DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN

DISUSUN OLEH

SHAFIYAH ULFAH

NIM 4143121054

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGRI MEDAN

2014-2015

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa makala Deret

Taylor dan Deret Maclaurinini telah selesai saya rangkum dari berbagai pendapat para

ahli Maksud dan tujun saya membuat makala ini selain untuk meningkatkan interaksi

antara mahasiswa dengan dosen serta sesama mahasiswa dalam melaksanakan

pembelajaran juga untuk memenuhi tuntutan tugas untuk mengarahkan mahasiswa

untuk melaksanakan pembelajaran khususnya dalam mata kuliah Fisika Matematika

Penulis menyadari bahwa makala yang saya buat ini masih jauh dari sempurna

oleh karna itu apabila dalam menyusun makala ini masih dijumpai adanya kekeliruan

sudilah kiranya para dosen mengkoreksinya demi perbaikan pada makalah berikutnya

Sebagai akhir kata saya mengucapakan selamat mempelajarinya dan semoga

harapan kita untuk meningkatkan mutu pembelajaran dalam Fisika Matematika dapat

terpenuh

Medan 05 Mei 2015

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari metode numerik adalah

matematika Matematika adalah ilmu dasar maka dari itu kita diharapkan sudah

memiliki pengetahuan mengenai konsep fungsi geometri konsep kalkulus seperti

turunan dan integral dan sebagainya

Banyak teorema matematika yang dipakai disini Dari sekian banyak teorema

tersebut ada satu teorema yang menjadi kakas yang sangat penting dalam metode

numerik yaitu teorema deret taylor Deret Taylor adalah kakas yang utama untuk

menurunkan metode numerik Dari latar belakang itulah mengapa kami mengambil

judul makalah yaitu mengenai ldquoDeret Taylor dan Deret Maclaurinrdquo

BAB II

PEMBAHASAN

21 Pengertian Deret

Deret hitung atau deret aritmatika dalam bidang matematika adalah urutan

bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya

dengan suatu bilangan beda tertentu

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Setiap bilangan atau

variabel yang dijumlahkan dinamakan suku dari deret tersebut Jadi deret mempunyai

urutan suku yang berpola

Contoh

a 1+2+3+4+

b 2+5+8+11+

c 1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+

d x-x2+x3_x4+

Pembahasan

a Mempunyai suku dengan pola bilangan asli

b Urutan suku berikutnya ditambah 3 dari suku sebelumnya

c Suku berikutnya dikalikan dengan (x+1)

d Suku berikutnya dikalikan dengan (-x)

22 Pengertian Deret Taylor

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai

jumlah takhingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di

suatu titik Deret ini dapat dianggap sebagai limitpolinomial Taylor Deret Taylor

mendapat nama dari matematikawanInggrisBrook Taylor

23 Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleksf(x) yang

terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks

a adalah deret pangkat

f ( x )=f (a )+ f (a )1

( xminusa )+ f (a )2

(xminusa)2+f (a)

3 (xminusa)3+hellip

Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

sumn=0

infin f (n)

( a)n ( xminusa)n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik a Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri dan (x minus a)0

dan 0 didefinisikan sebagai 1

24 Deret Fourier Fungsi Periodik

Definisi Suatu fungsi f (x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T jika untuk

setiap x berlaki f (x + T) = F (X)

25 Deret Fourier Jangkauan Setengah

Misalkan suatu fungsi f(x) dide_nisikan pada interval (0L) Fungsi ini dapat

diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada

interval (1048576LL) Jadi diperlukan pende_nisian fungsi pada interval (1048576L 0) Ada dua

cara yang dapat dilakukan yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau

menjadi fungsi genap Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut

Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret

sumn=1

infin

bn sin nπαL

26 Pengertian Deret Maclaurin

Dalam kasus khusus jika a = 0 maka disebut Deret MacLaurin atau sering

disebut Deret Taylor baku Dan didefinisikan sebagai berikut

27 Definisi

f ( x )=f (0 )+ f (0 )1

( x )+ f ( a )2

(x )2+ f (0)3

(x)3+hellip

Dalam bentuk ringkas dapat ditulis sebagai

sumn=0

infin f (n)

(0 )n ( x )n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(0) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik 0

Contoh

f(x) = sin x

f(0) = 0

frsquo(x) = cos x rarrf(0) = 1

frdquo(x) = -sin x rarrfrdquo(0) = 0

frdquo(x) = -cos x rarrfrdquo(0) = -1

f(iv)(x) = sin x rarrf(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x rarrf(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x rarrf(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x rarrf(vii)(0) = -1

f ( x )=0+ (1 )+ x2

2 (0 )+ x3

3(minus1 )+ x4

4 (0 )+ x5

5 (1 )+ x6

6 (0 )+ x7

7 (minus1)

iquest x1

minus x3

3 + x6

5minus x7

7

=sumn=0

infin (minus1)n+1

(2nminus1)x 2 nminus1

28 Kegunaan Deret dalam Fisika

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode

numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilaai fungsi yang susah dihitung

secara manual seperti nilai sin x cos x ex log x atau In (x + 1) Tentu kita tidak akan

bisa menghitung nilai- nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau

tabel

Beberapa persoalan fisika dalam hal ini dalam matematikanya dapat

diselesaikan dengan mudah jika pengetahuan yang kita pelajari tentang deret yang

diterapkan Maka terdapatlah persamaan deferensial dan pengecekan integral

Persamaan diferensial orde dua dalam gerak ayunan sederhana Selanjutnya aplikasi lain

dari deret adalah pengecekan integral Misalnya integral Fresnel (integral dari sin x2 dan

cos x2) yang terjadi pada masalah difraksi Fresnel untuk topik optik

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa makala Deret

Taylor dan Deret Maclaurinini telah selesai saya rangkum dari berbagai pendapat para

ahli Maksud dan tujun saya membuat makala ini selain untuk meningkatkan interaksi

antara mahasiswa dengan dosen serta sesama mahasiswa dalam melaksanakan

pembelajaran juga untuk memenuhi tuntutan tugas untuk mengarahkan mahasiswa

untuk melaksanakan pembelajaran khususnya dalam mata kuliah Fisika Matematika

Penulis menyadari bahwa makala yang saya buat ini masih jauh dari sempurna

oleh karna itu apabila dalam menyusun makala ini masih dijumpai adanya kekeliruan

sudilah kiranya para dosen mengkoreksinya demi perbaikan pada makalah berikutnya

Sebagai akhir kata saya mengucapakan selamat mempelajarinya dan semoga

harapan kita untuk meningkatkan mutu pembelajaran dalam Fisika Matematika dapat

terpenuh

Medan 05 Mei 2015

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari metode numerik adalah

matematika Matematika adalah ilmu dasar maka dari itu kita diharapkan sudah

memiliki pengetahuan mengenai konsep fungsi geometri konsep kalkulus seperti

turunan dan integral dan sebagainya

Banyak teorema matematika yang dipakai disini Dari sekian banyak teorema

tersebut ada satu teorema yang menjadi kakas yang sangat penting dalam metode

numerik yaitu teorema deret taylor Deret Taylor adalah kakas yang utama untuk

menurunkan metode numerik Dari latar belakang itulah mengapa kami mengambil

judul makalah yaitu mengenai ldquoDeret Taylor dan Deret Maclaurinrdquo

BAB II

PEMBAHASAN

21 Pengertian Deret

Deret hitung atau deret aritmatika dalam bidang matematika adalah urutan

bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya

dengan suatu bilangan beda tertentu

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Setiap bilangan atau

variabel yang dijumlahkan dinamakan suku dari deret tersebut Jadi deret mempunyai

urutan suku yang berpola

Contoh

a 1+2+3+4+

b 2+5+8+11+

c 1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+

d x-x2+x3_x4+

Pembahasan

a Mempunyai suku dengan pola bilangan asli

b Urutan suku berikutnya ditambah 3 dari suku sebelumnya

c Suku berikutnya dikalikan dengan (x+1)

d Suku berikutnya dikalikan dengan (-x)

22 Pengertian Deret Taylor

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai

jumlah takhingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di

suatu titik Deret ini dapat dianggap sebagai limitpolinomial Taylor Deret Taylor

mendapat nama dari matematikawanInggrisBrook Taylor

23 Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleksf(x) yang

terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks

a adalah deret pangkat

f ( x )=f (a )+ f (a )1

( xminusa )+ f (a )2

(xminusa)2+f (a)

3 (xminusa)3+hellip

Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

sumn=0

infin f (n)

( a)n ( xminusa)n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik a Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri dan (x minus a)0

dan 0 didefinisikan sebagai 1

24 Deret Fourier Fungsi Periodik

Definisi Suatu fungsi f (x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T jika untuk

setiap x berlaki f (x + T) = F (X)

25 Deret Fourier Jangkauan Setengah

Misalkan suatu fungsi f(x) dide_nisikan pada interval (0L) Fungsi ini dapat

diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada

interval (1048576LL) Jadi diperlukan pende_nisian fungsi pada interval (1048576L 0) Ada dua

cara yang dapat dilakukan yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau

menjadi fungsi genap Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut

Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret

sumn=1

infin

bn sin nπαL

26 Pengertian Deret Maclaurin

Dalam kasus khusus jika a = 0 maka disebut Deret MacLaurin atau sering

disebut Deret Taylor baku Dan didefinisikan sebagai berikut

27 Definisi

f ( x )=f (0 )+ f (0 )1

( x )+ f ( a )2

(x )2+ f (0)3

(x)3+hellip

Dalam bentuk ringkas dapat ditulis sebagai

sumn=0

infin f (n)

(0 )n ( x )n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(0) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik 0

Contoh

f(x) = sin x

f(0) = 0

frsquo(x) = cos x rarrf(0) = 1

frdquo(x) = -sin x rarrfrdquo(0) = 0

frdquo(x) = -cos x rarrfrdquo(0) = -1

f(iv)(x) = sin x rarrf(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x rarrf(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x rarrf(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x rarrf(vii)(0) = -1

f ( x )=0+ (1 )+ x2

2 (0 )+ x3

3(minus1 )+ x4

4 (0 )+ x5

5 (1 )+ x6

6 (0 )+ x7

7 (minus1)

iquest x1

minus x3

3 + x6

5minus x7

7

=sumn=0

infin (minus1)n+1

(2nminus1)x 2 nminus1

28 Kegunaan Deret dalam Fisika

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode

numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilaai fungsi yang susah dihitung

secara manual seperti nilai sin x cos x ex log x atau In (x + 1) Tentu kita tidak akan

bisa menghitung nilai- nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau

tabel

Beberapa persoalan fisika dalam hal ini dalam matematikanya dapat

diselesaikan dengan mudah jika pengetahuan yang kita pelajari tentang deret yang

diterapkan Maka terdapatlah persamaan deferensial dan pengecekan integral

Persamaan diferensial orde dua dalam gerak ayunan sederhana Selanjutnya aplikasi lain

dari deret adalah pengecekan integral Misalnya integral Fresnel (integral dari sin x2 dan

cos x2) yang terjadi pada masalah difraksi Fresnel untuk topik optik

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

BAB I

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari metode numerik adalah

matematika Matematika adalah ilmu dasar maka dari itu kita diharapkan sudah

memiliki pengetahuan mengenai konsep fungsi geometri konsep kalkulus seperti

turunan dan integral dan sebagainya

Banyak teorema matematika yang dipakai disini Dari sekian banyak teorema

tersebut ada satu teorema yang menjadi kakas yang sangat penting dalam metode

numerik yaitu teorema deret taylor Deret Taylor adalah kakas yang utama untuk

menurunkan metode numerik Dari latar belakang itulah mengapa kami mengambil

judul makalah yaitu mengenai ldquoDeret Taylor dan Deret Maclaurinrdquo

BAB II

PEMBAHASAN

21 Pengertian Deret

Deret hitung atau deret aritmatika dalam bidang matematika adalah urutan

bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya

dengan suatu bilangan beda tertentu

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Setiap bilangan atau

variabel yang dijumlahkan dinamakan suku dari deret tersebut Jadi deret mempunyai

urutan suku yang berpola

Contoh

a 1+2+3+4+

b 2+5+8+11+

c 1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+

d x-x2+x3_x4+

Pembahasan

a Mempunyai suku dengan pola bilangan asli

b Urutan suku berikutnya ditambah 3 dari suku sebelumnya

c Suku berikutnya dikalikan dengan (x+1)

d Suku berikutnya dikalikan dengan (-x)

22 Pengertian Deret Taylor

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai

jumlah takhingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di

suatu titik Deret ini dapat dianggap sebagai limitpolinomial Taylor Deret Taylor

mendapat nama dari matematikawanInggrisBrook Taylor

23 Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleksf(x) yang

terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks

a adalah deret pangkat

f ( x )=f (a )+ f (a )1

( xminusa )+ f (a )2

(xminusa)2+f (a)

3 (xminusa)3+hellip

Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

sumn=0

infin f (n)

( a)n ( xminusa)n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik a Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri dan (x minus a)0

dan 0 didefinisikan sebagai 1

24 Deret Fourier Fungsi Periodik

Definisi Suatu fungsi f (x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T jika untuk

setiap x berlaki f (x + T) = F (X)

25 Deret Fourier Jangkauan Setengah

Misalkan suatu fungsi f(x) dide_nisikan pada interval (0L) Fungsi ini dapat

diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada

interval (1048576LL) Jadi diperlukan pende_nisian fungsi pada interval (1048576L 0) Ada dua

cara yang dapat dilakukan yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau

menjadi fungsi genap Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut

Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret

sumn=1

infin

bn sin nπαL

26 Pengertian Deret Maclaurin

Dalam kasus khusus jika a = 0 maka disebut Deret MacLaurin atau sering

disebut Deret Taylor baku Dan didefinisikan sebagai berikut

27 Definisi

f ( x )=f (0 )+ f (0 )1

( x )+ f ( a )2

(x )2+ f (0)3

(x)3+hellip

Dalam bentuk ringkas dapat ditulis sebagai

sumn=0

infin f (n)

(0 )n ( x )n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(0) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik 0

Contoh

f(x) = sin x

f(0) = 0

frsquo(x) = cos x rarrf(0) = 1

frdquo(x) = -sin x rarrfrdquo(0) = 0

frdquo(x) = -cos x rarrfrdquo(0) = -1

f(iv)(x) = sin x rarrf(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x rarrf(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x rarrf(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x rarrf(vii)(0) = -1

f ( x )=0+ (1 )+ x2

2 (0 )+ x3

3(minus1 )+ x4

4 (0 )+ x5

5 (1 )+ x6

6 (0 )+ x7

7 (minus1)

iquest x1

minus x3

3 + x6

5minus x7

7

=sumn=0

infin (minus1)n+1

(2nminus1)x 2 nminus1

28 Kegunaan Deret dalam Fisika

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode

numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilaai fungsi yang susah dihitung

secara manual seperti nilai sin x cos x ex log x atau In (x + 1) Tentu kita tidak akan

bisa menghitung nilai- nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau

tabel

Beberapa persoalan fisika dalam hal ini dalam matematikanya dapat

diselesaikan dengan mudah jika pengetahuan yang kita pelajari tentang deret yang

diterapkan Maka terdapatlah persamaan deferensial dan pengecekan integral

Persamaan diferensial orde dua dalam gerak ayunan sederhana Selanjutnya aplikasi lain

dari deret adalah pengecekan integral Misalnya integral Fresnel (integral dari sin x2 dan

cos x2) yang terjadi pada masalah difraksi Fresnel untuk topik optik

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

BAB II

PEMBAHASAN

21 Pengertian Deret

Deret hitung atau deret aritmatika dalam bidang matematika adalah urutan

bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan penambahan bilangan sebelumnya

dengan suatu bilangan beda tertentu

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Setiap bilangan atau

variabel yang dijumlahkan dinamakan suku dari deret tersebut Jadi deret mempunyai

urutan suku yang berpola

Contoh

a 1+2+3+4+

b 2+5+8+11+

c 1+(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+

d x-x2+x3_x4+

Pembahasan

a Mempunyai suku dengan pola bilangan asli

b Urutan suku berikutnya ditambah 3 dari suku sebelumnya

c Suku berikutnya dikalikan dengan (x+1)

d Suku berikutnya dikalikan dengan (-x)

22 Pengertian Deret Taylor

Deret Taylor dalam matematika adalah representasi fungsi matematika sebagai

jumlah takhingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di

suatu titik Deret ini dapat dianggap sebagai limitpolinomial Taylor Deret Taylor

mendapat nama dari matematikawanInggrisBrook Taylor

23 Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleksf(x) yang

terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks

a adalah deret pangkat

f ( x )=f (a )+ f (a )1

( xminusa )+ f (a )2

(xminusa)2+f (a)

3 (xminusa)3+hellip

Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

sumn=0

infin f (n)

( a)n ( xminusa)n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik a Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri dan (x minus a)0

dan 0 didefinisikan sebagai 1

24 Deret Fourier Fungsi Periodik

Definisi Suatu fungsi f (x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T jika untuk

setiap x berlaki f (x + T) = F (X)

25 Deret Fourier Jangkauan Setengah

Misalkan suatu fungsi f(x) dide_nisikan pada interval (0L) Fungsi ini dapat

diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada

interval (1048576LL) Jadi diperlukan pende_nisian fungsi pada interval (1048576L 0) Ada dua

cara yang dapat dilakukan yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau

menjadi fungsi genap Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut

Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret

sumn=1

infin

bn sin nπαL

26 Pengertian Deret Maclaurin

Dalam kasus khusus jika a = 0 maka disebut Deret MacLaurin atau sering

disebut Deret Taylor baku Dan didefinisikan sebagai berikut

27 Definisi

f ( x )=f (0 )+ f (0 )1

( x )+ f ( a )2

(x )2+ f (0)3

(x)3+hellip

Dalam bentuk ringkas dapat ditulis sebagai

sumn=0

infin f (n)

(0 )n ( x )n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(0) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik 0

Contoh

f(x) = sin x

f(0) = 0

frsquo(x) = cos x rarrf(0) = 1

frdquo(x) = -sin x rarrfrdquo(0) = 0

frdquo(x) = -cos x rarrfrdquo(0) = -1

f(iv)(x) = sin x rarrf(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x rarrf(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x rarrf(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x rarrf(vii)(0) = -1

f ( x )=0+ (1 )+ x2

2 (0 )+ x3

3(minus1 )+ x4

4 (0 )+ x5

5 (1 )+ x6

6 (0 )+ x7

7 (minus1)

iquest x1

minus x3

3 + x6

5minus x7

7

=sumn=0

infin (minus1)n+1

(2nminus1)x 2 nminus1

28 Kegunaan Deret dalam Fisika

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode

numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilaai fungsi yang susah dihitung

secara manual seperti nilai sin x cos x ex log x atau In (x + 1) Tentu kita tidak akan

bisa menghitung nilai- nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau

tabel

Beberapa persoalan fisika dalam hal ini dalam matematikanya dapat

diselesaikan dengan mudah jika pengetahuan yang kita pelajari tentang deret yang

diterapkan Maka terdapatlah persamaan deferensial dan pengecekan integral

Persamaan diferensial orde dua dalam gerak ayunan sederhana Selanjutnya aplikasi lain

dari deret adalah pengecekan integral Misalnya integral Fresnel (integral dari sin x2 dan

cos x2) yang terjadi pada masalah difraksi Fresnel untuk topik optik

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

23 Definisi

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleksf(x) yang

terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks

a adalah deret pangkat

f ( x )=f (a )+ f (a )1

( xminusa )+ f (a )2

(xminusa)2+f (a)

3 (xminusa)3+hellip

Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

sumn=0

infin f (n)

( a)n ( xminusa)n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik a Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri dan (x minus a)0

dan 0 didefinisikan sebagai 1

24 Deret Fourier Fungsi Periodik

Definisi Suatu fungsi f (x) dikatakan fungsi periodik dengan periode T jika untuk

setiap x berlaki f (x + T) = F (X)

25 Deret Fourier Jangkauan Setengah

Misalkan suatu fungsi f(x) dide_nisikan pada interval (0L) Fungsi ini dapat

diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada

interval (1048576LL) Jadi diperlukan pende_nisian fungsi pada interval (1048576L 0) Ada dua

cara yang dapat dilakukan yaitu fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil atau

menjadi fungsi genap Kedua cara ini dapat dilihat pada gambar berikut

Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil maka akan didapat deret

sumn=1

infin

bn sin nπαL

26 Pengertian Deret Maclaurin

Dalam kasus khusus jika a = 0 maka disebut Deret MacLaurin atau sering

disebut Deret Taylor baku Dan didefinisikan sebagai berikut

27 Definisi

f ( x )=f (0 )+ f (0 )1

( x )+ f ( a )2

(x )2+ f (0)3

(x)3+hellip

Dalam bentuk ringkas dapat ditulis sebagai

sumn=0

infin f (n)

(0 )n ( x )n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(0) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik 0

Contoh

f(x) = sin x

f(0) = 0

frsquo(x) = cos x rarrf(0) = 1

frdquo(x) = -sin x rarrfrdquo(0) = 0

frdquo(x) = -cos x rarrfrdquo(0) = -1

f(iv)(x) = sin x rarrf(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x rarrf(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x rarrf(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x rarrf(vii)(0) = -1

f ( x )=0+ (1 )+ x2

2 (0 )+ x3

3(minus1 )+ x4

4 (0 )+ x5

5 (1 )+ x6

6 (0 )+ x7

7 (minus1)

iquest x1

minus x3

3 + x6

5minus x7

7

=sumn=0

infin (minus1)n+1

(2nminus1)x 2 nminus1

28 Kegunaan Deret dalam Fisika

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode

numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilaai fungsi yang susah dihitung

secara manual seperti nilai sin x cos x ex log x atau In (x + 1) Tentu kita tidak akan

bisa menghitung nilai- nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau

tabel

Beberapa persoalan fisika dalam hal ini dalam matematikanya dapat

diselesaikan dengan mudah jika pengetahuan yang kita pelajari tentang deret yang

diterapkan Maka terdapatlah persamaan deferensial dan pengecekan integral

Persamaan diferensial orde dua dalam gerak ayunan sederhana Selanjutnya aplikasi lain

dari deret adalah pengecekan integral Misalnya integral Fresnel (integral dari sin x2 dan

cos x2) yang terjadi pada masalah difraksi Fresnel untuk topik optik

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

sumn=1

infin

bn sin nπαL

26 Pengertian Deret Maclaurin

Dalam kasus khusus jika a = 0 maka disebut Deret MacLaurin atau sering

disebut Deret Taylor baku Dan didefinisikan sebagai berikut

27 Definisi

f ( x )=f (0 )+ f (0 )1

( x )+ f ( a )2

(x )2+ f (0)3

(x)3+hellip

Dalam bentuk ringkas dapat ditulis sebagai

sumn=0

infin f (n)

(0 )n ( x )n

dengan n melambangkan faktorialn dan f (n)(0) melambangkan nilai dari turunan ke-n

dari f pada titik 0

Contoh

f(x) = sin x

f(0) = 0

frsquo(x) = cos x rarrf(0) = 1

frdquo(x) = -sin x rarrfrdquo(0) = 0

frdquo(x) = -cos x rarrfrdquo(0) = -1

f(iv)(x) = sin x rarrf(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x rarrf(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x rarrf(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x rarrf(vii)(0) = -1

f ( x )=0+ (1 )+ x2

2 (0 )+ x3

3(minus1 )+ x4

4 (0 )+ x5

5 (1 )+ x6

6 (0 )+ x7

7 (minus1)

iquest x1

minus x3

3 + x6

5minus x7

7

=sumn=0

infin (minus1)n+1

(2nminus1)x 2 nminus1

28 Kegunaan Deret dalam Fisika

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode

numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilaai fungsi yang susah dihitung

secara manual seperti nilai sin x cos x ex log x atau In (x + 1) Tentu kita tidak akan

bisa menghitung nilai- nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau

tabel

Beberapa persoalan fisika dalam hal ini dalam matematikanya dapat

diselesaikan dengan mudah jika pengetahuan yang kita pelajari tentang deret yang

diterapkan Maka terdapatlah persamaan deferensial dan pengecekan integral

Persamaan diferensial orde dua dalam gerak ayunan sederhana Selanjutnya aplikasi lain

dari deret adalah pengecekan integral Misalnya integral Fresnel (integral dari sin x2 dan

cos x2) yang terjadi pada masalah difraksi Fresnel untuk topik optik

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

frdquo(x) = -cos x rarrfrdquo(0) = -1

f(iv)(x) = sin x rarrf(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x rarrf(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x rarrf(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x rarrf(vii)(0) = -1

f ( x )=0+ (1 )+ x2

2 (0 )+ x3

3(minus1 )+ x4

4 (0 )+ x5

5 (1 )+ x6

6 (0 )+ x7

7 (minus1)

iquest x1

minus x3

3 + x6

5minus x7

7

=sumn=0

infin (minus1)n+1

(2nminus1)x 2 nminus1

28 Kegunaan Deret dalam Fisika

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode

numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilaai fungsi yang susah dihitung

secara manual seperti nilai sin x cos x ex log x atau In (x + 1) Tentu kita tidak akan

bisa menghitung nilai- nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau

tabel

Beberapa persoalan fisika dalam hal ini dalam matematikanya dapat

diselesaikan dengan mudah jika pengetahuan yang kita pelajari tentang deret yang

diterapkan Maka terdapatlah persamaan deferensial dan pengecekan integral

Persamaan diferensial orde dua dalam gerak ayunan sederhana Selanjutnya aplikasi lain

dari deret adalah pengecekan integral Misalnya integral Fresnel (integral dari sin x2 dan

cos x2) yang terjadi pada masalah difraksi Fresnel untuk topik optik

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

SIMPULAN

Deret taylor dan deret maclaurin adalah salah satu tektik untuk menguraikan

sebuah fungsi variaber real menjadi uraian deret pangkat Uraian ini berguna dalam

menyelesaikan masalah-masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan kalkulus biasa

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan Deret bisa digunakan untuk

menghitung nilai- nilai fungsi tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel

Dalam fisika perhitungan deret dapat membantu untuk menyelesaikan beberapa

persoalan fisika Jika kita perhatikan masalah yang harus kita selesaikan dari uraian

sebuah fungsi periodik f (x) yang diketahui menjadi deret fourier adalah menentukan

beberapa besar koefisien Fourier a0 andan bn yang didapat dari fungsi periodik f(x)

yang bersangkutan

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia

DAFTAR PUSTAKA

Mudjiartoroswati2004Matematika Fisika IBandung ITB

Mudjiarto Roswati 2004 Matematika Fisika II Bandung Universitas Pendidikan Indonesia