Séries statistiques à une variable
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1. Dans le cas d’un caractère discret
Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.
Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère.
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Exemples :
Donner la valeur médiane de chacune des séries suivantes
a) Série de prix de vente
Prix médian = 25 €
PV(€) 12 17 21 25 32 40 13
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b) Nombre d’achats journaliersb) Nombre d’achats journaliers
Nombre d’achats médian Nombre d’achats médian
68 7672
2
Nombre de
d’achats 42 56 68 76 84 92
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2. Cas d’un caractère continu
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Exemple 1
Distance en Km
Nombre d’entreprises
ECC ECD
[0 ; 5[ 8 8 93
[5 ; 10[ 22 30 85
[10 ; 15[ 32 62 63
[15 ; 20[ 18 80 31
[20 ; 25[ 5 85 13
[25 ; 50[ 8 93 8
Total 93
1. Tableau
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2. Polygones des effectifs cumulésMédiane: Exemple 1
0 0
8
30
62
8085
9393
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Distance en km
Effe
ctifs
cum
ulés
ECC
ECD
75,12Me3. Par lecture graphique la médiane est: 75,12Me
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4. Plus de la moitié des élèves effectue leur stage à une distance de 12,75 km
Exemple 2 :
Classes Effectifs ni
Centre des
classes xi
Produits ni × xi
ECC ECD Fréquences(%)
FCC
[100;140[
4 120 480 4 16 25,00 25,00
[140;180[
2 160 320 6 12 12,50 37,50
[180;220[
6 200 1200 12 10 37,50 75,00
[220;260[
2 240 480 14 4 12,50 87,50
[260;300[
2 280 560 16 2 12,50100,0
0N
=16 3040 100
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1. Prix moyen: 190 €
3040
16x
190
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2. Polygones des EC
Médiane: Exemple 2
0 0
4
6
12
14
1616
0
4
8
12
16
100 140 180 220 260 300
Prix de vente en €
Eff
ecti
fs c
um
ulé
s
ECC
ECD
Me = 195
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3. Polygones des FCC
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Paramètres de dispersion
La variance est donnée par lune des formules suivantes:
• V = -
Variance
N
ni xxi )(2
=
Dans cette formule : est la moyennexN
xn ii 2
x2
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L'écart-type : Il mesure la répartition des valeurs de la
variable autour de la moyenne ;Il est égal à la racine carrée de la variance.
Écart-type : =
: lire sigma; avec V : variance.
V
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Pour calculer l'écart ‑ type, on calcule d'abord la variance V.
Puis on calcule l'écart type par la formule:
V =
Plus l’écart – type σ est grand, plus les valeurs du caractère sont dispersées autour de la moyenne
Plus il est petit, plus les valeurs du caractère sont groupées autour de la moyenne.
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Loi normale- courbe de Gauss
Si une série statistique se distribue suivant une loidite normale, sa courbe des effectifs, appelée
courbe de Gauss met en évidence que :• 68 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle
[ - ; ] x x
• 98 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle
• 95 % environ des valeurs appartiennent à l'intervalle
[ - 2 ; 2 ]x x
[ - 3 ; 3 ] x x
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‑
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Tableau 1
Classes Centres xi Effectifs niProduits ni xi
[2; 4[ 8
[4; 6[ 15
[6; 8[ 18
[8; 10[ 11
[10; 12[ 14
[12; 14[ 13
79
4,8
5
7
9
11
24
75
126
99
154
169
647
5,2
3,2
1,2
0,8
2,8
7,04
216,32
153,6
25,92
3
109,76
299,52
812,16Total
13
ix x 2( )i in x x
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Calcul de la moyenne:
Paramètres du tableau 1
1
n
i ii
n xx
N 647
8,279
Calcul de la variance:
2
1
( )812,16
10,379
n
i ii
n x xV
N
Calcul de l’écart type:
10,3 3,2V
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Tableau 2
Classes Centres xi Effectifs niProduits ni xi
[2; 4[ 11
[4; 6[ 17
[6; 8[ 20
[8; 10[ 15
[10; 12[ 9
[12; 14[ 7
5
7
9
11
3
13
85
140
135
99
33
91
583
4,4
2,4
0,4
1,6
3,6
3,6
38,4
212,96
97,92
3,2
116,64
219,52
688,6479Total
ix x 2( )i in x x
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Calcul de la moyenne:
Paramètres du tableau 2
1
n
i ii
n xx
N
Calcul de la variance:
Calcul de l’écart type:
5837,38
79
2
1
( )688,64
8,779
n
i ii
n x xV
N
8,7 2,95V
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2. Comparaison des 2 séries
L’écart type du 2ème tableau étant plus petit, les valeurs de cette série sont mieux réparties par rapport à la 1ère série.
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’
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Exercice 1: 1. Tableau
Classes Effectifs niFréquences en
%Centres de classes xi
ni×xiEffectifs cumulés
décroissants
Effectifs cumulés
croissants
[0; 3[ 5 10,0% 1,5 7,5 50 5
[3; 6[ 10 20,0% 4,5 45 45 15
[6; 9[ 19 38,0% 7,5 142,5 35 34
[9; 12[ 14 28,0% 10,5 147 16 48
[12; 15[ 2 4,0% 13,5 27 2 50
Total 50 100,0% 369
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2. Calcul de la moyenne:
367,3
950
8i i
n xx
N
3.
Nombre de machines ayant nécessité moins de 9 interventions:
5 + 10 + 19 = 34
Nombre de machines ayant nécessité au moins 6 interventions:
2 + 14 + 19 = 35
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4. Histogramme
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Exercice 21) a. Tableau
Diamètre en mmnombre de pièces ni
centres de classes xi
Produit nixi
[31,70; 31,80[ 2 31,75 63,5
[31,80; 31,90[ 8 31,85 254,8
[31,9; 32[ 26 31,95 830,7
[32; 32,1[ 30 32,05 961,5
[32,1; 32,2[ 10 32,15 321,5
[32,2; 32,3[ 4 32,25 129
Total N = 80 2561
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b. Calcul de la moyenne:
1
256132
80x
2) Dans nos calculs, nous supposons que les diamètres sont uniformément répartis dans les classes, alors que le logiciel prend en compte la répartition réelle.
mm
3) a) Calculs de k1 et k2
1
32,30 31,99 0,311,03
3 3 0,10 0,3LST x
k
2
31,99 31,70 0,290,97
3 3 0,10 0,3x LIT
k
b) La maintenance est nécessaire