Deret Fourier Fismat
Transcript of Deret Fourier Fismat
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
1/22
y=f(x)
X1=a X2 X3 Xn=b
y
x
Gambar 7.1.1
DERET FOURIER
Deret Fourier yaituderet yang suku-sukunya adalah periodik. Karena fungsi
trigonometri merupakan fungsi periodic maka deret yang suku-sukunya fungsi trigonometri,
terutama sinus dan cosines dapat disebut deret Fourier. Dalam banyak hal deret Fourier ini
lebih bermanfaat dari pada deret pangkat yang telah kita pelajari, terutama untuk kasus-kasus
yang berhubungan dengan gerak periodic seperti vibrasi atau oscilasi (getaran periodik)
maupun gerak gelombang yang dideskripsikan oleh fungsi sinus dan atau cosinus.
.! "ilai #ata-rata Fungsi
Konsep tentang rata-rata sebuah fungsi adalah sesuatu yang sering digunakan. $ila kitamenghitung rata-rata satu set data, maka kita akanmenjumlah angka-angka dari data tersebut, lalu kita
bagi dengan banyaknya data. %emahaman ini akan kita gunakan untuk menghitung rata-rata sebuahfungsi. %erhatikan gambar grafik (.!.!)
#ata-rata f(&)pada (a,b) secara aproksimasi adalah'
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
2/22
f ( x1 )+f ( x 2 )+…+f ( xn)n (.!.!)
%endekatan nilai rata-rata f(&) akan semakin akurat jika n diperbanyak. ika persamaan (.!.!) pembilang dan penyebutnya kita kalikan *&, maka'
[ f ( x1 )+ f ( x 2 )+…+( xn ) ]∆ xn ∆ x (.!.+)
%adahal *&b-a, yaitu panjang interval yang kira rata-rata. ika n - dan *& -/,maka akandiperoleh'
"ilai #ata-rata f ( x)=∫
a
b
f ( x)dx
b−a(.!.0)
1ontoh.! '1arilah nilai rata-rata dari sin+n& dalam satu periode.
Karena sin+ n& 2 cos+n& ! maka'
∫−π
π
( si n2 nx+co s2 nx) dx=∫−π
π
dx=2π ∫−π
π
si n2nxdx=∫
−π
π
co s2
nxdx=π
3ehingga' rata-rata dari sin+n& rata-rata dari cos+n&
¿ 1
2 π ∫−π
π
sin2
nxdx= 1
2π ∫−π
π
co s2
nxdx= π
2π =
1
2 (.!.4)
Contoh :
!. sin x (0, π )
a5ab '
f ( x )=∫0
π
sin x dx
π −0
¿−cosx|0
π
π
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
3/22
¿1−(−1)
π
¿ 2
π
+.0,3π x¿cos¿
)
a5ab '
f ( x )=∫0
3π
cos x dx
π −0
¿ sinx|0
3 π
π
¿0−0
π
¿0
Soal sub bab 7.1
1arilah nilai rerata dari'
1.sin x+2sin2 x+3sin3 x (0,2π )
2.1−e− x (0,1 )
3. x−cos26 x(0, π 6 ) 4.sin 2 x ( π
6, 7 π
6 ) 5.∼ x+sin2 x(0,2π )
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
4/22
.+ 6kspansi Deret Fourier
3etiap fungsi apapun asal periodik dapat dinyatakan dalam sebuah deret yang disebut dengan
deret Fourier .
3ecara umum, jika fungsi tersebut f ( x) , maka'
f ( x )=1
2a
0+a1 cosx+a2cos2 x+…
+b1
sinx+b2sin2 x+b
3sin 3 x+… (.+.!)
f ( x )=1
2a
0+∑
n=1
∞
an cosnπ +∑n=1
∞
bn sinnπ
7danya koefisien1
2 pada a
0 ini untuk kemudahan penghitungan saja yang akan kita lihat pada
contoh nanti.
8ntuk menentukan nilai a0 , a1 , a2 , … , b1 , b2 , b3 , … diperlukan persamaan sebagai berikut.
"ilai rerata sin nx sinmx= 1
2π ∫−π
π
sin nxsin mxdx=0
Dengan demikian '
!.1
2 π ∫−π
π
sin nx sinmxdx={0,untukm≠ndanm=n=01
2,untukm=n
(.+.+)
+.1
2 π ∫−π
π
cos nxcos mxdx={ 0,untukm≠n1
2,untukm=n
1,untuk m=n=0 (.+.0)
0.1
2 π ∫−π
π
sinnx cosmxdx=0 (.+.4)
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
5/22
%ersamaan (.+.4) dapat dibuktikan dengan mengubah sinnx dan cosmx dalam bentuk
bilangan kompleks.
conto h7.2: "yatakan sinyal di ba5ah ini dalam deret Fourier
f ( x)
9ambar +.!
$erdasarkan grafik tersebut,
f ( x )={0,untuk −π
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
6/22
a0=
1
2 π ∫−π
π
f ( x ) dx
8ntuk menentukan a1 , kalikan (.+.:) dengan cos1 x maka semua suku akan bernilai nol
kecuali suku untuk a1 , sehingga '
1
2 π ∫−π
π
f ( x ) cos xdx=a1
1
2π ∫−π
π
cos2 xdx
1
2 π ∫−π
π
f ( x ) cos xdx=a1
1
2
a1= 1
π ∫−π
π
f ( x ) cos xdx
Dengan cara yang sama, a2 , a3 , a4 , …an dapat diperoleh '
an=1
π ∫−π
π
f ( x )cosnxdx (.+.;)
3eperti halnya an , untuk menentukan bn kalikan kedua ruas pada persamaan (.+.:)
dengan sinnx , maka akan diperoleh '
b1=
1
π ∫−π
π
f ( x ) sin xdx (.+.)
Dari (.+.;) dan (.+.) diperoleh '
f ( x ) dx=¿ 1π [∫−π
π
0.dx+∫0
π
1.dx ]= 1π ( π )=1a0=
1
π ∫−π
π
¿
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
7/22
f ( x ) cos x dx=¿ 1π [∫−π
π
0.cos x dx+∫0
π
1.cos x dx ]= 1π sin x|π 0=1a1=
1
π ∫−π
π
¿
f ( x ) cos2 x dx=¿ 1π [∫−π
π
0.cos2 x dx+∫0
π
1.cos2 x dx ]= 1π 12 sin2 x|π 0=0a2=
1
π ∫−π
π
¿
Dan seterusnya di mana seluruh an=0 (kecuali a0 )
x
cos¿|π 0¿
f ( x ) sin x dx=¿ 1π [∫−π
π
0.dx+∫0
π
1.sin x dx ]= 1π ¿b
1=
1
π ∫−π
π
¿
x
cos2¿|π 0¿
f ( x ) sin2 x dx=¿ 1π [∫−π
π
0.dx+∫0
π
1.sin2 x dx ]= 1π ¿b2= 1
π ∫−π
π
¿
x
cos3¿|π 0¿
f ( x ) sin3 x dx=¿ 1π [∫−π
π
0.dx+∫0
π
1.sin3 x dx]=1π ¿b3=
1
π ∫−π
π
¿
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
8/22
b5=
2
5 π ; b
7= 2
7 π ; … bn=
2
nπ
f ( x )=1
2
+ 2
π
sin x+2
π
sin3 x
3
+ 2
π
sin5 x
5
+… (.+.ain
%ada sub bab .+ adalah fungsi periodik yang intervalnya dalam π . 8ntuk fungsi periodik yang
intervalnya bukan dalam bentuk π , ekspansi deret fouriernya hanya mengganti batas ? batas
intervalnya. 3ecara umum, jika sebuah fungsi f ( x) mempunyai interval sejauh 2l , maka
f ( x) dapat dideretkan sebagai
f ( x )= 12
a0+a1cos πx
l +a2cos
2πx
l +…
+b1 sin πx
l +b2sin
2 πx
l +b3 sin
3πx
l +…
f ( x )=1
2
a0+∑
n=1
∞
ann πx
l
+∑n=1
∞
bnn πx
l .... (.0.!)
Kembali ke contoh .+ tetapi intervalnya (−l , l ) seperti gambar 0.!
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
9/22
$erdasarkan grafik tersebut ,
f ( x )={0,untuk −l
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
10/22
1
2 l∫−π
π
cos πx
l dx=a
1
1
2l
a1=
1
π ∫−π
π
cos
πx
l dx
Dengan cara yang sama, a2 , a3 , a4 ... an dapat diperoleh '
an=1
l∫−l
l
f ( x )cos nπx
l dx(7.3.3)
3eperti halnya an untuk menentukan bn kalikan kedua ruas pada persamaan (.0.+) dengan
sin nπx
l , maka akan diperoleh '
an=1
l∫−l
l
f ( x )sin nπx
l dx (7.3.4)
Dari (.0.0) dan (.4.4) diperoleh '
a0=
1
l∫−l
l
f ( x )=1
l [∫−l0
0dx+∫0
l
1dx]=1l ( l )=1
a1=
1
l∫−l
l
f ( x)cos πx
l dx=
1
l [∫−l0
0cos πx
l dx+∫
−l
0
1cos πx
l dx]=1l 1π sin πxl |l0=0
a2=1l∫−l
l
f ( x)cos 2πxl
dx=1l [∫−l
0
0cos 2 πxl
dx+∫−l
0
1cos 2 πxl
dx
]=1
l12π
sin 2 πxl |
l0=0
Dan seterusnya dimana seluruh an=0 kecualia0
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
11/22
b1=
1
l∫−l
l
f ( x)sin πx
l dx=
1
l [∫−l0
0sin πx
l dx+∫
−l
0
1sin πx
l dx]=1l 1π (−cos πxl )| l0=2π
b2=1l∫−l
l
f ( x)sin 2 πxl dx=1l [∫−l0
0sin 2 πxl dx+∫−l
0
1sin 2πxl dx]= 1l 12π (−
cos 2 πxl )|l0=0
b3=
1
l∫−l
l
f ( x)sin 3 πx
l dx=
1
l [∫−l0
0sin 3 πx
l dx+∫
−l
0
1sin 3 πx
l dx ]= 1l 13π (−cos 3 πxl )| l0= 23 π
b5=
2
5 π , b
7=
2
7 π , … .. , bn=
2
nπ
@aka,
f ( x )= 12+ 2
π sin
πx
l +
2
3 π sin
3 πx
3+ 2
5 π sin
5 πx
l +…
f ( x )= 12+ 2
π ∑n=1
∞1
nsin
nπx
l dengan n bilangan ganjil
Contoh :
1. Apabila kita gunakan periode 10 maka tentukan oe!ient fourier untuk
0 " #$ % x % 0
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
12/22
#1$ #100#$ $ 10 1$
f(x)
&(x)
3 " 0 % x % $
tentukan deret fourier ini.
penyele'aian
eriode 2 = 10→
= $
*nter+al di ambil dari , ke -2. adi dari = #$ ke - 2 = #$ - 10 = $
( )
( ) /sin0
)/sin(sin0
:sin
:.
:
0
:cos
:
0
:cos.0
:
!
:cos)/(
:
!
:cos)(:!cos!
:
/
:
/
/
:
:
/
:
:
==
−=
=
=
+=
==
∫
∫ ∫
∫ ∫
−
− −
π
π
π
π
π
π
π
π π
π
π
nn
nn
xn
n
dx xn
dx xn
dx xn
dx
xn
x f dx L xn x f
La
L
L
n
(n/≠
)
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
13/22
/ntuk n=0 maka a0 diitung 'endiri
a0 =
0A:
0/cos)(
:
! :/
:
/
==∫ xdx x f
bn =
∫ −
:
: :sin)(
:
!dx
xn x f
π
=
+∫ ∫
−
/
:
:
/ :
sin0:
sin/:
!dx
xndx
xn π π
=
− :/A
:cos:.0/
:! xn
n
π
π
=
( )!cos0
−−
π
π
nn
( )
( )( ).!!0
cos!0
n
n
nxn
−−=
−=
π
π
f(x) =
∑∞
=
++
!
/sincos
+ nnn
L
xnb
L
xna
a π π
=
( )
∑
∞
=
−+! :
sincos!0
+
0
n
xnn
n
π π
π
=
++++ .........
:
:sin
:
!
:
0sin
0
!
:sin
;
+
0 x x x π π π
π
!. 6kspansikan ke dalam deret fourier f(&) [ ❑−88 ❑2
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
14/22
a0
1
L ∫− L
L
f ( x )dx
1
2 ∫0
2
8dx 2
1
2 ∫0
2
−8dx
=
1
2 8 x dx ] 2
0 +
1
2 8 x dx ] 4
2
= (12 .8.2− 12 .8.0)+(−12 .8.2−(−12 .8.0))
< 2 (-!;) 2 <
/
an 1
L ∫− L
L
f ( x )cos(nπx L )dx
1
2 ∫0
2
8cos( nπx2 )dx+1
2 ∫2
4
−8cos( nπx2 )dx
(nπx2 )disubtitusikanmisal t =(
nπx2 )
dt
dx= nπ
2
dx= 2
nπ dt
1
2 ∫0
2
8cos t 2
nπ dt +
1
2 ∫2
4
−8cos t 2
nπ dt
1
2.8 .
2
nπ ∫0
2
cos t dt + 12
. (−8 ) . 2nπ ∫
2
4
cost dt
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
15/22
nπx
2] 20−¿
8
nπ sin
nπx
2]42
8
nπ sin¿
8
nπ (sin nπ 22 −sin nπ 0
2 )− 8
nπ (sin nπ 42 −sin nπ 2
2 )
8
nπ (0 .0 )− 8
nπ (0.0 )
/
an 1
L ∫− L
L
f ( x )sin( nπx L )dx
¿ 1
2 ∫0
2
8sin( nπx2 )dx+1
2 ∫2
4
−8sin( nπ x2 )dx
¿
1
2 ∫0
2
8sin t 2
nπ
dt +1
2 ∫2
4
−8sin t 2
nπ dt
¿ 1
2.8 .
2
nπ ∫0
2
sin t dt +1
2. (−8 ) . 2
nπ ∫2
4
sin t dt
t ] 20−¿
8
nπ −cos t ] 4
2
8
nπ −cos¿
−8nπ (cos
nπ 2
2−cos
nπ 0
2 )+ 8nπ (cos nπ 4
2−cos
nπ 2
2 )
−8nπ
[ (−1 )n− (1 )n ]+ 8nπ
[ (1 )n− (−1)n ]
−16
nπ
(−1)n+16
nπ
(1 )n
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
16/22
F(&)
1
2
a0
2 ∑n=1a
n cos
( nπx
L
) 2bn
sin
(nπx
L
)
1
2.0 2 ∑
n=1
0 cos( nπx L ) 2 [−16nπ (−1 )n+ 16nπ (1 )n] sin( nπx L )
[−161 π (−1 )1+ 161π (1 )1]sin (1 πx2 ) 2 [−162 π (−1 )2+ 162 π (1 )2] sin(2πx2 ) 2
[16π +16π ] sin( πx2 ) 2 [−16nπ + 16nπ ] sin( 2πx2 )+…
32
π sin( πx2 )+0+
32
3 π sin (3 πx2 )+0+
32
5π sin(5πx2 )+0+…
+.
¿ x− x }0
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
17/22
¿2 2+
4
a0=
1
L
−ll
f ( x )cos nπx
L d&
1
4 4
0− x cosnπx
4dx+
1
4 0
4
& cosnπx
4 d&
intergal persial 'B
misal ' u-& dvBcos
dud& !misal : t : nπx
4
vBcosnπx
4dx
Bcos >4
nπ dt =sin nπx
4
4
nπx sin
nπx
x
(uv-Bv du)2(uv-Bvdu)
C-&4
nπ sin
nπx
4¿4
0− −40 4
nπx sin
nπx
4−dx¿+[ x
4
nπ sin
nπx
4¿0
4− 0
4 4
nπ sin
nπx
4dx]
C− x 4
nπ sin
nπx
4¿−40 + 4
nπ −4
0sin
nπx
4 d&2C4 x
nπ sin
nπx
4¿0
4− 4
nπ
0
4sin
nπx
4dx ¿
C(
( 4.4nπ sin nπx
4 )−(4.0
nπ sin
nπ .4
4 )− 4
nπ . 4
nπ −cos nπx
4
−04nπ
sin nπx
4¿−(−(−4 )4nπ sin
nπ (−4 )4 )+ 4nπ − 4nπ −cos nπx4 ¿−40 +¿
¿04
C 0+16−cos
nπ nπx
4¿−40 ¿+[0+
16
nπ cos
nπx
4¿04 ]
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
18/22
C(−16
nπ cos
−16nπ
nπ .0
4¿−¿
cos
16
nπ ¿
nπ (−4)4
¿¿+¿cos
16
nπ cos nn .0
nπ .4
4¿−¿
)
C-16
nπ +16
nπ ¿+ [1−1 ]
/2/ /
bni
l −l
lf ( x )sin
nπx
4dx
14
−40 − x sin nπx
l dx+ 1
4
04 x sin nπx
l dx
%arsial !u=− x E du -d& E tnπx
l
dusin dx ;"= sin nπx
4dx E d&
4
nπ dt
−4nπ
cos nπx4
(uvBv du)2(uv-Bv du)
C-&
x #−4nn
−4nn
cos nnx
4 ∫−4
0
−∫−4
0
−4nn
cos nnx
4 dx¿+¿
cosnnx
4¿0
4−∫0
4
−4nn cos
nnx
4
C4 x
nn cos
nnx
4¿−40 +
4
nn∫−4
0
cos nnx
4 d& 2 C−4 x
nn cos
nnx
4¿0
4+ 4
nn ∫0
4
cos nnx
4dx ¿
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
19/22
C(
nn .0
4
4−4nn¿
4.0nn
cos ¿−¿
)24
nn 4
nn sinnnx
4¿−40
2C(
nn.4
4
−4.4nn
cos ¿−(−4.0nn cos nn. o
4 )+ 4
nn # 4
nnsin
nnx
4¿0
4 ¿¿
C(
4
nn
−16
nn
¿+(16
nn
sin nn .0
4
−16
nn
sin nn (−4 )
4
)¿+(16
nn
+ 4
nn
)+¿
C−12
nn =(0−0)¿+[ 20
nn +(0−0)]
−12
nn +
20
nn=−8nn
f(G)⥤1
2 ao+∑n=1 ancos
nπx
l =bnsin
nπx
l
1
24+0+
8
nπ sinnπx
4
+28
nπ sin
nπx
4
f ( x )= x−π $0$ π
a0=
2
L∫0
L
f ( x ) dx
¿ 2
π ∫−π
π
x dx
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
20/22
¿ 2
π . 1
2 x
2{ π −π
¿ 2
π .
(1
2π
2−1
2(−π )2
)¿0
atau
a0=
2
L∫0
L
f ( x ) dx
¿ 2π [∫ % π
π
x dx−∫−π
π
x dx
]¿ 2
π .0
¿0
an=2 L∫0
L
f ( x ) cos nπx L dx
¿ 2
π ∫−π
π
x cosnx dx
parsial u= x d"=cosnxdx
du=dx "=1
nsinnx
¿ 2
π (u"−∫ " du )
¿ 2
π ( x . 1n sinnx { π −π −∫−π π
1
n sin nx dx )
¿ 2
π ( xn sin nx{ π −π −1n ∫−π π
sinnxdx )
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
21/22
@isal ' t =nx
dt =n dx
d x=dt n
¿ 2
π ( xn sin nx{ π −π −1n ∫−π π
sin t dt
n )
¿ 2
π ( xn sin nx{ π −π −1n . 1n∫ % π π
sint dt )
¿ 2
π ( xn sin nx{ π −π − 1n2−cos t { π −π )−π n (¿)
π
n sin nπ −
(−π )n
sin ¿
(¿+( 1n2 cosnπ − 1
n2 cos n ( π ))
]
¿ 2π ¿
¿ 2
π (0−0+( 1n2 (−1 )n− 1n2 (1 )n))
¿ 2π ( 1n2 (−1 )n− 1n2 (
1 )n)¿ 2
π n2 (−1 )n− 2
π n2 (1 )n
∴ f ( x )=a0
2+∑
n+1
an cos nπx
L =
2
π n2 (−1 )n− 2
π n2 (1 )n cosnx+…
-
8/19/2019 Deret Fourier Fismat
22/22
¿( 2π n2 (−1 )n−
2
π n2 (1 )ncos1 x)+( 2π n2 (−1 )
n− 2
π n2 (1 )n cos2 x)+( 2π n2 (−1 )
n− 2
π n2 (1 )ncos3 x )
¿
(2
n−
2
n cos
x
)+0+
(−2
9π −
2
9 π cos3
x
)+0+
…
¿−4
π cosx+0−
−49π
cos3 x+0. −425 π
cos5 x+0−…
Soal Sub Bab 7.3
1. f ( x ) = x " untuk 0< x < 2.2. f ( x ) = 2# x " untuk 0< x < 2.
0, #1%x% 0
3. f(x)=1" 0%x%3
x2 0%x%22. f(x)
1" 2%x%3