Minimizzazione. Mappe di Karnaugh Tale tecnica di minimizzazione è basata sullidea che la somma di...
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Transcript of Minimizzazione. Mappe di Karnaugh Tale tecnica di minimizzazione è basata sullidea che la somma di...
Minimizzazione
Mappe di Karnaugh
Tale tecnica di minimizzazione è basata sull’idea che la somma di due prodotti di letterali può essere sostituita da un singolo prodotto se i due prodotti iniziali differiscono per un solo letterale.
Mappe di Karnaugh
partiamo dalla forma canonica disgiuntiva e introduciamo apposite tabelle con 2n celle
yxz 00 01 11 10 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 se il mintermine fa parte della f.n.d.
Mappe di Karnaugh
raggruppiamo gli uno che stanno in celle adiacenti (adiacenti significa anche sopra e sotto o destra e sinistra e quelle poste ai lati opposti della mappa)
yxz 00 01 11 10 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1
in gruppi di singoletti, coppie, quadruple…. potenze di 2
Mappe di Karnaugh
i gruppi sono determinati in modo euristico (cioè basato su osservazioni ed esperienza anziché su una teoria)
yx
z 00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 0 1 1 1
i blocchi ottenuti sono i mintermini
che cerchiamo
Mappe di Karnaugh
non è possibile applicare il metodo a funzioni con più di 4 variabili in maniera semplice
cerchiamo un altro modo
per poter minimizzare funzioni con più variabili
mappe di Karnaugh: metodo grafico
Metodo di Quine - McCluskey
non è graficodetermino gli implicanti primi (vedremo
cosa sono)cerco il ricoprimento minimo di tali
implicanti
implicanti
x y z f(x, y, z) 0 0 0 10 1 0 00 0 1 00 1 1 11 0 0 01 1 0 01 0 1 01 1 1 1
f implica f
una funzione di n variabili f rico-pre un'altra funzione g (f > g) se f vale 1 dove anche g vale 1 (ma non il vice versa)
un prodotto p di m variabili (m < n)di f è un implicante per f se f > p
implicanti
x y z f(x, y, z) 0 0 0 10 1 0 00 0 1 00 1 1 11 0 0 01 1 0 01 0 1 01 1 1 1
infatti y z vale 1
un implicante p è primo per f se l'eliminazione di un letterale di pdà luogo ad un prodotto p' tale che f > p'
x y z e ~x y znon sono primi: se eliminox e ~x ottengo ancora 1
è un implicante primo
implicanti
x y z v w1 0 0 0 00 0 0 1 11 0 0 1 01 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1
sono tutti i mintermini dellaforma canonica congiuntiva
sono ordinati per peso: numerodi 1 nella riga e peso delle variabili
w è quella che pesa di meno
implicanti
x y z v w1 0 0 0 00 0 0 1 11 0 0 1 01 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1
due "coppie" sono unificabilise differiscono per un solo simbolo
confronto il primo con tutti glialtri, poi il secondo e cosi via... creo una nuova tabella
implicanti
x y z v w1 0 0 0 00 0 0 1 11 0 0 1 01 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1
non unifica con nessuna
per ora la ignoriamo
implicanti
x y z v w1 0 0 0 00 0 0 1 11 0 0 1 01 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1
x y z v w1 0 0 - 01 0 - 0 01 0 - 1 01 0 1 - 01 0 1 1 -1 1 0 - 11 - 1 1 11 1 - 1 1
AKBCDEFGH
implicanti: diamo dei nomi alle righe
x y z v w1 0 0 0 00 0 0 1 11 0 0 1 01 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1
x y z v w1 0 0 - 01 0 - 0 01 0 - 1 01 0 1 - 01 0 1 1 -1 1 0 - 11 - 1 1 11 1 - 1 1
A BCDEFGH
ABACBDCDDFEGFHGH
implicanti: proseguiamo….
x y z v w1 0 0 - 01 0 - 0 01 0 - 1 01 0 1 - 01 0 1 1 -1 1 0 - 11 - 1 1 11 1 - 1 1
ABACBDCDDFEGFHGH
x y z v w
1 0 - - 0 ABCD
AB combina con CD
AC combina con DB
quali sono gli implicanti primi
gli implicanti primi sono quelli che non sono stati fusi con altri: K DF EG FH GH ABCD
Selezione degli implicanti primi
K A B C D E F G H
K X
DF X X
EG X X
FH X X
GH X X
ABCD X X X X
indica che l'implicante primo DF copre D
Selezione degli implicanti primi
trovare un insieme di righe di cardinalità minima tale che, per ogni colonna della tabella, vi sia almeno una riga che abbia una X in quella colonna
Due tecniche:• Dominanza• Essenzialità
Dominanza
Una riga i domina una riga j se i possiede X in tutte le posizioni di j
Essenzialità
Una riga i è essenziale se è l'unica ad avere una X in una certa posizione
Possiamo eliminare le righe essenziali e le relative colonne
Selezione degli implicanti primi
K A B C D E F G H
K X
DF X X
EG X X
FH X X
GH X X
ABCD X X X X
eliminiamo le righe e le colonne
Selezione degli implicanti primi
K A B C D E F G H
K X
DF X X
EG X X
FH X X
GH X X
ABCD X X X X
rimangono tre righe e due colonne
Selezione degli implicanti primi
K A B C D E F G H
K X
DF X X
EG X X
FH X X
GH X X
ABCD X X X X
FH domina GH e DF
Risultato finale
La forma minima è data da
K EG ABCD FH
cioè(~x ~y ~z v w) (x y ~z w)
(x ~y w) (x z v w)
Considerazioni conclusive sulla minimizzazione
Osserviamo che siamo partiti dai letterali potrebbero esserci forme più compatte
La minimizzazione è molto costosa e non sempre si riesce ad ottenere la forma minima