Noviji rezultati o familijama simetricnih dizajnavmikulic/seminar/3_12_2011Mavrovic.pdf · Uvod...
Transcript of Noviji rezultati o familijama simetricnih dizajnavmikulic/seminar/3_12_2011Mavrovic.pdf · Uvod...
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Noviji rezultati o familijama simetricnihdizajna
Nina Mavrovic
Odjel za matematikuSveucilište u Rijeci
3.12.2010.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Literatura
Mohan S. SHRIKHANDE and Tariq A. ALRAQAD:
Recent results on families of symmetric designs andnon-embeddable quasi-residual designs
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Sadržaj
1 Uvod
2 Simetricni dizajni
3 Hadamardove matrice
4 BGW matrice
5 Ionin-ova metoda
6 Dekompozicije
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Uvod
Problem konstrukcije beskonacnih familija simetricnihdizajna:
prve dobivene iz konacnih projektivnih geometrija,Hadamardovih matrica i diferencijskih skupova
1999. su T.Beth, D. Jungnickel i H.Lenz u djelu "DesignTheory" iskombinirali parametre svih tada poznatihsimetricnih dizajna u 18 beskonacnih familija, 3 mogucebeskonacne familije i nekoliko sporadicnih dizajna
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Uvod
Problem konstrukcije beskonacnih familija simetricnihdizajna:
prve dobivene iz konacnih projektivnih geometrija,Hadamardovih matrica i diferencijskih skupova
1999. su T.Beth, D. Jungnickel i H.Lenz u djelu "DesignTheory" iskombinirali parametre svih tada poznatihsimetricnih dizajna u 18 beskonacnih familija, 3 mogucebeskonacne familije i nekoliko sporadicnih dizajna
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Uvod
Problem konstrukcije beskonacnih familija simetricnihdizajna:
prve dobivene iz konacnih projektivnih geometrija,Hadamardovih matrica i diferencijskih skupova
1999. su T.Beth, D. Jungnickel i H.Lenz u djelu "DesignTheory" iskombinirali parametre svih tada poznatihsimetricnih dizajna u 18 beskonacnih familija, 3 mogucebeskonacne familije i nekoliko sporadicnih dizajna
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Simetricni dizajni
Definicija 1.12− (v , k , λ) dizajn je uredeni par D= (X ,B), gdje je X skupod v tocaka, a B kolekcija blokova, tj. k -clanih podskupovaod X , pri cemu je svaki par tocaka sadržan u tocno λblokova
drugi naziv: (v ,b, r , k , λ) dizajnb = vr
k - broj blokovar = λ(v−1)
k−1 - svaka tocka sadržana u tocno r blokova
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Simetricni dizajni
Definicija 1.12− (v , k , λ) dizajn je uredeni par D= (X ,B), gdje je X skupod v tocaka, a B kolekcija blokova, tj. k -clanih podskupovaod X , pri cemu je svaki par tocaka sadržan u tocno λblokova
drugi naziv: (v ,b, r , k , λ) dizajnb = vr
k - broj blokovar = λ(v−1)
k−1 - svaka tocka sadržana u tocno r blokova
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Simetricni dizajni
Definicija 1.2Neka je X = {x1, ..., xv} i B = {B1, ...,Bb}. Matrica incidencije
od D je v × b matrica A = [aij ], gdje je aij =
{1, xi ∈ Bj ,
0, xi /∈ Bj .
Vrijedi:Matrica A velicine v × b s elementima iz {0,1} je matricaincidencije (v ,b, r , k , λ) dizajna akko
1 Jv A = kJv×b ,
2 AAT = (r − λ)Iv + λJv .
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Simetricni dizajni
Definicija 1.2Neka je X = {x1, ..., xv} i B = {B1, ...,Bb}. Matrica incidencije
od D je v × b matrica A = [aij ], gdje je aij =
{1, xi ∈ Bj ,
0, xi /∈ Bj .
Vrijedi:Matrica A velicine v × b s elementima iz {0,1} je matricaincidencije (v ,b, r , k , λ) dizajna akko
1 Jv A = kJv×b ,
2 AAT = (r − λ)Iv + λJv .
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Simetricni dizajni
Definicija 1.3Simetricni (v , k , λ)-dizajn je (v ,b, r , k , λ) dizajn za kojega jev = b (što je ekvivalentno sa r = k ).
to je (v , v , k , k , λ) dizajn
kod njega se svaka 2 razlicita bloka sijeku u λ tocaka
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Simetricni dizajni
Definicija 1.3Simetricni (v , k , λ)-dizajn je (v ,b, r , k , λ) dizajn za kojega jev = b (što je ekvivalentno sa r = k ).
to je (v , v , k , k , λ) dizajn
kod njega se svaka 2 razlicita bloka sijeku u λ tocaka
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Simetricni dizajni
Definicija 1.3Simetricni (v , k , λ)-dizajn je (v ,b, r , k , λ) dizajn za kojega jev = b (što je ekvivalentno sa r = k ).
to je (v , v , k , k , λ) dizajn
kod njega se svaka 2 razlicita bloka sijeku u λ tocaka
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Primjer - Fanova ravninaX = {1,2,3,4,5,6,7}B = {{1,2,3}, {2,4,6}, {3,4,7}, {4,5,1}, {5,6,3}, {6,7,1},{7,2,5}}
⇒ D=(X ,B) je simetricni (7,3,1) dizajn
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Bruck-Ryser-Chowla (B-R-C) teorem
Teorem 1.4Neka su v , k , λ cijeli brojevi takvi da je λ(v − 1) = k(k − 1), zakoje postoji simetricni (v , k , λ) dizajn. Tada ako je:
1 v paran⇒ k − λ kvadrat;
2 v neparan⇒ jednadžba z2 = (k − λ)x2 + (−1)v−1
2 λy2
ima za rješenje x , y , z ∈ Z koji nisu svi jednaki 0.
nisu dovoljni uvjeti za postojanje sim. dizajna
neriješeni skup parametara sa najmanjim brojem tocaka je(81,16,3)
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Bruck-Ryser-Chowla (B-R-C) teorem
Teorem 1.4Neka su v , k , λ cijeli brojevi takvi da je λ(v − 1) = k(k − 1), zakoje postoji simetricni (v , k , λ) dizajn. Tada ako je:
1 v paran⇒ k − λ kvadrat;
2 v neparan⇒ jednadžba z2 = (k − λ)x2 + (−1)v−1
2 λy2
ima za rješenje x , y , z ∈ Z koji nisu svi jednaki 0.
nisu dovoljni uvjeti za postojanje sim. dizajna
neriješeni skup parametara sa najmanjim brojem tocaka je(81,16,3)
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Bruck-Ryser-Chowla (B-R-C) teorem
Teorem 1.4Neka su v , k , λ cijeli brojevi takvi da je λ(v − 1) = k(k − 1), zakoje postoji simetricni (v , k , λ) dizajn. Tada ako je:
1 v paran⇒ k − λ kvadrat;
2 v neparan⇒ jednadžba z2 = (k − λ)x2 + (−1)v−1
2 λy2
ima za rješenje x , y , z ∈ Z koji nisu svi jednaki 0.
nisu dovoljni uvjeti za postojanje sim. dizajna
neriješeni skup parametara sa najmanjim brojem tocaka je(81,16,3)
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Hadamardove matrice
Definicija 2.1Hadamardova matrica je matrica H reda n sa elementima iz{1,−1} za koju je HHT = nI.
Primjer
[1
],
[1 11 −1
],
−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Hadamardove matrice
Definicija 2.1Hadamardova matrica je matrica H reda n sa elementima iz{1,−1} za koju je HHT = nI.
Primjer
[1
],
[1 11 −1
],
−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Hadamardove matrice
Vrijedi:Ako postoji Hadamardova matrica reda n, tada je:
n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).
Hipoteza o Hadamardovim matricamaAko je n ≡ 0(mod4), tada postoji Hadamardova matrica reda n.
2005. Kharaghani i Tayfeh-Rezaie riješili slucaj za n = 428
prvi neriješeni slucaj sada je n = 668
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Hadamardove matrice
Vrijedi:Ako postoji Hadamardova matrica reda n, tada je:
n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).
Hipoteza o Hadamardovim matricamaAko je n ≡ 0(mod4), tada postoji Hadamardova matrica reda n.
2005. Kharaghani i Tayfeh-Rezaie riješili slucaj za n = 428
prvi neriješeni slucaj sada je n = 668
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Hadamardove matrice
Vrijedi:Ako postoji Hadamardova matrica reda n, tada je:
n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).
Hipoteza o Hadamardovim matricamaAko je n ≡ 0(mod4), tada postoji Hadamardova matrica reda n.
2005. Kharaghani i Tayfeh-Rezaie riješili slucaj za n = 428
prvi neriješeni slucaj sada je n = 668
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Hadamardove matrice
Vrijedi:Ako postoji Hadamardova matrica reda n, tada je:
n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).
Hipoteza o Hadamardovim matricamaAko je n ≡ 0(mod4), tada postoji Hadamardova matrica reda n.
2005. Kharaghani i Tayfeh-Rezaie riješili slucaj za n = 428
prvi neriješeni slucaj sada je n = 668
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
BGW matrice
BALANSIRANE GENERALIZIRANE TEŽINSKE MATRICE
matrice nad grupama koje poopcavaju i matrice incidencijesimetricnih dizajna i Hadamardove matrice
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
BGW matrice
Definicija 3.1Neka je G multiplikativna konacna grupa. Matrica W = [ωij ]
reda v s elementima iz G ∪ {0} se naziva balansiranageneralizirana težinska matrica sa parametrima (v , k , λ) nad G( ili BGW (v , k , λ)) ako:
i) svaki red od W sadrži tocno k ne-nul elemenata,
ii) za svaka 2 razlicita i ,h ∈ {1,2, ..., v}, multiskup
{ω−1hj ωij : 1 ≤ j ≤ v , ωij 6= 0, ωhj 6= 0}
sadrži tocno λ/|G| kopija svakog elementa iz G.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
BGW matrice
PrimjerNeka je G = 〈σ〉 ciklicka grupa reda 3. Tada je:
W =
0 1 1 1 11 0 1 σ σ2
1 1 0 σ2 σ
1 σ σ2 0 11 σ2 σ 1 0
BGW (5,4,3;G).
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Definicija 3.2Neka je W = [ωij ] matrica BGW (v , k , λ;G). W je normaliziranaako je ω1j = ωj1, za j = v − k + 1, v − k + 2, ..., v .
NapomenaAko sve ne-nul elemente matrice BGW (v , k , λ;G) zamijenimosa 1 dobivamo matricu incidencije simetricnog (v , k , λ)-dizajna.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Definicija 3.2Neka je W = [ωij ] matrica BGW (v , k , λ;G). W je normaliziranaako je ω1j = ωj1, za j = v − k + 1, v − k + 2, ..., v .
NapomenaAko sve ne-nul elemente matrice BGW (v , k , λ;G) zamijenimosa 1 dobivamo matricu incidencije simetricnog (v , k , λ)-dizajna.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Generalizirane Hadamardove matrice
NapomenaSvaka Hadamardova matrica reda n ≥ 2 može se promatratikao matrica BGW (n,n,n) nad grupom reda 2.
Definicija 3.3Generalizirana Hadamardova matrica je matricaBGW (w ,w ,w) nad konacnom grupom G. Oznacava se saGH(q, s), gdje je q = |G| i s = w/q.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Generalizirane Hadamardove matrice
NapomenaSvaka Hadamardova matrica reda n ≥ 2 može se promatratikao matrica BGW (n,n,n) nad grupom reda 2.
Definicija 3.3Generalizirana Hadamardova matrica je matricaBGW (w ,w ,w) nad konacnom grupom G. Oznacava se saGH(q, s), gdje je q = |G| i s = w/q.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
BGW matrice
Propozicija 3.4Neka je q potencija prostog broja i G multiplikativna grupa poljaGF (q) = {a1, ...,aq}. Neka je matrica W = [ωij ] s elementimaiz G ∪ {0} reda q + 1 definirana sa:
ωij =
ai−1 − aj−1, za i 6= 1 i j 6= 1
0, za i = j = 11, inace.
Tada je W normalizirana BGW (q + 1,q,q − 1;G)
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Klasicni parametri
neka je q potencija prostog broja, a m ≥ 2 cijeli broj
važan niz BGW matrica ima parametre:
BGW (qm+1 − 1
q − 1,qm,qm − qm−1)
Teorem 3.5Neka su G i S konacne grupe, te |S| = q ≥ 2. Ako postojiBGW (q + 1,q,q − 1;G) i GH(S;1), tada za bilo koji pozitivnicijeli broj m postoji BGW (v , k , λ;G), gdje je v = qm+1−1
q−1 , k = qm
i λ = qm − qm−1.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Klasicni parametri
neka je q potencija prostog broja, a m ≥ 2 cijeli broj
važan niz BGW matrica ima parametre:
BGW (qm+1 − 1
q − 1,qm,qm − qm−1)
Teorem 3.5Neka su G i S konacne grupe, te |S| = q ≥ 2. Ako postojiBGW (q + 1,q,q − 1;G) i GH(S;1), tada za bilo koji pozitivnicijeli broj m postoji BGW (v , k , λ;G), gdje je v = qm+1−1
q−1 , k = qm
i λ = qm − qm−1.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Yuri Ionin sistematicno istražio simetricne dizajnekorištenjem BGW matrica
opisat cemo njegovu glavnu konstrukcijsku metodu koju jerazvio u nizu radova od 1997-2001 te zatim primijenio zapronalazak novih beskonacnih familija sim. dizajna
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Yuri Ionin sistematicno istražio simetricne dizajnekorištenjem BGW matrica
opisat cemo njegovu glavnu konstrukcijsku metodu koju jerazvio u nizu radova od 1997-2001 te zatim primijenio zapronalazak novih beskonacnih familija sim. dizajna
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Oznaka W ⊗MNeka je :
M skup m × n matrica,
G grupa preslikavanjaM→M,
W BGW (w , l , µ) nad G.
Tada za M ∈M sa W ⊗M oznacavamo matricu koja se dobijeiz W zamjenom svakog ne-nul elementa σ sa m × n matricomσM i svakog nul elementa sa m × n nul-matricom.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Teorem 4.1Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matrica,G konacna grupa preslikavanjaM→M, te W matricaBGW (w , l , µ;G). Ako vrijede uvjeti:
i) ∀ X ∈M je matrica incidencije sim. (v , k , λ)-dizajna;
ii) ∀X ,Y ∈M, σ ∈ G⇒ (σX )(σY )T = XY T ;
iii) ∀X ∈M⇒∑
σ∈G σX = λl|G|kµ J,
tada je za svaki X ∈M, W ⊗ X matrica incidencije simetricnog(vw , kl , λl)-dizajna.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Teorem 4.1Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matrica,G konacna grupa preslikavanjaM→M, te W matricaBGW (w , l , µ;G). Ako vrijede uvjeti:
i) ∀ X ∈M je matrica incidencije sim. (v , k , λ)-dizajna;
ii) ∀X ,Y ∈M, σ ∈ G⇒ (σX )(σY )T = XY T ;
iii) ∀X ∈M⇒∑
σ∈G σX = λl|G|kµ J,
tada je za svaki X ∈M, W ⊗ X matrica incidencije simetricnog(vw , kl , λl)-dizajna.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Lema 4.2Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matricareda v i G konacna grupa bijekcijaM→M, pri cemu vrijedi:
i) M sadrži matricu incidencije M sim. (v , k , λ)-dizajna;
ii) ∀X ,Y ∈M, σ ∈ G⇒ (σX )(σY )T = XY T ;
iii)∑
σ∈G σM = k |G|v J;
iv) q = k2/(k − λ) je potencija prostog broja;
v) G je ciklicka i |G| dijeli q − 1.
Tada za svaki poz. cijeli broj m postoji simetricni(vw , kqm, λqm)-dizajn, gdje je w = (qm+1 − 1)/(q − 1).
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Lema 4.2Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matricareda v i G konacna grupa bijekcijaM→M, pri cemu vrijedi:
i) M sadrži matricu incidencije M sim. (v , k , λ)-dizajna;
ii) ∀X ,Y ∈M, σ ∈ G⇒ (σX )(σY )T = XY T ;
iii)∑
σ∈G σM = k |G|v J;
iv) q = k2/(k − λ) je potencija prostog broja;
v) G je ciklicka i |G| dijeli q − 1.
Tada za svaki poz. cijeli broj m postoji simetricni(vw , kqm, λqm)-dizajn, gdje je w = (qm+1 − 1)/(q − 1).
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Grupa simetrija
Definicija 4.3Neka jeM skup matrica velicine v × b s elementima iz {0,1},koje imaju konstantnu i jednaku sumu retka r . Neka je Skonacna grupa bijekcijaM→M. Kažemo da je S grupasimetrija naM ako :
i) (σX )(σY )T = XY T , ∀ X ,Y ∈M,∀ σ ∈ S;
ii) (∃a ∈ Z)∑
σ∈S σX = aJ, ∀ X ∈M.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Grupa simetrija
PrimjerNeka jeM skup matrica velicine v × b s elementima iz {0,1},koje imaju konstantnu i jednaku sumu retka r .
Za X ∈M neka ρX oznacava matricu dobivenu iz X ciklickompermutacijom (12...b) stupaca od X .
Tada je ciklicka grupa S generirana sa ρ grupa simetrija naM
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Ionin-ova metoda
Teorem 4.4Neka jeM skup v × b matrica incidencije (v ,b, r , k , λ)-dizajna,
S konacna grupa simetrija naM i W matrica BGW (w , l , µ) nad
S, gdje je krµ = vλl . Tada za svaki X ∈M⇒W ⊗ X je
matrica incidencije (vw ,bw , rl , kl , λl) dizajna.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Dekompozicije simetricnih dizajna
Globalna dekompozicijaMatrica incidencije sim. dizajna dobiva se kao blok matrica ukojoj je svaki blok:
nul-matrica ili matrica incidencije manjeg sim. dizajna.
Lokalna dekompozicijaMatrica incidencije rezidualnog/izvedenog dizajna sim. dizajnadobiva se kao blok matrica u kojoj je svaki blok:
nul-matrica ili matrica incidencije manjegrezidualnog/izvedenog dizajna.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Dekompozicije simetricnih dizajna
Globalna dekompozicijaMatrica incidencije sim. dizajna dobiva se kao blok matrica ukojoj je svaki blok:
nul-matrica ili matrica incidencije manjeg sim. dizajna.
Lokalna dekompozicijaMatrica incidencije rezidualnog/izvedenog dizajna sim. dizajnadobiva se kao blok matrica u kojoj je svaki blok:
nul-matrica ili matrica incidencije manjegrezidualnog/izvedenog dizajna.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Globalna dekompozicija
Definicija 5.1.Neka je 1 < v1 < v . 2− (v1, k1, λ1) dizajn D1 = (X1,B1) je pravipoddizajn od 2− (v , k , λ) dizajna D = (X ,B) akko:
i) X1 ⊂ X ,
ii) B1 ⊆ B,
iii) |B ∩ X1| = k1, ∀ B ∈ B1,
iv) svake 2 razlicite tocke x , y ∈ X1 nalaze se u tocno λ1
blokova iz B1.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Globalna dekompozicija
Definicija 5.2.Familija pravih simetricnih poddizajna Di (i = 1,2, ..., s)simetricnog dizajna D se naziva globalna dekompozicija od Dako skupovi incidentnih parova (flagova) dizajna Di cineparticiju skupa incidentnih parova od D.
⇒ Sim. dizajn se može globalno dekomponirati ako se njegovamatrica incidencije može razdvojiti u nepreklapajuce matricekoje su ili nul-matrice ili matrice incidencije manjih sim. dizajna
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Globalna dekompozicija
Definicija 5.2.Familija pravih simetricnih poddizajna Di (i = 1,2, ..., s)simetricnog dizajna D se naziva globalna dekompozicija od Dako skupovi incidentnih parova (flagova) dizajna Di cineparticiju skupa incidentnih parova od D.
⇒ Sim. dizajn se može globalno dekomponirati ako se njegovamatrica incidencije može razdvojiti u nepreklapajuce matricekoje su ili nul-matrice ili matrice incidencije manjih sim. dizajna
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Regularna uniformna globalna dekompozicija
Definicija 5.3.Neka je familija sim. dizajna {Di} globalna dekompozicijasim. dizajna D. Dekompozicija je
a) uniformna ako svi dizajni Di imaju istu velicinu blokova;
b) regularna ako je za ∀ 2 dizajna Di = (Xi ,Bi) i Dj = (Xj ,Bj):Xi = Xj ∨ Xi ∩ Xj = ∅ i Bi = Bj ∨ Bi ∩ Bj = ∅.
⇒ Matrica W ⊗ X dobivena konstrukcijom iz Teorema 4.4. je matricaincidencije simetricnog (vw , kl , λl)-dizajna koja dopušta regularnuuniformnu globalnu dekompoziciju na simetricne (v , k , λ)-dizajne.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Regularna uniformna globalna dekompozicija
Definicija 5.3.Neka je familija sim. dizajna {Di} globalna dekompozicijasim. dizajna D. Dekompozicija je
a) uniformna ako svi dizajni Di imaju istu velicinu blokova;
b) regularna ako je za ∀ 2 dizajna Di = (Xi ,Bi) i Dj = (Xj ,Bj):Xi = Xj ∨ Xi ∩ Xj = ∅ i Bi = Bj ∨ Bi ∩ Bj = ∅.
⇒ Matrica W ⊗ X dobivena konstrukcijom iz Teorema 4.4. je matricaincidencije simetricnog (vw , kl , λl)-dizajna koja dopušta regularnuuniformnu globalnu dekompoziciju na simetricne (v , k , λ)-dizajne.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Regularna uniformna globalna dekompozicija
Teorem 5.4Neka je D simetrican dizajn koji koji dopušta regularnuuniformnu globalnu dekompoziciju na simetricne(v , k , λ)-dizajne. Neka je M matrica incidencije od D, gdje jesvaki blok Mij (i , j = 1, ...,w) od M ili nul-matrica reda v ilimatrica incidencije simetricnog (v , k , λ)-dizajna. Pretpostavimoda postoji linearno nezavisan skupM matrica incidencijesimetricnih (v , k , λ)-dizajna koji sadrži sve ne-nul matrice Mij idopušta strogo tranzitivnu grupu simetrija S.Tada postoji X ∈M i BGW matrica W nad S s parametrima(w , l , µ) takve da je: k2µ = vλl i W ⊗ X = M.
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Regularna uniformna globalna dekompozicija
Ionin je dobio sljedece beskonacne familije sim. dizajna kojedopuštaju regularnu uniformnu globalnu dekompoziciju:
( pd+1(q2m−1)q−1 ,q2m−1pd , (q − 1)q2m−2pd−1),
m,d ∈ N, p i q = pd+1−1p−1 prim potencije;
( pd (q2m−1)(p−1)(pd+1) ,p
dq2m−1,pd (pd + 1)(p − 1)q2m−2),
m,d ∈ N, p i q = pd+1 + p − 1 prim potencije;
( 2·3d (q2m−1)3d+1) ,3dq2m−1, 3d (3d+1)q2m−2)
2 ,
d ∈ N, q = 3d+1+12 prim potencija;
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Regularna uniformna globalna dekompozicija
Ionin je dobio sljedece beskonacne familije sim. dizajna kojedopuštaju regularnu uniformnu globalnu dekompoziciju:
( pd+1(q2m−1)q−1 ,q2m−1pd , (q − 1)q2m−2pd−1),
m,d ∈ N, p i q = pd+1−1p−1 prim potencije;
( pd (q2m−1)(p−1)(pd+1) ,p
dq2m−1,pd (pd + 1)(p − 1)q2m−2),
m,d ∈ N, p i q = pd+1 + p − 1 prim potencije;
( 2·3d (q2m−1)3d+1) ,3dq2m−1, 3d (3d+1)q2m−2)
2 ,
d ∈ N, q = 3d+1+12 prim potencija;
Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije
Regularna uniformna globalna dekompozicija
(3d (q2m−1)2(3d−1) ,3
dq2m−1,2 · 3d(3d − 1)q2m−2),d ∈ N, q = 3d+1 − 2 prim potencija;
(22d+3(q2m−1)q+1 ,22d+1q2m−1,22d−1(q + 1)q2m−2),
d ∈ N, q = 22d+3+13 prim potencija;
(22d+3(q2m−1)3(q−1) ,22d+1q2m−1,3 · 22d−1(q − 1)q2m−2),
d ∈ N, q = 22d+3 − 3 prim potencija;