UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

GORAZD VASILJEVIĆ

SIMETRIČNI BICIRKULANTI

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2014

UNIVERZA V LJUBLJANIPEDAGOŠKA FAKULTETA

Dvopredmetni učitelj: matematika - računalnǐstvo

GORAZD VASILJEVIĆ

Mentor: doc. dr. PRIMOŽ ŠPARL

SIMETRIČNI BICIRKULANTIDIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2014

Mentorju doc. dr. Primožu Šparlu se zahvaljujem za vso pomoč, koristne nasvete in zatrud, ki ga je prispeval pri nastajanju mojega diplomskega dela.

Zahvaljujem se tudi vsem svojim najblǐzjim, ki so mi ob nastajanju tega diplomskegadela in tudi ob celotnem študiju stali ob strani, me spodbujali in podpirali.

Povzetek

Diplomsko delo sodi na področje teorije grafov. Ko govorimo o preučevanju grafov, stem največkrat mislimo na preučevanje njihove strukture in z njo povezanih lastnosti.Pri tem nas največkrat zanimajo avtomorfizmi grafa (simetrije). Gre za permutacijemnožice vozlǐsč grafa, ki ohranjajo sosednost. Pri nekateri grafih, ki so dovolj “lepi”,grupa vseh avtomorfizmov na vozlǐsča tega grafa deluje tranzitivno, kar pomeni, da zapoljuben par vozlǐsč obstaja avtomorfizem, ki eno vozlǐsče preslika v drugo. Taki grafiso vozlǐsčno tranzitivni grafi. Podobno je graf povezavno tranzitiven, če grupa avtomor-fizmov deluje tranzitivno na množico njegovih povezav in je ločno tranzitiven, če grupaavtomorfizmov deluje tranzitivno na množico njegovih lokov.

Bicirkulant je graf, ki dopušča avtomorfizem z dvema orbitama iste dolžine. Pri preuče-vanju bicirkulantov je en izmed ciljev klasifikacija oziroma vsaj identifikacija neskočnihdružin vozlǐsčno, povezavno ali pa ločno tranzitivnih bicirkulantov pri kakšnih dodatnihomejitvah kot je na primer stopnja vozlǐsč.

V diplomskem delu si ogledamo rezultate Fruchta, Graverja in Watkinsa, ki so preučilitako imenovanje Posplošene Petersenove grafe (kubične bicirkulante), ter izmed njihidentificiramo vozlǐsčno in povezavno tranzitivne. Naslednji naravni korak je študijposplošitve Posplošenih Petersenovih grafov, tako imenovanih Rozetnih grafov. Prvi,ki se je z njimi ukvarjal je bil Wilson ki je tudi identificiral štiri družine povezavnotranzitivnih Rozetnih grafov. Prav Wilsonovemu delu je v diplomskem delu namenjenenajveč pozornosti, ker predstavimo identificirane družine in pokažemo, da so njihovičlani res povezavno tranzitivni bicirkulanti.

Ključne besede: teorija grafov, bicirkulant, avtomorfizem, Rozetni graf, povezavnotranzitiven graf

Klasifikacija MSC (2010): 05C25, 05C99, 20B25

Title: Symmetric bicirculants

Abstract

This BSc thesis deals with certain topics from graph theory. When we talk about stu-dying graphs, we usually mean studying their structure and their structural properties.By doing that, we are often interested in automorphisms of a graph (symmetries), whichare permutations of its vertex set, preserving adjacency. There exist graphs, whichare symmetric enough, so that automorhism group acts transitively on their vertexset. This means that for any pair of vertices of the graph, there is an automorphism,mapping one vertex to the other. Such graphs are called vertex-transitive. Similarly,a graph is edge-transitive, if its automorphism group acts transitively on its edge setand is arc-transitive, if its automorphism group acts transitively on its arc set.

A bicirculant is a graph, which admits an automorhpism with two orbits of thesame length. When studying bicirculants, one of the goals is to classify or at leastidentify infinite families of vertex-, edge- or arc-transitive bicirculants, given additionalrestrictions, such as the degree of vertices.

In this thesis, we will examine the results of Frucht, Graver and Watkins, who studiedthe so-called Generalised Petersen graphs (cubic bicirculants) and classified the vertex-and edge-transitive ones. The next natural step is to study the natural generalizationsof Generalised Petersen graphs, the so-called Rose-window graphs. The first to studythem was Wilson, who also identified four families of edge-transitive Rose-windowgraphs. The main focus of this thesis is on Wilson’s work. We present four families ofRose-Window graphs from Wilson’s paper and show, that their members are in factedge-transitive bicirculants.

Keywords: graph theory, bicirculant, automorphism, Rose-Window graph, edge-tran-sitive graph

MSC (2010) classification: 05C25, 05C99, 20B25

Kazalo

1 Uvod 1

2 Osnovne definicije, trditve in izreki 32.1 Teorija grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Nekatere znane družine grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Teorija grafov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1 Nekatere standardne družine grafov . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Cirkulanti in bicirkulanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Posplošeni Petersenovi grafi GP (n, k) 17

4 Rozetni grafi Rn(a, k) 214.1 Osnovne definicije in dejstva, povezana z Rn(a, k) . . . . . . . . . . . . 214.2 Povezavna tranzitivnost grafov Rn(a, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.1 Družina Rn(2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.2 Družina R2m(m+ 2,m+ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.3 Družina R12m(3m+ 2, 3m− 1) in R12m(3m− 2, 3m+ 1) . . . . 324.2.4 Družina R2m(2b, r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Zaključek 37

Literatura 39

Poglavje 1

Uvod

Diplomsko delo, ki ga bralec drži v rokah sodi na področje mlade veje matematike, ime-novane teorija grafov. Ta je sestavljena iz več podpodročij, od katerih se vsako ukvarjaz drugačnimi pogledi na grafe. Tako na primer poznamo kombinatorično, topološko, al-goritmično in algebraično vejo teorije grafov. Prav v zadnjo lahko umestimo diplomskodelo, saj se bomo naslonili na številne postopke, rezultate in pristope s področja algebre.

Pri preučevanju grafov nas najbolj zanima njihova struktura in z njo povezane lastnosti.Z algebraičnega vidika nas pri tem najpogosteje zanimajo simetrije oziroma avtomor-fizmi grafov, to je permutacije vozlǐsč danega grafa, ki ohranjajo sosednosti. Z vidikanjihovega preučevanja obstajajo dovolj “lepi” grafi, ki dopuščajo tolikšno mero sime-trije, da za poljuben par vozlǐsč obstaja avtomorfizem grafa, ki eno vozlǐsče preslikav drugo (grupa avtomorfizmov na množico vozlǐsč deluje tranzitivno). Taki grafi sovozlǐsčno tranzitivni grafi. Podobno je graf povezavno tranzitiven, če grupa avtomor-fizmov na njegovo množico povezav deluje tranzitivno in ločno tranzitiven, če grupaavtomorfizmov na množico njegovih lokov deluje tranzitivno.

Preučevanje simetrij je morda najbolj smiselno začeti pri družini grafov, imenovani cir-kulanti (grafi, ki dovoljujejo avtomorfizem, ki ciklično permutira vsa njihova vozlǐsča),naslednji naraven korak pa je študij bicirkulantov. Takšni grafi dopuščajo avtomorfi-zem z dvema orbitama iste dolžine, začetek njihovega preučevanja pa sega v sedemde-seta leta preǰsnjega stoletja, ko so Graver, Frucht in Watkins klasificirali vozlǐsčno inpovezavno tranzitivne Posplošene Petersenove grafe. Če je mogoča, je naš cilj pri to-vrstnem študiju navadno prav klasifikacija, v nasprotnem primeru pa vsaj konstrukcijaneskončnih družin grafov s študiranimi lastnostmi.

V splošnem je klasifikacija simetričnih bicirkulantov, ki ohranjajo strukturo PosplošenihPetersenovih grafov, precej zahtevna naloga. O tem priča tudi klasifikacija povezavnotranzitivnih t. i. Rozetnih grafov, ki so posplošitev Posplošenih Petersenovih grafovna valenco (stopnjo) 4. To je začel Wilson, ki je identificiral štiri družine takih grafov,nadaljevali pa so jo Kovács, Kutnar in Marušič s svojim dokazom, da gre resnično zaedine družine povezavno tranzitivnih Rozetnih grafov. Podobna situacije je tudi priposplošitvi Posplošenih Petersenovih grafov na valenco 5, t. i. Tabačjn grafih. Njihovo

1

klasifikacijo so naredili Arroyo, Hubard, Kutnar, O’Reilly in Šparl.V diplomskem delu bomo največ pozornosti namenili Wilsonovi identifikaciji povezavnotranzitivnih Rozetnih grafov.

V diplomskem delu bomo v drugem poglavju najprej obnovili potrebno predznanje spodročja algebre, natančneje teorije grup, in predznanje s področja teorije grafov. Vtretjem poglavju si bomo ogledali pomembneǰse rezultate dela Graverja, Fruchta in Wat-kinsa. V četrtem poglavju se bomo natančneje posvetili Rozetnim grafom in s pomočjoWilsonovega dela identificirali štiri povezavno tranzitivne družine s pripadajočimi av-tomorfizmi. Dokazu, da gre res za edine povezavno tranzitivne Rozetne grafe se bomov diplomskem delu izognili, ker presega njegove okvirje.

2

Poglavje 2

Osnovne definicije, trditve in izreki

V prvem poglavju bomo podali osnovne definicije in rezultate, ki jih bo bralec potrebovalpri prebiranju tega diplomskega dela, pri tem pa bomo navedli le nekaj dokazov. Zarezultate, ki na tem mestu niso dokazani, bralca spodbujamo, da jih skuša dokazatisam ali pa jih poǐsče v literaturi.Pri obravnavi razdelka 2.1 izhajamo iz [6] in [9], razdelek 2.2 pa je (skupaj s svojimapodrazdelkoma) povzet po [4] in [10].

2.1 Teorija grup

Osnovni pojem in glavna struktura pri obravnavi teorije grup je grupa, zato si najprejoglejmo njeno definicijo:

Definicija. Neprazna množica G skupaj z dvočleno operacijo ∗ : G × G → G tvorigrupo (zapǐsemo (G, ∗)), če velja:

1. Operacija ∗ je asociativna:

∀g1, g2, g3 ∈ G : (g1 ∗ g2) ∗ g3 = g1 ∗ (g2 ∗ g3).

2. V G obstaja element 1G, da velja:

∀g ∈ G : 1G ∗ g = g ∗ 1G = g.

Element 1G imenujemo nevtralni element (enica) grupe G.1

3. Za vsak element g ∈ G obstaja element g−1 ∈ G, da velja:

g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = 1G.

Element g−1 imenujemo inverz elementa g v grupi G.2

1V različnih virih zasledimo različne oznake za nevtralni element. Navadno ga označimo s simbolom1, ki mu v indeks dodamo oznako grupe, zelo pogosta pa je tudi oznaka e.

2Tudi za inverze se v različnih virih pojavljajo različne oznake. Najpogosteje se za inverz elementag uporablja g−1, če vemo, da je operacija množenje, in −g, če vemo, da je operacija seštevanje, lahkopa tudi g′, itd.

3

Opomba. Bralca spomnimo, da dejstvo, da je ∗ dvočlena operacija na dani množicipomeni, da produkt poljubnih dveh elementov iz te množice leži v tej isti množici. Zagrupo (G, ∗) torej velja:

∀g1, g2 ∈ G : g1 ∗ g2 ∈ G.

Ta pogoj navadno imenujemo zaprtost grupe za operacijo ∗.

Omeniti velja tudi dejstvo, da je nevtralni element 1G v grupi (G, ∗) en sam, prav takopa je inverzi g−1 elementa g ∈ G enolično določen, zato je tak zapis smiseln.

Če poleg zgoraj naštetih lastnosti velja tudi, da je operacija ∗ komutativna(∀g1, g2 ∈ G : g1 ∗ g2 = g2 ∗ g1), pravimo, da je grupa G abelska oz. komutativna.

Dogovor. V nadaljevanju oklepaje in operacijo navadno izpuščamo, torej namestogrupa (G, ∗) pǐsemo grupa G, namesto g1 ∗ g2 pa kar g1g2.

Definicija. Neprazna podmnožica H ⊂ G je podgrupa grupe G (označimo H ≤ G), čeje H grupa za podedovano operacijo.

Izkaže se, da je zgornja definicija ekvivalentna naslednji trditvi, ki pa je na tem mestune bomo dokazovali.

Trditev 2.1. Neprazna podmnožica H ⊂ G grupe G je njena podgrupa, če velja:

1. H je za operacijo ∗ zaprta množica.

2. H vsebuje nevtralni element 1G.

3. H vsebuje inverze vseh svojih elementov.

Opomba. Očitno je, da lahko preverjanje asociativnosti operacije ∗ spustimo, ker greza podedovano operacijo iz G.

Vsaka grupa G ima vsaj dve podgrupi:

• {1G} ≤ G. To podgrupo imenujemo trivialna podgrupa.

• G ≤ G. To podgrupo imenujemo neprava podgrupa.

Vse druge podgrupe v grupi G so prave, netrivialne podgrupe.

Če je množica G končna, pravimo, da je G končna grupa. V nasprotnem primeruje G neskočna grupa. V nadaljevanju se bomo srečevali s končnimi grupami, zato jesmiselno uvesti tudi pojem red grupe (označimo |G|), ki nam pove, koliko elementovpremore grupa G. Gre pravzaprav za moč (kardinalnost) množice G.Za poljuben g ∈ G je red elementa g (označimo |g|) enak najmanǰsemu naravnemuštevilu n, za katerega je gn = 1G, če obstaja. V nasprotnem primeru ima g neskončenred, bralcu pa ne bo težko razmisliti, da se to lahko zgodi le v neskončnih grupah.

4

Definicija. Naj bo (G, ∗) grupa in naj bo M ⊆ G,M 6= ∅. Podgrupa, generirana z M(oznaka 〈M〉) je najmanǰsa podgrupa grupe G, ki vsebuje M . Elemente množice Mimenujemo generatorji grupe 〈M〉.

Zelo pomemben pojem, s katerim se bo bralec pri obravnavi tega diplomskega delasrečal, je tudi preslikava. Čeprav gre za dobro poznane pojme, pa na tem mestu vendarlespomnimo, da je preslikava α : A→ B:

• surjektivna, če ustreza vsakemu elementu iz B vsaj en element iz A(∀b ∈ B ∃a ∈ A : α(a) = b),

• injektivna, če ustreza vsakemu elementu iz B največ en element iz A(∀a1, a2 ∈ A : (a1 6= a2 ⇒ α(a1) 6= α(a2))), in

• bijektivna, če ustreza vsakemu elementu iz B natančno en element iz A (torej čeje preslikava injektivna in surjektivna hkrati).

Bralca spomnimo, da ima bijektivna preslikava α : A → B enolično inverzno presli-kavo α−1 : B → A. Gre za preslikavo, ki deluje ravno obratno kot α, in je tudi samabijektivna.

Definicija. Naj bo A množica. Bijektivni preslikavi α : A → A pravimo permutacijamnožice A.

Opomba. Naj bo α : A → B preslikava. Če želimo preveriti, ali je α bijektivna,moramo v splošnem preveriti njeno injektivnost in surjektivnost. Naj bo zdaj β : C →C, kjer je C končna množica. Očitno je, da je za preverjanje bijektivnosti β dovoljpreveriti le njeno injektivnost.

Spomnimo, da preslikave lahko komponiramo. Bralec se bo na tem mestu spomnil, daje komponiranje preslikav asociativna operacija.

Definicija. Naj bosta (G1, ∗) in (G2, ◦) grupi. Preslikava ϕ : G1 → G2 je homomorfizemgrup, če velja:

∀g, h ∈ G1 : ϕ(g ∗ h) = ϕ(g) ◦ ϕ(h)

Bijektivnemu homomorfizmu ϕ : G1 → G2 rečemo izomorfizem.

Trditev 2.2. Kompozitum dveh homomorfizmov grup je homomorfizem.

Dokaz. Imejmo homomorfizma ϕ1 : G1 → G2 in ϕ2 : G2 → G3, kjer so (G1, ∗), (G2, /)in (G3, �) grupe. Če želimo pokazati, da je ϕ2◦ϕ1 : G1 → G3 homomorfizem, moramopo definiciji pokazati:

∀g, h ∈ G1 : (ϕ2 ◦ ϕ1)(g ∗ h) = (ϕ2 ◦ ϕ1)(g) � (ϕ2 ◦ ϕ1)(h)

(ϕ2 ◦ ϕ1)(g ∗ h) = ϕ2(ϕ1(g ∗ h)) = 3

3Ker je ϕ2 homomorfizem.

5

= ϕ2(ϕ1(g) / ϕ1(h)) =4

= ϕ2(ϕ1(g)) � ϕ2(ϕ1(h)) == (ϕ2 ◦ ϕ1)(g) � (ϕ2 ◦ ϕ1)(h)

�

Opomba. Ker velja, da je kompozitum dveh bijektivnih preslikav bijektivna presli-kava in ker smo v trditvi 2.2 pokazali, da je kompozitum dveh homomorfizmov spethomomorfizem, iz tega sledi, da je kompozitum dveh izomorfizmov tudi izomorfizem.

Bijektivnemu homomorfizmu grup ϕ : G→ G rečemo avtomorfizem.

Zelo pomemben pojem, s katerim se bo bralec srečal v nadaljevanju diplomskega dela,je delovanje grup in z njim povezani izreki, predvsem pa izrek o orbiti in stabilizatorju.

Definicija. Naj bo X neprazna množica in G poljubna grupa. (Levo) delovanje grupeG na množico X je vsaka preslikava • : G×X → X, za katero velja:

(a) ∀x ∈ X : • (1G, x) = x,

(b) ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G : • (g1g2, x) = •(g1, •(g2, x)).

Dogovor. Navadno znak za delovanje • opuščamo in namesto •(g, x) pǐsemo kar gx.

Definicija. Naj bo G grupa, ki deluje na množico X in naj bo x ∈ X. Tedaj je orbitatočke x pri delovanju G množica OG(x) = {gx : g ∈ G} vseh točk v katere lahko zelementi grupe G preslikamo x. Stabilizator Gx točke x je množica vseh g ∈ G, kifiksirajo (pustijo na miru) x, to je Gx = {g ∈ G : gx = x}.

Izrek 2.3. Naj bo G grupa, ki deluje na neprazni množici X in naj bo x ∈ X. Tedajje stabilizator Gx podgrupa v grupi G, to je:

Gx ≤ G.

Izrek 2.4. (Izrek o orbiti in stabilizatorju). Naj bo G končna grupa, ki deluje namnožici X. Tedaj za vsak x ∈ X velja:

|G| = |OG(x)| · |Gx|

Opomba. Naj bo G grupa, ki deluje na množico X in naj bodo x1, x2, ...xk ∈ X.Stabilizator Gx1,x2,...,xk točk x1, x2, ...xk je množica {g ∈ G : gxi = xi∀i : 1 ≤ i ≤ k}vseh g ∈ G, ki fiksirajo (pustijo na miru) vsakega izmed elementov x1, x2, ..., xk ∈ X.Ker očitno velja Gx1,x2,...,xk = Gx1 ∩Gx2 ∩ ... ∩Gxk , je tudi Gx1,x2,...,xk podgrupa grupeG, to je Gx1,x2,...,xk ≤ G.

Definicija. Naj bo G grupa, ki deluje na množico X in naj bo x1, x2 ∈ X. Če obstajag ∈ G, da velja gx = y, grupa G na množico X deluje tranzitivno.

Drugače: Če ima grupa G pri delovanju na množico X eno samo orbito, tako delovanjeimenujemo tranzitivno delovanje.

4Ker je ϕ1 homomorfizem.

6

2.1.1 Nekatere znane družine grup

Na tem mestu bralca spomnimo še na nekatere znane družine grup.

Ciklična grupa Zn:V resnici gre za komutativno grupo (Zn,+) = 〈1〉, pri čemer je Zn množica ostankovpri deljenju z n, seštevamo pa po modulu n. Velja |Zn| = n.

Diedrska grupa Dn:Gre za množico simetrij pravilnega n-kotnika, operacija pa je komponiranje preslikav.Velja Dn = 〈r, z : |r| = n, |z| = 2, zrz = r−1〉. Grupa Dn je reda 2n.

Obstaja še veliko znanih družin grup, kot so simetrične grupe Sn, alternirajoče grupeAn (za katere velja An ≤ Sn), več vrst matričnih in funkcijskih grup itn., ki pa jih vtem diplomskem delu ne bomo potrebovali.Kot zanimivost lahko dodamo le, da velja Dn ≤ Sn, o čemer lahko bralec premisli sam.

2.2 Teorija grafov

Definicija. (Enostaven neusmerjen) graf Γ = (V (Γ), E(Γ)) je urejen par množic, odkaterih je V (Γ) neprazna množica vozlǐsč, E(Γ) ⊆ {{u, v} : u, v ∈ V (Γ), u 6= v} pamnožica povezav, ki je torej podmnožica množice vseh neurejenih parov različnih ele-mentov iz V (Γ).

Kardinalonsti (moči) množice V (Γ) rečemo tudi red grafa Γ.

Opomba. Obstajajo tudi posplošitve enostavnih neusmerjenih grafov, pri katerih do-puščamo usmeritve povezav, večkratne povezave in zanke5. Zainteresirani bralec silahko več o tem prebere v literaturi, v tem diplomskem delu pa se bomo od tukajnaprej ukvarjali le z enostavnimi neusmerjenimi grafi. Bralca na tem mestu opomnimo,da nam bo beseda “graf”v nadaljevanju dela torej predstavljala “enostaven neusmerjengraf”, vsako povezavo {u, v} pa bomo, kjer bo to potrebno, opazovali kot par usmerjenihlokov (u, v) in (v, u).

Definicija. Naj bo Γ graf in u, v ∈ V (Γ) poljubni vozlǐsči. Če velja {u, v} ∈ E(Γ),imenujemo u in v krajǐsči povezave {u, v} in rečemo, da sta vozlǐsči u in v povezanioziroma sosednji, kar označimo z u ∼ v.

Definicija. Naj bo Γ graf. Če za poljuben par vozlǐsč u, v ∈ V (Γ) obstaja zaporedje vo-zlǐsč, katerega prvi in zadnji element sta vozlǐsči u in v in je v njem vsak par zaporednihvozlǐsč povezava danega grafa, je Γ povezan graf.

Definicija. Naj bo Γ graf in v ∈ V (Γ) poljubno vozlǐsče. Stopnja vozlǐsča v (označimodeg(v)) je število povezav v grafu Γ, ki imajo v za krajǐsče. Če velja deg(v) = k zavsak v ∈ V (Γ), pravimo, da je graf Γ k−regularen. Število k imenujemo stopnja (tudivalenca) grafa Γ.

5Zanka je povezava, ki ima začetek in konec v istem vozlǐsču.

7

Definicija. Naj bosta Γ1 in Γ2 grafa. Γ2 je podgraf grafa Γ1, če velja:

V (Γ2) ⊆ V (Γ1), E(Γ2) ⊆ E(Γ1).

Če velja V (Γ2) = V (Γ1), je graf Γ2 vpeti podgraf grafa Γ1.

Definicija. Naj bosta Γ1 in Γ2 grafa. Preslikava ϕ : V (Γ1) → V (Γ2) je izomorfizemgrafov, če je bijektivna in ohranja sosednost, to je, če velja

∀u, v ∈ V (Γ1) : u ∼ v ⇔ ϕ(u) ∼ ϕ(v).

Grafa Γ1 in Γ2 sta izomorfna, če med njima obstaja izomorfizem grafov (označimoΓ1 ∼= Γ2).

Opomba. Na tem mestu bralca opomnimo, da je treba graf obravnavati kot abstraktenobjekt. Za lažjo predstavo pa lahko graf Γ predstavimo oziroma upodobimo tako, daelemente množice vozlǐsč V (Γ) narǐsemo kot točke, različni točki u in v pa povežemonatanko tedaj, ko velja {u, v} ∈ E(Γ) (v ravnini, ali pa na kakšni drugi ploskvi). Stem je graf pravzaprav do izomorfizma natančno določen. Zaradi tega običajno grafeštudiramo le do izomorfizma natančno.

Definicija. Naj bo Γ graf. Preslikava ϕ : V (Γ)→ V (Γ) je avtomorfizem grafa Γ, če jebijektivna in za poljubna u, v ∈ V (Γ) velja:

u ∼ v ⇔ ϕ(u) ∼ ϕ(v)

Drugače: Avtomorfizmi grafa so permutacije množice vozlǐsč tega grafa, ki ohranjajososednost. Gre torej za izomorfizem grafa nase.

Opomba. V definiciji izomorfizma (ter tako posledično tudi avtomorfizma) je trebazahtevati, da gre za bijektivno preslikavo, ki povezave preslika v povezave in “nepo-vezave” v “nepovezave”. Kljub temu je pri preverjanju ali je neka permutacija vozlǐsčkončnega grafa res avtomorfizem grafa, dovolj preveriti samo ali ta permutacija preslikapovezave v povezave. Bralcu ne bo težko razmisliti, da zaradi bijektivnosti preslikaveod tod avtomatsko sledi, da se “nepovezave” preslikajo v “povezave”.Prav tako je v primeru, ko dokazujemo, da je neka bijekcija med dvema grafoma istegareda in z istim številom povezav res izomorfizem grafov, dovolj preveriti le, da se vsepovezave preslikajo v povezave.

Trditev 2.5. Množica avtomorfizmov grafa Aut(Γ) skupaj z operacijo komponiranjapreslikav tvori grupo.

Dokaz. Recimo, da sta α in β avtomorfizma grafa Γ, torej α, β ∈ Aut(Γ).Preverimo vse lastnosti, ki morajo za grupo veljati:

• Zaprtost za operacijo: Za α, β ∈ Aut(Γ) želimo pokazati, da je njun kompozi-tum β ◦α avtomorfizem grafa Γ, torej da je izomorfizem, ki ohranja sosednosti.Ker α, β ∈ Aut(Γ), velja, da sta α in β bijekciji. Ker je kompozitum bijektivnihpreslikav prav tako bijektivna preslikava, sledi, da je β◦α bijektivna preslikava.

8

Oglejmo si zdaj, kako kompozitum β ◦ α ohranja sosednosti. Naj bosta u, v ∈V (Γ) poljubni vozlǐsči grafa Γ in naj velja u ∼ v. Ker je α ∈ Aut(Γ), jeα(u) ∼ α(v). Ker je β ∈ Aut(Γ), je β(α(u)) ∼ β(α(v)), kar pa je ravno(β ◦ α)(v) ∼ (β ◦ α)(v). Kompozitum avtomorfizmov torej res ohranja sose-dnost.

• Asociativnost: Bralec se bo spomnil, da smo že v preǰsnjem razdelku omenili,da je komponiranje preslikav asociativno.

• Vsebovanost nevtralnega elementa: Ker je avtomorfizem permutacija, se bobralec spomnil, da je edina možnost za nevtralni element id (identiteta). Da jeidentiteta avtomorfizem in vsebovana v Aut(Γ) je očitno, saj množico vozlǐsčpreslika samo nase, pri tem pa ohrani sosednosti.

• Obstoj inverzov: Ker je α ∈ Aut(Γ), je bijektivna preslikava. Bralec se bospomnil, da smo že v preǰsnjem razdelku omenili, da za bijektivne preslikaveobstaja inverzna preslikava. Sledi torej, da za α obstaja α−1.Oglejmo si, kako α−1 ohranja sosednosti. Naj bosta x, y ∈ V (Γ) poljubnivozlǐsči grafa Γ in naj velja x ∼ y. Ker je α bijektivna preslikava, je tudisurjektivna. Iz tega sledi, da gotovo obstajata neki vozlǐsči u in v, za katerivelja α(u) = x in α(v) = y oziroma u = α−1(x) in v = α−1(y). Ker je αavtomorfizem grafa Γ in je α(u) ∼ α(v), mora torej veljati tudi u ∼ v. Popreǰsnjem zapisu sledi α−1(x) ∼ α−1(y), kar pomeni, da inverzna preslikavaohranja sosednosti.

Sledi (Aut(Γ), ◦) je grupa. �

Definicija. Naj bo Γ graf in Aut(Γ) njegova grupa avtomorfizmov.Γ je točkovno tranzitiven, če Aut(Γ) na množico V (Γ) deluje tranzitvno, to je, če zapoljubni vozlǐsči u, v ∈ V (Γ) obstaja ϕ ∈ Aut(Γ), da je ϕ(u) = v.Γ je povezavno tranzitiven, če Aut(Γ) na množico E(Γ) deluje tranzitvno, to je, če zapoljubni povezavi {u1, v1}, {u2, v2} ∈ E(Γ) obstaja ϕ ∈ Aut(Γ), da je ϕ({u1, v2}) ={u2, v2}.Γ je simetričen oz. ločno tranzitiven, če Aut(Γ) na množico lokov grafa Γ delujetranzitivno, to je, če za poljubna para povezanih vozlǐsč {u1, v1} in {u2, v2} obstajataϕ, ψ ∈ Aut(Γ), tako da je ϕ(u1) = u2, ϕ(v1) = v2, ψ(u1) = v2 in ψ(v1) = u2.

Drugače: Graf Γ je točkovno tranzitiven, če za poljuben par vozlǐsče u, v ∈ V (Γ) ob-staja avtomorfizem, ki prvo vozlǐsče preslika v drugo.Graf Γ je povezavno tranzitiven, če za poljuben par povezav iz E(Γ) obstaja avtomor-fizem, ki prvo povezavo preslika v drugo.Graf Γ je simetričen (ločno tranztiven), če za poljuben par lokov obstaja avtomorfizem,ki prvi lok preslika v drugi lok.

Na tem mestu si bolj natančno oglejmo razliko med povezavno in ločno tranzitivnostjo.Pri preverjanju prve nas pravzaprav ne zanima, kako izbrani avtomorfizem ϕ ∈ Aut(Γ)povezavo {u1, v1} ∈ E(Γ) preslika v povezavo {u2, v2} ∈ E(Γ). Velja lahko ϕ(u1) = u2

9

in ϕ(v1) = v2 ali pa ϕ(u1) = v2 in ϕ(v1) = u2, pomembno je le, da se vsaka povezavalahko preslika na vsako drugo povezavo. Pri preverjanju ločne tranzitivnosti smo precejzahtevneǰsi. Pri njenem preverjanju si želimo, da se lahko povezava {u1, v1} ∈ E(Γ) zizbranima avtomorfizmoma ϕ, ψ ∈ Aut(Γ) preslika v povezavo {u2, v2} ∈ E(Γ) tako,da velja ϕ(u1) = u2, ϕ(v1) = v2 in tudi ψ(u1) = v2, ψ(v1) = u2.

Zelo zanimivo je dejstvo, da povezavno tranzitivni grafi niso nujno tudi vozlǐsčno tranzi-tivni. Lep primer je družina grafov Kn1,n2 , imenovana polni dvodelni, oziroma bipartitnigrafi (o njih si lahko zainteresirani bralec več prebere v literaturi), kjer n1 6= n2. Če veljata pogoj, gre za neregularne grafe, kar avtomatsko pomeni, da graf ni vozlǐsčno tranzi-tiven, pa vendar obstajajo avtomorfizmi, ki poskrbijo, da je graf povezavno tranzitiven.Njihovo iskanje prepuščamo bralcu, primer takega grafa pa je prikazan na sliki 2.1.

Slika 2.1: Graf K2,3.

Naslednja trditev še dodatno utrjuje, da je med povezavno in ločno tranzitivnostjobistvena razlika. Povezavna tranzitivnost namreč ni zadosten pogoj za ločno tranzitiv-nost, medtem ko ločna za povezavno je.

Trditev 2.6. Naj bo Γ povezan graf, ki je ločno tranizitiven. Potem je Γ tudi vozlǐsčnoin povezavno tranizitiven.

Dokaz. Naj bosta u in v poljubni vozlǐsči ločno tranzitivnega grafa Γ. Ker gre zapovezan graf, imata u in v vsaj po enega soseda. Označimo ju z u′ in v′, kjer jeu ∼ u′ in v ∼ v′. Ker je Γ ločno tranzitiven, obstaja avtomorfizem ϕ ∈ Aut(Γ), kilok (u, u′) preslika v lok (v, v′), posledično pa u v v. Iz tega sledi, da je Γ vozlǐsčnotranzitiven.Že zgoraj smo ugotovili, da je ločna tranzitivnost “strožji” pogoj kot povezavnatranzitivnost zato je očitno, da je vsak ločno tranzitiven graf tudi povezavno tranzi-tiven. �

Omeniti velja, da obrat trditve 2.6 ne velja. Obstajajo namreč velike družine grafov,ki so vozlǐsčno in povezavno tranzitivni, pa vendar niso ločno tranzitivni. Takšne grafeimenujemo pol-ločno tranzitivni grafi, zainteresirani bralec pa si lahko več o njih preberev literaturi ([7]). Omenimo lahko še, da je najmanǰsi pol-ločno tranzitiven graf Holtovoziroma Doylov graf na 27 vozlǐsčih.

2.2.1 Nekatere standardne družine grafov

Poln graf Kn je graf z množico vozlǐsč V (Kn) = {u0, u1, ..., un−1} in množico povezavE(Kn) = {{ui, uj} : ui, uj ∈ V (Kn), i 6= j}. Primer polnega grafa je prikazan nasliki 2.2.

10

Slika 2.2: Graf K5. Slika 2.3: Graf C7.

Cikel Cn je graf z množico vozlǐsč V (Cn) = {u0, u1, ..., un−1} in množico povezavE(Cn) = {{ui, ui+1} : i ∈ Zn}. Primer cikla je prikazan na sliki 2.3.

Naj bo G grupa, S pa taka podmnožica S ⊂ G, da velja S = S−1 in 1G 6∈ S. Tedajje Cayleyev graf Cay(G,S) grupe G glede na podmnožico S graf z množico vozlǐsčV (Cay(G,S)) = G in množico povezav E(Cay(G,S)) = {{g, gs} : g ∈ G, s ∈ S}.Primer Cayleyevega grafa je prikazan na sliki 2.4.

Slika 2.4: Graf Cay(D4 = 〈r, z | r4 = z2 = 1, zrz = r−1〉, {r, z, z3}).

Obstaja še veliko dobro znanih družin grafov, kot so poti (Pn), Hammingovi grafi(H(d, q)), hiperkocke (Qn) itn., vendar jih na tem mestu ne bomo posebej obravna-vali.

2.2.2 Cirkulanti in bicirkulanti

Zdaj, ko smo spoznali osnovne pojme, se lahko posvetimo družini grafov, s katero sebomo ukvarjali v nadaljevanju diplomskega dela, družini bicirkulantov. Bralec bo opazil,da je beseda “bicirkulant” sestavljena iz besede “cirkulant”in predpone “bi”, zato jenaravno, da najprej spoznamo družino cirkulantov.

Definicija. Imejmo ciklično grupo Zn in poljubno podmnožico S ⊆ Zn\{0}, za katerovelja S = −S. Tedaj Cayleyjev graf Cay(Zn, S) označimo s Circ(n, S) in ga imenujemocirkulant (reda n). Vozlǐsča cirkulanta Circ(n, S) torej lahko označimo z ui, kjer i ∈ Zn,

11

povezave pa so tedaj neurejeni pari {ui, uj}, za katere je j − i ∈ S, i 6= j (povezavelahko drugače zapǐsemo tudi {ui, ui+s}).

Primer cirkulanta je prikazan na sliki 2.5.

Slika 2.5: Circ(14, {±2,±7}).

Trditev 2.7. Naj bo n ≥ 3 naravno število in S ⊆ Zn taka množica, da S = −S in0 6∈ S. Tedaj grupa avtomorfizmov Aut(Circ(n, S)) vsebuje podgrupo reda 2n, ki jeizomorfna diedrski grupi Dn.

Dokaz. Definirajmo permutaciji r in z vozlǐsč cirkulanta Γ = Circ(n, S), za katerivelja:

∀i ∈ Zn : r(ui) = ui+1,

∀i ∈ Zn : z(ui) = u−i.

Pokažimo, da ti dve permutaciji ohranjata sosednosti v Γ. Sosednosti cirkulantaso oblike ui ∼ ui+s, zato si poglejmo, kaj se s krajǐsčema povezave dogaja, če jihpreslikamo z r in z:

r(ui) = ui+1, r(ui+s) = ui+s+1 = ui+1+s,

z(ui) = u−i, z(ui+s) = u−i−s.

Bralec lahko opazi, da r in z ohranjata sosednosti, saj r povezavo {ui, ui+s} preslika v{ui+1, ui+1+s}, z pa v {u−i, u−i−s} (zadnja je res povezava, saj velja S = −S). Sledi,da sta r in z avtomorfizma grafa Γ. Ni težko opaziti, da velja |r| = n in |z| = 2, sajr pravzaprav predstavlja rotacijo za en korak (torej moramo graf n-krat zavrteti, dadobimo začetno situacijo), z pa zrcaljanje (graf moramo dvakrat prezrcaliti, da sevrnemo v izhodǐsčno situacijo).

12

Označimo H = 〈r, z〉. Da bo veljalo H ∼= Dn, moramo preveriti še pogoj, ki velja vdiedrskih grupah, namreč zrz = r−1:

r−1(ui) = ui−1,

zrz(ui) = zr(u−i) = z(u−i+1) = ui−1.

Sledi H = 〈r, z〉 ∼= Dn ≤ Aut(Circ(n, S)). �

Trditev 2.8. Naj bo Γ graf reda n. Tedaj je Γ ∼= Circ(n, S) za neki S natanko tedaj,ko Γ dopušča avtomorfizem reda n, ki ciklično permutira njegova vozlǐsča.

Dokaz.(⇒) Da Γ dopušča ustrezen avtomorfizem r, če velja Γ = Circ(n, S), smo pokazaliže v dokazu trditve 2.7.(⇐) Predpostavimo zdaj, da Γ dopušča avtomorfizem reda n, ki ciklično permutiranjegova vozlǐsča in ga označimo z r. Avtomorfizem r ima eno orbito dolžine n.Izberimo u ∈ V (Γ) in definirajmo ui = ri(u) za vsak i ∈ Zn. Naj bo S = {s ∈Zn : u0 ∼ us} (torej množica vseh indeksov vozlǐsč, s katerimi je povezano vozlǐsčeu0). Oglejmo si poljubno povezavo u0 ∼ us in kaj se z njo zgodi po delovanju z ri:

u0 ∼ us

ri(u0) ∼ ri(us)ui ∼ ui+s

Dobimo ravno znano obliko povezav, ki jih imajo cirkulanti Circ(n, S). �

Sedaj, ko smo spoznali družino cirkulantov, lahko definiramo družino grafov, imenovanobicirkulanti ([1]). Oglejmo si definicijo.

Definicija. Bicirkulant je graf sodega reda 2n za neki n ≥ 3, ki dovoljuje avtomorfizemz dvema orbitama dolžine n.

Vpeljimo zdaj naslednjo družino grafov. Naj bo n ≥ 3 in L, M in R take pomnožiceZn, da velja L = −L, R = −R in 0 6∈ L ∪R. Tedaj je BCn[L,M,R] družina grafov, zakatere velja, da imajo množico vozlǐsč V (BCn[L,M,R]) = {ui, vi : i ∈ Zn} in množicopovezav E(BCn[L,M,R]), ki jo lahko predstavimo s tremi množicami:

L =⋃i∈Zn

{{ui, ui+l} : l ∈ L},

M =⋃i∈Zn

{{ui, vi+m} : m ∈M},

R =⋃i∈Zn

{{vi, vi+r} : r ∈ R}.

Oglejmo si množice povezav L, M in R. Bralec lahko opazi, da sta množici L in Rpravzaprav enake oblike kot množica E(Circ(n, S)), torej skupaj z množicama vozlǐsč,ki ju lahko “izluščimo”iz njune formulacije (pri L je to {ui : i ∈ Zn}, pri R pa {vi : i ∈Zn}) predstavljata dva cirkulanta. Množica M je množica povezav, ki ta dva cirkulantapovezujejo.

13

Izrek 2.9. Družina grafov BCn[L,M,R] je natanko družina bicirkulantov.

Dokaz.(⇒) Naj bo n ≥ 3 in Γ = BCn[L,M,R] za neke podmnožice L, M in R, za katerevelja L = −L, R = −R in 0 6∈ L∪R. Graf Γ je torej reda 2n. Pokažimo, da dopuščaavtomorfizem z dvema orbitama dolžine n.V trditvi 2.8 smo pokazali, da cirkulanti dopuščajo avtomorfizem r, ki ima eno orbitodolžine n, zgoraj pa smo ugotovili, da je pravzaprav družina grafov BCn[L,M,R]takšna, da je posamezen graf sestavljen iz dveh cirkulantov, ki imata vmesne pove-zave, ki ju povezujejo. Poiskati želeni avtomorfizem grafa Γ, ki ima dve orbiti dolžinen, torej ni težko. Definirajmo permutacijo ϕ, za katero velja:

∀i ∈ Zn : ϕ(ui) = ui+1

∀i ∈ Zn : ϕ(vi) = vi+1Po zgornjem komentarju je dovolj preveriti, da ϕ ohranja povezave iz množice M,kar je jasno razvidno že iz same defincije ϕ.Bralec zdaj lahko opazi, da ima avtomorfizem ϕ pri delovanju na množico V (Γ) dveorbiti:

Oϕ(u0) = {ui : i ∈ Zn}

Oϕ(v0) = {vi : i ∈ Zn}

Po definiciji je torej Γ bicirkulant.(⇐) Imejmo graf Γ, ki spada v družino bicirkulantov in tako dopušča avtomorfizemϕ ∈ Aut(Γ) z dvema orbitama dolžine n. Izberimo u, v ∈ V (Γ), pri čemer iz vsakeorbite vzamemo po eno vozlǐsče, in definirajmo ui = ϕ

i(u) ter vi = ϕi(v) za vsak

i ∈ Zn. Naj bo L = {l ∈ Zn : u0 ∼ ul}, R = {r ∈ Zn : v0 ∼ vr} in M = {m ∈Zn : u0 ∼ vm}.Oglejmo si povezave u0 ∼ ul, v0 ∼ vr in u0 ∼ vm in kaj se z njimi dogaja obpermutiranju vozlǐsč s pomočjo ϕi:

u0 ∼ ulϕi(u0) ∼ ϕi(ul)

ui ∼ ui+l

v0 ∼ vrϕi(v0) ∼ ϕi(vr)

vi ∼ vi+r

u0 ∼ vmϕi(u0) ∼ ϕi(vm)

ui ∼ vi+mDobimo ravno znano obliko povezav, ki jih imajo grafi BCn[L,M,R]. �

Primer bicirkulanta je prikazan na sliki 2.6.

Druga formulacija družine bicirkulantov nam omogoča naslednjo upodobitev takih gra-fov v ravnini:

• Narǐsemo dve koncentrični “orbiti” vozlǐsč, od katerih zunanja označimo z ui, i ∈Zn, notranja pa z vi, i ∈ Zn.

• Množica L nam pove, kako med seboj povezati vozlǐsča ui, i ∈ Zn.

14

Slika 2.6: BC10[{±2}, {±4,±5}, {±3}].

• Množica M nam pove, kako moramo povezati vozlǐsča ui, i ∈ Zn z vozlǐsči vi, i ∈Zn.

• Množica R nam pove, kako med seboj povezati vozlǐsča vi, i ∈ Zn.

Bralec lahko razmisli, da je bicirkulant BCn[L,M,R] regularen natanko tedaj, ko velja|L| = |R|.

V nadaljevanju diplomskega dela se bomo ukvarjali s simetrijami bicirkulantov. Pri temnas bo predvsem zanimalo, kateri bicirkulanti so ločno tranzitivni, največ pozornostipa bomo namenili določeni družini bicirkulantov, imenovani Rozetni grafi.

15

16

Poglavje 3

Posplošeni Petersenovi grafi GP (n, k)

Prvi pomemben korak v preučevanju simetričnih bicirkulantov so naredili Frucht, Gra-ver in Watkins v svojem članku [3], po katerem je povzeto naslednje poglavje. V ome-njenem članku so avtorji prvi klasificirali vozlǐsčno in povezavno tranzitivne PosplošenePetersenove grafe, kar so uspeli tudi dokazati s pomočjo posebne podgrupe avtomorfiz-mov. V diplomskem delu se v podrobnosti ne bomo spuščali, zainteresirani bralec palahko v članku najde vse trditve, izreke in leme ter njihove podrobne dokaze, pri čemermu bo v pomoč tudi diplomsko delo [11], ki je posvečeno obravnavi omenjenega članka.

Oglejmo si definicijo Posplošenih Petersenovih grafov:

Definicija. Za naravni števili n in k, za kateri velja 2 ≤ 2k < n je Posplošeni Pe-tersenov graf GP (n, k) graf, ki ima množico vozlǐsč V (GP (n, k)) = {ui, vi : i ∈ Zn} inmnožico povezav E(GP (n, k)) = {{ui, ui+1}, {ui, vi}, {vi, vi+k} : i ∈ Zn}.

Če si pomagamo z definicijo bicirkulantov iz podrazdelka 2.2.2, lahko torej GP (n, k)zapǐsemo tudi kot BCn[{±1}, {0}, {±k}]. Ti grafi predstavljajo začeten korak v preuče-vanju povezanih bicirkulantov na splošno, saj gre za kubične grafe (torej regularne grafestopnje 3), pri katerih ima vsako vozlǐsče le po enega soseda v drugi orbiti ustreznegaavtomorfizma z dvema orbitama enake dolžine.Najbolj znan primer Posplošenega Petersenovega grafa je graf GP (5, 2), ki ga imenu-jemo kar Petersenov graf, po katerem so ti grafi dobili tudi svoje ime.Povezave v grafu GP (n, k), ki so oblike {ui, ui+1}, imenujemo zunanje povezave, po-vezave, ki so oblike {vi, vi+k}, imenujemo notranje povezave, povezave, ki pa so oblike{ui, vi} imenujemo špice.

Naj bo Aut(GP (n, k)) grupa avtomorfizmov grafa GP (n, k). Zelo pomembno vlogo priobravnavi simetričnosti Posplošenih Petersenovih grafov ima podgrupa grupeAut(GP (n, k)),ki so jo avtorji v [3] poimenovali B(n, k) in sestoji iz vseh avtomorfizmov, ki pri delo-vanju na GP (n, k) ohranjajo množico špic. Izkaže se, da velja Dn ≤ Aut(GP (n, k)) intudi Dn ≤ B(n, k), bralcu pa prepuščamo razmislek, zakaj je to tako.

17

Slika 3.1: Petersenov graf GP (5, 2).

Definirajmo preslikavo α na množici V (GP (n, k)), da velja:

∀i ∈ Zn : α(ui) = vki,

∀i ∈ Zn : α(vi) = uki.

Jasno je, da je α bijekcija (in torej permutacija) natanko tedaj, ko je D(n, k) = 1. Daje α avtomorfizem grafa GP (n, k), mora veljati še nekaj več.

Trditev 3.1. Naj bo α permutacija množice vozlǐsč grafa GP (n, k), definirana kot vpredhodem odstavku. Tedaj je α ∈ Aut(GP (n, k)) če in samo če k2 ≡ ±1(mod n).

Dokaz. Oglejmo si delovanje permutacije α na množico E(GP (n, k)):

• Zunanje povezave {ui, ui+1} se preslikajo v notranje povezave {vki, vk(i+1)} ={vki, vki+k}.

• Špice {ui, vi} se preslikajo v špice {vki, uki}.

• Notranje povezave {vi, vi+k} se preslikajo v {uki, u(i+k)k} = {uki, uki+k2}, ki pa sozunanje povezave natanko tedaj, ko velja k2 ≡ ±1(mod n). Preslikava α je takoavtomorfizem grafa GP (n, k) natanko tedaj, ko velja k2 ≡ ±1(mod n).

�

Rezultat, ki so ga avtorji članka [3] dosegli prek formuliranja in dokazovanja številnihlem, trditev in izrekov, lahko strnemo v nekaj rezultatov, ki sledijo.

Izrek 3.2. Graf GP (n, k) je vozlǐsčno tranzitiven, če in samo če velja k2 ≡ ±1(mod n)ali pa n = 10 in k = 2.

Izrek 3.3. Graf GP (n, k) je povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko je (n, k) en izmednaslednjih parov:

(4, 1), (5, 2), (8, 3), (10, 2), (10, 3), (12, 5), (24, 5).

18

Posledica 3.4. Vsak graf GP (n, k), ki je povezavno tranzitiven, je tudi vozlǐsčno tran-zitiven.

V [3] je poglavitno vlogo pri dokazu izreka 3.3 igrala naslednja lema.

Lema 3.5. Naslednje trditve so si ekvivalentne:

(a) Graf GP (n, k) je povezavno tranzitiven.

(b) Obstaja ϕ ∈ Aut(GP (n, k)), ki neko špico preslika v povezavo, ki ni špica.

(c) B(n, k) je prava podgrupa Aut(GP (n, k)).

Lema nam torej pove, da je pri preverjanju povezavne tranzitivnosti grafov GP (n, k)dovolj najti tak avtomorfizem, ki neko špico preslika v povezavo, ki ni špica. Kot bomovideli v naslednjem poglavju, bo analogen rezultat veljal tudi za Rozetne grafe.

Vsi povezavno (in vozlǐsčno) tranzitivni grafi GP (n, k) so prikazani na slikah 3.1-3.7.

Slika 3.2: GP (4, 1). Slika 3.3: GP (8, 3).

Slika 3.4: GP (10, 2). Slika 3.5: GP (10, 3).

19

Slika 3.6: GP (12, 5). Slika 3.7: GP (24, 5).

Na tem mestu v diplomskem delu končujemo pregled Posplošenih Petersenovih grafov inse pomikamo na naslednjo družino bicirkulantov. Zaradi standardne upodobitve grafovGP (n, k), iz katere je jasno razvidna njihova struktura (vozlǐsča znotraj vsake orbiteso povezana v enega ali več disjunktnih ciklov, obstajajo pa tudi povezave med temaorbitama, ki vsako vozlǐsče iz prve orbite poveže z natanko enim vozlǐsčem v drugi or-biti), bi se lahko bralcu zazdelo, da je naslednji logičen korak povečanje števila vmesnihpovezav oziroma špic. To je dejansko tudi smer, ki jo uberemo v tem diplomskem delu.Opozoriti pa velja, da ta korak vendarle ni tako očiten. GP (n, k) niso edini kubični bi-cirkulanti, ampak obstaja še nekaj takih družin. Tako na primer poznamo tudi družino,v kateri vozlǐsča znotraj ene izmed orbit niso povezana in to pomeni povečano številošpic pa tudi druge. V zvezi s temi družinami kubičnih bicirkulantov omenimo samo to,da je klasifikacijo vseh povzavno tranzitivnih kubičnih bicirkulantov dokončal Pisanskileta 2007 ([8]).Kot že omenjeno, v tem diplomskem delu preučujemo bicirkulante, ki ohranjajo struk-turo Posplošenih Petersenovih grafov, zato pri tem povečujemo valenco tako, da doda-jamo vmesne povezave med orbitama vozlǐsč.

20

Poglavje 4

Rozetni grafi Rn(a, k)

Družina tako imenovanih Rozetnih grafov je družina bicirkulantov, ki se od PosplošenihPetersenovih grafov razlikuje v tem, da ima med zunanjimi vozlǐsči ui in notranjimivozlǐsči vi po dve povezavi, torej eno več, kot v GP (n, k).Grafe iz obravnavane družine, ki v izvirniku nosijo ime Rose-Window graphs, mi pasmo ga v tem diplomskem delu podomačili, je uvedel S. Wilson, ki je v svojem članku[12] tudi prvi identificiral štiri poddružine povezavno tranzitivnih Rozetnih grafov. Poomenjenem članku je povzeto poglavje 4.Ime Rozetni graf najverjetneje izhaja iz dejstva, da grafi, ki spadajo v to družino, zuporabo nekaj domǐsljije, spominjajo na t. i. rozete (Rose windows). To so okroglaokna, ki se pojavljajo predvsem v gotskih cerkvah in so razdeljena na segmente s ka-mnitimi križi in krogovičjem.Rozetne grafe označimo z Rn(a, k), več o pomenih parametrov pa bomo povedali vrazdelku, ki sledi.Kovács, Kutnar in Marušič so v svojem članku [5] iz leta 2010 uspeli pokazati, da sografi iz štirih družin, ki jih je identificiral Wilson, pravzaprav edini povezavno tranzi-tivni Rozetni grafi. Dokaz njihovega rezultata presega okvire tega diplomskega dela,zato ga ne bomo navajali.

4.1 Osnovne definicije in dejstva, povezana z Rn(a, k)

Definicija. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja 1 ≤a, k ≤ n−1. Tedaj je Rozetni graf Rn(a, k) graf z množico vozlǐsč V (Rn(a, k)) = {ui, vi :i ∈ Zn} in množico povezav E(Rn(a, k)), ki sestoji iz štirih disjunktnih podmnožic:

• Podmnožica vseh zunanjih povezav oblike {ui, ui+1}, i ∈ Zn.

• Podmnožica vseh ravnih špic oblike {ui, vi}, i ∈ Zn.

• Podmnožica vseh poševnih špic oblike {vi, ui+a}, i ∈ Zn.

• Podmnožica vseh notranjih povezav oblike {vi, vi+k}, i ∈ Zn.

Primer Rozetnega grafa je prikazan na sliki 4.1.

21

Slika 4.1: R12(2, 4).

Rozetne grafe Rn(a, k) lahko, ob pomoči druge formulacije bicirkulantov iz podraz-delka 2.2.2 zapǐsemo tudi kot BCn[{±1}, {0,−a}, {±k}]. Gre za tetravalentne (včasihrečemo tudi 4-valentne) grafe, kar pomeni, da velja deg(v) = 4 za vsak v ∈ V (Rn(a, k)).Izjema je primer, ko je n sodo število in je k = n

2.

Oglejmo si nekaj dejstev v povezavi z grafi Rn(a, k), od katerih so nekatera očitneǰsa,zato bomo razmislek o njih prepustili bralcu, druga pa bomo dokazali.

Trditev 4.1. Graf GP (n, k) je vedno vpeti podgraf grafa Rn(a, k).

Trditev 4.2. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja1 ≤ a, k ≤ n− 1. Tedaj velja Rn(a, k) ∼= Rn(−a, k).

Dokaz. Označimo vozlǐsča grafa Γ1 = Rn(a, k) z ui in vi za i ∈ Zn in vozlǐsčagrafa Γ2 = Rn(−a, k) z u′i in v′i za i ∈ Zn kot običajno. Definirajmo preslikavoϕ : V (Γ1) → V (Γ2), ki je podana s predpisom: ui 7→ u′−i, vi 7→ v′−i. Oglejmo sidelovanje preslikave ϕ:

• Zunanje povezave {ui, ui+1} grafa Γ1 se preslikajo v zunanje povezave {u′−i, u′−i−1}grafa Γ2.

• Ravne špice {ui, vi} grafa Γ1 se preslikajo v ravne špice {u′−i, v′−i} grafa Γ2.

• Poševne špice {vi, ui+a} grafa Γ1 se preslikajo v poševne špice {v′−i, u′−i−a} grafaΓ2.

• Notranje povezave {vi, vi+k} grafa Γ1 se preslikajo v notranje povezave {v′−i, v′−i−k}grafa Γ2.

22

S tem smo dokazali, da je preslikava ϕ izomorfizem grafov in tako res velja Rn(a, k) ∼=Rn(−a, k). �

Trditev 4.3. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja1 ≤ a, k ≤ n− 1. Tedaj velja Rn(a, k) = Rn(a,−k).

Opomba. Bralec naj opazi, da v preǰsnjem primeru govorimo o izomorfnosti, v tempa celo o enakosti, gre v tem primeru kar za isti graf, ne samo izomorfen.

Trditev 4.4. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja1 ≤ a, k ≤ n − 1. Če velja D(n, k) = 1, potem Rn(a, k) ∼= Rn(ak−1, k−1), kjer je k−1multiplikativni inverz elementa k v kolobarju Zn.

Dokaz. Ker velja D(n, k) = 1, vemo, da ima k multiplikativni inverz v kolobarju Zn.Označimo ga s k−1.Označimo vozlǐsča grafa Γ1 = Rn(a, k) z ui in vi za i ∈ Zn in vozlǐsča grafa Γ2 =Rn(ak

−1, k−1) z u′i in v′i za i ∈ Zn. Definirajmo preslikavo ϕ : V (Γ1) → V (Γ2), ki je

podana s predpisom: ui 7→ v′−ik−1 , vi 7→ u′−ik−1 . Ker velja D(n, k) = 1, gre očitno zabijektivno preslikavo. Oglejmo si njeno delovanje na povezavah grafa Γ1:

• Zunanje povezave {ui, ui+1} se preslikajo v notranje povezave {v′−ik−1 , v′−ik−1−k−1}.

• Ravne špice {ui, vi} se preslikajo v ravne špice {v′−ik−1 , u′−ik−1}.

• Poševne špice {vi, ui+a} se preslikajo v poševne povezave {u′−ik−1 , v′−ik−1−ak−1}.

• Notranje povezave {vi, vi+k} se preslikajo v zunanje povezave {u′−ik−1 , u′−ik−1−kk−1} =1{u′−ik−1 , u′−ik−1−1}.

Bijektivna preslikava ϕ torej ohranja sosednosti in je zato izomorfizem grafov. �

Ker je D(7, 3) = 1, je R7(5, 3) (prikaz levo) ∼= R7(4, 5) (po trditvi 4.4 - prikaz desno indrugače na naslednji strani levo) = R7(4, 2) (po trditvi 4.3) ∼= R7(3, 2) (po trditvi 4.2- prikaz na naslednji strani desno).

1Ker je k−1 inverz k v Zn.

23

4.2 Povezavna tranzitivnost grafov Rn(a, k)

V naslednjem razdelku se bomo posvetili klasifikaciji povezavno tranzitivnih Rozetnihgrafov. Ta sestoji iz dveh korakov. V prvem se identificira štiri takšne družine grafov,medtem ko se v drugem pokaže, da drugih povezavno tranzitivnih Rozetnih grafov ni.Kot že omenjeno, se bomo v tem diplomskem delu omejili le na prvi korak.Za začetek obravnave povezavne tranzitivnosti grafov Rn(a, k) si oglejmo trditev, kinam bo v nadaljevanju obravnave precej olaǰsala delo.

Trditev 4.5. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja1 ≤ a, k ≤ n− 1. Tedaj grupa avtomorfizmov Aut(Rn(a, k)) vsebuje podgrupo reda 2n,ki je izomorfna diedrski grupi Dn.

Dokaz. Definirajmo permutaciji vozlǐsč r in z grafa Rn(a, k), da velja:

∀i ∈ Zn : r(ui) = ui+1, r(vi) = vi+1

∀i ∈ Zn : z(ui) = u−i, z(vi) = v−a−iZaradi dejstva, da so Rozetni grafi bicirkulanti, iz dokaza izreka 2.9 sledi, da je ravtomorfizem.

Permutacija z preslika zunanjo povezavo {ui, ui+1} v zunanjo povezavo {u−i, u−i−1},ravno špico {ui, vi} v poševno špico {u−i, v−a−i} = {v−i−a, u−i−a+a}, poševno špico{vi, ui+a} v ravno špico {v−i−a, u−i−a} ter notranjo povezavo {vi, vi+k} v notranjopovezavo{v−i−a, v−i−k−a}.

Tako sta permutaciji r in z avtomorfizma grafa Rn(a, k). Poleg tega velja |r| = n in|z| = 2. Označimo K = 〈r, z〉. Da bo veljalo K ∼= Dn, moramo preveriti še pogoj, kivelja v diedrskih grupah, namreč zrz = r−1:

r−1(ui) = ui−1,

zrz(ui) = zr(u−i) = z(u−i+1) = ui−1 in

24

r−1(vi) = vi−1,

zrz(vi) = zr(v−i−a) = z(v−i−a+1) = v−(−i−a+1)−a = vi+a−a−1 = vi−1.

Sledi zrz = r−1 in zato K = 〈r, z〉 ∼= Dn ≤ Aut(Rn(a, k)). �

Označimo zdaj s H(Rn(a, k)) podgrupo Aut(Rn(a, k)), ki ohranja množico zunanjihpovezav, in naj bosta r in z kot v zgornjem dokazu. Ker r preslika zunanjo povezavo{ui, ui+1} v zunanjo povezavo {ui+1, ui+2}, z pa v zunanjo povezavo {u−i, u−i−1}, lahkobralec opazi, da velja 〈r, z〉 ∼= Dn ≤ H(Rn(a, k)).Wilson je v svojem članku na začetku obravnave povezavno tranzitivnih grafov Rn(a, k)zmotno zapisal, da je grupa H(Rn(a, k)) kar izomorfna grupi Dn. To v splošnem ni res,saj velja naslednje trditev.

Trditev 4.6. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja1 ≤ a, k ≤ n− 1. Označimo s H(Rn(a, k)) podgrupo Aut(Rn(a, k)), ki ohranja množicozunanjih povezav, kot zgoraj. Tedaj velja |H(Rn(a, k))| > 2n ⇔ n ≡ 0 (mod 2) ina = n

2.

Dokaz.(⇒) Naj bosta r in z kot v dokazu trditve 4.5. Ker podgrupa K = 〈r, z〉 na množici{ui : i ∈ Zn} deluje tranzitivno, poleg tega pa v Ku0 obstaja avtomorfizem (namrečz), ki fiksira u0 in u1 preslika v u−1, iz |H(Rn(a, k))| > 〈r, z〉 po izreku o orbiti instabilizatorju (2.4) sledi, da obstaja avtomorfizem α ∈ H(Rn(a, k)), ki fiksira takou0, kot u1. Ker mora α ohranjati množico zunanjih povezav, od tod očitno slediα(ui) = ui ∀i ∈ Zn. Ker α ni trivialen, obstaja nek vi, ki ga α ne fiksira, kerpa je vi eden od dveh sosedov vozlǐsča ui, od tod sledi, da α zamenja vi in vi−a.Brez škode za splošnost lahko privzamemo, da je i = 0 in tako velja α(v0) = v−ain α(v−a) = v0. Ker za soseda vozlǐsča v−a velja α(u−a) = u−a in α(u0) = u0, sepoševna špica {v−a, u0} preslika v ravno špico {v0, u0}, ravna špica {v−a, u−a} pa vpovezavo {v0, u−a}. Od tod sledi, da je n sod in a = n2 .(⇐) Predpostavimo, da velja n ≡ 0 (mod 2) in a = n

2. Oglejmo si permutacijo α

vozlǐsč grafa Rn(a, k), ki je podana s predpisom:

α(ui) = ui, i ∈ Zn,

α(vi) = vi+n2, i ∈ Zn.

Permutacija α povezavo {ui, vi} preslika v {ui, vi+n2} = {ui, vi+a} = {ui, vi−a}, po-

vezavo {ui, ui+1} preslika v povezavo {ui, ui+1}, povezavo {ui, vi−a} = {ui, vi+n2}

preslika v {ui, v(i+n2)+n

2} = {ui, vi}, povezavo {vi, vi+k} pa preslika v {vi+n

2, vi+n

2+k}.

Očitno je, da α ohranja sosednosti in je zato avtomorfizem grafa Rn(a, k). Še več, αohranja množico zunanjih povezav in zato α ∈ H(Rn(a, k)). Ker pa α ne moremo do-biti kot kompozitum znanih avtomorfizmov z in r (oziroma potence r-ja), torej veljaα 6∈ 〈r, z〉 in zato gotovo velja |H(Rn(a, k))| > |〈r, z〉| in tako |H(Rn(a, k))| > 2n. �

25

Kot konkreten protiprimer Wilsonove trditve lahko bralec preuči graf R8(4, 3), za kate-rega velja |H(R8(4, 3))| = 32, vendar pa naj ga to ne zavede, saj v splošnem ne velja, daje α kot v zgornjem dokazu le en sam, zato tudi v splošnem ne velja |H(Rn(a, k))| = 4n,ko je a = n

2.

Delovanje grupe 〈r, z〉 na množico povezav E(Rn(a, k)) ima tri orbite. Kot smo ome-nili že zgoraj, r in z ohranjata zunanje povezave, bralcu pa ne bo težko razmisliti,da ohranjata tudi notranje. Tretja orbita delovanja 〈r, z〉 na množico povezav Roze-tnega grafa je množica vseh špic. Dejstvo, da so ravne in poševne špice v isti or-biti pri delovanju 〈r, z〉, sledi iz tega, da z preslika ravno špico {ui, vi} v poševno{u−i, v−a−i} = {v−i−a, u−i−a+a} (medtem ko r ciklično permutira ravne in poševnešpice).

Naravna interpretacija povezavne tranzitivnosti je, da ima grupa Aut(Γ) pri delovanjuna množico E(Γ) le eno samo orbito. S pomočjo grupe 〈r, z〉 smo za zdaj pokazali, daimamo pri grafih Rn(a, k) največ tri orbite. Kot pokaže naslednja trditev je dokazati,da je nek Rozetni graf povezavno tranzitiven, vsaj načeloma, precej lahko.

Trditev 4.7. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja1 ≤ a, k ≤ n − 1. Graf Rn(a, k) je povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko obstajaavtomorfizem, ki neko špico preslika v povezavo, ki ni špica.

Dokaz.(⇒) Imejmo graf Rn(a, k), ki je povezavno tranzitiven. To po definiciji pomeni, dalahko vsako povezavo preslikamo v vsako drugo, iz česar pa sledi, da lahko tudi nekošpico preslikamo v povezavo, ki ni špica.(⇐) Imejmo graf Rn(a, k) in avtomorfizem α, ki neko špico preslika v povezavo, kini špica. Vemo, da ima α pri delovanju na množico E(Rn(a, k)) največ tri orbite,pri čemer sta orbita množice zunanjih povezav in orbita množice notranjih povezavdolžine n, orbita množice vseh špic pa dolžine 2n. Po predpostavki torej α nekošpico (recimo {ui, vj}, kjer j ∈ {i, i − a}) preslika v povezavo, ki ni špica, recimov neko zunanjo povezavo. To pomeni, da špice in zunanje povezave pripadajo istiorbiti O delovanja grupe avtomorfizmov Rn(a, k) na množici vseh povezav. Ker paα vj preslika v neko vozlǐsče oblike u`, se notranja povezava {vj, vj+k} preslika bodisiv špico, bodisi v zunanjo povezavo in tako so tudi vse zunanje povezave v orbiti O.Ni težko premisliti, da povsem analogen premislek velja, če bi avtomorfizem α nekošpico preslikal v notranjo povezavo. Sledi, da lahko vsako povezavo preslikamo vvsako drugo, kar po definiciji pomeni, da je graf Rn(a, k) povezavno tranzitiven. �

Kot smo že omenili, je Wilson identificiral štiri družine povezavno tranzitivnih Rozetnihgrafov, Kovács, Kutnar in Marušič pa so dokazali, da drugih povezavno tranzitivnihRozetnih grafov ni. Njihov rezultat je naslednji izrek.

Izrek 4.8. Naj bo n ≥ 3, n ∈ N in naj bosta a in k taki naravni števili, da velja1 ≤ a, k ≤ n − 1. Tedaj vsak povezavno tranzitiven graf Rn(a, k) pripada eni izmedštirih družin:

26

• Družina Rn(2, 1), kjer je n ≥ 3.

• Družina R2m(m+ 2,m+ 1), kjer je m ≥ 3.

• Družina R12m(3m+ 2, 3m− 1) in R12m(3m− 2, 3m+ 1), kjer je m ≥ 1.

• Družina R2m(2b, r), kjer je m ≥ 2, b2 ≡ ±1(mod m), 2 ≤ 2b ≤ m in k ∈{1,m− 1}, 2 - k

V nadaljevanju bomo v ločenih podrazdelkih pokazali, da gre res za družine povezavnotranzitivnih grafov. To bomo storili s pomočjo zgornje trditve 4.7. Kot smo že omenili,dokaza da drugih povezavno tranzitivnih Rozetnih grafov ni, ne bomo navajali.

4.2.1 Družina Rn(2, 1)

Družina grafov Rn(2, 1) je tako imenovani leksikografski produkt cikla in dveh točk.Zainteresirani bralec si lahko več o takem produktu prebere v [4]. Zanimiva je tudinaslednja trditev:

Trditev 4.9. Naj bo n ≥ 3. Tedaj velja Rn(2, 1) ∼= Circ(2n, {±1,±(n− 1)}).

Dokaz. Označimo vozlǐsča grafa Γ1 = Rn(2, 1) z ui in vi za i ∈ Zn kot običajno invozlǐsča grafa Γ2 = Circ(2n, {±1,±(n− 1)}) z u′i za i ∈ Z2n. Definirajmo preslikavoγ : V (Γ1)→ V (Γ2), ki je podana s predpisom:

γ(ui) = u′i , γ(vi) =

{u′n : i = n− 1u′i+n+1 : drugače

.

Oglejmo si delovanje preslikave γ:

• Zunanje povezave {ui, ui+1} grafa Γ1 se preslikajo v povezave grafa Γ2, ki so oblike{u′i, u′i+1}, razen povezave {u0, un−1}, ki pa se preslika v povezavo {u′0, u′n−1} (sajje −(n+ 1) = n− 1 v Z2n).

• Ravne špice {ui, vi} grafa Γ1 se preslikajo v povezave grafa Γ2, ki so oblike{u′i, u′i+(n+1)}, razen povezave {un−1, vn−1}, ki se preslika v povezavo {u′n−1, u′n}.

• Poševne špice {vi, ui+2} grafa Γ1 se preslikajo v povezave grafa Γ2, ki so oblike{u′i+(n+1), u′i+2}, razen povezave {vn−1, u1}, ki se preslika v povezavo{u′n, u′1}.

• Notranje povezave {vi, vi+1} grafa Γ1 se preslikajo v povezave grafa Γ2, ki sooblike {u′i+(n+1), u′i+1+(n+1)}, razen povezave {vn−2, vn−1}, ki se preslikav v pove-zavo {u′(n−2)+n+1, u′n} = {u′2n−1, u′n}.

Opazimo torej, da preslikava γ ohranja sosednosti in je zato izomorfizem grafov, zatosledi, da velja Rn(2, 1) ∼= Circ(2n, {±1,±(n− 1)}). �

Primer grafa iz obravnavane družine je prikazan na sliki 4.2, njegova upodobitev kotcirkulant pa na sliki 4.3.

27

Slika 4.2: R7(2, 1). Slika 4.3: R7(2, 1) kot Circ(14, {±1,±6}).

Pri obravnavi te poddružine Rozetnih grafov je precej ugodno, da graf upodobimo nadrugačen način (kot na sliki 4.4), pri tem pa vpeljemo tudi nove oznake, kot na sliki 4.5:

∀i ∈ Zn : ti = vi−1

Povezave v “novem” grafu so torej:

• zunanje povezave: {ui, ui+1},• ravne špice: {ui, ti+1},

• poševne špice: {ti, ui+1} in• notranje povezave: {ti, ti+1}.

Slika 4.4: R7(2, 1) drugače. Slika 4.5: R7(2, 1) še drugače.

Bralec bo opazil, da imata vozlǐsči ui in ti natanko iste sosede: ui+1, ui−1, ti−1, ti+1.

Opomba. Zgornje velja v vseh primerih, kjer n 6= 4. Če velja, da je n = 4, potem tini edino vozlǐsče, ki ima natanko iste sosede kot ui, bralec pa bo o tem premislil sam.

Za grafe s tako lastnostjo velja naslednja očitna, a precej uporabna trditev.

28

Trditev 4.10. Naj bo Γ graf, ki premore vozlǐsči u in v, ki imata natanko iste sosede.Tedaj obstaja avtomorfizem grafa Γ, ki ti dve vozlǐsči zamenja, vse druge pa fiksira.

Na tem mestu je vse pripravljeno, da pokažemo povezavno tranzitivnost obravnavanepoddružine Rozetnih grafov.

Trditev 4.11. Naj bo n ≥ 3. Graf Γ = Rn(2, 1) je povezavno tranzitiven.

Dokaz. Upodobimo graf Rn(2, 1) kot na sliki 4.5, označimo in si oglejmo “lokalno”situacijo kot na sliki 4.6.

Slika 4.6: “Lokalna” situacija v grafuRn(2, 1).

Slika 4.7: “Lokalna” situacija v grafuRn(2, 1) po delovanju avtomorfizmaδ.

Po trditvi 4.7 je graf Γ povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko obstaja avtomorfi-zem, ki neko špico preslika v povezavo, ki ni špica. Ker vemo, da imata vozlǐsči uiin ti grafa Γ natanko iste sosede, po trditvi 4.10 obstaja avtomorfizem δ, ki ti dvevozlǐsči zamenja, ostale pa fiksira. Oglejmo si lokalno delovanje avtomorfizma δ napovezave grafa Γ (slika 4.7):

• {ui, ui+1} 7→ {ti, ui+1}• {ui, ti+1} 7→ {ti, ti+1}

• {ti, ui+1} 7→ {ui, ui+1}• {ti, ti+1} 7→ {ui, ti+1}

Avtomorfizem δ torej preslika špico v povezavo, ki ni špica, iz česar sledi, da jeΓ = Rn(2, 1) povezavno tranzitiven. �

Bralca na tem mestu opomnimo, da oznaka δ v zgornjem dokazu predstavlja avtomor-fizem, ki zamenja vozlǐsči ui in ti za nek i ∈ Zn, ostala vozlǐsča pa fiksira. Pri temmoramo biti pozorni na očitno dejstvo, da je za vsak par vozlǐsč ui, ti, i ∈ Zn avtomor-fizem, ki ju zamenja, ostale pa fiksira, drugačen. Zato je smiselno (in tega se bomo dokonca podrazdelka tudi držali), da označujemo avtomorfizem, ki zamenja par vozlǐsčui, ti, ostale pa fiksira, z δi

Naš osnovni cilj, to je dokazati, da so grafi v obravnavani družini povezavno tranzi-tivni, smo na tem mestu dosegli, vendar bomo storili še korak dlje. Določili bomo redcelotne grupe avtomorfizmov Aut(Rn(2, 1)), vendar le za to družino. Pri ostalih trehobravnavanih družinah je to precej težje, zato se tam s tem ne bomo ukvarjali.

29

Trditev 4.12. Naj bo n ≥ 3, n 6= 4. Velja |Aut(Rn(2, 1))| = 2n · 2n.

Dokaz. Imejmo graf Γ = Rn(2, 1), kjer n ≥ 3, n 6= 4 in označimo G = Aut(Γ).Vzemimo vozlǐsče u0 ∈ V (Γ). Po izreku o orbiti in stabilizatorju (2.4) velja |G| =|OG(u0)| · |Gu0|.Ker vemo, da Γ premore vozlǐsči z istimi sosedi, po trditvi 4.10 poznamo obstoj av-tomorfizma δ0, ki zamenja vozlǐsči u0 in t0, druge pa fiksira, poznamo pa tudi obstojavtomorfizma r, ki ciklično permutira vozlǐsča ui, hkrati pa tudi ti, grafa Γ. Kerta dva avtomorfizma omogočita, da lahko vozlǐsče u0 preslikamo v katerokoli drugovozlǐsče grafa Γ, iz tega sledi |OG(u0)| = 2n (ker je Γ reda 2n).Oglejmo si zdaj red stabilizatorja vozlǐsča u0. Ker po izreku 2.3 vemo, da Gu0 ≤ G,po izreku o orbiti in stabilizatorju spet velja |Gu0| = |OGu0 (u1)| · |Gu0,u1|, kjer zdajopazujemo situacijo, ko je vozlǐsče u0 fiksirano. Prav zaradi tega je |OGu0 (u1)| = 4,saj se lahko vozlǐsče u1 preslika le samo vase, v u−1 (z avtomorfizmom z, obstojkaterega poznamo), v vozlǐsče t1 (z avtomorfizmom δ1) in v vozlǐsče t−1 (s kompo-zitumom avtomorfizmov zδ1). Na tem mestu nadaljujemo podoben premislek in poizreku o orbiti in stabilizatorju zapǐsemo |Gu0,u1| = |OGu0,u1 (u2)| · |Gu0,u1,u2|. Kersta v tej situaciji fiksirani vozlǐsči u0 in u1, je |OGu0,u1 (u2)| = 2, saj se vozlǐsče u2lahko preslika le samo vase ali pa v t2 (z avtomorfizmom δ2). Ker je namreč n 6= 4,je t0 edino vozlǐsče, ki ima natanko iste sosede kot u0, zato mora biti zaradi fi-ksnosti u0 fiksirano tudi vozlǐsče t0. Ni težko opaziti, da za vsa naslednja vozlǐsčaui, i ∈ Zn \ {0, 1}, velja |OGu0,u1,...,ui−1 (ui)| = 2, stabilizator |Gu0,u1,...,ui| pa lahko“razbijemo” (|Gu0,u1,...,ui | = |OGu0,u1,...,ui (ui+1)| · |Gu0,u1,...,ui,ui+1|) tako, da fiksiramotrenutno vozlǐsče ui. Za nazadnje izbrano vozlǐsče očitno velja |Gu0,u1,...,un−1| = 1, sajso vsa druga vozlǐsča že fiksirana.Tako dobimo enakost:

|Aut(Rn(2, 1))| = 2n · 4 · 2 · 2 · ... · 2︸ ︷︷ ︸n−2

= 2n · 2n

Opomba. Bralec lahko opazi, da smo v trditvi zahtevali n 6= 4. Izkaže se namreč, da vprimeru, ko je n = 4, obstajajo še neki dodatni avtomorfizmi, o katerih pa lahko bralecpremisli sam, saj jih v tem diplomskem delu ne bomo obravnavali.

�

4.2.2 Družina R2m(m+ 2,m+ 1)

Tudi pri študiju povezavne tranzitivnosti družine Rozetnih grafov R2m(m + 2,m + 1)je ugodno, da grafe upodobimo drugače ter tako dobimo bolj “simetrično” upodobitev.Primer grafa, ki spada v obravnavano družino (m = 5) je prikazan na sliki 4.8, njegovadrugačna upodobitev pa je podana na sliki 4.9.Avtomorfizma r in z, katerih obstoj poznamo že od prej, sedaj slikata takole:

r(ui) = ui+1, r(vi) = vi+1

z(ui) = u−i, z(vi) = v−m−2−i

30

Slika 4.8: R10(7, 6). Slika 4.9: R10(7, 6) drugače.

Trditev 4.13. Naj bo m ≥ 3. Graf Γ = R2m(m+ 2,m+ 1) je povezavno tranzitiven.

Dokaz. Imejmo graf Γ = R2m(m + 2,m + 1), kjer je m ≥ 3. Upodobimo Γ kot nasliki 4.9 in del grafa Γ upodobimo kot na sliki 4.10.

Slika 4.10: Del grafa R2m(m+ 2,m+ 1), upodobljen drugače.

Po trditvi 4.7 je graf Γ povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko obstaja avtomorfi-zem, ki neko špico preslika v povezavo, ki ni špica.Oglejmo si permutacijo τ = (u0, v−1)(um, vm−1)(u1, vm)(um+1, v0) (slika 4.10). τ to-rej premakne le teh osem vozlǐsč, preostala vozlǐsča v grafu Γ pa fiskira. Precejpreprosto je preveriti, da je τ res avtomorfizem, saj je potrebno le preučiti delovanjepermutacije na delu grafa, ki je prikazan na sliki 4.10. Velja torej τ ∈ Aut(Γ).Ker τ preslika špico {u−1, v−1} v zunanjo povezavo {u−1, u0}, je Γ po trditvi 4.7povezavno tranzitiven. �

31

4.2.3 Družina R12m(3m+ 2, 3m− 1) in R12m(3m− 2, 3m+ 1)V tretji družini Rozetnih grafov so vsi tisti grafi Rn(a, k), ki so oblike

(3a) R12m(3m+ 2, 9m+ 1) = R12m(3m+ 2, 3m− 1) ali pa

(3b) R12m(9m+ 2, 3m+ 1) = R12m(3m− 2, 3m+ 1).

Pri obravnavi te družine je precej priročno, da poddružini (3a) in (3b) združimo podenotnim zapisomR12m(3d+2, 9d+1), kjer je d lahkom (mod 12m) ali pa d ≡ −m (mod 12m).

Primera grafov za m = 2 sta prikazana na slikah 4.11 (poddružina (3a)) in 4.12 (pod-družina (3b)).

Slika 4.11: R24(8, 5). Slika 4.12: R24(4, 7).

Trditev 4.14. Naj bo m ≥ 2. Graf Γ = R12m(3d+2, 9d+1), kjer je d lahko m (mod n)ali pa d ≡ −m (mod 12m), je povezavno tranzitiven.

Dokaz. Imejmo graf Γ = R12m(3d+2, 9d+1), kjer m ≥ 2, d pa je lahko m (mod 12m)ali pa d = −m (mod 12m).Po trditvi 4.7 je graf Γ povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko obstaja avtomorfi-zem, ki neko špico preslika v povezavo, ki ni špica.

Označimo a = 3d+ 2 in k = 9d+ 1. Oglejmo si permutacijo ε, podano z naslednjimpredpisom:∀i ∈ Z12m :

ε(ui) =

ui : i ≡ 0 (mod 3)vi−1 : i ≡ 1 (mod 3)vi−a+1 = vi−3d−1 : i ≡ 2 (mod 3)

ε(vi) =

ui+1 : i ≡ 0 (mod 3)ui+a−1 = ui+3d+1 : i ≡ 1 (mod 3)vi+6d : i ≡ 2 (mod 3)

32

V nasprotju s preǰsnjim podrazdelkom, v tem primeru ni tako očitno, da ε ohra-nja sosednosti. Oglejmo si, kako permutacija ε slika povezave iz E(Γ) za i ≡{0, 1, 2} (mod 3) (oziroma, kako ohranja sosednosti):

• i ≡ 0 (mod 3):

– {ui, ui+1} 7→ {ui, v(i+1)−1} = {ui, vi}– {ui, vi} 7→ {ui, ui+1}– {vi, vi+k} = {vi, vi+9d+1} 7→ {ui+1, u(i+9d+1)+3d+1} = {ui+1, ui+12d+2} ={ui+1, ui+2}

– {vi, ui+a} = {vi, ui+3d+2} 7→ {ui+1, v(i+3d+2)−3d−1} = {ui+1, vi+1}

• i ≡ 1 (mod 3):

– {ui, ui+1} 7→ {vi−1, v(i+1)−3d−1} = {vi−1, vi−3d} = {vi−1, vi+9d} ={vi−1, v(i−1)+9d+1} = {vi−1, v(i−1)+k}

– {ui, vi} 7→ {vi−1, ui+3d+1} = {vi−1, u(i+3d+2)−1} = {vi−1, u(i+a)−1}– {vi, vi+k} = {vi, vi+9d+1} 7→ {ui+3d+1, v(i+9d+1)+6d} = {u(i+a)−1, vi+3d+1} ={u(i+a)−1, v(i+a)−1}

– {vi, ui+a} = {vi, ui+3d+2} 7→ {ui+3d+1, ui+3d+2} = {u(i+a)−1, ui+a}

• i ≡ 2 (mod 3):

– {ui, ui+1} 7→ {vi−3d−1, ui+1} = {vi+1−(3d+2), ui+1} = {v(i+1)−a, ui+1}– {ui, vi} 7→ {vi−3d−1, vi+6d} = {v(i+1)−(3d+2), vi−6d} ={v(i+1)−a, v(i+1)−(3d+2)−3d−1} = {v(i+1)−a, v(i+1)−a+9d+1} = {v(i+1)−a, v(i+1)−a+k}

– {vi, vi+k} = {vi, vi+9d+1} 7→ {vi+6d, u(i+9d+1)+1} = {vi−6d, ui+6d+3d+2} ={vi−3d−3d+2−2, u(i+6d)+a} = {v(i+1)−(3d+2)(9d+1),u(i+6d)+a} = {v(i+1)−a+k, u(i+1)+k}

– {vi, ui+a} = {vi, ui+3d+2} 7→ {vi+6d, u(i+3d+2)+3d+1} = {vi+6d, ui+6d} ={v(i+1)−a+k,u(i+1)−a+k}

S tem smo pokazali, da permutacija ε za vsak i ∈ Z12m ohranja sosednosti, zato slediε ∈ Aut(Γ).Ker ε preslika špico {u0, v0} v “nešpico” {u0, v1}, je po trditvi 4.7 Γ povezavnotranzitiven. �

4.2.4 Družina R2m(2b, r)

V zadnji, četrti družini Rozetnih grafov so vsi grafi oblike R2m(2b, k), kjer m ≥ 2, b2 ≡±1 (mod m), k ≡ 1 (mod 2) (torej k je lih) in k ≡ 1 (mod m).

Bralec lahko razmisli, da obstajajo tudi grafi, ki pripadajo družini R2m(2b, k) in tudieni izmed družin Rn(2, 1) (za vsak sod n, b = 1, k = 1) ali pa R2m(m+ 2,m+ 1) (npr.R8(6, 5)), vendar bomo pri trenutno obravnavani družini izvzeli vse grafe, ki pripadajo

33

že obravnavanima družinama.

Pri sami obravnavi družine R2m(2b, k) je ugodno, da grafe, ki ji pripadajo, razdelimona dve poddružini:

(4a) R2m(2b, k), kjer b2 ≡ 1 (mod m)

(4b) R2m(2b, k), kjer b2 ≡ −1 (mod m)

Primera grafov sta prikazana na slikah 4.13 (poddružina (4a)) in 4.14 (poddružina (4b)).

Slika 4.13: R6(4, 1). Slika 4.14: R10(4, 1).

Trditev 4.15. Naj bo m ≥ 2. Grafi, ki pripadajo družini Rozetnih grafov R2m(2b, k),kjer je b2 ≡ ±1 (mod m), k ≡ 1 (mod 2) in k ≡ 1 (mod m), so povezavno tranzitivni.

Dokaz. Pri dokazu zgornje trditve nam bo v veliko pomoč razdelitev trenutno obrav-navane družine na poddružini (4a) in (4b). Imejmo torej graf Γ1, ki pripada pod-družini (4a) (torej Γ1 = R2m(2b, k), kjer je b

2 ≡ 1 (mod m)) in graf Γ2, ki pripadadružini (4b) (torej Γ2 = R2m(2b, k), kjer je b

2 ≡ −1 (mod m)). Po trditvi 4.7 stagrafa Γ1 in Γ2 povezavno tranzitivna natanko tedaj, ko obstaja avtomorfizem, kineko špico preslika v povezavo, ki ni špica.

Oglejmo si permutacijo ρ, podano z naslednjim predpisom:

• Za graf Γ1 (torej za družino (4a)):∀i ∈ Z2m :

ρ(ui) =

{ubi : i ≡ 0 (mod 2)vbi−b : i ≡ 1 (mod 2)

ρ(vi) =

{u1+bi : i ≡ 0 (mod 2)vbi−b+k : i ≡ 1 (mod 2)

34

• Za graf Γ2 (torej za družino (4b)):∀i ∈ Z2m :

ρ(ui) =

{ubi : i ≡ 0 (mod 2)vbi−b : i ≡ 1 (mod 2)

ρ(vi) =

{u−1+bi : i ≡ 0 (mod 2)vbi−b−k : i ≡ 1 (mod 2)

Oglejmo si, kako permutacija ρ deluje na množici povezav V (Γ1) in V (Γ2):

• V (Γ1):

– i ≡ 0 (mod 2) :? {ui, ui+1} 7→ {ubi, vb(i+1)−b} = {ubi, vbi}? {ui, vi} 7→ {ubi, u1+bi}? {vi, ui+2b} 7→ {u1+bi, ub(i+2b)} = {ubi+1, ubi+2}? {vi, vi+k} 7→ {u1+bi, vb(i+k)−b+k} = {ubi+1, vbi+bk−b+k}

•= {ubi+1, vbi+1}

– i ≡ 1 (mod 2) :? {ui, ui+1} 7→ {vbi−b, ub(i+1)} = {vb(i−1), ubi−b+2b} = {vb(i−1), ub(i−1)+2b}? {ui, vi} 7→ {vb(i−1), vbi−b+k} = {vb(i−1), vb(i−1)+k}? {vi, ui+2b} 7→ {vbi−b+k, vb(i+2b)−b} = {vbi−b+k, vbi+2b2−b} ={vbi−b+k, vbi−b+2}

�= {vbi−b+k, vbi−b+2k}

? {vi, vi+k} 7→ {vbi−b+k, u1+b(i+k)} = {vbi−b+k, ubi+bk+1}◦=

{vbi−b+s+1, u(bi−b+s+1)+2b}, kjer s ∈ {0,m}.

• V (Γ2):

– i ≡ 0 (mod 2) :? {ui, ui+1} 7→ {ubi, vb(i+1)−b} = {ubi, vbi}? {ui, vi} 7→ {ubi, ubi−1}? {vi, ui+2b} 7→ {ubi−1, ub(i+2b)} = {ubi−1, ubi+2b2} = {ubi−1, ubi−2}? {vi, vi+k} 7→ {ubi−1, vb(i+k)−b−k} = {ubi−1, vbi+bk−b−k}

•= {ubi−1, vbi−1}

– i ≡ 1 (mod 2) :? {ui, ui+1} 7→ {vbi−b, ub(i+1)} = {vb(i−1), ubi−b+2b} = {vb(i−1), ub(i−1)+2b}? {ui, vi} 7→ {vb(i−1), vbi−b−k} = {vb(i−1), vb(i−1)−k}? {vi, ui+2b} 7→ {vbi−b−k, vb(i+2b)−b} = {vbi−b−k, vbi+2b2−b} ={vbi−b−k, vbi−b−2}

�= {vbi−b−k, vbi−b−2k}

? {vi, vi+k} 7→ {vbi−b−k, u−1+b(i+k)} = {vbi−b−k, ubi+bk−1}◦=

{vbi−b+s−1, u(bi−b+s−1)+2b}, kjer s ∈ {0,−m}.

� : ker velja k ≡ 1 (mod m), vemo, da k lahko zavzame le vrednosti 1 ali pa m + 1(ker “živimo” v n = 2m). Ker torej velja 2m ≡ 0 (mod 2m), v obeh primerih velja2k = 2.

35

• : podobno kot v preǰsnjem komentarju k lahko zavzame vrednosti 1 ali pa m+ 1.Če velja k = 1 sledi bi + bk − b + k = bi + b − b + 1 = bi + 1. V nasprotnemprimeru za k = m + 1, zaradi lihosti k-ja vemo, da je m sod. Posledično zaradipogoja b2 ≡ 1 (mod m) velja, da je b lih. Tako sledi bk = b(m + 1) = m + b inbi+ bk− b+k = bi+m+ b− b+m+ 1 = bi+ 2m+ 1 = bi+ 1. Podobno, za k = 1 ve-lja bi+bk−b−k = bi+b−b−1 = bi−1 in za k = m+1 velja bi+m+b−b−m−1 = bi−1.

◦ : po podobnem premisleku kot zgoraj, ko je k = 1, velja bi− b+ k = bi− b+ 1 inbi+bk+1 = bi+b+1 = (bi−b+1)+2b, in ko je k = m+1, velja bi−b+k = bi−b+m+1ter bi + bk + 1 = bi + m + b + 1 = (bi − b + m + 1) + 2b. Podobno za k = 1 veljabi− b− k = bi− b− 1 in bi+ bk − 1 = bi+ b− 1 = (bi− b− 1) + 2b, za k = m+ 1pa bi− b− k = bi− b−m− 1 ter bi + bk − 1 = bi + m + b− 1 = bi−m + b− 1 =(bi− b−m− 1) + 2b.

Opazimo lahko, da za družino (4a) in tudi družino (4b) permutacija ρ ohranja so-sednosti, torej velja ρ ∈ Aut(Γ1) in ρ ∈ Aut(Γ2). Poleg tega ρ v grafu Γ1 pre-slika špico {u0, v0} v povezavo, ki ni špica ({u0, u1}), prav tako tudi v grafu Γ2({u0, v0} 7→ {u0, u−1}). S tem smo dokazali, da so grafi, ki pripadajo družini Roze-tnih grafov R2m(2b, k) povezavno tranzitivni. �

36

Poglavje 5

Zaključek

V diplomskem delu smo spoznavali klasifikacijo simetričnih grafov dveh družin bicirku-lantov, Posplošenih Petersenovih grafov in Rozetnih grafov.

V tretjem poglavju smo povzeli rezultate Fruchta, Graverja in Watkinsa, ki so kla-sificirali vozlǐsčno in povezavno tranzitivne Posplošene Petersenove grafe. Spoznalismo, da so avtorji za dokaz pravilnosti klasifikacije uporabili posebno podgrupo pod-grupe avtomorfizmov, ki ohranja špice in predstavili vseh sedem vozlǐsčno in povezavnotranzitivnih Posplošenih Petersenovih grafov (GP (4, 1), GP (5, 2), GP (8, 3), GP (10, 2),GP (10, 3), GP (12, 5) in GP (24, 5)).

Pri obravnavi Rozetnih grafov, katerih klasifikacijo je začel Wilson, smo si pomagali zrezultati, ki smo jih dokazali v diplomskem delu. Eno izmed pomembneǰsih spoznanjje, da ima grupa avtomorfizmov Rozetnih grafov Aut(Rn(a, k)) podgrupo 〈r, z〉, ki jeizomorfna Dn. Prek njega lahko sklepamo na to, da ima Aut(Rn(a, k)) pri delovanjuna množico povezav največ tri orbite. Pri nadaljnem študiju omenjene družine smouporabili podoben premislek kot Frucht, Graver in Watkins in si pomagali s podgrupoAut(Rn(a, k)), ki ohranja enega imed tipov povezav. V primeru Rozetnih grafov smotako grupo poimenovali H(Rn(a, k)), ohranja pa zunanje povezave. Pokazali smo, kdajje omenjena podgrupa različna (po moči večja) od 〈r, z〉 in z njeno pomočjo oblikovalitrditev, ki pove, da je Rozetni graf povezavno tranzitiven natanko tedaj, ko lahkonajdemo avtomorfizem, ki neko špico preslika v neko “nešpico”. Ta trditev nas jepripeljala do glavnega rezultata diplomskega dela:Vsak povezavno tranzitiven Rozetni graf pripada eni izmed naslednjih štirih družin.

• Družina Rn(2, 1), kjer je n ≥ 3.

• Družina R2m(m+ 2,m+ 1), kjer je m ≥ 3.

• Družina R12m(3m+ 2, 3m− 1) in R12m(3m− 2, 3m+ 1), kjer je m ≥ 1.

• Družina R2m(2b, r), kjer je m ≥ 2, b2 ≡ ±1(mod m), 2 ≤ 2b ≤ m in k ∈{1,m− 1}, 2 - k

37

V diplomskem delu smo omenili, da prehod z obravnave Posplošenih Petersenovih grafovna obravnavo Rozetnih grafov sledi naravnemu razmisleku, kjer dodamo eno dodatnopovezavo (špico) med orbitama vozlǐsč. Prav zato se zdi, da bi diplomsko delo v priho-dnosti lahko razširili z obravnavo družin grafov, kjer bi povečevali število povezav medorbitama. V primeru, ko je število špic enako tri, gre za tako imenovane Tabačjn grafe.Klasifikacija povezavno tranzitivnih grafov te družine je bila dokončana nedavno. Že vnaslednjem koraku, torej ko je število špic enako štiri, pa gre za popolnoma neraziskanopodročje, ki bi se ga bilo zanimivo lotiti.

Po analogiji s Posplošenimi Petersenovimi in Rozetnimi grafi bi bilo pri obravnavi bi-cirkulantov vǐsjih stopenj naravno najprej poizkušati dokazati, da so vse špice v istiorbiti delovanja grupe avtomorfizmov takšnih grafov. Izkaže se, da za grafe, ki imajomed orbitama vozlǐsč vsaj tri povezave (torej so stopnje vsaj 5), v splošnem to sploh nires. Zato bo potrebno pri obravnavi takšnih grafov ubrati nek nov pristop.

38

Literatura

[1] Antončič, Iva, Kutnar, Klavdija, Hujdurović, Ademir, 2014: A classification ofpentavalent arc-transitive bicirculants. J Algebr Comb. DOI 10.1007/s10801-014-0548-z.

[2] Arroyo, Aubin, Hubard, Isabel, Kutnar, Klavdija, O’Reilly, Eugenia, Šparl,Primož, 2014: Classification of symmetric Tabačjn graphs. Graphs and combi-natorics. DOI 10.1007/s00373-014-1447-8.

[3] Frucht, Roberto, Graver, Jack E., Watkins, Mark E., 1971: The groups of thegeneralized Petersen graphs. Proceedings of Cambridge Philosophical Society. 70.211-218.

[4] Godsil, Chris, Royle, Gordon, 2001: Algebraic Graph theory. New York: Springer.

[5] Kovács, István, Kutnar, Klavdija, Marušič, Dragan, 2010: Cassification of edge-transitive Rose window graphs. Journal of graph theory. 65. 216-231

[6] Malnič, Aleksander, 2012: Zapiski pri predmetu algebrske strukture. Ljubljana:Pedagoška fakulteta.

[7] Marušič, Dragan, 1988: Recent developments in half-transitive graphs. Discretemathematics. 182. 219-231.

[8] Pisanski, Tomaž, 2007: A classification of cubic bicirculants. Discrete Math. 307.567-578.

[9] Šparl, Primož, 2013: Zapiski pri predmetu abstraktna algebra. Ljubljana: Pe-dagoška fakulteta.

[10] Šparl, Primož, 2013: Zapiski pri predmetu diskretna matematika. Ljubljana: Pe-dagoška fakulteta.

[11] Vrečer, Mojca, 2001: Simetrije Posplošenih Petersonovih grafov. Diplomsko delo.Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, Fakulteta za matematiko infiziko.

[12] Wilson, Steve, 2008: Rose Window Graphs. Ars mathematica contemporanea. 1.7-19.

39

Izjava o avtorstvu diplomskega dela

Podpisani Gorazd Vasiljević z vpisno številko 01010560 sem avtor diplomskega dela znaslovom:

Simetrični bicirkulanti.

S svojim podpisom zagotavljam, da sem diplomsko delo izdelal samostojno pod men-torstvom doc. dr. Šparla.

Ljubljana, september 2014 Podpis avtorja: