Simetrisku figūru Simetrisku figūru veidošana no veidošana no tetrakubiemtetrakubiem

Baiba Bārzdiņa Rīgas Valsts 1. ģimnāzija

Tetrakubu komplekts

I L N T

O K S Z

Netradicionāls uzdevums (A.Cibulis)

What time do you need to assemble the polycube from the three given tetracubes? This problem seems to be very simple at the first glance. However, after some attempts many persons regard this problem to be unsolvable.

Problēmas formulējums• Darbs veltīts sarežģītam kombinatoriskās ģeometrijas

uzdevumam: atrast visus polikubus, kuri ir saliekami no tetrakubiem un kuriem ir četras simetrijas plaknes.

• Darba mērķis: atrisināt šo uzdevumu plašākajai polikubu klasei – polikubiem ar pamatu 3 x 3,

Polikubs ir figūra, ko iegūst no vienādiem kubiem, pievienojot tos vienu otram pa veselām skaldnēm. Polikubu, kurš sastāv tieši no k kubiem, sauc par k-kubu. Ja k = 4, tādu polikubu sauc par tetrakubu.

Vēsturiskas ziņasVēsturiskas ziņas• Viens no pirmajiem rakstiem, kas veltīts tetrakubiem ir 1973. g. publicētais J. Meeus raksts

• Latvijā terakubus popularizējis A. Cibulis, piemēram, žurnālā Labirints, 1997-1998. g.

• Problēma par simetrisku figūru veidošanu no terakubiem minēta arī starptautiskajā konferencē “Creativity in Mathematical Education and the Education of Gifted Students”, Rīga, 2002.

• 2004. gadā izstrādāts konkursa darbs par simetrisku figūru veidošanu.

Torņi ar pamatu 3 x 3Torņi ar pamatu 3 x 3

Tornis ar pamatu 3 x 3 ir polikubs, kuram ir vismaz četras simetrijas plaknes un kuru var izvietot kastē ar pamatu 3 x 3, bet kuru nevar izvietot kastē ar mazāku kvadrātveida pamatu.

Pieļaujamie slāņi

A B C D

E F G

Risināšanas plāns

• Atrast visas slāņu kombinācijas ar kopējo summu 32. Ar datorprogrammas palīdzību noskaidrots, ka šādu kombināciju kopā ir 666.

• Permutāciju veidošana un analīze.• Nepieciešamo nosacījumu meklēšana: Filtru izmantošana (Lemma par filtriem) Iekrāsošanas metodes izmantošana

• Atlikušo kombināciju analīze ar A. Blumberga programmu

Kombināciju analīze

4 (3)BBBB (1/1)CAAA (2/2)DAAA (2/2)5 (17)CCCBA (10/6)CCDBA (30/4)CDDBA (30/0)DDDBA (10/0)ECCAA (16/8)ECDAA (30/6)

Filtri• Elementārie filtri

4 (3)

BBBB (1/1)

CAAA (2/2)

DAAA (2/2)

5 (17)

CCCBA (10/6)

CCDBA (30/4)

CDDBA (30/0)

DDDBA (10/0)

ECCAA (16/8)

ECDAA (30/6)

• sarežģītākie filtri

Lemma par filtriem

Tornis ar pamatu 3x3 nevar saturēt šādas slāņu permutācijas:DD, DF, FD, CD, DC, BG, GB, EG, GE, FG, GF, CF, FC, DE, ED, EF, FE, FFF, EEE, GAG, GCG, GDG, EEG.

Slāņi FF, EE, AG, DG, CG nevar būt torņa pēdējie divi slāņi.

Interpretācija ar kartītēm

5 4

1 1 1 1

1 1 2

3 1 1 2 1

3 1 1 2 1

3 1

∑ 9 5 4 7 3

5 4

1 1 1 1

1 1 2

3 1 1 3

3 1 1 2 1

1 2 1

∑ 1 9 5 4 8 1

I - 1111

L – 112, 13

K - 13

S - 13

Z - 13

N - 121

T - 121

A. Blumberga programmas uzrādīto rezultātu izdruka

Rezultāti

Īpaši torņi

• Tikai BBBB ir 5 simetrijas plaknes

• Tikai AAFAG satur F kā iekšējo slāni

• Ar augstumu 9 eksistē tikai viens stabils tornis

• GADAB, GCCBBC, GAFBAG var salikt tikai vienā veidā

BBBB

BADAG GCCBBC GAFBAGAAFAG

CABCGGGGG