República Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

U N E F ANúcleo Carabobo – Extensión Guácara

SERIE Y TRANSFORMADA DEFOURIER Y LAPLACE

Guácara, Julio del 2009

Integrantes:

Sandra RincónMarbelis OchoaJosé Manuel Hernández

Sección G-004-N

La serie de Fourier tiene la forma:

La serie de Fourier es una serie infinita que convergepuntualmente a una función continua y periódica y constituye unaherramienta matemática básica del análisis de Fourier

La serie de Fourier nos permiteobtener una representación en el dominio dela frecuencia de funciones periódicas f(t).

Donde y se denominan coeficientes de Fourierde la serie de Fourier de la función

.

Podemos definirla como:

Si es un función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier

asociada a es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Propiedades

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la

ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones e.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedadessimilares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a lasconvoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad dehomomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomiosortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de unaecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones delos llamados problemas de Sturm-Liouville.

i n x

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica pormedio de la superposición de senoides generados por osciladoreselectrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estándeterminadas.

Uso en la Ingeniería

Análisis en el comportamiento armónico de una señal

Reforzamiento de señales.

Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuí taleléctrica donde la señal de entrada no es senoidal ocosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Soluciónen régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

La transformada de Fourier se encarga de transformar una señal en eldominio del tiempo, dominio de la frecuencia donde se puede utilizar suantitransformada y volver al dominio temporal,

En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hacecorresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otrafunción g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentidode la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definiciónfacilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformadade Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es lamás comúnmente adoptada, no es universal.

De manera formal su definición seria:

La transformada de Fourier de una función continua e integrable de una variablereal x se define por

Observemos que la transformada de una función real es una funcióncompleja. Es decir, F(u)=R(u)+I(u)i, donde R(u) e I(u) son la parte real e imaginariade F(u), respectivamente. La variable u recibe el nombre de variable de frecuencia.

El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro deFourier. El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias o densidadespectral de f(x). Su ángulo P (u)=arctg (I (u)/R (u)) recibe el nombre de fase.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

El signo negativo en el exponente del integrado indica

la transpolación de complementos ya expuestos.

Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

1. Linealidad

f (t )F .T . ˆ f

g(t )F .T .

ˆ g f (t ) g(t )

F .T . ˆ f ˆ g

f (t )F .T . ˆ f (a ib) f (t )

F .T .( a ib ) ˆ f

Propiedades

f(t)

g(t)

t

t

t

F( )

G( )

f(t) + g(t)

F( ) + G( )

Propiedades

Combinación lineal de dos funciones.

)}({)}({)}()({ tgbFtfaFtbgtafF

)(f̂tfF

af

adtetf

a

atdeatfa

dteatfatfF

ta

i

ata

i

ti

ˆ1')'(

1

)()(1

)(

'

)(

2. Escalado:

af

aatfF ˆ1

Propiedades

Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.

f(t) F( )

Pulsocorto

Pulsomedio

Pulsolargo

t

t

t

Propiedades

Mientras más

corto es el pulso,

más ancho

es el espectro.

3. Traslación en el dominio de tiempos

featfftfaiTFTF ˆ)(ˆ)(

....

dtetggti

)(ˆ dteatfti

)(

dueufgaui )(

)(ˆ dueufeuiai

)(

)(ˆˆ fegai

f (t a ) g (t )

Propiedades

4. : f (t ) f*(t ) ˆ f ˆ f

*

)(ˆIm)(ˆIm

)(ˆRe)(ˆRe

ff

ff

5. : dttff )(0ˆ

dff )(ˆ

2

10

Propiedades

5. Identidad de Parseval : f*(t )g( t )dt ˆ f

*( ) ˆ g ( )d

dtdgdf eetiti

''

)'(ˆ)(ˆ *

edtgdfdti

'

)'(ˆ')(ˆ )(*

( ' )

f (t ) g( t ) f (t ) 2

dt ˆ f ( ) 2

d

Teorema de Rayleigh

dgf )(ˆ)(ˆ *

En particular:

Propiedades

Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):

dttff eti

)(ˆ0

0

)()( dttfdttf eetiti

0 0

)()()(ˆ dttfdttff eetiti

0

)( dttf eetiti

0

)cos()(2ˆ dtttff

Propiedades

6. Transformada de la derivada:

ikF(k)ikF(f(x))(x))fF(

)k´(iF))x(f´(iF)x(xfF

7. Transformada xf(x):

Y en general:

F(k)ik(x))F(fn)n(

Y en general:

)k´(Fi)x(fxFnn

Propiedades

En cuanto a la transformada de laplace, podemos decir, que es la másconocida y utilizada de las transformadas integrales y está demostrado que sugran utilidad a la hora de resolver multitud problemas de la ciencia y tecnología

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticasy, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es lafunción F(s), definida por:

La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a laversión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que sedefine como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Propiedades

Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en

si entonces:

1. Cambio de escala

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular unatransformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada alcalcular

2. Teoremas de traslación