Filtre Active

45
4.2.8. Filtre active cu AO 4.2.8.1. Filtre electrice. Generalităţi. Filtrele sunt circuite electronice de tip cuadripol cu o caracteristică de frecvenţă selectivă care atenuează (rejectează) semnalele cu frecvenţe din banda de atenuare şi permit trecerea, eventual amplificată, a semnalelor cu frecvenţe din banda de trecere. Mai general, se poate spune că filtrul electric este un cuadripol care prelucrează semnalul de la intrare în aşa fel încât semnalele de la ieşire să aibă proprietăţi impuse realizând o anumită caracteristică de frecvenţă şi/sau o anumită caracteristică de fază. Există mai multe posibilităţi de realizare a unor circuite electrice care să îndeplinească aceste condiţii. a) filtre pasive – cu inductanţe şi capacităţi. Aceste circuite se pot folosi pentru un domeniu limitat de frecvenţe, în special la frecvenţe medii şi mari. La frecvenţe joase, circuitele realizate în această tehnologie necesită inductanţe şi capacităţi de valori mari cu efecte negative privind gabaritul şi preţul de cost. b) filtre active – cu tranzistoare sau cu AO. Aceste variante acoperă toate domeniile de frecvenţă, nu utilizează inductanţe şi asigură, eventual, şi amplificarea semnalelor din banda de trecere. De asemenea, în cazul unor filtre formate din mai multe etaje, acestea pot fi proiectate, realizate şi acordate separat cu intercondiţionări minime între etaje. În special, în cazul filtrelor active cu AO, se realizează cu uşurinţă adaptarea de impedanţe atât la intrarea cât şi la ieşirea circuitului. 67

Transcript of Filtre Active

Page 1: Filtre Active

4.2.8. Filtre active cu AO

4.2.8.1. Filtre electrice. Generalităţi.

Filtrele sunt circuite electronice de tip cuadripol cu o caracteristică de frecvenţă selectivă care atenuează (rejectează) semnalele cu frecvenţe din banda de atenuare şi permit trecerea, eventual amplificată, a semnalelor cu frecvenţe din banda de trecere. Mai general, se poate spune că filtrul electric este un cuadripol care prelucrează semnalul de la intrare în aşa fel încât semnalele de la ieşire să aibă proprietăţi impuse realizând o anumită caracteristică de frecvenţă şi/sau o anumită caracteristică de fază.

Există mai multe posibilităţi de realizare a unor circuite electrice care să îndeplinească aceste condiţii.

a) filtre pasive – cu inductanţe şi capacităţi. Aceste circuite se pot folosi pentru un domeniu limitat de frecvenţe, în special la frecvenţe medii şi mari. La frecvenţe joase, circuitele realizate în această tehnologie necesită inductanţe şi capacităţi de valori mari cu efecte negative privind gabaritul şi preţul de cost.

b) filtre active – cu tranzistoare sau cu AO. Aceste variante acoperă toate domeniile de frecvenţă, nu utilizează inductanţe şi asigură, eventual, şi amplificarea semnalelor din banda de trecere. De asemenea, în cazul unor filtre formate din mai multe etaje, acestea pot fi proiectate, realizate şi acordate separat cu intercondiţionări minime între etaje. În special, în cazul filtrelor active cu AO, se realizează cu uşurinţă adaptarea de impedanţe atât la intrarea cât şi la ieşirea circuitului.

c) filtre cu cristal sau filtre cu undă acustică de suprafaţă se folosesc, de obicei, la frecvenţe mari, cu performanţe superioare filtrelor realizate cu inductanţe şi capacităti.

d) filtre digitale – realizate prin tehnici specifice structurilor numerice. Aceste filtre sunt mult mai flexibile fiind programabile software, pot realiza filtrări mai complexe decât cele analogice, dar nu pot acoperi toate tipurile de aplicaţii.

În cadrul acestui capitol vor fi analizate, în principal, filtrele realizate cu AO.

După caracteristica de frecvenţă, filtrele pot fi clasificate în mai multe clase, în funcţie de domeniul de frecvenţe specific pentru banda de trecere şi pentru banda de atenuare.

Dacă se consideră caracteristicile de frecvenţă ideale (amplificare constantă în banda de trecere, atenuare infinită în banda de atenuare şi tranziţii cu pantă infinită în zona de tranziţie), filtrele electrice pot fi:

- filtre trece jos (FTJ), cu caracteristica de frecvenţă ideală în fig. 4.2.83.a; - filtre trece sus (FTS), cu caracteristica de frecvenţă ideală în

fig.4.2.83.b;

67

Page 2: Filtre Active

- filtre trece bandă (FTB), cu caracteristica de frecvenţă ideală în fig.4.2.83.c;

- filtre opreşte (rejectează,) bandă (FRB), cu caracteristica de frecvenţă ideală în fig.4.2.83.d;

- filtre trece tot (FTT) la care amplificarea este constantă pentru tot domeniul de frecvenţe, mărimea de ieşire utilă fiind caracteristica de fază.

Fig.4.2.83

Caracteristicile ideale nu sunt realizabile practic deoarece o variaţie bruscă a amplitudinii presupune un salt de fază care nu este teoretic posibil în circuitele electrice. Se pot realiza circuite cu caracteristici de frecvenţă care să aproximeze, mai mult sau mai puţin, caracteristica ideală, compromisul fiind realizat între complexitatea circuitului şi apropierea de cazul ideal. În acest fel, se pot face aproximări cu filtre cu caracteristici de ordinul 1 (cu funcţie de transfer cu un singur pol), de ordinul 2 (cu funcţie de transfer cu doi poli) sau de ordin superior.

În cadrul acestui capitol vor fi analizate filtrele realizate cu AO. În aceste circuite, AO poate fi folosit în mai multe moduri: ca amplificator cu amplificare infinită, în schemă de amplificator cu amplificare finită, ca un convertor de impedanţă negativă sau ca un girator, fiecare dintre variante având proprietăţi specifice.

4.2.8.2. Filtre trece jos (FTJ)

4.2.8.2.1. FTJ cu funcţie de transfer de ordinul 1

Funcţia de transfer de ordinul 1 pentru un FTJ este de forma:

(4.2.128)

în care H0 este amplificarea (câştigul) la frecvenţă 0 iar ω0 este pulsaţia (frecvenţa) caracteristică.

Pentru un regim permanent, în care se aplică un semnal sinusoidal, transferul între intrare şi ieşire se poate scrie sub forma:

, relaţie din care se pot deduce modulul funcţiei de

transfer şi defazajul dintre ieşire şi intrare:

şi (4.2.129)

Reprezentarea grafică a celor două funcţii este dată în fig.4.2.84 în care caracteristica de frecvenţă este reprezentată la scară dublu logaritmică, modulul amplificării fiind exprimat în decibeli iar caracteristica de fază la scară semilogaritmică. La frecvenţe joase, modulul amplificării este aproximativ

68

Page 3: Filtre Active

constant (20 logH0) iar în zona de tranziţie şi în zona de atenuare panta caracteristicii de transfer este de – 20 dB/decadă = - 6 dB/octavă.

Fig.4.2.84 Fig.4.2.85

Frecvenţa de tăiere a filtrului, , definită ca fiind frecvenţa la care

modulul amplificării de tensiune scade cu 3 dB în comparaţie cu modulul amplificării la frecvenţă zero, H0, se deduce din relaţia:

(4.2.130)

şi se obţine ωT = ω0, adică egală cu frecvenţa caracteristică a filtrului.Cel mai simplu circuit care are o comportare de FTJ este desenat în

fig.4.2.85 fiind realizat cu o rezistenţă, R şi cu o capacitate, C.Funcţia de transfer se deduce imediat observând că tensiunea de ieşire se

obţine din tensiunea de intrare printr-un divizor de tensiune:

(4.2.131)

Se deduc parametrii funcţiei de transfer prin identificare cu relaţia (801):

. (4.2.132)

Pentru obţienerea unor FTJ cu funcţie de transfer cu un singur pol dar cu amplificare de tensiune, , se poate folosi un AO în schemă de amplificator de tensiune. Astfel, pentru o schemă de amplificator inversor cu

AO ca în fig.4.2.86, se obţin: iar pentru o schemă de

amplificator neinversor cu AO ca în fig.4.2.87, se obţin: .

În ambele situaţii, cei doi parametri ai filtrului pot fi modificaţi independent iar impedanţa de ieşire a circuitului este foarte mică ceea ce poate permite conectarea cu uşurinţă a unei sarcini care să nu influenţeze performanţele filtrului.

69

Page 4: Filtre Active

Fig.4.2.86 Fig.4.2.87

4.2.8.2.2. FTJ cu funcţie de transfer de ordinul 2 (cu doi poli)

Forma generală a funcţiei de transfer este reprezentată în relaţia (4.2.133):

, unde: (4.2.133)

- este amplificarea (atenuarea) la frecvenţe joase (în curent continuu); - este pulsaţia (frecvenţa) caracteristică a filtrului;

- Q este factorul de calitatea al filtrului; mărimea se numeşte şi

factorul de amortizare al filtrului şi are influenţă mare asupra formei caracteristicilor filtrului.

În cazul unui semnal sinusoidal permanent, funcţia de transfer devine:

(4.2.134)

relaţie din care se deduc caracteristicile de frecvenţă şi de fază ale filtrului sub forma:

(4.2.135)

(4.2.136)

Cele două caracteristici sunt reprezentate în fig.4.2.88 pentru diferite valori ale coeficientului de amortizare (factorului de calitate), la scară dublu logaritmică pentru caracteristica de transfer şi la scară semilogaritmică pentru caracteristica de fază.

70

Page 5: Filtre Active

Fig.4.2.88

Din analiza acestor diagrame, se constată că, la creşterea factorului de calitate, pot apărea supracreşteri în caracteristica de frecvenţă, iar panta acesteia în afara benzii de trecere este cu atât mai amare cu cât factorul de calitate este mai mare; de asemenea, se observă că variaţia fazei în jurul frecvenţei caracteristice este cu atât mai rapidă cu cât factorul de calitate este mai mare, domeniul de valori pe care îl ia diferenţa de fază dintre ieşire şi intrare fiind cuprins între 0o şi -180o.

La o reprezentare asimptotică a caracteristicii de frecvenţă, din fig.4.2.88 se observă că, pentru pulsaţii (frecvenţe) mult mai mici decât pulsaţia (frecvenţa) caracteristică, modulul funcţiei de transfer este constant, iar pentru pulsaţii (frecvenţe) mult mai mari decât pulsaţia (frecvenţa) caracteristică, modulul funcţiei de transfer scade cu -40dB/decadă.

Se pot pune în evidenţă câţiva parametri ai caracteristicii de frecvenţă. Astfel, se poate determina valoarea pulsaţiei (frecvenţei) pentru care se

obţine un maxim al caracteristicii de frecvenţă prin anularea derivatei acesteia în raport cu frecvenţa:

; , (4.2.137)

valoare aproximativ egală cu pentru valori mari ale factorului de calitate (, iar valoarea maximă pe care o poate lua modulul funcţiei de transfer va fi:

(pentru valori mari ale lui Q). (4.2.138)

71

Page 6: Filtre Active

Se observă şi faptul că, pentru valori ale lui Q mai mici de ,

caracteristica de transfer nu admite maxim, ceea ce înseamnă că ea este maximum plată pentru aceste valori ale factorului de calitate, Q.

Frecvenţa de tăiere a filtrului, adică frecvenţa la care modulul factorului de transfer scade cu 3 dB în comparaţie cu valoarea de la frecvenţe joase se poate determina din relaţia:

, sub forma:

. (4.2.139)

Frecvenţa (pulsaţia) de tăiere a filtrului depinde puternic de factorul de calitate; astfel, pentru Q de valori mari tinde către valoarea , iar

pentru , se obţine chiar frecvenţa (pulsaţia) caracteristică (pentru Q

tinzând către zero, se obţine, prin trecere la limită în relaţia generală, valoarea ).

4.2.8.2.3. FTJ cu funcţie de transfer de ordinul 2 de tipul Salen-Key

Schema de principiu (poate fi şi schemă electrică dacă se adaugă sursele de alimentare ale AO) este reprezentată în fig.4.2.89.

Fig.4.2.89 Fig.4.2.90

În această schemă, AO este folosit într-o schemă de amplificator neinversor cu amplificare finită; astfel, circuitul format din AO şi rezistenţele R’

şi R” se poate echivala cu un amplificator de tensiune cu amplificarea , cu impedanţă de intrare foarte mare (ca să nu

afecteze circuitul selectiv) şi cu impedanţă de ieşire foarte mică atât pentru a nu afecta circuitul selectiv prin reţeaua de reacţie cât şi pentru a permite cuplarea unor sarcini care să nu afecteze performanţele filtrului.

În aceste condiţii, tensiunea de la intrarea echivalentă a amplificatorului neinversor de tensiune se poate scrie, prin superpoziţie, sub forma:

72

Page 7: Filtre Active

, (4.2.140)

unde s-a considerat că se formează un divizor de tensiune între capacitatea C2 şi impedanţa formată prin echivalarea surselor vo şi vi cu impedanţele serie corespunzătoare.

Relaţia se mai poate scrie sub forma:

de unde se deduce

tensiunea de ieşire în funcţie de tensiunea de intrare şi apoi funcţia de transfer sub forma:

(4.2.141)

Prin identificare cu relaţia generală (4.2.133), se deduc:- ;(4.2.142a)

- ; (4.2.142b)

- ; (4.2.142c)

-

(4.2.142d)În general, la proiectarea filtrelor active, inclusiv a FTJ, se impun

performanţele acestora, adică frecvenţa de tăiere, atenuarea în banda de atenuare, supracreşterea admisă în banda de trecere şi amplificarea în banda de trecere. Pentru calculul elementelor schemei se vor folosi relaţiile (4.2.142) ţinând seama şi de relaţiile deduse anterior pentru frecvenţa de tăiere (4.2.139) şi supracreşterea din banda de trecere (4.2.138).

O importanţă deosebită în proiectare are senzitivitatea performanţelor la valorile componentelor şi dispersia de fabricaţie a acestora, ceea ce impune realizarea unui compromise prin diferite metode de proiectare.

În cazul în care frecvenţa de tăiere este mare, este posibil ca, la amplificări de tensiune relative mari în banda de trecere, să conteze frecvenţa limită de funcţionare a AO. Se poate folosi un circuit de compensare prin care rezistenţa R2 se împarte în două conform fig.4.2.91, respectându-se relaţiile:

şi , unde f0 este frecvenţa de tăiere a AO.

73

Page 8: Filtre Active

O variantă a acestui circuit cu amplificare unitară în banda de trecere este desenată în fig.4.2.92.

Fig.4.2.91 Fig.4.2.92

Cu valorile rezistenţelor şi capacităţilor din circuit, se obţin parametrii:

; ; ; .

4.2.8.2.4. FTJ cu funcţie de transfer de ordinul 2 cu reacţie multiplă

O schemă de FTJ în care AO este folosit ca un amplificator cu amplificare infintă în buclă deschisă este reprezentată în fig.4.2.93, în care reacţia negativă se realizează atât prin capacitatea C2 cât şi prin rezistenţa R2.

Fig.4.2.93Procedând ca în cazul precedent, prin desfacerea buclelor de reacţie, se

obţine funcţia de transfer sub forma:

(4.2.143)

Se identifică parametrii funcţiei de transfer cu cei din relaţia de principiu, (4.2.133), iar proiectarea se face ca şi în cazul precedent cu observaţia că trebuie să se ţină seama şi aici de condiţiile generale de proiectare a schemelor cu AO.

4.2.8.2.5. FTJ cu funcţie de transfer de ordinul 2 fără offset la ieşire

La FTJ, o problemă importantă este influenţa tensiunii de decalaj a AO asupra ieşirii având în vedere că semnalelel de frecvenţă joasă, inclusive cele de current continuu sunt favorizate. În fig.4.2.94 este prezentată o schema de FTJ în care tensiunea de decalaj a AO nu se transmite la ieşire fiind blocată de capacităţile C1 şi C2.

74

Page 9: Filtre Active

Fig.4.2.94

Funcţia de transfer a circuitului este:

(4.2.144)

Se observă că amplificarea de tensiune în banda de trecere este , iar impedanţa de ieşire este finită, având valoarea R1.

Ca o observaţie generală, pentru toate tipurile de filtre active, în cazul în care se folosesc mai multe AO, proiectarea devine mult mai uşoară (şi acordarea acestora) deoarece vor fi mai multe grade de libertate în alegerea componentelor pasive şi se obţine şi o senzitivitate mai mică a performanţelor faţa de variaţiile componentelor pasive. Un exemplu de schemă de FTJ cu două AO este reprezentată în fig.4.2.95, în care se vede că divizorul format din rezistenţele R’ şi R” nu intervine decât în modulul amplificării de tensiune din banda de trecere.

Fig.4.2.95.

4.2.8.3. Filtre trece sus (FTS)

4.2.8.3.1. FTS cu funcţie de transfer de ordinul 1

Funcţia de transfer de ordinul 1 pentru un FTS este de forma:

(4.2.145)

în care H0 este amplificarea (câştigul) la frecvenţă infinită iar ω0 este pulsaţia (frecvenţa) caracteristică.

Pentru un regim permanent, în care se aplică un semnal sinusoidal, transferul între intrare şi ieşire se poate scrie sub forma:

, relaţie din care se pot deduce modulul funcţiei de

transfer şi defazajul dintre ieşire şi intrare:

şi (4.2.146)

Reprezentarea grafică a celor două funcţii este dată în fig.4.2.96 în care caracteristica de frecvenţă este reprezentată la scară dublu logaritmică, modulul amplificării fiind exprimat în decibeli iar caracteristica de fază la scară semilogaritmică. La frecvenţe joase, modulul amplificării este aproximativ constant (20logH0) iar în zona de tranziţie şi în zona de atenuare panta caracteristicii de transfer este de – 20 dB/decadă = - 6 dB/octavă.

75

Page 10: Filtre Active

Fig.4.2.96 Fig.4.2.97

Frecvenţa de tăiere a filtrului, , definită ca fiind frecvenţa la care

modulul amplificării de tensiune scade cu 3 dB în comparaţie cu modulul amplificării la frecvenţă zero, H0, se deduce din relaţia:

şi se obţine ωT = ω0, adică egală cu pulsaţia (frecvenţa) caracteristică a filtrului.Cel mai simplu circuit care are o comportare de FTS este desenat în

fig.4.2.97 fiind realizat cu o rezistenţă, R şi cu o capacitate, C.Funcţia de transfer se deduce imediat observând că tensiunea de ieşire se

obţine din tensiunea de intrare printr-un divizor de tensiune:

(4.2.147)

Se deduc parametrii funcţiei de transfer prin identificare cu relaţia (4.2.145):

. (4.2.148)

Pentru obţinerea unor FTS cu funcţie de transfer cu un singur pol dar cu amplificare de tensiune, , se poate folosi un AO în schemă de amplificator de tensiune. Astfel, pentru o schemă de amplificator inversor cu

AO ca în fig.4.2.98, se obţin: iar pentru o schemă de

amplificator neinversor cu AO ca în fig.4.2.99, se obţin: . În

ambele situaţii, cei doi parametri ai filtrului pot fi modificaţi independent iar impedanţa de ieşire a circuitului este foarte mică ceea ce poate permite conectarea cu uşurinţă a unei sarcini care să nu influenţeze performanţele filtrului.

76

Page 11: Filtre Active

Fig.4.2.98 Fig.4.2.99

4.2.8.3.2. FTS cu funcţie de transfer de ordinul 2 (cu doi poli)

Forma generală a funcţiei de transfer este reprezentată în relaţia (4.2.149):

, unde: (4.2.149)

- este amplificarea (atenuarea) la frecvenţe înalte; - este pulsaţia (frecvenţa) caracteristică a filtrului;

- Q este factorul de calitate al filtrului; mărimea se numeşte şi

factorul de amortizare al filtrului şi are influenţă mare asupra formei caracteristicilor filtrului.

În cazul unui semnal sinusoidal permanent, funcţia de transfer devine:

(4.2.150)

relaţie din care se deduc caracteristicile de frecvenţă şi de fază ale filtrului sub forma:

(4.2.151)

(4.2.152)

Cele două caracteristici sunt reprezentate în fig.4.2.100 pentru diferite valori ale coeficientului de amortizare (factorului de calitate), la scară dublu logaritmică pentru caracteristica de transfer şi la scară semilogaritmică pentru caracteristica de fază.

Fig.4.2.100

77

Page 12: Filtre Active

Din analiza acestor diagrame, se constată că, la creşterea factorului de calitate, pot apărea supracreşteri în caracteristica de frecvenţă, iar panta acesteia în afara benzii de trecere este cu atât mai amare cu cât factorul de calitate este mai mare; de asemenea, se observă că variaţia fazei în jurul frecvenţei caracteristice este cu atât mai rapidă cu cât factorul de calitate este mai mare, domeniul de valori pe care îl ia diferenţa de fază dintre ieşire şi intrare fiind cuprins între +180o şi 0o.

La o reprezentare asimptotică a caracteristicii de frecvenţă, din fig.4.2.100 se observă că, pentru pulsaţii (frecvenţe) mult mai mari decât pulsaţia (frecvenţa) caracteristică, modulul funcţiei de transfer este constant, iar pentru pulsaţii (frecvenţe) mult mai mici decât pulsaţia (frecvenţa) caracteristică, modulul funcţiei de transfer scade cu -40dB/decadă.

Se pot pune în evidenţă câţiva parametri ai caracteristicii de frecvenţă. Astfel, se poate determina valoarea pulsaţiei (frecvenţei) pentru care se

obţine un maxim al caracteristicii de frecvenţă prin anularea derivatei acesteia în raport cu frecvenţa:

; , (4.2.153)

valoarea aproximativ egală cu pentru valori mari ale factorului de calitate (,valoarea maximă pe care o poate lua modulul funcţiei de transfer se poate

calcula cu relaţia (8.2.151) fiind aproximativ egală cu (pentru valori mari ale lui Q).

Se observă şi faptul că, pentru valori ale lui Q mai mici de ,

caracteristica de transfer nu admite maxim, ceea ce înseamnă că ea este maximum plată pentru această valoarea a factorului de calitate, Q.

Frecvenţa de tăiere a filtrului, adică frecvenţa la care modulul factorului de transfer scade cu 3 dB în comparaţie cu valoarea de la frecvenţe joase se poate determina din relaţia:

, sub forma:

. (4.2.154)

Frecvenţa (pulsaţia) de tăiere a filtrului depinde puternic de factorul de calitate; astfel, pentru Q de valori mici tinde către valoarea , iar

pentru , se obţine chiar frecvenţa (pulsaţia) caracteristică (pentru Q

tinzând către infinit, se obţine, prin trecere la limită în relaţia generală, valoarea ).

În cazul FTS, trebuie să se ţină seama de valoarea finită a frecvenţei de tăiere a AO, f0, care influenţează foarte puternic caracteristica de transfer, aşa cum se vede în fig.4.2.101.

78

Page 13: Filtre Active

4.2.101

4.2.8.2.3. FTS cu funcţie de transfer de ordinul 2 de tipul Salen-Key

Schema de principiu (poate fi şi schemă electrică dacă se adaugă sursele de alimentare ale AO) este reprezentată în fig.4.2.102.

Fig.4.2.102 Fig.4.2.103

La fel ca şi în cazul unui FTJ de tip Salen-Key, în această schemă, AO este folosit într-o schemă de amplificator neinversor cu amplificare finită; astfel, circuitul format din AO şi rezistenţele R’ şi R” se poate echivala cu un amplificator de tensiune cu amplificarea , cu impedanţă de intrare foarte mare (ca să nu afecteze circuitul selectiv) şi cu impedanţă de ieşire foarte mică atât pentru a nu afecta circuitul selectiv prin reţeaua de reacţie cât şi pentru a permite cuplarea unor sarcini care să nu afecteze performanţele filtrului.

Folosind acelaşi procedu ca şi în cazul precedent, se obţine funcţia de transfer sub forma:

(4.2.155)

Prin identificare cu relaţia generală (4.2.149), se deduc:- ;

(4.2.156a)

- ; (4.2.156b)

-

; (4.2.156c)În general, şi la proiectarea FTS, se impun performanţele acestora, adică

frecvenţa de tăiere, atenuarea în banda de atenuare, supracreşterea admisă în banda de trecere şi amplificarea în banda de trecere. Pentru calculul elementelor schemei se vor folosi relaţiile (4.2.156) ţinând seama şi de relaţiile deduse anterior pentru frecvenţa de tăiere (4.2.154) şi supracreşterea din banda de trecere.

O importanţă deosebită în proiectare are senzitivitatea performanţelor la valorile componentelor şi dispersia de fabricaţie a acestora, ceea ce impune realizarea unui compromis prin diferite metode de proiectare.

O variantă a acestui circuit cu amplificare unitară în banda de trecere este desenată în fig.4.2.104.

79

Page 14: Filtre Active

Fig.4.2.104Cu valorile rezistenţelor şi capacităţilor din circuit, se obţin parametrii:

; ; ; .

4.2.8.3.4. FTS cu funcţie de transfer de ordinul 2 cu reacţie multiplă

O schemă de FTS în care AO este folosit ca un amplificator cu amplificare infintă în buclă deschisă este reprezentată în fig.4.2.105, în care reacţia negativă multiplă se realizează atât prin capacitatea C2 cât şi prin rezistenţa R2.

Fig.4.2.105

Amplificarea în banda de trecere a acestui circuit va fi dată de raportul a două capacităţi, ceea ce înseamnă că va fi mai puţin precisă şi stabilă, iar utilizarea a trei capacităţi este mai puţin economicoasă.

4.2.8.4. Filtre trece bandă (FTB)

4.2.8.4.1. Funcţia de transfer de ordinul 2 pentru un FTB

Funcţia de transfer a unui FTB este de cel puţin ordinul 2, întrucât se poate considera că un astfel de filtru este format dintr-un FTJ şi dintr-un FTS. Aşadar, în cazul general, cel mai simplu, funcţia de transfer va fi de forma din relaţia (4.2.157):

(4.2.157)

unde:- este pulsaţia (frecvenţa) centrală, de acord, de rezonanţă;- este amplificarea la frecvenţa de rezonanţă;- Q este factorul de calitate al circuitului rezonant.Pentru un semnal sinusoidal permanent, funcţia de transfer se poate scrie:

(4.2.158)

Modulul funcţiei de transfer şi defazajul dintre intrare şi ieşire vor fi:

80

Page 15: Filtre Active

; (4.2.159)

Reprezentarea grafică, pentru diferite valori ale factorului de calitate, a celor două funcţii este dată în fig.4.2.106.

Fig.4.2.106

Revenind la relaţia (4.2.159), factorul

(5.2.160)

se numeşte grad de distorsiuni armonice şi se poate prelucra în felul următor:

, unde s-a făcut notaţia

şi se presupune că , adică se studiază variaţia acestei funcţii numai în jurul frecvenţei de rezonanţă.

Modulul gradului de distorsiuni armonice este:

(4.2.161)

iar reprezentarea lui grafică este dată în fig.4.2.107.

Fig.4.2.107

Pentru determinarea benzii de trecere a filtrului se vor determina frecvenţele şi pentru care modulul gradului de distorsiuni armonice se reduce cu 3 dB faţă de valoarea maximă, aşa cum se arată în fig.4.2.107.

81

Page 16: Filtre Active

Rezultă:

, de unde: .

Ca urmare, banda de trecere a filtrului va fi:

. (4.2.162)

Se observă importanţa deosebită pe care o are factorul de calitate în privinţa lărgimii benzii de trecere a filtrului trece bandă.

4.2.8.4.2. FTB cu poli separaţi

În fig.4.2.108 este reprezentat un FTB realizat cu un filtru trece sus (grupul C2, R2) şi cu un filtru trece jos (grupul C1, R1).

Fig.4.2.108

Funcţia de transfer a circuitului se deduce plecând de la expresia amplificării unui amplificator inversor cu AO sub forma:

(4.2.163)

ceea ce reprezintă o funcţie de transfer corespunzătoare unui FTB. Dependenţa strictă între parametrii filtrului face ca acest circuit să nu fie suficient de performant.

4.2.8.4.3. FTB cu reacţie multiplă

Schema unui FTB care utilizează un AO cu amplificare de tensiune infinită este dată în fig.4.2.109.

82

Page 17: Filtre Active

Fig.4.2.109 Fig.4.2.110

Se desface bucla de reacţie şi se obţine circuitul echivalent din fig.4.2.110. Având în vedere că la intrarea AO este un punct virtual de masă (tensiune nulă faţă de masă şi nu se absoarbe curent spre masă), se face o echivalare a grupului format de tensiunile v0 (prin C1) şi vi (prin R0) şi apoi se scrie că suma curenţilor în nodul inversor al AO este nulă. Rezultă:

(4.2.164)

Dacă se notează , relaţia (4.2.164) se poate transforma astfel:

, sau:

, de unde:

(4.2.165)

Comparând cu relaţia de referinţă (4.2.157), se deduc parametrii FTB:

; (4.2.166)

, (4.2.167)

de unde :

; (4.2.168)

. (4.2.169)

Banda la 3 dB va fi dată de relaţia:

. (4.2.170)

83

Page 18: Filtre Active

Din punct de vedere al senzitivităţii circuitului, soluţia optimă este pentru cazul în care C1 = C2 = C. În această situaţie, parametrii circuitului vor fi:

; ; ; . (4.2.171)

Relaţiile precedente prezintă o serie de avantaje ale acestui filtru. În cazul proiectării unui FTB, se vor impune, în mod obişnuit, parametrii

H0, ω0 şi B (banda de trecere). Capacitatea C se alege în funcţie de domeniul de frecvenţe în care funcţionează circuitul. Apoi, din expresia benzii de trecere se calculează rezistenţa R2, din expresia amplificării la frecvenţa de rezonanţă se deduce rezistenţa R0 iar din expresia frecvenţei de rezonanţă se deduce rezistenţa R1. Se remarcă faptul că acest calcul nu este iterativ, ceea ce permite o acordare uşoară a parametrilor filtrului. În plus, având în vedere variaţia foarte rapidă a fazei în jurul frecvenţei de rezonanţă, se pot folosi figurile Lissajous pentru reglarea frecvenţei de acord a filtrului.

4.2.8.4.4. FTB cu factor de calitate mare

Mărirea factroului de calitate se poate face prin aplicarea unei reacţii de tensiune pozitive. Aceasta se poate realiza, de exemplu, ca în schema din fig.4.2.111, în care reacţia pozitivă este asigurată de divizorul format de rezistenţele R’ şi R”.

Fig.4.2.111

Este evident faptul că se pot concepe şi alte scheme cu AO care să realizeze funcţia de transfer a unui FTB.

4.2.8.5. Filtre rejectoare de bandă (FRB)

4.2.8.5.1. Cazul general

Funcţia de transfer de ordinal 2 a unui FRB este dată în relaţia (4.2.172):

84

Page 19: Filtre Active

(4.2.172)

în care:- H0 este amplificarea la frecvenţe joase şi la frecvenţe înalte, adică în

afara benzii de rejecţie;- ω0 este frecvenţa centrală de rejecţie;- Q este factorul de calitate care stabileşte lărgimea benzii de rejecţie;

- este banda de rejecţie definită la 3 dB.

Reprezentarea grafică a modulului funcţiei de transfer în cazul aplicării unui semnal sinusoidal staţionar este dată în fig.4.2.112.

Fig.4.2.112

4.2.8.5.2. FRB cu două AO

Cea de a doua variantă a relaţiei (4.2.172) sugerează utilizarea unui FTB a cărei ieşire este însumată cu semnalul iniţial. Schema este reprezentată în fig.4.2.113. Semnalul de intrare se aplică la o intrare a circuitului sumator iar la cealaltă intrare se aplică semnalul de la ieşirea FTB care, la frecvenţa de rezonanţă, este în antifază cu semnalul de la intrare.

Fig.4.2.113Tensiunea de la ieşirea circuitului se poate scrie ca o sumă între tensiunea

de intrare (prin rezistenţa R”) şi tensiunea v’ de la ieşirea FTB prin rezistenţa R’. Ca urmare, se poate scrie:

) unde:

(4.2.173)

Prin însumare, rezultă:

(4.2.174)

85

Page 20: Filtre Active

Pentru a avea o comportare de FRB, conform relaţiei fundamentale (4.2.172), este necesar ca, în relaţia (4.2.174), coeficientul lui s de la numărător să fie nul, de unde rezultă relaţia dintre rezistenţele din circuitul de însumare:

(4.2.175)În cazul cel mai des întâlnit, în care cele două capacităţi sunt egale, C1 = C2

= C, se obţine: .

Banda de rejecţie (de oprire) va fi: , axată în jurul frecvenţei (pulsaţiei)

de rejecţie: . Amplificarea totală este determinată de rezistenţa

din reacţia celui de al doilea AO, Ra, care nu intervine în relaţiile care determină forma caracteristicii de frecvenţă.

4.2.8.5.3. FRB cu un singur AO

Se poate realiza un FRB cu un singur AO dacă se foloseşte o buclă de reacţie multiplă şi tensiunea de intrare se aplică simultan pe cele două intrări ale AO pentru a se realiza diferenţa dintre semnalul direct şi cel care este prelucrat de reţeaua selectivă, aşa cum se vede în fig.4.2.114.

Fig.4.2.114 Fig.4.2.115

În fig.4.2.115 este desenat circuitul echivalent obţinut prin întreruperea buclelor de reacţie negativă şi luând în consideraţie faptul că la intrarea neinversoare a AO (şi, deci, şi la intrarea inversoare), prin divizor, se obţine

tensiunea .

Prin superpoziţie, tensiunea de pe borna neinversoare se scrie sub forma:

,

(4.2.176)

86

Page 21: Filtre Active

unde: . (4.2.177)

Relaţia se poate prelucra succesiv astfel:

de unde se deduce:

(4.2.178)

Pentru a avea comportare de FRB este necesar să fie îndeplinită condiţia:

, de unde rezultă: .

În cazul particular în care C1 = C2 = C, rezultă .

Se constată că amplificarea este subunitară şi în banda de trecere, iar acest tip de FRB se recomandă pentru circuite cu un factor de calitate mic.

4.2.8.5.4. FRB cu punte dublu T

Pentru realizarea unui FRB se poate folosi şi o reţea de tipul dublu T într-o schemă ca în fig.4.2.116, în care se foloseşte şi o reacţie pozitivă pentru mărirea factorului de calitate al circuitului.

Fig.4.2.116

După calcule elementare, funcţia de transfer a circuitului se deduce sub forma:

(4.2.179)

De aici, rezultă: ; ; .

Se constată că factorul de calitate al circuitului şi, în consecinţă, banda de rejecţie a circuitului, este funcţie de factorul k, determinat de circuitul de intrare al celui de al doilea AO.

4.2.8.6. Filtre trece tot (FTT)

87

Page 22: Filtre Active

Aceste circuite se caracterizează printr-un modul al amplificării de tensiune constant, indiferent de frecvenţă, dar printr-un defazaj între ieşire şi intrare, dependent de frecvenţă, care constituie mărimea de ieşire a circuitului.

Astfel de circuite pot fi utilizate ca circuite care realizează întârziere constantă a semnalului de la intrare, independentă de frecvenţă, într-un domeniu bine precizat de frecvenţe, sau o variaţie liniară a fazei cu frecvenţa (de asemenea, într-un domeniu precizat al frecvenţelor), sau ca circuite care realizează o dependenţă impusă a fazei în funcţie de frecvenţă, numite şi circuite corectoare de fază, întâlnite, mai des, în circuitele de transmitere a datelor prin linii telefonice.

4.2.8.6.1. FTT cu funcţie de transfer de ordinul 1

Relaţia (4.2.180) reprezintă funcţia de transfer a unui FTT cu un singur pol. În această relaţie, Ho reprezintă amplificarea de tensiune în toată banda de frecvenţe iar ωo este pulsaţia (frecvenţa) la care defazajul între ieşire şi intrare este de 90o .

(4.2.180)

În fig 4.2.117 sunt reprezentate modulul şi faza amplificării de tensiune corespunzătoare funcţiei de transfer (4.2.180), iar în fig.4.2.1118 este dată schema unui FTT cu un singur pol realizat cu un AO..

Fig.4.2.117 Fig.4.2.118

Funcţia de transfer a circuitului se poate deduce imediat sub forma:

(4.2.181)

De aici, se deduce că, pentru R2 = R3, defazajul între ieşire şi intrare va fi:(4.2.182)

iar modulul amplificării de tensiune este 1.Se poate constata cu uşurinţă că, dacă se doreşte obţinerea unui defazaj

între 0o şi 180o, se poate folosi circuitul din fig.4.2.118, iar dacă se doreşte un defazaj care să se modifice între 180o şi 0o se pot schimba poziţiile elementelor C şi R1.

88

Page 23: Filtre Active

4.2.8.4.2. FTT cu funcţie de transfer de ordinul 2

Funcţia de transfer a unui FTT cu doi poli este reprezentată de relaţia (4.2.183):

(4.2.183)

unde: , este amplificarea (în modul) la frecvenţele din afara benzii de rejecţie a filtrului, iar este frecvenţa caracteristică a filtrului.

Modulul funcţiei de transfer şi defazajul dintre ieşire şi intrare sunt reprezentate în fig.4.2.119.

Fig.4.2.119

O schemă caracteristică pentru această funcţie de transfer este aceea din fig.4.2.120 în care semnalul de la intrare se aplică direct (prin divizor de tensiune) pe borna neinversoare şi printr-un circuit selectiv pe borna inversoare a AO.

Fig.4.2.120

Funcţia de transfer a circuitului este identică cu funcţia de transfer a circuitului din fig. 4.2.114, adică:

(4.2.184)

Prin identificare cu relaţia (4.2.183) rezută condiţia:

, de unde, dacă este îndeplinită

condiţia: C1 = C2, rezultă: .

4.2.8.7. Filtre cu variabile de stare (FVS).

Aceste filtre pot asigura simultan ieşiri pentru mai multe tipuri de filtrare, adică FTJ, FTB şi/sau FTS. Schema completă a unui astfel de filtru este reprezentată în fig. 4.2.121, în care tensiunile de la ieşirile celor trei AO sunt notate cu , , corespunzătoare funcţiilor de transfer realizate.

89

Page 24: Filtre Active

Fig.4.2.121

Primul AO este comandat atât pe intrarea inversoare cât şi pe intrarea neinversoare iar celelalte două AO sunt conectate ca integratoare, astfel încât se pot scrie următoarele relaţii pentru tensiunile de ieşire ale celor trei AO:

(4.2.185)

(4.2.186)

. (4.2.187)

(4.2.188)

(4.2.189)

Se constată că se realizează funcţiile de transfer ale celor trei tipuri de filtre cu acelaşi circuit. Parametrii care caracterizează filtrele, frecvenţa caracteristică, amplificarea în banda de trecere şi factorul de calitate sunt aceeaşi pentru cele trei filtre. Şi aici poate avea influenţă banda de trecere finită a AO.

Se poate realize o variantă simplificată în care la ieşiri se obţin funcţii de transfer corespunzătoare FTJ şi FTB, ca în fig.4.2.122.

Fig.4.2.122

Cu notaţiile din figură, se pot scrie următoarele relaţii:

; (4.2.190)

. (4.2.191)

Se deduc tensiunile la cele două ieşiri sub forma:

; . (4.2.192)

Parametrii celor două filtre vor fi:

90

Page 25: Filtre Active

.

În cazul în care este necesar să se realizeze şi un filtru rejector de bandă în această variantă se poate folosi schema din fig.4.2.123, derivată din schema din fig.4.2.121, în care se vor lua , iar rezistenţele R8 şi R10 vor fi deasemenea egale.

Fig.4.2.123

4.2.8.8. Filtre cu parametri controlaţi

De multe ori este necesar ca parametrii filtrelor să poată fi controlaţi (reglaţi) electronic. Controlul se poate face atât în ceea ce priveşte frecvenţa caracteristică a filtrului cât şi pentru factorul de calitate (coeficientul de amortizare) şi pentru amplificarea în banda de trecere.

Controlul electronic se poate face în mai multe moduri:- digital, cu cod binar aplicat unui convertor D/A cu care se modifică

constantele circuitului;- printr-o tensiune analogică respectiv printr-un multiplicator analogic

folosind un tranzistor cu efect de câmp ca rezistenţă controlabilă prin tensiune;- modulare prin frecvenţă sau factor de umplere a unor impulsuri folosind

tehnica comutării capacităţilor.Varianta cea mai potrivită este aceea cu variabile de stare în care controlul

se face prin modificarea electronică a constantelor de timp ale integratoarelor deoarece au ieşiri diferite pentru mai multe tipuri de funcţii de transfer şi pentru că frecvenţa caracteristică şi factorul de calitate pot fi reglaţi independent.

O schemă de principiu este prezentată în fig.4.2.124, în care se folosesc două integratoare controlate şi un circuit sumator realizat cu primul AO.

Fig.4.2.124

Tensiunile de la ieşirile celor trei AO se pot scrie în felul următor:

; ; , (4.2.193)

şi se deduc funcţiile de transfer pentru cele trei filtre:

(4.2.194)

(4.2.195)

91

Page 26: Filtre Active

(4.2.196)

Pentru toate cele trei filtre sunt valabile relaţiile:

. (4.2.197)

Există mai multe posibilităţi de modificare a parametrilor filtrelor. Astfel, dacă se modifică T1 şi T2 se modifică ωo dar nu se modifică Ho; dacă se modifică simultan T1 şi T2 şi proporţional, se modifică ωo dar nu se modifică factorul de calitate iar dacă se modifică numai T2, se modifică ωo dar nu se modifică factorul

(banda de trecere pentru FTB).

Controlul constantei de timp de integrare pentru un integrator cu AO se poate face conform schemei din fig. 4.2.125, în care se foloseşte un multiplicator analogic.

Fig.4.2.125

Tensiunea de la ieşirea multiplicatorului analogic este proporţională cu produsul analogic al celor două tensiuni de intrare, . Pe una din intrări se aplică tensiunea de comandă, vcom, iar pe cealaltă intrare se aplică tensiunea de

la ieşirea unui integrator cu AO, adică .

Tensiunea de ieşire va fi:

.

(4.2.198)

Constanta de timp a integratorului este , dependentă de tensiunea

de comandă (cu tensiune de comandă negativă pentru a avea un integrator neinversor).

Este evident faptul că, în realizarea funcţiilor de transfer controlabile, intervin erorile de integrare prezentate anterior precum şi erorile de neliniaritate ale multiplicatorului analogic.

Un exemplu de FTJ controlat în tensiune este reprezentat în fig.4.2.126.

4.2.126

Funcţia de transfer a circuitului se deduce uşor sub forma:

92

Page 27: Filtre Active

. (4.2.199)

O altă posibilitate de control al constantei de timp a unui integrator este de a înlocui rezistenţa de integrare a unui integrator obişnuit cu AO cu un generator de current comandat de un convertor DAC., aşa cum se vede în fig.4.2.127.

fig.4.2.127

Tensiunea de la ieşirea circuitului se poate scrie sub forma:

, obţinându-se o constantă de timp controlabilă

prin codul numeric aplicat convertorului digital/analogic, .

Controlul parametrilor filtrelor active se poate face şi prin tehnica comutării capacităţilor. În principiu, se simulează componente electronice (de ex. rezistenţe) prin comutarea rapidă a unei sarcini electrice într-o sau dintr-o capacitate. Această tehnică se foloseşte în circuite VLSI pentru că prin această tehnologie este posibilă integrarea funcţiilor analogice folosind elemente de comutaţie ca TECMOS şi capacităţi de valoare foarte mică. Deci se pot realiza componente tradiţionale foarte stabile, cu toleranţă mică, cu valori mari ale rezistenţelor şi capacităţilor precum şi inductanţe.

Principiul de funcţionare a acestor circuite este reprezentat prin fig.4.2.128.

Fig.4.2.128

Comutatoarele K1 şi K2 funcţionează în antifază (fiind esenţială evitarea situaţiei în care ambele sunt în conducţie.

În cazul în care comutatorul K1 este închis şi comutatorul K2 este deschis, capacitatea C se încarcă la tensiunea v1 de la intrare.

Dacă cele două comutatoare îşi schimbă starea, adică se închide comutatorul K2 şi se deschide comutatorul K1, se transferă o anumită cantitate de sarcină de la capacitatea C, având în vedere diferenţa de potenţial dintre cele două borne, adică:

. (4.2.200)

93

Page 28: Filtre Active

Dacă sarcina este comutată de la V1 la V2 cu frecvenţa fclock, atunci valoarea medie a curentului care curge între V1 şi V2 va fi: I = fclock ΔQ = fclock C (V1-V2), adică se obţine o rezistenţă,

, (4.2.201)

cu valoarea controlată digital (prin fclock).Această metodă are o serie de avantaje: se pot elimina rezistenţele

utilizate în circuitele integrate liniare, tehnologie în care rezistenţele se realizează cu toleranţe mari, cu coeficient termic mare şi cu o arie ocupată mare; se pot simula caracteristici ale circuitelor analogice cum ar fi frecvenţa caracteristică a unui filtru; proprietăţile circuitelor pot fi făcute dependente de rapoarte de capacităţi prin care se asigură o toleranţă de 0,1% şi o mai bună stabilitate la variaţii ale temperaturii şi, ceea ce este foarte important, se pot simula valori mari de rezistenţe (de exemplu, pentru C=5pF, f = 1kHz, se obţine R=200 MΩ).

Un exemplu de utilizare a acestei tehnici se poate vedea în fig..4.2.129, în care tensiunea de ieşire va fi:

. (4.2.202)

4.2.129

4.2.8.9. Filtre de ordin superior

Aşa cum s-a văzut, cu funcţii de ordin mic este greu să se obţină caracteristici ale filtrelor active care să se apropie de cazul ideal.

Se pot realiza filtre de ordin superior, în care gradul funcţiei de transfer este mai mare decât 2, cu ajutorul cărora se pot obţine caracteristici cât mai apropiate de cazul ideal. În toate aceste situaţii trebuie luate în considerare erorile accceptate în banda de trecere, atenuarea minimă în banda de atenuare precum şi valoarea maximă a zonei de trecere. În principiu, teoretic, se demonstrează, că dacă ordinul filtrului creşte, se pot realiza, în condiţii cât mai bune cele trei condiţii, dar vor creşte complexitatea circuitelor, dimensiunile acestora şi costul lor, iar din punct de vedere electric, apar diferenţe de faze între componentele spectrale ale semnalelor precum şi o întârziere suplimentară a răspunslui la un semnal de intrare.

Există mai multe variante de aproximare a funcţiilor de transfer cu mai mulţi poli, dintre care vor fi prezentate, pe scurt, doar trei dintre acestea.

- filtre de tip ButterworthPentru aceste filtre, se realizează monotonicitate în banda de trecere cu o

atenuare mai mică în afara benzii de trecere. Caracteristica de transfer, transpusă în domeniul frecvenţă, este de forma:

94

Page 29: Filtre Active

, (4.2.203)

reprezentată în fig.4.2.130.a, iar răspunsul la un semnal treaptă al unui astfel de circuit, pentru diferite valori ale lui n în fig.4.2.130.b.

Fig.4.2.130.a Fig.4.2.130.b

Se constată că atenuarea în afara benzii, este cu atât mai mare cu cât n este mai mare (adică n 20 dB/dec), dar şi întârzierea răspunsului la un semnal treaptă este mai mare. În practică, se realizează un compromis între aceste două caracteristici ale circuitului.

- filtre de tip CebâşevPentru aceste filtre se obţine o atenuare foarte puternică în afara benzii de

trecere iar în banda de trecere se obţine o neuniformitate cu o valoare dependentă de ordinal filtrului.

Caracteristica de transfer (în modul) are expresia:

, (4.2.204)

unde:

(4.2.205)

şi este reprezentată în fig.4.2.131; se observă că se obţine o atenuare puternică în afara benzii de trecere dar şi o amplificare nemonotonă în banda de trecere având un riplu (valoarea maximă a variaţiilor amplificării în bandă) cu mărimea:

.

În condiţii normale, se acceptă un riplu cuprins între 0,1 şi 3 dB, în funcţie de aplicaţie. Rezultă şi o neliniaritate puternică a fazei în funcţie de frecvenţă care se poate compensa cu FTT.

- filtre de tip BesselAceste filtre asigură o liniaritate a variaţiei fazei cu frecvenţa în vederea

obţinerii unor întârzieri constante în funcţie de frecvenţă. Răspunsul acestui

95

Page 30: Filtre Active

circuit la un impuls nu are supracreşteri, aşa cum se vede şi în fig.4.2.132, dar răspunsul în bandă are neuniformităţi.

Fig.4.2.131 Fig.4.2.132

96