazione, la seconda

1

2

3r23

r13

r12

4) Confronto energia configurazione precedente: a) Se E < 0 o exp(- E/RT) < X [0,1] la nuova configurazione è accettata b) Se exp(- E/RT) > X [0,1] la nuova configurazione non è accettata

1

2 3

1

2

3

Nel caso a) si riparte con una variazione casuale della precedente configurazione, la prima

6) Si valuta l’energia di questa terza configurazione e si prosegue nello stesso modo

7) Si memorizzano le energie potenziali di tutte le configurazioni accettate E1, E2, E3,…..

Dopo un certo numero di step, ad esempio 100, si conclude la simulazione e si calcola il valor medio dell’energia potenziale come semplice sommatoria:

100

1321 ),,(

100

1

iiVV rrr

Dinamica Molecolare

• A differenza del metodo Monte Carlo, nell’approccio della dinamica

molecolare si calcola la dinamica reale del sistema

• Applicando le equazioni del moto di Newton si calcolano le traiettorie di

tutte le N particelle del sistema

• La traiettoria di una particella specifica la posizione e la velocità di tale

particella in funzione del tempo xi(t), yi(t), zi(t) vxi(t), vyi(t), vzi(t) ; basta

conoscere le coordinate perché le velocità sono le derivate vxi(t) = dxi(t)/dt

• Data che la soluzione delle equazioni di Newton è numerica si ottiene una

successione di posizioni e velocita in M istanti di tempo successivi t1, t2,…,tM

: xi(t1), yi(t1), zi(t1) ; xi(t2), yi(t2), zi(t2) ; ………..; xi(tM), yi(tM), zi(tM)

• In pratica si ottiene una successione di M configurazioni che costituiscono un

campionamento dello spazio delle fasi di tutto il sistema (N particelle)

• Il valor medio di una proprietà A è ottenuta come media temporale

in pratica

in cui

A(PN rN) = A( PN(ti ),rN(ti ) )

è il valore istantaneo della proprietà A che dipende dalle posizioni e dai

momenti (velocità) delle N particelle nell’istante ti

• Si noti che a differenza del metodo Monte Carlo è necessario conoscere le

velocità di tutte le particelle e non solo le posizioni

0)()((

1lim

t

NNave dtttAA rP

M

i

NNAM

A1

)(1

rP

Propagazione temporale

Equazioni del moto di Newton:

)()( tmt iii aF

)(1

2

2

tmt ii

i Fr

)(1

2

2

tV

mt ii

i

r

r

Fi(r) = V(r1,r2,..,rN) / ri

Integrazione NumericaEspansione in serie di Taylor

Errttttttt )(21

)()()( 2avrr

Errttttttt )(21

)()()( 2bavv

f(t+t) = f(t) + (df(t)/dt)t + 1/2 (d2f(t)/dt2)t2 + ..

Per il moto di una particella ci interessa la sua posizione r e si ha:

In cui v(t) = r(t)/dt e a(t)= d2r(t)/dt2 e b(t) è la derivata terza

Algoritmo di Verlet

Algoritmo in praticaSi specificano le posizioni a t-t e t.Dalle positioni si calcolano le forze al tempo tSi calcolano le posizioni al tempo t+ t.Si calcolano le velocità

)(21

)()()( 2 ttttttt avrr

)(21

)()()( 2 ttttttt avrr

)()()(2)( 2 ttttttt arrr

)(1

)()(2)( 2 tm

tttttt Frrr

tttttt 2/)]()([)( rrv

i

j

Fij

-Fij

Calcolo della forza al tempo t

713

224

ijiji

ijij rr

VF

r

612

4ijij

ij rrV

Energia di interazione fra gli atomi i e jLennard-Jones

Forza sull’atomo i dovuta all’atomo j

Dinamica Molecolare

Calcola la nuova posizione

Calcola le forza dalla curvatura del potenziale Calcola le velocità dalla forza

T typically 10-15sec

Salva energia e geometria per la media

Scelta dell’intervallo di tempo

Atomi Traslazione 10-14

Molecole rigide Traslazione, rotazione 5x10-15

Molecole flessibiliLegami rigidi

Traslazione, rotazionetorsione

2x10-15

Molecole flessibiliLegami flessibili

Traslazione, rotazioneTorsione, vibrazione

10-15 or 5x10-16

Sistema Tipo di moto presente Intervallo suggerito

Per un sistema di atomi l’intervallo di tempo deve essere piccolo rispetto al tempo medio fra le collisioni

Per molecole flessibili l’ intervallo ottimale è approssimativamente un decimo del tempo per il movimento più veloce

Per molecole flessibili con legami flessibili il moto più veloce è quello di vibrazione, ad esempio per i legami C-H ~10 fs

Gli algoritmi SHAKE e RATTLE sono usati per bloccare i gradi di libertà interni e permettere intervalli di tempo più lunghi

Preparazione e avvio di una simulazione

Definizione configuraz. inizialeDerivata sperimentalmente Calcolata

Assegnazione delle velocità

Inizio della simulazioneFase di equilibrazione

Controllo della temperatura Fase di produzione

Acquisizione dei dati

VelocitàLe velocità sono assegnate casualmente da una distribuzione di Maxwell-Boltzmann alla temperatura di interesse:

Le componenti x, y, z delle velocità hanno distribuzione

2223

42

exp2

)( vTk

mvTk

mvf

BB

Energia Cinetica e Temperatura

Le velocità sono legate all’energia cinetica da:

2

1 21

ii

N

i

mK v

La temperatura è legata alle velocità da:

N

i

iiB mTkN

1

2

22)63( v

Dinamica e insiemi statistici

Una simulazione dinamica è in genere eseguita a N, V e E costanti (insieme microcanonico)

Può essere spesso utile eseguirla a N,V e T costanti (insieme canonico)

Per eseguire una dinamica a T costante dobbiamo ad ogni step al tempo t calcolare T(t) e scalare le velocità, cioè moltiplicarle per un fattore , tale che la temperatura assuma il valore voluto T

Infatti la temperatura è legata alle velocità da:

N

i

iiB mTkN

1

2

22)63( v

Si dimostra che tale valore vale:

)(tTT

ii λvv

Esempio Sistema di tre atomi uguali in una cella cubica Calcolo dell’energia potenziale totale media del sistema

Configurazione iniziale (r1, r2, r2) al tempo t1

Energia interazione V12 V13 e V23 forze F12, F13, F23

])()(2[24 7

12

13

1212 rrF

1

2

3

r13

r12

r23

1)

2)1

2

3

……….

Si calcola la nuova posizione al tempo t2=t1+t per

ogni particella i=1,2,3

)(1

)()(2)( 12

111 tm

tttttt iii Frrr

Solvatazione

• Le molecole di solvente polare si dispongono attorno allo ione o alla molecola con il lato di polarità opposta rispetto alla carica (parziale) ed esercitano un campo elettrico

• Questo campo elettrico da luogo ad un potenziale di interazione che deve essere aggiunto all’Hamiltoniano nell’equazione di Schroedinger

• Nei metodi di meccanica molecolare si aggiunge semplicemente un contributo elettrostatico nell’espressione empirica dell’energia e si considera poi una costante dielettrica nell’interazione elettrostatica tra i vari atomi

E importante poiché molte molecole sono in soluzione