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Secciones Cónicas Una aproximación geométrica. Sección geométrica Es la intersección, el...
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Secciones Cónicas
Una aproximación geométrica
Sección geométrica
Es la intersección, el corte, entre un cuerpo geométrico y un plano.
Sección cónica• Apolonio de Perga Apolonio de Perga
(262 A.C. 190 A.C)(262 A.C. 190 A.C)
“ “el gran geómetra”el gran geómetra”El primero que estudió las secciones de un haz de El primero que estudió las secciones de un haz de luz cónico con un planoluz cónico con un plano
Cono o doble cono
y giran alrededor de una recta llamada EJE DEL CONO
formando un cierto ángulo α
Es un haz de rayos (GENERATRICES)
que salen de UN PUNTO (VÉRTICE DEL CONO)
αα
• Para que sea un cono de verdad este ángulo α siempre estará entre 0 y 90º
• ¡Siempre habrá una generatriz que corte al plano!
Cónicas degeneradasSi el plano corta al cono pasando por el centro
UN PUNTO
UNA RECTA
UN PAR DE RECTAS
Cónicas no degeneradas
Pero si el plano no pasa por el vértice las secciones salen curvas.
Clasificacióncircunferencia
elipse
parábola
hipérbola
Si el plano y el eje del cono son PERPENDICULARES
Si el plano y el eje forman un ángulo MAYOR que el formado por el eje y una generatriz
Si el plano es PARALELO a una generatriz
Si el plano y el eje forman un ángulo MENOR que el eje y una generatriz
Y si el plano es paralelo al eje la hipérbola se llama EQUILÁTERA
Todas estas curvas aparecen en la naturaleza, en el arte y en la tecnología
• Pero el renacer de las cónicas en la edad moderna fue gracias a la ASTRONOMIA
1. Kepler y las cónicas
Johannes Kepler(1571-1630) Johannes Kepler(1571-1630) Astrónomo, matemático y físico Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario y una alemán. Hijo de un mercenario y una bruja.bruja.
• Seguidor de las teorías Copernicanas
• Modeló el sistema solar
con los 5 planetas conocidos usando los 5 poliedros regulares
• Las críticas de Ticho Brahe
Le llevaron a
UN NUEVO ENFOQUE !!
¡¡Los planetas se mueven formando elipses!!
y algunos cometas, recorren PARÁBOLAS…
Despertó un nuevo interés por las cónicas
Elementos de una sección cónica
Eje de simetría
• Cono es simétrico respecto a cq plano que contenga al eje
• Plano es simétrico respecto a cq. Plano perpendicular a él
• Cónica es simétrica respecto a la proyección del eje en el plano (la intersección del único plano perpendicular a la cónica, conteniendo al eje)
Las esferas: Focos y directriz
Esfera tangente al cono
Sean dos esferas…
Tangentes al cono y al plano de la cónica
A la vez
FOCOS
Las esferas tocan al plano de la cónica en sendos puntos llamados FOCOS F y F’
Y tocan al cono en dos circunferencias G1 y G2
Directriz• El plano
determinado por la circunferencia tangente G1 (o G2)
• Y el plano de la cónica
Perpendicularmente al eje de simetría
Directriz
Foco
Se cortan en la DIRECTRIZ
Directriz
Directriz
La parábola solo tiene una directriz
La hipérbola tiene dos
La directriz es la línea hacia la que se achata la cónica
Cuanto más se alejan los focos entre sí,
más se acercan a sus respectivas directrices
PF=PG por potencia de un punto a una circunferencia
Y la proyección de PG y PD en el eje es la misma, G y D están a la misma altura
PG cosPG cosαα=PD cos=PD cosββε= PF/PD=PG/PD=cosβ/ cosα
Excentricidad ε= PF/PD
Circunferencia ε = 0 PF=radio PD=∞
Elipse ε <1 PF< PD
Parábola ε =1 PF =PD
Hipérbola ε >1 PF> PD
Clasificación de las cónicas
La orbita de la tierra es una elipse de excentricidad 0,017
2. Estudio analítico de las cónicas
• El estudio analítico consiste en escribir geometría con coordenadas
PARÁBOLA• Es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . PF=PD
x2 = 4cy
En general y=ax2
• Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería:
(y – q) =a (x – p)2
y=a(x2-2px+p2)+q
y=ax2-2apx+ap2 +q
y=ax2+b x+c
Elipse:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Coordenadas elipse
Ecuación elipse
• PF + PF' = 2 a
• Usando c2 = a2 + b2
HIPERBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .
Coordenadas hipérbola I
Ecuación hiperbola
• PF – PF' = 2 a
• Usando c2 = a2 + b2
ASINTOTAS
• Son la proyección en el plano de la cónica de las generatrices paralelas a la cónica
Coordenadas hipérbola II
• Si la hipérbola es EQUILATERA
las asíntotas son perpendiculares y pueden ser tomados como ejes
Rotemos las coordenadas …
• a=b x2-y2=a2
• Rotación de 45º
(x+y)2-(x-y)2=2a2
4xy=2a2
12
2
2
2
a
y
a
x
2,
2),(
yxyxyx
x
ay
2/2
La excentricidad en la elipse y la hipérbola
• La directrices son x=a2/c y x=-a2/c
• ε= c/a
FIN