1

Seminarul 13. Filtre active (2) Algoritm de calcul al funcţiei de transfer în problemele de filtre active

1. Ecuaţiile circuitului

Circuitul prezintă N noduri (dintre care nodul V1 este de intrare şi V2 de ieşire). Prin urmare avem de scris N-1 ecuaţii.

- pentru nodurile care nu se află la intrarea/ieşirea unui amplificator

01 1

n n

k k kk k

Y V Y V= =

= ∑ ∑

Nu vom analiza nodurile ale căror potenţiale le ştim direct (sunt fie legate la masă,

fie sunt noduri virtual identice cu altele). Dacă unul din cele n noduri învecinate este chiar masă, admitanţa va conta în membrul stâng, dar nu şi în membrul drept (unde ar apărea înmulţită cu un potenţial nul).

- pentru nodurile care se află la intrarea unui amplificator

Teoretic, nodul de intrare în amplificator este legat, prin impedanţa de intrare a amplificatorului, de celălalt nod de intrare. Aşadar ar trebui să scriem, în plus faţă de celelalte noduri de legătură şi o legătură cu cealaltă bornă. Dacă nodul în cauză este de exemplu borna inversoare a amplificatorului, atunci.

1 1

n n

in k k k ink k

Y Y V Y V Y V− +

= =

+ = +

∑ ∑

Însă, un amplificator ideal are impedanţa de intrare infinită sau oricum, mult mai mare decât restul impedanţelor, aşa încât putem neglija Yin şi putem scrie şi pentru nodurile de intrare în amplificatoare o relaţie simplificată ca în cazul 1.

- pentru nodurile care se află la ieşirea unui amplificator

1V

0V

2V

kV

nV

1Y2Y

kYnY

2

i. Dacă amplificarea este finită, A, ieşirea este fixată de amplificare şi tensiunea pe intrare. Bucla de reacţie acţionează implicit (remarcaţi buclele care se întorc de la ieşirea amplificatoarelor din grafurile de fluenţă)

( )oV A V V+ −= − ii. Dacă amplificarea este infinită, ieşirea poate fi scrisă în funcţie de

bucla de reacţie direct şi de tensiunea pe intrare. De exemplu, pentru un amplificator în configuraţie inversoare, putem scrie

2

1o i

ZV VZ

= −

cu semnificaţiile cunoscute.

2. Construirea grafului de fluenţă

- Fiecărui nod din circuit îi corespunde un nod pe graful de fluenţă - Recomandăm respectarea pe cât posibil a aranjării nodurilor pe graf aşa

cum apar pe circuit, în vederea obţinerii unui graf aerisit. - Potenţialul fiecărui nod, mai puţin cel de intrare, apare într-o ecuaţie de

circuit ca expresie în funcţie de celelalte potenţiale. Dependenţa aceasta liniară se transpune grafic prin trasarea unei laturi de la fiecare din potenţialele din membrul drept până la cel analizat. Pe latură se va pune o transmitanţă egală cu coeficientul din combinaţia liniară. De exemplu, dacă

01 1

n n

k k kk k

Y V Y V= =

= ∑ ∑ ,

atunci, de la nodul , 1,kV k n= vom trasa o latură în graf cu sensul spre V0,

cu transmitanţa

1

kn

mm

Y

Y=∑

- O ecuaţie se poate scrie în mai multe feluri, astfel că în membrul stâng pot ajunge pe rând mai multe potenţiale. Acest lucru ar modifica graful, deşi sistemul de ecuaţii rămâne acelaşi, doar puţin modificat. Nu vă faceţi probleme, grafurile sunt în fapt echivalente. De exemplu, ecuaţia

( )oV A V V+ −= −

scrisă aşa conduce la trasarea a câte unei laturi de la nodurile V + , şi V − , având transmitanţele A, respectiv –A. Însă aceeaşi ecuaţie ar putea fi rescrisă ca fiind

1oV V V

A+ −= +

ceea ce ar conduce la trasarea unei laturi de la V- la V+ de transmitanţă 1 şi a uneia de la V0 de transmitanţă 1/A. Aparent bucata de graf rezultată este total diferită de precedenta. Însă în realitate cele două structuri sunt echivalente.

3

3. Rezolvarea grafului de fluenţă

- Se identifică buclele din graf. Acestea sunt acele căi formate din laturi orientate în acelaşi sens, astfel încât nodul de plecare să coincidă cu cel de sosire, iar toate nodurile parcurse intermediar să fie distincte două câte două (bucla să nu conţină alte bucle mai mici).

- Se calculează transmitanţa buclei, Lk, ca fiind produsul transmitanţelor tuturor laturilor care intră în componenţa ei.

- Se calculează determinantul grafului după formula

sisunt

neconexe

1 ...k k lk k l

l k

L L L∆ = − + −∑ ∑ ∑

Termenul al doilea din sumă este produs de două câte două bucle care nu sunt adiacente (nu au nici măcar un nod comun). Mai departese procedează similar dacă există seturi de câte 3 bucle neconexe etc.

- Se caută toate căile de a ajunge de la nodul de plecare la cel de sosire. Căile trebuie să conţină numai laturi orientate în acelaşi sens şi nu trebuie să conţină bucle.

- Pentru fiecare cale k găsită, determinăm transmitanţa căii, Pk, ca fiind produsul transmitanţelor tuturor laturilor care intră în componenţa căii. În plus, calculăm determinantul parţial, k∆ , ca fiind determinantul grafului, ∆ , din care eliminăm termenii Lk din toate sumele, ai buclelor care “ating” calea (au măcar un nod comun). Cu alte cuvinte

0conexa cu calea

mk Lm k

=∆ = ∆

- Aplicăm regula lui Mason

2

1

k kk

PVV

∆=

∆

∑.

- Pe un acelaşi graf, pot juca rol de nod de ieşire două noduri diferite. Nu are nici o importanţă, algoritmul se aplică similar pentru orice alt nod. Determinantul în acest caz rămâne acelaşi. Se schimbă căile şi determinanţii parţiali.

Problema 1. Să se caracterizeze un filtru de ordin 2 cu funcţia de transfer

( )2 2

2 2

zz

z

pp

p

s sQH s K

s sQ

ω ω

ωω

+ +=

+ +

Discuţie după valorile parametrilor.

4

Rezolvare Putem pune funcţia sub forma următoare

( )( )( )( )( )

*

*

s z s zH s K

s p s p

− −=

− −

Deoarece coeficienţii sunt reali, atât zerourile, cât şi polii trebuie să fie în perechi complex conjugate. Zerourile sunt

( )( )

2

2

1 4 12

1 4 12

zz

z

pp

p

z j QQ

p j QQ

ω

ω

= − ± −

= − ± −.

şi deci

{ } { }

{ } { }

2 1

2 1

4 1Re , Im

2 2

4 1Re , Im

2 2

z

p

Qzz

z z zz z

Qpp

p p pp p

Qz z

Q Q

Qp p

Q Q

ωσ ω ω

ωσ ω ω

>>

>>

−= − = = ≈

−= − = = ≈

Înseamnă că putem scrie

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( )

z z z z z

pp p p p

s j s j H sH s K K

H ss j s j

σ ω σ ω

σ ω σ ω

− − + − − −= =

− − + − − −.

Analizăm separat efectul polinomului de la numărător, ( )zH s . Acesta are un

zerou în z zz jσ ω= − + şi în *z zz jσ ω= − − . Prin urmare, graficul funcţiei arată ca în

figura de mai jos.

-5

0

5

x 104

-1-0.5

00.5

1

x 105

0

2

4

6

8

10

12

x 109

sigmaomega

5

Pentru a vedea cum arată funcţia evaluată în frecvenţă avem de secţionat suprafaţa obţinută mai sus cu un plan s jω= , deoarece ( ) ( )z z s jH j H s ωω == .

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7x 109

w

Hz(jw

)

Remarcăm că în jurul frecvenţelor zω ω= ± apar două minime, datorită plasării zerourilor având partea imaginară egală cu aceste valori. Minimele sunt mai pronunţate dacă zerourile sunt mai apropiate de axa imaginară, deci dacă factorul de calitate este mai mare.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7x 109

w

Hz(jw

)

Q=2Q=20

6

Prin urmare rolul numărătorului este de a atenua frecvenţa 2

zωπ

. Cu cât factorul de

calitate este mai mare, cu atât atenuarea este mai mare. Pentru a putea vedea rolul numitorului, să considerăm că ,z p z pQ Qω ω= > . Prin urmare, polii au aceeaşi parte imaginară ca zerourile, dar sunt mai depărtaţi de axa imaginară (au partea reală mai mică).

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

w

Hz(jw

)

Hz(jw)

Hp(jw)

H(jw)

Analizăm figura pentru 42 10 /p z rad sω ω π= = ⋅ , 20, 2z pQ Q= = . Remarcăm că efectul este o scădere a benzii de oprire. Cu alte cuvinte, banda atenuată este mult mai îngustă decât dacă s-ar folosi numai numitorul. Se doreşte atunci când se doreşte rejectarea unei singure frecvenţe cu păstrarea caracteristicii în rest. Dacă cele două frecvenţe de la numărător şi numitor nu sunt egale, atunci polii sunt împinşi şi pe axa imaginară. În acest fel, caracteristica nu este simetrică, precum în figura de mai sus. Putem folosi o astfel de caracteristică pentru a crea un filtru trece-jos ( z pω ω> ) sau trece-sus ( z pω ω< ) care în acelaşi timp rejectează o frecvenţă.

Pentru 42 10 / , , 20, 22

zz p z prad s Q Qωω π ω= ⋅ = = = , obţinem figura de mai jos, în

care funcţia corespunde unui FTJ.

7

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 105

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

w

Hz(jw

)

20lg|Hz(jw)|

20lg|Hp(jw)|

20lg|H(jw)|

Pentru 42 10 / , 2 , 20, 2z p z z prad s Q Qω π ω ω= ⋅ = = = , obţinem figura de mai jos. Curba funcţiei de transfer rezultate corespunde unui FTS.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 105

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

w

Hz(jw

)

20lg|Hz(jw)|

20lg|Hp(jw)

20lg|H(jw)

În concluzie, filtrul atenuează frecvenţa ωz, cu atât mai mult cu cât factorul de calitate Qz este mai mare. La limită, acesta rejectează complet frecvenţa dacă zQ →∞ , deci pentru o funcţie de transfer având expresia

8

( )2 2

2 2

z

pp

p

sH s ks s

Q

ωω

ω

+=

+ +

,

zerourile fiind în acest caz plasate exact pe axa imaginară. Problema 2.

Se dă schema de mai jos:

a) Determinaţi funcţia de transfer ( ) ( )( )

2

1

V sH s

V s= .

b) Calculaţi atenuarea introdusă de filtru ca funcţie de frecvenţă, ( )A ω . c) Demonstraţi că filtrul introduce o atenuare infinită la o frecvenţă. d) Dimensionaţi schema de mai sus astfel încât filtrul să aibă un câştig de 6dB la

frecvenţe înalte, să atenueze cu 6dB componenta continuă şi să rejecteze complet frecvenţa de F0=10kHz.

Rezolvare

a) Aplicăm metoda potenţialelor la noduri pentru a scrie cele 4 ecuaţii necesare. ( )3 3 1 5 3, 2S V aV aV S s a= + = + , pentru nodul 3

( )4 4 1 5 2 42 , 2S V sV sV aV S s a= + + = + , pentru nodul 4

( )5 5 4 3 5, 1S V sV aV S s a g= + = + + , pentru nodul 5

2 5V kV= , pentru nodul 2 de ieşire Graful va conţine prin urmare 5 noduri, între care există legături conform ecuaţiilor scrise.

9

Identificăm 3 bucle pe graf:

Bucla { }4 5,V V : 2

14 5

sLS S

=

Bucla { }3 5,V V : 2

23 5

aLS S

=

Bucla { }2 4 5, ,V V V : 34 5

2kasLS S

=

Toate aceste trei bucle au un nod comun (V5), prin urmare determinantul va fi

2 2

4 5 3 5 4 5

21 s a kasS S S S S S

∆ = − − − .

Identificăm căile de acces de la nodul de intrare la cel de ieşire.

Calea 1: { }1 4 5 2, , ,V V V V , 2

14 5

sP kS S

= , 1 1∆ =

Calea 2: { }1 3 5 2, , ,V V V V , 2

13 5

aP kS S

= , 2 1∆ =

Ambele căi ating toate cele 3 bucle, ceea ce explică valorile unitare ale determinanţilor parţiali. Rezultă

( )

2 2

2 24 5 3 5 3 41 1 2 2

2 2 2 23 4 5 3 4 3

4 5 3 5 4 5

2 21

s aS S S S S s S aP PH s k k

s a kas S S S S s S a kaS sS S S S S S

++∆ + ∆

= = =∆ − − −− − −

.

Cum 3 4S S= , rezultă că

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2

2 2 2 23 5 2 2 1 2

s a s aH s k kS S s a kas s a s a g s a kas

+ += =

− − − + + + − − −.

Facând calculele, ajungem la

1V 2V

3V

4V

5V

3

aS

3

aS

4

sS 4

sS

4

2aS

5

sS

5

aS

k

10

( ) ( ) ( )2 2

2 22 2 2 1s aH s k

s a g k s a g+

=+ + − + +

.

b) În primul rând vom adopta o scriere formală care să ne permită analiza

simplificată. Astfel, vom scrie

( )2 2

2 2

z

pp

p

sH s ks s

Q

ωω

ω

+=

+ +

.

Evaluăm mai întâi funcţia de transfer în frecvenţă

( ) ( )

2 2

2 2

22 2 11

z

p pzs j

pp

pp p p

H j H s k kj jQ Q

ω

ω ωω ωω ωω ωω ω ωω ωω ω

=

− − + = = =

− + − +

.

Pentru simplitate, vom introduce funcţia de transfer în frecvenţă normată la ωp.

( )2 2

2 11z

p

H j kjQ

η ηηη η

−=

− +.

Aceasta are modulul

( )

( )

2 2

222 11

z

p

H j k

Q

η ηη

η η

−=

− +

,

iar atenuarea este

( )( )

222

2 2

11p

z

QA k

η η

ηη η

− +

=−

.

c) Identificăm funcţia de transfer ca aparţinând unui rejector de ordin 2 (de tip

Sallen-Key). Sau putem remarca faptul că ( )zA η = ∞ .

În plus, deoarece 2 1z pa a gω ω= < + = , filtrul este FTS rejector.

d) Câstigul în decibeli la o frecvenţă este ( ) ( )20lgG H jη η= .

La frecvenţe înalte ( ) ( )20lg 6 2G k k∞ = = ⇒ = .

La componenta continuă

11

( ) ( )20

10 20lg 6 22z z pA k F Fη η= − = ⇒ = ⇒ = .

Identificăm 0

0

2

2 1 4z

p

a F

a g F

ω π

ω π

= =

+ = =.

Deci 02a Fπ= 2

04 1

2

Fag

π − = .

Putem reprezenta, folosind programul Matlab, caracteristica obţnută în frecvenţă. Alegem Qp=5.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

x 104

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

F[Hz]

20lg

|H(jw

)|

-6dB la c.c.

6dB la HF

Rejectie la 10kHz(Programul nu poatereprezenta o atenuareinfinita)

Problema 3.

Se dă schema de mai jos:

12

a) Determinaţi funcţiile de transfer

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2 4 51 2 3

1 1 1

, ,V s V s V s

H s H s H sV s V s V s

= = = .

Amplificatoarele sunt ideale, având impedanţă de intrare infinită şi amplificare de asemenea infinită.

b) Să se dimensioneze circuitul astfel încât să se obţină un filtru trece-bandă de ordin 2, dacă

0 1 2 5 6 1 25 , 1, 5, , , 10not not

f kHz K Q R R R R R C C C nF= = = = = = = = = Rezolvare

a) Scriem ecuaţiile de circuit pe baza căruia determinăm graful de fluenţă.

Pentru nodul 3, putem scrie ecuaţia potenţialelor la noduri 3 3 3 1 4 5 3 3 4,S V G V G V S G G= + = + .

Ca de obicei, vom ignora calea de la nod, prin intrarea amplificatorului, admitanţa de intrare în acesta fiind neglijabilă. Nodul 4 reprezintă ieşirea unui amplificator operaţional a cărui buclă de reacţie negativă este formată din R5, R6. Faţă de V2, acesta este în configuraţie inversoare, iar faţă de V3 în configuraţie neinversoare. Folosind teorema superpoziţiei, rezultă că

6 6 5 5 64 2 3 2 3

5 5 6 6

1R R G G GV V V V VR R G G

+= − + + = − +

.

La ieşirile celor două integratoare scriem 1

5 41

GV VsC

= −

22 5

2

GV VsC

= − .

Graful de fluenţă asociat este prezentat mai jos.

13

Graful prezintă două bucle:

Bucla 1: { }3 4 5, ,V V V , 5 61 41

1 6 3 4

G GG GLsC G G G

+= −

+

Bucla 2: { }2 4 5, ,V V V , 51 22

1 2 6

GG GLsC sC G

= .

Cele două bucle au două noduri comune, deci 5 6 51 4 1 2

1 6 3 4 1 2 6

1 G G GG G G GsC G G G sC sC G

+∆ = + −

+.

După calcule, rezultă că

( ) ( )( )

1 2 3 5 61

2 1 4 5 61 2 6 3 4 1 2 5

1 6 3 4 1 2 6

1G G G G GH sG G G GC C G G G G G Gs sC G G G C C G

+=

+++ +

+

.

Deoarece poate fi pus sub forma

( )12 20

0

KH ss s

Qω ω

=+ +

,

aceasta se identifică uşor ca fiind funcţia de transfer a unui FTJ. Mai departe

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )

5 5 2 1 3 5 622 1

2 1 4 5 61 2 1 2 1 6 3 4 1 2 5

1 6 3 4 1 2 6

V s V s V s G G G GsC sH s H sG G G GV s V s V s G C G G G G G Gs sC G G G C C G

+= = = − = −

+++ +

+ Această funcţie poate fi pusă sub forma

( )0

22 20

0

sQH s K

s sQ

ω

ω ω=

+ +

şi constituie un FTB. De asemenea

1V 2V3V 4V 5V3

3

GS

4

3

GS

5

6

GG

−

2

2

GsC

−

1

1

GsC

−5 6

6

G GG+

14

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )

24 4 5 3 5 61

3 22 1 4 5 61 5 1 1 6 3 4 1 2 5

1 6 3 4 1 2 6

V s V s V s G G GsC sH s H sG G G GV s V s V s G G G G G G Gs sC G G G C C G

+= = = − =

+++ +

+

.

Şi

( )2

32 20

0

sH s Ks s

Qω ω

=+ +

,

care este un FTS. Această configuraţie de filtru activ (cu integratoare) asigură, în funcţie de ieşirea selectată un tip de filtru sau altul.

b) Se identifică pentru ieşirea corespunzătoare FTB-ului

1 2 5 60

1 2 6 1 2 1 2 5

1G G G RC C G C C R R R RC

ω = = =

De asemenea 6

0 5 64

3 541 1

3

11 12

1

RR RRQ

Q R CRR CR

ω+

= ⇒ = + +

.

Lăsăm ca temă înlocuirile numerice.