SEDE PUERTO MONTT ESCUELA DE PEDAGOGÍA EN …

SEDE PUERTO MONTT

ESCUELA DE PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICAS

PROPUESTA DE UNA SECUENCIA METODOLÓGICA PARA LA

ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS

COMPLEJOS.

Tesis para optar al Título de Profesora de Matemáticas

Profesor Patrocinante: Dr. Francisco Cala Rodríguez

Profesor (a) Co-Patrocinante: Paola Mendoza Bello

YOURMERY MARIBETH SOTO BARRÍA

Puerto Montt, Chile

2015

ii

HOJA DE CALIFICACIÓN En Puerto Montt, el ____ de ___________ de _____, los abajo firmantes dejan

constancia que la estudiante Yourmery Maribeth Soto Barría, de la carrera de

Pedagogía en Matemáticas ha aprobado la tesis para optar al título de Profesor

de Matemáticas, con una nota de ____.

Dr. Francisco Cala Rodríguez

Ing. Paola Mendoza Bello

Dr. Julio Sáez Gallardo

INFORME TRABAJO DE TITULACIÓN

Dr.

Francisco Cala Rodríguez

Director Escuela Pedagogía en Matemáticas

Universidad Austral de Chile

Sede Puerto Montt

Tengo el agrado de remitir a Ud. el Informe de la Tesis “Propuesta de una secuencia

metodológica para la enseñanza y el aprendizaje de los números complejos”, elaborada

por la alumna Yourmery Maribeth Soto Barría, de la Carrera de Pedagogía en

Matemáticas.

1.- Concordancia entre el desarrollo del tema y los objetivos propuestos.

Existe una total correspondencia entre los aspectos indicados.

Nota: 7.0 Ponderación: 20%= 1,4

2.- Fundamentos teóricos y metodológicos.

Los fundamentos teóricos y metodológicos del tema trabajado por el estudiante,

poseen una base histórica sustancial, de acuerdo a los estudios realizados en esta

materia y la propuesta metodológica se ha realizado considerando sus posibilidades

reales de implementación.


3.- Capacidad de análisis y síntesis.

A juicio de este evaluador, la estudiante demuestra capacidad de análisis y síntesis.


4.- Utilización de fuentes bibliográficas y capacidad de enfoque personal.

Se utilizan las fuentes bibliográficas fundamentales en la contemporaneidad en que se

realiza este trabajo y se observa con claridad el enfoque personal de la estudiante.


5.- Manejo del lenguaje y presentación formal (redacción). Incluye el seguimiento de

la pauta de presentación indicada por la Dirección de la Escuela.

La estudiante utiliza un lenguaje sencillo; pero a la vez riguroso, en correspondencia

con las características del tema, dada su profundidad científica y sus niveles de

complejidad respecto a los contenidos que se tratan.


6.- CALIFICACION PONDERADA FINAL: 7.0

Atentamente,

…………………………………………………………………………………..

Dr. Francisco Cala Rodríguez

Profesor Patrocinante

Puerto Montt, 28 de diciembre de 2015.


Dr.




Sede Puerto Montt




Matemáticas.











El trabajo presenta leves detalles ortográficos, pero persistentes.



Atentamente,

…………………………………………………………………………….

Ing. Paola Mendoza Bello

Profesora Co-patrocinante



Dr.




Sede Puerto Montt




Matemáticas.


Este punto ha sido cumplido en forma parcial por la Srta. Soto. Algunos objetivos

específicos como el número 1 y 2 no se encuentran totalmente desarrollados en el

cuerpo del trabajo.

Nota: 5.5 Ponderación: 20%= 1.1


La autora de la monografía sustenta teóricamente su trabajo en un marco referencial

adecuado y pertinente. Sin embargo, no aporta una revisión del estado del arte relativo

al estudio empírico de su objeto de estudio, sobre todo sustentado en investigaciones

actuales en la realidad educacional chilena. En lo metodológico, el diseño y las técnicas

de investigación propuestos son muy adecuadas para la consecución de los objetivos

planteados.



La propuesta didáctica desarrollada por la autora contiene un tratamiento analítico

muy riguroso y sistemático, lo que la convierte en un producto pedagógico interesante

para los profesores de matemáticas en ejercicio. En las conclusiones realiza una

adecuada labor de síntesis.



Las fuentes bibliográficas han sido las suficientes para la sustentación documental del

trabajo de tesis de la autora. El enfoque personal , en primer lugar, en este trabajo está

en haber elegido un tema de estudio que emerge del diagnóstico de la realidad escolar

en la cual la autora realiza su práctica profesional y, en segundo lugar, radica en la

propuesta de secuencias didácticas con fines de abordaje de los números complejos.




La autora usa un lenguaje sencillo, sin muchos tecnicismos. Lo anterior, le otorga

agilidad y comprensibilidad al texto. Sin embargo, se observan algunos errores de

ortografía acentual y de redacción textual, erratas que serán comunicadas a la autora

para su enmienda. Por otro lado, sigue en forma adecuada la Pauta de presentación de

tesis indicada por la Escuela.



Atentamente,

Dr. Julio Sáez Gallardo

Profesor Informante


ix

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a Dios por bendecirme con una familia maravillosa, también

quisiera agradecer a mi novio y a mi hija por toda la paciencia que me han

tenido apoyándome y dándome todas las fuerzas para seguir adelante.

Agradecer, también a los tres maestros que han participado en la

realización de este trabajo, al Dr. Francisco Cala Rodríguez, al Dr. Julio Sáez

Gallardo y a la Ing. Paola Mendoza Bello.

Muchas gracias por todo su Apoyo y Colaboración.

10

Tabla de contenido

Resumen .......................................................................................................... 12

Abstract ........................................................................................................... 12

Introducción .................................................................................................... 13

Capítulo I: Antecedentes del Problema ........................................................ 15

Formulación del problema ........................................................................................ 16

Justificación e importancia de la investigación ......................................................... 17

Delimitación y Limitaciones ...................................................................................... 18

Estado del arte ......................................................................................................... 19

Preguntas de Investigación ...................................................................................... 20

Objetivo General ...................................................................................................... 21

Objetivos Específicos ............................................................................................... 21

Capítulo II: Marco Teórico ... ........................................................................... 22

Las Matemáticas y Los Números Complejos ............................................................ 23

Capítulo III: Metodología ................................................................................ 30

Tipo de investigación................................................................................................ 31

Metodología elegida ................................................................................................. 31

Paradigmas y perspectivas filosóficas que las sustentan ......................................... 32

Descripción de las técnicas e instrumentos .............................................................. 32

Criterios de credibilidad utilizados ............................................................................ 33

Capítulo IV: Análisis y Discusión de Resultados ......................................... 34

Exposición de resultados por categorías .................................................................. 35

Análisis de los resultados ......................................................................................... 35

Secuencia Metodológica .......................................................................................... 37

Discusión de los resultados en base al marco teórico .............................................. 71

Capítulo V: Conclusiones y Sugerencias ..................................................... 72

Bibliografía ...................................................................................................... 74

11

Anexo A1 ......................................................................................................... 76

Trabajo en el Laboratorio de computación ............................................................... 76

Glosario ........................................................................................................... 80

12

Resumen

En esta investigación se entrega a los docentes una secuencia metodológica para la introducción del Conjunto de los Números Complejos y el posterior desarrollo del Dominio de los números Complejos en la enseñanza media. El resultado de la investigación se espera sea una herramienta que contribuya a subsanar la carencia de metodologías dispuestas para la enseñanza en los niveles de educación media con relación a los conjuntos numéricos. Para cumplir con este objetivo se elaboró una secuencia de 15 clases correspondiente a la primera Unidad de Aprendizaje: “Números Complejos” en Tercer año de Educación Media. Palabras Claves: Números Complejos, Secuencia Metodológica, Metodologías.

Abstract

This research provide a methodological sequence for introducing and developing the complex number domain in Secondary School. It is expected that the result of the research will become a tool to help overcome the lack of methodologies for teaching Mathematics, particularly, in the case of set of complex numbers in Secondary School. For achieving this objective, a sequence of 15 classes corresponding to the first Learning Unit was developed: The "Complex Numbers", in the third year of Secondary School. Keywords: Complex numbers, Methodological sequence, Methodologies.

13

Introducción

En la diversa revisión bibliográfica se ha encontrado que la formalización

de los distintos conjuntos numéricos se desarrolló durante largos periodos en la

historia, llevándose a cabo luego de la unión de trabajos de destacados

representantes matemáticos.

En la enseñanza de las matemáticas nos encontramos con los distintos

conjuntos numéricos desplegados a lo largo de la educación básica y media los

cuales se ven introducidos y desarrollados en su totalidad. Dentro de estos

conjuntos numéricos nos encontramos en la educación chilena con el conjunto

de los números complejos, siendo el último presentado a los alumnos, que se

estudia en el tercer nivel de enseñanza media.

Los docentes del departamento de matemáticas de los establecimientos

en donde se cursan estos niveles, desarrollan los contenidos con pocos

recursos metodológicos que apoyen el desarrollo de sus clases; implicando

escasos logros de aprendizaje en los estudiantes.

Por lo tanto se hace presente la necesidad de crear nuevas herramientas

que faciliten la labor docente mejorando el aprendizaje en los alumnos.

Esta ha sido una de las razones por las que se ha seleccionado este

tema para desarrollar la investigación y proponer una secuencia metodológica

para la introducción y la enseñanza-aprendizaje de los números complejos,

pudiendo entregar a los docentes como producto resultante de esta

14

investigación una guía de apoyo para la introducción y posterior desarrollo del

conjunto de los números complejos en el tercer nivel de la enseñanza media.

15

Capítulo I: Antecedentes del Problema

16

Formulación del problema

El desarrollo de la epistemología de las matemáticas nos ha dado pautas

e incluso modelos metodológicos de enseñanza de los conjuntos numéricos

para la educación media, con miras a optimizar la transmisión de conocimientos

en la enseñanza de las matemáticas en general. Sin embargo, en el caso

particular del conjuntos de los números complejos, se ha observado durante el

transcurso de los diferentes tipos de prácticas que ha tenido la carrera-

observación, vinculante y pre-profesional- y en conversaciones con docentes en

ejercicio de la enseñanza de las matemáticas, que la utilización de los métodos

conocidos no han sido eficientes para la comprensión de conceptos y el

desarrollo de habilidades en el caso del conjuntos de los números complejos.

En la actualidad, a los profesores se les entrega un texto escolar como

guía en cada nivel educativo en el cual se proporcionan orientaciones para

introducir y desarrollar los temas de cada unidad. También se entregan algunos

enlaces de apoyo en internet para el desarrollo de las clases. Esta guía

didáctica para el docente, entrega sugerencias para iniciar el camino de la

enseñanza-aprendizaje de las nuevas unidades a los alumnos.

En el libro de tercero medio entregado por el Ministerio de Educación, en

la primera unidad se aborda un nuevo ámbito numérico para los alumnos. Esta

unidad recibe el nombre de “Números Complejos”, iniciando con el contenido de

unidad imaginaria, para luego trabajar con los números complejos y su

operatoria correspondiente.

17

La metodología aplicada por los docentes para la presentación de los

primeros conjuntos numéricos se ve facilitada dado que la existencia de éstos

partió de necesidades humanas básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir,

operatorias que se presentan en los hogares en el pago de cuentas, en las

compras mensuales de comestibles y los alumnos las pueden identificar de

manera más concreta y didáctica. Pero al contrario, el conjunto de los números

complejos surge de la necesidad de dar respuesta a problemas propios del

cálculo avanzado que se ven desarrollados en áreas como la aerodinámica, en

los circuitos eléctricos o en señales electrónicas.

Justificación e importancia de la investigación

Los conjuntos numéricos referidos a los números enteros, racionales,

irracionales y reales, se ven regidos por operaciones aritméticas que son

compatibles entre ellas, pero cuando surge la necesidad de solucionar

problemas que ya estos conjuntos no pueden resolver, como es el caso de

resolver la ecuación �� + 1 = 0 ó calcular el valor de una raíz cuadrada con una

cantidad subradical negativa. Se produce la necesidad de extender el campo de

los conjuntos numéricos, procurando que las operaciones definidas hasta el

momento sean compatibles con este nuevo campo de manera que la

ampliación de los conjuntos, permita tal consistencia que se mantenga toda la

estructura algebraica de los conjuntos numéricos ya estudiados. Por ejemplo, el

conjunto de los números racionales que aparece frente a la necesidad de

agrupar divisiones de dos o más números enteros se produce de tal manera

que el conjunto de los números enteros resulta ser un subconjunto en el que

todo elemento se puede expresar de esa forma y, por tanto, verificar que un

número entero pertenece a un subconjunto de los números racional.

18

Por lo tanto, ésta investigación está basada en la elaboración de la

propuesta de una secuencia metodológica que ofrezca una respuesta adecuada

a las dificultades observadas en la introducción y el desarrollo de habilidades en

el trabajo con el conjunto de los números complejos en la enseñanza media,

que permita a los alumnos conectar los números complejos con los conjuntos

numéricos estudiados en los niveles anteriores. Así, el docente encontrará en

esta propuesta, una herramienta apropiada para lograr mejoras en la

enseñanza y el aprendizaje del dominio de los números complejos desarrollado

en el tercer nivel de educación media en Chile.

Delimitación y Limitaciones

La investigación se diseñó para servir como apoyo a la labor docente,

siendo la propuesta de una secuencia metodológica para la enseñanza y el

aprendizaje de la Unidad de los números complejos, en donde se pretende

incorporar una secuencia de clases desde los contenidos básicos hasta los

contenidos más avanzados observados en la Educación Media y que están

presentes dentro de una secuencia de clases en la cual se ve planificada la

primera unidad de tercer año de enseñanza media.

Luego de realizada una revisión bibliográfica en textos, artículos y

documentos de sitos Web, relacionados con la construcción de conocimientos y

la introducción del conjunto de los números complejos en la Enseñanza Media,

hemos concluido que la presente investigación no posee limitaciones.

19

Estado del arte

En trabajos previos (Martínez & Antonio, 2009) se da a conocer una

alternativa para la construcción del significado del número complejo, bajo la

hipótesis de que estos números pueden ser construidos a través del proceso de

convención matemática, utilizado en los llamados “procesos de convección y

articulación matemática” (Martínez, 2005).

Un proceso de convección matemática puede ser entendido como un

proceso de búsqueda de consensos en la comunidad que trabaja en dar

unidad y coherencia a un conjunto de conocimientos. La producción de

consensos es posible debido a que en esta comunidad existe la práctica

de integración sistémica de los conocimientos, es decir, existe una

normativa de la actividad, para relacionar diversos conocimientos y

articularlos en un todo coherente e interrelacionado. Por su naturaleza, esta

práctica se encuentra en el plano de la teorización matemática, entendiendo por

esto, la elaboración de conceptos interrelacionados que intentan describir y

explicar un objeto de estudio, el cual es, en este caso, el sistema de

conocimientos aceptado. Este proceso de síntesis conlleva el surgimiento de

propiedades emergentes no previstas por los conocimientos anteriores

(Martinez, 2003).

A partir de un análisis histórico-epistemológico de la búsqueda de la

solución general de ecuaciones de tercer grado, se afirmó que el significado del

número complejo, en un plano algebraico, puede ser interpretado como

20

elemento unificador entre el grado de la ecuación y sus soluciones (Martínez &

Antonio, 2009).

También en trabajos como “La Enseñanza y el Aprendizaje de los

Números Complejos: Un Estudio en el Nivel Universitario” (Pardo & Gómez,

2007) se reúne información para entregar sugerencias de intervención en las

pautas educativas, en relación con los números complejos, entregando un

modelo de herramienta en donde se pone de manifiesto que los alumnos

presentan dificultades e inconsistencias en el aprendizaje de los números

complejos.

Preguntas de Investigación

Dadas las constataciones referidas al problema de investigación que se

aborda en este trabajo, nos planteamos las siguientes interrogantes a dilucidar

en esta aproximación.

¿Qué características debieran considerarse en una propuesta de

tratamiento metodológico para la introducción y el desarrollo de los números

complejos, de manera que se logre el aprendizaje en los alumnos de Tercero

Medio? ¿Cómo se aborda el trabajo metodológico para el tratamiento de los

números complejos en la enseñanza media? ¿Qué otras áreas de las

matemáticas contribuyen a lograr el aprendizaje riguroso del concepto de

número complejo y el desarrollo de habilidades en su tratamiento educacional?

21

Objetivo General

Construir una propuesta metodológica para la introducción del Conjunto

de los Números Complejos y el posterior desarrollo del Dominio de los números

Complejos en la enseñanza media, a través de la elaboración de una secuencia

de clases correspondiente a la Unidad de Aprendizaje: “Números Complejos” en

Tercer año de Educación Media.

Objetivos Específicos

• Identificar la metodología dispuesta para la enseñanza del conjunto de

los números complejos en la enseñanza media.

• Determinar las diferentes áreas que contribuyen a lograr el aprendizaje

riguroso del concepto de número complejo.

• Elaborar una secuencia didáctica para el abordaje de la primera unidad

de números complejos en Tercer año de la Educación Media.

22

Capítulo II: Marco Teórico

23

Las Matemáticas y Los Números Complejos

Con respecto a la Ley de Educación en Chile (Ley 18.956, Decreto

254),(Ministerio de Educación, 2009), el propósito formativo del sector de

Matemáticas, es enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección

de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del

pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes, sean cuales fuesen

sus opciones de vida y de estudios al final de la experiencia escolar.

Aprender Matemáticas proporciona herramientas conceptuales para

analizar la información cuantitativa presente en las noticias, opiniones,

publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de

comunicación, razonamiento y abstracción e impulsando el desarrollo del

pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática. Además, contribuye a que los y

las estudiantes valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir

estrategias personales para la resolución de problemas y el análisis de

situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad

matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación

y el ajuste de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante

evidencias, la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de

caminos y soluciones.

Las Matemáticas ofrecen un conjunto amplio de procedimientos de

análisis, modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social,

que permite establecer relaciones entre los más diversos aspectos de la

realidad. Estas relaciones son de orden cuantitativo, espaciales, cualitativos y

predictivos.

24

El conocimiento matemático forma parte del acervo cultural de la

sociedad; es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de la

necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los

más variados ámbitos, tanto de las Matemáticas mismas como del mundo de

las ciencias naturales, sociales, del arte y la tecnología; su construcción y

desarrollo es una creación del ser humano, ligada a su historia y a su cultura.

El currículum presente en la educación chilena enfatiza los aspectos

formativos y funcionales de las Matemáticas. Consecuentemente, considera

que el aprendizaje de las Matemáticas debe buscar consolidar, sistematizar y

ampliar las nociones y prácticas matemáticas que los alumnos y alumnas

poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en los

niveles que le precedan.

Se promueve:

• El desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los

y las estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así

profundizar su comprensión acerca de ella

• El desarrollo de la confianza en las capacidades propias para aprender

• La generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de las

Matemáticas

• La apropiación de formas de razonar matemáticamente

• La adquisición de herramientas que les permitan reconocer, plantear y

resolver problemas

25

• El desarrollo de la confianza y la seguridad en sí mismos, al tomar

conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad.

Los aprendizajes y el conocimiento matemático que conforman los Objetivos

Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del sector de Matemáticas,

fueron organizados de acuerdo a una progresión ordenada, en cuatro ejes que

articulan la experiencia formativa de alumnas y alumnos a lo largo de los años

escolares.

El primer eje desarrollado en la Enseñanza Media y que se relaciona con

el aprendizaje de los conjuntos numéricos, es “Números”. Este eje constituye el

centro del currículo matemático para la enseñanza básica y media. Incluye los

aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas,

los diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas

provenientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas y de la matemática

misma.

Organizándose en torno a los diferentes ámbitos y sistemas numéricos,

avanza en completitud, abstracción y complejidad, desde los números naturales

hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se

busca que los alumnos y alumnas comprendan que cada uno de estos sistemas

permite abordar problemas que los precedentes dejaron sin resolver.

Simultáneamente, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra

sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes. Así,

la operación inversa a la suma, motiva la existencia de los negativos y el cero.

El cuociente y la medición, implanta a los números racionales; la extracción de

la raíz cuadrada, motiva la entrada de los números irracionales y con ellos, los

reales, dando paso a la introducción en la enseñanza de los números

complejos. De este modo, se relacionan números, operaciones y campos de

aplicación de las Matemáticas, permitiendo avanzar en el sentido de la

26

cantidad, en el razonamiento matemático y la precisión de la forma en que las

Matemáticas contribuyen a la descripción y comprensión de la realidad.

Considerando la evolución histórica del concepto de número, se

presentan los diferentes conjuntos de números de una manera didáctica en la

Educación, planteando problemas tales, que su solución introduzca a la

construcción de un nuevo conjunto de números que constituya una ampliación

de los anteriores. Esta construcción de los conjuntos numéricos comienza con

el conjunto de los números naturales los que se presentan y desarrollan desde

la Enseñanza Básica.

Durante la Enseñanza Media se presentan distintos problemas que

permiten la extensión de los conjuntos numéricos, por ejemplo, considerando

como “universo numérico” el conjunto de los números naturales ℕ, la ecuación

� + � = con � > desarrollada en cursos de nivel medio, no tiene solución

existente en el conjunto numérico conocido por lo que se debe ampliar al

conjunto ℤ, de números enteros. Luego, la ecuación � ∙ � = con a no divisor

de b no tiene solución en este nuevo conjunto, apareciendo el conjunto ℚ, de

números racionales. Y resulta que el número π (longitud de la

semicircunferencia de radio r =1), o el número √2 (que es la diagonal del

cuadrado de lado l =1), no son números racionales, provocando la ampliación

de los conjuntos numéricos ya conocidos, al conjunto ℚ�, de los números

irracionales, generalizándose con ellos las expresiones algebraicas trabajadas

desde el primer conjunto numérico ocupado en la Educación Básica, formando

así desde el conjunto ℝ de los números reales: de tal modo que el conjunto ℝ

contiene a los conjuntos ℚ y ℚ′ (ℝ ≔ ℚ � ℚ′ ).

Uno de los últimos conjuntos numéricos que se presentan en la

Enseñanza Media es el conjunto ℂ de los números complejos, el que aparece

para dar solución a diferentes problemas a los que el conjunto ℝ no da solución,

27

entre ellos a la ecuación �� + 1 = 0, ocurriendo de este modo, la última

extensión de los conjuntos numéricos y de sus estructuras algebraicas.

Las concepciones epistemológicas de los números complejos, se

caracterizan por cuatro grandes etapas: algebraica, analítica, geométrica y

formal (Pardo & Gómez, 2005).

La etapa algebraica busca representar las primeras apariciones de las

raíces cuadradas de cantidades negativas, la etapa analítica desarrolla la

aceptación y generalización del uso de las expresiones imaginarias utilizando el

trabajo desarrollado con los cálculos infinitesimales.

La etapa geométrica introduce un eje de imaginarios en el plano

cartesiano, que tiene asociado √−1 como unidad perpendicular a 1,

considerando el resultado de la operatoria con los números complejos, como

vectores en el plano. Así, en el plano de los ejes real e imaginario, un vector

queda representado por � + � e � = √−1 actúa como la unidad del eje de

ordenadas, perpendicular al eje de abscisas.

En la etapa formal se entrega una formalización de los números

complejos y se identifican, geométricamente, a través de pares ordenados de

números reales.

El concepto de “número complejo” no surge como una necesidad real del

hombre para conocer y observar el universo; sino de una necesidad puramente

algebraica producto de la abstracción, para lograr la resolución de ciertas

ecuaciones.

28

Si bien el desarrollo de la “Teoría de Números Complejos” y la “Teoría de

Funciones Complejas” tienen en la actualidad numerosas aplicaciones en la

Física y la Ingeniería (por ejemplo, para describir circuitos eléctricos y ondas

electromagnéticas, en la ecuación de onda de Schrödinger, fundamental en la

teoría cuántica del átomo; en el diseño de alas de avión, entre otros).

El primero en introducir los números complejos fue Cardano, quien en el

año 1545 publicó su obra Ars Magna, en la que explica cómo resolver los

diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas.

En 1637, Descartes, en el apéndice “La geometrie” de su obra “Discourse

de la methoda”, afirma: “Ni las raíces verdaderas ni las falsas son siempre

reales; a veces son imaginarias; es decir, mientras que uno puede imaginar

tantas raíces de cada ecuación como grado haya asignado, no siempre hay una

cantidad definida que corresponda a cada raíz imaginada.”

Descartes bautiza como “imaginarias” las expresiones que contienen

raíces cuadradas de números negativos. Pero a pesar de que los algebristas

parecen dispuestos a admitir la existencia de éstos, lo cierto es que, los

números “imaginarios” tienen muchos detractores.

El primer gran paso hacia la instalación definitiva de los números

complejos en las Matemáticas se debió a Euler (1707–1783). Este definió un

nuevo número, al que llamo i (imaginario): � = √−1 y le dio el mismo estatus de

existencia que a los números reales. Del número i, afirmó que no era ni mayor,

ni menor, ni igual, a ningún número real, y definió las reglas de suma y

multiplicación de este número que hoy conocemos y utilizamos con extrema

frecuencia y seguridad. En particular, la conocida expresión �� = −1.

29

Como ocurre con cualquier concepto matemático avanzado, hay una

distancia considerable entre la manera en que estos conceptos han

evolucionado en la comunidad matemática durante un largo período histórico, la

manera en que son formalizados y presentados en los procesos habituales de

enseñanza y la manera en que se organizan y estructuran cognitivamente

(Romero & Rico, 1999).

Si pretendemos que el concepto de número complejo se asimile de forma

significativa, hemos de contar con un proceso cognitivo adecuado, ya que los

alumnos han de integrar las diferentes operatorias del conjunto numérico, por

ejemplo, su forma, su representación en el plano cartesiano o su módulo, para

esto se deben entregar a los alumnos y docentes diversas herramientas para la

entrega de enseñanzas y la captación de aprendizajes. Estableciendo

secuencias metodológicas que favorezcan el estudio de los conjuntos

numéricos, en particular, el conjunto de los números complejos.

En la actualidad el Ministerio de Educación se limita a entregar

herramientas a los docentes, basados en los contenidos mínimos obligatorios

dispuestos en los planes y programas de estudios de los distintos niveles de

Enseñanza Media, siguiendo el método de la “Escuela activa”.

En el curso de tercer año de Enseñanza Media la primera unidad de

números complejos es entregada a los alumnos siguiendo una metodología de

razonamiento deductiva, organizando la materia con base en una lógica

tradicional y entregando los contenidos desde lo más sencillo de comprender a

los más complejo de trabajar.

Las clases se ven desarrolladas únicamente por medio del lenguaje

escrito u oral, acentuándose en la salas de clases la actividad del profesor,

permaneciendo los alumnos en forma pasiva.(Mineduc, 2015).

30

Capítulo III: Metodología

31

Tipo de investigación Este trabajo se desarrollo debido a la actual carencia de propuestas

metodológicas para la introducción y posterior desarrollo del conjunto de los

números complejos en el tercer nivel de la Educación Media

Siendo esta la problemática a resolver, el tipo de investigación presente en el

trabajo es exploratoria, no encontrándose variado material de apoyo en la

elaboración de la propuesta.

Metodología elegida

En la secuencia metodológica se desarrolla el Método de la “Escuela

Activa” que utiliza la suma de varios métodos de enseñanza para un

aprendizaje optimo, este método de enseñanza se ha ido adaptando e

incorporando desde el siglo XV (Educarchile, 2013).

El Método de la “Escuela Activa” o “Pedagogía Progresista” instituido por

John Dewey (1859- 1952), del cual no solo su contribución son escritos, sino la

creación de un compromiso practico, moral y ciudadano, consagrado en la

reforma social y educativa. Él demuestra que se puede compatibilizar el trabajo

teórico e investigar con la practica social lucida y abierta (Giménez, 2015).

Este método permite a los establecimientos trabajar los contenidos desde

distintos puntos de vista o utilizando múltiples metodologías, éstas, a su vez, se

dividen en métodos, en cuanto a forma de razonamiento, a la organización de la

materia, a su relación con la realidad, a las actividades externas del alumno, a

sistematización de conocimientos y a la aceptación de lo enseñado.

32

Los métodos utilizados en la secuencia metodológica son el Método

inductivo, el Método basado en la lógica de la tradición o de la disciplina

científica, el Método simbólico o verbalístico, el Método pasivo, entre otros. Los

cuales permiten a los docentes incorporar esta nueva unidad pedagógica

utilizando distintos puntos de vista para lograr los aprendizajes esperados.

Paradigmas y perspectivas filosóficas que las sustentan

Esta propuesta metodológica se basa en un paradigma interpretativo, ya

que el objetivo principal del trabajo es buscar y profundizar el conocimiento y

comprensión que poseen los alumnos con respecto a los conjuntos numéricos

para luego introducir y desarrollar de mejor manera un nuevo conjunto

numérico.

Descripción de las técnicas e instrumentos

Para establecer la creación de la secuencia metodológica se realizó una

revisión bibliográfica haciendo referencia a diversas propuestas, en particular, a

propuestas metodológicas para la construcción de conocimientos.

Se investigo en que periodo de la Educación se presenta el contenido de

Números Complejos, presentándose la necesidad de estudiar la literatura

existente al respecto y la literatura que se entrega por el Ministerio de

Educación a los docentes.

Se investigo el Marco Curricular existente, examinando los Planes de

Estudios y considerando los Mapas de Progresos se realizo la búsqueda de

estrategias metodológicas para el adecuado trabajo con los alumnos en el

desarrollo de la primera unidad del Tercer nivel de Educación Media.

33

Indagando en la experiencia docente y utilizando la experiencia adquirida

en el desarrollo de las prácticas se crea la propuesta de una secuencia

metodológica, en la cual se desarrolla el contenido, basado en la primera

unidad del Tercer año de Educación Media, los “Números Complejos”. Esta

secuencia metodológica se desarrolla en un periodo de 15 clases, con un total

de 23 horas pedagógicas.

Criterios de credibilidad utilizados

Esta investigación se hace presente debido a la necesidad de crear

nuevas herramientas que faciliten la labor docente mejorando el aprendizaje en

los alumnos, debido a los cambios y ajustes curriculares ocurridos en la

actualidad (Mineduc, 2015), ya que luego de la revisión en distintas propuestas

metodológicas para la construcción de conocimientos(Churchill & Brown, 1988),

(Martínez & Antonio, 2009) y en la preparación para el desarrollo de las clases

en Tercer año de Educación Media, los docentes se encuentran limitados en

tiempo y recursos para entregar a los alumnos los conceptos de números

imaginarios y el de números complejo desarrollados como la primera unidad del

Tercer Nivel de Educación Media.

Esta investigación entrega a los docentes una secuencia metodológica

para poder introducir y desarrollar los números complejos en la Educación

Media, facilitando a los docentes la planificación de la primera unidad

desarrollada en matemáticas del Tercer Nivel de la Educación Media,

otorgando a las docentes más tiempo para la organización de las otra unidades

didácticas a desarrollar durante el año escolar.

34

Capítulo IV: Análisis y Discusión de Resultados

35

Exposición de resultados por categorías

La propuesta de una secuencia metodológica está compuesta por

diversos cuadros de texto en donde se especifica, según cada clase, la

Asignatura, el Nivel del curso, el Semestre que se está cursando, el nombre de

la Unidad Didáctica y las Horas Pedagógicas a realizar por día. Luego se

presenta otro recuadro que contiene el Objetivo de Aprendizaje, la (s) Habilidad

(es), la (s) Actitud (es) a formar en cada clase, los Conocimientos Previos de los

estudiantes para desarrollar la unidad y el Objetivo o las Actividades Especificas

de cada una de las clases.

Por último en la propuesta se da a conocer el Contenido a desarrollar en

cada clase y la Secuencia Didáctica en donde se incluye el inicio de la clase, el

desarrollo y el cierre de cada clase, indicando también en la propuesta

metodológica los Recursos de Aprendizaje y los Indicadores de Evaluación o

Logros.

Análisis de los resultados

Algunos de los Objetivos o Actividades Específicas que se pueden

encontrar en la secuencia metodológica son:

• Reconocer una raíz cuadrada negativa como numero imaginario donde

la √−1 será denotado por “i”.

• Descomponer raíces cuadradas utilizando la propiedad de la

multiplicación.

• Determinar si la solución de la ecuación cuadrática dada, pertenece al

conjunto de los números reales o al conjunto de los números complejos.

• Reconocer el uso de los números complejos y su forma binómica

36

• Determinar el opuesto de un número complejo y su conjugado

• Analizar la operatoria con los números complejos en su forma binómica

• Ejercitar adición y sustracción con los números complejos en su forma

binómica.

• Analizar operatoria con los números complejos en su forma binómica.

• Ejercitar multiplicación y división de números complejos en su forma

binómica.

• Ejercitar las cuatro operaciones con números complejos, incluyendo el

tratamiento con el conjugado de números complejos.

• Identificar y Analiza el número complejo como un par ordenado.

• Representar el número complejo en el plano cartesiano.

• Identificar y Representar el módulo de un número complejo

• Ejercitar la obtención del módulo de un número complejo y su

representación en el plano cartesiano.

• Utilizar software para graficar los números complejos en el plano

cartesiano.

• Graficar números complejos y su módulo en el software presentado.

• Representar un número complejo en su forma polar.

• Reconocer la Formula de Moivre.

• Calcular la potencia de un número complejo.

Estos objetivos propuestos para cada clase en particular muestran las

distintas metodologías utilizadas para enriquecer cada una de las clases que

serán realizadas por los docentes en donde se presentan herramientas, como el

GeoGebra, para trabajar con los números complejos, también se hace presente

la Fórmula de Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre (1667 - 1754)

matemático y estadístico, que entrega otra denominación para los números

complejos pudiendo ser utilizado para la obtención de potencias y raíces de los

números complejos escritos en la forma polar (Molinas & Martínez, 2010).

Secuencia Metodológica

Planificación de clase 1

Asignatura: Matemáticas Nivel: Tercero medio Semestre: Primer Semestre

Unidad Didáctica: Números Horas: 90 minutos

Objetivos de Aprendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)

Reconocer a los números complejos como una extensión del campo numérico de los

números reales

Resolver problemas con un campo numérico más amplio.

Trabajar en forma individual, responsable y proactiva.

Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)

• Números reales y propiedades. • Operaciones aritméticas con números

reales. • Potencias de exponente racional. • Propiedades de las potencias de

exponente racional. • Raíces enésimas.

• Propiedades de las raíces enésimas.

• Reconocer la raíz cuadrada de un número negativo, como un número complejo, donde √−1

será denotado por “i”. • Descomponer raíces cuadradas

utilizando la propiedad de la multiplicación.

• Determinar si la solución de la ecuación cuadrática pertenece, en todo los casos, al conjunto de los números reales o si en algunos casos pertenece a un

38

“nuevo” conjunto numérico, denominado conjunto de los

números complejos.

Contenido (s)

Números Imaginarios

Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de evaluación o

logros

Inicio:

• Presentación de la Unidad

“Números Complejos”. • Explicar que en el transcurso

de las clases se analizarán las estructuras algebraicas y

geométricas del conjunto de los números complejos.

• Comentar la historia de los números complejos y sus

principales aplicaciones en la actualidad.

Pizarra

Plumones

Apuntes sobre número imaginario puro “i”

• Determinan a qué tipo de conjunto pertenece la solución de una ecuación cuadrática.

Desarrollo:

• Definir el número complejo y su conjugado.

• Dar ejemplos de números complejos (raíz cuadrada de

magnitudes negativas). • Entregar notación para las

raíces cuadradas de magnitudes negativas.

• Ejercitar la descomposición de

• Relacionan la unidad imaginaria “i” con la solución de la ecuación �� + 1 = 0.

39

raíces cuadradas de magnitudes negativas.

• Dada una ecuación cuadrática, determinar si sus soluciones

son reales o complejas. • Recordar que en la solución de

una ecuación cuadrática, se obtienen dos soluciones o raíces las que pueden ser

ambas reales (incluyendo el caso de raíces dobles) o

ambas complejas (conjugadas entre sí).

• Potencias de la unidad imaginaria: �� = −1

�� = −√−1

�� = 1

�� = √−1

Cierre:

Retroalimentación de la clase: destacar que se está trabajando con un nuevo conjunto numérico, resultante de la

extensión del conjunto de los números reales el cual permite dar solución a todas las ecuaciones cuadráticas.

40





Conocer propiedades de los números complejos como una extensión del campo

numérico de los números reales

Trabajar con números complejos, haciendo uso de la extensión de operaciones

formalizadas en el conjunto de los números reales.

Trabajo en equipo, en forma responsable y proactiva en la solución de problemas en contextos diversos.




exponente racional. • Raíces enésimas.

• Propiedades de las raíces enésimas. • Concepto de número complejo,

opuesto y conjugado.

• Identificar la forma binómica de los números complejos y utilizarla en el cálculo de operaciones aritméticas.

• Determinar el opuesto de un número complejo y el

conjugado.

Contenido (s)

Números complejos en su forma binómica

41


logros

Inicio:

• Recordar los conceptos fundamentales estudiados en la

clase anterior.

Pizarra

Plumones

Apuntes del número imaginario “i”

• Determinan a qué tipo de conjunto pertenece la solución de una ecuación cuadrática, mediante, la propuesta de solución de un ejemplo.

Desarrollo:

• Comentar la historia de los números complejos

• Mencionar algunos ejemplos de la utilidad de los números complejos.

• Desarrollar habilidades en la operatoria con números complejos

en su forma binómica. • Consolidar los conceptos de

opuesto y de conjugado, de un número complejo.

• Relacionan la unidad imaginaria “i” con la solución de la ecuación �� + 1 = 0.

Cierre:

Retroalimentación de la clase: Identificar algunas utilidades de los números

42

complejos.

Controlar, mediante preguntas dirigidas, la apropiación de los conceptos de opuesto y

conjugado de un número complejo.

43





Resolver problemas aplicando las operaciones con números complejos.

Resolver problemas básicos en el conjunto de los números complejos.

Realizar cálculos en forma mental, escrita y con calculadora.

Trabajar en forma individual, y en equipo de manera responsable y

proactiva.

Conocimiento (s) previo (s) Objetivo o ac tividad (es) especifica(s)



exponente racional. • Propiedades de las raíces enésimas.

• Concepto de número complejo, opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.

• Comprender la operatoria con los números complejos en su

forma binómica • Ejercitar la adición y la

sustracción de números complejos en su forma binómica

44

Contenido (s) Operatoria con números complejos


logros

Inicio:

• Recordar la forma binómica de un número complejo

• Revisar ejercicios para la obtención del opuesto y el conjugado de números

complejos.

Pizarra

Plumones


Colección de problemas

• Muestran habilidad en la suman y la sustracción de

números complejos.

Desarrollo:

• Trabajar en las operaciones de sustracción y adición de los números

complejos en su forma binómica. • Resolver ejercicios de una “Colección de

Problemas” propuesta por el (la) profesor (a).

Cierre:

Retroalimentación de la clase:

A partir de los ejercicios resueltos, se hace un resumen de las características de las operaciones

estudiadas y se destacan los errores fundamentales observados en la clase.

45





Continuar resolviendo problemas, aplicando las operaciones con números complejos.

Resolver problemas en el conjunto de los números complejos aumentando el grado de

dificultad que presentan.

Trabajar en forma individual, responsable.






• Operaciones de adición y sustracción con números complejos.

• Ejercitar la adición y la sustracción con números complejos en su forma

binómica.

46

Contenido (s) Operatoria con números complejos


logros

Inicio:

• Continuar desarrollando habilidades en la realización de la adición y la diferencia de números complejos.

Pizarra

Plumones



• Consolidar las operaciones de suma y resta con números

complejos

Desarrollo:

• Describir por medio de ejemplos la suma y resta de números complejos

en su forma binómica. • Concluir el trabajo con la “Colección

de Problemas” sobre suma y diferencia de números complejos,

combinando el uso de los conceptos de “opuesto” y “conjugados”.

Cierre:

• Retroalimentación de la clase:

Seleccionar uno de los ejercicios resueltos en clases, en el que los

estudiantes mostraron algún tipo de dificultad, tanto desde el punto de vista conceptual como práctico.

47





Resolver problemas aplicando las operaciones de multiplicación y división con números

complejos.

Resolver problemas mediante la utilización de las operaciones de multiplicación y/o división, con números complejos en su forma binómica.







• Operaciones de adición y sustracción con números complejos.

• Realizar operaciones de multiplicación y división con

números complejos en su forma binómica.

48

Contenido (s)

Operatoria con números complejos


logros

Inicio:

• Realizar un breve esbozo de las operaciones de multiplicación y división en el conjunto de los

números reales, así como de las propiedades asociadas al

“tecnicismo algebraico” estudiados en cursos precedentes.

Pizarra

Plumones

Apuntes


• Ponderan y multiplican números complejos, según

corresponda.

Desarrollo:

• Introducir las operaciones de multiplicación y división de números complejos, destacando las técnicas

fundamentales: producto de binomios y multiplicación por “la

conjugada”. Identificar la nominación de “producto por la conjugada”, en base al concepto de conjugado de

un número complejo. • Proponer ejemplos para ser

resueltos por los alumnos. • Revisar en la pizarra los ejemplos

propuestos. • Entregar una “Colección de

Problemas” como base para la ejercitación de la división y la

• Dividen números complejos.

49

multiplicación de números complejos asegurando que contengan

conjugados y opuestos de números complejos.

Cierre:


Revisar ejercicios que hayan presentados dificultades para resolverlos, destacando los

algoritmos que deben seguirse para la multiplicación y para la división de

números complejos.

50





Consolidar los aspectos teóricos y desarrollar habilidades en los estudiantes, respecto al uso de las operaciones de multiplicación y división

de números complejos.

Resolver problemas en el conjunto de los números complejos que involucren las

operaciones de multiplicación y división entre ellas.


Conocimiento (s) previo (s) Objeti vo o actividad (es) especifica(s)





• Operaciones básicas con números complejos.

• Ejercitar operaciones básicas con números complejos,

incluyendo el tratamiento con el conjugado de un número

complejo y con el opuesto de un número complejo.

51

Contenido (s)

Operatoria con números complejos


logros

Inicio:

• Recordar el trabajo realizado hasta el momento con los números

complejos

Pizarra

Plumones


• Suman y restan números complejos.

Desarrollo:

• Concluir la revisión de la solución de los ejercicios de la “Colección de Problemas” entregada en la clase

anterior y proponer una nueva “Colección de Problemas”.

• Multiplican números complejos.

Cierre:


Hacer participar a los alumnos pasando a la pizarra para resolver

algunos ejercicios caracterizando los aspectos esenciales de los

conceptos y las operaciones con números complejos que han

estudiado.

• Dividen números complejos.

52





Evaluar si se han logrado los aprendizajes esperados con los conceptos básicos y la

operatoria elemental con números complejos.

Resolver problemas considerando como universo numérico, el conjunto de los números

complejos

Trabajar en forma individual, responsable.







• Evaluar aprendizajes adquiridos sobre el conjunto de los

números complejos.

53

Contenido (s)

Evaluación


logros

Inicio:

• Distribución de la prueba para su

realización de forma individual y desarrollo las instrucciones de carácter general y/o particular.

Materiales escolares personales de los estudiantes.

• Describen los conceptos que correspondan, respecto al conjunto de los números

complejos.

Desarrollo:

• Trabajo individual de cada estudiante

• Realizan las operaciones indicadas, dentro del conjunto

de los números complejos.

Cierre:

Las características de la actividad determinan que no se realizaran acciones de “cierre” de la clase.

54





Reconocimiento de la representación gráfica de los números complejos.

Identificar la relación que existe entre el conjunto de los números complejos y el

conjunto de los números reales como pares ordenados que representan puntos en el

plano.

Trabajo en equipo en la solución de problemas en contextos diversos.





• Plano cartesiano. • Concepto de número complejo,

opuesto de un número complejo y conjugado de un número complejo.


• Identificar un número complejo como un par ordenado de

números reales. • Representar un número complejo en el plano cartesiano.

55

Contenido (s)

Representación de números complejos a través de pares ordenados de números

reales.


logros

Inicio:

• Recordar el plano cartesiano utilizado del conjunto de los

números reales, en los estudios precedentes, e identificar el nuevo plano cartesiano a utilizar para la

ubicación de los números complejos.

Pizarra

Plumones

Apuntes

• Representan gráficamente números complejos.

Desarrollo:

• Introducir la correspondencia

biunívoca entre el conjunto de los números complejos y el conjunto de

los números reales. • Mostrar, a través de ejemplos, la

representación grafica de números complejos, destacando los

conceptos de Modulo y Argumento (desde el punto de vista

geométrico). • Ejercitar, con la participación de los

estudiantes, la representación grafica de los números complejos.


56

Cierre:

Destacar los aspectos

fundamentales de la representación grafica de números complejos.

57





Reconocer la representación grafica de un número complejo como un vector en el plano cartesiano de los números reales, destacando

las propiedades que le resultan comunes, especialmente el módulo de un vector como módulo de un número complejo asociado.

Resolver problemas en el conjunto de los números complejos.

Trabajo en equipo en forma responsable y proactiva.

Conocimiento (s) p revio (s) Objetivo o actividad (es) especifica(s)

• Plano cartesiano.



• Representar números complejos en el plano

cartesiano. • Identificar geométricamente la

posición y el cálculo del módulo de un número complejo.

Contenido (s)

Números complejos en el plano cartesiano

58

Módulo de un número complejo

Secuencia didáctica Recursos de aprendizajes Indicador (es) de eval uación o

logros

Inicio:

• Establecer un dialogo con los estudiantes, de modo que a través

de preguntas se retomen los conceptos fundamentales

estudiados en la clase anterior.

Pizarra

Plumones

Apuntes del plano cartesiano

• Calculan el módulo de números complejos.

Desarrollo:

• Ejercitar la ubicación de números complejos en el plano cartesiano.

• Definir el módulo de un número complejo.

• Ubicar de forma gráfica el vector asociado cuyo módulo representa el

módulo del número complejo asociado.

• Proponer ejemplos para ser resueltos en la clase y para el

estudio individual.

Cierre:


Se realizara una ronda de preguntas previamente elaboradas para la

ocasión.

59


Asignatura: Matemáticas Nivel : Tercero medio Semestre: Primer Semestre



Reconocer la existencia de los números complejos y de objetos relacionados,

particularmente el módulo de los números complejos.

Resolver problemas en el conjunto de los números complejos.






• Número complejo como par ordenado. • Módulo de números complejos.

• Ejercitar el cálculo del módulo de un número complejo y su representación en el plano

cartesiano.

Contenido (s)

Módulo de un número complejo

60


logros

Inicio:

• Establecer un dialogo con los estudiantes, de modo que a través

de preguntas se retomen los conceptos fundamentales

estudiados.

Pizarra

Plumones


• Ubican número complejo en el plano cartesiano.

Desarrollo:

• Calcular ejemplos del módulo de números complejos

• Proponer “Colección de Problemas” para la obtención del módulo de

números complejos.

• Resuelve el modulo de un número complejo.

Cierre:


Hacer participar a los alumnos pasando a la pizarra para resolver

algunos ejercicios propuestos caracterizando los aspectos esenciales de los conceptos

estudiados.

61





Reconocer los números complejos como conceptos de la geometría en el plano y su representación grafica aplicando técnicas informáticas (GeoGebra) para su estudio.

Desarrollar habilidades en la solución de problemas donde intervienen los números

complejos en su vinculación con su representación geométrica, mediante el uso

de técnicas informáticas.

Trabajar en forma individual y en equipo de manera responsable y proactiva.






• Utilizar software para graficar los números complejos en el

plano cartesiano.

Contenido (s)

Números complejos graficados en Geogebra

62


logros

Inicio:

• Explicar que en el desarrollo de lo que resta la unidad de estudio se utilizará el software GeoGebra,

frente al que los estudiantes actuarán como “usuarios”, contando con la tutoría del profesor del curso.

• Informar que se evaluará un trabajo en el laboratorio de computación

(comunicar la fecha de entrega del trabajo).

• Entrega de instructivo para el trabajo en el laboratorio de computación.

Pizarra

Plumones

Laboratorio de computación

Software

Instructivo de trabajo (Anexo A1)

• Como usuarios del software GeoGebra:

Representan números complejos en el plano

cartesiano

Desarrollo:

• Proponer una actividad para

introducir el uso del software GeoGebra que se va a utilizar.

• Apoyar a los alumnos de forma individual en su trabajo en el

laboratorio.

Escriben números complejos

en su forma vectorial

Cierre:


Conocer las dificultades presentadas por los alumnos y

resolverlas en forma grupal.

63




Objetivos de A prendizaje (OA) Habilidad (es) Actitud (es)

Reconocer los números complejos como conceptos de la geometría en el plano y su representación grafica aplicando técnicas informáticas (GeoGebra) para su estudio.

Desarrollar habilidades en la solución de problemas donde intervienen los números

complejos en su vinculación con su representación geométrica, mediante el uso

de técnicas informáticas.







• Utilizar software para graficar los números complejos

• Graficar módulo de números

complejos en el software presentado.

Contenido (s)

Números complejos graficados en Geogebra

64


logros

Inicio:

• Explicar que en el desarrollo de lo que resta la unidad de estudio se utilizará el software GeoGebra,

frente al que los estudiantes actuarán como “usuarios”, contando con la tutoría del profesor del curso.

• Informar que se evaluará un trabajo en el laboratorio de computación

(comunicar la fecha de entrega del trabajo).

• Entrega de instructivo para el trabajo en el laboratorio de computación.

Pizarra

Plumones

Apuntes con instrucciones

• Como usuarios del software GeoGebra:

Representan números complejos en el plano

cartesiano

Desarrollo:

• Proponer una actividad para introducir el uso del software

GeoGebra que se va a utilizar. • Apoyar a los alumnos de forma

individual en su trabajo en el laboratorio.

Escriben números complejos

en su forma vectorial

Cierre:


Conocer las dificultades presentadas por los alumnos y

resolverlas en forma grupal.

65





Introducir al concepto de forma polar de un número complejo.

Realizar operaciones con números complejos en su forma polar.








• Reconocer la Formula de Moivre y aplicarla en la solución

de problemas sencillos.

Contenido (s)

Números complejos en su forma polar

66


logros

Inicio:

• Mediante preguntas a los estudiantes, se trabaja el concepto

de forma polar de un número complejo.

Pizarra

Plumones

Apuntes sobre la forma polar de un numero complejo

• Representar en forma polar un número complejo.

Desarrollo:

• Trabajar colecciones de ejercicios que aborden la forma polar de un

número complejo. • Desarrollar ejemplos en la pizarra,

donde los alumnos puedan comprender el concepto de potencia

de un número complejo.


Cierre:


Enfatizar en los aspectos fundamentales y las dificultades observadas en el aprendizaje del concepto de “forma polar de un

número complejo”.

67





Introducir al concepto de forma polar de un número complejo

Realizar operaciones con números complejos en su forma polar.







• Forma polar de un número complejo.


• Reconocer la Formula de Moivre y aplicarla en la solución

de problemas sencillos.


Contenido (s)

Potencia de un número complejo

68


logros

Inicio:

• Mediante preguntas a los estudiantes, se trabaja el concepto

de forma polar de un número complejo.

Pizarra

Plumones

Guía de ejercitación

• Representar de forma polar un número complejo.

Desarrollo:

• Trabajar colecciones de ejercicios que aborden la forma polar de un

número complejo. • Desarrollar ejemplos en la pizarra,

donde los alumnos puedan comprender el concepto de potencia

de un número complejo.

• Calcular la potencia de un

número complejo.

Cierre:


Enfatizar en los aspectos fundamentales y las dificultades observadas en el aprendizaje del concepto de “forma polar de un

número complejo”.

69



Unidad Didác tica: Números Horas: 90 minutos


Evaluar si se han logrado los aprendizajes esperados con la representación de un

número complejo como par ordenado, la obtención de su módulo y el desarrollo de problemas sencillos con la utilización de la

forma polar de un número complejo.

Resolver problemas considerando como universo numérico el conjunto de los números

complejos.

Trabajar en forma individual y responsable.

Conocimiento (s) previo (s) Objet ivo o actividad (es) especifica(s)





• Forma polar de un número complejo.

• Evaluar los aprendizajes adquiridos sobre el conjunto de

los números complejos.

Contenido (s)

Evaluación

70


logros

Inicio:

• Distribución de la prueba para su realización en forma individual,

dando a conocer las instrucciones de carácter general.

Materiales escolares personales de los estudiantes.

• Representan en la forma polar un número complejo.

Desarrollo:

• Trabajo individual de cada estudiante.

• Calculan la potencia de un

número complejo.

Cierre:

Las características de la actividad determinan que no se realizaran acciones de “cierre” de la clase.

• Aplican la fórmula de Moivre a la resolución de problemas

que se hayan indicado.

71

Discusión de los resultados en base al marco teórico

En esta propuesta de una secuencia metodológica se cumple con el

propósito formativo del sector de Matemáticas, enriqueciendo la comprensión

de la realidad, facilitando la selección de estrategias para la resolución de

problemas y contribuyendo al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo de

los estudiantes.

A su vez se proporcionan herramientas para analizar la información

presente en noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al

desarrollo de diversas habilidades o capacidades de los alumnos.

Esta propuesta metodológica se centra en el primer eje desarrollado en

la Educación Media que se relaciona con los conjuntos numéricos. Este eje

constituye el centro del currículo matemático para la Enseñanza Básica y

Media, por lo que es prioridad que los alumnos logren aprendizajes

significativos en esta etapa de la enseñanza.

La secuencia metodológica propuesta permite mejorar la manera en que

se formalizan o presentan los contenidos en el Tercer Nivel de la Educación

Media, logrando un proceso cognitivo adecuado e integrando las diferentes

operatorias, asimiladas en el conjunto de los números reales, en el conjunto de

los números complejos.

En esta secuencia metodológica se entregan herramientas basados en la

educación tradicional siguiendo con los Planes y Programas propuestos por el

Ministerio de Educación y a su vez se integra el uso de las Tecnologías de la

Información y la Comunicación (TIC), impulsándose su uso particularmente en

la representación de este nuevo conjunto numérico.

72

Capítulo V: Conclusiones y Sugerencias

73

Se logro identificar que no existen variadas metodologías dispuestas

para la enseñanza del conjunto de los números complejos en la enseñanza

media.

Se determinaron las áreas que contribuyen a lograr el aprendizaje

riguroso del concepto de número complejo, aunque estas no se presentan en la

actualidad a los alumnos de educación media, ya que son áreas muy

especificas de la Física, en la secuencia metodológica entregada como

producto de esta investigación se otorgan espacios en las clases para que el

docente de a conocer estas áreas e incluso puede presentar algún tipo de

problema en el cual se puedan reflejar operaciones con números complejos.

Ésta investigación se basa en entregar a los docentes más apoyo en la

elaboración de sus clases ya que se han realizados cambios y ajustes

curriculares que han modificado los Contenidos Mínimos Obligatorios en

distintos niveles de la Educación Básica y Media por lo que los docentes han

tenido que buscar nuevas herramientas para la realización de las clases

logrando aprendizajes significativos.

Se sugiere, dada la necesidad detectada y los aportes de esta propuesta,

que el Ministerio de Educación, desarrolle esfuerzos para apoyar a los docentes

de Matemáticas del país en el desarrollo de estrategias didáctico-metodológicas

para cubrir el contenido de los Números Complejos en la Educación Media,

específicamente en Tercero Medio. Esta contribución didáctica que elaboramos

puede ser un punto de partida en esa dirección.

Por último, nos parece relevante proponer que las Universidades, en sus

carreras pedagógicas, vinculen sus esfuerzos investigativos con la realidad

cotidiana del trabajo del profesor para así, desarrollar investigaciones teórico-

aplicadas que vayan en la línea de proponer distintos apoyos metodológicos

para la enseñanza-aprendizaje de contenidos y habilidades que son muy

relevantes en el currículum de las matemáticas.

74

Bibliografía

Bell, E. (1989). Historia de las matemáticas. México: Fondo de Cultura Económica.

Buscaaqui809. (2006). Buscaaqui809. Recuperado el Noviembre de 2015, de http://www.buscaaqui809.com/2014/10/que-es-la-cantidad-subradical.html

Churchill, R., & Brown, J. (1988). Variable Compleja y Aplicaciones. México: McGRAW-HILL.

Educarchile. (2013). Educar Chile. Recuperado el 2015, de http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?id=74000

Enlaces, A., FCH, E., Chile, G. d., & Relpe. (2013). Educar Chile. Obtenido de http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=133209

Giménez, A. (marzo de 2015). La pedagogía progresista. Recuperado el septiembre de 2015, de http://intereducativa.org/la-pedagogia-progresista/

González, H. (2010). Estructuras algebraicas. Recuperado el 2015, de http://algebra1.dmcc.usach.cl/archivos/apuntes/complemetario/5-estructuras-algebraicas.pdf

Martinez. (2003). Caracterización de la convención matemática como mecanismo de construcción de conocimiento.

Martínez, E. (2009). Los métodos de enseñanza. Recuperado el 2015, de http://www.uhu.es/cine.educacion/didactica/0031clasificacionmetodos.htm

Martínez, G. (2005). Los procesos de convención matemática como generadores de conocimientos. Revista Latinoamericana de investigación en matemática educativa, 195-218.

Martínez, G., & Antonio, R. (2009). Una construcción del significado de número complejo. Revista electrónica de investigaciónen educación en ciencias.

Mineduc. (Abril de 2015). Curriculum en linea. Recuperado el Septiembre de 2015, de www.curriculumenlineamineduc.cl/605/articles-30013_recurso_33_2.pdf

75

Ministerio de Educación. (2009). Decreto 254. Poder Legislativo de Chile.

Molinas, P., & Martínez, J. (2010). Numeros Complejos. Recuperado el 2015, de www.uoc.edu/docs/Num_Complejos

Ocampo, L. (2011). Apuntes sobre los conceptos de método y metodología. Recuperado el 2015, de http://www1.educ.usherbrooke.ca/cours/maestria/doc/metodo_metodologia.PDF

Pardo, T., & Gómez, B. (2005). La enseñanza y aprendizajes de los números complejos. Córdoba.

Pardo, T., & Gómez, B. (2007). La Enseñanza y el Aprendizaje de los Números Complejos: Un Estudio en el Nivel Universitario. 3-15.

Romero, I. (1997). La introducción del número real en educación secundaria: una experiencia de investigación-acción. Granada: Comares.

Romero, I., & Rico, L. (1999). Construcción social del concepto de número real en alumnos de secundaria: Aspectos cognitivos y actitudinales. Enseñanza de las ciencias, 259-272.

Saiz, O., & Blumenthal, V. (2015). Texto del Estudiante Matemáticas Tercero Medio. Santiago: Edición Cal y Canto.

Santiago, A., & Santiago, M. J. (2013). El análisis complejo y su historia. Madrid: Liber Factory.

Valdez. (2008). Los conjuntos numéricos a través de la historia. Buenos Aires.

Anexo A1

Trabajo en el Laboratorio de computación

Instrucciones:

• Los alumnos deben ubicarse de manera individual o de a dos por

computador.

• Cada grupo o alumno debe verificar si el computador posee el software

“GeoGebra” instalado en el servidor, de lo contrario d

el siguiente enlace:

En el GeoGebra

¿Cómo graficar un punto?

76

Trabajo en el Laboratorio de computación

Los alumnos deben ubicarse de manera individual o de a dos por

computador.

Cada grupo o alumno debe verificar si el computador posee el software

“GeoGebra” instalado en el servidor, de lo contrario d

el siguiente enlace: http://geogebra.softonic.com/descargar

¿Cómo graficar un punto?

Los alumnos deben ubicarse de manera individual o de a dos por

Cada grupo o alumno debe verificar si el computador posee el software

“GeoGebra” instalado en el servidor, de lo contrario debe descargarlo en

http://geogebra.softonic.com/descargar

Eje Y

Barra de

Herramientas

Eje X

• De la Barra de Herramientas escoge PUNTO (señalado en un círculo

rojo)

• Luego ubica en el plano cartesiano según las coordenadas respectivas

de cada eje

¿Cómo graficar un vector?

¿Cómo insertar textos?

Presiona para obtener

más opciones

Presiona la opción de crear

un vector

77

De la Barra de Herramientas escoge PUNTO (señalado en un círculo

uego ubica en el plano cartesiano según las coordenadas respectivas

¿Cómo graficar un vector?

¿Cómo insertar textos?

Presiona para obtener

más opciones

Presiona la opción de crear

un vector

De la Barra de Herramientas escoge PUNTO (señalado en un círculo

uego ubica en el plano cartesiano según las coordenadas respectivas

79

Actividad:

1. Ubicar el número complejo 2 + 3� como par ordenado en el plano

cartesiano del GeoGebra

2. Llamar a este punto C y modificar su color y estilo.

3. Trazar un vector desde el origen al punto C.

4. Graficar en una nueva ventana del GeoGebra las siguientes sumas y

restas de números complejos, recordando la forma de par ordenado,

sabiendo que:

�� = 2 − 3� �� = 4 + 2� �� = 1 − 3�

a) �� + ��

b) �� − ��

c) �� + ��

d) �� − ��

5. Obtener el módulo de los siguientes números complejos dados, graficar

en el GeoGebra cada número complejo e insertando en forma de texto el

valor de su módulo:

� = 5 + 2� �� = 1 − � �� = 3 + 2� �� = 4 + 3�

80

Glosario

− Método: Modo de decir o hacer con orden una cosa. La idea del método

transciende de la ciencia y se aplica en general a la vida que llamamos

metódica, en cuanto se produce siguiendo una ley fija, un camino

ordenado o una regla adecuada para que resulte una obra de arte.

Podemos, pues, referir la idea general del método a la aplicación

ordenada de los medios adecuados para el cumplimiento de un fin o la

relación del medio al fin.

El método enseña la marcha que debe seguir el pensamiento para

constituir la ciencia; es, por tanto, el método a la ciencia lo que el medio

al fin; es, en una palabra, el instrumento de la ciencia. (Ocampo, 2011).

− Metodología: Ciencia del método. La Metodología, asunto propio de la

Lógica, no estudia sólo la actividad intelectual, sino su relación con el fin

a que ha de dirigirse (formación del conocimiento) y los medios según los

cuales ha de ejercitarse (método).

El término Metodología fue empleado la primera vez por Kant. Según

éste, la Lógica se divide en dos partes: la primera llamada doctrina de los

principios, tiene por objeto el estudio de las condiciones del

conocimiento; y la segunda, la Metodología general de toda ciencia y la

manera de proceder en toda construcción científica (Ocampo, 2011).

− Conjunto de los números complejos: es el conjunto de los elementos de

la forma � + �, donde �, # ℝ e “i” satisface la condición �� = −1. Se

denota por la letra ℂ.

Particularmente, un disco D de centro en � # ℂ y radio ℇ > 0 se denota

%(� ; ℇ) y se define por:

%(� ; ℇ) = )� # ℂ: |� − � | < ℇ-

(Churchill & Brown, 1988).

81

- Estructuras algebraicas: Cuando dotamos a un conjunto de una o más

leyes de composición “cerradas” (el resultado de las operaciones es

también un elemento del conjunto), estamos dando a dicho conjunto

cierta estructura (espacio vectorial, grupo, anillo, cuerpo, entre otros).

Una estructura, por consiguiente, queda definida por los axiomas que

rigen las relaciones y las operaciones entre sus elementos. En lo que

sigue estudiaremos, brevemente, las estructuras fundamentales del

álgebra: grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales (González,

2010).

- Cantidad subradical: Nos referimos a todas aquellas expresión que se

encuentra o se ubica dentro del símbolo de raíz (√) (Buscaaqui809,

2006).

− Compatible: Dos o más conjuntos numéricos son compatibles si se

demuestra que las características estructurales que poseen son similares

(Guevara, 2014).

SEDE PUERTO MONTT ESCUELA DE PEDAGOGÍA EN …

Documents

Transcript of SEDE PUERTO MONTT ESCUELA DE PEDAGOGÍA EN …