RECTAS Y CONICAS 2012

Universidad Nacional Daniel Alcides Carrión

P

q

y0

x

Po

Rectas y Cónicas

RECTAS EN EL PLANO BIDIMENSIONAL

1.1. LA RECTA:

1.1.1. Definición: Es el lugar geométrico conformado por los puntos P=(x,y) E R2 , tal que

si tomamos 2 puntos de cualquiera del lugar, el valor de la pendiente es siempre constante.

2.1. ECUACIONES DE LA RECTA:

2.1.1. Ecuación Vectorial de la Recta:

Observando el gráfico tenemos:

P = (x,y) : Punto Generador de la recta L

Po = (xo,yo) : Punto Conocido de la recta L

a⃗ = (a1, a2) : Vector dirección de la recta L

Analizando tenemos:

PoP || a⃗ ,

PoP = ta⃗ . para todo t Є r, t es un parámetro

P – Po = ta⃗ . para todo t Є r

P = Po+ta⃗ para todo t Є r ……………ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

1

L

Rectas y Cónicas

Ejemplo: Hallar la Ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P1 (1,3), P2 (4,2).

Solución:

P = Po + ta⃗

P1P2 = P2 –P1 = a⃗

a⃗ = (4,2) – (1,3)

a⃗ = 3, -1

Por lo tanto P = (1,3) + t (3,-1). para todo t Є r

2.1.2. Ecuación Paramétrica de la Recta:

Si la ecuación vectorial de la recta L es:

P = Po + ta⃗ ; t pertenece a R

Reemplazando componentes tenemos: (en términos paramétricos de t y coordenadas

P1 y P2).

(x,y) = (xo , yo) + t(a1,a2). t Є r

(x,y) = (xo , yo) + ta1,ta2. t Є r

(x,y) = xo+ ta1, yo+ ta2 . t Є r

Igualando componentes

L = x = xo + ta 1 →

y = yo + ta2 → Ecuación Paramétrica de la Recta

Donde t = parámetro.

Ejemplo:

1. Hallar la ecuación paramétrica de la recta L, que pasa por el punto (5,3), paralela al

vector a⃗ = (4,1)

L = x = 5 + 4 t

y = 3 + t

t pertenece a R.

2

P

aPo

Rectas y Cónicas

2. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por los puntos P1 (1,2) P2 (5,-

1)

L = x = x1 + (x2, x1)t

y = y1 – (y2 – y1)t

De donde: x = 1+4t

y = 2-3t

t pertenece a R

2.1.3. Ecuación Simétrica de la recta L.

De la ecuación paramétrica de la recta L, tenemos.

x = xo + ta1 t = (x – xo ) / a1 ……… (I)

y = yo + ta2 t = (y - yo) / a2 ……….. (II)

Igualando I y II.

L:

x−x0a1

=y− y0a2 . Ecuación simétrica de la recta L.

Ejemplo: encontrar la ecuación simétrica de la recta paralela al vector a⃗ = (4,-3) que

pasa por el punto (2,5)

L : (x - 2)/ 4

L . (y -5) / -3

2.1.4. Ecuación Normal de la Recta:

L

Del gráfico observamos:

P = (x,y) : Punto generador de la recta L

Po = (xo,yo) : Punto conocido de la recta L

3

n⃗= a⃗¿

Rectas y Cónicas

a⃗ = (a1, a2) : Vector dirección de la recta L

n⃗ = a⃗1 = (-a2, a1): Vector normal de la recta L

Además:

n⃗ ¿ PoP

Entonces:

n⃗ . PoP = 0

n⃗ . (P - Po) = 0

Ecuación Normal de la Recta.

2.1.5. Ecuación General de la Recta:

Reemplazando las coordenadas respectivas en la ecuación normal de la recta: Se

tiene:

n⃗ . (P - Po) = 0

(-a2, a1). ((x,y) – (xo, y0)) = 0

-a2x + a1y + a2x0 – a1y0 = 0 ………………..(1)

Haciendo:

A = -a2

B = a1 ………………(2)

C =a2 x0 – a1 y0

Reemplazando 2 en 1.

Ax + By + C = 0 → Ecuación General de la Recta L

Nota: Sabemos que:

n⃗ = (-a2, a1)

Pero n = (A, B)

Por lo tanto

A = -a2

B = a1

2.1.6. Ecuación Intercepto de la recta L:

Si la Ecuación General de la Recta es:

Ax + By + C = 0

4

y

b

0 a x

P

L

Po (xo,yo)

Rectas y Cónicas

→ Ax + By = - C

Ax−c

+ By−c

=1

De donde:

xa+ yb=−1

. Ecuación Intercepto de la recta L

Otras Ecuaciones

a) Ecuación de la Recta: Punto – Pendiente:

Si se conocen dos puntos diferentes:

P = (x,y) y Po = (xo , yo), de una recta de vertical L , entonces L sigue la dirección de:

a⃗ = P – Po

a⃗ = (x . xo , y - yo)

a⃗ = a1, a2

5

(x,y)

x

y

(0,b)

Rectas y Cónicas

Si m = (y- yo) / (x - xo). Entonces:

y –yo = m (x-xo). → Ecuación de la recta: Punto – Pendiente

Ejemplo: Si L pasa por 2,1 y su pendiente es 2/3.

M= (y-1) / (x--2)= 2/3

Por lo tanto L: y-1= 2 / 3 (x-2)

b) Ecuación Forma de Pendiente e Intersección :

Si 0, b representa la intersección con el eje y. Entonces:

y – b = m (x-0)

y = mx + b

Aquí se lee su pendiente y su intersección

Sea la recta L. 3x – 2 y + 4 = 0

-2y = -3x -4

2y = 3x +4

y = 3/2x +2. Por lo tanto tiene pendiente 3/2 y corta al y en 2.

c) Ecuación de la Recta que pasa por dos Puntos .

Sea P1 (x1,y1)

P2 (x2,y2)

6

d=(Po, l)

n

P1 (x1,y1)

Po = (xo , yo)

Rectas y Cónicas

y− y1x−x1

=y2− y1x2−x1

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta determinada por los puntos (2,1), (5,3)

(y-1) / (x- 2) = (3-1) / (5-2)

(y-1) / (x- 2) = 2 /3

3y -1 = 2x -2

3y - 2x + 1 = 0

2.0. DISTANCIA DE UN PUNTO A EN UNA RECTA L.

Sea:

n⃗ = (A, B) → Vector normal a la recta L

Po = (xo, yo) → Punto exterior a la recta L

P1 = (x1, y1) → Punto que pertenece a la recta L

Del gráfico observamos:

d (Po, l) = ‖Proy n⃗ P⃗1P0‖

d (Po, l) = |Comp n⃗ P⃗1P 0|

d (Po, l) =

|P⃗1P0 . n⃗

‖n⃗‖|

7

Rectas y Cónicas

d (Po, l) =

|P0−P1 .( A , B)|

√A2+B2

d (Po, l) =

|(( x0 , y0 )−(x1 , y1 )) .(A ,B )|

√ A2+B2

d (Po, l) =

|(( x0 , y0 )−(x1 , y1 )) .(A ,B )|

√ A2+B2

d (Po, l) =

|(( x0 , y0 )−(x1 , y1 )) .(A ,B )|

√ A2+B2

d (Po, l) =

|(( x0 , y0 )−(x1 , y1 )) .(A ,B )|

√ A2+B2

d (Po, l) =

|(( x0 , y0 )−(x1 , y1 )) .(A ,B )|

√ A2+B2

D (Po, 1) = |Comp P1 . Po| / n

Se sabe que:

N = (A, B)

||n|| = (√A2+B2)

Reemplazando 2 en 1

D (Po, 1) = (|Axo + Byo + C|)/ √A2+B2 Ecuación de un punto a una recta.

3.0 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

Sea L1 y L2 2 rectas paralelas cuyas ecuaciones son:

L1: Ax + By + C1 = 0 ……(1)

8

4,3

P (x.y)A (2,5)

4L3

0,3

Rectas y Cónicas

L2: Ax + By + C2 = 0 …… (2)

La distancia entre las rectas paralelas es L1 y L2 es:

D (L1, L2) = |c2- c1|/ √A2+B2Ejercicios:

1. Hallar el punto P simétrico de (2,5) respecto a la recta L donde:

L : ((0,3) + t (4,3) t Pertenece R)

Solución:

La recta L la pasamos a la forma cartesiana:

(0,3) + (t (4,3)) = (x,y)

(0,3) + (4t, 3t) = (x,y)

0 + 4t, a + 3t = (x,y)

Resolviendo:

-3x – 4t = 0

4xy – at -3 = 0

9

L

A

Po

P

a

Rectas y Cónicas

-3x + 12 = 0

4y -12 + - 12 = 0

4y – 3x – 12 = 0

Luego para calcular “a” aplicamos la distancia de un punto a una recta: las rectas es 4y-

3x-12=0 y el punto A (2,5)

D (Po,1) = Axo + Byo + c

√A2+B2D (Po,1) = 4 (5) – 3 (2) – 12

√32+42D (Po,1) = 2 /5 ………………………………… (a)

Sabemos que:

Uap es perpendicular al vector unitario (4/5, 3/5).

Ua = (-3/5, 4/5) entonces Uap = (3/5, -4/5)

Del Grafico Observamos:

62 , 109 = P

25 , 25

4.0 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO (VECTOR) SOBRE UNA RECTA:

Sea la recta L = (Po + t a⃗ / t Pertenece R) y un punto P que nos pertenece a la recta L.

Pertenece la proyección ortogonal del punto P sabe la recta L es el punto A de la Recta L a la

que llamamos proy P. tal que el vector A⃗P son ortogonales a la recta L.

10

0,3

P (2,-1)

Rectas y Cónicas

Del grafico:

P⃗oA = Proy P⃗oP Pertenece A – Po = Proy P⃗oP

Pertenece A = Proy P⃗oP + Po

Por lo tanto A = Proy P

Po + Proy P⃗oP

a⃗

Ejemplo:

Hallar la proyección ortogonal del p (2,-1) sobre las rectas L = ((0,-7) + t (3,5) / t E R)

Solución:

11

L

A

Po

P 2,-1

a

Rectas y Cónicas

Del Grafico:

A = Po + Proy P⃗oP,donde P⃗oP = P - Po

N = 54, - 74

17 17

5.0 SEGMENTO DE RECTA:

Si el conjunto de valores permitidos de t, se restruye a un intervalo cerrado (a,b) entonces la

grafica de la ecuación.

L = P = P1 + t (P2 – P1), t E R

Es un segmento recto.

Es decir:

T = 0 entonces P (x,y) = P1 (x,y1)

T = 1 entonces P (x,y) = P2 (x2, y2)

Por lo tanto:

12

P1

P2

P1

R = 0

A

R=1/5

B

R=2/5

C

R=3/5

D

R=4/5

P2

R=1

Rectas y Cónicas

De acuerdo al grafico a medida que t reconoce el intervalo (0,1) el punto P (x,y)

reconoce el segmento de la recta desde P1 (x1, y1) hasta P2 (x2,y2), por lo tanto el

segmento de la recta P⃗1 P2 queda diferido por la ecuación:

P1 P2 = (P E R2/P = P1 + t (P2 - P1), = T =1)

Entonces la ecuación L : P = P1 + t (P2 – P1) se puede emplear P calcular las

coordenadas de un punto P que esta sobre el segmento P⃗1 P2 y que esta a una

distancia dada de P1 sobre la medida del segmento P⃗1 P2, asi:

P = p1 + r (P2, p1), 0 Diferente de 1,

Ejemplo:

En la recta P⃗1 P2

r = crece de r = 0 a r = 1, intervalo de longitud = 1/1

13

P1

R = 0

S

R=1/5

T

R=2/5

P2

R=1

Rectas y Cónicas

Los puntos P = P1 + r (P2-P1) se desplazan de P1 a P2 con la siguiente representación

vectorial.

A = P1 + 1/5 (P2 – P1)

B = P1 + 2/5 (P2 –P1)

C = P1 + 3/5 (P2-P1)

D = P1 + 4/5 (P2-P1)

Ejemplo:

Hallar las coordenadas de los puntos de intersección de segmentos de recta cuyos

extremos son: P1 (-3,7) y P2 (4,1).

S y T permite la intersección del segmento P⃗1 P2 y

P2, p1 = (4,1), (-3,7) = (7,-6)

P = (-3,7) + R (7,-6), R (0,1)

SI = R = 1/3 Entonces S = (-3,7) + 1/3 (7,-6) = (-2 /3 , 5)

R = 2/3 = T = (-3,7) + 2/3 (7,-6) = (5 /3 , 5)

Por lo tanto los puntos son:

S (-2/3, 5) y T (5/3 , 3)

5.1. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Si P1 = X1, Y1

P2 = X2, Y2

Son los extremos del segmento P⃗1 P2 las coordenadas x, y del punto P que decide a este

segmento en razón dada a/b = n/m. a/b = P,P/P P2 es:

14

0 x

y

P (x,y)

b

R (x,y)

a

P2 (x2,y2)

Rectas y Cónicas

Demostración:

Multiplicando (1) xb y (2) a⃗

B (x1, y1) + abu = b(x,y)

A (x2,y2) – abu = a (x,y)

(bx1, by1) + (ax2, ay2) = (a+b) (x,y)

Ejemplo:

Dados los puntos P1(3,-1), P2 (1,2), hallar el punto divide al segmento P⃗1 P2 en la razón -

3,2 no.

a/b = -3/2

Entonces a = -3 y b=2 , a + b = -1

Como la razón es negativa y |-3/2| menor que 1 entonces el punto P es exterior al segmento

P⃗1 P2 y esta mas cerca a P2, luego utilizando la ecuación.

15

a

a

-a

Rectas y Cónicas

6.0 ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA

Dado la recta L: Po + t (a⃗) donde a⃗ es el vector dirección de L.

Se tiene:

a. Si a⃗ tiene un ángulo de inclinación 0, donde 0 E (o,PI), se dice que θ es un ángulo de

inclinación de L.

b. Si a⃗ tiene un ángulo de inclinación θ donde E (Pi y 2PII) se dice que es el ángulo de

inclinación de L.

16

A = (h,k)

P2

k

h

Rectas y Cónicas

Por lo tanto el ángulo de inclinación de una recta de L solo varia en o radiales.

7.0 PENDIENTE DE UNA RECTA

Si a⃗ = (h, k) es el vector dirección de una recta L que contiene el punto P1 (x1, y1) entonces L

tiene por la vectorial.

L: P = P1 + t (h, k) t E R

Si a t = 1, se tiene que las coordenadas P2 (x2, y2) que estas son L se puede calcular

sumando h y k a las coordenadas respectivas de P1, esto es:

L = p = p1 + t (1,m), t E R

Ejemplo: calcular el pendiente de la recta L que para los puntos P1 (5,3), P2 (2,-6) se obtiene

la ecuación para métrica vectorial que descubra la recta.

L.P = (5,3) + T (1,3), t E R

8.0 PARALELISMO DE RECTAS

2 rectas son paralelas en el ángulo plano:

L1 = P = P1 + t a ; t E R y

L2 = P =P2 + S b; S E R.

Paralelas, si y solo si sus vectores son 115 (m = 0) son iguales.

L1 || L2 entonces a || b

17

Rectas y Cónicas

Ejemplo:

Determinar si la recta que pasa por P1 (3,5) y P2 (2,8) es || a la recta L2 que por a1 (-1,9) y

Q2 (7,-15). Y obtiene la ecuación vectorial de cada uno.

L1 a = P2 – P1 = (2,8) – (3,5) = (-1,3)

L2 b = a2 – Q 1 = (7,-15) – (-1,9) = (8,-24) = -8 (-1,3)

Se observa que b= ra entonces b || a por lo tanto L1 || L2

P1 E L1 entonces L1:P = (3,5) + t (-1, -3); t E R

A1 E L2 entonces L2 : P = (-1,9) + S (-1,3); S E R

9.0 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

Sean:

L1 = ax + by + c1 = 0 y

L2 = ay + by + c2 = 0

Son rectas paralelas luego la distancia entre esto es:

D = | c2 – c1|

√A2+B2

10.0 RECTAS ORTOGONALES

2 rectas en el plano:

L1 = P = P1 + t a ; t E R y

L2 = P =P2 + S b; S E R

Son ortogonales si y solo si sus vectores de dirección son ortogonales.

L1 + L2 ❑⇔

a→

L b→

Si m1 y m2 son los pendientes de L1 y L2 entonces sus vectores de dirección tienen

la forma:

a1 = (1,m1)

a2 = (1, m2)

Ejemplo:

Demostrar que la recta L1 que continúan a los puntos θ ϵ (1, -2) y R (2,2) es L a la

recta L2 que contiene a los puntos S (-5,7) y T (3,1).

18

y

x

L1L2

Rectas y Cónicas

Ahora a1. a2 = (3,4) . (8,-6) = (24 .24) = 0

Entonces a1 + a2 si y solo si L1 + L2

11.0 ANGULO ENTRE 2 RECTAS

Sea m1, pendiente de la recta L1

m2, pendiente de la recta L2

Para θ1 la recta inicial es L1 y la pendiente inicial es m1 y la recta final es L2 y la pendiente

final es m2.

En el ∆ ABC ∝2=∝1+θ1

θ1=¿ ∝2−∝1

En el ∆ A BC 2=¿ ∝1¿)

Tgθ2 = Tgθ1 + Tg (180 - ∝2)

1 - Tg∝1. Tg 180 - ∝2

Tgθ2 = Tg∝1 + Tg 180 - ∝2

1 - Tgθ2 . Tg1

Ejercicios:

19

x

y

L2

L1

A B

C

D

(6,8)x

Rectas y Cónicas

1. Hallar el área del paralelogramo de la figura mostrada si:

L1 = 3y – 4x = 0, L2 : 3y – 4x -14 = 0

L3 = x+ by + c = 0

SECCIONES CONICAS

Se denomina sección cónica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con

un cono, la intersección es una circunferencia o un punto, según que corte a una rama o pasa

por el vértice.

1.0 Circunferencia.

20

Rectas y Cónicas

Si el plano no es perpendicular al eje, pero corta a toda generatriz, la intersección es una

elipse.

1.1 Elipse

Si el plano es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás, la generatriz es una

parábola.

1.2. Parábola.

Si el plano corta a dos ramas del cono y no pasa por el vértice, la intersección es una

hipérbola.

21

y

x

y` x`

P

y`

F

R`Q

LRecta Directiva

Rectas y Cónicas

1.3 Hipérbola.

Si el plano pasa por el vértice, la intersección es un punto , dos rectas que se cortan o una sola

recta estos lugares geométricos reciben el nombre de secciones cónicas degeneradas.

LA PARABOLA

Definición: Un parábola es el conjunto P de todos puntos en el plano R2 que equidistan de una

recta fija, llamada directriz y de un punto fijo llamado foco, que no pertenece a la

directriz es decir:

P = {Pϵ R2/d (P ,F )=d (P ,J )}

22

L Y

P (x, y)(-P,4) Q

X + p = 0 P P F (p , o)

Rectas y Cónicas

F = Foco

P = Parámetro (distancia del vértice al foco)

V = Vértice

RR2 = Lado recto = |4b|

P F = Radio Vector.

Ecuación Vectorial de la Parábola:

Donde

y12 = 4 pxl

P = v + X II+ y u1

|| u || = 1

Y donde

yl = (P - V) ull

xl = (P - V) u

Ecuación cartesiana de la parábola:

La ecuación de un parábola toma su forma más simple cuando su vértice esta en el origen y su

eje focal coincide con uno de los ejes coordenados.

P - V

Primeras forma: Consideremos que el vértice de la parábola es V (0,0) y que su eje focal sea

el eje x (y = 0).

Por definición:

23

P (x,y)L

F (-p,01)

x-p = 0

Rectas y Cónicas

d (P,F) = d (P, L)

d (P , L) = d (P, F)

√ ( x−p )2+ y2=|x+b|(x-p)2 = |x + p| 2

X2 -2px + p2 y2 = x2 + 2px + p2

Y2 = 4px (la Parábola se abre hacia la derecha)

Analógicamente:

Por definición:

d (p,l) = d (P,F)

|x - p| = √ ( x+ p )2 y2

( x−p )2=( x2+2 px+b2 )2px + y2 = -2px

y2 = -4px

(la parábola se abre hacia la izquierda)

24

F (o,p)

P (x,y)

Rectas y Cónicas

Segunda Forma: consideremos ahora un parábola con vértice en el origen, tal que el eje focal

coincide con el eje Y.

Por definición:

d (p,l) = d (P,F)

|y + p| = √ ( y+ p )2+x2

( y+ p )2=x2+( y−p)2

y2 = 4px

Parábola se abre hacia arriba

Análogamente si la parábola se abre hacia abajo:

X2 = -4py

Casos particulares:

I. Parábola de eje focal paralelo al eje x:

25

yl y` L

P

rx ´

R

x

Rectas y Cónicas

Coordenadas de los extremos del lado recto: L (h +b, k + |2b|)

R (h + p, k - |2b|).

Elementos:

Vértice: v (h, k)

Foco : F (h + p + k)

Lado Recto : LR = |4b|

Bisectriz : x = h – p

Focal : y = r

Longitud del radio vector.

La ecuación de la parábola en el sistema x´y´ está dada por:

y 12 = 4px´ (I)

Pero:

X = x´+ h entonces x ´ = x - h

Y = y´+ k entonces y´- y - k

Entonces; reemplazando (II) en (I):

( y−k )2=4 p (x−h)

Que es la ecuación de una parábola cuyo eje focal es paralelo al eje x, en este caso la parábola

se abre hacia la derecha.

26

R

Y´ p

X´

L: y=k-p

x

L

Y (h,k)

Rectas y Cónicas

Análogamente si la parábola tiene eje focal paralelo al eje x y se abre hacia la izquierda su

ecuación será:

( y−k )2=−4 p (x−h)

II. Parábola de eje focal paralelo al eje y.

Elementos:

Vértice: v (h, k)

Foco : F (h + p + k)

Lado Recto : LR = |4b|

Bisectriz : y = k – p

Eje Focal : x = h

Coordenadas de los extremos del lado recto: L (h + |2b|, k ,p)

R (h - |2b|. k + p).

Longitud de radio vector: r = |y1 –k +p|

La ecuación de la parábola en el sistema x´y´ está dada por:

27

Rectas y Cónicas

X12 = 4py ´ ( )

Pero:

X´ = x+ h

y´ = y+ k ………………….(β)

Reemplazando (β) en ( ):

(h−h)2=4 p ( y−k)

La parábola se abre hacia arriba

Análogamente si el eje focal de la parábola es paralelo al eje y se abre hacia abajo su

ecuación será:

(x−h)2=−4 p( y−k )

Ecuación general de la Parábola:

La ecuación (y - k)2 = 4 p (x -h) representa una parábola de eje horizontal y la ecuación (x- h)2

= 4b (y-k) es una parábola de eje vertical, si desarrollamos ambas ecuaciones tenemos:

y2 -4px – 2kx + (k2 + 4ph) = 0 …………… (I)

x2 -2hx – 4py + (h2 + 4pk) = 0 …………… (II)

Estas ecuaciones se pueden reducir a la forma cuadrática:

En (I) = y2 + DX + EY + F = 0 (D = -4p, E = -2k, F = k2 + 4ph)

En (II) = x2 + DX + EY + F = 0 (D = -2h, E = -4p, F = h2 + 4pk)

Respectivamente y que se denominan ecuaciones generales de la parábola.

ECUACION DE LA TANGENTE A UNA PARABOLA

Caso I:

Tangentes en un punto de contacto dado

La tangente a la parábola P : y2 = 4px en cualquier punto p (x1,y1) de la curva es: x2 = 4py

x1x = 2p (y + y1) y1 y = 2p (x + x1).

28

Rectas y Cónicas

Prueba:

Tenemos S y2 = 4px (0)

La ecuación de la tangente es:

Y – Y1 = m (x-x1)

Y = Y1 + m (x – x1)

(Y – Y1)/ m + x1 = x --------------------- ( )

La condición de la tangencia.

( ) en (β):

Y2 = 4p ((y – y1)/m + x1)

my2 = 4p (y –y1 + m x1)

my2 = 4p (y + (mx1 – y1))

my2 = 4py + 4p (mx1 + - y1)

my2 - 4py – 4p (mx1 –y1) = 0

Por condición de tangencia:

(-4p)2 + 4m (4p) (mx1 –y1) = 0

16p2 + 6mp (mx1 –y1) = 0

P + m (mx1 –y1) = 0

X1 m2 – y1m + p = 0

m = y1 + - √ y 12−4 px12 x1

m = (y1) / 2x1

Luego: 2x1 (y-y1) + x1 = x

2x1y – 2x1 y1 + x1 y1 = xy1

29

Rectas y Cónicas

2x1y – 2x1y1 – xy1 = 0

Y1x – 2x1y + x1y1 = 0

Caso 2:

Tangente paralela a una dirección dada.

La tangente de pendiente m a la parábola P : y2 = 4px, tiene la forma: y = mx + p/m (m

0).

Prueba:

La tangente de penden diente m tiene como ecuación Y = mx + b entonces x = (y-b)/m.

Reemplazando en la ecuación de la parábola.

Y2 = 4p (y -b) / m

My2 = 4py – 4bp

My2 -4py + 4bp = 0

Por condición de tangencia:

16p2 -4m (4bp) = 0

16 p2 – 16mbp = 0

16p (p - mb) = 0

P –mb = 0

M = (p)/b

B = p/m

Entonces:

Y = mx + p/m

Caso 3:

Tangentes trazadas desde un punto exterior.

Ejercicio: dada la parábola 8: y2 + 2y +4x – 7 = 0 determinar las tangentes trazadas desde Q

(4,2)

30

P (x1, y1)

Rectas y Cónicas

Lr : y –y1 = m (x –x1)

Y2 = 4px

Y2 = 4p (y – y1 + mx1)/ m

My2 = 4py + 4p (mx1 + y1)

My2 = 4py - 4p (mx1 + y1)

Por condición de tangencia:

16p2 + 16mp (mx1 –y1) = 0

P + m (mx1 – y1) = 0

X1 m2 –y1m + p = 0

M = y1 + √ y 12−4 px12 x1

y –y1 = -m1

Recta normal a una parábola:

La recta normal es la perpendicular a la recta tangente en el mismo punto de tangencia, por lo

tanto:

Mr . mr1 = -1

31

P (x1 + y1)

L1

p

P1

q

L2

Rectas y Cónicas

Propiedad.

La recta normal a una parábola en un punto t (x1, y1) cualquiera de la parábola forma ángulos

iguales con el radio vector de T y la recta que pasa por t es paralela al eje de la parábola.

Cuerda de contacto:

Si desde un punto exterior P1 se trazan tangentes a una parábola P = y = 4px, el segmento de

la recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto.

32

Rectas y Cónicas

La ecuación de la cuerda de contacto es:

y,y = 2p (x + x1)

33