SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO - SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE

Ficha para Identificação da Produção Didático-Pedagógica

Professor PDE/2012

Título: ATIVIDADES LÚDICAS COMO RECURSO NA ABSTRAÇÃO DO ENSINO DA

ÁLGEBRA

Autor Rosilei Gnoatto

Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual Arnaldo Busato – EFMNP - Rua Rosa Stédile, 520

Município da escola Coronel Vivida

Núcleo Regional de Educação Pato Branco

Professor Orientador Isabel Cristina Neves

Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual do Centro-Oeste-UNICENTRO

Relação Interdisciplinar

(indicar, caso haja, as diferentes disciplinas compreendidas no trabalho)

Português, História

Resumo

(descrever a justificativa, objetivos e metodologia utilizada. A informação deverá conter no máximo 1300 caracteres, ou 200 palavras, fonte Arial ou Times New Roman, tamanho 12 e espaçamento simples)

Essa produção didático-pedagógica, visa buscar alternativas metodológicas que venham contribuir para aprendizagem dos estudantes no ensino da álgebra, através do lúdico. Constitui-se um trabalho em que se discute a importância de trazer para a sala de aula, atividades lúdicas como: jogos, desafios matemáticos, atividades relacionando figuras geométricas e álgebra. Todas essas atividades abordam a álgebra básica, sendo utilizadas como ferramentas facilitadoras do ensino da matemática e uma estratégia didática que cumpre duas funções: lúdica e educativa.

Palavras-chave ( 3 a 5 palavras) História da álgebra; educação matemática; atividades lúdicas; propostas metodológicas.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alvo

(indicar o grupo para o qual o material didático foi desenvolvido: professores, alunos, comunidade...)

Alunos do 1º ano Ensino Médio

GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁ

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE - UNICENTRO

NÚCLEO REGIONAL DE EDUCAÇÃO DE PATO BRANCO

ATIVIDADES LÚDICAS COMO RECURSO NA ABSTRAÇÃO DO ENSINO DA

ÁLGEBRA

ROSILEI GNOATTO

GUARAPUAVA

2012

PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA

1 APRESENTAÇÃO

A Matemática é uma ciência construída pelo ser humano ao longo dos

tempos, com características próprias e formas de raciocínio específicas que

contribuem para o desenvolvimento de determinadas habilidades do pensamento.

Atualmente a disciplina de matemática vem se constituindo em preocupação

dos educadores que a tem como objeto de ensino, pela forma como deve ser

trabalhada e os resultados obtidos após as avaliações realizadas em sala de aula

com os educandos. “Um dos obstáculos imediatos ao sucesso do ensino-

aprendizagem da Matemática, diz respeito ao desinteresse dos estudantes com

relação ao modo como a Matemática é apresentada em sala de aula”. (MENDES,

2009, p.108). Com base nessa reflexão, busca-se por metodologias que auxiliem

transpor as dificuldades existentes no ensino dos conteúdos matemáticos.

De acordo com Carraher e outros (1991), a aprendizagem da Matemática

em sala de aula deve acontecer a partir de um momento de interação entre a

matemática organizada pela comunidade científica e a matemática como atividade

humana, sendo o professor uma pessoa que organiza sua atividade matemática e,

mesmo que cientificamente treinado, sua atividade não segue necessariamente as

formas dedutivas aprovadas pela comunidade científica e, em segundo lugar, mas

não secundariamente, a matemática praticada em sala de aula é uma atividade

humana, porque o que interessa nessa situação é a aprendizagem do aluno. Assim,

em primeiro plano, está relacionada à psicologia da aprendizagem.

O uso de atividades lúdicas no ensino da matemática nesta produção

didático-pedagógica é uma alternativa metodológica que tem como objetivo facilitar e

contextualizar a compreensão dos conteúdos algébricos, tornando as aulas mais

atrativas e interessantes para os educandos, pois uma das maiores dificuldades que

o professor encontra na sua prática pedagógica diária é conseguir a atenção dos

mesmos, para que ocorra apropriação dos conhecimentos necessários de forma

significativa.

Destaca-se, portanto, uma abordagem sobre o lúdico no ensino da

matemática e em seguida sugestões de atividades no ensino da álgebra, podendo

ser trabalhadas com os anos/séries que contemplam os conteúdos abordados.

A intenção deste trabalho também é propor aos educadores uma unidade

didática com atividades que possam auxiliá-los no seu trabalho em sala de aula,

contribuindo assim, para que os educandos tenham um melhor aproveitamento nas

aulas de matemática.

1.1 CONTEXTUALIZANDO O LÚDICO NA MATEMÁTICA

O ato de jogar é tão antigo quanto o próprio homem, pois este sempre

manifestou uma tendência lúdica, isto é, um impulso para o jogo. Embora o caráter

lúdico seja mais evidente nas sociedades arcaicas, ele aparece também nas

sociedades mais complexas, onde geralmente incorpora-se à cultura do povo e a

própria cultura forma-se e desenvolve-se impulsionada pelo espírito lúdico.

As atividades lúdicas consistem na liberdade de aprender de uma forma

diferente da tradicional, por exemplo, jogando. O divertimento e a brincadeira,

explorados através dos jogos, utilizados como recursos na aprendizagem do ensino

da matemática.

Para Joaquim (1963), o jogo é uma atividade sociocultural livre, espontânea,

fonte de alegria e diversão, desperta o imaginário e cria situações que determinam o

desenvolvimento do pensamento abstrato. No jogo o componente simbólico

determina a ação, ainda que inconsciente.

O conhecimento lógico-matemático tem a ver com a ação mental do sujeito,

com o exercício do pensamento e com isso, percebe-se que, uma das situações

mais eficazes para se conseguir o envolvimento das crianças e adolescentes em

mantê-los mentalmente ligados é quando se realiza atividades lúdicas como jogos.

Utilizando-se esse tipo de atividade alguns aspectos devem ser observados: é

uma atividade voluntária, deve ser livremente aceita com regras próprias as quais os

participantes devem se sujeitar e obedecer, estar atento para se atingir um dos

objetivos principais, o de “vencer”, sendo que o jogo lança sobre as pessoas o poder

de sedução, mas não somente vencer por vencer, e sim, atingir o objetivo da

aprendizagem do conteúdo proposto na brincadeira.

Segundo Azenha (1995), no aprendizado da matemática, os jogos são

benéficos e numa visão sócio-construtivista, podemos enumerar os pontos positivos

decorrentes de sua utilização.

1- Por favorecer a concentração e o envolvimento mental, cálculos realizados

durante um jogo são facilmente memorizados pelas crianças.

2- Quando as crianças realizam exercícios de aritmética no caderno

individualmente, dependem da correção do professor, o que na maioria

das vezes nem ocorre no mesmo dia. Quando realizam estes mesmos

cálculos em um jogo, o feedback é imediato.

3- Através dos jogos e de forma prazerosa a criança automatiza cálculos

mentais, exercita o raciocínio e adquire confiança em sua própria

habilidade de solucionar problemas e, só então, passa a fazer a

representação gráfica desses cálculos.

4- A interação social entre as crianças, em situações de jogo, atua no

desenvolvimento cognitivo, acelerando-o, ocorrendo uma ajuda mútua que

se estabelece naturalmente entre as mesmas.

Huizinga identifica uma atividade como sendo jogo, da seguinte forma:

Atividade livre, conscientemente tomada como não séria e exterior à vida habitual, mas ao mesmo tempo capaz de absorver o jogador de maneira intensa e total. É uma atividade desligada de todo e qualquer interesse material, com a qual não se pode obter qualquer lucro, praticada dentro dos limites espaciais e temporais próprios, segundo uma certa ordem e certas regras. (HUIZINGA, 1990, p.16)

Porém, o professor antes de optar por um material didático, como jogos, por

exemplo, deve refletir sobre sua proposta pedagógica, sobre o papel histórico da

escola, sob o tipo de aluno que quer formar e sobre qual matemática acredita ser

importante para esse aluno.

Ensinar a matemática de forma tradicional, sem referência ao que os alunos

trazem de conhecimento, preocupando-se com regras gerais, resoluções de

operações e memorização, verifica-se que a aprendizagem efetiva não ocorre e sim,

apenas repetição.

Dessa forma, se o professor buscar maneiras de usar em sala de aula o

conhecimento matemático cotidiano de seus alunos, atividades que despertem a

investigação do conhecimento, tornará mais facilmente a aprendizagem dos

conteúdos propostos.

Utilizando-se de atividades lúdicas como os jogos, dá-se a liberdade de

pensar e organizar diferentes formas de solução, sendo essencial para que o aluno

recrie um modelo matemático em ação, tornando-os reflexivos, independentes e

confiantes em sua capacidade de fazer matemática, aprendendo mais de simbologia

para representar significados conhecidos e ampliar sua capacidade de solucionar

problemas.

2 MATERIAL DIDÁTICO E ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS

ATIVIDADE 1

PRÉ-TESTE

Objetivo: Avaliar os conhecimentos prévios sobre a álgebra, adquirido ao

longo dos anos de estudo e verificar como pós-teste a aprendizagem no final da

aplicação da unidade didática.

Número de aulas previstas: 02 aulas

A álgebra é um dos ramos da matemática que recorre a números, letras e

sinais (símbolos), para generalizar as diversas operações aritméticas. Dessa forma,

pode-se, formular leis gerais e fazer referência a números desconhecidos utilizando-

se de variáveis (incógnitas), o que possibilita desenvolver equações e análises

correspondentes à sua resolução.

Com base nesse contexto, realize as atividades propostas, utilizando os

conceitos básicos da álgebra:

a) Escreva simbolicamente utilizando a incógnita x:

Um número aumentado em cinco unidades:

O dobro de um número:

A metade de um número:

A diferença entre o quádruplo de um número e dez:

O produto de um número com quinze:

b) Descubra a regra:

Expressão algébrica:

c) Encontre algebricamente o perímetro e a área da superfície da figura abaixo:

Perímetro:

Área:

Se x= 12 e y= 15, encontre o valor numérico da área e do perímetro da figura:

d) Encontre o perímetro da figura algebricamente, em seguida seu valor numérico,

sendo x= 3, y= 5 e a = 7:

Perímetro:

Valor numérico:

e) Simplifique as expressões algébricas:

-4w + 5m -6m + 8w =

-6ab -9 + 7ax – ab -3ax= f) Resolva as equações do 1º grau:

10x -9 = x -72

3x + 2 = 80

Número dito 2 6 1 12 7

Número respondido 5 17 2 35 20

x

y + 2

x

y y

3x + 5

a

ATIVIDADE 2

A ORIGEM DA ÁLGEBRA

Objetivo: Conhecer a origem dos símbolos e da álgebra através da história

da matemática.

Número de aulas previstas: 02 aulas

Texto disponível em: http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603

acessado em 17/08/2012.

Ler e interpretar o texto abordando os questionamentos abaixo:

a) Qual a contribuição da álgebra no ensino da matemática?

b) Com a utilização dos símbolos na matemática, quais progressos foram

conquistados?

ATIVIDADE 3

QUAL O NÚMERO DO SEU CALÇADO?

Objetivo: Despertar o interesse dos educandos e demonstrar a importância

da utilização da álgebra em situações-problemas.

Número de aulas previstas: 02 aulas

Qual é o número do seu calçado? Esse número corresponde ao

comprimento em centímetros do seu pé? Meça e verifique.

Com certeza, os números que você encontrou não são iguais, ou seja, o

número do seu calçado não corresponde ao comprimento em centímetros do seu pé.

Então, qual a relação entre o número do seu calçado e o comprimento do

seu pé?

A maioria das pessoas certamente nunca parou para pensar de onde vem o

número do sapato que calçamos. À medida que vamos crescendo, vamos

comprando números maiores, sem pensar muito o significado dessa numeração.

De acordo com o site http://super.abril.com.br/cotidiano/como-se-mede-

numero-sapato-444633.shtml essa história é mais antiga e maluca do que

imaginamos. Tudo começou com um decreto do rei Eduardo I, da Inglaterra, em

1305. Ele estipulou que uma polegada equivaleria a três grãos de cevada seca e

alinhados. O que mais foi engraçado é que essa determinação ganhou a simpatia

dos sapateiros ingleses, que decidiram confeccionar sapatos em tamanho-padrão,

de acordo com a quantidade de grãos alinhados. Trinta e quatro grãos equivaleriam

ao número 34 do sapato e assim por diante. Isso facilitou a vida deles e a dos

clientes que, antes da padronização, precisavam provar várias vezes um sapato até

que ele ficasse pronto.

Já está pensando onde vai arrumar grãos de cevada para conferir se o seu

tamanho realmente equivale ao mesmo número de grãos? Sinto decepcionar,

infelizmente não vai dar certo. Isso porque durante a revolução industrial, os países

europeus decidiram padronizar a forma de calcular o tamanho dos sapatos e

transformaram os grãos em uma unidade métrica chamada ponto.

O tamanho desse ponto varia de um lugar para outro e é por isso que a

numeração muda de acordo com o local. Os Estados Unidos usam o ponto inglês,

enquanto o Brasil e parte da Europa usam o ponto francês, que mede

aproximadamente 0,666... centímetros. Ainda assim, há variações entre países que

usam a mesma medida. Alguns ainda utilizam o meio ponto ampliando a grade de

numeração.

Certamente está se perguntando de onde vem afinal, o número do seu

calçado? Vamos fazer alguns cálculos e o número vai depender do comprimento do

pé.

Para medir o comprimento do pé, desenhe o contorno dos dois pés numa

folha. Meça o comprimento desde o dedo maior até o calcanhar. Não se assuste se

um pé for maior que o outro. Isso é muito normal. Temos que considerar o número

maior e tirar 0,5 cm dessa medida, como desconto da espessura do lápis ou da

caneta que usamos para traçar a linha.

OS NÚMEROS DOS SAPATOS NO BRASIL

Para padronizar os números dos sapatos foi preciso o auxílio da álgebra. O

número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula para calcular o

número do calçado é a seguinte: (retirada do livro: JAKUBOVIC J.; IMENES L. M. P.;

LELLIS M. C. T. Pra que serve Matemática? Álgebra. 17 ed. São Paulo: Atual,

1992, p.5).

N = (5C + 28) / 4 N= número do calçado

C= comprimento do pé em centímetros

Agora, utilizando a fórmula, encontre o número que você calça. Compare os

resultados que você encontrou com os de alguns colegas. Meça o comprimento dos

pés das pessoas que moram em sua casa. Depois, utilizando a fórmula encontre o

número do calçado de cada uma delas.

O resultado encontrado na fórmula pode ser um número decimal. Nesse

caso, arredonde-o para o número inteiro mais próximo.

ATIVIDADE 4

EU TENHO... QUEM TEM?

Objetivo: Desenvolver cálculos algébricos mentais e o raciocínio rápido,

relacionando a linguagem matemática e a álgebra.

Número de aulas previstas: 03 aulas

Recursos: 16 fichas de papel com as expressões algébricas.

Como jogar:

Os alunos em duplas recebem uma ficha.

Uma dupla é escolhida para começar a atividade fazendo a leitura da sua

ficha, a dupla que possuir a resposta da instrução lida anteriormente é a próxima

que deverá dar a resposta e ler a instrução que dará sequência ao jogo, e assim

sucessivamente.

Esta atividade deverá ser repetida trocando-se as fichas entre as duplas até

que as eventuais dificuldades de compreensão e atenção sejam sanadas.

O professor poderá criar outras expressões e também propor que os

próprios alunos construam uma sequência de fichas. Para isso basta tomar cuidado

para que as respostas sejam cíclicas de modo a voltar na ficha inicial, não

importando qual seja ela.

Eu tenho 2x.

Quem tem o meu número mais uma

unidade?

Eu tenho x – 2.

Quem tem a área de um retângulo cujo

comprimento é o meu número e a largura é

2?

Eu tenho 2x + 1.

Quem tem o dobro do meu número?

Eu tenho 2x – 4.

Quem tem o meu número subtraindo 4?

Eu tenho 4x + 2.

Quem tem o triplo do meu número?

Eu tenho 2x – 8.

Quem tem o quadrado do meu número?

Eu tenho 12x + 6.

Quem tem o meu número substituindo o x

por 1/6?

Eu tenho 4x2 – 32x + 64.

Quem tem a quarta parte do meu número?

Eu tenho 8.

Quem tem a raiz cúbica do meu número?

Eu tenho x2 – 8x + 16.

Quem tem o meu número para x = 4?

Eu tenho 2.

Quem tem o meu número mais o quadrado

de x?

Eu tenho zero.

Quem tem o meu número menos o dobro de

x?

Eu tenho 2 + x2.

Quem tem o meu número menos 6?

Eu tenho -2x.

Quem tem o dobro do meu número mais 4?

Eu tenho x2 – 4.

Quem tem um fator do meu número?

Eu tenho -4x + 4.

Quem tem o meu número dividido por -2

acrescentado de 2 unidades?

ATIVIDADE 4

CORRIDA DE OBSTÁCULOS

(PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Projeto Correção de Fluxo –

Caderno Ensinar e Aprender 2 – Matemática, CENPEC, 1997)

Objetivo: Auxiliar a compreensão do valor numérico de expressões

algébricas, através do jogo.

Número de aulas previstas: 05 aulas

Recursos: tabuleiro; um marcador ou peão para cada jogador; um dado; 18

cartas de números positivos (três cada um dos seguintes valores:

+1,+2,+3,+4,+5,+6); 18 cartas de números negativos (três cada um dos seguintes

valores: -1, -2, -3, -4, -5, -6); quatro cartas com o número zero.

Como jogar: Formar grupos com quatro alunos. Este é um jogo onde as

cartas são embaralhadas e colocadas nos respectivos lugares no tabuleiro,

formando três montes, viradas para baixo. Na primeira rodada, cada jogador em sua

vez lança o dado e avança o número de casas igual ao obtido no dado; pega uma

carta de um dos montes, à sua escolha, onde o valor será substituído na variável

(incógnita) da expressão algébrica da casa onde o peão está.

Efetuam-se os cálculos e o resultado obtido indica o valor e o sentido do

movimento, ou seja, se for positivo, o peão do jogador avança o número

correspondente de casas; se for negativo, recua o correspondente número de casas;

se for zero, o peão não se desloca e o jogador passa a vez ao adversário. Se o peão

cair numa casa que contenha uma instrução, deverá executá-la nessa mesma

jogada.

A partir da primeira rodada, não se usa mais o dado, cada jogador

movimenta o peão escolhendo uma carta, executando a instrução da casa onde se

encontra o peão, segundo as regras acima.

Sempre que o jogador escolher um número que anule o denominador da

expressão da casa que seu peão ocupa, deverá, como “castigo”, regressar à casa

de partida. Vence o jogador que completar em primeiro lugar a volta no tabuleiro.

CHEGADA

PARTIDA 2a -3 b - 4 avance 2 3 - c - d + 1 volte ao 2 Recue 1 a(-3 + 2)

casas início e - e casa

x + 1 -2n

- z CORRIDA DE OBSTÁCULOS Avance 4

z casas

Recue 2 - xcasas

1 - a 4 - y

-( 1-x) 3(z-4)

y-y-1 Avance para a casa

seguinte e tire 1 carta

1 2 - x 2m e + 2 d c - 1 2 2a -6 2x + 2

1/n m b - 1

NEGATIVOS ZERO POSITIVOS

+1 +1 +1 +2 +2

+2 +3 +3 +3 +4

+4 +4 +5 +5 +5

+6 +6 +6 0 0

0 0 -1 -1 -1

-2 -2 -2 -3 -3

-3 -4 -4 -4 -5

-5 -5 -6 -6 -6

Uma variação contrária do jogo Corrida de Obstáculos é o jogo Trilha da

Álgebra, onde cada jogador retira um cartão que ficará virado para baixo, observa a

expressão e decide se quer lançar o dado com valor positivo ou o dado com valor

negativo, sendo que, o valor que tirar no dado será substituído na incógnita do

cartão retirado, encontrando assim o valor da expressão numérica. Se o valor da

expressão for positivo, avança as casas, se for negativo recua o número de casas

correspondentes. Vence quem primeiro der a volta completa no tabuleiro.

2

2

2

X 3.N X-2 5-Y

-2.Y V+1 4T-2 V

X - 3 2A B/2 6-A

ATIVIDADE 5

ÁLGEBRA COM FIGURAS GEOMÉTRICAS

(Adaptada - Revista Nova Escola. São Paulo: Abril, nº 85, p.22-25, Junho 1995)

Objetivo: Investigar, relacionando expressões algébricas com a área de

figuras geométricas, fixando as operações com polinômios.

Número de aulas previstas: 07 aulas

A atividade é desenvolvida em grupos com 4 alunos.

Material: Régua, lápis, borracha, papel cartão, papel quadriculado, cola,

tesoura.

Construção do material:

Cada grupo constrói seu jogo de peças para realizar as atividades

propostas, utilizando papel quadriculado.

4 quadrados vermelhos de lado 8

4 quadrados azuis de lado 8

4 quadrados vermelhos de lado 2

4 quadrados azuis de lado 2

12 retângulos vermelhos de lados 8 por 2

12 retângulos azuis de lados 8 por 2

Colar as figuras geométricas construídas no papel cartão nas respectivas

cores.

CONHECENDO O MATERIAL

Os alunos devem examinar o material construído, realizar investigações e

utilizando valores numéricos calcular a área e o perímetro das figuras geométricas

que apresentarem formas diferentes.

OBS: Se necessário retomar o conceito de área e perímetro.

4 quadrados 8x8

4 quadrados 8x8

vermelho

azul

4 quadrados 2x2

4 quadrados 2x2

vermelho

azul

12 retângulos 2x8

12 retângulos 2x8

vermelho

azul

O JOGO

Utilizando somente as peças vermelhas, introduzir a noção de álgebra, o

aluno deverá chamar as duas dimensões diferentes das peças por letras, que

podem ser estabelecidas por eles, no caso usaremos x e y, calculando novamente a

área e o perímetro das peças que apresentam formas diferentes utilizando o código

de letras, explicando que estamos generalizando, ou seja, que utilizando letras

podemos substituí-las por valores numéricos, nesse caso, números positivos.

INICIANDO A CODIFICAÇÃO

Utilizando somente as peças vermelhas e a área das mesmas na linguagem

algébrica, apresentar algumas expressões algébricas em que os alunos

representarão através das peças.

Exemplos:

2x2 = 2 quadrados grandes vermelhos

3xy = 3 retângulos vermelhos

x2 + xy = 1 quadrado grande vermelho e um retângulo vermelho

4y2 = 4 quadrados pequenos vermelhos

Realizar outros exemplos até perceber a compreensão de todos os alunos.

Em seguida, propor que os alunos partam das peças para as

representações, agora mostrando as peças eles constroem as expressões

algébricas correspondentes no caderno. Uma variação é dividir cada grupo em dois,

uma parte montará o material concreto e a outra fará a representação, depois inverte

os papéis.

RELACIONANDO CORES E SINAIS

Utilizando as peças vermelhas e azuis, estabelecendo o seguinte código:

peças vermelhas apresentam valores positivos e as peças azuis valores negativos.

Inicialmente pode-se introduzir a visualização do zero, ou seja, duas peças

iguais, mas de cores diferentes, se anulam.

Exemplos:

Um quadrado grande vermelho e um quadrado grande azul se anulam,

ou seja, x2 – x2 = 0.

Um retângulo vermelho e um retângulo azul se anulam, ou seja,

xy – xy = 0

Dois quadrados grandes azuis, dois quadrados pequenos azuis, um

retângulo azul, dois quadrados grandes vermelhos, dois quadrados

pequenos vermelhos e um retângulo vermelho, analisando todas as

peças elas se anulam, ou seja, -2x2 – 2y2 – xy + 2x2 + 2y2 + xy = 0

Fazer exemplos até que todos compreendam essa relação.

Em seguida iniciar a construção de polinômios com sinais diferentes e

também a construção de polinômios opostos, formando os conceitos básicos,

registrando os resultados no caderno.

Exemplo:

Um quadrado grande vermelho, 3 retângulos azuis e 1 quadrado

pequeno vermelho = x2 – 3xy + y2.

Com polinômios opostos, utilizar exemplos através das figuras e das

expressões, fixando sempre que os mesmos se anulam no final.

INTRODUZINDO AS OPERAÇÕES

Iniciando o jogo de juntar e adicionar, passando do concreto para a

representação algébrica.

Adição de polinômios: utilizando somente as peças vermelhas.

Exemplo:

Um quadrado grande vermelho, 2 retângulos vermelhos e 3 quadrados

pequenos vermelhos (x2 + 2xy + y2) com 2 quadrados grandes

vermelhos, 1 retângulo vermelho e 2 quadrados pequenos vermelhos

(2x2 + xy + 2y2) resultará em 3x2 + 3xy + 5y2 .

Adição de polinômios com diferentes sinais, utilizando as peças azuis e

vermelhas.

Nesse caso junta-se todas as peças sempre partindo do princípio que peças

iguais de cores diferentes se anulam.

Exemplo:

Dois quadrados grandes vermelhos, 2 retângulos azuis e 1 quadrado

pequeno azul com 1 quadrado grande azul e 4 retângulos vermelhos

resultará em:

2x2 - 2xy – y2

+ - x2 + 4xy

----------------------

x2 + 2xy – y2

Sempre comprovando o resultado com as peças que sobraram depois do

processo de anular as que possuem cores diferentes e são iguais.

Subtração de polinômios: utilizando as peças vermelhas e azuis,

lembrando sempre da regra de sinais, pois o sinal negativo na frente de parênteses

altera o sinal da expressão que está na sequência, tendo que ser analisado antes,

para pegar as peças nas cores certas.

Exemplo:

(2x2 – 2xy – 3y2) – (- x2 – 10xy + 3y2)

Nesse exemplo, as peças do segundo parênteses deverão ser da cor

contrária ao sinal que está sendo representada, devido ao sinal negativo na frente

de parênteses, tornando-se assim, um exemplo de subtração de polinômios.

Portanto: 2 quadrados grandes vermelhos, 2 retângulos azuis, 3 quadrados

pequenos azuis ( 2x2 – 2xy – 3y2) e 1 quadrado grande vermelho, 10 retângulos

vermelhos e 3 quadrados pequenos azuis (x2 + 10xy - 3y2) é igual 3 quadrados

grandes vermelhos, 8 retângulos vermelhos e 6 quadrados pequenos azuis, ou seja,

3x2 + 8xy – 6y2.

Multiplicação de polinômios: utilizando as peças vermelhas e como base

de estudo o conhecimento do conceito de área de figuras geométricas, no caso

quadrado e retângulo.

Exemplos:

Uma quadra esportiva possui lados x e x + 2y, calcular a área desse

terreno.

Para resolver esse problema precisamos realizar uma multiplicação de

monômio por polinômio.

Deve-se, portanto, montar uma figura com as peças, sendo que a mesma

deva possuir um lado no valor x e outro no valor x + 2xy, que será 1 quadrado

grande vermelho e 2 retângulos vermelhos.

x

x

y y

x ( x + 2 y) = x2 + 2xy

Um terreno possui lados (2x + y) e (x + 3y), calcular a área desta figura:

Montar a figura de forma a utilizar 2 quadrados grandes vermelhos e um

retângulo vermelho em um dos lados e consequentemente utiliza-se mais 3

retângulos vermelhos no outro lado, a figura portanto ficará incompleta tendo então

que completar com as peças adequadas que são mais 3 retângulos vermelhos e 3

quadrados pequenos vermelhos.

x

x

y y y

x

y

Concluindo: (2x + y) . (x + 3 y) = 2 x2 +7xy + 3y2

Comprovando-se o resultado através da figura construída.

Trabalhar mais atividades até verificar que todos estão conseguindo

construir a figura e comprovar o resultado na multiplicação de monômios por

polinômios ou polinômios por polinômios.

Divisão de polinômios: usaremos a reversibilidade da multiplicação, sendo

que somente serão efetuadas divisões exatas de polinômios.

Exemplo:

Considerar a divisão: (x2 + 4xy + 3y2) : (x + y)

O aluno deverá separar as peças do dividendo, ou seja, 1 quadrado grande

vermelho, 4 retângulos vermelhos e 3 quadrados pequenos vermelhos, construindo

em seguida uma figura com a peças de tal maneira que um dos lados dessa figura

seja representado pelo divisor ( x + y). Temos, portanto uma figura assim:

x

y y y

y

O aluno ao visualizar o outro lado da figura, pode obter o quociente

desejado, ou seja, (x + 3 y).

Verifica-se que (x + y) . (x + 3 y) = x2 + 4 xy + 3 y2, obtendo assim o

dividendo e comprovando o resultado da divisão através da figura e da utilização do

cálculo algébrico.

Os alunos começam transferindo os resultados obtidos com o “jogo” para o

cálculo algébrico. Passam a trabalhar com expressões algébricas sem a

necessidade do material concreto, mesmo em suas formas mais complexas. Nesse

momento, deve-se trabalhar com mais exercícios de operações algébricas.

ATIVIDADE 6

BINGO ALGÉBRICO

Objetivo: Verificar a aprendizagem dos alunos em relação a expressões

algébricas e equações do 1º grau, envolvendo as quatro operações fundamentais,

desenvolvendo o cálculo mental e o raciocínio lógico.

Número de aulas previstas: 03 aulas

Recursos: fichas com as equações do 1º grau, cartelas e marcadores (botão,

feijão, entre outros).

Como jogar:

As cartelas são distribuídas para as duplas. As fichas serão sorteadas pelo

professor e apresentadas aos alunos uma de cada vez, onde o aluno deverá

resolvê-las e encontrar o valor da incógnita, podendo tentar resolvê-las mentalmente

ou realizando o cálculo para encontrar o resultado.

Quando os valores encontrados estiverem nas cartelas de cada dupla,

deverão ser marcados com um marcador. Vencerá o bingo a dupla que primeiro

preencher toda a cartela.

A variação desta atividade é em forma de gincana, onde a sala é dividida em

dois grupos e as fichas serão sorteadas para cada equipe, vencendo o grupo que

resolver mais equações corretamente e marcar maior número de cartelas cheias que

possuírem.

BINGO ALGÉBRICO

X + X = 21 x + 7 = 1 2X + 6 = 2 2X + 6 = 14

5 2 12 2 4

4x = - 40 15 = 90 5x + 1 = 36 2y + 43 = 5

2 x

9x + 7 = 5x - 13 3x = 6 x = 18 10x = 15 + 9x

7 9 27

6x + 9 = 4x + 9 3x - ( x - 8) = - 10 7m - 7 = 7 3 (2 - 2x) = - 7x

7x = 4x + 15 x + x + 10 = 52 7 + ( x - 3) = 12 x + 3x = 100

-1 8 -9

-10 7 5

12 -1 8

# 30 #

# -5 #

# -9 #

0 21 25

-19 1 -6

30 15 21

5 2 -19

-19 14 1

1 -6 6

# 14 #

# -6 #

# 12 #

1 -6 6

6 12 -1

-1 8 -9

-5 -19 14

-6 6 12

14 1 -6

# 1 #

# -1 #

# 6 #

-6 6 12

8 -9 30

12 -1 8

4 14 -10

6 12 -1

7 5 -5

# 5 #

# 8 #

# -19 #

7 -19 -5

-9 30 0

14 1 -6

ATIVIDADE 7

DOMINÓ ALGÉBRICO

Objetivo: Fixar os conteúdos algébricos através do jogo, estimulando a

construção do conhecimento matemático.

Número de aulas previstas: 03 aulas

Recursos: dominó algébrico

Como jogar: Cada grupo com quatro alunos receberá um jogo de dominó

algébrico. As peças são embaralhadas e distribuídas, sendo 5 peças para cada

jogador. Poderá iniciar o jogo aquele que estiver com a peça “dublê”, “carretão”,

“dôbre”, ou seja, a peça que possui os dois lados iguais, ou iniciar com qualquer

peça e com um dos jogadores, revezando nas outras jogadas. Primeiramente as

peças devem ser encaixadas de acordo com o resultado ou a informação

correspondente, fechando a sequência do dominó como reconhecimento das peças

do jogo. Em seguida, poderá se iniciar uma competição entre os jogadores, onde

ganhará o jogo quem baixar todas as suas peças por primeiro. O jogo fica fechado

quando não é mais possível baixar peças, geralmente quando as duas pontas do

jogo tem o mesmo número e não existem mais peças com este número na mão dos

jogadores. Pode-se definir que o jogador que tiver menos peça na mão ganhará o

jogo.

área de um 2 2 2 metade de perímetro de

2x quadrado de x x x .x ( a + b) um número um retângulo

lado x lados a e b

a soma

2x + 2y y/2 2a + 2b 4x, sendo -20 de dois

x= -5 números

2

y + z 3x + 2 = 80 x = 26 François Pai 2 2 0 x - 4

Viète da x - x x

Álgebra

a diferença o triplo 3

(x - 2) (x + 2) a - b entre dois 3x de um -10 m -6m - 4m x números números número

o volume a área de um a terça

de um cubo 4xy retângulo 5x parte de x = 6 2x = 12 o dobro de

de lado x de lados 2x 15x um número

e 2y

2( x + y)2 2

a+ 2ab+b

ATIVIDADE 8

DESAFIOS MATEMÁTICOS

Objetivo: Desafiar e estimular os alunos através da resolução de problemas

matemáticos utilizando os conceitos algébricos.

Número de aulas previstas: 05 aulas

1º desafio:

Se, responda:

a) Qual o valor de a; b; c; d sabendo que e é igual a 32?

b) É verdadeiro afirmar que (a + b) é divisor de (c + d)?

2º desafio:

As letras representam número de 0 a 9 e juntas representam o produto

desses números. Substitua as letras, para tornar a igualdade verdadeira.

3º desafio:

Descubra a regra:

a)

Expressão:

b)

Expressão:

Expressão:

Número dito 4 6 10 15 3

Numero respondido 2 4 8 13 1

Número dito 2 3 5 6 10

Numero respondido 22 32 52 62 102

Número dito 1 -1 2 8 10

Numero respondido 5 1 7 19 23

a + a= b; b + b= c; c + c= d; d + d= e

M . E = √ A . M . E

4º desafio:

Para estimular seus alunos na prova de matemática a professora Violeta

disse o seguinte: quem tirar a terceira maior nota ganha x bombons; a segunda

maior nota, ganha 2x bombons e a maior nota da turma ganha 3x bombons. Se a

professora tem uma caixa com duas dúzias de bombons, quantos bombons

ganharão o 1º, 2º e 3º lugar?

5º desafio:

a) Com os algarismos X, Y, Z formam-se os números de 2 algarismos XY

e YX, cuja soma é o número de três algarismos ZXZ. Quanto vale X, Y, Z?

XY

+YX

ZXZ

b) As letras representam algarismos que podem ser de 0 a 9, encontre os

respectivos valores de cada letra observando a operação abaixo:

POSSO

+ POSSO

MESMO

6º desafio:

Encontre o valor de x, y, z no quadrado mágico. Qual é a soma mágica do

quadrado?

x – z = 6

x + z – y = 5

x + y = 13

y + x + z = 15

x = 8

x – y – z = 1

x – y = 3

x + y – z = 11

x + z = 10

SOMA:

7º desafio:

Começando pelo número 4, descubra o caminho que levará ao número 7,

calculando o valor da expressão algébrica seguindo as setas:

INÍCIO

4

7

8ª desafio: ADIVINHAS

Representar as adivinhas numericamente e em seguida escrever a

expressão algébrica correspondente.

a) Cada aluno pensa na sua idade, em seguida, multiplica essa idade por

3 e soma 1. Novamente pede-se que multipliquem o resultado por 3 e adicionem o

número pensado. Pedir para que digam o resultado final.

b) Pensar em um número positivo e escrevê-lo. Multiplicar esse número

por 5; somar 6; multiplicar por 4; somar 9; multiplicar por 5. Com o resultado dessas

operações, subtrair 165. Pedir o resultado final.

c) Pensar em um número, mas não pode ser zero, somar 1 e elevar o

resultado ao quadrado; subtrair em seguida 1; o resultado obtido dividir pelo número

pensado no início; desse resultado subtrair o número pensado no início novamente.

Pedir o resultado final. Essa adivinha pode ter uma variação, por exemplo, manter as

cinco primeiras instruções, modificando a última, ou seja, no lugar da subtração,

pede-se o resultado obtido. (JAKUBOVIC J.; IMENES L. M. P.; LELLIS M. C. T. Pra

que serve Matemática? Álgebra. 17 ed. São Paulo: Atual, 1992, p.34).

Respostas dos desafios:

1º) a) a= 2; b= 4; c= 8; d= 16

b) Sim, (2 + 4) divide (8 + 16)

2º) A= 6; E= 3; M= 2

3º) a) x - 2

b) 10x + 2

c) 2x + 3

4º) 1º lugar 12 bombons; 2º lugar 8 bombons; 3º lugar 4 bombons

5º) a) x= 2; y= 9; z= 1

b) o= 0; s= 9; m= 8; e= 1; p= 4

6º) x= 8; z= 2; y= 5; soma= 24

7º)

INÍCIO

8º) a) [ (x . 3) + 1 ] . 3 + x = 10x + 3. Ao utilizar valores numéricos eliminar o último

algarismo do resultado final para chegar ao valor de x, ou seja, ao número pensado.

b) { [ (x . 5) + 6 ] . 4 + 9 } . 5 – 165 = 100x. Ao utilizar valores numéricos eliminar

os dois últimos algarismos do resultado final para chegar ao valor de x, ou seja, ao

número pensado.

c) [ (x + 1)2 – 1 ] : x – x= (x2 + 2x) : x – x= x(x + 2) : x – x= x + 2 – x= 2. Utilizando

valores numéricos o resultado será sempre 2. Na variação desse adivinha, subtrai-

se 2 do resultado sem a última informação e obtêm-se o número pensado.

3 AVALIAÇÃO

A avaliação será processual, formativa, diagnóstica e contínua durante todo

o processo de realização das atividades propostas, finalizando com a aplicação do

pós-teste, verificando se houve a superação das dificuldades apresentadas no início

da proposta e também, aquisição significativa do conhecimento dos conteúdos

abordados.

4 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS

AZENHA, G. da M. Construtivismo de Piaget e Emilia Ferreira. São Paulo: Ática, 1995.

CARRAHER T. et al (1991). Na vida dez, na escola zero. 6 ed. São Paulo: Cortez

http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603 . Acessado em 17/08/2012

http://super.abril.com.br/cotidiano/como-se-mede-numero-sapato-444633.shtml.

Acessado em 17/08/2012

HUIZINGA, J. Homo Ludens: o jogo como elemento da cultura. 2. ed. Tradução

João Paulo Monteiro. São Paulo: Perspectiva, 1990. 236p.

JAKUBOVIC J.; IMENES L. M. P.; LELLIS M. C. T. Pra que serve Matemática?

Álgebra. 17 ed. São Paulo: Atual, 1992.

JOAQUIM, G. A educação pelo jogo. São Paulo: Flamboyant, 1963.

LUNGARZO, C. O que é matemática. São Paulo: Brasiliense, 1990.

MENDES, Iran Abreu. Atividades históricas para o ensino da Trigonometria. In: MIGUEL A.; BRITO A. de J.; LUCCHESI D. C.; MENDES I. A. História da Matemática em atividades didáticas. São Paulo: Livraria da Física, 2009. p.108.

REVISTA Nova Escola. São Paulo: Abril, nº 85, p.22-25, jun. 1995.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Projeto Correção de Fluxo –

Impulso inicial – Ensinar e aprender 1, 2 e 3 – Matemática, CENPEC, 1997.